Сечение многогранников. Презентация на тему "построение сечений многогранников" Одна точка пересечения

Чудаева Елена Владимировна, учитель математики,

МОУ «Инсарская средняя общеобразовательная школа №1»,

г. Инсар, Республика Мордовия

Построение сечений многогранников

Учебно-методическое обеспечение: Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11 класс.

Оборудование и материалы для урока : компьютер, проектор, экран, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал учащихся.

Цель урока: углубление, обобщение, систематизация, закрепление полученных знаний и развитие их в перспективе (изучить метод следов)

Задачи урока:

1. Сформировать у школьников мотивацию к изучению данной темы.

2. Развивать у учащихся умение пользоваться опорными знаниями, для получения новых знаний.

3. Развивать у учащихся мышление (умение выделять существенные признаки и делать обобщения).

4. Развивать у учащихся навыки творческого подхода к решению задач и навыки исследовательской работы над задачей.

Знания, умения, навыки и качества, которые закрепят ученики в ходе урока:

умение пользоваться опорными знаниями, для получения новых знаний;

умение выделять существенные признаки и делать обобщения;

навыки творческого подхода к решению задач на построение сечений

План урока:

1. Сформирование у школьников мотивации к изучению данной темы.

2. Проверка домашнего задания. Исторические сведения.

3. Повторение опорных знаний (аксиоматика, способы задания плоскости).

4. Применение знаний в стандартной ситуации.

5. Изучение и закрепление нового материала: метод следов.

6. Самостоятельная работа.

7. Подведение итога урока.

8. Домашнее задание.

Ход урока: I этап – Вводная беседа.

Проверка домашнего задания. (6-7 мин)

Формы и методы работы

Виды деятельности

учащихся

1.Мотивация

Вводная беседа (1 мин)

Слушают учителя

2. Проверка домашнего задания

Комментирует мини-выступления учащихся

Слушают выступления товарищей, задают вопросы

II этап – Актуализация знаний (10 мин)

(повторение теоретического материала)

Формы и методы работы

Виды деятельности

учащихся

1. Повторение аксиом стереометрии

2. Повторение: взаимное расположение в пространстве прямых и плоскостей

3. Обобщение теории

Вывод о способах задания плоскости

Запись вывода в тетрадь

4. Повторение понятия многогранника и сечения многогранника плоскостью

Опрос учащихся

Устные ответы на вопросы учителя

III этап – Применение знаний в стандартной ситуации(6-7 мин)

(работа по готовым чертежам)

Формы и методы работы

Виды деятельности

учащихся

Решение типовых задач по готовым чертежам (каждому ученику выдается рабочий листок с условием задачи и чертежом для построения сечения).

Совместное решение первой задачи (подробное комментирование шагов решения и записи оформления в рабочий лист).

Изучение условия задачи, работа по готовым чертежам, с последующим разбором решения по слайдам.

IV этап –С войства параллельных плоскостей (6 мин)

Формы и методы работы учителя

Виды деятельности учащихся

1. Повторение темы «Параллельность плоскостей».

2. Решение задач

Работа по готовым слайдам (фронтальный опрос учащихся)

Проверка правильности выполнения задания

Устные ответы на вопросы учителя

Построение сечений в рабочем листе.

Ответы у доски.

V этап - Выход на получение новых знаний: «Метод следов»(6 мин)

Формы и методы работы

Виды деятельности

учащихся

1. Изучение нового материала

2. Закрепление нового материала

Объяснение нового материала. Показ учебного фрагмента учебного фильма «Как построить сечение куба?»

Работа по готовым чертежам у доски (с последующим комментированием этапов построения сечения по слайду)

Слушают объяснение учителя. Просмотр учебного фильма.Анализ видеофрагм., запись образца решения.

Двое учащихся решают у доски, остальные в рабочем листе

VI этап - Самостоятельная работа (4-5 мин)

Формы и методы работы

Виды деятельности

учащихся

Самостоятельная работа обучающего характера

Объяснение предстоящей работы.

