Как находится расстояние от точки до прямой. Простейшие задачи с прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми

Требуется определить расстояние от точки до прямой. Общий план решения задачи:

- через заданную точку проводим плоскость, перпендикулярную заданной прямой;

- находим точку встречи прямой

с плоскостью;

- определяем натуральную величину расстояния.

Через заданную точку проводим плоскость, перпендикулярную прямой АВ . Плоскость задаем пересекающимися горизонталью и фронталью, проекции которых строим согласно алгоритму перпендикулярности (обратная задача).

Находим точку встречи прямой АВ с плоскостью. Это типовая задача о пересечении прямой с плоскостью (см. разд. «Пересечение прямой с плоскостью»).

Перпендикулярность плоскостей

Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости. Поэтому для проведения плоскости, перпендикулярной другой плоскости, необходимо сначала провести перпендикуляр к плоскости, а затем через него провести искомую плоскость. На эпюре плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, одна из которых перпендикулярна плоскости ABC .

Если плоскости заданы следами, то возможны следующие случаи:

- если две перпендикулярные плоскости являются проецирующими, то их собирательные следы взаимно перпендикулярны;

- плоскость общего положения и проецирующая плоскость перпендикулярны, ссли собирательный след проецирующей плоскости перпендикулярен одноименному слсду плоскости общего положения;

- если одноименные следы двух плоскостей общего положения перпендикулярны, то плоскости не перпендикулярны друг другу.

Метод замены плоскостей проекций

	замены плоскостей проекций
заключается в том, что плоскости про-
екций заменяются другими плоскос-
	так, чтобы	геометрический
объект в новой системе плоскостей
проекций стал занимать частное -по
ложение, что позволяет упростить ре-
шение задач. На пространственном ма-
кете показана замена плоскостиV на
новую V 1 . Показано также проециро-
вание точки А на исходные плоскости
проекций и новую плоскость проекций
V 1 . При замене плоскостей проекций
ортогональность системы сохраняется.

Преобразуем пространственный макет в плоскостной путем поворота плоскостей по стрелкам. Получим три плоскости проекций, совмещенные в одну плоскость.

Затем удалим плоскости проекций и
		проекции
Из эпюра точки следует правило: при
замене V наV 1 для того, чтобы по-
		фронтальную
цию точки, необходимо от новой оси
отложить аппликату точки, взятую из
предыдущей системы плоскостей про-
екций. Аналогично можно доказать,
	замене Н наН 1 необходимо
отложить ординату точки.

Первая типовая задача метода замены плоскостей проекций

Первая типовая задача метода замены плоскостей проекций – это преобразование прямой общего положения сначала в линию уровня, а затем в проецирующую прямую. Эта задача является одной из основных, так как применяется при решении других задач, например, при определении расстояния между параллельными и скрещивающимися прямыми, при определении двугранного угла и т.д.

Производим замену V → V 1 .
ось проводим параллельно горизон-
	проекции.
фронтальную проекцию прямой, для
		откладываем
аппликаты точек. Новая фронтальная
проекция прямой является НВ прямой.
Сама прямая становится фронталью.
Определяется угол α °.

Производим замену Н → Н 1 . Новую ось проводим перпендикулярно фронтальной проекции прямой. Строим новую горизонтальную проекцию прямой, для чего от новой оси откладываем ординаты прямой, взятые из предыдущей системы плоскостей проекций. Прямая становится горизон- тально-проецирующей прямой и «вырождается» в точку.

Данная статья рассказывает о теме « расстояния от точки до прямой», рассматриваются определения расстояния от точки к прямой с иллюстрированными примерами методом координат. Каждый блок теории в конце имеет показанные примеры решения подобных задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Расстояние от точки до прямой находится через определение расстояния от точки до точки. Рассмотрим подробней.

Пусть имеется прямая a и точка М 1 , не принадлежащая заданной прямой. Через нее проведем прямую b , расположенную перпендикулярно относительно прямой a . Точка пересечения прямых возьмем за Н 1 . Получим, что М 1 Н 1 является перпендикуляром, который опустили из точки М 1 к прямой a .

Определение 1

Расстоянием от точки М 1 к прямой a называется расстояние между точками М 1 и Н 1 .

Бывают записи определения с фигурированием длины перпендикуляра.

Определение 2

Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

Определения эквивалентны. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Известно, что расстояние от точки до прямой является наименьшим из всех возможных. Рассмотрим это на примере.

Если взять точку Q , лежащую на прямой a , не совпадающую с точкой М 1 , тогда получим, что отрезок М 1 Q называется наклонной, опущенной из М 1 к прямой a . Необходимо обозначить, что перпендикуляр из точки М 1 является меньше, чем любая другая наклонная, проведенная из точки к прямой.

Чтобы доказать это, рассмотрим треугольник М 1 Q 1 Н 1 , где М 1 Q 1 является гипотенузой. Известно, что ее длина всегда больше длины любого из катетов. Значим, имеем, что M 1 H 1 < M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Исходные данные для нахождения от точки до прямой позволяют использовать несколько методов решения: через теорему Пифагора, определения синуса, косинуса, тангенса угла и другими. Большинство заданий такого типа решают в школе на уроках геометрии.

