Объем вращающегося тела. Использование интегралов для нахождения объемов тел вращения
Определение 3. Тело вращения – это тело, полученное вращением плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей фигуру и лежащей с ней в одной плоскости.
Ось вращения может и пересекать фигуру, если это ось симметрии фигуры.
Теорема
2.
,
осью
и отрезками прямых
и
вращается вокруг оси
.
Тогда объём получающегося тела вращения
можно вычислить по формуле
(2)
Доказательство.
Для такого тела сечение с абсциссой
– это круг радиуса
,
значит
и формула (1) даёт требуемый результат.
Если фигура
ограничена графиками двух непрерывных
функций
и
,
и отрезками прямых
и
,
причём
и
,
то при вращении вокруг оси абсцисс
получим тело, объём которого
Пример
3.
Вычислить
объём тора, полученного вращением круга,
ограниченного окружностью 
вокруг оси абсцисс.
Р
ешение.
Указанный круг снизу ограничен графиком
функции
,
а сверху –
.
Разность квадратов этих функций:
Искомый объём
(графиком подынтегральной функции является верхняя полуокружность, поэтому написанный выше интеграл – это площадь полукруга).
Пример 4.
Параболический сегмент с основанием
,
и высотой
,
вращается вокруг основания. Вычислить
объём получающегося тела («лимон»
Кавальери).
Р
ешение.
Параболу расположим как показано на
рисунке. Тогда её уравнение
,
причем
.
Найдём значение параметра
:
.
Итак, искомый объём:
Теорема
3.
Пусть
криволинейная трапеция, ограниченная
графиком непрерывной неотрицательной
функции
,
осью
и отрезками прямых
и
,
причём
,
вращается вокруг оси
.
Тогда объём получающегося тела вращения
может быть найден по формуле
(3)
Идея
доказательства.
Разбиваем отрезок
точками
,
на части и проводим прямые
.
Вся трапеция разложится на полоски,
которые можно считать приближенно
прямоугольниками с основанием
и высотой
.
Получающийся при
вращении такого прямоугольника цилиндр
разрежем по образующей и развернём.
Получим «почти» параллелепипед с
размерами:
,
и
.
Его объём
.
Итак, для объёма тела вращения будем
иметь приближенноё равенство
Для получения
точного равенства надо перейти к пределу
при 
.
Написанная выше сумма есть интегральная
сумма для функции 
,
следовательно, в пределе получим интеграл
из формулы (3). Теорема доказана.
Замечание
1.
В теоремах
2 и 3 условие
можно опустить: формула (2) вообще
нечувствительна к знаку
,
а в формуле (3) достаточно
заменить на
.
Пример
5.
Параболический сегмент (основание
,
высота
)
вращается вокруг высоты. Найти объём
получающегося тела.
Решение.
Расположим
параболу как показано на рисунке. И хотя
ось вращения пересекает фигуру, она –
ось – является осью симметрии. Поэтому
надо рассматривать лишь правую половину
сегмента. Уравнение параболы
,
причем
,
значит
.
Имеем для объёма:
Замечание
2.
Если
криволинейная граница криволинейной
трапеции задана параметрическими
уравнениями
,
,
и
,
то можно использовать формулы (2) и (3) с
заменой
на
и
на
при измененииt
от
до
.
Пример
6.
Фигура
ограничена первой аркой циклоиды
,
,
,
и осью абсцисс. Найти объём тела,
полученного вращением этой фигуры
вокруг: 1) оси
;
2) оси
.
Решение.
1) Общая формула
В нашем случае:
2) Общая формула
Для нашей фигуры:
Предлагаем студентам самостоятельно провести все вычисления.
Замечание
3.
Пусть
криволинейный сектор, ограниченный
непре-рывной линией
и лучами
,
,
вращается вокруг полярной оси. Объём
получающегося тела можно вычислить по
формуле.
Пример
7.
Часть
фигуры, ограниченной кардиоидой
,
лежащая вне окружности
,
вращается вокруг полярной оси. Найти
объём тела, которое при этом получается.
Решение.
Обе линии, а значит и фигура, которую
они ограничивают, симметричны относительно
полярной оси. Поэтому необходимо
рассматривать лишь ту часть, для которой
.
Кривые пересекаются при
и
при
.
Далее, фигуру можно рассматривать как
разность двух секторов, а значит и объём
вычислять как разность двух интегралов.
Имеем:
Задачи для самостоятельного решения.
1. Круговой сегмент,
основание которого 
,
высота
,
вращается вокруг основания. Найти объём
тела вращения.
2. Найти объём
параболоида вращения, основание которого
,
а высота равна
.
3. Фигура, ограниченная
астроидой
,
вращает-ся вокруг оси абсцисс. Найти
объём тела, которое получается при этом.
