Пример нахождения максимального потока методом Форда—Фалкерсона. Методы применения алгоритма нахождения максимального потока в сети
Решить задачу нахождения максимального потока в транспортной сети с помощью алгоритма Форда-Фалкерсона, и построить разрез сети S.
Исходные данные:
Дана сеть S(X,U)
- исток сети; - сток сети, где ∈X; ∈X.
Значения пропускных способностей дуг заданы по направлению ориентации дуг: от индекса i к индексу j.
r = 39; r = 44; r = 33; r = 53; r = 10;
r = 18; r = 95; r = 16; r = 23; r = 61;
r = 81; r = 71; r = 25; r = 15; r = 20
1. Зададим на сети нулевой поток (на всех дугах величина потока равна 0). Нулевой поток - это начальный допустимый поток на сети. Значение потока на каждой дуге будем указывать за скобками пропускной способности дуги.). Значение потока, равное «0», не указываем.
2. Выбираем на сети (произвольно) путь, ведущий из вершины x0 в вершину x7:
X0-X1-X4-X6-X7
3. Находим 
и увеличиваем поток на эту величину. Ребро Х1-Х4 помечаем как рассмотренное.
4. Выбираем еще один путь, например: Х0-Х2-Х5-Х7, находим 
и увеличиваем поток на эту величину. Ребро Х0-Х2 помечаем как рассмотренное.
5. Выбираем еще один путь, например: Х0-Х3-Х2-Х5-Х7, находим и увеличиваем поток на эту величину. Ребро Х3-Х2 помечаем как рассмотренное.
6. Более путей от Х0 до Х7 нет, суммируем увеличения потока: 25+10+20=55.
Вывод: максимальный поток равен 55.
2) Построить разрез сети S.
Процедура «пометок вершин».
Начальное состояние: все вершины не имеют пометок.
Вершине Х0 приписывается пометка. Всем вершинам , для которых дуга не насыщена присваиваются пометки (красные круги)
Определяем дуги минимального разреза: это дуги, начала которых находятся в помеченных вершинах, а концы - в непомеченных вершинах.
Это дуги:
Таким образом, минимальный разрез данной сети 
Вычисление величины максимального потока
При обмене информацией между абонентами вычислительной сети, при параллельных вычислениях на многомашинном комплексе, когда решение задачи распределено между несколькими процессорами, при использовании в вычислительной сети общей памяти, когда каждый процессор получает ограниченный доступ к общим модулям памяти, возникает задача передачи максимального объема информации в заданный отрезок времени.
При работе транспортной системы, когда осуществляется обмен транспортными единицами между узлами сети возникает задача передачи максимального числа транспортных единиц в заданный отрезок времени.
При передаче энергии в электрических сетях, жидкости в трубопроводных системах возникает задача распределения и передачи максимального объема энергии или вещества в заданный отрезок времени.
Особенностью сети является наличие вершины-истока и вершины-стока, ориентация всех отрезков линий в графе и отсутствие петель и кратных дуг.
Объем информации, энергии или вещества, передаваемый в сети от узла x i к узлу x j , называют потоком и обозначают j ij .
Наибольший поток, который может пропустить дуга (x i , x j), называют пропускной способностью дуги и обозначают с ij .
Очевидно, что 0£j ij £ с ij .
В вершине-истоке х 0 величина потока есть сумма потоков по всем дугам, исходящим из вершины х 0 , т.е. j=å i j 0i + .
В вершине-стоке х k величина потока есть сумма потоков по всем дугам, заходящим в вершину х k , т.е. j=å i j ik - .
Для любой промежуточной вершины х i сумма исходящих потоков равна сумме заходящих потоков, т.е. å j j ij + =å k j ik - .
На рис. 3.29 показана условная сеть, содержащая вершину-исток х 0 , вершину-сток х k и две промежуточные вершины х i и х j . На каждой дуге в круглых скобках приведены обозначения потока и пропускной способности соответствующей дуги. При этом поток, подводимый к сети равен j=(j 0i +j 0j), поток отводимый от сети равен j=(j ik +j jk), поток из вершины х i в вершину х j равен j ij . Для вершины х i имеем j 0i =(j ij +j ik), для вершину х j - j jk =(j 0j +j ij).