Когда при нахождении расстояния от точки до прямойможно ввести прямоугольную систему координат, то применяют метод координат. В данном пункте рассмотрим основных два метода нахождения искомого расстояния от заданной точки.

Первый способ подразумевает поиск расстояния как перпендикуляра, проведенного из М 1 к прямой a . Во втором способе используется нормальное уравнение прямой а для нахождения искомого расстояния.

Если на плоскости имеется точка с координатами M 1 (x 1 , y 1) , расположенная в прямоугольной системе координат, прямая a , а необходимо найти расстояние M 1 H 1 , можно произвести вычисление двумя способами. Рассмотрим их.

Первый способ

Если имеются координаты точки H 1 , равные x 2 , y 2 , тогда расстояние от точки до прямой вычисляется по координатам из формулы M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 .

Теперь перейдем к нахождению координат точки Н 1 .

Известно, что прямая линия в О х у соответствует уравнению прямой на плоскости. Возьмем способ задания прямой a через написание общего уравнения прямой или уравнения с угловым коэффициентом. Составляем уравнение прямой, которая проходит через точку М 1 перпендикулярно заданной прямой a . Прямую обозначим буковой b . Н 1 является точкой пересечения прямых a и b , значит для определения координат необходимо воспользоваться статьей, в которой идет речь о координатах точек пересечения двух прямых.

Видно, что алгоритм нахождения расстояния от заданной точки M 1 (x 1 , y 1) до прямой a проводится согласно пунктам:

Определение 3

нахождение общего уравнения прямой a , имеющее вид A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ,или уравнение с угловым коэффициентом, имеющее вид y = k 1 x + b 1 ;
получение общего уравнения прямой b , имеющее вид A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 или уравнение с угловым коэффициентом y = k 2 x + b 2 , если прямая b пересекает точку М 1 и является перпендикулярной к заданной прямой a ;
определение координат x 2 , y 2 точки Н 1 , являющейся точкой пересечения a и b , для этого производится решение системы линейных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 или y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
вычисление искомого расстояния от точки до прямой, используя формулу M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 .

Второй способ

Теорема способна помочь ответить на вопрос о нахождении расстояния от заданной точки дот заданной прямой на плоскости.

Теорема

Прямоугольная система координат имеет О х у имеет точку M 1 (x 1 , y 1) , из которой проведена прямая а к плоскости, задаваемая нормальным уравнением плоскости, имеющее вид cos α · x + cos β · y - p = 0 , равно по модулю значению, получаемому в левой части нормального уравнения прямой, вычисляемому при x = x 1 , y = y 1 , значит, что M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p .

Доказательство

Прямой а соответствует нормальное уравнение плоскости, имеющее вид cos α · x + cos β · y - p = 0 , тогда n → = (cos α , cos β) считается нормальным вектором прямой a при расстоянии от начала координат до прямой a с p единицами. Необходимо изобразить все данные на рисунке, добавить точку с координатами M 1 (x 1 , y 1) , где радиус-вектор точки М 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Необходимо провести прямую от точки до прямой, которое обозначим M 1 H 1 . Необходимо показать проекции М 2 и Н 2 точек М 1 и Н 2 на прямую, проходящую через точку O с направляющим вектором вида n → = (cos α , cos β) , а числовую проекцию вектора обозначим как O M 1 → = (x 1 , y 1) к направлению n → = (cos α , cos β) как n p n → O M 1 → .

Вариации зависят от расположения самой точки М 1 . Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Результаты фиксируем при помощи формулы M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . После чего приводим равенство к такому виду M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p для того, чтобы получить n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Скалярное произведение векторов в результате дает преобразованную формулу вида n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , которая является произведением в координатной форме вида n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Значит, получаем, что n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Отсюда следует, что M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Теорема доказана.

Получаем, что для нахождения расстояния от точки M 1 (x 1 , y 1) к прямой a на плоскости необходимо выполнить несколько действий:

Определение 4

получение нормального уравнения прямой a cos α · x + cos β · y - p = 0 , при условии, что его нет в задании;
вычисление выражения cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , где полученное значение принимает M 1 H 1 .

Применим данные методы на решении задач с нахождением расстояния от точки до плоскости.

Пример 1

Найти расстояние от точки с координатами M 1 (- 1 , 2) к прямой 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Решение

Применим первый способ для решения.

Для этого необходимо найти общее уравнение прямой b , которая проходит через заданную точку M 1 (- 1 , 2) , перпендикулярно прямой 4 x - 3 y + 35 = 0 . Из условия видно, что прямая b является перпендикулярной прямой a , тогда ее направляющий вектор имеет координаты, равные (4 , - 3) . Таким образом имеем возможность записать каноническое уравнение прямой b на плоскости, так как имеются координаты точки М 1 , принадлежит прямой b . Определим координаты направляющего вектора прямой b . Получим, что x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Полученное каноническое уравнение необходимо преобразовать к общему. Тогда получаем, что

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Произведем нахождение координат точек пересечения прямых, которое примем за обозначение Н 1 . Преобразования выглядят таким образом:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 · 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 · 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Из выше написанного имеем, что координаты точки Н 1 равны (- 5 ; 5) .

