Introduction. Les mathématiques, en tant que science des relations quantitatives et des formes spatiales de la réalité, étudient le monde qui nous entoure. Les mathématiques en tant que science des relations quantitatives et des formes spatiales du monde réel Un ensemble de sciences qui étudient en

Les mathématiques sont la science des relations quantitatives et des formes spatiales du monde réel. En relation inextricable avec les exigences de la science et de la technologie, le stock de relations quantitatives et de formes spatiales étudiées par les mathématiques ne cesse de s'élargir, de sorte que la définition ci-dessus doit être comprise dans le sens le plus général.

Le but de l'étude des mathématiques est d'accroître les perspectives générales, la culture de la pensée et la formation d'une vision scientifique du monde.

Comprendre la position indépendante des mathématiques en tant que science particulière est devenu possible après l'accumulation d'un matériel factuel suffisamment important et est apparu pour la première fois dans la Grèce antique aux VIe-Ve siècles avant JC. C'était le début de la période des mathématiques élémentaires.

Durant cette période, la recherche mathématique ne porte que sur une quantité assez limitée de concepts de base nés des besoins les plus simples de la vie économique. Dans le même temps, on constate déjà une amélioration qualitative des mathématiques en tant que science.

Les mathématiques modernes sont souvent comparées à une grande ville. C’est une excellente comparaison car en mathématiques, comme dans une grande ville, il y a un processus continu de croissance et d’amélioration. En mathématiques, de nouveaux domaines émergent, de nouvelles théories élégantes et profondes se construisent, comme la construction de nouveaux quartiers et de nouveaux bâtiments. Mais les progrès des mathématiques ne se limitent pas à changer le visage de la ville grâce à la construction d’une nouvelle. Nous devons aussi changer l'ancien. Les anciennes théories sont incluses dans de nouvelles, plus générales ; il est nécessaire de renforcer les fondations des bâtiments anciens. De nouvelles rues doivent être construites afin d'établir des connexions entre les quartiers éloignés de la cité mathématique. Mais cela ne suffit pas : la conception architecturale nécessite des efforts importants, car la diversité des différents domaines des mathématiques non seulement gâche l'impression générale de la science, mais interfère également avec la compréhension de la science dans son ensemble et l'établissement de liens entre ses différentes parties.

Une autre comparaison est souvent utilisée : les mathématiques sont assimilées à un grand arbre ramifié, qui produit systématiquement de nouvelles pousses. Chaque branche de l'arbre est l'un ou l'autre domaine des mathématiques. Le nombre de branches ne reste pas inchangé, puisque de nouvelles branches poussent, celles qui poussaient d'abord séparément poussent ensemble et certaines branches se dessèchent, privées de jus nutritifs. Les deux comparaisons sont réussies et traduisent très bien la situation réelle.

Il ne fait aucun doute que l’exigence de beauté joue un rôle important dans la construction des théories mathématiques. Il va sans dire que le sentiment de beauté est très subjectif et que l’on rencontre souvent des idées assez laides à ce sujet. Il faut pourtant s’étonner de l’unanimité que mettent les mathématiciens dans le concept de « beauté » : un résultat est considéré comme beau si, à partir d’un petit nombre de conditions, il est possible d’obtenir une conclusion générale s’appliquant à un large éventail d’objets. Une dérivation mathématique est considérée comme belle si elle parvient à prouver un fait mathématique significatif à l’aide d’un raisonnement simple et court. La maturité d'un mathématicien et son talent se manifestent par le développement de son sens de la beauté. Les résultats esthétiquement complets et mathématiquement parfaits sont plus faciles à comprendre, à mémoriser et à utiliser ; il est plus facile d'identifier leurs relations avec d'autres domaines de la connaissance.

Les mathématiques à notre époque sont devenues une discipline scientifique avec de nombreux domaines de recherche, un grand nombre de résultats et de méthodes. Les mathématiques sont aujourd'hui si vastes qu'il n'est pas possible à une seule personne d'en traiter toutes ses parties, il n'y a aucune possibilité d'en être un spécialiste universel. La perte de connexions entre ses différentes directions est certainement une conséquence négative du développement rapide de cette science. Cependant, le développement de toutes les branches des mathématiques a quelque chose en commun : les origines du développement, les racines de l'arbre des mathématiques.

