Formules trigonométriques exemples de solutions. Méthodes de résolution d'équations trigonométriques

En résolvant plusieurs problèmes mathématiques , en particulier ceux qui surviennent avant la 10e année, l'ordre des actions effectuées qui mèneront à l'objectif est clairement défini. De tels problèmes incluent, par exemple, les équations linéaires et quadratiques, les équations linéaires et inégalités quadratiques, les équations fractionnaires et les équations qui se réduisent au quadratique. Le principe pour résoudre avec succès chacun des problèmes mentionnés est le suivant : vous devez établir le type de problème que vous résolvez, vous rappeler la séquence d'actions nécessaire qui mènera au résultat souhaité, c'est-à-dire répondez et suivez ces étapes.

Il est évident que le succès ou l'échec de la résolution d'un problème particulier dépend principalement de la manière dont le type d'équation à résoudre est correctement déterminé et de la manière dont la séquence de toutes les étapes de sa solution est correctement reproduite. Bien entendu, dans ce cas, il est nécessaire d’avoir les compétences nécessaires pour effectuer des transformations et des calculs identiques.

La situation est différente avec équations trigonométriques. Il n'est pas du tout difficile d'établir que l'équation est trigonométrique. Des difficultés surviennent lors de la détermination de la séquence d'actions qui mènerait à la bonne réponse.

Par apparenceéquation, il est parfois difficile d’en déterminer le type. Et sans connaître le type d'équation, il est quasiment impossible de choisir la bonne parmi plusieurs dizaines de formules trigonométriques.

Résoudre équation trigonométrique, tu dois essayer:

1. amener toutes les fonctions incluses dans l'équation aux « mêmes angles » ;
2. ramener l'équation à des « fonctions identiques » ;
3. déplier côté gaucheéquations de factorisation, etc.

Considérons méthodes de base pour résoudre des équations trigonométriques.

I. Réduction aux équations trigonométriques les plus simples

Diagramme de solutions

Étape 1. Exprimer une fonction trigonométrique en termes de composantes connues.

Étape 2. Trouvez l'argument de la fonction à l'aide des formules :

cosx = une ; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

péché x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

bronzage x = une; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Étape 3. Trouvez la variable inconnue.

Exemple.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solution.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z ;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z ;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z ;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Réponse : ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Remplacement variable

Diagramme de solutions

Étape 1. Réduisez l’équation sous forme algébrique par rapport à l’un des fonctions trigonométriques.

Étape 2. Notons la fonction résultante par la variable t (si nécessaire, introduisez des restrictions sur t).

Étape 3.Écrivez et résolvez l’équation algébrique résultante.

Étape 4. Effectuez un remplacement inversé.

Étape 5. Résolvez l'équation trigonométrique la plus simple.

Exemple.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Solution.

1) 2(1 – péché 2 (x/2)) – 5 péché (x/2) – 5 = 0 ;

2 péché 2 (x/2) + 5 péché (x/2) + 3 = 0.

2) Soit sin (x/2) = t, où |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0 ;

t = 1 ou e = -3/2, ne satisfait pas à la condition |t| ≤ 1.

4) péché(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z ;

x = π + 4πn, n Є Z.

Réponse : x = π + 4πn, n Є Z.

III. Méthode de réduction de l'ordre des équations

Diagramme de solutions

Étape 1. Remplacez cette équation par une équation linéaire, en utilisant la formule de réduction du degré :

péché 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x) ;

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x) ;

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Étape 2. Résolvez l'équation résultante en utilisant les méthodes I et II.

Exemple.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Solution.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4 ;

3/2 car 2x = 3/4 ;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z ;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Réponse : x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Équations homogènes

Diagramme de solutions

Étape 1. Réduisons cette équation à la forme

a) un péché x + b cos x = 0 ( équation homogène premier degré)

ou à la vue

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (équation homogène du deuxième degré).