Необходимо вычислить расстояние от точки М 1 к прямой a . Имеем, что координаты точек M 1 (- 1 , 2) и H 1 (- 5 , 5) , тогда подставляем в формулу для нахождения расстояния и получаем, что

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Второй способ решения.

Для того, чтобы решить другим способом, необходимо получить нормальное уравнение прямой. Вычисляем значение нормирующего множителя и умножаем обе части уравнения 4 x - 3 y + 35 = 0 . Отсюда получим, что нормирующий множитель равен - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , а нормальное уравнение будет вида - 1 5 · 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 · 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

По алгоритму вычисления необходимо получить нормальное уравнение прямой и вычислить его со значениями x = - 1 , y = 2 . Тогда получаем, что

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Отсюда получаем, что расстояние от точки M 1 (- 1 , 2) к заданной прямой 4 x - 3 y + 35 = 0 имеет значение - 5 = 5 .

Ответ: 5 .

Видно, что в данном методе важно использование нормального уравнения прямой, так как такой способ является наиболее коротким. Но первый метод удобен тем, что последователен и логичен, хотя имеет больше пунктов вычисления.

Пример 2

На плоскости имеется прямоугольная система координат О х у с точкой M 1 (8 , 0) и прямой y = 1 2 x + 1 . Найти расстояние от заданной точки до прямой.

Решение

Решение первым способом подразумевает приведение заданного уравнения с угловым коэффициентом к уравнению общего вида. Для упрощения можно сделать иначе.

Если произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых имеют значение - 1 , значит угловой коэффициент прямой перпендикулярной заданной y = 1 2 x + 1 имеет значение 2 . Теперь получим уравнение прямой, проходящее через точку с координатами M 1 (8 , 0) . Имеем, что y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Переходим к нахождению координат точки Н 1 , то есть точкам пересечения y = - 2 x + 16 и y = 1 2 x + 1 . Составляем систему уравнений и получаем:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6 , 4)

Отсюда следует, что расстояние от точки с координатами M 1 (8 , 0) к прямой y = 1 2 x + 1 равно расстоянию от точки начала и точки конца с координатами M 1 (8 , 0) и H 1 (6 , 4) . Вычислим и получим, что M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Решение вторым способом заключается в переходе от уравнения с коэффициентом к нормальному его виду. То есть получим y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0 , тогда значение нормирующего множителя будет - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 . Отсюда следует, что нормальное уравнение прямой принимает вид - 2 5 · 1 2 x - y + 1 = - 2 5 · 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Произведем вычисление от точки M 1 8 , 0 к прямой вида - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Получаем:

M 1 H 1 = - 1 5 · 8 + 2 5 · 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Ответ: 2 5 .

Пример 3

Необходимо вычислить расстояние от точки с координатами M 1 (- 2 , 4) к прямым 2 x - 3 = 0 и y + 1 = 0 .

Решение

Получаем уравнение нормального вида прямой 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 · 2 x - 3 = 1 2 · 0 ⇔ x - 3 2 = 0

После чего переходим к вычислению расстояния от точки M 1 - 2 , 4 к прямой x - 3 2 = 0 . Получаем:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Уравнение прямой y + 1 = 0 имеет нормирующий множитель со значением равным -1. Это означает, что уравнение примет вид - y - 1 = 0 . Переходим к вычислению расстояния от точки M 1 (- 2 , 4) к прямой - y - 1 = 0 . Получим, что оно равняется - 4 - 1 = 5 .

Ответ: 3 1 2 и 5 .

Подробно рассмотрим нахождение расстояния от заданной точки плоскости к координатным осям О х и О у.

В прямоугольной системе координат у оси О у имеется уравнение прямой, которое является неполным имеет вида х = 0 , а О х - y = 0 . Уравнения являются нормальными для осей координат, тогда необходимо найти расстояние от точки с координатами M 1 x 1 , y 1 до прямых. Это производится, исходя из формул M 1 H 1 = x 1 и M 1 H 1 = y 1 . Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Пример 4

Найти расстояние от точки M 1 (6 , - 7) до координатных прямых, расположенных в плоскости О х у.

Решение

Так как уравнение у = 0 относится к прямой О х, можно найти расстояние от M 1 с заданными координатами, до этой прямой, используя формулу. Получаем, что 6 = 6 .

Так как уравнение х = 0 относится к прямой О у, то можно найти расстояние от М 1 к этой прямой по формуле. Тогда получим, что - 7 = 7 .

Ответ: расстояние от М 1 к О х имеет значение 6 , а от М 1 к О у имеет значение 7 .

Когда в трехмерном пространстве имеем точку с координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , необходимо найти расстояние от точки A до прямой a .

Рассмотрим два способа, которые позволяют производить вычисление расстояние от точки до прямой a , расположенной в пространстве. Первый случай рассматривает расстояние от точки М 1 к прямой, где точка на прямой называется Н 1 и является основанием перпендикуляра, проведенного из точки М 1 на прямую a . Второй случай говорит о том, что точки этой плоскости необходимо искать в качестве высоты параллелограмма.