Проверка выполнения задания.

Выполнение самостоятельной работы (по готовым чертежам).

Самопроверка по готовым слайдам.

VII этап – подведение итогов урока (4 мин)

Формы и методы работы

Виды деятельности

учащихся

1. Подведение итогов

2. Творческое домашнее задание

Беседа по итогам урока с использованием слайдов

Проецируется на экран

Устные ответы на вопросы учителя

Запись в дневники

ХОД УРОКА

Вступительная беседа. Исторические сведения.

Учитель : Здравствуйте, ребята! Тема нашего урока «Построение сечений многогранников на основе аксиоматики». На уроке мы обобщим и систематизируем пройденный теоретический материал, и применим его к практическим задачам на построение сечений, с выходом на новый более сложный уровень трудности задач.

Главная цель нашего урока в углублении, систематизации, закреплении полученных знаний и развитии их в перспективе .

В качестве домашнего задания вам было предложено написание рефератов или небольших выступлений об истории развития геометрии, о жизни великих математиков, об их знаменитых открытиях и теоремах. Доклады и рефераты получились очень интересные, но на уроке мы заслушаем только три мини-выступления, отвечающие на вопрос, что изучает стереометрия, как возникла и развивалась и где находит своё применение?

1 ученик. Понятие стереометрии, что изучает. (2 мин)

2 ученик. Евклид – основоположник геометрии, греческая архитектура. (2 мин)

3 ученик. Математическая теория живописи. «Золотое сечение» - формула совершенного человеческого тела по Леонардо да Винчи. (2 – 3 мин)

В стереометрии изучаются красивые математические объекты. Их формы находят своё применение в искусстве, архитектуре, строительстве. « Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии, а греческая архитектура – внешнее выражение геометрии Евклида», - писал архитектор Корбюзье.

Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по прежнему остается «грамматикой архитектора». Геометрические формы находят своё применение в искусстве, архитектуре, строительстве.

Математическая теория живописи – это теория перспективы, представляющая, по словам Леонардо да Винчи, «тончайшее исследование и изобретение, основанное на изучении математики, которое силой линий заставляло казаться отдаленным то, что близко, и большим то, что невелико». Развернувшееся в эпоху Возрождения строительство инженерных сооружений возродило и расширило применявшиеся в античном мире приёмы проекционных изображений. Архитекторы и скульпторы встали перед необходимостью создания учения о живописной перспективе на геометрической основе. Многочисленные примеры построения перспективных изображений имеются в работах гениального итальянского художника и выдающегося ученого Леонардо да Винчи. Он впервые говорит о сокращении масштаба разных отрезков удаляющихся в глубь картины, кладет начало панорамной перспективе, указывает правила распределения теней, высказывает уверенность в существовании некой математической формулы красоты отношения размеров человеческого тела – формулы «золотого сечения».

Таким образом мы плавно подошли к теме нашего урока, и мостиком в его следующий этап будут слова Леонардо да Винчи:

"Те, кто влюбляются в практику без теории, уподобляются мореплавателю, садящемуся на корабль без руля и компаса и потому никогда не знающему, куда он плывет".

Это высказывание определяет следующий этап нашего урока: повторение теоретического материала.

II . Актуализация знаний (повторение теоретического материала)

2.1. Аксиомы стереометрии (таблицы остаются учащимся для работы).

а) разъяснить содержание аксиом и иллюстрировать на модели;

б) чтение учащимися текста аксиом;

в) выполнение чертежа;

2.2. Следствия из аксиом стереометрии.

2.3. Взаимное расположение в пространстве прямых и плоскостей.

а) двух прямых (прямые параллельны, пересекаются, скрещиваются)

б) прямой и плоскости (прямая лежит в плоскости, пересекает плоскость, параллельна плоскости)

в) двух плоскостей (плоскости пересекаются либо параллельны).

В ходе беседы выделяются существенные моменты теории:

а) Признак параллельности прямой и плоскости: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

б) Признак параллельности плоскостей: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плос­кости, то эти плоскости параллельны.

