حل حدود با انواع مختلف عدم قطعیت. روش های حل حدود عدم قطعیت ها: ترتیب رشد یک تابع. روش جایگزینی

عدم قطعیت نوع و گونه رایج ترین عدم قطعیت هایی هستند که باید هنگام حل محدودیت ها افشا شوند.

اکثر مشکلات حدی که دانش‌آموزان با آن مواجه می‌شوند، دقیقاً حاوی چنین عدم قطعیت‌هایی هستند. برای آشکار کردن آنها یا به طور دقیق تر، برای جلوگیری از عدم قطعیت، چندین تکنیک مصنوعی برای تبدیل نوع بیان در زیر علامت حد وجود دارد. این تکنیک ها به شرح زیر است: تقسیم عددی صورت و مخرج بر بالاترین توان متغیر، ضرب در عبارت مزدوج و فاکتورسازی برای کاهش بعدی با استفاده از راه حل ها. معادلات درجه دومو فرمول ضرب اختصاری.

عدم قطعیت گونه ای

مثال 1.

nبرابر 2 است. بنابراین، صورت و مخرج جمله را بر جمله تقسیم می کنیم:

.

در سمت راست عبارت نظر دهید. فلش ها و اعداد نشان می دهد که کسرها پس از تعویض به چه چیزی تمایل دارند nبه معنی بی نهایت در اینجا، مانند مثال 2، درجه nدر مخرج بیشتر از صورت وجود دارد، در نتیجه کل کسری به بی نهایت کوچک یا "فوق العاده کوچک" تمایل پیدا می کند.

پاسخ را می گیریم: حد این تابع با متغیری که به بی نهایت تمایل دارد برابر است با .

مثال 2. .

راه حل. در اینجا بالاترین توان متغیر است ایکسبرابر 1 است. بنابراین، صورت و مخرج عبارت را بر جمله تقسیم می کنیم ایکس:

.

اظهار نظر در مورد پیشرفت تصمیم. در صورت حساب "x" را زیر ریشه درجه سوم هدایت می کنیم و به طوری که درجه اصلی آن (1) بدون تغییر باقی می ماند، آن را همان درجه ریشه می دهیم، یعنی 3. هیچ فلش یا عدد اضافی وجود ندارد. در این مدخل، پس آن را به صورت ذهنی امتحان کنید، اما با قیاس با مثال قبلی، مشخص کنید که عبارات صورت و مخرج پس از جایگزینی بی نهایت به جای "x" به چه تمایلی دارند.

ما پاسخ دریافت کردیم: حد این تابع با متغیری که به بی نهایت تمایل دارد برابر با صفر است.

عدم قطعیت گونه ای

مثال 3.عدم قطعیت را کشف کنید و حد را پیدا کنید.

راه حل. عدد، تفاوت مکعب هاست. بیایید با استفاده از فرمول ضرب اختصاری دوره، آن را فاکتورسازی کنیم ریاضیات مدرسه:

مخرج شامل یک مثلث درجه دوم است که با حل یک معادله درجه دوم آن را فاکتور می گیریم (یک بار دیگر پیوندی به حل معادلات درجه دوم):

بیایید عبارت به دست آمده در نتیجه تبدیل ها را بنویسیم و حد تابع را پیدا کنیم:

مثال 4.عدم قطعیت را باز کنید و حد را پیدا کنید

راه حل. قضیه حد نصاب در اینجا قابل اجرا نیست، زیرا

بنابراین، کسر را به طور یکسان تبدیل می کنیم: صورت و مخرج را در مزدوج دوجمله ای در مخرج ضرب می کنیم و کاهش می دهیم ایکس+1. با توجه به نتیجه قضیه 1، عبارتی را به دست می آوریم که با حل آن حد مورد نظر را پیدا می کنیم:

مثال 5.عدم قطعیت را باز کنید و حد را پیدا کنید

راه حل. جایگزینی مستقیم ارزش ایکس= 0 V عملکرد داده شدهمنجر به عدم قطعیت فرم 0/0 می شود. برای آشکار کردن آن، تبدیل‌های یکسانی را انجام می‌دهیم و در نهایت حد مورد نظر را به دست می‌آوریم:

مثال 6.محاسبه

راه حل:بیایید از قضایای حدود استفاده کنیم

پاسخ: 11

مثال 7.محاسبه

راه حل:در این مثال حدود صورت و مخرج at برابر با 0 است:

; . ما دریافت کرده ایم، بنابراین، قضیه حد نصاب قابل اعمال نیست.

بیایید صورت و مخرج را فاکتور بگیریم تا کسری را با یک عامل مشترک که به صفر میل می کند کاهش دهیم و بنابراین، اعمال قضیه 3 را ممکن کنیم.