La géométrie d'Euclide comme première théorie des sciences naturelles

Au IIIe siècle avant JC, un livre d'Euclide du même nom paraît à Alexandrie, dans la traduction russe des « Principes ». Le terme « géométrie élémentaire » vient du nom latin « Débuts ». Bien que les œuvres des prédécesseurs d'Euclide ne nous soient pas parvenues, nous pouvons nous faire une opinion sur ces œuvres sur la base des Éléments d'Euclide. Dans les "Principes", il y a des sections qui sont logiquement très peu liées aux autres sections. Leur apparition ne peut s’expliquer que par le fait qu’ils ont été introduits selon la tradition et copient les « Éléments » des prédécesseurs d’Euclide.
Les Éléments d'Euclide se composent de 13 livres. Les livres 1 à 6 sont consacrés à la planimétrie, les livres 7 à 10 portent sur l'arithmétique et les quantités incommensurables qui peuvent être construites à l'aide d'un compas et d'une règle. Les livres 11 à 13 étaient consacrés à la stéréométrie.
Les Principia commencent par une présentation de 23 définitions et 10 axiomes. Les cinq premiers axiomes sont des « concepts généraux », les autres sont appelés « postulats ». Les deux premiers postulats déterminent les actions à l'aide d'une règle idéale, le troisième - à l'aide d'une boussole idéale. Le quatrième, « tous les angles droits sont égaux les uns aux autres », est redondant, puisqu’il peut être déduit des axiomes restants. Le dernier et cinquième postulat disait : « Si une droite tombe sur deux droites et forme des angles internes unilatéraux dans la somme de moins de deux droites, alors, avec une extension illimitée de ces deux droites, elles se couperont sur le côté où les angles sont inférieurs à deux lignes droites.
Les cinq « concepts généraux » d'Euclide sont les principes de mesure des longueurs, des angles, des aires et des volumes : « les égaux égaux sont égaux les uns aux autres », « si des égaux sont ajoutés à des égaux, les sommes sont égales », « si des égaux sont soustraits des égaux, les restes sont égaux. » entre eux », « ceux combinés entre eux sont égaux entre eux », « le tout est plus grand que la partie ».
Commence ensuite la critique de la géométrie d'Euclide. Euclide a été critiqué pour trois raisons : parce qu'il ne considérait que les grandeurs géométriques qui peuvent être construites à l'aide d'un compas et d'une règle ; pour le fait qu'il a séparé la géométrie et l'arithmétique et prouvé pour les nombres entiers ce qu'il avait déjà prouvé pour les quantités géométriques et, enfin, pour les axiomes d'Euclide. Le postulat le plus critiqué était le cinquième, le postulat le plus complexe d'Euclide. Beaucoup le considéraient comme superflu et qu’il pouvait et devait être déduit d’autres axiomes. D’autres pensaient qu’il fallait le remplacer par un autre plus simple et plus évident, équivalent : « Par un point situé en dehors d’une ligne, on ne peut tracer dans leur plan plus d’une ligne droite qui ne coupe pas la ligne donnée. »
La critique de l'écart entre la géométrie et l'arithmétique a conduit à l'expansion du concept de nombre à un nombre réel. Les différends autour du cinquième postulat ont conduit au fait qu'au début du XIXe siècle, N.I. Lobachevsky, J. Bolyai et K.F. Gauss ont construit une nouvelle géométrie dans laquelle tous les axiomes de la géométrie d'Euclide étaient remplis, à l'exception du cinquième postulat. Il a été remplacé par l'énoncé inverse : « Dans un plan, passant par un point situé en dehors d'une ligne, plusieurs lignes peuvent être tracées qui ne coupent pas celle donnée. » Cette géométrie était aussi cohérente que la géométrie d'Euclide.
Le modèle de planimétrie de Lobatchevski sur le plan euclidien a été construit par le mathématicien français Henri Poincaré en 1882.
