Найти производную неявной функции онлайн. Производная неявной функции

Очень часто при решении практических задач (например, в высшей геодезии или аналитической фотограмметрии) появляются сложные функции нескольких переменных, т. е. аргументы x, y, z одной функцииf (x,y,z) ) сами являются функциями от новых переменныхU, V, W ).

Так, например, бывает при переходе от неподвижной системы координат Oxyz в подвижную системуO 0 UVW и обратно. При этом важно знать все частные производные по "неподвижным" - "старым" и "подвижным" - "новым" переменным, так как эти частные производные обычно характеризуют положение объекта в этих системах координат, и, в частности, влияют на соответствие аэрофотоснимков реальному объекту. В таких случаях применяются следующие формулы:

То есть задана сложная функцияT трех "новых" переменныхU, V, W посредством трёх "старых" переменныхx, y, z, тогда:

Замечание. Возможны вариации в количестве переменных. Например: если

В частности, еслиz = f(xy), y = y(x) , то получаем так называемую формулу "полной производной":

Эта же формула "полной производной" в случае:

примет вид:

Возможны и иные вариации формул (1.27) - (1.32).

Замечание: формула "полной производной" используется в курсе физики, раздел "Гидродинамика" при выводе основополагающей системы уравнений движения жидкости.

Пример 1.10. Дано:

Согласно (1.31):

§7 Частные производные неявно заданной функции нескольких переменных

Как известно, неявно заданная функция одной переменной определяется так: функция у независимой переменной x называется неявной, если она задана уравнением, не разрешенным относительноy :

Пример 1.11.

Уравнение

неявно задаёт две функции:

А уравнение

не задаёт никакой функции.

Теорема 1.2 (существования неявной функции).

Пусть функция z =f(х,у) и ее частные производныеf" x иf" y определены и непрерывны в некоторой окрестностиU M0 точкиM 0 (x 0 y 0 ) . Кроме того,f(x 0 ,y 0 )=0 иf"(x 0 ,y 0 )≠0 , тогда уравнение (1.33) определяет в окрестностиU M0 неявную функциюy= y(x) , непрерывную и дифференцируемую в некотором интервалеD с центром в точке x 0 , причемy(x 0 )=y 0 .

Без доказательства.

Из теоремы 1.2 следует, что на этом интервале D :

то- есть имеет место тождество по

где "полная" производная находится согласно (1.31)

То есть (1.35) дает формулу нахождения производной неявно заданной функции одной переменной x .

Аналогично определяется и неявная функция двух и более переменных.

Например, если в некоторой области V пространстваOxyz выполняется уравнение:

то при некоторых условиях на функцию F оно неявно задаёт функцию

При этом по аналогии с (1.35) ее частные производные находятся так.

Будем учиться находить производные функций, заданных неявно, то есть заданных некоторыми уравнениями, связывающими между собой переменные x и y . Примеры функций, заданных неявно:

,

,

Производные функций, заданных неявно, или производные неявных функций, находятся довольно просто. Сейчас же разберём соответствующее правило и пример, а затем выясним, для чего вообще это нужно.

Для того, чтобы найти производную функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения по иксу. Те слагаемые, в которых присутствует только икс, обратятся в обычную производную функции от икса. А слагаемые с игреком нужно дифференцировать, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, так как игрек - это функция от икса. Если совсем просто, то в полученной производной слагаемого с иксом должно получиться: производная функции от игрека, умноженная на производную от игрека. Например, производная слагаемого запишется как , производная слагаемого запишется как . Далее из всего этого нужно выразить этот "игрек штрих" и будет получена искомая производная функции, заданной неявно. Разберём это на примере.

Пример 1.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу, считая, что игрек - функция от икса:

Отсюда получаем производную, которая требуется в задании:

Теперь кое-что о неоднозначном свойстве функций, заданных неявно, и почему нужны особенные правила их дифференцирования. В части случаев можно убедиться, что подстановка в заданное уравнение (см. примеры выше) вместо игрека его выражения через икс приводит к тому, что это уравнение обращается в тождество. Так. приведённое выше уравнение неявно определяет следующие функции:

После подстановки выражения игрека в квадрате через икс в первоначальное уравнение получаем тождество:

.

Выражения, которые мы подставляли, получились путём решения уравнения относительно игрека.

Если бы мы стали дифференцировать соответствующую явную функцию

то получили бы ответ как в примере 1 - от функции, заданной неявно:

Но не всякую функцию, заданную неявно, можно представить в виде y = f (x ) . Так, например, заданные неявно функции

не выражаются через элементарные функции, то есть эти уравнения нельзя разрешить относительно игрека. Поэтому и существует правило дифференцирования функции, заданной неявно, которое мы уже изучили и далее будем последовательно применять в других примерах.