Первый способ

Из определения имеем, что расстояние от точки М 1 , расположенной на прямой а, является длиной перпендикуляра М 1 Н 1 , тогда получим, что при найденных координатах точки Н 1 , тогда найдем расстояние между M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , исходя из формулы M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Получаем, что все решение идет к тому, чтобы найти координаты основания перпендикуляра, проведенного из М 1 на прямую a . Это производится следующим образом: Н 1 является точкой, где пересекаются прямая a с плоскостью, которая проходит через заданную точку.

Значит, алгоритм определения расстояния от точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) к прямой a пространства подразумевает несколько пунктов:

Определение 5

составление уравнение плоскости χ в качестве уравнения плоскости, проходящего через заданную точку, находящуюся перпендикулярно прямой;
определение координат (x 2 , y 2 , z 2) , принадлежавших точке Н 1 , которая является точкой пересечения прямой a и плоскости χ ;
вычисление расстояния от точки до прямой при помощи формулы M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Второй способ

Из условия имеем прямую a , тогда можем определить направляющий вектор a → = a x , a y , a z с координатами x 3 , y 3 , z 3 и определенной точки М 3 , принадлежащей прямой a . При наличии координат точек M 1 (x 1 , y 1) и M 3 x 3 , y 3 , z 3 можно произвести вычисление M 3 M 1 → :

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3)

Следует отложить векторы a → = a x , a y , a z и M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 из точки М 3 , соединим и получим фигуру параллелограмма. М 1 Н 1 является высотой параллелограмма.

Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Имеем, что высота М 1 Н 1 является искомым расстоянием, тогда необходимо найти его по формуле. То есть ищем M 1 H 1 .

Обозначим площадь параллелограмма за букву S , находится по формуле, используя вектор a → = (a x , a y , a z) и M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Формула площади имеет вид S = a → × M 3 M 1 → . Также площадь фигуры равняется произведению длин его сторон на высоту, получим, что S = a → · M 1 H 1 с a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , являющимся длиной вектора a → = (a x , a y , a z) , являющейся равной стороне параллелограмма. Значит, M 1 H 1 является расстоянием от точки до прямой. Ее нахождение производится по формуле M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Для нахождения расстояния от точки с координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до прямой a в пространстве, необходимо выполнить несколько пунктов алгоритма:

Определение 6

определение направляющего вектора прямой a - a → = (a x , a y , a z) ;
вычисление длины направляющего вектора a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
получение координат x 3 , y 3 , z 3 , принадлежавших точке М 3 , находящейся на прямой а;
вычисление координат вектора M 3 M 1 → ;
нахождение векторного произведения векторов a → (a x , a y , a z) и M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 в качестве a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 для получения длины по формуле a → × M 3 M 1 → ;
вычисление расстояния от точки до прямой M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространстве

Пример 5

Найти расстояние от точки с координатами M 1 2 , - 4 , - 1 к прямой x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Решение

Первый способ начинается с записи уравнения плоскости χ , проходящей через М 1 и перпендикулярно заданной точке. Получаем выражение вида:

2 · (x - 2) - 1 · (y - (- 4)) + 5 · (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Нужно найти координаты точки H 1 , являющейся точкой пересечения с плоскостью χ к заданной по условию прямой. Следует переходить от канонического вида к пересекающемуся. Тогла получаем систему уравнений вида:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Необходимо вычислить систему x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 по методу Крамера, тогда получаем, что:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Отсюда имеем, что H 1 (1 , - 1 , 0) .

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Второй способ необходимо начать с поиска координат в каноническом уравнении. Для этого необходимо обратит внимание на знаменатели дроби. Тогда a → = 2 , - 1 , 5 является направляющим вектором прямой x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Необходимо вычислить длину по формуле a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 .

Понятно, что прямая x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 пересекает точку M 3 (- 1 , 0 , - 5) , отсюда имеем, что вектор с началом координат M 3 (- 1 , 0 , - 5) и его концом в точке M 1 2 , - 4 , - 1 является M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Находим векторное произведение a → = (2 , - 1 , 5) и M 3 M 1 → = (3 , - 4 , 4) .

Мы получаем выражение вида a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 · i → + 15 · j → - 8 · k → + 20 · i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

получаем, что длина векторного произведения равняется a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Имеются все данные для использования формулы вычисления расстояния от точки для прямлой, поэтому применим ее и получим:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Ответ: 11 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

155*. Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положения (рис. 153, а).

Решение. Как известно, проекция отрезка прямой на какой-либо плоскости равна самому отрезку (с учетом масштаба чертежа), если он параллелен этой плоскости

(рис. 153, б). Из этого следует, что путем преобразования чертежа надо добиться параллельности данного отрезка пл. V или пл. Н или же дополнить систему V, Н еще одной плоскостью, перпендикулярной к пл. V или к пл. H и в то же время параллельной данному отрезку.

На рис. 153, в показано введение дополнительной плоскости S, перпендикулярной к пл. H и параллельной заданному отрезку АВ.

Проекция a s b s равна натуральной величине отрезка AB.

На рис. 153, г показан другой прием: отрезок АВ повернут вокруг прямой, проходящей через точку В и перпендикулярной к пл. Н, до положения, параллельного

пл. V. При этом точка В остается на месте, а точка А занимает новое положение А 1 . В новом положении горизонт. проекция а 1 b || оси х. Проекция a" 1 b" равна натуральной величине отрезка АВ.

