Работа внешней силы при вращении тела. Работа вращения твердого тела. Кинетическая энергия при вращательном движении. Момент инерции


Здесь - это момент импульса относительно оси вращения, то есть проекция на ось момента импульса, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси (см. лекцию 2). - это момент внешних сил относительно оси вращения, то есть проекция на ось результирующего момента внешних сил, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси, причем выбор этой точки на оси, как и в случае с значения не имеет. Действительно (рис. 3.4), где - составляющая силы, приложенной к твердому телу, перпендикулярная оси вращения, - плечо силы относительно оси.

Рис. 3.4.

Поскольку ( - момент инерции тела относительно оси вращения), то вместо можно записать

(3.8)


Вектор всегда направлен вдоль оси вращения, а - это составляющая вектора момента силы вдоль оси.

В случае получаем соответственно и момент импульса относительно оси сохраняется. При этом сам вектор L , определенный относительно какой-либо точки на оси вращения, может меняться. Пример такого движения показан на рис. 3.5.

Рис. 3.5.

Стержень АВ, шарнирно закрепленный в точке А, вращается по инерции вокруг вертикальной оси таким образом, что угол между осью и стержнем остается постоянным. Вектор момента импульса L , относительно точки А движется по конический поверхности с углом полураствора однако проекция L на вертикальную ось остается постоянной, поскольку момент силы тяжести относительно этой оси равен нулю.

Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось вращения неподвижна).

Скорость i -й частицы тела

(3.11)

где - расстояние частицы до оси вращение Кинетическая энергия

(3.12)

так как угловая скорость вращения для всех точек одинакова.

В соответствии с законом изменения механической энергии системы элементарная работа всех внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:


опустим, что диск точила вращается по инерции с угловое скоростью и мы останавливаем его, прижимая какой-либо предмет к краю диска с постоянным усилием. При этом на диск будет действовать постоянная по величине сила направленная перпендикулярно его оси. Работа этой силы


где - момент инерции диска точила вместе с якорем электромотора.

Замечание. Если силы таковы, что то работу они не производят.

Свободные оси. Устойчивость свободного вращения.

При вращении тела вокруг неподвижной оси эта ось удерживается в неизменном положении подшипниками. При вращении несбалансированных частей механизмов оси (валы) испытывают определенную динамическую нагрузку, Возникают вибрации, тряска, и механизмы могут разрушиться.

Если твердое тело раскрутить вокруг произвольной оси, жестко связанной с телом, и высвободить ось из подшипников, то ее направление в пространстве, вообще говоря, будет меняться. Для того, чтобы произвольная ось вращения тела сохраняла свое направление неизменным, к ней необходимо приложить определенные силы. Возникающие при этом ситуации показаны на рис. 3.6.

Рис. 3.6.

В качестве вращающегося тела здесь использован массивный однородный стержень АВ, прикрепленный к достаточно эластичной оси (изображена двойными штриховыми линиями). Эластичность оси позволяет визуализировать испытываемые ею динамические нагрузки. Во всех случаях ось вращения вертикальна, жестко связана со стержнем и укреплена в подшипниках; стержень раскручен вокруг этой оси и предоставлен сам себе.

В случае, изображенном на рис. 3.6а, ось вращения является для точки В стержня главной, но не центральной, Ось изгибается, со стороны оси на стержень действует сила обеспечивающая его вращение (в НИСО, связанной со стержнем, эта сила уравновешивает центробежную силу инерции). Со стороны стержня на ось действует сила уравновешенная силами со стороны подшипников.

В случае рис. 3.6б ось вращения проходит через центр масс стержня и является для него центральной, но не главной. Момент импульса относительно центра масс О не сохраняется и описывает коническую поверхность. Ось сложным образом деформируется (изламывается), со стороны оси на стержень действуют силы и момент которых обеспечивает приращение (В НИСО, связанной со стержнем, момент упругих сил компенсирует момент центробежных сил инерции, действующих на одну и другую половины стержня). Со стороны стержня на ось действуют силы и направленные противоположно силам и Момент сил и уравновешен моментом сил и возникающих в подшипниках.