Traçons une ligne horizontale sur le plan euclidien. Cette ligne est appelée l'absolu (x). Les points du plan euclidien situés au-dessus de l'absolu sont des points du plan Lobatchevski. Le plan Lobatchevski est un demi-plan ouvert situé au-dessus de l'absolu. Les segments non euclidiens dans le modèle Poincaré sont des arcs de cercle centrés sur l'absolu ou des segments de droites perpendiculaires à l'absolu (AB, CD). Une figure sur le plan Lobatchevski est une figure d'un demi-plan ouvert situé au-dessus de l'absolu (F). Le mouvement non euclidien est une composition d'un nombre fini d'inversions centrées sur les symétries absolues et axiales dont les axes sont perpendiculaires à l'absolu. Deux segments non euclidiens sont égaux si l'un d'eux peut être transféré à l'autre par un mouvement non euclidien. Ce sont les concepts de base des axiomatiques de la planimétrie Lobatchevski.
Tous les axiomes de la planimétrie Lobatchevski sont cohérents. "Une droite non euclidienne est un demi-cercle dont les extrémités sont à l'absolu ou un rayon dont le début est à l'absolu et qui est perpendiculaire à l'absolu." Ainsi, l’énoncé de l’axiome de parallélisme de Lobatchevski est valable non seulement pour une droite a et un point A ne se trouvant pas sur cette droite, mais aussi pour toute droite a et tout point A ne se trouvant pas sur elle.
Après la géométrie de Lobatchevski, d'autres géométries cohérentes sont apparues : la géométrie projective séparée de l'euclidienne, la géométrie euclidienne multidimensionnelle est apparue, la géométrie riemannienne est apparue (la théorie générale des espaces avec une loi arbitraire pour mesurer les longueurs), etc. Espace euclidien, la géométrie s'est transformée en 40 à 50 ans en un ensemble de théories diverses, seulement quelque peu similaires à son ancêtre - la géométrie euclidienne.
Les principales étapes du développement des mathématiques modernes. Structure des mathématiques modernes
L'académicien A.N. Kolmogorov identifie quatre périodes dans le développement des mathématiques. - Mathématiques, Dictionnaire encyclopédique mathématique, Moscou, Encyclopédie soviétique, 1988 : les origines des mathématiques, mathématiques élémentaires, mathématiques des variables, mathématiques modernes.
Au cours du développement des mathématiques élémentaires, la théorie des nombres s’est progressivement développée à partir de l’arithmétique. L'algèbre est créée comme un calcul littéral. Et le système de présentation de la géométrie élémentaire créé par les anciens Grecs - la géométrie d'Euclide - est devenu pendant deux millénaires un modèle de construction déductive de la théorie mathématique.
Au XVIIe siècle, les besoins des sciences naturelles et de la technologie ont conduit à la création de méthodes permettant d'étudier mathématiquement le mouvement, les processus de changement de quantités et la transformation des figures géométriques. La période des mathématiques des quantités variables commence avec l'utilisation de variables en géométrie analytique et la création du calcul différentiel et intégral. Les grandes découvertes du XVIIe siècle sont le concept de quantité infinitésimale introduit par Newton et Leibniz, la création des fondements de l'analyse des quantités infinitésimales (analyse mathématique).
La notion de fonction apparaît au premier plan. La fonction devient le principal sujet d'étude. L'étude d'une fonction amène aux concepts de base de l'analyse mathématique : limite, dérivée, différentielle, intégrale.
L'apparition de l'idée géniale de R. Descartes sur la méthode des coordonnées remonte également à cette époque. Une géométrie analytique est créée, qui vous permet d'étudier des objets géométriques en utilisant les méthodes d'algèbre et d'analyse. D'autre part, la méthode des coordonnées a ouvert la possibilité d'une interprétation géométrique des faits algébriques et analytiques.
Le développement ultérieur des mathématiques a conduit au début du XIXe siècle à la formulation du problème de l'étude des types possibles de relations quantitatives et de formes spatiales d'un point de vue assez général.