156. Дана пирамида SABCD (рис. 154). Определить натуральную величину ребер пирамиды AS и CS, используя способ перемены плоскостей проекций, и ребер BS и DS, используя способ вращения, причем взять ось вращения перпендикулярно к пл. H.

157*. Определить расстояние от точки А до прямой ВС (рис. 155, а).

Решение. Расстояние от точки до прямой измеряется отрезком перпендикуляра, проведенного из точки на прямую.

Если прямая перпендикулярна к какой-либо плоскости (рис. 155,6), то расстояние от точки до прямой измеряется расстоянием между проекцией точки и точкой- проекцией прямой на этой плоскости. Если прямая занимает в системе V, H общее положение, то, чтобы определить расстояние от точки до прямой способом перемены плоскостей проекций, надо ввести в систему V, H еще две дополнительные плоскости.

Сначала (рис. 155, в) вводим пл. S, параллельную отрезку ВС (новая ось S/H параллельна проекции bс), и строим проекции b s c s и a s . Затем (рис. 155, г) вводим еще пл. Т, перпендикулярную к прямой ВС (новая ось T/S перпендикулярна к b s с s). Строим проекции прямой и точки - с t (b t) и a t . Расстояние между точками a t и с t (b t) равно расстоянию l от точки А до прямой ВС.

На рис. 155, д эта же задача выполнена с помощью способа вращения в той его форме, которую называют способом параллельного перемещения. Сначала прямую ВС и точку А, сохраняя неизменным их взаимное положение, поворачиваем вокруг некоторой (не обозначенной на чертеже) прямой, перпендикулярной к пл. H, так, чтобы прямая ВС расположилась параллельно пл. V. Это равносильно перемещению точек А, В, С в плоскостях, параллельных пл. H. При этом горизонт. проекция заданной системы (BC + A) не изменяется ни по величине, ни по конфигурации, лишь изменяется ее положение относительно оси х. Располагаем горизонт. проекцию прямой ВС параллельно оси х (положение b 1 c 1) и определяем проекцию a 1 , откладывая c 1 1 1 = с-1 и а 1 1 1 = а-1, причем a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1 . Проведя прямые b"b" 1 , a"a" 1 , с"с" 1 параллельно оси х, находим на них фронт. проекции b" 1 ,а" 1 , с" 1 . Далее, перемещаем точки В 1 , С 1 и A 1 в плоскостях, параллельных пл. V (также не изменяя их взаимного расположения), так, чтобы получить В 2 С 2 ⊥ пл. H. При этом фронту проекция прямой расположится перпендикулярно к оси x,b 2 c" 2 = b" 1 с" 1 , а для построений проекции а" 2 надо взять b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1 , провести 2"a" 2 ⊥ b" 2 с" 2 и отложить а" 2 2" 2 = а" 1 2" 1 . Теперь, проведя с 1 с 2 и а 1 а 2 || х 1 получим проекции b 2 с 2 и а 2 и искомое расстояние l от точки А до прямой ВС. Определить расстояние от А до ВС можно, повернув плоскость, определяемую точкой А и прямой ВС, вокруг горизонтали этой плоскости до положения Т || пл. H (рис. 155, е).

В плоскости, задаваемой точкой А и прямой ВС, проводим горизонталь А-1 (рис. 155, ж) и поворачиваем вокруг нее точку В. Точка В перемещается в пл. R (заданной на чертеже следом R h), перпендикулярной к А-1; в точке О находится центр вращения точки В. Определяем теперь натуральную величину радиуса вращения ВО, (рис. 155, в). В требуемом положении, т. е. когда пл. Т, определяемая точкой А и прямой ВС, станет || пл. H, точка В получится на R h на расстоянии Оb 1 от точки О (может быть и другое положение на том же следе R h , но по другую сторону от О). Точка b 1 - это горизонт. проекция точки В после перемещения ее в положение В 1 в пространстве, когда плоскость, определяемая точкой А и прямой ВС, заняла положение Т.

Проведя (рис. 155, и) прямую b 1 1, получаем горизонт. проекцию прямой ВС, уже расположенной || пл. H в одной плоскости с А. В этом положении расстояние от а до b 1 1 равно искомому расстоянию l. Плоскость Р, в которой лежат заданные элементы, можно совместить с пл. H (рис. 155, к), повернув пл. Р вокругее горизонт. следа. Перейдя от задания плоскости точкой А и прямой ВС к заданию прямыми ВС и А-1 (рис. 155, л), находим следы этих прямых и проводим через них следы Р ϑ и P h . Строим (рис. 155, м) совмещенное с пл. H положение фронт. следа - P ϑ0 .

Через точку а проводим горизонт. проекцию фронтали; совмещенная фронталь проходит через точку 2 на следе Р h параллельно Р ϑ0 . Точка А 0 - совмещенное с пл. H положение точки А. Аналогично находим точку В 0 . Прямая ВС в совмещенном с пл. H положении проходит через точку В 0 и точку m (горизонт. след прямой).

Расстояние от точки A 0 до прямой В 0 С 0 равно искомому расстоянию l.