4. Фигура, ограниченная
линиями
и
вращается вокруг оси абсцисс. Найти
объём тела вращения.
Пусть T - тело вращения, образованное вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, расположенной в верхней полуплоскости и ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a и x=b и графиком непрерывной функции y=f(x) .
Докажем, что это тело вращения кубируемо и его объем выражается формулой
V=\pi \int\limits_{a}^{b} f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_{a}^{b}y^2\,dx\,.
Сначала докажем, что это тело вращения регулярно, если в качестве \Pi выберем плоскость Oyz , перпендикулярную оси вращения. Отметим, что сечение, находящееся на расстоянии x от плоскости Oyz , является кругом радиуса f(x) и его площадь S(x) равна \pi f^2(x) (рис. 46). Поэтому функция S(x) непрерывна в силу непрерывности f(x) . Далее, если S(x_1)\leqslant S(x_2) , то это значит, что . Но проекциями сечений на плоскость Oyz являются круги радиусов f(x_1) и f(x_2) с центром O , и из f(x_1)\leqslant f(x_2) вытекает, что круг радиуса f(x_1) содержится в круге радиуса f(x_2) .
Итак, тело вращения регулярно. Следовательно, оно кубируемо и его объем вычисляется по формуле
V=\pi \int\limits_{a}^{b} S(x)\,dx= \pi \int\limits_{a}^{b}f^2(x)\,dx\,.
Если бы криволинейная трапеция была ограничена и снизу и сверху кривыми y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , то
V= \pi \int\limits_{a}^{b}y_2^2\,dx- \pi \int\limits_{a}^{b}y_1^2\,dx= \pi\int\limits_{a}^{b}\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.
Формулой (3) можно воспользоваться и для вычисления объема тела вращения в случае, когда граница вращающейся фигуры задана параметрическими уравнениями. В этом случае приходится пользоваться заменой переменной под знаком определенного интеграла.
В некоторых случаях оказывается удобным разлагать тела вращения не на прямые круговые цилиндры, а на фигуры иного вида.
Например, найдем объем тела, получаемого при вращении криволинейной трапеции вокруг оси ординат . Сначала найдем объем, получаемый при вращении прямоугольника с высотой y#, в основании которого лежит отрезок . Этот объем равен разности объемов двух прямых круговых цилиндров
\Delta V_k= \pi y_k x_{k+1}^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_{k+1}+x_k\bigr) \bigl(x_{k+1}-x_k\bigr).
Но теперь ясно, что искомый объем оценивается сверху и снизу следующим образом:
2\pi \sum_{k=0}^{n-1} m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_{k=0}^{n-1} M_kx_k\Delta x_k\,.
Отсюда легко следует формула объёма тела вращения вокруг оси ординат :
V=2\pi \int\limits_{a}^{b} xy\,dx\,.
Пример 4. Найдем объем шара радиуса R .
Решение. Не теряя общности, будем рассматривать круг радиуса R с центром в начале координат. Этот круг, вращаясь вокруг оси Ox , образует шар. Уравнение окружности имеет вид x^2+y^2=R^2 , поэтому y^2=R^2-x^2 . Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, найдем сначала половину искомого объема
\frac{1}{2}V= \pi\int\limits_{0}^{R}y^2\,dx= \pi\int\limits_{0}^{R} (R^2-x^2)\,dx= \left.{\pi\!\left(R^2x- \frac{x^3}{3}\right)}\right|_{0}^{R}= \pi\!\left(R^3- \frac{R^3}{3}\right)= \frac{2}{3}\pi R^3.
Следовательно, объем всего шара равен \frac{4}{3}\pi R^3 .
Пример 5. Вычислить объем конуса, высота которого h и радиус основания r .
Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось Ox совпала с высотой h (рис. 47), а вершину конуса примем за начало координат. Тогда уравнение прямой OA запишется в виде y=\frac{r}{h}\,x .
Пользуясь формулой (3), получим:
V=\pi \int\limits_{0}^{h} y^2\,dx= \pi \int\limits_{0}^{h} \frac{r^2}{h^2}\,x^2\,dx= \left.{\frac{\pi r^2}{h^2}\cdot \frac{x^3}{3}}\right|_{0}^{h}= \frac{\pi}{3}\,r^2h\,.
Пример 6. Найдем объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс астроиды \begin{cases}x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end{cases} (рис. 48).
Решение. Построим астроиду. Рассмотрим половину верхней части астроиды, расположенной симметрично относительно оси ординат. Используя формулу (3) и меняя переменную под знаком определенного интеграла, найдем для новой переменной t пределы интегрирования.