Если множество вершин графа разбить на два непересекающихся подмножества, одно из которых содержит вершину-исток, а другое - вершину-сток, то множество дуг, соединяющих эти два множества, формируют разрез А i , пропускная способность которого равна сумме пропускных способностей дуг. Таких разрезов может быть несколько.
В таблице приведены четыре разреза для сети на рис. 3.29
| Разрез | пропускная способность дуги Сij | пропускная способность | ||||
| С 0 i | С 0 j | С i j | С i k | С jk | разреза С(A i) | |
| А 1 | С 0i + С 0j | |||||
| А 2 | С 0j +С ij +С ik | |||||
| А 3 | С ik +С jk | |||||
| А 4 | С 0i +С ij +С jk |
Например, для разреза А 1 имеем Х’={x 0 } и X\Х’={х i , х j , х k }, для А 2 - Х’={х 0 , х i } и X\Х’={х j , х k }, для А 3 - Х’={х 0 , х i , x j } и X\Х’={х k }, для А 4 - Х’={х 0 , х j } и X\Х’={x i , х k }.
Очевидно, что величина максимального потока ограничена минимальной пропускной способностью разреза, т.е.
j max =min{С(A i)}
Итак, максимальный поток в сети с заданными пропускными способностями дуг можно находить, вычисляя пропускные способности разрезов и выбирая среди них - минимальную. Однако при таком решении остается неизвестным распределение потока по дугам.
Для поиска распределения потока по дугам разработано несколько алгоритмов. Особое место среди них занимает алгоритм Форда-Фалкерсона, суть которого состоит в разметке вершин графа.
Метка вершины графа указывает на возможность изменения потока через данную вершину и указывает источник этого изменения. На рис. 3.30 дан фрагмент сети, объясняющий суть алгоритма.
Если по дуге (х s , х i) возможно увеличение потока (j si < c si), то вершину х i следует пометить +s , что указывает на источник увеличения потока.
Если по дуге (х i , х j) возможно увеличение потока j ij < c ij , то вершину х j пометить +i . Это означает, что приращение потока Dj si пойдет по направлению дуги (х i , х j) от вершины х s .
Если насыщена дуга (х s , х i), т.е. j si =c si , то метку +s нельзя ставить у вершины х i . Следовательно, если вершина x i не помечена, то у вершины x j нельзя ставить метку +i.
Если по дуге (х t , х j) возможно увеличение потока, т.е. j tj < c tj , то вершину х j следует пометить +t , что указывает на источник увеличения потока.
Если вершина х j не имеет пометки +i , то для увеличения потока в фрагменте сети, следует уменьшить поток в дуге (х i , х j) и направить его далее по другим дугам фрагмента на сток. Для указания этого у вершины x i ставят метку – j. Это означает что при общем приращении потока на участке (х i , х j) он должен быть уменьшен на величину Dj tj .
Если насыщена дуга (х t , х j), т.е. j tj =c tj , то метку +t нельзя ставить у вершины х j . Следовательно, если вершина x j не помечена, то у вершины x i нельзя ставить метку -j.
Если насыщены обе дуги (х s , х i) и (х t , х j), что означает невозможность приращения потока Dj si и Dj tj , то нельзя ставить метки у вершин x i и x j и продолжения разметки следующих вершин сети до вершины-стока.
Так достигают максимального значения потока от вершин-истоков х s и х t по дугам к вершинам - стокам х i и х j .
