Краткая биография диофанта. Биография диофанта. Влияние Арифметики на развитие математики
Диофант Александрийский (др.-греч. ; лат. Diophantus) - древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э. Нередко упоминается как «отец алгебры». Автор «Арифметики» - книги, посвящённой нахождению положительных рациональных решений неопределённых уравнений. В наше время под «диофантовыми уравнениями» обычно понимают уравнения с целыми коэффициентами, решения которых требуется найти среди целых чисел.
Диофант был первым греческим математиком, который рассматривал дроби наравне с другими числами. Диофант также первым среди античных учёных предложил развитую математическую символику, которая позволяла формулировать полученные им результаты в достаточно компактном виде.
В честь Диофанта назван кратер на видимой стороне Луны.
Биография
О подробностях его жизни практически ничего не известно. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла (II век до н. э.); с другой стороны, о Диофанте пишет Теон Александрийский (около 350 года н. э.), - откуда можно сделать вывод, что его жизнь протекала в границах этого периода. Возможное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его Арифметика посвящена «достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий - не кто иной, как епископ Дионисий Александрийский, живший в середине III в. н. э.
В Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача:
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей - и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком. И половину шестой встретил с пушком на щёках. Только минула седьмая, с подругой он обручился. С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей. (Перевод С. П. Боброва)
Она эквивалентна решению следующего уравнения:
Это уравнение даёт x = 84 {\displaystyle x=84} , то есть возраст Диофанта получается равным 84 годам. Однако достоверность сведений не может быть подтверждена.
Арифметика Диофанта
Основное произведение Диофанта - Арифметика в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13.
Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» () и обозначает буквой, квадрат неизвестной - символом (сокращение от - «степень»), куб неизвестной - символом (сокращение от - «куб»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо-кубом, и для противоположных им степеней, вплоть до минус шестой.
Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены в порядке убывания степени, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнутой буквы. Знак равенства обозначается двумя буквами (сокращение от - «равный»).
Сформулированы правило приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения: то, что потом у ал-Хорезми стало называться «алгеброй и алмукабалой». Введено правило знаков: «минус на плюс даёт минус», «минус на минус даёт плюс»; это правило используется при перемножении двух выражений с вычитаемыми членами. Всё это формулируется в общем виде, без отсылки к геометрическим истолкованиям.
Большая часть труда - это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика Арифметики - нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков.
Введение
Можно увидеть, что за более чем полуторатысячелетний период времени математическая наука в Греции имела значительные достижения.
В истории математики рассмотренный нами период существования Александрийской школы носит название «Первой Александрийской школы». С начала нашей эры на основе работ александрийских математиков начинается бурное развитие идеалистической философии: снова возрождаются идеи Платона и Пифагора, и эта философия неоплатоников и неопифагорейцев быстро снижает научное значение работ новых представителей математической мысли. Но вес же математическая мысль не замирает, а время от времени проявляется в работах отдельных математиков, таких как Диофант.
Развитию алгебры препятствовало то, что еще недостаточно вошли в употребление символические записи, намек на которые мы впервые встречаем в трудах Диофанта, пользовавшегося лишь отдельными символами и сокращениями записи.
Цель работы исследовать арифметику Диофанта.
Биография Диофанта
Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы.
Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет полтысячелетия! Нижняя грань этого промежутка определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского, который жил в середине II века до н.э. С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к «Альмагесту» знаменитого астронома Птолемея помещён отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине IV века н.э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет!
Французский историк науки Поль Таннери, издатель наиболее полного текста Диофанта, попытался сумзить этот промежуток. В библиотеке Эскуриала он нашёл отрывки из письма Михаила Пселла, византийского учёного XI века, где говорится, что «учёнейший Анатолий, после того как собрал наиболее существенные части этой науки (речь идёт о введении степеней неизвестного и об их обозначениях), посвятил их своему другу Диофанту». Анатолий Александрийский действительно составил «Введение в арифметику», отрывки из которой приводят в дошедших до нас сочинениях Ямблих и Евсевий. Но Анатолий жил в Александрии в середине III века н.э. и даже более точно - до 270 года, когда он стал епископом Лаодакийским. Значит, его дружба с Диофантом, которого все называют Александрийским, должна была иметь место до этого. Итак, если знаменитый александрийский математик и друг Анатолия по имени Диофант составляют одно лицо, то время жизни Диофанта - середина III века н.э.