И только в том случае, когда ось вращения совпадает с главной центральной осью инерции тела (рис.3.6в), раскрученный и предоставленный сам себе стержень не оказывает на подшипники никакого воздействия. Такие оси называют свободными осями, потому что, если убрать подшипники, они будут сохранять свое направление в пространстве неизменным.

Иное дело, будет ли это вращение устойчивым по отношению к малым возмущениям, всегда имеющим место в реальных условиях. Опыты показывают, что вращение вокруг главных центральных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции является устойчивым, а вращение вокруг оси с промежуточным значением момента инерции - неустойчивым. В этом можно убедиться, подбрасывая вверх тело в виде параллелепипеда, раскрученное вокруг одной из трех взаимно перпендикулярных главных центральных осей (рис. 3.7). Ось AA" соответствует наибольшему, ось BB" - среднему, а ось CC" - наименьшему моменту инерции параллелепипеда. Если подбросить такое тело, сообщив ему быстрое вращение вокруг оси AA" или вокруг оси CC", можно убедиться в том, что это вращение является вполне устойчивым. Попытки заставить тело вращаться вокруг оси BB" к успеху не приводят - тело движется сложным образом, кувыркаясь в полете.

- твердое тело - углы Эйлера

См. также:
Кинетическая энергия - величина аддитивная. Поэтому кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех п материальных точек, на которые это тело можно мысленно разбить: Если тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоро- 1 м I 1...
(ФИЗИКА. МЕХАНИКА)
  • Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела
    Кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех п материальных точек (частиц), на которые это тело можно мысленно разбить (рис. 6.8) Если тело вращается вокруг неподвижной оси Oz с угловой скоростью со, то линейная скорость любой /-той частицы,...
    (КЛАССИЧЕСКАЯ И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА)
  • Рис. 6.4 Такое движение тела, при котором какие- нибудь две его точки и В на рис. 6.4) остаются неподвижными, называют вращением вокруг неподвижной оси. Можно показать, что в этом случае неподвижной остаётся любая точка тела, лежащая на прямой, соединяющей точки Aw В. Ось,...
    (ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.)
  • Вращение тела вокруг неподвижной оси
    Пусть твёрдое тело за время ск совершило бесконечно малый поворот на угол с/ф относительно неподвижной в данной системе отсчёта оси. Этот угол поворота с/ср является мерой изменения положения тела, вращающегося относительно неподвижной оси. По аналогии с с/r, будем называть с/ф угловым перемещением....
    (ФИЗИКА: МЕХАНИКА, ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ)
  • Аналогия между поступательным и вращательным движением
    Эта аналогия обсуждалась выше и следует из подобия основных уравнений поступательного и вращательного движений. Как ускорение дается производной по времени скорости и второй производной перемещения, так и угловое ускорение дается производной по времени угловой скорости и второй производной углового перемещения....
    (ФИЗИКА)
  • Поступательное и вращательное движение
    Поступательное движение Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему первоначальному положению. Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: при поступательном движении тела...
    (ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА)
  • Сила трения всегда направлена вдоль поверхности соприкосновения в сторону, противоположную движению. Она всегда меньше силы нормального давления.