Алгоритм Форда-Фалкерсона:
шаг 1 : присвоить всем вершинам графа индексы 0,1,2,...k; где 0-индекс вершины-истока графа, k -индекс вершины-стока графа;
шаг 2 : присвоить начальной вершине метку “0”;
шаг 3 : все непомеченные вершины х i , в которые идут ненасыщенные дуги из помеченной вершины х s , пометить индексом “+s”, что свидетельствует о возможности увеличения потока из вершины х s по дуге (х s , х i);
шаг 4 : все непомеченные вершины х i , из которых идут дуги (насыщенные или ненасыщенные) в помеченную вершину х j , пометить индексом “-j”, что свидетельствует о возможности уменьшения потока в вершину х j по дуге (х i , х j);
шаг 5 : если в результате этих операций окажется помеченной вершина-сток x k , то между начальной и конечной вершинами сети найдется маршрут, все вершины которого различны и с точностью до знака помечены индексами предыдущих вершин, формирующих переход, по которому можно увеличить поток, и перейти к шагу 6, иначе конец.
шаг 6 : увеличить поток в маршруте, сформированном на шаге 5, на единицу и перейти к шагу 3.
Признаком окончания работы алгоритма является невозможность пометки вершины-стока.
Пример : На рис. 3.31 дан граф. Найти величину максимального потока и его распределение в сети.
На каждой дуге (х i , х j) указаны величина потока и пропускная способность - (j ij , c ij).
Все расчеты сведены в две таблицы таблица а)
| х i | шаг итерации | ||||||
| х 0 | |||||||
| х 1 | +0 | +0 | +0 | +0, -3 | -3 | - | - |
| х 2 | +0;+3 | +0;+3 | +0 | +0 | +0 | +0 | - |
| х 3 | +0;+1 | +0;+1 | +0;+1 | +0 | +0 | - | - |
| х k | +1;+2;+3 | +1;+2 | +1;+2 | +1;+2 | +1,+2 | +2 | - |
таблица b)
| (х i , х j) | С ij | шаг итерации | ||||||
| (х 0 , х 1) | ||||||||
| (х 0 , х 2) | ||||||||
| (х 0 , х 3) | ||||||||
| (х 1 , х 3) | ||||||||
| (х 1 , х k) | ||||||||
| (х 2 , х k) | ||||||||
| (х 3 , х 2) | ||||||||
| (х 3 , х k) |
В таблице а) на каждом шаге итерации для каждой вершины графа указаны возможные метки, а в таблице b) даны приращения потока по дугам (х i , х j). Полужирным шрифтом выделены насыщенные дуги графа
В результате выполнения первого шага итерации возможны переходы: n 0k ={(х k , х 1 , х 0); (х k , х 2 , х 0); (х k , х 2 , х 3 , х 0); (х k , х 2 , х 3 , х 1 , х 0);
(х k , х 3 , х 0); (х k , х 3 , х 1 , х 0)}. Пусть выбран n 0k =(х k , х 3 , х 0). Приращение потока на Dj=1 проходит по маршруту m=((х 0 , х 3), (х 3 , х k)).
На втором шаге возможны те же переходы. Пусть выбран переход n 0k =(х k , х 3 , х 0). Приращение потока на Dj=1 проходит по маршруту m={(х 0 , х 3), (х 3 , х k)}. При этом дуга (х 3 , х k) оказывается насыщенной, т. е. j 3k =c 3k =2.
На третьем шага возможны переходы: n 0k ={(х k , х 1 , х 0); (х k , х 2 , х 0); (х k , х 2 , х 3 , х 0); (х k , х 2 , х 3 , х 1 , х 0)}. Пусть выбран n 0k =(х k , х 2 , х 3 , х 1 , х 0). Приращение потока на Dj=1 проходит по маршруту m=((x 0 , x 1), (x 1 , x 3), (x 3 , x 2), (x 2 , x k)). При этом оказывается насыщенной дуга (х 3 , х 2), т. е. j 32 =c 32 =1.
На четвертом шаге возможны переходы: n 0k ={(х k , х 1 , х 0); (х k , х 2 , х 0)}. Пусть выбран n ok =(х k , х 1 , х 0). Приращение потока на Dj=1 проходит по маршруту m=((x 0 , x 1), (x 1 , x k)),. При этом оказывается насыщенной дуга (х 0 , х 1), т. е. j 01 =c 01 =2.