Учитель: Обобщая все сказанное, приходим к выводу о способах задания плоскости.

2.5. Понятие многогранников. Сечение.

Многогранником называется тело, ограниченное конечным числом плоскостей. Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников.

М
ногоугольник, полученный при пересечении многогранника и плоскости, называется сечением многогранника указанной плоскостью .

III . Применение знаний в стандартной ситуации.

Используя полученные знания, применим их к построению сечений многогранников на основе аксиоматики.

Примеры и их решение приводят учащиеся (под руководством учителя).

IV . Построение сечений с использованием свойств параллельных плоскостей.

Учитель: Для решения следующей группы задач нам необходимо повторить свойства параллельных плоскостей.

V . Выход на получение новых знаний: «Метод следов».

Просмотр учебного фильма.

Электронное издание

Применение полученных знаний (решение учащимися двух задач у доски с последующим просмотром правильного решения и записи оформления).

VI - Самостоятельная работа

с последующей взаимопроверкой (по слайду с готовым решением).

VII . Подведение итогов урока

1. Что нового вы узнали на уроке?

2. Каким образом строится сечение тетраэдра?

3. Какие многоугольники могут быть сечением тетраэдра?

4. Какие многоугольники могут получиться в сечении параллелепипеда?

5. Что вы можете сказать о методе следов?

Творческое домашнее задание. Составить две задачи на построение сечений многогранников с использованием полученных знаний.

Использованные источники

Прототипом данного урока послужил авторский урок Легкошур Ирины Михайловны , изменения дополнения и презентация к уроку выполнены с её разрешения в 2008 г. Ссылка:

Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11 класс. Учебное пособие.

Электронное издание «1С: Школа. Математика, 5-11 кл. Практикум»

Электронное издание «Решебник по геометрии. Пособие для абитуриентов . Полный курс за 7-11 классы»

Задачи на построение сечений

Определения. 1.Секущая плоскость тетраэдра(параллепипеда)-это любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллепипеда). 2.Многоугольник, сторонами которого являются отрезки, пересекающие грани тетраэдра (параллепипеда) называется сечением тетраэдра (параллепипеда).

Сечения тетраэдра и параллелепипеда

А В С S Задача 1. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки D, Е, K . D E K M F Построение: 2. ЕК 3. ЕК ∩ АС = F 4 . FD 5. FD ∩ B С = M 6 . KM 1 . DE D Е K М – искомое сечение

Пояснения к построению: 1. Соединяем точки K и F , принадлежащие одной плоскости А 1 В 1 С 1 D 1 . А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 2 . Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки Е, F, K . К L М Построение: 1. KF 2. FE 3. FE ∩ А B = L EFKNM – искомое сечение F E N 4 . LN ║ FK 6 . EM 5 . LN ∩ AD = M 7 . KN Пояснения к построению: 2. Соединяем точки F и E , принадлежащие одной плоскости АА 1 В 1 В. Пояснения к построению: 3. Прямые FE и АВ, лежащие в одной плоскости АА 1 В 1 В, пересекаются в точке L . Пояснения к построению: 4 . Проводим прямую LN параллельно FK (если секущая плоскость пересекает противоположные грани, то она пересекает их по параллельным отрезкам). Пояснения к построению: 5 . Прямая LN пересекает ребро AD в точке M . Пояснения к построению: 6 . Соединяем точки Е и М, принадлежащие одной плоскости АА 1 D 1 D . Пояснения к построению: 7 . Соединяем точки К и N , принадлежащие одной плоскости ВСС 1 В 1 .

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки К, L, М. К L М Построение: 1. ML 2. ML ∩ D 1 А 1 = E 3. EK М LFKPG – искомое сечение F E N P G T 4 . EK ∩ А 1 B 1 = F 6 . LM ∩ D 1 D = N 5 . LF 7 . Е K ∩ D 1 C 1 = T 8 . NT 9 . NT ∩ DC = G NT ∩ CC 1 = P 10 . MG 11 . PK

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ. Н Т М Построение: 1. НМ 1. МТ 1. Н T Выберите верный вариант:

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4 . Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ. Н Т М Построение: 1. НМ Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ. Н Т М Построение: 1. М T Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = Е 2. НТ ∩ B С = Е Выберите верный вариант:

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ ВС = Е Назад Комментарии: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут!