Le lien entre les mathématiques et les sciences naturelles devient de plus en plus complexe. De nouvelles théories apparaissent et elles naissent non seulement en raison des exigences des sciences naturelles et de la technologie, mais également en raison des besoins internes des mathématiques. Un exemple remarquable d'une telle théorie est la géométrie imaginaire de N.I. Lobatchevski. Le développement des mathématiques aux XIXe et XXe siècles permet de l’attribuer à la période des mathématiques modernes. Le développement des mathématiques elles-mêmes, la mathématisation de divers domaines scientifiques, la pénétration des méthodes mathématiques dans de nombreux domaines d'activité pratique et les progrès de la technologie informatique ont conduit à l'émergence de nouvelles disciplines mathématiques, par exemple la recherche opérationnelle, la théorie des jeux. , économie mathématique et autres.
Les principales méthodes de recherche mathématique sont les preuves mathématiques – un raisonnement logique strict. La pensée mathématique ne se limite pas au raisonnement logique. Pour formuler correctement un problème et évaluer le choix de la méthode pour le résoudre, l'intuition mathématique est nécessaire.
En mathématiques, les modèles mathématiques d'objets sont étudiés. Le même modèle mathématique peut décrire les propriétés de phénomènes réels éloignés les uns des autres. Ainsi, la même équation différentielle peut décrire les processus de croissance démographique et de désintégration de la matière radioactive. Pour un mathématicien, ce qui importe n’est pas la nature des objets considérés, mais les relations existant entre eux.
Il existe deux types d’inférences utilisées en mathématiques : la déduction et l’induction.
L'induction est une méthode de recherche dans laquelle une conclusion générale est construite sur la base de prémisses particulières.
La déduction est une méthode de raisonnement par laquelle une conclusion particulière découle de prémisses générales.
Les mathématiques jouent un rôle important dans les études en sciences, en ingénierie et en sciences humaines. La raison de la pénétration des mathématiques dans diverses branches de la connaissance est qu'elles offrent des modèles très clairs pour étudier la réalité environnante, contrairement aux modèles moins généraux et plus vagues proposés par d'autres sciences. Sans les mathématiques modernes et leurs appareils logiques et informatiques développés, le progrès dans divers domaines de l'activité humaine serait impossible.
Les mathématiques ne sont pas seulement un outil puissant pour résoudre des problèmes appliqués et le langage universel de la science, mais aussi un élément de culture générale.
Caractéristiques de base de la pensée mathématique
Sur cette question, la caractéristique de la pensée mathématique donnée par A. Ya. Khinchin, ou plutôt sa forme historique spécifique - le style de la pensée mathématique, est particulièrement intéressante. Révélant l'essence du style de pensée mathématique, il identifie quatre caractéristiques communes à toutes les époques qui distinguent considérablement ce style des styles de pensée des autres sciences.
Premièrement, le mathématicien se caractérise par la domination du schéma logique du raisonnement, poussé à l'extrême. Un mathématicien qui a perdu de vue ce schéma, au moins temporairement, est généralement privé de la possibilité de penser scientifiquement. Cette particularité du style de pensée mathématique a beaucoup de valeur. Évidemment, cela permet de contrôler au maximum l'exactitude du flux de pensée et de garantir contre les erreurs ; d'autre part, elle oblige le penseur, lors de l'analyse, à avoir sous les yeux l'ensemble des possibilités disponibles et l'oblige à prendre en compte chacune d'elles, sans en manquer une seule (de telles omissions sont tout à fait possibles et, en fait , sont souvent observés dans d’autres styles de pensée).
Deuxièmement, le laconisme, c'est-à-dire un désir conscient de toujours trouver le chemin logique le plus court menant à un but donné, un rejet impitoyable de tout ce qui est absolument nécessaire à l'utilité irréprochable de l'argumentation. Un essai mathématique de bon style ne tolère aucune « eau », aucune décoration, aucun affaiblissement de la tension logique des divagations, ni des distractions de côté ; l'extrême parcimonie, la rigueur sévère de la pensée et sa présentation font partie intégrante de la pensée mathématique. Cette fonctionnalité est d'une grande valeur non seulement pour le raisonnement mathématique, mais aussi pour tout autre raisonnement sérieux. Le laconisme, le désir d'éviter tout ce qui est inutile, aide à la fois le penseur lui-même et son lecteur ou auditeur à se concentrer pleinement sur un cheminement de pensée donné, sans se laisser distraire par des idées secondaires et sans perdre le contact direct avec le raisonnement principal.