На пятом шаге возможны переходы: n 0k ={(х k , х 1 , -x 3 , х 0); (х k , х 2 , х 0)}. Пусть выбран n ok =(х k , х 1 , -x 3 , х 0). Приращение потока на Dj=1 проходит по маршруту m=((x 0 , x 3), (x 3 , x 1), (x 1 , x k))),. При этом оказывается насыщенной дуга (х 0 , х 3), т. е. j 03 =c 03 =3.
На шестом шаге возможен только один переход n 0k =(х k , х 2 , х 0), так как дуги (x 0 , x 1) и (x 0 , x 3) насыщены. Приращение потока на Dj=1 проходит по маршруту m=((x 0 , x 2), (x 2 , x k)),. При этом оказывается насыщенной дуга (х 0 , х 2), т. е. j 02 =c 02 =1.
На седьмом шаге невозможны ни один переход от x o к x k , так как дуги (x 0 , x 1), (x 0 , x 3) и (х 0 , х 2) насыщены и невозможно поставить метки у вершин x 1 , x 2 , и x 3 .
Алгоритм расчета максимального потока в сетях
ШАГ 1. Начальные присваивания. Текущему значению А т максимального потока в сети присваиваем значение 0. ШАГ 2. Выбор независимых маршрутов в сети и определение потоков в них. Из всего множества возможных маршрутов в сети от источника к стоку выбираем независимые маршруты М 1 , … , М k , не имеющие общих вершин, кроме начальной (источника v и ) и конечной (стока v с ). Для каждого выбранного маршрута М i (1£ i £ k ) определяем максимальный поток А (М i ).ШАГ 3. Коррекция текущего значения максимального потока в сети. Прибавляем найденные на ШАГе 2 значения максимальных потоков в независимых маршрутах М 1 , … , М k к текущему общему максимальному потоку в сети: А т := А т + А (М 1)+ А (М 2)+…+ А (М k ).ШАГ 4. Коррекция сети. Найденные на ШАГе 2 максимальные потоки А (М 1), … , А (М k )вычитаем из пропускной способности соответствующих дуг сети. Дуги с нулевой остаточной пропускной способностью удаляем.ШАГ 5. Проверка завершения работы алгоритма. Если после коррекции в сети не осталось маршрутов из источника v и в сток v с , то искомый максимальный поток в сети равен найденному текущему А := А т , алгоритм завершает свою работу, поскольку все пропускные возможности сети исчерпаны. Если же в корректированной сети существуют маршруты из источника v и в сток v с , то переход на ШАГ 2 и продолжение выполнения алгоритма. Пример 2. Найти максимальный поток в сети на рис.1.15 по данному алгоритму. Решение.ШАГ 1. Начальные присваивания. А т : = 0.I итерация. ШАГ 2. Выбор независимых маршрутов в сети и определение потоков в них. В качестве М 1 возьмем маршрут(v и =V 1 , V 2 , V 5 , v с =V 7), рассмотренный в примере 1. Для него А (М 1) = 10.
Также несложно выделить независимый от М 1 маршрут М 2 = (v и =V 1 , V 3 , V 6 , v с =V 7). Выполним для него расчет максимальной пропускной способности и скорректируем пропускную способность дуг: А (М 2)= min {d 13 , d 36 , d 67 }= min {45, 40, 30}= 30. d 13 ¢= d 13 - 30 = 15, d 36 ¢= d 36 - 30 = 10, d 67 ¢= d 67 - 30 = 0.