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = Е Е 3 . ME ∩ AA 1 = F 3 . ME ∩ B С = F 3 . ME ∩ CC 1 = F Выберите верный вариант:

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 3 . ME ∩ AA 1 = F 2. НТ ∩ D С = E E Назад Комментарии: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут!

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 3 . ME ∩ CC 1 = F 2. НТ ∩ D С = E E Назад Комментарии: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут!

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Н F 4. Т F 4. МТ Выберите верный вариант:

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Н F Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. MT Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ А 1 А = K 5. Т F ∩ В 1 В = K Выберите верный вариант:

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ А 1 А = K Комментарии: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L 6 . Н K ∩ А D = L 6. Т K ∩ А D = L Выберите верный вариант:

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. Н K ∩ А D = L Комментарии: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. T K ∩ А D = L Комментарии: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L L 7. LT 7. LF 7. LH Выберите верный вариант:

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L L 7. L Т Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L L 7. LF Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L L 7. L Н НТ F М L – искомое сечение

А В С S Задача 5 . Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки К, М, Р, Р∈АВС К М Р Построение:

А В С S Задача 5 . Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки К, М, Р, Р∈АВС К М Р Е N F Построение: 1. КМ 2. КМ ∩ СА = Е 3. E Р 4 . ЕР ∩ АВ = F ЕР ∩ В C = N 5 . М F 6 . N К КМ FN – искомое сечение

Спасибо за внимание!

«Пять платоновых тел» - Тетраэдр. Куб. А сфера - пустота. Октаэдр. Многие многогранники име­ют «двойников». Куб, являясь полностью закрытой фигурой, символизирует ограничение. Во-первых, все грани такого тела равны по размерам. Поэтому порожденный разверткой куба крест так­же обозначает ограничение, страдание. Додекаэдр и икосаэдр.

«Задачи по многогранникам» - Прямоугольный треугольник. Треугольник. Многогранник. Октаэдр. Основание прямой призмы. Невыпуклый многогранник. Равнобедренный треугольник. Сумма площадей всех граней. Диагональ прямоугольного параллелепипеда. Стороны основания прямого параллелепипеда. Призма. Стороны основания. Боковое ребро. Сечение.

««Многогранники» стереометрия» - Эпиграф урока. Великая пирамида в Гизе. Сечение многогранников. Звездный час многогранников. Исправить логическую цепочку. Историческая справка. «Игра со зрителями». Многогранник. Соответствуют ли геометрические фигуры и их названия. Цели урока. Архимедовы тела. Платоновы тела. Укажите правильное сечение.

«Геометрическое тело многогранник» - Землетрясение разрушило Мавзолей. Расстояние между плоскостями. Элементы пирамиды. Призмы. Великая пирамида. Слово. Ученые и философы Древней Греции. Телесная фигура. Применение. Боковые грани. Пепел царственной четы. Свойства призмы. Основание пирамиды Хеопса. Восьмигранник. Квадрат любой диагонали.

«Понятие многогранника» - Четырехугольная призма. Определение. Прямая призма называется правильной. Ребра - стороны граней. Что такое прямоугольный параллелепипед. Призма. Теорема. Сумма площадей всех ее граней. Понятие многогранника. Что такое параллелепипед. Многогранники. Грани. Высота призмы – это перпендикуляр. Что такое тетраэдр.

«Звёздчатые формы многогранников» - Звездчатые кубооктаэдры. Большой звездчатый додекаэдр. Звездчатый усеченный икосаэдр. Ответ. Многогранник, изображенный на рисунке. Звездчатые икосаэдры. Вершины большого звездчатого додекаэдра. Звездчатый додекаэдр. Многогранник. Многогранник, полученный усечением звездчатого усеченного икосаэдра. Большой икосаэдр.