En règle générale, les sommités de la science pensent et s'expriment succinctement dans tous les domaines de la connaissance, même lorsque la pensée les crée et présente des idées fondamentalement nouvelles. Quelle impression majestueuse que produit, par exemple, la noble avarice de la pensée et de la parole des plus grands créateurs de la physique : Newton, Einstein, Niels Bohr ! Il est peut-être difficile de trouver un exemple plus frappant de l’impact profond que le style de pensée de ses créateurs peut avoir sur le développement de la science.
Pour les mathématiques, le laconisme de la pensée est une loi incontestable, canonisée depuis des siècles. Toute tentative d'encombrer la présentation d'images, de distractions ou de divagations qui ne sont pas nécessairement nécessaires (même si elles sont agréables et fascinantes pour les auditeurs) est d'avance placée sous un soupçon légitime et suscite automatiquement une vigilance critique.
Troisièmement, une division claire du cours du raisonnement. Si, par exemple, pour prouver une proposition, nous devons considérer quatre cas possibles, dont chacun peut être divisé en l'un ou l'autre nombre de sous-cas, alors à chaque moment du raisonnement, le mathématicien doit clairement se rappeler dans quel cas et sous-cas sa pensée est maintenant acquis et quels cas et sous-cas lui restent encore à examiner. Avec tout type d'énumération ramifiée, le mathématicien doit à chaque instant savoir pour quel concept générique il énumère les concepts d'espèces qui le composent. Dans la pensée ordinaire et non scientifique, nous observons très souvent dans de tels cas des confusions et des sauts, conduisant à des confusions et à des erreurs de raisonnement. Il arrive souvent qu'une personne commence à énumérer les espèces d'un genre, puis, imperceptiblement pour les auditeurs (et souvent pour lui-même), profitant du manque de clarté logique du raisonnement, elle passe à un autre genre et termine par l'affirmation suivante : maintenant les deux genres ont été classés ; et les auditeurs ou les lecteurs ne savent pas où se situe la frontière entre les espèces de la première et de la seconde espèce.
Afin de rendre impossibles de telles confusions et de tels sauts, les mathématiciens ont depuis longtemps largement utilisé des méthodes externes simples de numérotation des concepts et des jugements, parfois (mais beaucoup moins souvent) utilisées dans d'autres sciences. Les cas possibles ou les concepts génériques qui doivent être pris en compte dans un argument donné sont renumérotés à l'avance ; au sein de chacun de ces cas, les sous-cas éligibles qu'il contient sont également renumérotés (parfois, par souci de distinction, en utilisant un autre système de numérotation). Avant chaque paragraphe, où commence l'examen d'un nouveau sous-cas, est placée la désignation acceptée pour ce sous-cas (par exemple : II 3 - cela signifie qu'ici commence l'examen du troisième sous-cas du deuxième cas, ou une description du troisième type du deuxième type, si l'on parle de classification). Et le lecteur sait que jusqu'à ce qu'il tombe sur une nouvelle rubrique numérique, tout ce qui est indiqué ne s'applique qu'à ce cas et sous-cas. Il va de soi qu'une telle numérotation ne sert que de dispositif extérieur, très utile, mais nullement obligatoire, et que l'essentiel n'est pas là, mais dans le démembrement distinct de l'argumentation ou du classement qu'elle suscite et marque. .
Quatrièmement, une précision scrupuleuse du symbolisme, des formules et des équations. C'est-à-dire que « chaque symbole mathématique a une signification strictement définie : son remplacement par un autre symbole ou son réarrangement à un autre endroit entraîne généralement une distorsion et parfois une destruction complète du sens d'un énoncé donné ».
Après avoir souligné les principales caractéristiques du style de pensée mathématique, A. Ya. Khinchin note que les mathématiques (en particulier les mathématiques des variables) sont de nature dialectique et contribuent donc au développement de la pensée dialectique. En effet, dans le processus de pensée mathématique, il y a une interaction entre le visuel (le concret) et le conceptuel (l’abstrait). "Nous ne pouvons pas penser à une ligne", écrit Kant, "sans la dessiner mentalement ; nous ne pouvons pas penser à trois dimensions sans tracer trois lignes perpendiculaires les unes aux autres à partir d'un point".