Можно выполнить указанное построение, найдя только один след Р h (рис. 155, н и о). Все построение аналогично повороту вокруг горизонтали (см. рис. 155, ж, в, и): след Р h - это одна из горизонталей пл. Р.

Из приведенных для решения данной задачи способов преобразования чертежа предпочтительным является способ вращения вокруг горизонтали или фронтали.

158. Дана пирамида SABC (рис. 156). Определить расстояния:

а) от вершины В основания до его стороны АС способом параллельного перемещения;

б) от вершины S пирамиды до сторон ВС и АВ основания способом вращения вокруг горизонтали;

в) от вершины S до стороны AС основания способом перемены плоскостей проекций.

159. Дана призма (рис. 157). Определить расстояния:

а) между ребрами AD и CF способом перемены плоскостей проекций;

б) между ребрами BE и CF вращением вокруг фронтали;

в) между ребрами AD и BE способом параллельного перемещения.

160. Определить натуральную величину четырехугольника ABCD (рис. 158) совмещением с пл. Н. Пользоваться только горизонтальным следом плоскости.

161*. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD (рис. 159, а) и построить проекции общего к ним перпендикуляра.

Решение. Расстояние между скрещивающимися прямыми измеряется отрезком (MN) перпендикуляра к обеим прямым (рис. 159, б). Очевидно, если одну из прямых расположить перпендикулярно к какой-либо пл. Т, то

отрезок MN перпендикуляра к обеим прямым окажется параллельным пл. Т него проекция на этой плоскости отобразит искомое расстояние. Проекция прямого угла менаду MN н АВ на пл. Т оказывается также прямым углом между m t n t и а t b t , так как одна из сторон прямого угла AMN, а именно MN. параллельна пл. Т.

На рис. 159, в и г искомое расстояние l определено способом перемены плоскостей проекций. Сначала вводим дополнительную пл. проекций S, перпендикулярную к пл. H и параллельную прямой CD (рис. 159, в). Затем вводим еще одну дополнительную пл. Т, перпендикулярную к пл. S и перпендикулярную к той же прямой CD (рис. 159, г). Теперь можно построить проекцию общего перпендикуляра проведя m t n t из точки c t (d t) перпендикулярно к проекции a t b t . Точки m t и n t - проекции точек пересечения этого перпендикуляра с прямыми АВ и CD. По точке m t (рис. 159, д) находим m s на a s b s: проекция m s n s должна быть параллельна оси Т/S. Далее, по m s и n s находим m и n на ab и cd, а по ним m" и n" на а"b" и c"d".

На рис. 159, в показано решение этой задачи по способу параллельного перемещений. Сначала ставим прямую CD параллельно пл. V: проекция c 1 d 1 || х. Далее перемещаем прямые CD и АВ из положений C 1 D 1 и А 1 В 1 в положения С 2 B 2 и А 2 В 2 так, чтобы С 2 D 2 расположилась перпендикулярно Н: проекция с" 2 d" 2 ⊥ х. Отрезок искомого перпендикуляра располагается || пл. H, и, следовательно, m 2 n 2 выражает искомое расстояние l между АВ и CD. Находим положение проекций m" 2 , и n" 2 на а" 2 b" 2 и c" 2 d" 2 , затем проекций и m 1 и m" 1 , n 1 и n" 1 , наконец, проекций m" и n", m и n.

162. Дана пирамида SABC (рис. 160). Определить расстояние между ребром SB и стороной АС основания пирамиды и построить проекции общего перпендикуляра к SB и АС, применив способ пере-мены плоскостей проекций.

163. Дана пирамида SABC (рис. 161). Определить расстояние между ребром SH и стороной ВС основания пирамиды и построить проекции общего перпендикуляра к SX и ВС, применив способ параллельного перемещения.

164*. Определить расстояние от точки А до плоскости в случаях, когда плоскость задана: а) треугольником BCD (рис. 162, а); б) следами (рис. 162, б).

Решение. Как известно, расстояние от точки до плоскости измеряется величиной перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость. Это расстояние проецируется на какую-либо пл. проекций в натуральную величину, если данная плоскость перпендикулярна к пл. проекций (рис. 162, в). Добиться такого положения можно, преобразуя чертеж, например, способом перемены пл. проекций. Введем пл. S (рис. 16ц, г), перпендикулярную к пл. треугольника BCD. Для этого проводим в пл. треугольника горизонталь В-1 и располагаем ось проекций S перпендикулярно к проекции b-1 горизонтали. Строим проекции точки и плоскости - а s и отрезок c s d s . Расстояние от a s до c s d s равно искомому расстоянию l точки до плоскости.

На рио. 162, д применен способ параллельного перемещения. Перемещаем всю систему до тех пор, пока горизонталь В-1 плоскости не станет перпендикулярна к плоскости V: проекция b 1 1 1 должна быть перпендикулярна к оси x. В этом положении плоскость треугольника станет фронтально-проецирующей, и расстояние l от точки А до нее получится на пл. V без искажения.