بیایید مثلث مربع را با استفاده از فرمول گسترش دهیم، که در آن x 1 و x 2 ریشه های سه جمله ای هستند. با فاکتورگیری و مخرج، کسر را با (x-2) کاهش دهید، سپس قضیه 3 را اعمال کنید.

پاسخ:

مثال 8.محاسبه

راه حل:هنگامی که صورت و مخرج به بی نهایت تمایل دارند، بنابراین، هنگام اعمال مستقیم قضیه 3، عبارت را به دست می آوریم که نشان دهنده عدم قطعیت است. برای رهایی از عدم قطعیت از این نوع، باید صورت و مخرج را بر بالاترین توان استدلال تقسیم کنید. که در در این مثالنیاز به تقسیم بر ایکس:

پاسخ:

مثال 9.محاسبه

راه حل: x 3:

پاسخ: 2

مثال 10.محاسبه

راه حل:زمانی که صورت و مخرج به بی نهایت تمایل دارند. بیایید صورت و مخرج را بر بالاترین توان استدلال تقسیم کنیم، یعنی. x 5:

=

صورت کسر به 1 میل می کند، مخرج به 0 میل می کند، بنابراین کسر به بی نهایت میل می کند.

پاسخ:

مثال 11.محاسبه

راه حل:زمانی که صورت و مخرج به بی نهایت تمایل دارند. بیایید صورت و مخرج را بر بالاترین توان استدلال تقسیم کنیم، یعنی. x 7:

پاسخ: 0

مشتق.

مشتق تابع y = f(x) با توجه به آرگومان xحد نسبت افزایش آن y به افزایش x آرگومان x می گویند، زمانی که افزایش آرگومان به صفر میل می کند: . اگر این حد محدود باشد، تابع y = f(x)گفته می شود که در نقطه x قابل تمایز است. اگر این محدودیت وجود داشته باشد، می گویند که تابع y = f(x)در نقطه x مشتق نامتناهی دارد.

مشتقات اساسی توابع ابتدایی:

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

قوانین تمایز:

آ)

V)

مثال 1.مشتق یک تابع را پیدا کنید

راه حل:اگر مشتق جمله دوم با استفاده از قاعده تمایز کسرها پیدا شود، جمله اول یک تابع پیچیده است که مشتق آن با فرمول پیدا می شود:

، جایی که ، سپس

هنگام حل فرمول های زیر استفاده شد: 1،2،10،a،c،d.

پاسخ:

مثال 21.مشتق یک تابع را پیدا کنید

راه حل:هر دو اصطلاح - توابع پیچیده، جایی که برای اولی، و برای دومی،، و سپس

پاسخ:

کاربردهای مشتق.

1. سرعت و شتاب

اجازه دهید تابع s(t) توصیف کند موقعیتشی در برخی از سیستم مختصات در زمان t. سپس اولین مشتق تابع s(t) آنی است سرعتهدف - شی:
v=s′=f′(t)
مشتق دوم تابع s(t) لحظه ای را نشان می دهد شتابهدف - شی:
w=v′=s′′=f′(t)

2. معادله مماس
y−y0=f′(x0)(x−x0)،
که در آن (x0,y0) مختصات نقطه مماس هستند، f'(x0) مقدار مشتق تابع f(x) در نقطه مماس است.

3. معادله نرمال
y−y0=−1f′(x0)(x−x0)،

که در آن (x0,y0) مختصات نقطه ای است که در آن حالت نرمال رسم می شود، f′(x0) مقدار مشتق تابع f(x) در این نقطه است.

4. عملکرد افزایش و کاهش
اگر f′(x0)>0 باشد، تابع در نقطه x0 افزایش می یابد. در شکل زیر تابع به صورت x افزایش می یابد x2.
اگر f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1اگر f'(x0)=0 یا مشتق وجود نداشته باشد، این معیار به ما اجازه نمی دهد ماهیت یکنواختی تابع را در نقطه x0 تعیین کنیم.

5. انتهای محلی یک تابع
تابع f(x) دارد حداکثر محلیدر نقطه x1، اگر همسایگی نقطه x1 وجود داشته باشد به طوری که برای تمام x از این همسایگی نابرابری f(x1)≥f(x) برقرار باشد.
به طور مشابه، تابع f(x) نیز دارد حداقل محلیدر نقطه x2، اگر همسایگی نقطه x2 وجود داشته باشد به طوری که برای تمام x از این همسایگی نابرابری f(x2)≤f(x) برقرار باشد.

6. نقاط بحرانی
نقطه x0 است نقطه بحرانیتابع f(x)، اگر مشتق f′(x0) در آن برابر با صفر باشد یا وجود نداشته باشد.

7. اولین نشانه کافی از وجود افراط
اگر تابع f(x) برای همه x در یک بازه (a,x1) افزایش یابد (f'(x)>0) و کاهش یابد (f'(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) برای همه x از بازه )