L’interaction du concret et de l’abstrait « a conduit » la pensée mathématique au développement de concepts et de catégories philosophiques nouveaux et nouveaux. Dans les mathématiques anciennes (mathématiques des quantités constantes), il s'agissait du « nombre » et de « l'espace », qui se reflétaient initialement dans l'arithmétique et la géométrie euclidienne, puis dans l'algèbre et divers systèmes géométriques. Les mathématiques des quantités variables étaient « basées » sur des concepts qui reflétaient le mouvement de la matière - « fini », « infini », « continuité », « discret », « infinitésimal », « dérivée », etc.
Si nous parlons du stade historique moderne de développement des connaissances mathématiques, alors cela va dans le sens du développement ultérieur des catégories philosophiques : la théorie des probabilités « maîtrise » les catégories du possible et du aléatoire ; topologie - catégories de relation et de continuité ; théorie des catastrophes - catégorie de saut ; théorie des groupes - catégories de symétrie et d'harmonie, etc.
La pensée mathématique exprime les principes de base de la construction de connexions logiques de forme similaire. Avec son aide, une transition est effectuée de l'individuel (par exemple, de certaines méthodes mathématiques - axiomatiques, algorithmiques, constructives, théoriques des ensembles et autres) au spécial et général, aux constructions déductives généralisées. L'unité des méthodes et des objets mathématiques détermine la spécificité de la pensée mathématique et nous permet de parler d'un langage mathématique spécial dans lequel non seulement la réalité est reflétée, mais aussi les connaissances scientifiques sont synthétisées, généralisées et prédites. La puissance et la beauté de la pensée mathématique résident dans l’extrême clarté de sa logique, l’élégance de ses conceptions et la construction habile d’abstractions.
Des possibilités fondamentalement nouvelles pour l'activité mentale se sont ouvertes avec l'invention de l'ordinateur et la création des mathématiques mécaniques. Il y a eu des changements importants dans le langage mathématique. Si le langage des mathématiques computationnelles classiques était constitué de formules d'algèbre, de géométrie et d'analyse, et se concentrait sur la description des processus continus de la nature, étudiés principalement en mécanique, en astronomie et en physique, alors son langage moderne est le langage des algorithmes et des programmes. , y compris l'ancien langage des formules comme cas particulier.
Le langage des mathématiques computationnelles modernes devient de plus en plus universel, capable de décrire des systèmes complexes (multiparamétriques). En même temps, je voudrais souligner que si parfait que soit le langage mathématique, enrichi par la technologie informatique électronique, il ne rompt pas les liens avec la diversité du langage naturel « vivant ». De plus, la langue parlée est la base d'une langue artificielle. À cet égard, une découverte récente des scientifiques est intéressante. Le fait est que l’ancienne langue des Indiens Aymara, parlée par environ 2,5 millions de personnes en Bolivie et au Pérou, s’est révélée extrêmement conviviale pour les ordinateurs. En 1610, le missionnaire jésuite italien Ludovico Bertoni, qui a compilé le premier dictionnaire aymara, a souligné le génie de ses créateurs, qui ont atteint une grande pureté logique. En Aymara, par exemple, il n’y a pas de verbes irréguliers ni d’exceptions aux quelques règles grammaticales claires. Ces caractéristiques de la langue aymara ont permis au mathématicien bolivien Ivan Guzman de Rojas de créer un système de traduction informatique simultanée à partir de l'une des cinq langues européennes incluses dans le programme, dont le « pont » est la langue aymara. L'ordinateur Aymara, créé par un scientifique bolivien, a été très apprécié par les experts. En résumant cette partie de la question sur l'essence du style de pensée mathématique, il convient de noter que son contenu principal est la compréhension de la nature.
Méthode axiomatique
L'axiomatique est le principal moyen de construire une théorie, depuis l'Antiquité jusqu'à nos jours, confirmant son universalité et toute son applicabilité.
La construction d'une théorie mathématique repose sur la méthode axiomatique. Une théorie scientifique est basée sur certaines dispositions initiales, appelées axiomes, et toutes les autres dispositions de la théorie sont obtenues comme conséquences logiques des axiomes.