Сама же «Арифметика» Диофанта посвящена «достопочтенному Дионисию», который, как видно из текста «Введения», интересовался арифметикой и её преподаванием. Хотя имя Дионисий было в то время довольно распространённым, Таннери предположил, что «достопочтенного» Дионисия следует искать среди известных людей эпохи, занимавших видные посты. И вот оказалось, что в 247 году епископом Александрии стал некий Дионисий, который с 231 года руководил христианской гимназией города! Поэтому Таннери отождествил этого Дионисия с тем, которому посвятил свой труд Диофант, и пришёл к выводу, что Диофант жил в середине III века н.э. Мы можем, за неимением лучшего, принять эту дату.
Зато место жительства Диофанта хорошо известно - это знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира.
После распада огромной империи Александра Македонского Египет в конце IV века до н.э. достался его полководцу Птолемею Лагу, который перенёс столицу в новый город - Александрию. Вскоре этот многоязыкий торговый город сделался одним из прекраснейших городов древности. Размерами его превзошёл впоследствии Рим, но долгое время ему не было равного. И вот именно этот город стал на многие века научным и культурным центром древнего мира. Это было связано с тем, что Птолемей Лаг основал Музейон, храм Муз, нечто вроде первой Академии наук, куда приглашались наиболее крупные учёные, причём им назначалось содержание, так что основным делом их были размышления и беседы с учениками. При Музейоне была построена знаменитая библиотека, которая в лучшие свои дни насчитывала более 700 000 рукописей. Неудивительно, что учёные и жаждущие знаний юноши со всего мира устремились в Александрию, чтобы послушать знаменитых философов, поучиться астрономии и математике, иметь возможность в прохладных залах библиотеки углубиться в изучение уникальных рукописей.
Музейон пережил династию Птолемеев. В первые века до н.э. он пришёл во временный упадок, связанный с общим упадком дома Птолемеев в связи с римскими завоеваниями (Александрия была окончательно завоевана в 31 году до н.э.), но затем в первые века н.э. он снова возродился, поддерживаемый уже римскими императорами. Александрия продолжала оставаться научным центром мира. Рим никогда не был в этом отношении её соперником: римской науки (мы имеем в виду естественные науки) просто не существовало, и римляне оставались верными заветам Вергилия, писавшего:
Тоньше другие ковать будут жизнью дышащую бронзу, -
Верю тому, - создадут из мрамора лики живые,
Красноречивее будут в судах, движения неба
Тростью начертят своей и вычислят звёзд восхожденья,
Ты же, римлянин, знай, как надо народами править.
И если в III-II веках до н.э. Музейон блистал именами Евклида, Аполлония, Эратосфена, Гиппарха, то в I-III веках н.э. здесь работали такие учёные как Герон, Птолемей и Диофант.
Чтобы исчерпать всё известное о личности Диофанта, приведём дошедшее до нас стихотворение-загадку:
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей - и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. Однако для этого вовсе не нужно владеть искусством Диофанта! Достаточно уметь решать уравнение 1-й степени с одним неизвестным, а это умели делать египетские писцы ещё за 2 тысячи лет до н.э.
Диофант Александрийский – древнегреческий математик.
До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта; полагают, что он жил в 3 веке нашей эры. Из работ Диофанта самой важной является “Арифметика”, из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней. В сохранившихся книгах Диофанта содержится 189 задач с решениями. В пяти книгах содержатся методы решения неопределенных уравнений. Это и составляет основной вклад Диофанта в математику
Произведения Диофанта
Его «Арифметика» стала поворотным пунктом в развитии алгебры и теории чисел. Именно здесь произошёл окончательный отказ от геометрической алгебры. В начале своего труда Диофант поместил краткое введение, ставшее первым изложением основ алгебры. В нём строится поле рациональных чисел и вводится буквенная символика. Там же формулируются правила действий с многочленами и уравнениями. Труды Диофанта имели фундаментальное значение для развития алгебры и теории чисел. С именем этого учёного связано появление и развитие алгебраической геометрии, проблемами которой впоследствии занимались Леонард Эйлер, Карл Якоби и другие авторы.