ШАГ 3. Коррекция текущего значения максимального потока в сети. А т := А т + А (М 1)+ А (М 2) = 0 + 10+ 30 = 40.ШАГ 4. Коррекция сети. Найденные на ШАГе 2 максимальные потоки А (М 1), А (М 2) в маршрутах М 1 , М 2 вычитаем из пропускной способности их дуг. Дуги с нулевой остаточной пропускной способностью удаляем. Результат дан на рис.1.16 а. а) б)Рис.1.16. Результат коррекции сети после итераций I и IIШАГ 5. Проверка завершения работы алгоритма. В корректированной сети (рис.1.16 а) существуют маршруты из источника v и в сток v с , например М 3 = (v и =V 1 , V 4 , V 2 , V 5 , v с =V 7). Продолжение выполнения алгоритма.II итерация. ШАГ 2. В качестве единственного независимого маршрута примем М 3 = (v и =V 1 , V 4 , V 2 , V 5 , v с =V 7). Для него:
А (М 3)= min {d 14 , d 42 , d 25 , d 57 }= min {15, 10, 10, 15}= 10.
d 14 ¢= d 14 - 10 = 5, d 42 ¢= d 42 - 10 = 0, d 25 ¢= d 25 - 10 = 0, d 57 ¢= d 57 - 10 = 5.
ШАГ 3. А т := А т + А (М 3) = 40 + 10= 50.ШАГ 4. Коррекция сети. Максимальный поток А (М 3)вычитаем из дуг маршрута М 13 . Результат дан на рис.1.16 б.
ШАГ 5. В корректированной сети не осталось маршрутов из источникав сток. А := А т := 50, завершение работы алгоритма.Ответ: максимальный поток в сети на рис.1.15 равен 50.Еслив сети задано несколькоисточников, ее достраивают, вводя новый общий источник, который соединяют с исходными источниками дугами, имеющими неограниченную пропускную способность. Затем задачу решают по обычному алгоритму. Искомыми потоками через исходные источники будут потоки по вновь добавленным дугам, входящим в них из нового общего источника. Аналогично поступают при наличии в сети нескольких стоков.
Любую задачу по проектированию либо построению достаточно сложного объекта (проект ) можно разбить на ряд более мелких составляющих шагов. От правильного выбора последовательности выполнения данных шагов зависят сроки выполнения всего проекта.
Весь комплекс действий по выполнению проекта представляют в виде совокупности событий и работ . Событиями называют отдельные этапы проекта. Работами называют процесс их выполнения. Весь комплекс событий и работ, необходимых для выполнения проекта, может быть представлен в виде двухполюсной сети Г = ({v и, v з }, V, X ), в которой:
а) все события обозначены множеством вершин V, среди них выделено исходное событие v и (начало работ) и завершающее событие v з (завершение выполнения всего проекта), внутренние вершины сети задают промежуточные события - этапы, которые необходимо выполнить в процессе реализации проекта,
б) все работы обозначены дугами, соединяющими между собой пары событий - вершин.
Графическое изображение данной сети называют сетевым графиком. Для обозначения последовательности действий в сетевой график вводят также фиктивные работы , которые не связаны с выполнением каких-либо действий. Соответствующие работы обозначают штриховыми дугами.
В качестве примера рассмотрим организацию некоторого производства. Проект требует выполнения следующих работ:
I) маркетинговые исследования, II) предпроектные исследования по оборудованию, III) организация сети сбыта, IV) проведение рекламной кампании, V) разработка технического задания на производственное оборудование, VI) разработка технической документации на производственные помещения и коммуникации, VII) закупка стандартного оборудования, VIII) проектирование и изготовление нестандартного оборудования, IX)строительство производственных помещений и монтаж коммуникаций, X) монтаж стандартного оборудования, XI) монтаж нестандартного оборудования, XII) пусконаладочные работы.
Данные работы обозначим в сетевом графике дугами с соответствующими номерами.
Событиями в данном проекте будут следующие:
1) начало работ (исходное событие), 2) завершение маркетинговых исследований, 3) завершение предпроектных исследований, 4) организация сети сбыта, 5) организация рекламной кампании, 6) подготовка технического задания на производственное оборудование, 7) завершение разработки технической документации на производственные помещения и коммуникации, 8) завершение закупки стандартного оборудования, 9) завершение проектирования и изготовления нестандартного оборудования, 10) завершение строительства производственных помещений и монтажа коммуникаций, 11) завершение установки оборудования и пуско-наладочных работ,
12) завершение проекта (завершающее событие).