La méthode axiomatique est apparue dans la Grèce antique et est actuellement utilisée dans presque toutes les sciences théoriques et surtout en mathématiques.
En comparant trois géométries, à certains égards, complémentaires : euclidienne (parabolique), lobatchevsky (hyperbolique) et riemannienne (elliptique), il convient de noter qu'en plus de certaines similitudes, il existe une grande différence entre la géométrie sphérique, d'une part , et les géométries d'Euclide et de Lobatchevski - de l'autre.
La différence fondamentale entre la géométrie moderne est qu’elle englobe désormais les « géométries » d’un nombre infini d’espaces imaginaires différents. Cependant, il convient de noter que toutes ces géométries sont des interprétations de la géométrie euclidienne et sont basées sur la méthode axiomatique utilisée pour la première fois par Euclide.
Sur la base de la recherche, la méthode axiomatique a été développée et largement utilisée. Un cas particulier d'application de cette méthode est la méthode des traces en stéréométrie, qui permet de résoudre des problèmes de construction de sections dans des polyèdres et quelques autres problèmes de position.
La méthode axiomatique, développée pour la première fois en géométrie, est aujourd’hui devenue un outil d’étude important dans d’autres branches des mathématiques, de la physique et de la mécanique. Actuellement, des travaux sont en cours pour améliorer et étudier plus en profondeur la méthode axiomatique de construction d'une théorie.
La méthode axiomatique de construction d'une théorie scientifique consiste à isoler les concepts de base, à formuler les axiomes des théories, et toutes les autres affirmations sont déduites logiquement, sur la base d'eux. On sait qu'un concept doit être expliqué à l'aide d'autres, qui, à leur tour, sont également définis à l'aide de certains concepts bien connus. Nous arrivons ainsi à des concepts élémentaires qui ne peuvent être définis par d’autres. Ces concepts sont dits fondamentaux.
Lorsque nous prouvons un énoncé, un théorème, nous nous appuyons sur des prémisses considérées comme déjà prouvées. Mais ces prémisses étaient également avérées : il fallait les justifier. En fin de compte, nous arrivons à des déclarations indémontrables et les acceptons sans preuve. Ces affirmations sont appelées axiomes. L'ensemble d'axiomes doit être tel que, sur cette base, d'autres affirmations peuvent être prouvées.
Après avoir identifié les concepts de base et formulé les axiomes, nous en déduisons ensuite des théorèmes et d’autres concepts de manière logique. C'est la structure logique de la géométrie. Les axiomes et concepts de base constituent les fondements de la planimétrie.
Puisqu'il est impossible de donner une définition unique des concepts de base pour toutes les géométries, les concepts de base de la géométrie doivent être définis comme des objets de toute nature satisfaisant les axiomes de cette géométrie. Ainsi, dans la construction axiomatique d'un système géométrique, on part d'un certain système d'axiomes, ou axiomatiques. Ces axiomes décrivent les propriétés des concepts de base du système géométrique, et nous pouvons représenter les concepts de base sous la forme d'objets de toute nature possédant les propriétés spécifiées dans les axiomes.
Après la formulation et la preuve des premiers énoncés géométriques, il devient possible de prouver certains énoncés (théorèmes) à l'aide d'autres. Les preuves de nombreux théorèmes sont attribuées à Pythagore et à Démocrite.
Hippocrate de Chios est crédité d'avoir compilé le premier cours systématique de géométrie basé sur des définitions et des axiomes. Ce cours et ses traitements ultérieurs étaient appelés « Éléments ».
Méthode axiomatique de construction d'une théorie scientifique
La création d’une méthode déductive ou axiomatique pour construire la science est l’une des plus grandes réalisations de la pensée mathématique. Cela a nécessité le travail de plusieurs générations de scientifiques.
Une caractéristique remarquable du système de présentation déductif est la simplicité de cette structure, qui permet de le décrire en quelques mots.
Le système déductif de présentation se résume à :
1) à la liste des concepts de base,
2) à la présentation des définitions,
3) à la présentation des axiomes,
4) à la présentation des théorèmes,
5) à la preuve de ces théorèmes.