    Здесь:
    F - гравитационная сила, с которой два тела притягиваются друг к другу (Ньютон),
    m 1 - масса первого тела (кг),
    m 2 - масса второго тела (кг),
    r - расстояние между центрами масс тел (метр),
    γ - гравитационная постоянная 6.67 · 10 -11 (м 3 /(кг · сек 2)),

    Напряжённость гравитацио́нного по́ля - векторная величина, характеризующая гравитационное поле в данной точке и численно равная отношению силы тяготения, действующей на тело, помещённое в данную точку поля, к гравитационной массе этого тела:

    12. Изучая механику твердого тела, мы использовали понятие абсолютно твердого тела. Но в природе не существует абсолютно твердых тел, т.к. все реальные тела под действием сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются .
    Деформация называется упругой , если после того, как на тело перестали действовать внешние силы тело восстанавливает первоначальные размеры и форму. Деформации, сохраняющиеся в теле после прекращения действия внешних сил, называютсяпластическими (или остаточными )

    РАБОТА И МОЩНОСТЬ

    Работа силы.
    Работа постоянной силы, действующей на прямолинейно движущееся тело
    , где - перемещение тела, - сила, действующая на тело.

    В общем случае, работа переменной силы, действующей на тело, движущееся по криволинейной траектории . Работа измеряется в Джоулях [Дж].

    Работа момента сил, действующего на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси , где - момент силы, - угол поворота.
    В общем случае .
    Совершенная нат телом работа переходит в его кинетическую энергию.
    Мощность - это работа за единицу времени (1 с): . Мощность измеряется в Ваттах [Вт].

    14.Кинети́ческая эне́ргия - энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательногодвижения.

    Рассмотрим систему, состоящую из одной частицы, и запишем второй закон Ньютона:

    Есть результирующая всех сил, действующих на тело. Скалярно умножим уравнение на перемещение частицы . Учитывая, что , Получим:

    Если система замкнута, то есть , то , а величина

    остаётся постоянной. Эта величина называется кинетической энергией частицы. Если система изолирована, то кинетическая энергия является интегралом движения.

    Для абсолютно твёрдого тела полную кинетическую энергию можно записать в виде суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движения:

    Масса тела

    Скорость центра масс тела

    Момент инерции тела

    Угловая скорость тела.

    15.Потенциальная энергия - скалярная физическая величина, характеризующая способность некого тела (или материальной точки) совершать работу за счет своего нахождения в поле действия сил.

    16. Растяжение или сжатие пружины приводит к запасанию ее потенциальной энергии упругой деформации. Возвращение пружины к положению равновесия приводит к высвобождению запасенной энергии упругой деформации. Величина этой энергии равна:

    Потенциальная энергия упругой деформации..

    - работа силы упругости и изменение потенциальной энергии упругой деформации.

    17.консервати́вные си́лы (потенциальные силы) - силы, работа которых не зависит от формы траектории (зависит только от начальной и конечной точки приложения сил) . Отсюда следует определение: консервативные силы - такие силы, работа которых по любой замкнутой траектории равна 0

    Диссипати́вные си́лы - силы, при действии которых на механическую систему её полная механическая энергия убывает (то есть диссипирует), переходя в другие, немеханические формы энергии, например, в теплоту.

    18. Вращением вокруг неподвижной оси называется такое движение твердого тела, при котором во все время движения две его точки остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все остальные точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, по окружностям, центры которых лежат на оси вращения.

    Момент инерции - скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

    Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J a , равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

    ,

    § m i - масса i -й точки,

    § r i - расстояние от i -й точки до оси.

    Осевой момент инерции тела J a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

    ,

    Если тело приводится во вращение силой , то его энергия возрастает на величину затраченной работой. Также как и в поступательном движении, эта работа зависит от силы и произведенного перемещения. Однако перемещение теперь угловое и выражение для работы при перемещении материальной точки неприменимо. Т.к. тело абсолютно твердое, то работа силы , хотя она приложена в точке, равна работе, затраченной на поворот всего тела.

    При повороте на угол точка приложения силы проходит путь . При этом работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения: ; Из рис. видно, что -плечо силы,а -момент силы.

    Тогда элементарная работа: . Если , то .

    Работа вращения идёт на увеличение кинетической энергии тела

    ; Подставив , получим: или с учетом уравнения динамики: , видно, что , т.е. то же самое выражение.