Пример 2. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Выражаем игрек штрих и - на выходе - производная функции, заданной неявно:

Пример 3. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

.

Пример 4. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

.

Выражаем и получаем производную:

.

Пример 5. Найти производную функции, заданной неявно:

Решение. Переносим слагаемые в правой части уравнение в левую часть и справа оставляем ноль. Дифференцируем обе части уравнения по иксу.

Или короче - производная неявной функции. Что такое неявная функция? Поскольку мои уроки носят практическую направленность, я стараюсь избегать определений, формулировок теорем, но здесь это будет уместно сделать. А что такое вообще функция?

Функция одной переменной - это правило, по которому каждому значению независимой переменной соответствует одно и только одно значение функции .

Переменная называется независимой переменной или аргументом .
Переменная называется зависимой переменной или функцией .

Грубо говоря, буковка «игрек» в данном случае - и есть функция.

До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит? Устроим разбор полётов на конкретных примерах.

Рассмотрим функцию

Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек» (функция), а справа - только «иксы» . То есть, функция в явном виде выражена через независимую переменную .

Рассмотрим другую функцию:

Здесь переменные и расположены «вперемешку». Причем никакими способами невозможно выразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др. Перепишите равенство и попробуйте выразить «игрек» в явном виде: . Можно крутить-вертеть уравнение часами, но у вас этого не получится.

Разрешите познакомить: - пример неявной функции .

В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует (однако не всегда), у неё есть график (точно так же, как и у «нормальной» функции). У неявной функции точно так же существует первая производная, вторая производная и т.д. Как говорится, все права секс-меньшинств соблюдены.

И на этом уроке мы научимся находить производную от функции, заданной неявно. Это не так сложно! Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций остаются в силе. Разница в одном своеобразном моменте, который мы рассмотрим прямо сейчас.

Да, и сообщу хорошую новость - рассмотренные ниже задания выполняются по довольно жесткому и чёткому алгоритму без камня перед тремя дорожками.

Пример 1

1) На первом этапе навешиваем штрихи на обе части:

2) Используем правила линейности производной (первые два правила урока Как найти производную? Примеры решений ):

3) Непосредственное дифференцирование.
Как дифференцировать и совершенно понятно. Что делать там, где под штрихами есть «игреки»?

Просто до безобразия, производная от функции равна её производной : .

Как дифференцировать

Здесь у нас сложная функция . Почему? Вроде бы под синусом всего одна буква «игрек». Но, дело в том, что всего одна буква «игрек» - САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ (см. определение в начале урока). Таким образом, синус - внешняя функция, - внутренняя функция. Используем правило дифференцирования сложной функции :

Произведение дифференцируем по обычному правилу :

Обратите внимание, что - тоже сложная функция, любой «игрек с наворотами» - сложная функция :

Само оформление решения должно выглядеть примерно так:

Если есть скобки, то раскрываем их:

4) В левой части собираем слагаемые, в которых есть «игрек» со штрихом. В правую часть - переносим всё остальное:

5) В левой части выносим производную за скобки:

6) И по правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части:

Производная найдена. Готово.

Интересно отметить, что в неявном виде можно переписать любую функцию. Например, функцию можно переписать так: . И дифференцировать её по только что рассмотренному алгоритму. На самом деле фразы «функция, заданная в неявном виде» и «неявная функция» отличаются одним смысловым нюансом. Фраза «функция, заданная в неявном виде» более общая и корректная, - эта функция задана в неявном виде, но здесь можно выразить «игрек» и представить функцию в явном виде. Под фразой «неявная функция» понимают «классическую» неявную функцию, когда «игрек» выразить нельзя.

Второй способ решения

Внимание! Со вторым способом можно ознакомиться только в том случае, если Вы умеете уверенно находить частные производные. Начинающие изучать математический анализ и чайники, пожалуйста, не читайте и пропустите этот пункт, иначе в голове будет полная каша.

Найдем производную неявной функции вторым способом.

Переносим все слагаемые в левую часть:

И рассматриваем функцию двух переменных:

Тогда нашу производную можно найти по формуле

Найдем частные производные:

Таким образом:

Второй способ решения позволяет выполнить проверку. Но оформлять им чистовой вариант задания нежелательно, поскольку частные производные осваивают позже, и студент, изучающий тему «Производная функции одной переменной», знать частные производные как бы еще не должен.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 2

Найти производную от функции, заданной неявно

Навешиваем штрихи на обе части:

Используем правила линейности:

Находим производные:

Раскрываем все скобки:

Переносим все слагаемые с в левую часть, остальные - в правую часть:

В левой части выносим за скобку:

Окончательный ответ:

Пример 3

Найти производную от функции, заданнойнеявно

Полное решение и образец оформления в конце урока.