На рис. 162, б плоскость задана следами. Вводим (рис. 162, е) дополнительную пл. S, перпендикулярную к пл. P: ось S/Н перпендикулярна к Р h . Дальнейшее ясно из чертежа. На рис. 162, ж задача решена при помощи одного перемещения: пл. Р переходит в положение Р 1 , т. е. становится фронтально-проецирующей. След. Р 1h перпендикулярен к оси х. Строим в этом положении плоскости фронт. след горизонтали - точку n" 1 ,n 1 . След P 1ϑ пройдет через Р 1x и n 1 . Расстояние от a" 1 , до Р 1ϑ равно искомому расстоянию l.

165. Дана пирамида SABC (см. рис. 160). Определить расстояние от точки А до грани SBC пирамиды, применив способ параллельного перемещения.

166. Дана пирамида SABC (см. рис. 161). Определить высоту пирамиды, применив способ параллельного перемещения.

167*. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD (см.рис. 159,а) как расстояние между параллельными плоскостями, проведенными через эти прямые.

Решение. На рис. 163, а показаны параллельные между собой плоскости Р и Q, из которых пл. Q проведена через CD параллельно АВ, а пл. Р - через АВ параллельно пл. Q. Расстояние между такими плоскостями и считается расстоянием между скрещивающимися прямыми АВ и CD. Однако можно ограничиться построением только одной плоскости, например Q, параллельно АВ, а затем определить расстояние хотя бы от точки А до этой плоскости.

На рис. 163, в показана плоскость Q, проведенная через CD параллельно АВ; в проекциях проведено с"е" || а"b" и се || аb. Применяя способ перемены пл. проекций (рис. 163, в), введем дополнительную пл. S, перпендикулярную к пл. V и в то же время

перпендикулярную к пл. Q. Чтобы провести ось S/V, берем в этой плоскости фронталь D-1. Теперь проводим S/V перпендикулярно к d"1" (рис. 163, в). Пл. Q изобразится на пл. S в виде прямой с s d s . Остальное ясно из чертежа.

168. Дана пирамида SABC (см. рис, 160). Определить расстояние между ребрами SC и AB.Применить: 1) способ перемены пл. проекций, 2) способ параллельного перемещения.

169*. Определить расстояние между параллельными плоскостями, из которых одна задана прямыми АВ и АС, а другая - прямыми DE и DF (рис. 164, а). Выполнить также построение для случая, когда плоскости заданы следами (рис. 164, б).

Решение. Расстояние (рис. 164, в) между параллельными плоскостями можно определить, проведя перпендикуляр из любой точки одной плоскости на другую плоскость. На рис. 164, г введена дополнительная пл. S перпендикулярно к пл. Н и к обеим данным плоскостям. Ось S.H перпендикулярна к горизонт. проекции горизонтали, проведенной в одной из плоскостей. Строим проекцию этой плоскости и точки В другой плоскости на пл. 5. Расстояние точки d s до прямой l s a s равно искомому расстоянию между параллельными плоскостями.

На рис. 164, д дано другое построение (по способу параллельного перемещения). Для того чтобы плоскость, выраженная пересекающимися прямыми АВ и АС,оказалась перпендикулярна к пл. V, горизонт. проекцию горизонтали этой плоскости ставим перпендикулярно к оси х: 1 1 2 1 ⊥ х. Расстояние между фронт. проекцией d" 1 точки D и прямой а" 1 2" 1 (фронт. проекцией плоскости) равно искомому расстоянию между плоскостями.

На рис. 164, е показано введение дополнительной пл. S, перпендикулярной к пл.H и к данным плоскостям Р и Q (ось S/H перпендикулярна к следам Р h , и Q h). Строим следы Р s , и Q s . Расстояние между ними (см. рис. 164, в) равно искомому расстоянию l между плоскостями Р и Q.

На рис. 164, ж показано перемещение плоскостей Р 1 н Q 1 , в положение P 1 и Q 1 , когда горизонт. следы оказываются перпендикулярными к оси x. Расстояние между новыми фронт. следами P 1ϑ и Q 1ϑ равно искомому расстоянию l.

170. Дан параллелепипед ABCDEFGH (рис. 165). Определить расстояния: а) между основаниями параллелепипеда - l 1 ; б) между гранями ABFE и DCGH - l 2 ; в) между гранями ADHE и BCGF-l 3 .

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. В начертательной геометрии она определяется графическим путем по приведенному ниже алгоритму.

Алгоритм

Прямую переводят в положение, в котором она будет параллельна какой-либо плоскости проекции. Для этого применяют методы преобразования ортогональных проекций.
Из точки проводят перпендикуляр к прямой. В основе данного построения лежит теорема о проецировании прямого угла.
Длина перпендикуляра определяется путем преобразования его проекций или с использованием способа прямоугольного треугольника.

На следующем рисунке представлен комплексный чертеж точки M и прямой b, заданной отрезком CD. Требуется найти расстояние между ними.

Согласно нашему алгоритму, первое, что необходимо сделать, это перевести прямую в положение, параллельное плоскости проекции. При этом важно понимать, что после проведенных преобразований фактическое расстояние между точкой и прямой не должно измениться. Именно поэтому здесь удобно использовать метод замены плоскостей , который не предполагает перемещение фигур в пространстве.