Событиям сопоставляем вершины с соответствующими номерами. Сетевой график выполнения проекта дан на рис. 1.17:
Рис.1.17. Сетевой график выполнения проекта
Сумма потоков через дуги, инцидентные v , равна сумме потоков через дуги, инцидентные w ; эта сумма называется величиной потока. Будем в первую очередь интересоваться потоками, имеющими наибольшую возможную величину, - так называемыми максимальными потоками. В общем случае сеть может иметь несколько различных максимальных потоков, однако их величины должны совпадать. (4)
Изучение максимальных потоков через сеть N = (V,D,a) тесно связано с понятием разреза, т.е. такого множества A дуг орграфа D, которое обладает тем свойством, что любая простая цепь из v в проходит через дугу, принадлежащую A. Пропускной способностью разреза называется сумма пропускных способностей принадлежащих ему дуг. Разрезы, обладающие наименьшей возможной пропускной способностью, называются минимальными разрезами.
Величина любого потока не превышает пропускной способности любого разреза, и, следовательно, величина любого максимального потока не превышает пропускной способности любого минимального разреза. Однако сразу не ясно, что два последних числа всегда равны между собой; Этот результат был получен американскими математиками Фордом и Фалкерсоном в 1955 году и назван теоремой о максимальном потоке и минимальном разрезе.
Теорема (о максимальном потоке и минимальном разрезе) . Во всякой сети величина любого максимального потока равна пропускной способности любого минимального разреза.
Теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе позволяет проверять, максимален данный поток или нет, но только для достаточно простых сетей. Разумеется, на практике приходится иметь дело с большими и сложными сетями, и в общем случае трудно найти максимальный поток простым подбором. Опишем один алгоритм нахождения максимального потока в любой сети с целочисленными пропускными способностями.
Шаг 1 . Сначала подберем поток, обладающий ненулевой величиной (если такой поток существует). Например, если N – сеть, представленная на рис. 29.3, то подходящим будет поток, изображенный на рис. 29.4. Стоит отметить, что чем больше величина выбранного нами начального потока , тем проще будут последующие шаги.
Шаг 2 . Исходя из N, строим новую сеть N’ путем изменения направления потока на противоположное. Более точно, любая дуга a, для которой(a) = 0, остается в N’ со своей первоначальной пропускной способностью, а любая дуга a, для которой , заменяется дугой a с пропускной способностью и противоположно направленной дугой с пропускной способностью (a). Сеть N’ в нашем примере показана на рис. 29.5. Вершина v уже не является источником,а – стоком.
Шаг 3 . Если в сети N’ мы сможем найти ненулевой поток из v в, то его можно добавить к первоначальному потокуи получить в N новый поток’большей величины. Теперь можно повторить шаг 2, используя при построении сети N’ новый поток’ вместо. Повторяя эту процедуру, мы в конце концов придем к сети N’ , не содержащей ненулевых потоков; тогда соответствующий потокбудет максимальным потоком. Например, на рис. 29.5 существует ненулевой поток, в котором потоки через дуги (v,u ), (u,z ), (z,x ), (x,y ) и (y, ) равны единице, а потоки через остальные дуги равны нулю. Добавляя этот поток к потоку на рис. 29.4, получим поток, изображенный на рис. 29.6; повторяя шаг 2, легко показать, что это и есть максимальный поток.
Используемая литература:
(1) http://pgap.chat.ru/zap/zap264.htm#0
(2) Асанов М.О., Баранский В.А., Расин В.В. Дискретная математика: графы матроиды, алгоритмы
(3) Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети.
(4) Уилсон Р. Введение в теорию графов
Пусть задан ориентированный граф G=
Обозначим через x(v) величину потока, движущегося по дуге v . Очевидно, что
0£ x(v) £ d(v) , vÎV . (6. 1)
В каждой вершине iÎE\{t,s} объем потока входящего равен объему потока выходящего, т.е. справедливо равенство
{x(v )|i Î V + (i)}= {x(v)| iÎ V - (i)}
{x(v)| iÎV + (i)} - {x(v)| iÎV - (i)}=0. (6.2)
Для вершины t
{x(v)| iÎV + (i)} -{x(v)¦ iÎV - (i)}=-Q, (6.3)
для вершины s
{x(v)| iÎ V + (i)} -{x(v)¦ i Î V - (i)}= Q. (6.4)
Величина Q является величиной потока, который выходит из вершины t и входит в вершину s .