Если x=a\cos^3t=0 , то t=\frac{\pi}{2} , а если x=a\cos^3t=a , то t=0 . Учитывая, что y^2=a^2\sin^6t и dx=-3a\cos^2t\sin{t}\,dt , получаем:
V=\pi \int\limits_{a}^{b} y^2\,dx= \pi \int\limits_{\pi/2}^{0} a^2\sin^6t \bigl(-3a\cos^2t\sin{t}\bigr)\,dt= \ldots= \frac{16\pi}{105}\,a^3.
Объем всего тела, образованного вращением астроиды, будет \frac{32\pi}{105}\,a^3 .
Пример 7. Найдем объем тела, получаемого при вращении вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и первой аркой циклоиды \begin{cases}x=a(t-\sin{t}),\\ y=a(1-\cos{t}).\end{cases} .
Решение. Воспользуемся формулой (4): V=2\pi \int\limits_{a}^{b}xy\,dx , и заменим переменную под знаком интеграла, учитывая, что первая арка циклоиды образуется при изменении переменной t от 0 до 2\pi . Таким образом,
\begin{aligned}V&= 2\pi \int\limits_{0}^{2\pi} a(t-\sin{t})a(1-\cos{t})a(1-\cos{t})\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_{0}^{2\pi} (t-\sin{t})(1-\cos{t})^2\,dt=\\ &= 2\pi a^3 \int\limits_{0}^{2\pi}\bigl(t-\sin{t}- 2t\cos{t}+ 2\sin{t}\cos{t}+ t\cos^2t- \sin{t}\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.{2\pi a^3\!\left(\frac{t^2}{2}+ \cos{t}- 2t\sin{t}- 2\cos{t}+ \sin^2t+ \frac{t^2}{4}+ \frac{t}{4}\sin2t+ \frac{1}{8}\cos2t+ \frac{1}{3}\cos^3t\right)}\right|_{0}^{2\pi}=\\ &= 2\pi a^3\!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac{1}{8}+ \frac{1}{3}-1+2- \frac{1}{8}- \frac{1}{3}\right)= 6\pi^3a^3. \end{aligned}
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Использование интегралов для нахождения объемов тел вращения
Практическая полезность математики обусловлена тем, что без
конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использование современной техники. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, пользоваться общеупотребительной техникой, находить в справочниках применять нужные формулы, составлять несложные алгоритмы для решения задач. В современном обществе все больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связано с непосредственным применением математики. Таким образом, для школьника математика становится профессиональным значимым предметом. Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитывает умение действовать по заданному алгоритму и конструировать новые алгоритмы.
Изучая тему о применении интеграла для вычисления объемов тел вращения, я предлагаю учащимся на факультативных занятиях рассмотреть тему: «Объемы тел вращения с применением интегралов». Ниже привожу методические рекомендации по рассмотрению данной темы:
1.Площадь плоской фигуры.
Из курса алгебры мы знаем, что к понятию определенного интеграла привели задачи практического характера..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">
https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.
Для нахождения объема тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Оx, ограниченной прерывной линией y=f(x), осью Оx, прямыми x=a и x=b вычислим по формуле
https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y
3.Объем цилиндра.
https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Конус получается путем вращения прямоугольного треугольника АВС(С=90) вокруг оси Оx на котором лежит катет АС.
Отрезок АВ лежит на прямой y=kx+c, где https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.
Пусть а=0, b=H (Н- высота конуса), тогда Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src=">.
5.Объем усеченного конуса.
Усеченный конус можно получить путем вращения прямоугольной трапецией АВСD (СDOx) вокруг оси Оx.
Отрезок АВ лежит на прямой y=kx+c, где 
, c=r.
Так как прямая проходит через точку А (0;r).
Таким образом прямая имеет вид https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">
Пусть а=0, b=H (Н- высота усеченного конуса), тогда https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src=">= 
.
6. Объем шара.
Шар можно получить путем вращения круга с центром (0;0) вокруг оси Оx. Полуокружность, расположенная над осью Оx, задается уравнением
https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.
Кроме нахождения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла (см. 7.2.3.) важнейшим приложением темы является вычисление объема тела вращения . Материал простой, но читатель должен быть подготовленным: необходимо уметь решать неопределенные интегралы средней сложности и применять формулу Ньютона-Лейбница в определенном интеграле, н ужны также уверенные навыки построения чертежей. Вообще в интегральном исчислении много интересных приложений, с помощью определенного интеграла можно вычислить площадь фигуры, объем тела вращения, длину дуги, площадь поверхности тела и многое другое. Представьте некоторую плоскую фигуру на координатной плоскости. Представили? ... Теперь данную фигуру можно ещё и вращать, причем вращать двумя способами:
– вокруг оси абсцисс;
– вокруг оси ординат.
Разберём оба случая. Особенно интересен второй способ вращения, он вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле решение практически такое же, как и в более распространенном вращении вокруг оси абсцисс. Начнем с наиболее популярной разновидности вращения.
Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси OX
Пример 1
Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси .
Решение: Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры . То есть, на плоскости XOY необходимо построить фигуру, ограниченную линиями , , при этом не забываем, что уравнение задаёт ось . Чертёж здесь довольно прост:
Искомая плоская фигура заштрихована синим цветом, именно она и вращается вокруг оси . В результате вращения получается такая немного яйцевидная летающая тарелка с двумя острыми вершинами на оси OX , симметричная относительно оси OX . На самом деле у тела есть математическое название, посмотрите в справочнике.
Как вычислить объем тела вращения? Если тело образовано в результате вращения вокруг оси OX , его мысленно разделяют на параллельные слои малой толщины dx , которые перпендикулярны оси OX . Объём всего тела равен, очевидно, сумме объёмов таких элементарных слоёв. Каждый слой, как круглая долька лимона, - низенький цилиндр высотой dx и с радиусом основания f (x ). Тогда объём одного слоя есть произведение площади основания πf 2 на высоту цилиндра (dx ), или π∙f 2 (x )∙dx . А площадь всего тела вращения есть сумма элементарных объёмов, или соответствующий определённый интеграл. Объем тела вращения можно вычислить по формуле:
.
Как расставить пределы интегрирования «а» и «бэ», легко догадаться из выполненного чертежа. Функция … что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская фигура ограничена графиком параболы сверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле. В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси OX . Это ничего не меняет – функция в формуле возводится в квадрат: f 2 (x ), таким образом, объем тела вращения всегда неотрицателен , что весьма логично. Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:
.
Как мы уже отмечали, интеграл почти всегда получается простой, главное, быть внимательным.
Ответ:
В ответе нужно обязательно указать размерность – кубические единицы . То есть, в нашем теле вращения примерно 3,35 «кубиков». Почему именно кубические единицы ? Потому что это наиболее универсальная формулировка. Могут быть кубические сантиметры, могут быть кубические метры, могут быть кубические километры и т.д., это уж, сколько зеленых человечков ваше воображение поместит в летающую тарелку.
Пример 2
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями , , .
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Пример 3
Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями , , и .
Решение: Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями , , , , не забывая при этом, что уравнение x = 0 задает ось OY :
Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси OX получается плоский угловатый бублик (шайба с двумя коническими поверхностями).
Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел . Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси OX получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через V 1 .
Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси OX , то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через V 2 .
Очевидно, что разность объемов, V = V 1 - V 2, - это объем нашего «бублика».
Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:
1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой , поэтому:
2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой , поэтому:
3) Объем искомого тела вращения: 
Ответ:
Любопытно, что в данном случае решение можно проверить, используя школьную формулу для вычисления объема усеченного конуса.
Само решение чаще оформляют короче, примерно в таком духе:
I. Объемы тел вращения. Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца главу XII, п°п° 197, 198* Разберите подробно примеры, приведенные в п° 198.
508. Вычислить объем тела, образуемого вращением эллипсаВокруг оси Ох.
Таким образом,
530. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги синусоиды у = sin х от точки X = 0 до точки X = It.
531. Вычислить площадь поверхности конуса с высотой h и радиусом г.
532. Вычислить площадь поверхности, образованной
вращением астроиды х3 -)- у* — а3 вокруг оси Ох.
533. Вычислить площадь поверхности, образованной цращением петли кривой 18 уг — х (6 — х)г вокруг оси Ох.
534. Найти поверхность тора, производимого вращением круга X2 - j - (у—З)2 = 4 вокруг оси Ох.
535. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением окружности X = a cost, y = asint вокруг оси Ох.
536. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением петли кривой х = 9t2, у = St — 9t3 вокруг оси Ох.
537. Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой х = е*sint, у = el cost вокруг оси Ox
от t = 0 до t = —.
538. Показать, что поверхность, производимая вращением дуги циклоиды х = a (q> —sin ф), у = а (I — cos ф) вокруг оси Oy, равна 16 и2 о2.
539. Найти поверхность, полученную вращением кардиоидыВокруг полярной оси.
540. Найти площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты
Вокруг полярной оси.
Дополнительные задачи к главе IV
Площади плоских фигур
541. Найтивсю площадь области, ограниченной кривой
И осью Ох.
542. Найти площадь области, ограниченной кривой
И осью Ох.
543. Найти часть площади области, расположенной в первом квадранте и ограниченной кривой
л осями координат.
544. Найти площадь области, содержащейся внутри
петли:
545. Найти площадь области, ограниченной одной петлей кривой:
546. Найти площадь области, содержащейся внутри петли:
547. Найти площадь области, ограниченной кривой
И осью Ох.
548. Найти площадь области, ограниченной кривой
И осью Ох.
549. Найти площадь области, ограниченной осью Oxr
прямойИ кривой