Способ решения уравнения 1-й степени Диофанта:
«Если теперь в какой-нибудь задаче те же степени неизвестного встречаются в обеих частях уравнения, но с разными коэффициентами, то мы должны вычитать равные из равных, пока не получим одного члена, равного одному числу.
Если в одной или в обеих частях есть члены вычитаемые, то эти члены должны быть прибавлены к обеим частям так, чтобы в обеих частях были только прибавляемые.
Затем снова нужно отнимать равные от равных, пока не останется только по одному члену с каждой стороны».
Таким путем Диофант достигал того, чего мы добиваемся перенесением известных членов в одну сторону равенства, а неизвестных - в другую, приведением подобных членов и делением на коэффициент при неизвестном.
При этом надо отметить, что Диофант, как и все древние математики, избегал действия деления, заменяя его повторным вычитанием.
Диофант делает решительный шаг - вводит отрицательные числа.
(-) х (-) = (+) ,
(-) х (+) = (-) .
Правила сложения и вычитания для новых чисел Диофант не излагает, он просто пользуется ими в своих книгах. И все же отрицательные числа Диофант применяет только в промежуточных вычислениях, а в качестве решения всегда выбирает положительное рациональное число.
Однако для построения алгебры одних только положительных дробей недостаточно, и Диофант делает решительный шаг - вводит отрицательные числа. Для этого он выбирает метод, известный теперь как аксиоматический: он определяет новый объект, который называет «недостатком», и формулирует правила действий с ним. Диофант пишет: «Недостаток, умноженный на недостаток, дает наличие; недостаток же, умноженный на наличие, даёт недостаток». Это «правило знаков» мы можем записать так:
Задача о пифагоровых тройках .
Но в целых числах решают не только линейные уравнения. Древнейшей задачей такого рода является задача о натуральных решениях уравнения х2 + у2 = z2 Что напоминает вам это уравнение? Какие пифагоровы тройки вам известны? (3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25; 9,40,41).
Задача Метродора о Диофанте из Палатинской антологии
Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей - и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком и половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругою он обручился. С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец. Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил, Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе. Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Скудные сведения о Диофанте может дополнить нам лишь надпись на надгробном камне, сформулированная задача в стихах:
Пусть Диофант прожил x
Пусть Диофант прожил x лет. Составим и решим уравнение:
До наших дней дошли два произведения Диофанта, оба не полностью. Это «Арифметика» (шесть книг из тринадцати) и отрывки из трактата «О многоугольных числах». Но о самом авторе не известно почти ничего. Его «Арифметика» стала поворотным пунктом в развитии алгебры и теории чисел. Именно здесь произошёл окончательный отказ от геометрической алгебры. В начале своего труда Диофант поместил краткое введение, ставшее первым изложением основ алгебры. В нём строится поле рациональных чисел и вводится буквенная символика. Там же формулируются правила действий с многочленами и уравнениями. Труды Диофанта имели фундаментальное значение для развития алгебры и теории чисел. С именем этого учёного связано появление и развитие алгебраической геометрии, проблемами которой впоследствии занимались Леонард Эйлер, Карл Якоби и другие авторы.
«Арифметика» Диофанта – это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими способами решения) и необходимыми пояснениями. Поэтому, с первого взгляда, кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако, при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определенных, строго продуманных методов. Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач.
Главная проблематика «Арифметики» – это нахождение положительных рациональных решений неопределенных уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков. Сначала Диофант исследует системы уравнений второго порядка от двух неизвестных. Он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней.
В X веке «Арифметика» была переведена на арабский язык, после чего математики стран ислама (Абу Камил и другие) продолжили некоторые исследования Диофанта. В Европе интерес к «Арифметике» возрос после того, как Рафаэль Бомбелли обнаружил это сочинение в Ватиканской библиотеке и опубликовал 143 задачи из его в своей «Алгебре» (1572 года). В 1621 году появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод «Арифметики», выполненный Баше де Мезириаком. Методы Диофанта оказали огромное влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма, впрочем, в Новое время неопределенные уравнения обычно решаются в целых числах, а не в рациональных, как это делал Диофант.
Известны и другие сочинения Диофанта. Трактат «О многоугольных числах» сохранился не полностью. В сохранившейся части методами геометрической алгебры выводится ряд вспомогательных теорем. Из сочинений Диофанта «Об измерении поверхностей» и «Об умножении» также сохранились лишь отрывки. Книга Диофанта «Поризмы» известна только по нескольким теоремам, используемым в Арифметике.
В Палатинской антологии содержится эпиграмма– задача, из которой можно сделать вывод, что Диофант прожил 84 года: Здесь погребен Диофант, и камень могильный При счете расскажет нам, Сколь долог был его век. Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни; В двенадцатой части затем прошла его светлая юность. Седьмую часть жизни прибавим – перед нами очаг Гименея. Пять лет протекли; и прислал Гименей ему сына. Но горе ребенку! Едва половину он прожил Тех лет, что отец, как скончался несчастный. Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжелой И умер, прожив для науки. Скажи мне, Скольких лет достигнув, смерть воспринял Диофант?
Диофантовы уравнения Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух (если не ограничиваться только целыми числами). Диофантовы уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями. Это,например, уравнения: 3х+5у=7 ; х²+у²= z² ; 3х³+4у³= 5z³
Задача 1 В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других. Решение. Составляется уравнение с двумя неизвестными переменными, в котором х – число кроликов. у – число фазанов: 4х + 2у = 18, или 2х + у = 9. Выразим у через х: у = 9 – 2х. Далее воспользуемся методом перебора: х1234 у7531 Таким образом, задача имеет четыре решения. Ответ: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).
Задача 2 Подданные привезли в дар шаху 300 драгоценных камней: в маленьких шкатулках по 15 штук в каждой и в больших – по 40 штук. Сколько было тех и других шкатулок, если известно, что маленьких было меньше, чем больших? Решение: Обозначим за Х количество маленьких шкатулок, а за Y – количество больших. Причем X
Древнегреческий математик из Александрии, которого считают одним из первых авторов алгебраических трудов. В средние века его называли «отцом алгебры».
До нас дошло 6 книг из 13 из его трактата Арифметика / Arithmetica, где даётся решение ряда алгебраических уравнений до 4-й степени.
«Диофанту принадлежит далеко ведущая идея алгебраической символики - использование символов вместо чисел; ему, правда, не удалось воспользоваться ею в полной мере. Он сетует, что «невозможно решение абсурдного уравнения 4 = 4x + 20. Невозможно? Абсурдное уравнение? Уравнение приводит к отрицательному значению: х = - 4. Без понятия нуля, которого Диофант не знал, понятие отрицательного числа логически невозможно. Замечательные новшества Диофанта, кажется, были проигнорированы последующими поколениями. Прошло полторы тысячи лет, пока его работы были замечены и должным образом оценены: его трактат сыграл центральную роль в расцвете алгебры в XVII веке. Всем известные сегодня линейные алгебраические уравнения вида а + bх = с носят его имя».
Питер Бернстайн, Против богов: укрощение риска, М., «Олимп-Бизнес», 2006 г., с. XLVII-L.
«Arithmetica представлена как ряд задач. В предисловии Диофант сообщает, что написал её в качестве задачника для своих учеников. Он использовал специальный символ для неизвестного, а также отдельные символы для его квадрата и куба; кажется, что это сокращения слов dynamis (мощь, сила) и kybos (куб). Обозначения структурированы не очень хорошо. Сложение у Диофанта записывается просто как размещение символов друг за другом (мы теперь делаем так для умножения), но он использует специальный символ для вычитания. Есть и символ для равенства, хотя он и мог быть введён позднейшим переписчиком. В основном Arithmetica посвящена решению уравнений. В первой из сохранившихся книг обсуждаются линейные уравнения; в остальных пяти рассматриваются различные виды квадратных уравнений, часто для нескольких неизвестных, а также некоторые специальные кубические уравнения. Характерная особенность состоит в том, что ответы всегда являются целыми или рациональными числами. Сегодня мы называем уравнение диофантовым, если его решения ограничены целыми или рациональными числами».
Иэн Стюарт, Истина и красота: Всемирная история симметрии, М., «Астрель»; «Сorpus», 2010 г., с. 68.
Возможно, Диофант прожил 84 года, что следует из приписываемой его эпитафии-задачи: «Диофант провёл шестую часть жизни в младенчестве и двенадцатую в юношеском возрасте; затем он женился и прожил в бездетном супружестве седьмую часть жизни и ещё пять лет, после чего у него родился сын, достигший только половины возраста отца; отец же пережил сына на четыре года».
Видимо, Диофант опирался на древние труды вавилонян и египтян.