    6.Неинерциальные системы отсчёта

    Конец работы -

    Эта тема принадлежит разделу:

    Кинематика поступательного движения

    Физические основы механики.. кинематика поступательного движения.. механическое движение формой существования..

    Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

    Что будем делать с полученным материалом:

    Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

    Все темы данного раздела:

    Механическое движение
    Материя, как известно, существует в двух видах: в виде вещества и поля. К первому виду относятся атомы и молекулы, из которых построены все тела. Ко второму виду относятся все виды полей: гравитаци

    Пространство и время
    Все тела существуют и движутся в пространстве и времени. Эти понятия являются основополагающими для всех естественных наук. Любое тело имеет размеры, т.е. свою пространственную протяженность

    Система отсчета
    Для однозначного определения положения тела в произвольный момент времени необходимо выбрать систему отсчета - систему координат, снабженнуя часами и жестко связаннуя с абсолютно твердым телом, по

    Кинематические уравнения движения
    При движении т.М ее координаты и меняются со временем, поэтому для задания закона движения необходимо указать вид фун

    Перемещение, элементарное перемещение
    Пусть точка М движется от А к В по криволинейному пути АВ. В начальный момент ее радиус-вектор равен

    Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения
    Движение точки характеризуется также ускорением-быстротой изменения скорости. Если скорость точки за произвольное время

    Поступательное движение
    Простейшим видом механического движения твердого тела является поступательное движение, при котором прямая, соединяющая любые две точки тела перемещается вместе с телом, оставаясь параллельной| сво

    Закон инерции
    В основе классической механики лежат три закона Ньютона, сформулированные им в сочинении «Математические начала натуральной философии», опубликованном в 1687г. Эти законы явились результатом гениал

    Инерциальная система отсчета
    Известно, что механическое движение относительно и его характер зависит от выбора системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всех системах отсчета. Например, тела, лежащие на гладком п

    Масса. Второй закон Ньютона
    Основная задача динамики заключается в определении характеристик движения тел под действием приложенных к ним сил. Из опыта известно, что под действием силы

    Основной закон динамики материальной точки
    Уравнение описывает изменение движения тела конечных размеров под действием силы при отсутствии деформации и если оно

    Третий закон Ньютона
    Наблюдения и опыты свидетельствуют о том, что механическое действие одного тела на другое является всегда взаимодействием. Если тело 2 действует на тело 1, то тело 1 обязательно противодействует те

    Преобразования Галилея
    Они позволяют определить кинематические величины при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Возьмем

    Принцип относительности Галилея
    Ускорение какой-либо точки во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно одинаково:

    Сохраняющиеся величины
    Любое тело или система тел представляют собой совокупность материальных точек или частиц. Состояние такой системы в некоторый момент времени в механике определяется заданием координат и скоростей в

    Центр масс
    В любой системе частиц можно найти точку, называемую центром масс

    Уравнение движения центра масс
    Основной закон динамики можно записать в иной форме, зная понятие центра масс системы:

    Консервативные силы
    Если в каждой точке пространства на частицу, помещенную туда, действует сила, говорят, что частица находится в поле сил, например в поле сил тяжести, гравитационной, кулоновской и других сил. Поле

    Центральные силы
    Всякое силовое поле вызвано действием определенного тела или системы тел. Сила, действующая на частицу в этом поле об

    Потенциальная энергия частицы в силовом поле
    То обстоятельство, что работа консервативной силы (для стационарного поля) зависит только от начального и конечного положений частицы в поле, позволяет ввести важное физическое понятие потенциально

    Связь между потенциальной энергией и силой для консервативного поля
    Взаимодействие частицы с окружающими телами можно описать двумя способами: с помощью понятия силы или с помощью понятия потенциальной энергии. Первый способ более общий, т.к. он применим и к силам

    Кинетическая энергия частицы в силовом поле
    Пусть частица массой движется в силов

    Полная механическая энергия частицы
    Известно, что приращение кинетической энергии частицы при перемещении в силовом поле равно элементарной работе всех сил, действующих на частицу:

    Закон сохранения механической энергии частицы
    Из выражения следует, что в стационарном поле консервативных сил полная механическая энергия частицы может изменяться

    Кинематика
    Поворот тела на некоторый угол можно

    Момент импульса частицы. Момент силы
    Кроме энергии и импульса существует ещё одна физическая величина, с которой связан закон сохранения - это момент импульса. Моментом импульса частицы

    Момент импульса и момент силы относительно оси
    Возьмем в интересующей нас системе отсчета произвольную неподвижную ось

    Закон сохранения момента импульса системы
    Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц, на которые действуют также внешние силы и

    Таким образом, момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным, не изменяется со временем
    Это справедливо относительно любой точки инерциальной системы отсчета: . Моменты импульса отдельных частей системы м

    Момент инерции твердого тела
    Рассмотрим твердое тело, которое мож

    Уравнение динамики вращения твердого тела
    Уравнение динамики вращения твердого тела можно получить, записав уравнение моментов для твердого тела, вращающегося вокруг произвольной оси

    Кинетическая энергия вращающегося тела
    Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, проходящей через него. Разобьем его на частицы с малыми объемами и массами

    Центробежная сила инерции
    Рассмотрим диск, который вращается вместе с шариком на пружине, надетой на спицу, рис.5.3. Шарик находится

    Сила Кориолиса
    При движении тела относительно вращающейся СО, кроме, появляется ещё одна сила-сила Кориолиса или кориолисова сила

    Малые колебания
    Рассмотрим механическую систему, положение которой может быть определено с помощъю одной величины, например х. В этом случае говорят, что система имеет одну степень свободы.Величиной х может быть

    Гармонические колебания
    Уравнение 2-го Закона Нъютона в отсутствие сил трения для квазиупругой силы вида имеет вид:

    Математический маятник
    Это материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити длиною, совершающая колебания в вертикальной плоск

    Физический маятник
    Это твердое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной оси, связанной с телом. Ось перпендикулярна рисунку и нап

    Затухающие колебания
    В реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводят к уменьшению потенциальной энергии системы, и колебания будут затухающими.В простейшем случае

    Автоколебания
    При затухающих колебаниях энергия системы постепенно уменьшается и колебания прекращаются. Для того, чтобы их сделать незатухающими, необходимо пополнять энергию системы извне в определенные момент

    Вынужденные колебания
    Если колебательная система, кроме сил сопротивления, подвергается действию внешней периодической силы, изменяющейся по гармоническому закону

    Резонанс
    Кривая зависимости амплитуды вынужденых колебаний от приводит к тому, что при некоторой определенной для данной систе

    Распространение волн в упругой среде
    Если в каком либо месте упругой среды (твёрдой, жидкой, газообразной) поместить источник колебаний, то из-за взаимодействия между частицами колебание будет распространяться в среде от частицы к час

    Уравнение плоской и сферической волн
    Уравнение волны выражает зависимость смещения колеблющейся частицы от ее кординат,

    Волновое уравнение
    Уравнение волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Для его установления найдем вторые частные производные по времени и координатам от урав

    Для кинематического описания процесса вращения твердого тела нужно ввести такие понятия как угловое перемещение Δ φ , угловое ускорение ε и угловая скорость ω :

    ω = ∆ φ ∆ t , (∆ t → 0) , ε = ∆ φ ∆ t , (∆ t → 0) .

    Углы выражаются в радианах. За положительное направление вращения принимается направление против часовой стрелки.

    Когда твердое тело вращается относительно неподвижной оси, все точки этого тела перемещаются с одинаковыми угловыми скоростями и ускорениями.

    Рисунок 1. Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр O .

    Если угловое перемещение Δ φ мало, то модуль вектора линейного перемещения ∆ s → некоторого элемента массы Δ m вращающегося твердого тела можно выразить соотношением:

    ∆ s = r ∆ ϕ ,

    в котором r – модуль радиус-вектора r → .

    Между модулями угловой и линейной скоростей можно установить связь посредством равенства

    Модули линейного и углового ускорения также взаимосвязаны:

    a = a τ = r ε .

    Векторы v → и a → = a τ → направлены по касательной к окружности радиуса r .

    Также нам необходимо учесть возникновение нормального или центростремительного ускорения, которое всегда возникает при движении тел по окружности.

    Определение 1

    Модуль ускорения выражается формулой:

    a n = v 2 r = ω 2 r .

    Если разделить вращающееся тело на небольшие фрагменты Δ m i , обозначить расстояние до оси вращения через r i , а модули линейных скоростей через v i , то запись формулы кинестетической энергии вращающегося тела будет иметь вид:

    E k = ∑ i ν m v i 2 2 = ∑ i ∆ m (r i ω) 2 2 = ω 2 2 ∑ i ∆ m i r i 2 .

    Определение 2

    Физическая величина ∑ i ∆ m i r i 2 носит название момента инерции I тела относительно оси вращения. Она зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения:

    I = ∑ i ∆ m i r i 2 .

    В пределе при Δ m → 0 эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в С И – килограмм- метр в квадрате (к г · м 2) . Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде:

    E k = I ω 2 2 .

    В отличие от выражения, которое мы использовали для описания кинестетической энергии поступательно движущегося тела m v 2 2 , вместо массы m в формулу входит момент инерции I . Также мы принимаем во внимание вместо линейной скорости v угловую скорость ω .

    Если для динамики поступательного движения основную роль играет масса тела, то в динамике вращательного движения имеет значение момент инерции. Но если масса – это свойство рассматриваемого твердого тела, которое не зависит от скорости движения и других факторов, то момент инерции зависит от того, вокруг какой оси вращается тело. Для одного и того же тела момент инерции будет определяться различными осями вращения.

    В большинстве задач считается, что ось вращения твердого тела проходит через центр его массы.

    Положение x C , y C центра масс для простого случая системы из двух частиц с массами m 1 и m 2 , расположенными в плоскости X Y в точках с координатами x 1 , y 1 и x 2 , y 2 определяется выражениями:

    x C = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 , y C = m 1 y 1 + m 2 y 2 m 1 + m 2 .

    Рисунок 2. Центр масс C системы из двух частиц.

    В векторной форме это соотношение принимает вид:

    r C → = m 1 r 1 → + m 2 r 2 → m 1 + m 2 .

    Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор r C → центра масс определяется выражением

    r C → = ∑ m i r i → ∑ m i .

    Если мы имеем дело с твердым телом, состоящим из одной части, то в приведенном выражении суммы для r C → необходимо заменить интегралами.

    Центр масс в однородном поле тяготения совпадает с центром тяжести. Это значит, что если мы возьмем тело сложной формы и подвесим его за центр масс, то в однородном поле тяготения это тело будет находиться в равновесии. Отсюда следует способ определения центра масс сложного тела на практике: его необходимо последовательно подвесить за несколько точек, одновременно отмечая по отвесу вертикальные линии.

    Рисунок 3. Определение положения центра масс C тела сложной формы. A 1 , A 2 , A 3 точки подвеса.

    На рисунке мы видим тело, которое подвешено за центр масс. Оно находится в состоянии безразличного равновесия. В однородном поле тяготения равнодействующая сил тяжести приложена к центру масс.

    Мы можем представить любое движение твердого тела как сумму двух движений. Первое поступательное, которое производится со скоростью центра масс тела. Второе – это вращение относительно оси, которая проходит через центр масс.

    Пример 1

    Предположим. Что у нас есть колесо, которое катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Все точки колеса во время движения перемещаются параллельно одной плоскости. Такое движение мы можем обозначить как плоское.

    Определение 3

    Кинестетическая энергия вращающегося твердого тела при плоском движении будет равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, которая проведена через центр масс и располагается перпендикулярно плоскостям, в которых движутся все точки тела:

    E k = m v C 2 2 + I C ω 2 2 ,

    где m – полная масса тела, I C – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

    Рисунок 4. Качение колеса как сумма поступательного движения со скоростью v C → и вращения с угловой скоростью ω = v C R относительно оси O , проходящей через центр масс.

    В механике используется теорема о движении центра масс.

    Теорема 1

    Любое тело или несколько взаимодействующих тел, которые представляют собой единую систему, обладают центром масс. Этот центр масс под воздействием внешних сил перемещается в пространстве как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы.

    На рисунке мы изобразили движение твердого тела, на которое действуют силы тяжести. Центр масс тела движется по траектории, которая близка к параболе, тогда как траектория остальных точек тела является более сложной.

    Рисунок 5. Движение твердого тела под действием силы тяжести.

    Рассмотрим случай, когда твердое тело движется вокруг некоторой неподвижной оси. Момент инерции этого тела инерции I можно выразить через момент инерции I C этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.

    Рисунок 6. К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения.

    Пример 2

    Для примера возьмем твердое тело, форма которого произвольна. Обозначим центр масс С. Выберем систему координат Х У с началом координат 0 . Совместим центр масс и начало координат.

    Одна из осей проходит через центр масс С. Вторая ось пересекает произвольно выбранную точку Р, которая расположена на расстоянии d от начала координат. Выделим некоторый малый элемент массы данного твердого тела Δ m i .

    По определению момента инерции:

    I C = ∑ ∆ m i (x i 2 + y i 2) , I P = ∑ m i (x i - a) 2 + y i - b 2

    Выражение для I P можно переписать в виде:

    I P = ∑ ∆ m i (x i 2 + y i 2) + ∑ ∆ m i (a 2 + b 2) - 2 a ∑ ∆ m i x i - 2 b ∑ ∆ m i y i .

    Два последних члена уравнения обращаются в нуль, так как начало координат в нашем случае совпадает с центром масс тела.

    Так мы пришли к формуле теоремы Штейнера о параллельном переносе оси вращения.

    Теорема 2

    Для тела, которое вращается относительно произвольной неподвижной оси, момент инерции, согласно теореме Штейнера, равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

    I P = I C + m d 2 ,

    где m – полная масса тела.

    Рисунок 7. Модель момента инерции.

    На рисунке ниже изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

    Рисунок 8. Моменты инерции I C некоторых однородных твердых тел.

    В тех случаях, когда мы имеем дело с твердым телом, которое вращается относительно неподвижной оси, мы можем обобщить второй закон Ньютона. На рисунке ниже мы изобразили твердое тело произвольной формы, вращающееся относительно некоторой оси, проходящей через точку О. Ось вращения расположена перпендикулярно плоскости рисунка.

    Δ m i – это произвольный малый элемент массы, на который оказывают воздействие внешние и внутренние силы. Равнодействующая всех сил есть F i → . Ее можно разложить на две составляющие: касательную составляющую F i τ → и радиальную F i r → . Радиальная составляющая F i r → создает центростремительное ускорение a n .

    Рисунок 9. Касательная F i τ → и радиальная F i r → составляющие силы F i → действующей на элемент Δ m i твердого тела.

    Касательная составляющая F i τ → вызывает тангенциальное ускорение a i τ → массы Δ m i . Второй закон Ньютона, записанный в скалярной форме, дает

    ∆ m i a i τ = F i τ sin θ или ∆ m i r i ε = F i sin θ ,

    где ε = a i τ r i – угловое ускорение всех точек твердого тела.

    Если обе части написанного выше уравнения умножить на r i , то мы получим:

    ∆ m i r i 2 ε = F i r i sin θ = F i l i = M i .

    Здесь l i – плечо силы, F i , → M i – момент силы.

    Теперь нужно аналогичные соотношения записать для всех элементов массы Δm i вращающегося твердого тела, а затем просуммировать левые и правые части. Это дает:

    ∑ ∆ m i r i 2 ε = ∑ M i .

    Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на различные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех внешних сил и суммы моментов всех внутренних сил.

    ∑ M = ∑ M i в н е ш н + ∑ M i в н у т р.

    Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, поэтому в правой части остается только сумма моментов всех внешнихсил, которые мы будем обозначать через M . Так мы получили основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

    Определение 4

    Угловое ускорение ε и момент сил M в этом уравнении являются величинами алгебраическими.

    Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки.

    Возможна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины ω → , ε → , M → определяются как векторы, направленные по оси вращения.

    В разделе, посвященном поступательному движению тела, мы ввели понятие импульса тела p → . По аналогии с поступательным движением для вращательного движения мы вводим понятие момента импульса.

    Определение 5

    Момент импульса вращающегося тела – это физическая величина, которая равняется произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения.

    Для обозначения момента импульса используется латинская буква L .

    Поскольку ε = ∆ ω ∆ t ; ∆ t → 0 , уравнение вращательного движения можно представить в виде:

    M = I ε = I ∆ ω ∆ t или M ∆ t = I ∆ ω = ∆ L .

    Получаем:

    M = ∆ L ∆ t ; (∆ t → 0) .

    Мы получили это уравнение для случая, когда I = c o n s t . Но оно будет справедливо и тогда, когда момент инерции тела будет изменяться в процессе движения.

    Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L = I ω относительно данной оси сохраняется: ∆ L = 0 , если M = 0 .

    Определение 6

    Следовательно,

    L = l ω = c o n s t .

    Так мы пришли к закону сохранения момента импульса.

    Пример 3

    В качестве примера приведем рисунок, на котором изображено неупругое вращательное столкновение дисков, которые насажены на общую для них ось.

    Рисунок 10. Неупругое вращательное столкновение двух дисков. Закон сохранения момента импульса: I 1 ω 1 = (I 1 + I 2) ω .

    Мы имеем дело с замкнутой системой. Для любой замкнутой системы закон сохранения момента импульса будет справедливым. Он выполняется и в условиях экспериментов по механике, и в условиях космоса, когда планеты движутся по своим орбитам вокруг звезды.

    Мы можем записать уравнение динамики вращательного движения как для неподвижной оси, так и для оси, которая перемещается равномерно или с ускорением. Вид уравнения не изменится и в том случае, если ось движется ускоренно. Для этого должно выполняться два условия: ось должна проходить через центр массы тела, а ее направление в пространстве остается неизменным.

    Пример 4

    Предположим, что у нас есть тело (шар или цилиндр), которое катится по наклонной плоскости с некоторым трением.

    Рисунок 11. Качение симметричного тела по наклонной плоскости.

    Ось вращения O проходит через центр масс тела. Моменты силы тяжести m g → и силы реакции N → относительно оси O равны нулю. Момент M создает только сила трения: M = F т р R .

    Уравнение вращательного движения:

    I C ε = I C a R = M = F т р R ,

    где ε – угловое ускорение катящегося тела, a – линейное ускорение его центра масс, I C – момент инерции относительно оси O , проходящей через центр масс.

    Второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс записывается в виде:

    m a = m g sin α - F т р.

    Исключая из этих уравнений F т р, получим окончательно:

    α = m g sin θ I C R 2 + m .

    Из этого выражения видно, что быстрее будет скатываться с наклонной плоскости тело, обладающее меньшим моментом инерции. Например, у шара I C = 2 5 m R 2 , а у сплошного однородного цилиндра I C = 1 2 m R 2 . Следовательно, шар будет скатываться быстрее цилиндра.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter



    Похожие статьи

    © 2024 parki48.ru. Строим каркасный дом. Ландшафтный дизайн. Строительство. Фундамент.