Результаты первого этапа построений показаны ниже. На рисунке видно, как параллельно b введена дополнительная фронтальная плоскость П 4 . В новой системе (П 1 , П 4) точки C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 находятся на том же удалении от оси X 1 , что и C"", D"", M"" от оси X.

Выполняя вторую часть алгоритма, из M"" 1 опускаем перпендикуляр M"" 1 N"" 1 на прямую b"" 1 , поскольку прямой угол MND между b и MN проецируется на плоскость П 4 в натуральную величину. По линии связи определяем положение точки N" и проводим проекцию M"N" отрезка MN.

На заключительном этапе нужно определить величину отрезка MN по его проекциям M"N" и M"" 1 N"" 1 . Для этого строим прямоугольный треугольник M"" 1 N"" 1 N 0 , у которого катет N"" 1 N 0 равен разности (Y M 1 – Y N 1) удаления точек M" и N" от оси X 1 . Длина гипотенузы M"" 1 N 0 треугольника M"" 1 N"" 1 N 0 соответствует искомому расстоянию от M до b.

Второй способ решения

Параллельно CD вводим новую фронтальную плоскость П 4 . Она пересекает П 1 по оси X 1 , причем X 1 ∥C"D". В соответствии с методом замены плоскостей определяем проекции точек C"" 1 , D"" 1 и M"" 1 , как это изображено на рисунке.
Перпендикулярно C"" 1 D"" 1 строим дополнительную горизонтальную плоскость П 5 , на которую прямая b проецируется в точку C" 2 = b" 2 .
Величина расстояния между точкой M и прямой b определяется длиной отрезка M" 2 C" 2 , обозначенного красным цветом.

Похожие задачи:

Формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости

Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(M x , M y) до прямой можно найти, используя следующую формулу

Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости

Пример 1.

Найти расстояние между прямой 3x + 4y - 6 = 0 и точкой M(-1, 3).

Решение. Подставим в формулу коэффициенты прямой и координаты точки

Ответ: расстояние от точки до прямой равно 0.6.

уравнение плоскости проходящей через точки перпендикулярно векторуОбщее уравнение плоскости

Ненулевой вектор , перпендикулярный заданной плоскости, называетсянормальным вектором (или, короче, нормалью ) для этой плоскости.

Пусть в координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы:

а) точка ;

б) ненулевой вектор (рис.4.8,а).

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно векторуКонец доказательства.

Рассмотрим теперь различные типы уравнений прямой на плоскости.

1) Общее уравнение плоскости P .

Из вывода уравнения следует, что одновременно A , B и C не равны 0 (объясните почему).

Точка принадлежит плоскостиP только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. В зависимости от коэффициентов A , B , C и D плоскость P занимает то или иное положение:

‑ плоскость проходит через начало системы координат, ‑ плоскость не проходит через начало системы координат,

‑ плоскость параллельна оси X ,

X ,

‑ плоскость параллельна оси Y ,

‑ плоскость не параллельна оси Y ,

‑ плоскость параллельна оси Z ,

‑ плоскость не параллельна оси Z .

Докажите эти утверждения самостоятельно.

Уравнение (6) легко выводится из уравнения (5). Действительно, пусть точка лежит на плоскости P . Тогда ее координаты удовлетворяют уравнениюВычитая из уравнения (5) уравнение (7) и группируя слагаемые, получим уравнение (6). Рассмотрим теперь два вектора с координатами соответственно. Из формулы (6) следует, что их скалярное произведение равно нулю. Следовательно, вектор перпендикулярен вектору Начало и конец последнего вектора находятся соответственно в точках которые принадлежат плоскости P . Следовательно, вектор перпендикулярен плоскости P . Расстояние от точкидо плоскости P , общее уравнение которой определяется по формулеДоказательство этой формулы полностью аналогично доказательству формулы расстояния между точкой и прямой (см. рис. 2).
Рис. 2. К выводу формулы расстояния между плоскостью и прямой.

Действительно, расстояние d между прямой и плоскостью равно

где ‑ точка лежащая на плоскости. Отсюда, как и в лекции № 11, получается выше приведенная формула. Две плоскости параллельны, если параллельны их нормальные вектора. Отсюда получаем условие параллельности двух плоскостей‑ коэффициенты общих уравнений плоскостей . Две плоскости перпендикулярны, если перпендикулярны их нормальные вектора, отсюда получаем условие перпендикулярности двух плоскостей, если известны их общие уравнения

Угол f между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами (см. рис. 3) и может, поэтому, быть вычислен по формуле
Определение угла между плоскостями.

(11)

Расстояние от точки до плоскости и способы его нахождения

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость. Существует, по крайней мере, два способа найти расстояние от точки до плоскости:геометрический и алгебраический .

При геометрическом способе нужно сначала понять, как расположен перпендикуляр из точки на плоскость: может он лежит в какой –то удобной плоскости, является высотой в какой-нибудь удобном (или не очень) треугольнике, а может этот перпендикуляр вообще является высотой в какой-нибудь пирамиде.

После этого первого и самого сложного этапа задача распадается на несколько конкретных планиметрических задач (быть может, в разных плоскостях).

При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно ввести систему координат, найти координаты точки и уравнение плоскости, и после этого применить формулу расстояния от точки до плоскости.