Требуется определить
Q ® max (6.5)
при ограничениях (6.1-6.4).
Величины Q, x(v) , vÎV, удовлетворяющие ограничениям (6.1-6.4) будем называть потоком в сети, и если они максимизируют величину Q , то максимальным потоком. Нетрудно видеть, что значения Q=0, x(v)=0, vÎV , являются потоком в сети.
Задача (6.1-6.5) является задачей линейного программирования и ее можно решить алгоритмами симплекс-метода.
Разобьем множество вершины Е на две непересекающиеся части Е1 и Е2 таким образом, чтобы tÎE1, sÎE2 . Разрезом V(E1,E2) , разделяющим t и s будем называть множество V(E1,E2)ÌV такое, что для каждой дуги v Î V(E1,E2) либо h1(v)ÎE1 и h2(v)ÎE2 , либо h1(v)ÎE2 и h2(v)ÎE1 .
Разобьем множество V(E1,E2) на две части V(E1,E2,+),V(E1,E2,-) следующим образом:
V(E1,E2,+)={vÎV(E1,E2)| h1(v)ÎE1 и h2(v)ÎE2}
V(E1,E2,-)= { vÎV(E1,E2)| h2(v)ÎE1 и h1(v)ÎE2}
Пропускной способностью разреза будем называть
Q(E1,E2) = {x(v)| vÎV(E1,E2,+)}-{x(v)| vÎV(E1,E2,-)}
Справедлива следующая
Теорема 1 . (О максимальном потоке и минимальном разрезе).
В любой сети величина максимального потока из источника t в сток s равна минимальной пропускной способности Q(E1,E2) среди всех разрезов V(E1,E2) , разделяющих вершины t и s .
Заметим, что в максимальном потоке
x(v)=d(v) , vÎV(E1,E2,+),
x(v)=0 , vÎV(E1,E2,-).
Пусть Q, x(v), vÎV, - некоторый поток в сети, последовательность
t=i(0),v(1),i(1),v(2),i(2),...,v(k),i(k)=s,
является цепью, соединяющих вершины t и s . Зададим на этой цепи направление движения от вершины t к s . Дуга v(j) из этой цепи называется прямой, если ее направление совпадает с направлением движения от t к s , и обратной в противном случае. Эту цепь будем называть путем увеличения потока , если для прямых дуг v цепи x(v) < d(v) и для обратных x(v) > 0 . По этой цепи можно пропустить дополнительный поток q из t к s величиной q = min (q1,q2), где q1=min (d(v) -x(v)) , минимум берется по всем прямым дугам цепи, q1=min (x(v)) , минимум берется по всем обратным дугам цепи.
Теорема 2 .
Поток Q, x(v) , vÎV , максимальный тогда и только тогда, когда не существует пути увеличения потока.
Предлагаемый алгоритм решения задачи о максимальном потоке в сети, основан на поиске пути увеличения потока из t в s , который в свою очередь основан на процессе расстановки пометок вершин. Будем говорить, что
вершина i помечена пометкой q(i)>0 , а также известна дуга прямая дуга v(i) , через которую поступил этот поток, либо помечена пометкой , если до нее дошел некоторый дополнительный поток величиной q(i)>0 , а также известна обратная дуга v(i) , через которую поступил этот поток;
вершина i просмотрена, если помечены все соседние с ней вершины.
Если помечена вершина s, то найден путь увеличения потока величиной q , который пропускается по этому пути. Для описания алгоритма нам понадобится также массив SPW , в который помещаются номера помеченных вершин в порядке их пометки. С1 - номер в массиве SPW просматриваемой вершины, С2 - номер последней помеченной вершины в этом массиве.