Не редкость, когда после дифференцирования возникают дроби. В таких случаях от дробей нужно избавляться. Рассмотрим еще два примера.

Пусть функция задана неявно в виде уравнения
. Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно производной , найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по х первую производную получим вторую производную от неявной функции. Подставляя уже найденное значение в выражение второй производной, выразим через х и у. Аналогично поступаем для нахождения производной третьего порядка (и дальше).

Пример.Найти , если
.

Решение: дифференцируем уравнение по х :
. Отсюда находим
. Далее .

Производные высших порядков от функций заданных параметрически.

Пусть функция
задана параметрическими уравнениями
.

Как известно первая производная находится по формуле
. Найдем вторую производную
, т.е.
. Аналогично
.

Пример. Найти вторую производную
.

Решение: находим первую производную
. Находим вторую производную
.

Дифференциал функции.

Пусть функция
дифференцируема на
. Производная этой функции в некоторой точке
определяется равенством
. Отношение
при
, следовательно отличается от производной
на величину б.м., т.е. можно записать
(
). Умножим все на
, получим
. Приращение функции
состоит из двух слагаемых. первое слагаемое
- главная часть приращения, есть дифференциал функции.

Опр. Дифференциалом функции
называется произведение производной на приращение аргумента. Обозначается
.

Дифференциал независимого переменного совпадает с его приращением
.

(). Таким образом, формулу для дифференциала можно записать
. Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал независимой переменной. Из этого соотношения следует, что производную можно рассматривать как отношение дифференциалов
.

Дифференциал используют в приближенных вычислениях. Так как в выражении
второе слагаемое
бесконечно малая величина пользуются приближенным равенством
или в развернутом виде

Пример: вычислить приближенное значение
.

Функция
имеет производную
.

По формуле (*) : .

Пример: найти дифференциал функции

Геометрический смысл дифференциала.

К графику функции
в точке М(x ;y ) проведем касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки x +∆ x . На рисунке АМ=∆х АМ 1 =∆у из ∆МАВ
, отсюда
, но согласно геометрическому смыслу касательной
. Поэтому
. Сравнивая эту формулу с формулой дифференциала получаем, что
, т.е. дифференциал функции
в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получает приращение ∆х .

Правила вычисления дифференциала.

Поскольку дифференциал функции
отличается от производной множителем
, то все правила вычисления производной используются и для вычисления дифференциала (отсюда и термин «дифференцирование»).

Пусть даны две дифференцируемые функции
и
, тогда дифференциал находится по следующим правилам:

1)

2)
с – const

3)

4)
(
)

5) для сложной функции
, где

(т.к.
).

Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Приложения производной.

Теоремы о среднем значении.

Теорема Ролля . Если функция
непрерывна на отрезке
и дифференцируема в открытом промежутке
и если принимает на концах отрезка равные значения
, то в интервале
найдется, хотя бы одна такая точка с , в которой производная обращается в ноль, т.е.
, a < c < b .

Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции
найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох .

Теорема Лагранжа . Если функция
непрерывна на отрезке
и дифференцируема на интервале
, то найдется, хотя бы одна точка
такая, что выполняется равенство .

Формулу называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении: приращение дифференцируемой функции на отрезке
равно приращению аргумента, умноженному на значение производной в некоторой внутренней точке этого отрезка.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа: на графике функции
найдется точка С(с; f (c )) , в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ .

Теорема Коши . Если функции
и
непрерывны на отрезке
, дифференцируемы на интервале
, причем
для
, то найдется хотя бы одна точка
такая, что выполняется равенство
.

Теорема Коши служит основанием для нового правила вычисления пределов.

Правило Лопиталя.

Теорема: (Правило Лопиталя раскрытие неопределенностей вида ). Пусть функции
и
непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х 0 и обращаются в нуль в этой точки
. И пусть
в окрестности точки х 0 . если существует предел
, то
.

Доказательство: применим к функциям
и
теорему Коши для отрезка

Лежащего в окрестности точки х 0 . Тогда
, где x 0 < c < x . Так как
получаем
. Перейдем к пределу при

. Т.к.
, то
, поэтому
.

Итак предел отношения двух б.м. равен пределу отношения их производных, если последний существует
.

Теорема. (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида
) Пусть функции
и
непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х 0 (кроме, может быть, точки х 0 ), в этой окрестности
,
. Если существует предел

, то
.

Неопределенности вида (
) сводятся к двум основным (),
путем тождественных преобразований.

Пример: