Исследовательская работа "логические задачи". Научная работа: Математическая логика и логика здравого смысла Актуальность выбранной темы
ХI РЕГИОНАЛЬНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ «КОЛМОГОРОВСКИЕ ЧТЕНИЯ»
Секция «Математика»
Тема
«Решение логических задач»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное
школа №2 ст. Архонская,
7 класс.
Научный руководитель
учитель математики МБОУ СОШ №2 ст. Архонская
Тримасова Н.И.
«Решение логических задач»
7 класс
учреждение средняя общеобразовательная
школа №2, ст. Архонская.
Аннотация
В данной работе рассматриваются разные способы решения логических задач и разнообразие приемов. Каждый из них имеет свою область применения. Кроме этого, в работе можно познакомиться с основными понятиями направления "математики без формул" - математической логики, узнать о создателях этой науки. Ещё можно увидеть результаты диагностики «решение логических задач среди учащихся среднего звена».
Содержание
1.Введение_____________________________________________________ 4
2.Основоположники науки «логика»_____________________________ 6
3.Как научиться решать логические задачи?______________________ _8
4. Типы и способы решения логических задач______________________ 9
4.1 Задачи типа «Кто есть кто?»_____________________________ 9
а) Метод графов___________________________________________ 9
б) Табличный способ__________________________________________ 11
4.2 Тактические задачи______________________________________ 13
а) метод рассуждений_________________________________________ 13
4.3 Задачи на нахождение пересечения или объединение множеств__________________________________________________ 14
а) Круги Эйлера_____________________________________________ 14
Буквенные ребусы и задачи со звездочками__________________ 16
4.5 Истинностные задачи_____________________________________ 17
4.6 Задачи типа «Шляпы»_____________________________________ 18
5. Практическая часть____________________________________________ 19
5.1 Исследование уровня логического мышления учащихся среднего звена_________________________________________________________ 19
6. Заключение____________________________________________________ 23
7. Литература____________________________________________________ 24
«Решение логических задач»
Крутоголова Диана Александровна
7 класс
Муниципальное бюджетное общеобразовательное
учреждение средняя общеобразовательная
школа №2, ст. Архонская.
1. Введение
Развитию творческой активности, инициативы, любознательности, смекалки способствует решение нестандартных задач. Несмотря на то, что школьный курс математики содержит большое количество интересных задач, многие полезные задачи не рассматриваются. К этим задачам можно отнести логические задачи.
Решать логические задачи очень увлекательно. В них вроде бы нет никакой математики - нет ни чисел, ни функций, ни треугольников, ни векторов, а есть только лжецы и мудрецы, истина и ложь. В то же время дух математики в них чувствуется ярче всего - половина решения любой математической задачи (а иногда и гораздо больше половины) состоит в том, чтобы как следует разобраться в условии, распутать все связи между участвующими объектами.
Математическая задача неизменно помогает вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. В тоже время решение задач способствует развитию логического мышления.
Готовя данную работу, я ставила цель - развить свои способности умения рассуждать и делать правильные выводы. Только решение трудной, нестандартной задачи приносит радость победы. При решении логических задач предоставляется возможность подумать над необычным условием, рассуждать. Это у меня вызывает и сохраняет интерес к математике. Логически обоснованное решение – лучший способ раскрытия творческих способностей.
Актуальность. В наше время очень часто успех человека зависит от его способности четко мыслить, логически рассуждать и ясно излагать свои мысли.
Задачи: 1) ознакомление с понятиями «логика» и «математическая логика»; 2) изучение основных методов решения логических задач; 3) проведение диагностики на выявление уровня логического мышления учащихся 5-8 классов.
Методы исследований: сбор, изучение, обобщение экспериментального и теоретического материала
2. Основоположники науки «логика»
Логика - одна из древнейших наук. Точно установить, кто, когда и где впервые обратился к тем аспектам мышления, которые составляют предмет логики, в настоящее время не представляется возможным. Отдельные истоки логического учения можно обнаружить еще в Индии, в конце II тысячелетия до н. э. Однако если говорить о возникновении логики как науки, то есть о более или менее систематизированной совокупности знаний, то справедливым будет считать родиной логики великую цивилизацию Древней Греции. Именно здесь в V-IV веках до н. э. в период бурного развития демократии и связанного с ним небывалого оживления общественно-политической жизни трудами Демокрита, Сократа и Платона были заложены основы этой науки.
Основоположником логики как науки является древнегреческий философ и ученый Аристотель (384-322 гг. до н. э.). Он впервые разработал теорию дедукции, то есть теорию логического вывода. Именно он обратил внимание на то, что в рассуждениях мы из одних утверждений выводим другие, исходя не из конкретного содержания утверждений, а из определенной взаимосвязи между их формами, структурами.
Уже тогда в Древней Греции были созданы школы, в которых люди учились дискутировать. Ученики этих школ учились искусству поиска истины и убеждения других людей в своей правоте. Они учились из множества фактов отбирать нужные, строить цепочки рассуждений, связывающие отдельные факты между собой, делать правильные выводы.
Уже с этих времен было принято считать, что логика есть наука о мышлении, а не о предметах объективной истинности.
Древнегреческий математик Евклид (330-275 гг. до н. э.) впервые предпринял попытку упорядочить накопившиеся к тому времени обширные сведения по геометрии. Он положил начало осознанию геометрии как аксиоматической теории, а всей математики - как совокупности аксиоматических теорий.
На протяжении многих веков различными философами и целыми философскими школами дополнялось, усовершенствовалась и изменялась логика Аристотеля. Это был первый, до математический, этап развития формальной логики. Второй этап связан с применением в логике математических методов, начало которому положил немецкий философ и математик Г. В. Лейбниц (1646-1716 гг.) . Он пытался построить универсальный язык, с помощью которого разрешались бы споры между людьми, а затем и вовсе все «идеи заменить вычислениями» .
Важный период становления математической логики начинается с работы английского математика и логика Джорджа Буля (1815-1864 гг.) «Математический анализ логики» (1847) и «Исследования законов мышления» (1854). Он применил к логике методы современной ему алгебры - язык символов и формул, составление и решение уравнений. Им была создана своеобразная алгебра - алгебра логики. В этот период она оформилась, как алгебра высказываний и была значительно развита в работах шотландского логика А. де Моргана (1806-1871 гг.) , английского - У. Джевонса (1835-1882 гг.) , американского - Ч. Пирса и др. Создание алгебры логики явилось заключительным звеном в развитии формальной логики.
Значительный толчок к новому периоду развития математической логики дало создание в первой половине XIX века великим русским математиком Н. И. Лобачевским (1792-1856 гг.) и независимо от него венгерским математиком Я. Бояи (1802-1860 гг.) неевклидовой геометрии. Кроме того, создание анализа бесконечно малых подвело к необходимости обоснования понятия числа как фундаментального понятия всей математики. Довершали картину парадоксы, обнаруженные в конце XIX века в теории множеств: они отчетливо показали, что трудности обоснования математики являются трудностями логического и методологического характера. Таким образом, перед математической логикой встали задачи, которые перед логикой Аристотеля не возникали. В развитии математической логики сформировались три направления обоснования математики, в которых создатели по-разному пытались преодолеть возникшие трудности.
3. Как научиться решать логические задачи?
Многие люди только мыслят, что мыслят.
Им неприятен мыслительный процесс:
для этого нужен навык и известные усилия,
а зачем усилия, когда можно без.
Огден Неш
Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной).
Текстовые логические задачи можно условно разделить на следующие виды:
все высказывания истинны;
не все высказывания истинны;
задачи о правдолюбцах и лжецах.
Желательно отрабатывать решение каждого вида задач постепенно, поэтапно.
Итак, мы узнаем, как разными способами можно решать логические задачи. Оказывается таких приемов несколько, они разнообразны и каждый из них имеет свою область применения. Познакомившись подробно, разберёмся в каких случаях удобнее использовать тот или другой метод.
4. Типы и способы решения логических задач
4.1 Задачи типа «Кто есть кто?»
Задачи типа «Кто есть кто?» очень разнообразны по сложности, содержанию и способности решения. Они, несомненно, представляют интерес.
а) Метод графов
Один из способов – решение с помощью графов. Граф – это несколько точек, часть которых соединены друг с другом отрезками или стрелками (в таком случае граф называется ориентированным). Пусть нам требуется установить соответствие между двумя типами объектов (множествами). Точками обозначаются элементы множеств, а соответствие между ними – отрезками. Штриховой отрезок будет объеденять два элемента, не соответствующих друг другу.
Задача 1 . Встретились три подруги Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было черное платье, на другой - красное, на третьей - белое. Девочка в белом платье говорит Черновой: «Нам надо поменяться платьями, а то цвет наших платьев не соответствует фамилиям». Кто в какое платье был одет?
Решение. Решить задачу просто, если учесть, что:
Каждому элементу одного множества обязательно соответствует элемент другого множества, но только один
Если элемент каждого множества соединен со всеми элементами (кроме одного) другого множества штриховыми отрезками, то с последним он соединен сплошным отрезком.
Вместо сплошных штриховых отрезков можно использовать цветные, в таком случае решение получается более красочным,
Обозначим на рисунке фамилии девочек буквами Б, Ч, К, соединим пунктирной линией букву Б и белое платье, что будет означать: «Белова не в белом платье». Далее получим еще три пунктирные линии, соответствующие минусам в таблице. Белое платье может быть только на Красновой - букву К и белое платье соединим сплошной линией, что будет означать «Краснова в белом платье», и т.д.
Таким же способом можно находить соответствие между тремя множествами.
Задача 2. В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что у одного из нас белые, у другого черные, а у третьего рыжие волосы, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии», - заметил черноволосый. «Ты прав», - сказал Белов. Какой цвет волос у художника?
Решение. Сначала все условия наносятся на схему. Решение же сводится к нахождению трех сплошных треугольников с вершинами в разных множествах (рис.2.).
Белов Чернов Рыжов
скульптор скрипач художник
белый черный рыжий
Художник- черноволосый
При решении мы можем получить треугольники трех видов:
а) все стороны являются сплошными отрезками (решение задачи);
б) одна сторона – сплошной отрезок, а другие – штриховые;
в) все стороны – штриховые отрезки.
Таким образом, нельзя получить треугольник, у которого бы две стороны были сплошными отрезками, а третья – штриховой отрезок.
Задача3. Кто где?
Дуб, клен, сосна, береза, пень!
За ними спрятавшись, таятся
Бобр, заяц, белка, рысь, олень.
Кто где? Попробуй разобраться".
Где рысь, ни зайца, ни бобра
Ни слева нет, ни справа - ясно.
И рядом с белкой - вот хитра –
Их также не ищи напрасно.
С оленем рядом рыси нет.
И зайца справа нет и слева.
А белка справа, где олень!
Теперь берись за поиск смело.
И хочет дать тебе совет
Поросший мхом высокий пень:
- Кто где? Напасть на верный след
Помогут белка и олень.
Решение. Найдем ответ с помощью графов, обозначая каждого зверя точкой, а размещение – стрелками. Остается только подсчитать стрелки (рис.)
Рысь Заяц
Белка Заяц Бобр Олень Белка Рысь
Олень Дуб Клен Сосна Береза Пень
бобр
б) Табличный способ
Второй способ решения логических задач – с помощью таблиц – также прост и нагляден, но его можно использовать только в том случае, когда требуется установить соответствие между двумя множествами. Он более удобен, когда множества имеют по пять-шесть элементов.
Задача 4. Однажды на семейном празднике собрались семь супружеских пар. Фамилии мужчин: Владимиров, Федоров, Назаров, Викторов, Степанов, Матвеев и Тарасов. Женщин зовут: Тоня, Люся, Лена, Света, Маша, Оля и Галя.
Решение. Решая задачу, мы заведомо знаем, что у каждого мужчины одна фамилия и одна жена.
Правило 1: В каждой строке и в каждом столбце таблицы может стоять только один знак соответствия (например «+»).
Правило 2: Если в строке (или столбце) все «места», кроме одного, заняты элементарным запретом (знак несоответствия, например «-»), то на свободное место нужно поставить знак «+»; если в строке (или столбце) уже есть знак «+», то остальные места должны быть заняты знаком «-».
Начертив таблицу, нужно разместить в ней известные запреты исходя из условия задачи. Заполнив по условию задачи таблицу, сразу получем решения: (рис. 3).
Тоня
Люся
Лена
Света
Маша
Оля
Галя
Владимиров
Федоров
Назаров
Викторов
Степанов
Матвеев
Тарасов
4.2 Тактические задачи
Решение тактических и теоретико-множественных задач заключается в составлении плана действий, который приводит к правильному ответу. Сложность состоит в том, что выбор нужно сделать из очень большого числа вариантов, т.е. эти возможности не известны, их нужно придумать.
а)Задачи на перемещение или правильное размещение фигур можно решать двумя способами: практическим (действия в перемещении фигур, подборе) и мысленном (обдумывание хода, предугадывание результата, предположение решения- метод рассуждений ).
В методе рассуждений при решении помогают: схемы, чертежи, краткие записи, умение выбирать информацию, умение пользоваться правилом перебора.
Этим способом обычно решают несложные логические задачи.
Задача 5 . Лена, Оля, Таня участвовали в беге на 100 м. Лена прибежала на 2 с раньше Оли, Оля прибежала на 1 с позже Тани. Кто пришел раньше: Таня или Лена и на сколько секунд?
Решение. Составим схему:
Лена Оля Таня
Ответ. Раньше на 1с пришла Лена.
Рассмотрим простую задачу.
Задача6 . Кросс осенний вспоминая, Спорят белки два часа:
Победил в забеге заяц. А второй была лиса!
- Нет, - твердит другая белка,
- Ты мне шутки
Первым был, я помню, - лось!
- Я, - промолвил филин важный,
- В спор чужой не стану лезть.
Но у вас в словах у каждой
По одной ошибке есть.
Белки фыркнули сердито.
Неприятно стало им.
Вы уж взвесив все, решите,
Кто был первым, кто вторым.
Решение.
Заяц - 1 2
Лиса - 2
Лось - 1
Если предположить что верное утверждение- заяц пришел 1, то лиса 2 тогда не верно, т.е. во второй группе утверждений остаются оба варианта неверные, но это противоречит условию. Ответ: Лось - 1, Лиса - 2, Заяц - 3.
4.3 Задачи на нахождение пересечения или объединение множеств (круги Эйлера)
Ещё один тип задач – задачи, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объеденение, соблюдая условия задачи.
Решим задачу7:
Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 - и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекается коллекционированием?
Решение. В условии этой задачи не так легко разобраться. Если сложить 23 и 35, то получится больше 52. Это объясняется тем, что некоторых школьников мы здесь учли дважды, а именно тех, которые собирают и значки, и марки. Чтобы облегчить рассуждения, воспользуемся кругами Эйлера
На рисунке большой круг обозначает 52 школьника, о которых идет речь; круг 3 изображает школьников, собирающих значки, а круг М - школьников, собирающих марки.
Большой круг разбивается кругами 3 и М на несколько областей. Пересечению кругов 3 и М соответствуют школьники, собирающие и значки, и марки (рис.). Части круга 3, не принадлежащей кругу М, соответствуют школьники, собирающие только значки, а части круга М, не принадлежащей кругу 3, - школьники, собирающие только марки. Свободная часть большого круга обозначает школьников, не увлекающихся коллекционированием.
Будем последовательно заполнять нашу схему, вписывая в каждую область соответствующее число. По условию и значки, и марки собирают 16 человек, поэтому в пересечение кругов 3 и М впишем число 16 (рис.).
Так как значки собирают 23 школьника, а и значки, и марки - 16 школьников, то только значки собирают 23 - 16 = 7 человек. Точно так же только марки собирают 35 - 16 = 19 человек. Числа 7 и 19 впишем в соответствующие области схемы.
Из рисунка ясно, сколько всего человек занимается коллекционированием. Чтобы узнать это, надо сложить числа 7, 9 и 16. Получим 42 человека. Значит, не увлеченных коллекционированием остается 52 - 42 = 10 школьников. Это и есть ответ задачи, его можно вписать в свободное поле большого круга.
Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также значительно упрощает рассуждения.
4.4 Буквенные ребусы и задачи со звездочками
Методом подбора и рассмотрения различных вариантов решаются буквенные ребусы и примеры со звездочками.
Такие задачи различны по сложности и схеме решения. Рассмотрим один такой пример.
Задача8 Решите числовой ребус
КИС
КСИ
ИСК
Решение. Сумма И
+ С
(в разряде десятков) оканчивается на С, но И ≠ 0 (см. разряд единиц). Значит, И = 9 и 1 десяток в разряде единиц запомнили. Теперь легко найти К в разряде сотен: К = 4. Для С остается одна возможность: С = 5.
4.5 Истинностные задачи
Задачи, в которых требуется установить истинность или ложность высказываний назовем истинностными задачами.
Задача9 . Три друга Коля, Олег и Петя играли во дворе, и один из них случайно разбил мячом оконное стекло. Коля сказал: «Это не я разбил стекло». Олег сказал: «Это Петя разбил стекло». Позднее выяснилось, что одно из этих утверждений верное, а другое - нет. Кто из мальчиков разбил стекло?
Решение. Предположим, что Олег сказал правду, тогда и Коля сказал правду, а это противоречит условию задачи. Следовательно, Олег сказал неправду, а Коля - правду. Из их утверждений следует, что стекло разбил Олег.
Задача10 Четыре ученика - Витя, Петя, Юра и Сергей - заняли на математической олимпиаде четыре первых места. На вопрос, какие места они заняли, были даны ответы:
а) Петя - второе, Витя - третье;
б) Сергей - второе, Петя - первое;
в) Юра - второе, Витя - четвертое.
Указать, кто какое место занял, если в каждом ответе правильна лишь одна часть.
Решение. Предположим, что высказывание «Петя - II» верно, тогда оба высказывания второго человека неверны, а это противоречит условию задачи.
Предположим, что высказывание «Сергей - II» верно, тогда оба высказывания первого человека неверны, а это противоречит условию задачи.
Предположим, что высказывание «Юра - II» верно, тогда первое высказывание первого человека неверно, а второе верно. И первое высказывание второго человека неверно, а второе верно.
Ответ: первое место – Петя, второе место - Юра, третье место - Витя, четвертое место Сергей.
4.6 Задачи типа «Шляпы»
Наиболее известна задача про мудрецов, которым нужно определить цвет шляпы на своей голове. Чтобы решить такую задачу, нужно восстановить цепочку логических рассуждений.
Задача 11 . «Какого цвета береты?».
Три подруги, Аня, Шура и Соня, сидели в амфитеатре одна за другой без биретов. Соне и Шуре нельзя оглядываться назад. Шура видит только голову сидящей ниже ее Сони, а Аня видит головы обеих подруг. Из коробки, в которой находятся 2 белых и 3 черных берета (об этом все три подруги знают), вынули три и надели их на головы, не говоря о том, какого цвета берет; два берета остались в коробке. Когда спросили Аню о цвете берета, который ей надели, она не сумела ответить. Шура слышала ответ Ани и сказала, что она также не может определить цвет своего берета. Может ли Соня на основании ответов своих подруг определить цвет своего берета?
Решение. Рассуждать можно таким образом. Из ответов Ани обе подружки заключили, что они обе не могут иметь на голове двух белых беретов. (Иначе Аня сразу бы сказала, что у нее на голове черный берет). Они имеют либо два черных, либо белый и черный. Однако, если бы на голове Сони был белый берет, то Шура тоже сказала, что не знает, какой у нее берет на голове, то, следовательно, у Сони на голове черный берет.
5. Практическая часть
Исследование уровня логического мышления учащихся среднего звена.
В практической части научно-исследовательской работы я подобрала логические задачи типа: Кто есть кто?
Задачи соответствовали уровню знаний 5-го и 6-го, 7-го и 8-го класса соответственно. Учащиеся решили эти задачи, а я проанализировала полученные результаты. Рассмотрим полученные результаты более подробно.
Для 5-го и 6-го классов были предложены следующие задачи:
Задача1 . Кросс осенний вспоминая, Спорят белки два часа:
Победил в забеге заяц. А второй была лиса!
- Нет, - твердит другая белка,
- Ты мне шутки эти брось. Заяц был вторым, конечно,
Первым был, я помню, - лось!
- Я, - промолвил филин важный,
- В спор чужой не стану лезть.
Но у вас в словах у каждой
По одной ошибке есть.
Белки фыркнули сердито.
Неприятно стало им.
Вы уж взвесив все, решите,
Кто был первым, кто вторым.
Задача 2. Встретились три подруги Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было черное платье, на другой - красное, на третьей - белое. Девочка в белом платье говорит Черновой: «Нам надо поменяться платьями, а то цвет наших платьев не соответствует фамилиям». Кто в какое платье был одет?
Среди учащихся 5 и 6 классов, в количестве 25 человек с предложенными задачами типа "Кто есть кто?" справилось11 человек, среди которых 5 девочек и 6 мальчиков. Результаты решения логических задач учащимися 5,6 классов представлены на рисунке:
Из рисунка видно, что 44% успешно решили обе задачи «Кто есть кто?» С первой задачей справились почти все учащиеся, вторая задача, с применением графов или таблиц вызвала у детей затруднения.
Подводя итог, можно сделать вывод, что с задачами более простыми в целом ученики 5-го и 6-го классов справляются, но если добавляются немного больше элементов в рассуждениях то справляются с такими заданиями не все.
Для 7-го и 8-го классов были предложены следующие задачи:
Задача 1. Лена, Оля, Таня участвовали в беге на 100 м. Лена прибежала на 2 с раньше Оли, Оля прибежала на 1 с позже Тани. Кто пришел раньше: Таня или Лена и на сколько секунд?
Задача 2. В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что у одного из нас белые, у другого черные, а у третьего рыжие волосы, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии», - заметил черноволосый. «Ты прав», - сказал Белов. Какой цвет волос у художника?
Задача 3. Однажды на семейном празднике собрались семь супружеских пар. Фамилии мужчин: Владимиров, Федоров, Назаров, Викторов, Степанов, Матвеев и Тарасов. Женщин зовут: Тоня, Люся, Лена, Света, Маша, Оля и Галя. На вечере Владимиров танцевал с Леной и Светой, Назаров - с Машей и Светой, Тарасов - с Леной и Олей, Викторов - с Леной, Степанов - со Светой, Матвеев - с Олей. Затем стали играть в карты. Сперва Викторов и Владимиров играли с Олей и Галей, потом мужчин сменили Степанов и Назаров, а женщины продолжали игру. И, наконец, Степанов и Назаров сыграли одну партию с Тоней и Леной.
Попробуйте определить, кто на ком женат, если известно, что на вечере ни один мужчина не танцевал со своей женой и ни одна супружеская пара не садилась одновременно за стол при игре.
В 7х и 8х классах среди 33-х человек со всеми задачами типа "Кто есть кто?" справились 18 человек, среди которых 8 девочек и 10 мальчиков.
Результаты решения логических задач учащимися 7-го и 8-го классов представлены на рисунке:
Из рисунка видно, что 55 % учащихся справились со всеми задачами, первой задачей -91 %, успешно решили вторую задачу- 67%, и последняя задача оказалась для ребят самой сложной и с нею справилось всего 58% .
Анализируя полученные результаты, в целом можно сказать, что лучше с решением логических задач справились учащиеся 7-го и 8 -го классов. Ученики 5-го и 6-го класса показали хуже результаты, возможно причиной этому является, что для решения данного вида задач требуется хорошее знание математики, ученики 5х классов пока ещё не имеют опыта в решении таких задач.
Также я провела соц. опрос среди учащихся 5-8 классов. Всем задала вопрос: «Какие задачи легче решать: математические или логические? В опросе участвовали 15 человек. 10 человек ответили – математические, 3-логические, 2- никакие не смогут решить. Результат опроса представлен на рисунке:
На рисунке видно, что математические задачи легче решать 67-ми % опрошенных, логические – 20%, и 13% не смогут решить никакую задачу.
6.Заключение
В данной работе Вы познакомились с логическими задачами. С тем, что такое логика. Вашему вниманию были предложены различные логические задачи, которые помогают развивать логическое и образное мышление.
У любого нормального ребенка есть стремление к познанию, желание проверить себя. Чаще всего способности школьников так и остаются не раскрыты для них самих, они не уверены в своих силах, равнодушны к математике.
Для таких школьников я и предлагаю применять логические задачи. Эти задачи могут быть рассмотрены на кружковых и факультативных занятиях.
Они должны быть доступны, будить сообразительность, овладевать их вниманием, удивлять, пробуждать их к активной фантазии и самостоятельному решению.
Также я считаю, что логика помогает нам в нашей жизни справиться с любыми трудностями, и все что мы делаем, должно быть логически осмысленно и построено.
С логикой и логическими задачами мы сталкиваемся не только в школе на уроках математики, но и на других предметах.
7. Литература
Дорофеев Г.В. Математика 6 класс.-Просвещение,:2013.
Матвеева Г. Логические задачи // Математика. - 1999. № 25. - С. 4-8.
Орлова Е. Методы решения логических задач и задач на числа //
Математика. - 1999. № 26. - С. 27-29.
4. Шарыгин И.Ф. , Шевкин Е.А. Задачи на смекалку.-Москва,:Просвещение,1996.-65с.
Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Министерство образования Оренбургской области
Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение
«Орский машиностроительный колледж»
г.Орска Оренбургской области
Исследовательская работа
по математике
«
МАТЕМАТИКА БЕЗ
ФОРМУЛ, УРАВНЕНИЙ И
НЕРАВЕНСТВ
»
Подготовила
:
Тхорик Екатерина
,
студента группы
15ЛП
Руководитель:
Марченко О.В
.,
преподаватель мате
матики
Математика
–
это особый мир, в котором ведущую роль играют формулы,
символы и геометрические объекты. В исследовательской р
аботе мы решили
узнать, что произойдет, если из математики убрать формулы, уравнения и
неравенства?
Актуальность данного исследования состоит в том, что
с каждым годом
теряется интерес к математике. Не любят математику, прежде всего из
-
за формул.
В данной
работе мы хотим не только показать красоту математики, но и
преодолеть в сознании обучающихся возникающие представления о «сухости»,
формальном характере, оторванности этой науки от жизни и практики.
Цель работы: доказать, что математика останется полноц
енной наукой, при
этом интересной и многогранной, если из нее убрать формулы, уравнения и
неравенства.
Задачи работы:
показать, что математик
а
без формул, уравнений и
неравенств
является полноценной наукой
; провести опрос
обу
ча
ю
щихся; изучить
информационны
е источники; познакомится с основными способами решения
логических задач.
Если предположить, что математические формулы
-
лишь удобный язык
для изложения идей и методов математики, то сами эти идеи можно описать,
используя привычные и наглядные образы из о
кружающей жизни.
Объектом нашего исследования стали способы решения математических
задач без формул, уравнений и неравенств.
Студентам нашего колледжа было предложено ответить на вопрос: что
станет с математикой, если из нее убрать формулы, уравнения и не
равенства?
выбрав один ответ из следующих вариантов:
а) останутся числа, цифры, буквы б) останется только теория
в) останутся теоремы и доказательства г) останутся графики
д) математика станет литературой ж) ничего не останется
Результаты этого
опроса показали, что большинство студентов уверены, без
формул, уравнений и неравенств математика станет литературой. Мы решили
опровергнуть это мнение. Без формул, уравнений и неравенств в математике, в
первую очередь, останутся логические задачи, которы
е чаще всего составляют
большую часть заданий на олимпиаде по математике. Разнообразие логических
задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее
распространение получили следующие: метод рассуждения, метод таблиц, метод
графов, круги Эй
лера, метод блок
-
схем.
Способ рассуждений
самый примитивный способ. Этим способом
решаются самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы
проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и
приходим к выводу, который и
будет являться ответом задачи.
Этим способом
обычно решают несложные логические задачи.
Основной прием, который используется при решении текстовых логических
задач, заключается в
построении таблиц
. Таблицы не только позволяют наглядно
представить условие з
адачи или ее ответ, но в значительной степени помогают
делать правильные логические выводы в ходе решения задачи.
Метод графов.
Граф
-
это совокупность объектов со связями между ними.
Объекты представляются как вершины, или узлы графа (они обозначаются
то
чками), а связи
-
как дуги, или рёбра. Если связь однонаправленная
обозначается на схеме линиями со стрелками, если связь между объектами
двусторонняя обозначается на схеме линиями без стрелок.
Метод кругов Эйлера.
Диаграммы Эйлера используются при решении
большой группы логических задач. Условно все эти задачи можно разделить на три
типа. В задачах первого типа необходимо символически выразить мно
жества,
заштрихованные на диаграммах Эйлера, используя зна
ки операций пересечения,
объединения и дополнения.
В задачах второго типа диаграммы Эйлера
применяются для анализа ситуаций, связанных с определением класса. Третий тип
задач, при решении которых используются диаграммы Эйлера,
-
задачи на
логический счет.
Метод блок
-
схем
.
Этот вид решения логических задач
входит в курс
обучения учеников общеобразовательных учреждений по курсу информатики.
Программирование на языке
Pascal
.
Кроме логических задач в математике п
орой для решения простых
математических задач приходится совершать абсурдные вещи, выходящие за
ра
мки нашей логики, нашего мышления.
Абсурд
–
в математике и логике,
обозначает, что какой
-
то элемент не имеет никакого смысла в рамках данной
теории,
системы или
поля, принципиально несовместимый с ними, хотя элемент,
который является абсурдом в данной сист
еме, может иметь смысл в другой.
В математике в отдельную группу выделяют софизмы (мастерство, умение)
-
сложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении
кажется правильным.
Без формул в математике может возникнуть ситуация, ко
торая может
существовать в реальности, но не имеет логического объяснения. Такая ситуация
называется парадоксом. Возникновение парадоксов не является чем
-
то
незакономерным, неожиданным, случайным в истории развития научного
мышления. Их появление сигнализи
рует о необходимости пересмотра прежних
теоретических представлений, выдвижения более адекватных понятий, принципов
и методов исследования.
Мир такой науки, как математика, не исчерпывается только лишь решением
особого вида задач. Помимо всех трудностей, в
ней есть прекрасное и интересное,
порой даже смешное. Математический юмор, также как и математический мир,
утонченный и особый.
Таким образом, без формул, уравнений и неравенств математика останется
полноценной наукой, при этом интересной и многогранной.
Библиографический список.
Агафонова, И. Г. Учимся думать: Занимательные логические задачи,
тесты и упражнения для детей. Учебное пособие [Текс] /
И. Г. Агафонова
СПб.
ИКФ МиМ
–
экспресс,1996.
–
Балаян Э.Н. 1001 олимпиадная и занимательная задач
и по
математике
[Текс]
/ Э.Н. Балаян.
-
3
-
е изд.
-
Ростов н/Д: Феникс, 2008.
-
Фарков, А. В. Математические олимпиады в школе. 5
-
11 классы.
[Текс]/
А. В. Фарков.
-
8
-
е изд., испр. и доп.
-
М.: Айрис
-
пресс, 2009.
-
http://www.arhimedes.org/
Турнир им. М. В. Ломоносова (г. Москва)
http://olympiads.mccme.ru/turlom/
Приложенные файлы
В данном разделе нашего сайта представлены темы исследовательских работ на логику
в виде логических задач, софизмов и парадоков в математике, интересных игр на логику и логическое мышление. Непосредственно направлять и помогать в исследованиях школьнику должен руководитель работы.
Представленные ниже темы исследовательских и проектных работ на логику подойдут детям, любящим логически мыслить, решать нестандартные задачи и примеры, исследовать парадоксы и математические проблемы, играть в нестандартные логические игры.
В списке ниже можно выбрать тему проекта на логику для любого класса общеобразовательной школы, начиная с начальной школы и заканчивая старшей. В помощь для грамотного оформления проекта по математике на логику и логическое мышление можно воспользоваться разработанными требованиями к оформлению работы.
Приведенные ниже темы исследовательских проектов на логику не являются окончательными, и могут видоизменяться в связи с требованиями, поставленными перед выполнением проекта.
Темы исследовательских работ на логику:
Примерные темы исследовательских работ на логику для учащихся:
Занимательная логика в математике.
Логика алгебры
Логика и мы
Логика. Законы логики
Логическая шкатулка. Сборник занимательных логических задач.
Логические задания с числами.
Логические задачи
Логические задачи "Забавная арифметика"
Логические задачи в математике.
Логические задачи для определения количества геометрических фигур.
Логические задачи на развитие мышления
Логические задачи на уроках математики.
Логические игры
Логические парадоксы
Математическая логика.
Методы решения логических задач и способы их составления.
Моделирование логических задач
Обучающая презентация "Основы логики".
Основные виды логических задач и методы их решения.
По следам Шерлока Холмса, или Методы решения логических задач.
Применение теории графов при решении логических задач.
Проблемы четырех красок.
Решение логических задач
Решение логических задач методом графа.
Решение логических задач разными способами.
Решение логических задач с помощью графов
Решение логических задач с помощью схем и таблиц.
Решение логических задач.
Силлогизмы. Логические парадоксы.
Темы проектов на логику
Примерные темы проектов на логику для учащихся:
Софизмы
Софизмы вокруг нас
Софизмы и парадоксы
Способы составления и методы решения логических задач.
Учимся решать логические задачи
Алгебра логики и логические основы компьютера.
Виды задач на логическое мышление.
Два способа решения логических задач.
Логика и математика.
Логика как наука
Логические загадки.
Введение. 3
1.Математическая логика (бессмысленная логика) и логика «здравого смысла» 4
2. Математические суждения и умозаключения. 6
3.Математическая логика и «Здравый смысл» в XXI веке. 11
4.Неестественная логика в основаниях математики. 12
Заключение. 17
Список литературы… 18
Расширение области логических интересов связано с общими тенденциями развития научного знания. Так, возникновение математической логики в середине XIX века явилось итогом многовековых чаяний математиков и логиков о построении универсального символического языка, свободного от «недостатков» естественного языка (прежде всего его многозначности, т.е. полисемии).
Дальнейшее развитие логики связано с совокупным использованием классической и математической логики в прикладных областях. Неклассические логики (деонтическая, релевантная, логика права, логика принятия решений и др.) часто имеют дело с неопределенностью и нечеткостью исследуемых объектов, с нелинейным характером их развития. Так, при анализе достаточно сложных задач в системах искусственного интеллекта возникает проблема синергизма различных типов рассуждения при решении одной и той же задачи. Перспективы развития логики в русле сближения с информатикой связаны с созданием определенной иерархии возможных моделей рассуждения, включающих рассуждения на естественном языке, правдоподобные рассуждения и формализованные дедуктивные выводы. Это решается средствами классической, математической и неклассической логик. Таким образом, речь идет не о разных «логиках», а о разной степени формализации мышления и «размерности» логических значений (двузначная, многозначная и др. логика).
Выделение основных направлений современной логики:
1. общей, или классической логики;
2. символической, или математической логики;
3. неклассической логики.
Математическая логика понятие достаточно неконкретное, из-за того, что математических логик также бесконечно много. Здесь будем обсуждать некоторые из них, отдавая больше дань традиции, чем здравому смыслу. Поскольку, весьма возможно, в этом и заключен здравый смысл… Логично?
Математическая логика учит логично рассуждать не больше, чем любой другой раздел математики. Это связано с тем, что «логичность» рассуждений в логике определяется самой логикой и корректно может использоваться только в самой логике. В жизни же мы, размышляя логически, как правило используем разные логики и разные методы логических рассуждений, безбожно перемешивая дедукцию с индукцией… Более того, в жизни мы строим свои рассуждения исходя из противоречивых посылок, например, «Не откладывай на завтра, что можно сделать сегодня» и «Поспешишь людей насмешишь». Нередко бывает, что непонравившийся нам логический вывод приводит к пересмотру исходных посылок (аксиом).
Пожалуй, настало время сказать про логику, возможно, самое главное: классическая логика не занимается смыслом. Ни здравым, ни каким другим! Для изучения здравого смысла, между прочим, существует психиатрия. Но в психиатрии логика скорее вредна.
Разумеется, размежевывая логику со смыслом, имеем в виду прежде всего классическую логику и житейское понимание здравого смысла. Нет запретных направлений в математике, поэтому исследование логикой смысла, и наоборот, в различных видах присутствует в ряде современных ответвлений логической науки.
(Хорошо сложилось последнее предложение, хотя определить термин «логическая наука» не возьмусь даже приблизительно). Смыслом, если угодно - семантикой, занимается, например, теория моделей. Да и вообще, термин семантика часто заменяют термином интерпретация. И если мы согласимся с философами, что интерпретация (отображение!) об"екта есть осмысление его в некотором данном аспекте, то пограничные сферы математики, которые могут привлекаться для наступления на смысл в логике, становятся неохватными!
В практическом плане семантикой вынуждено интересоваться теоретическое программирование. А в нем, кроме просто семантики, есть и операционная, и денотационная, и процедуральная и т.д. и т.п. семантики...
Еще лишь упомянем апофеоз - ТЕОРИЮ КАТЕГОРИЙ, которая довела семантику до формального малопонятного синтаксиса, где смысл уже настолько простой - разложенный по полочкам, что до него простому смертному совсем невозможно докопаться… Это для избранных.
Так чем же занимается логика? Хотя бы в самой классической ее части? Логика занимается только тем, чем она занимается. (А это она определяет предельно строго). Главное в логике – это строго определиться! Задать аксиоматику. А дальше логические выводы должны быть(!) в значительной степени автоматическими...
Другое дело рассуждения по поводу этих выводов! Но эти рассуждения уже вне рамок логики! Поэтому в них требуется строгий математический смысл!
Может показаться, что это простая словесная эквилибристика. НЕТ! В качестве примера некоторой логической (аксиоматической) системы возьмем известную игру 15. Зададим (перемешаем) начальное расположение квадратных фишек. Далее игрой (логическим выводом!), а конкретно - перемещением фишек на свободное место, может заниматься некое механическое устройство, а вы можете терпеливо смотреть и радоваться, когда в результате возможных передвижек в коробочке сложится последовательность от 1 до 15. Но никто не запрещает контролировать механическое устройство и подсказывать ему, ИСХОДЯ ИЗ здравого СМЫСЛА правильные перемещения фишек, чтобы ускорить процесс. А может быть даже доказать, используя для логических рассуждений, например, такой раздел математики, как КОМБИНАТОРИКА, что при данном начальном расположении фишек получить требуемую финальную комбинацию невозможно вообще!
Не больше здравого смысла присутствует и в той части логики, которую называют ЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРОЙ. Здесь вводятся ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ и определяются их свойства. Как показала практика, в некоторых случаях законы этой алгебры могут соответствовать логике жизни, а в некоторых нет. Из за такого непостоянства законы логики нельзя считать законами с точки зрения практики жизни. Их знание и механическое использование может не только помогать, но и вредить. Особенно психологам и юристам. Ситуация осложняется тем, что наряду с законами алгебры логики, которые то соответствуют, то не соответствуют жизненным рассуждениям, есть логические законы, которые часть логиков категорически не признают. Это относится прежде всего к так называемым законам ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО и ПРОТИВОРЕЧИЯ.
2. Математические суждения и умозаключения
В мышлении понятия не выступают разрозненно, они определенным способом связываются между собой. Формой связи понятий друг с другом является суждение. В каждом суждении устанавливается некоторая связь или некоторое взаимоотношение между понятиями, и этим самым утверждается наличие связи или взаимоотношений между объектами, охватываемыми соответствующими понятиями. Если суждения правильно отображают эти объективно существующие зависимости между вещами, то мы такие суждения называем истинными, в противном случае суждения будут ложными. Так, например, суждение «всякий ромб является параллелограммом» - истинное суждение; суждение «всякий параллелограмм является ромбом» - ложное суждение.
Таким образом, суждение - это такая форма мышления, в которой отображается наличие или отсутствие самого объекта (наличие или отсутствие каких-либо его признаков и связей).
Мыслить - значит высказывать суждения. С помощью суждений мысль, понятие получают свое дальнейшее развитие.
Так как во всяком понятии отображается определенный класс объектов, явлений или взаимоотношений между ними, то всякое суждение можно рассматривать как включение или невключение (частичное или полное) одного понятия в класс другого понятия. Например, суждение «всякий квадрат есть ромб» указывает, что понятие «квадрат» включается в понятие «ромб»; суждение «пересекающиеся прямые не являются параллельными» указывает, что пересекающиеся прямые не принадлежат множеству прямых, называемых параллельными.
Суждение имеет свою языковую оболочку - предложение, однако не всякое предложение является суждением.
Характерным признаком суждения является обязательное наличие истинности или ложности в выражающем его предложении.
Например, предложение «треугольник АВС равнобедренный» выражает некоторое суждение; предложение «Будет ли АВС равнобедренным?» не выражает суждения.
Каждая наука по существу представляет собой определенную систему суждений об объектах, являющихся предметом ее изучения. Каждое из суждений оформляется в виде некоторого предложения, выраженного в терминах и символах, присущих этой науке. Математика также представляет собой определенную систему суждений, выраженных в математических предложениях посредством математических или логических терминов или соответствующих им символов. Математические термины (или символы) обозначают те понятия, которые составляют содержание математической теории, логические термины (или символы) обозначают логические операции, с помощью которых из одних математических предложений строятся другие математические предложения, из одних суждений образуются другие суждения, вся совокупность которых и составляет математику как науку.
Вообще говоря, суждения образуются в мышлении двумя основными способами: непосредственно и опосредованно. В первом случае с помощью суждения выражается результат восприятия, например «эта фигура -т- круг». Во втором случае суждение возникает в результате особой мыслительной деятельности, называемой умозаключением. Например, «множество данных точек плоскости таково, что их расстояние от одной точки одинаково; значит, эта фигура - окружность».
В процессе этой мыслительной деятельности обычно осуществляется переход от одного или нескольких связанных между собой суждений к новому суждению, в котором содержится новое знание об объекте изучения. Этот переход и является умозаключением, которое представляет собой высшую форму мышления.
Итак, умозаключением называется процесс получения нового суждения вывода из одного или нескольких данных суждений. Например, диагональ параллелограмма делит его на два конгруэнтных треугольника (первое суждение).
Сумма внутренних углов треугольника равна 2d (второе суждение).
Сумма внутренних углов параллелограмма равна 4d (новое суждение-вывод).
Познавательное значение математических умозаключений чрезвычайно велико. Он" расширяют границы наших знаний об объектах и явлениях реального мира в силу того, что большая часть математических предложений является выводом из сравнительно небольшого числа основныхo суждений, которые получены, как правило, путем непосредственного опыта и в которых отражены наши наиболее простые и общие знания об его объектах.
Умозаключение отличается (как форма мышления) от понятия и суждения тем, что оно представляет собой логическую операцию над отдельными мыслями.
Не всякое сочетание суждений между собой представляет собой умозаключение: между суждениями должна существовать определенная логическая связь, отражающая объективную связь, существующую в реальной действительности.
Например, из суждений «сумма внутренних углов треугольника равна 2d» и «2*2=4» нельзя сделать вывод.
Понятно, какое значение в системе наших математических знаний имеет умение правильно строить различные математические предложения или делать выводы в процессе рассуждения. Разговорный язык плохо приспособлен для выражения тех или иных суждений, а тем более для выявления логической структуры рассуждений. Поэтому естественно, что возникла необходимость усовершенствования языка, используемого в процессе рассуждения. Математический (а точнее, символический) язык оказался для этого самым подходящим. Возникшая" в XIX в. специальная область науки - математическая логика не только полностью решила проблему создания теории математического доказательства, но и оказала большое влияние на развитие математики в целом.
Формальную логику (возникшую еще в глубокой древности в трудах Аристотеля) не отождествляют с математической логикой (возникшей в XIX в. в работах английского математика Дж. Буля). Предметом формальной логики является изучение законов взаимосвязи суждений и понятий в умозаключениях и правилах доказательства. Математическая логика отличается от формальной логики тем, что она, исходя из основных законов формальной логики, исследует закономерности логических процессов на основе применения математических методов: «Логические связи, которые существуют между суждениями, понятиями и т. д., находят свое выражение в формулах, толкование которых свободно от неясностей, какие легко могли бы возникнуть при словесном выражении. Таким образом, для математической логики характерна формализация логических операций, полнее абстрагирование от конкретного содержания предложений (выражающих какое-либо суждение).
Проиллюстрируем сказанное одним примером. Рассмотрим следующее умозаключение: „Если все растения красные и все собаки - растения, то все собаки красные“.
Каждое из используемых здесь суждений и то суждение, которое мы получили в результате сдержанного умозаключения, кажется явной бессмыслицей. Однако с точки зрения математической логики мы имеем здесь дело с верным предложением, так как в математической логике истинность или ложность умозаключения зависит только от истинности или ложности составляющих его посылок, а не от их конкретного содержания. Поэтому если одним из основных понятий формальной логики является суждение, то аналогичным ему понятием математической логики является понятие высказывания-утверждения, для которого имеет смысл лишь говорить, истинно оно или ложно. Не следует думать, что для каждого высказывания характерно отсутствие „здравого смысла“ в его содержании. Просто содержательная часть предложения, составляющего то или иное высказывание, в математической логике отходит на второй план, несущественна для логического построения или анализа того или иного вывода. (Хотя, конечно существенна для. понимания содержания того, о чем идет речь при рассмотрении o данного вопроса.)
Понятно, что в самой математике рассматриваются содержательные высказывания. Устанавливая различные связи и отношения между понятиями, математические суждения утверждают или отрицают какие-либо отношения между объектами и явлениями реальной действительности.
3.Математическая логика и «Здравый смысл» в XXI веке.
Логика - не только сугубо математическая, но также и философская наука. В XX веке эти две взаимосвязанные ипостаси логики оказались разведенными в разные стороны. С одной стороны логика понимается как наука о законах правильного мышления, а с другой - она преподносится как совокупность слабо связанных друг с другом искусственных языков, которые называются формальными логическими системами.
Для многих очевидно, что мышление - это некий сложный процесс, с помощью которого решаются житейские, научные или философские проблемы и рождаются гениальные идеи или роковые заблуждения. Язык же понимается многими просто как средство, с помощью которого результаты мышления можно передать современникам или оставить потомкам. Но, связав в своем сознании мышление с понятием „процесс“, а язык с понятием „средство“, мы по сути перестаем замечать тот непреложный факт, что в данном случае „средство“ не подчинено полностью „процессу“, а в зависимости от нашего целенаправленного или неосознанного выбора тех или словесных штампов оказывает сильнейшее влияние на ход и результат самого „процесса“. Причем известно немало случаев, когда такое „обратное влияние“ оказывается не только тормозом для правильного мышления, но порою даже его разрушителем.
С философской точки зрения задача, поставленная в рамках логического позитивизма, так и не была выполнена. В частности, в своих поздних исследованиях один из основоположников этого направления Людвиг Витгенштейн пришел к выводу, что естественный язык нельзя реформировать в соответствии с разработанной позитивистами программой. Даже язык математики в целом устоял перед мощным напором „логицизма“, хотя многие термины и структуры предлагаемого позитивистами языка вошли в некоторые разделы дискретной математики и существенно дополнили их. Популярность логического позитивизма как философского направления во второй половине XX столетия заметно упала - многие философы пришли к выводу, что отказ от многих „нелогичностей“ естественного языка, попытка втиснуть его в рамки основополагающих принципов логического позитивизма влечет за собой дегуманизацию процесса познания, а вместе с этим и дегуманизацию человеческой культуры в целом.
Многие методы рассуждений, которые используются в естественном языке, часто весьма трудно однозначно отобразить на языке математической логики. В некоторых случаях такое отображение приводит к существенному искажению сути естественного рассуждения. И есть основание полагать, что эти проблемы являются следствием исходной методологической установки аналитической философии и позитивизма о нелогичности естественного языка и о необходимости его коренного реформирования. Сама исходная методологическая установка позитивизма также не выдерживает критики. Обвинять разговорный язык в нелогичности просто абсурдно. На самом деле нелогичность характеризует не сам язык, а многих пользователей этого языка, которые просто не знают или не хотят использовать логику и компенсируют этот изъян психологическими или риторическими приемами воздействия на публику, либо в своих рассуждениях используют в качестве логики систему, которая называется логикой лишь по недоразумению. В то же время имеется немало людей, речь которых отличается ясностью и логичностью, и эти качества не определяются знанием или незнанием основ математической логики.
В рассуждениях тех, кого можно отнести к законодателям или последователям формального языка математической логики, нередко обнаруживается своеобразная „слепота“ по отношению к элементарным логическим ошибкам. На эту слепоту в основополагающих работах Г. Кантора, Д. Гильберта, Б. Рассела, Дж. Пеано и др. еще в начале нашего столетия обратил внимание один из великих математиков Анри Пуанкаре .
Одним из примеров такого нелогичного подхода к рассуждениям является формулировка знаменитого парадокса Рассела, в котором необоснованно смешиваются два сугубо разнородных понятия „элемент“ и „множество“. Во многих современных работах по логике и математике, в которых заметно влияние программы Гильберта, не находят объяснения многие явно нелепые с точки зрения естественной логики утверждения. Соотношение между „элементом“ и „множеством“ является простейшим примером такого рода. Во многих работах этого направления утверждается, что некоторое множество (назовем его A) может быть элементом другого множества (назовем его B).
Например, в широко известном руководстве по математической логике мы встретим такую фразу: „Множества сами могут быть элементами множеств, так, например, множество всех множеств целых чисел имеет своими элементами множества“. Заметим, что это утверждение не просто оговорка. Оно содержится в качестве „скрытой“ аксиомы в формальной теории множеств, которую многие специалисты считают основанием современной математики, а также в формальной системе, которую построил математик К. Гедель при доказательстве своей знаменитой теоремы о неполноте формальных систем . Эта теорема относится к довольно узкому классу формальных систем (в их число входят формальная теория множеств и формальная арифметика), логическая структура которых явно не соответствует логической структуре естественных рассуждений и обоснований.
Однако уже более полувека она является предметом бурного обсуждения среди логиков и философов в контексте общей теории познания. При таком широком обобщении этой теоремы получается, что принципиально непознаваемыми являются многие элементарные понятия. Но при более трезвом подходе оказывается, что теорема Геделя показала лишь несостоятельность программы формального обоснования математики, предложенной Д. Гильбертом и подхваченной многими математиками, логиками и философами. Более широкий методологический аспект теоремы Геделя вряд ли можно считать приемлемым до тех пор, пока не получен ответ на следующий вопрос: является ли программа обоснования математики, предложенная Гильбертом, единственно возможной? Чтобы понять двусмысленность утверждения „множество A есть элемент множества B“, достаточно задать простой вопрос: „Из каких элементов в этом случае сформировано множество B?“. С точки зрения естественной логики возможны лишь два исключающих друг друга варианта объяснения. Объяснение первое. Элементами множества B являются имена некоторых множеств и, в частности, имя или обозначение множества A. Например, множество всех четных чисел содержится как элемент в множестве всех имен (или обозначений) множеств, выделенных по каким-либо признакам из множества всех целых чисел. Можно привести более понятный пример: множество всех жирафов содержится как элемент в множестве всех известных видов животных. В более широком контексте множество B можно также сформировать из концептуальных определений множеств или ссылок на множества. Объяснение второе. Элементами множества B являются элементы некоторых других множеств и, в частности, все элементы множества A. Например, каждое четное число есть элемент множества всех целых чисел или каждый жираф есть элемент множества всех животных. Но тогда получается, что в обоих случаях выражение „множество A является элементом множества B“ не имеет смысла. В первом случае оказывается, что элементом множества B является не само по себе множество A, а его имя (или обозначение, или ссылка на него). В этом случае неявно устанавливается отношение эквивалентности между множеством и его обозначением, что неприемлемо ни с точки зрения обычного здравого смысла, ни с точки зрения несовместимой с чрезмерным формализмом математической интуиции. Во втором случае оказывается, что множество A включено в множество B, т.е. является его подмножеством, но не элементом. Здесь тоже явная подмена понятий, поскольку отношение включения множеств и отношение принадлежности (быть элементом множества) в математике имеют принципиально различный смысл. Знаменитый парадокс Рассела, подорвавший доверие логиков к понятию „множество“, основан на этой нелепости - в основе парадокса лежит двусмысленная предпосылка о том, что множество может быть элементом другого множества.
Возможен еще один вариант объяснения. Пусть множество A задано простым перечислением его элементов, например, A = {a, b}. Множество B в свою очередь задано перечислением некоторых множеств, например, B = {{a, b}, {a, c}}. В данном случае кажется очевидным, что элементом B является не имя множества A, а само множество A. Но даже в этом случае элементы множества A не являются элементами множества B, и множество A здесь рассматривается как неразделимая совокупность, которая вполне может быть заменена его именем. Но если бы мы считали элементами B все элементы содержащихся в нем множеств, то в этом случае множество B было бы равно множеству {a, b, c}, и множество A в этом случае было бы не элементом B, а его подмножеством. Таким образом, получается, что этот вариант объяснения в зависимости от нашего выбора, сводится к ранее перечисленным вариантам. А если никакого варианта выбора не предложено, то получается элементарная двусмысленность, которая часто приводит к „необъяснимым“ парадоксам.
Можно было бы не уделять особого внимания этим терминологическим нюансам, если бы не одно обстоятельство. Оказывается, что многие парадоксы и несообразности современной логики и дискретной математики являются прямым следствием или подражанием этой двусмысленности.
Например, в современных математических рассуждениях часто используется понятие „самоприменимость“, которое лежит в основе парадокса Рассела. В формулировке этого парадокса под самоприменимостью подразумевается существование множеств, которые являются элементами самих себя. Такое утверждение сразу же приводит к парадоксу. Если мы рассмотрим множество всех „несамоприменимых“ множеств, то окажется, что оно является одновременно „самоприменимым“ и „несамоприменимым.
Математическая логика немало способствовала бурному развитию информационных технологий в XX веке, но из ее поля зрения выпало понятие “суждение», которое появилось в логике еще во времена Аристотеля и на котором, как на фундаменте, держится логическая основа естественного языка. Такое упущение отнюдь не способствовало развитию логической культуры общества и у многих даже породило иллюзию, что компьютеры способны мыслить не хуже самого человека. Многих даже не смущает то обстоятельство, что на фоне всеобщей компьютеризации в преддверии третьего тысячелетия логические нелепости в пределах самой науки (я уж не говорю о политике, законотворческой деятельности и о псевдонауке) встречаются даже чаще, чем в конце XIX века. И для того, чтобы понять суть этих нелепостей, нет необходимости обращаться к сложным математическим структурам с многоместными отношениями и рекурсивными функциями, которые применяются в математической логике. Оказывается, для понимания и анализа этих нелепостей вполне достаточно применить намного более простую математическую структуру суждения, которая не только не противоречит математическим основам современной логики, но в чем-то дополняет и расширяет их.
Список литературы
1. Васильев Н. А. Воображаемая логика. Избранные труды. - М.: Наука. 1989; - стр. 94-123.
2. Кулик Б.А. Основные принципы философии здравого смысла (познавательный аспект) // Новости искусственного интеллекта, 1996, No 3, с. 7-92.
3. Кулик Б.А. Логические основы здравого смысла / Под редакцией Д.А. Поспелова. - СПб, Политехника, 1997. 131 с.
4. Кулик Б.А. Логика здравого смысла. - Здравый смысл, 1997, No 1(5), с. 44 - 48.
5. Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. М.: Наука, 1967.
6. Соловьев А. Дискретная математика без формул. 2001//http://soloviev.nevod.ru/2001/dm/index.html
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ БУРЯТИЯ
МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«МАЛОКУДАРИНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА
Тема: «Логические задачи
Выполнил работу:
Игумнов Матвей, ученик 3 класса
МБОУ «Малокударинская средняя общеобразовательная школа»
Руководитель: Серебренникова М.Д.
1. ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………..3-4
2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Что такое логика ……………………………………………………. …5
Виды логических задач…………………………………………………………6
Решение логической задачи…………………………………………………….10
Практическая часть…………………………………………………….. 10-12
3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………… 14
4. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ И ИНТЕРНЕТ-ИСТОЧНИКОВ ………. 15
5. ПРИЛОЖЕНИЯ
Введение
Развитию творческой активности, инициативы, любознательности, смекалки способствует решение нестандартных задач, логических.
Решать логические задачи очень увлекательно. В них вроде бы нет никакой математики - нет ни чисел, ни геометрических фигур, а есть только лжецы и мудрецы, истина и ложь. В то же время дух математики в них чувствуется ярче всего - половина решения любой математической задачи (а иногда и гораздо больше половины) состоит в том, чтобы как следует разобраться в условии, распутать все связи между объектами задачи.
Готовя данную работу, я ставил цель - развить свои способности умения рассуждать и делать правильные выводы. Только решение трудной, нестандартной задачи приносит радость победы. При решении логических задач предоставляется возможность подумать над необычным условием, рассуждать. Это у меня вызывает и сохраняет интерес к математике. Актуальность. В наше время очень часто успех человека зависит от его способности четко мыслить, логически рассуждать и ясно излагать свои мысли.
Цель исследования: может ли логическая задача иметь несколько правильных ответов
Задачи: 1) ознакомление с понятиями «логика» и видами логических задач; 2) решение логической задачи, определение зависимости изменения ответа задачи от величины орехов
Методы исследований: сбор, изучение материала, сравнение, анализ
Гипотеза
если мы будем менять величину орехов, то будет ли меняться ответ задачи.
Область исследования
: логическая задача.
Что такое логика?
В научной литературе можно найти следующие определения логики:
Логика - наука о приемлимых способах рассуждения.
Логика - наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых с помощью логического языка.
Логика - наука о правильном мышлении.
Логика - одна из древнейших наук. Отдельные истоки логического учения можно обнаружить еще в Индии, в конце II тысячелетия до н. э Основоположником логики как науки является древнегреческий философ и ученый Аристотель. Именно он обратил внимание на то, что в рассуждениях мы из одних утверждений выводим другие, исходя не из конкретного содержания утверждений, а из определенной взаимосвязи между их формами, структурами.
Как научиться решать логические задачи? Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). Итак, мы узнаем, как разными способами можно решать логические задачи. Оказывается таких приемов несколько, они разнообразны и каждый из них имеет свою область применения.
Типы логических задач
1«Кто есть кто?»
2 Тактические задачи Решение тактических и теоретико-множественных задач заключается в составлении плана действий, который приводит к правильному ответу. Сложность состоит в том, что выбор нужно сделать из очень большого числа вариантов, т.е. эти возможности не известны, их нужно придумать.
3 Задачи на нахождение пересечения или объединение множеств
4 Буквенные и числовые ребусы и задачи со звездочками
Методом подбора и рассмотрения различных вариантов решаются буквенные ребусы и примеры со звездочками.
5 Задачи, в которых требуется установить истинность или ложность высказываний
6 Задачи типа «Шляпы»
Наиболее известна задача про мудрецов, которым нужно определить цвет шляпы на своей голове. Чтобы решить такую задачу, нужно восстановить цепочку логических рассуждений.
РЕШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
Существует много видов орехов. Выясним, зависит ли ответ этой задачи от величины орехов?
Рассмотрим некоторые из них.
Самыми мелкими считаются кедровые орехи. Причём, их размеры зависят от вида. Орехи кедра европейского, сибирского кедрового стланика и корейского кедра отличаются по размеру. Среди них самые мелкие – орехи кедрового стланика. Их длина 5 мм.
Вывод: видов орехов существует много. Они имеют разную величину: в диаметре. Поэтому в задачу мы подставляем орехи разной величины.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Практические работы.
Работа №1
. Практическая работа с грецкими орехами.
Инструменты и материалы
: линейка, мел, цветные мерки, 10 штук грецких орехов.
Подготовительная работа
. Из цветного картона вырезаем мерки: 3 мерки из зелёного картона по 2 см длиной и 2 см шириной для первого ряда и 5 мерок из жёлтого картона по 1 см длиной и по 2см шириной для второго ряда.
Описание работы.
На столе отмечаем мелом точку. На неё кладём орех. Кладём мерку в 2см и второй орех, мерку в 2 см и третий орех, мерку в 2 см и четвёртый орех. Мелом отмечаем начало и конец длины первого ряда. Начало второго ряда чётко отмечаем мелом под началом
первого и кладём орех, мерку в 1 см и второй орех, мерку в 1 см и третий, мерку и четвёртый, мерку и пятый, мерку и шестой. Конец длины второго ряда отмечаем мелом. Сравниваем длину рядов.
Ответ:
длиннее второй ряд.
2. Практическая работа с кедровыми орехами. (См. описание работы №1.)
Ответ : длиннее второй ряд.
3. Практическая работа с лесными орехами (фундук).
(См. описание работы №1.)
Ответ
:
длиннее второй ряд.
4. Практическая работа с арахисом. (Рис.4)
(См. описание работы №1.)
Ответ::
длиннее второй ряд.
Вывод:
ответ задачи не меняется от изменения величины этих орехов.
Все орехи больше 5 мм.
ЧЕРТЕЖИ
Проверим это на чертежах, применяя масштаб.
Масштаб
1. Отношение длины линий на карте, чертеже к действительной длине.
.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Моя гипотеза подтвердилась: при изменении величины орехов изменяется ответ задачи
Вывод: При размере орехов до 5 мм длиннее первый ряд.
При размере орехов 5 мм длина рядов одинакова.
При размере орехов больше 5 мм длиннее второй ряд.
Практическая значимость
. Способы решения, предложенные в работе очень просты, ими может воспользоваться любой учащийся. Их я показал своим друзьям. Такой задачей заинтересовались многие ученики. Теперь при решении логических задач каждый будет задумываться над её ответом.
Перспективы
: Мне очень понравилось проводить эксперименты с орехами, расставлять их, искать ответ. Со всеми своими выводами я поделился с друзьями и одноклассниками. Логические задачи меня заинтересовали: в будущем хочу попробовать составить свою задачу такую же интересную, с разными вариантами ответа.
Я попробовал изменить условие задачи. За промежутки между орехами взял метры. Подставляя орехи разной величины, у меня получился одинаковый ответ: длиннее первый ряд. Почему же так? Я начал ещё всё раз измерять: всё так же. Если я увеличил промежутки в 100 раз, то величину орехов тоже надо увеличивать в 100 раз. Теперь я понял, что такого большого ореха в 50 см и больше у меня нет. Все орехи меньше 50 см. По моему выводу, чтобы длины были равны, орех должен быть 50см, а если он будет больше 50 см, то длиннее будет второй ряд. Значит, мой вывод подходит и для такой задачи.
6.Заключение
В данной работе Вы познакомились с логическими задачами. Вашему вниманию были предложены различные варианты решения логической задачи.
У любого нормального ребенка есть стремление к познанию, желание проверить себя. Чаще всего способности школьников так и остаются не раскрыты для них самих, они не уверены в своих силах, равнодушны к математике.
Для таких школьников я и предлагаю применять логические задачи.
Они должны быть доступны, будить сообразительность, овладевать их вниманием, удивлять, пробуждать их к активной фантазии и самостоятельному решению.
Также я считаю, что логика помогает нам в нашей жизни справиться с любыми трудностями, и все что мы делаем, должно быть логически осмысленно и построено.
Литература
1. Ожегов С.И. и Шведова Н.Ю.Толковый словарь русского языка: 80000слов и фразеологических выражений/Российская академия наук. Институт русского языка им.В.В.Виноградова.- 4-е изд., дополненное. – М.: Азбуковник, 1999. – 944 стр.
2. Энциклопедия для детей. Биология. Том 2. «Аванта+»», М.Аксёнов, С.Исмаилова,
М.: «Аванта+», 1995
3. Я познаю мир: Дет.Энцик.: Растения/ Сост.Л.А.Багрова; Худ.А.В.Кардашук, О.М.Войтенко;
Под общ. ред. О.Г. Хинн. – М.: ООО «Издательство АСТ», 2000. – 512 с.
4. Энциклопедия живой природы.- М.: АСТ-ПРЕСС, 2000.- 328с.
5. Рик Моррис. Тайны живой природы (перевод с английского А.М.Голова), М.: «Росмэн», 1996.
6. Дэвид Берни. Большая иллюстрированная энциклопедия живой природы (перевод с английского) М.: «Махаон», 2006