Всего в теме 29 презентаций

Построение сечений многогранников

Слайд 2

Определение сечения.

Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

Слайд 3

Секущая плоскость А В С D M N K α

Слайд 4

Секущая плоскость сечение A B C D M N K α

Слайд 5

На каких рисунках сечение построено не верно?

B А А А А А D D D D D B B B B C C C C C N M M M M M N Q P P Q S

Слайд 6

Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками.

P N Построение: А В С D P M N 2. Отрезок PN А В С D M L 1. Отрезок MP Построение: 3. Отрезок MN MPN – искомое сечение 1. Отрезок MN 2. Луч NP; луч NP пересекает АС в точке L 3. Отрезок ML MNL –искомое сечение

Слайд 7

Построение: А С В D N P Q R E 1. Отрезок NQ 2. Отрезок NP Прямая NP пересекает АС в точке Е 3. Прямая EQ EQ пересекает BC в точке R NQRP – искомое сечение

Слайд 8

Построение: А B C D M N P X K S L 1. MN; отрезок МК 2. MN пересекает АВ в точке Х 3. ХР; отрезок SL MKLS – искомое сечение

Слайд 9

Аксиоматический метод Метод следов Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрахили гранях фигуры.

Слайд 10

Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N,P.

XY – след секущей плоскости на плоскости основания D C B А Z Y X M N P S F

Слайд 11

XY – след секущей плоскости на плоскости основания D C B Z Y X M N P S А F

Построение сечений многогранников

Стереометрия 10 класс

Выполнила учитель математики

МБОУ «Молодьковская СОШ»

Степченко М.А.

Цель урока:

Сформировать навык решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда

«Скажи мне – и я забуду. Покажи мне – и я запомню…»

Древняя китайская

пословица

Это интересно!

Многие художники, искажая законы перспективы, рисуют необычные картины. Кстати, эти рисунки очень популярны среди математиков. В сети Internet можно найти множество сайтов, где публикуются эти невозможные объекты.

Популярные художники Морис Эшер, Оскар Реутерсвард, Жос де Мей и другие, удивляли своими картинами математиков.

"Такое может нарисовать только тот, кто делает дизайн, не видя перспективы..."

Жос де Мей

Законы геометрии часто нарушаются в компьютерных играх.

Поднимаясь по этой лесенке, мы остаёмся на том же этаже.

А 2 . Если две точки прямой

лежат в плоскости, то все точки

прямой лежат в этой плоскости.

Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразова. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 9-е изд., с изм. – М.: Просвящение, 2000. – 206 с.:ил. – ISBN 5-09-008612-5.

Лесенки здесь быть не может!

а

"Те, кто влюбляются в практику без теории, уподобляются мореплавателю, садящемуся на корабль без руля и компаса и потому никогда не знающему, куда он плывет".

Леонардо да Винчи

http://blogs.nnm.ru/page6/

АКСИОМЫ

планиметрия

стереометрия

Характеризуют взаимное расположение точек и прямых

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна

1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой

3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей .

Основное понятие геометрии «лежать между»

4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Плоскость (в том числе и секущую) можно задать следующим образом

Одна точка пересечения

Нет точек пересечения

Пересечением

является плоскость

Пересечением

является отрезок

Секущей плоскостью параллелепипеда (тетраэдра) называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда (тетраэдра).

Построить сечение многогранника плоскостью – это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника.

Для построения сечения многогранника плоскостью нужно в плоскости каждой грани указать 2 точки, принадлежащие сечению, соединить их прямой и найти точки пересечения этой прямой с ребрами многогранника.

Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Цыпкин А.Г,.Пинский А.И./Под. редакцией В.И.Благодатских. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 416 с.

Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам.

L

Многоугольник , сторонами которого являются данные отрезки, называется сечением тетраэдра ((параллелепипеда).

Секущая плоскость

Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам.

Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки – сечение тетраэдра .

Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями.

Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками.

При этом необходимо учитывать следующее:

1. Соединять можно только две точки, лежащие

в плоскости одной грани.

2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам.

3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

Какие многоугольники могут получиться в сечении?

Тетраэдр имеет 4 грани

В сечениях могут получиться:

• Четырехугольники

• Треугольники

Параллелепипед имеет 6 граней

• Пятиугольники

• Треугольники

В его сечениях

могут получиться:

• Шестиугольники

• Четырехугольники

Блиц - опрос

• Задача блиц – опроса: ответить на вопросы и обосновать ответ с помощью аксиом, теорем и свойств параллельных плоскостей.

Блиц-опрос.

D 1

С 1

Верите ли вы, что прямые НК и ВВ 1 пересекаются?

А 1

B 1

Блиц-опрос.

D 1

С 1

А 1

Верите ли вы, что

прямые НК и ВВ 1

пересекаются?

B 1

Блиц-опрос.

D 1

С 1

Верите ли вы, что прямые НК и МР пересекаются?

А 1

B 1

На чертеже есть

ещё ошибка!

Верите ли вы, что прямые Н R и NK

пересекаются?

Блиц-опрос.

С 1

D 1

А 1

B 1

На чертеже есть

ещё ошибка!

Пересекаются ли прямые Н R и А 1 В 1 ?

Блиц-опрос.

Пересекаются ли прямые Н R и С 1 D 1 ?

D 1

С 1

А 1

B 1

Пересекаются ли

прямые NK и DC ?

Пересекаются ли

прямые NK и А D ?

Верите ли вы,

что прямые МО и АС

пересекаются?

Блиц-опрос.

Прямые МО и АВ пересекаются, т.к. лежат в одной плоскости (А D С). Прямые МО и АВ не пересекаются, т.к. лежат в разных плоскостях (А D С) и (А D В) – эти плоскости пересекаются по прямой А D , на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Верите ли вы,

что прямые МО и АВ

пересекаются?

Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на лыжах … : научиться этому можно лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь..

Д. Пойа

Свойство

параллельных плоскостей.

Если две параллельные плоскости

пересечены третьей,

то линии их пересечения

параллельны.

а

b

Это свойство нам поможет

при построении сечений.

Простейшие задачи.

D 1

С 1

B 1

А 1

Соединяем отрезками 2 точки, принадлежащие одной грани многогранника. Если у пирамиды «срезать» его вершину получится усеченная пирамида.

Простейшие задачи.

Диагональные сечения.

D 1

С 1

D 1

С 1

А 1

B 1

А 1

B 1

Соединяем отрезками 2 точки, принадлежащие одной грани многогранника. Диагональные сечения.

D 1

С 1

А 1

B 1

Аксиоматический метод

Метод следов

• Метод следов

Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.

1. Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В 1 , М, N

7. Продолжим MN и BD .

2.Продолжим MN ,ВА

5. В 1 О ∩ А 1 А=К

10. B 1 Е ∩ D 1 D=P , PN

Построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки М, Р, К , если К принадлежит плоскости a .

Решения варианта 1.

Решения варианта 2.

Правила для самоконтроля:

• Вершины сечения находятся только на ребрах.

• Стороны сечения находятся только на грани многогранника.

• Секущая плоскость пересекает грань или плоскость грани, то только один раз.

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их

(Д. Пойа)

• Атанасян Л.С., и др. Геометрия 10-11. – М.: Просвещение, 2008.
• Литвиненко В.Н., Многогранники. Задачи и решения. – М.: Вита-Пресс, 1995.
• Смирнов В.А., Смирнова И. М., ЕГЭ 100 баллов. Геометрия. Сечение многогранников. – М.: Экзамен, 2011.
• Учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября» «Математика». Федотова О., Кабакова Т. Интегрированный урок "Построение сечений призмы", 9/2010.

• Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 10 класса. – М., Просвещение, 1997.
• Электронное издание «1С: Школа. Математика, 5-11 кл. Практикум»

7. http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/work.html