Étape 2. Divisez les deux côtés de l'équation par

une) cosx ≠ 0 ;

b) cos 2 x ≠ 0 ;

et obtenez l'équation pour tan x :

a) un bronzage x + b = 0 ;

b) un bronzage 2 x + b arctan x + c = 0.

Étape 3. Résolvez l'équation en utilisant des méthodes connues.

Exemple.

5 péché 2 x + 3 péché x cos x – 4 = 0.

Solution.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0 ;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0 ;

péché 2 x + 3 péché x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x – 4 = 0.

3) Soit tg x = t, alors

t 2 + 3t – 4 = 0 ;

t = 1 ou t = -4, ce qui signifie

tg x = 1 ou tg x = -4.

D'après la première équation x = π/4 + πn, n Є Z ; de la deuxième équation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Réponse : x = π/4 + πn, n Є Z ; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Méthode de transformation d'une équation à l'aide de formules trigonométriques

Diagramme de solutions

Étape 1. En utilisant toutes les formules trigonométriques possibles, réduisez cette équation à une équation résolue par les méthodes I, II, III, IV.

Étape 2. Résolvez l'équation résultante en utilisant des méthodes connues.

Exemple.

péché x + péché 2x + péché 3x = 0.

Solution.

1) (péché x + péché 3x) + péché 2x = 0 ;

2 péché 2x cos x + péché 2x = 0.

2) péché 2x (2cos x + 1) = 0 ;

péché 2x = 0 ou 2cos x + 1 = 0 ;

D'après la première équation 2x = π/2 + πn, n Є Z ; de la deuxième équation cos x = -1/2.

Nous avons x = π/4 + πn/2, n Є Z ; à partir de la deuxième équation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

En conséquence, x = π/4 + πn/2, n Є Z ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Réponse : x = π/4 + πn/2, n Є Z ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

La capacité et l'habileté à résoudre des équations trigonométriques sont très important, leur développement nécessite un effort important, tant de la part de l’élève que de la part de l’enseignant.

De nombreux problèmes de stéréométrie, de physique, etc. sont associés à la solution d'équations trigonométriques. Le processus de résolution de ces problèmes incarne de nombreuses connaissances et compétences acquises en étudiant les éléments de la trigonométrie.

Les équations trigonométriques occupent une place importante dans le processus d’apprentissage des mathématiques et du développement personnel en général.

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Concept de résolution d'équations trigonométriques.

Pour résoudre une équation trigonométrique, convertissez-la en une ou plusieurs équations trigonométriques de base. Résoudre une équation trigonométrique revient en fin de compte à résoudre les quatre équations trigonométriques de base.

Résoudre des équations trigonométriques de base.

Il existe 4 types d'équations trigonométriques de base :
péché x = a; cos x = une
bronzage x = une; ctg x = a
La résolution d'équations trigonométriques de base implique d'examiner différentes positions x sur le cercle unité, ainsi que d'utiliser une table de conversion (ou une calculatrice).
Exemple 1. péché x = 0,866. À l’aide d’une table de conversion (ou d’une calculatrice), vous obtiendrez la réponse : x = π/3. Le cercle unité donne une autre réponse : 2π/3. N'oubliez pas : toutes les fonctions trigonométriques sont périodiques, ce qui signifie que leurs valeurs se répètent. Par exemple, la périodicité de sin x et cos x est 2πn, et la périodicité de tg x et ctg x est πn. La réponse s’écrit donc comme suit :
x1 = π/3 + 2πn ; x2 = 2π/3 + 2πn.
Exemple 2. cos x = -1/2. À l’aide d’une table de conversion (ou d’une calculatrice), vous obtiendrez la réponse : x = 2π/3. Le cercle unité donne une autre réponse : -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π ; x2 = -2π/3 + 2π.
Exemple 3. tg (x - π/4) = 0.
Réponse : x = π/4 + πn.
Exemple 4. ctg 2x = 1,732.
Réponse : x = π/12 + πn.

Transformations utilisées dans la résolution d'équations trigonométriques.

Pour transformer des équations trigonométriques, des transformations algébriques sont utilisées (factorisation, réduction membres homogènes etc.) et identités trigonométriques.
Exemple 5 : En utilisant des identités trigonométriques, l'équation sin x + sin 2x + sin 3x = 0 est convertie en l'équation 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Ainsi, les équations trigonométriques de base suivantes doivent être résolus : cos x = 0 ; péché(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Trouver des angles par valeurs connues les fonctions.
- Avant d'apprendre à résoudre des équations trigonométriques, vous devez apprendre à trouver des angles à l'aide de valeurs de fonctions connues. Cela peut être fait à l'aide d'une table de conversion ou d'une calculatrice.
- Exemple : cos x = 0,732. La calculatrice donnera la réponse x = 42,95 degrés. Le cercle unité donnera angles supplémentaires, dont le cosinus est également 0,732.
Mettez de côté la solution sur le cercle unité.
- Vous pouvez tracer les solutions d'une équation trigonométrique sur le cercle unité. Les solutions d'une équation trigonométrique sur le cercle unité sont les sommets d'un polygone régulier.
- Exemple : Les solutions x = π/3 + πn/2 sur le cercle unité représentent les sommets du carré.
- Exemple : Les solutions x = π/4 + πn/3 sur le cercle unité représentent les sommets d'un hexagone régulier.
Méthodes de résolution d'équations trigonométriques.
- Si une équation trigonométrique donnée ne contient qu'une seule fonction trigonométrique, résolvez cette équation comme une équation trigonométrique de base. Si une équation donnée comprend deux ou plusieurs fonctions trigonométriques, alors il existe 2 méthodes pour résoudre une telle équation (en fonction de la possibilité de sa transformation).
  - Méthode 1.
- Transformez cette équation en une équation de la forme : f(x)*g(x)*h(x) = 0, où f(x), g(x), h(x) sont les équations trigonométriques de base.
- Exemple 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Solution. En utilisant la formule du double angle sin 2x = 2*sin x*cos x, remplacez sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Résolvez maintenant les deux équations trigonométriques de base : cos x = 0 et (sin x + 1) = 0.
- Exemple 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Solution : À l'aide d'identités trigonométriques, transformez cette équation en une équation de la forme : cos 2x(2cos x + 1) = 0. Résolvez maintenant les deux équations trigonométriques de base : cos 2x = 0 et (2cos x + 1) = 0.
- Exemple 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- Solution : À l'aide d'identités trigonométriques, transformez cette équation en une équation de la forme : -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Résolvez maintenant les deux équations trigonométriques de base : cos 2x = 0 et (2sin x + 1) = 0 .
  - Méthode 2.
- Convertissez l'équation trigonométrique donnée en une équation contenant une seule fonction trigonométrique. Remplacez ensuite cette fonction trigonométrique par une fonction inconnue, par exemple t (sin x = t ; cos x = t ; cos 2x = t, tan x = t ; tg (x/2) = t, etc.).
- Exemple 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Solution. Dans cette équation, remplacez (cos^2 x) par (1 - sin^2 x) (selon l'identité). L'équation transformée est :
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Remplacez sin x par t. L'équation ressemble maintenant à : 5t^2 - 4t - 9 = 0. Il s'agit d'une équation quadratique qui a deux racines : t1 = -1 et t2 = 9/5. La deuxième racine t2 ne satisfait pas l'intervalle de fonction (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Exemple 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Solution. Remplacez tgx par t. Réécrivez l'équation originale dans le formulaire suivant: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Trouvez maintenant t puis trouvez x pour t = tan x.

En résolvant plusieurs problèmes mathématiques, en particulier ceux qui surviennent avant la 10e année, l'ordre des actions effectuées qui mèneront à l'objectif est clairement défini. De tels problèmes incluent, par exemple, les équations linéaires et quadratiques, les inégalités linéaires et quadratiques, les équations fractionnaires et les équations qui se réduisent aux équations quadratiques. Le principe pour résoudre avec succès chacun des problèmes mentionnés est le suivant : vous devez établir le type de problème que vous résolvez, vous rappeler la séquence d'actions nécessaire qui mènera au résultat souhaité, c'est-à-dire répondez et suivez ces étapes.

Il est parfois difficile de déterminer son type à partir de l’apparence d’une équation. Et sans connaître le type d'équation, il est quasiment impossible de choisir la bonne parmi plusieurs dizaines de formules trigonométriques.

Pour résoudre une équation trigonométrique, vous devez essayer :

1. amener toutes les fonctions incluses dans l'équation aux « mêmes angles » ;
2. ramener l'équation à des « fonctions identiques » ;
3. factoriser le côté gauche de l'équation, etc.

Considérons méthodes de base pour résoudre des équations trigonométriques.

I. Réduction aux équations trigonométriques les plus simples

Diagramme de solutions

Étape 1. Exprimer une fonction trigonométrique en termes de composantes connues.

Étape 2. Trouvez l'argument de la fonction à l'aide des formules :

cosx = une ; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

péché x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

bronzage x = une; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Étape 3. Trouvez la variable inconnue.

Exemple.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solution.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z ;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z ;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z ;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Réponse : ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Remplacement variable

Diagramme de solutions

Étape 1. Réduisez l’équation sous forme algébrique par rapport à l’une des fonctions trigonométriques.

Étape 2. Notons la fonction résultante par la variable t (si nécessaire, introduisez des restrictions sur t).

Étape 3.Écrivez et résolvez l’équation algébrique résultante.

Étape 4. Effectuez un remplacement inversé.

Étape 5. Résolvez l'équation trigonométrique la plus simple.

Exemple.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Solution.

1) 2(1 – péché 2 (x/2)) – 5 péché (x/2) – 5 = 0 ;

2 péché 2 (x/2) + 5 péché (x/2) + 3 = 0.

2) Soit sin (x/2) = t, où |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0 ;

t = 1 ou e = -3/2, ne satisfait pas à la condition |t| ≤ 1.

4) péché(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z ;

x = π + 4πn, n Є Z.

Réponse : x = π + 4πn, n Є Z.

III. Méthode de réduction de l'ordre des équations

Diagramme de solutions

Étape 1. Remplacez cette équation par une équation linéaire, en utilisant la formule de réduction du degré :

péché 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x) ;

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x) ;

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Étape 2. Résolvez l'équation résultante en utilisant les méthodes I et II.

Exemple.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Solution.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4 ;

3/2 car 2x = 3/4 ;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z ;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Réponse : x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Équations homogènes

Diagramme de solutions

Étape 1. Réduisons cette équation à la forme

a) a sin x + b cos x = 0 (équation homogène du premier degré)

ou à la vue

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (équation homogène du deuxième degré).

Étape 2. Divisez les deux côtés de l'équation par

une) cosx ≠ 0 ;

b) cos 2 x ≠ 0 ;

et obtenez l'équation pour tan x :

a) un bronzage x + b = 0 ;

b) un bronzage 2 x + b arctan x + c = 0.

Étape 3. Résolvez l'équation en utilisant des méthodes connues.

Exemple.

5 péché 2 x + 3 péché x cos x – 4 = 0.

Solution.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0 ;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0 ;

péché 2 x + 3 péché x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x – 4 = 0.

3) Soit tg x = t, alors

t 2 + 3t – 4 = 0 ;

t = 1 ou t = -4, ce qui signifie

tg x = 1 ou tg x = -4.

D'après la première équation x = π/4 + πn, n Є Z ; de la deuxième équation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Réponse : x = π/4 + πn, n Є Z ; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Méthode de transformation d'une équation à l'aide de formules trigonométriques

Diagramme de solutions

Étape 1. En utilisant toutes les formules trigonométriques possibles, réduisez cette équation à une équation résolue par les méthodes I, II, III, IV.

Étape 2. Résolvez l'équation résultante en utilisant des méthodes connues.

Exemple.

péché x + péché 2x + péché 3x = 0.

Solution.

1) (péché x + péché 3x) + péché 2x = 0 ;

2 péché 2x cos x + péché 2x = 0.

2) péché 2x (2cos x + 1) = 0 ;

péché 2x = 0 ou 2cos x + 1 = 0 ;

D'après la première équation 2x = π/2 + πn, n Є Z ; de la deuxième équation cos x = -1/2.

Nous avons x = π/4 + πn/2, n Є Z ; à partir de la deuxième équation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

En conséquence, x = π/4 + πn/2, n Є Z ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Réponse : x = π/4 + πn/2, n Є Z ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Les équations trigonométriques occupent une place importante dans le processus d’apprentissage des mathématiques et du développement personnel en général.

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Ce que nous étudierons :
1. Que sont les équations trigonométriques ?

3. Deux méthodes principales pour résoudre des équations trigonométriques.
4. Équations trigonométriques homogènes.
5. Exemples.

Que sont les équations trigonométriques ?

Les gars, nous avons déjà étudié l'arc sinus, l'arc cosinus, l'arc tangente et l'arc cotangente. Examinons maintenant les équations trigonométriques en général.

Les équations trigonométriques sont des équations dans lesquelles une variable est contenue sous le signe d'une fonction trigonométrique.

Répétons la forme de résolution des équations trigonométriques les plus simples :

1)Si |a|≤ 1, alors l'équation cos(x) = a a une solution :

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Si |a|≤ 1, alors l'équation sin(x) = a a une solution :

3) Si |a| > 1, alors l'équation sin(x) = a et cos(x) = a n'ont pas de solutions 4) L'équation tg(x)=a a une solution : x=arctg(a)+ πk

5) L'équation ctg(x)=a a une solution : x=arcctg(a)+ πk

Pour toutes les formules, k est un entier

Les équations trigonométriques les plus simples ont la forme : T(kx+m)=a, T est une fonction trigonométrique.

Exemple.

Résolvez les équations : a) sin(3x)= √3/2

Solution:

A) Notons 3x=t, puis nous réécrirons notre équation sous la forme :

La solution de cette équation sera : t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Du tableau des valeurs, nous obtenons : t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Revenons à notre variable : 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Alors x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Réponse : x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, où n est un entier. (-1)^n – moins un à la puissance n.

Plus d'exemples d'équations trigonométriques.

Résolvez les équations : a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Solution:

A) Cette fois, passons directement au calcul des racines de l’équation :

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Alors x/5= πk => x=5πk

Réponse : x=5πk, où k est un entier.

B) On l'écrit sous la forme : 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. On sait que : arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Réponse : x=2π/9 + πk/3, où k est un entier.

Résolvez les équations : cos(4x)= √2/2. Et retrouvez toutes les racines sur le segment.

Solution:

Nous déciderons dans vue générale notre équation : 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk ;

X = ± π/16+ πk/2 ;

Voyons maintenant quelles sont les racines de notre segment. À k À k=0, x= π/16, nous sommes dans le segment donné.
Avec k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, on frappe à nouveau.
Pour k=2, x= π/16+ π=17π/16, mais ici nous n'avons pas touché, ce qui signifie que pour k grand, nous n'atteindrons évidemment pas non plus.

Réponse : x= π/16, x= 9π/16

Deux méthodes principales de résolution.

Nous avons examiné les équations trigonométriques les plus simples, mais il en existe aussi des plus complexes. Pour les résoudre, la méthode d'introduction d'une nouvelle variable et la méthode de factorisation sont utilisées. Regardons des exemples.

Résolvons l'équation :

Solution:
Pour résoudre notre équation, nous utiliserons la méthode d'introduction d'une nouvelle variable, notant : t=tg(x).

À la suite du remplacement on obtient : t 2 + 2t -1 = 0

Trouvons les racines équation quadratique: t=-1 et t=1/3

Alors tg(x)=-1 et tg(x)=1/3, on obtient l'équation trigonométrique la plus simple, trouvons ses racines.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk ; x=arctg(1/3) + πk.

Réponse : x= -π/4+πk ; x=arctg(1/3) + πk.

Un exemple de résolution d'une équation

Résoudre les équations : 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Solution:

Utilisons l'identité : sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Notre équation prendra la forme : 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Introduisons le remplacement t=cos(x) : 2t 2 -3t - 2 = 0

La solution de notre équation quadratique est les racines : t=2 et t=-1/2

Alors cos(x)=2 et cos(x)=-1/2.

Parce que le cosinus ne peut pas prendre de valeurs supérieures à un, alors cos(x)=2 n'a pas de racine.

Pour cos(x)=-1/2 : x= ± arccos(-1/2) + 2πk ; x= ±2π/3 + 2πk

Réponse : x= ±2π/3 + 2πk

Équations trigonométriques homogènes.

Définition : Les équations de la forme a sin(x)+b cos(x) sont appelées équations trigonométriques homogènes du premier degré.

Équations de la forme

équations trigonométriques homogènes du deuxième degré.

Pour résoudre une équation trigonométrique homogène du premier degré, divisez-la par cos(x) : Vous ne pouvez pas diviser par le cosinus s'il est égal à zéro, assurons-nous que ce n'est pas le cas :
Soit cos(x)=0, alors asin(x)+0=0 => sin(x)=0, mais le sinus et le cosinus ne sont pas égaux à zéro en même temps, nous obtenons une contradiction, nous pouvons donc diviser en toute sécurité par zéro.

Résous l'équation:
Exemple : cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Solution:

Supposons le facteur commun : cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Nous devons alors résoudre deux équations :

Cos(x)=0 et cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 à x= π/2 + πk ;

Considérons l'équation cos(x)+sin(x)=0 Divisez notre équation par cos(x) :

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Réponse : x= π/2 + πk et x= -π/4+πk

Comment résoudre des équations trigonométriques homogènes du deuxième degré ?
Les gars, suivez toujours ces règles !

1. Voyez à quoi est égal le coefficient a, si a=0 alors notre équation prendra la forme cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), dont un exemple de solution se trouve sur la diapositive précédente

2. Si a≠0, alors vous devez diviser les deux côtés de l'équation par le cosinus carré, nous obtenons :

On change la variable t=tg(x) et on obtient l'équation :

Résoudre l'exemple n° : 3

Résous l'équation:
Solution:

Divisons les deux côtés de l'équation par le carré cosinus :

On change la variable t=tg(x) : t 2 + 2 t - 3 = 0

Trouvons les racines de l'équation quadratique : t=-3 et t=1

Alors : tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Réponse : x=-arctg(3) + πk et x= π/4+ πk

Résoudre l'exemple n° : 4

Résous l'équation:

Solution:
Transformons notre expression :

Nous pouvons résoudre de telles équations : x= - π/4 + 2πk et x=5π/4 + 2πk

Réponse : x= - π/4 + 2πk et x=5π/4 + 2πk

Résoudre l'exemple n° : 5

Résous l'équation:

Solution:
Transformons notre expression :

Introduisons le remplacement tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

La solution de notre équation quadratique sera les racines : t=-2 et t=1/2

On obtient alors : tg(2x)=-2 et tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Réponse : x=-arctg(2)/2 + πk/2 et x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problèmes pour une solution indépendante.

1) Résoudre l'équation

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Résolvez les équations : sin(3x)= √3/2. Et trouvez toutes les racines du segment [π/2; π].

3) Résolvez l'équation : lit bébé 2 (x) + 2 lit bébé (x) + 1 =0

4) Résolvez l'équation : 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Résolvez l'équation : 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Résolvez l'équation : cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Les relations entre les fonctions trigonométriques de base - sinus, cosinus, tangente et cotangente - sont données formules trigonométriques. Et comme il existe de nombreuses connexions entre les fonctions trigonométriques, cela explique l'abondance des formules trigonométriques. Certaines formules relient des fonctions trigonométriques du même angle, d'autres - des fonctions d'un angle multiple, d'autres - permettent de réduire le degré, quatrième - expriment toutes les fonctions par la tangente d'un demi-angle, etc.

Dans cet article, nous listerons dans l'ordre toutes les formules trigonométriques de base, suffisantes pour résoudre la grande majorité des problèmes de trigonométrie. Pour faciliter la mémorisation et l'utilisation, nous les regrouperons par objectif et les saisirons dans des tableaux.

Navigation dans les pages.

Identités trigonométriques de base

Identités trigonométriques de base définir la relation entre le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle. Ils découlent de la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, ainsi que de la notion de cercle unité. Ils vous permettent d'exprimer une fonction trigonométrique par rapport à une autre.

Pour une description détaillée de ces formules trigonométriques, leur dérivation et des exemples d'application, voir l'article.

Formules de réduction

Formules de réduction découlent des propriétés du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, c'est-à-dire qu'elles reflètent la propriété de périodicité des fonctions trigonométriques, la propriété de symétrie, ainsi que la propriété de décalage d'un angle donné. Ces formules trigonométriques vous permettent de passer du travail avec des angles arbitraires au travail avec des angles allant de zéro à 90 degrés.

La justification de ces formules, une règle mnémotechnique pour leur mémorisation et des exemples de leur application peuvent être étudiées dans l'article.

Formules d'addition

Formules d'addition trigonométriques montrer comment les fonctions trigonométriques de la somme ou de la différence de deux angles sont exprimées en termes de fonctions trigonométriques de ces angles. Ces formules servent de base pour dériver les formules trigonométriques suivantes.

Formules pour double, triple, etc. angle

Formules pour double, triple, etc. L'angle (on les appelle aussi formules d'angles multiples) montre comment les fonctions trigonométriques du double, du triple, etc. les angles () sont exprimés en termes de fonctions trigonométriques d'un seul angle. Leur calcul est basé sur des formules d'addition.

Des informations plus détaillées sont collectées dans l'article formules pour double, triple, etc. angle

Formules demi-angle

Formules demi-angle montrer comment les fonctions trigonométriques d'un demi-angle sont exprimées en termes de cosinus d'un angle entier. Ces formules trigonométriques découlent des formules à double angle.

Leur conclusion et des exemples d'application peuvent être trouvés dans l'article.

Formules de réduction de diplôme

Formules trigonométriques pour réduire les degrés visent à faciliter la transition entre diplômes naturels fonctions trigonométriques aux sinus et cosinus au premier degré, mais à angles multiples. Autrement dit, ils permettent de réduire les puissances des fonctions trigonométriques au premier.

Formules pour la somme et la différence des fonctions trigonométriques

L'objectif principal formules pour la somme et la différence des fonctions trigonométriques est d'aller au produit de fonctions, ce qui est très utile pour simplifier des expressions trigonométriques. Ces formules sont également largement utilisées dans la résolution d'équations trigonométriques, car elles permettent de factoriser la somme et la différence des sinus et des cosinus.

Formules pour le produit des sinus, des cosinus et du sinus par cosinus

Le passage du produit de fonctions trigonométriques à une somme ou une différence s'effectue à l'aide des formules du produit des sinus, des cosinus et du sinus par cosinus.

Bashmakov M.I. Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel. pour les classes 10-11. moy. école - 3e éd. - M. : Éducation, 1993. - 351 p. : ill. - ISBN5-09-004617-4.

Algèbre et le début de l'analyse : Proc. pour les classes 10-11. enseignement général institutions / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn et autres ; Éd. A. N. Kolmogorov. - 14e éd. - M. : Education, 2004. - 384 pp. : ill. - ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques) : Proc. allocation.- M.; Plus haut école, 1984.-351 p., ill.

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