Un axiome est une affirmation acceptée sans preuve.
Un théorème est un énoncé qui découle des axiomes.
Une preuve fait partie intégrante d'un système déductif ; c'est un raisonnement qui montre que la vérité d'un énoncé découle logiquement de la vérité des théorèmes ou axiomes précédents.
Deux questions ne peuvent être résolues au sein d'un système déductif : 1) sur la signification des concepts de base, 2) sur la vérité des axiomes. Mais cela ne veut pas dire que ces questions sont totalement insolubles.
L'histoire des sciences naturelles montre que la possibilité d'une construction axiomatique d'une science particulière n'apparaît qu'à un niveau de développement assez élevé de cette science, sur la base d'une grande quantité de matériel factuel, qui permet d'identifier clairement les fondements les connexions et les relations qui existent entre les objets étudiés par cette science.
Un exemple de construction axiomatique de la science mathématique est la géométrie élémentaire. Le système d'axiomes de géométrie a été exposé par Euclide (environ 300 avant JC) dans l'ouvrage «Principes», d'une signification inégalée. Ce système a été conservé dans ses principales caractéristiques jusqu'à ce jour.
Concepts de base : point, droite, plan ; images de base ; se situer entre, appartenir, mouvement.
La géométrie élémentaire compte 13 axiomes, répartis en cinq groupes. Dans le cinquième groupe, il existe un axiome sur les parallèles (postulat euclidien V) : passant par un point sur un plan, une seule ligne droite peut être tracée qui ne coupe pas la ligne donnée. C’est le seul axiome qui nécessitait une preuve. Les tentatives pour prouver le cinquième postulat ont occupé les mathématiciens pendant plus de 2 millénaires, jusqu'à la première moitié du 19e siècle, c'est-à-dire jusqu'au moment où Nikolai Ivanovich Lobachevsky a prouvé dans ses œuvres le caractère totalement désespéré de ces tentatives. Actuellement, le caractère non démontrable du cinquième postulat est un fait mathématique strictement prouvé.
Axiome sur le parallèle N.I. Lobatchevski l'a remplacé par l'axiome : Soit une droite et un point situé en dehors de la droite dans un plan donné. Grâce à ce point, au moins deux lignes parallèles peuvent être tracées vers une ligne donnée.
Du nouveau système d'axiomes N.I. Lobatchevski, avec une rigueur logique impeccable, en a déduit un système harmonieux de théorèmes qui constituent le contenu de la géométrie non euclidienne. Les deux géométries d'Euclide et de Lobatchevski, en tant que systèmes logiques, sont égales.
Trois grands mathématiciens du XIXe siècle, presque simultanément, indépendamment les uns des autres, sont arrivés aux mêmes résultats sur l'indémontrabilité du cinquième postulat et la création d'une géométrie non euclidienne.
Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski (1792-1856)
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
Janos Bolyaï (1802-1860)
Preuve mathématique
La principale méthode de recherche mathématique est la preuve mathématique – un raisonnement logique strict. En raison d'une nécessité objective, déclare le membre correspondant de l'Académie des sciences de Russie L.D. Kudryavtsev L.D. Kudryavtsev - Les mathématiques modernes et leur enseignement, Moscou, Nauka, 1985, le raisonnement logique (qui par nature, s'il est correct, est rigoureux) représente la méthode des mathématiques, sans eux les mathématiques sont impensables. Il convient de noter que la pensée mathématique ne se limite pas au raisonnement logique. Pour formuler correctement un problème, évaluer ses données, identifier les données essentielles et choisir une méthode pour le résoudre, il faut aussi l'intuition mathématique, qui permet de prévoir le résultat souhaité avant qu'il ne soit obtenu, et de tracer le chemin à suivre. recherche utilisant un raisonnement plausible. Mais la validité du fait considéré n'est pas prouvée en le testant sur un certain nombre d'exemples, non pas en menant une série d'expériences (ce qui en soi joue un grand rôle dans la recherche mathématique), mais par une méthode purement logique, selon le lois de la logique formelle.
On pense que la preuve mathématique est la vérité ultime. Une décision fondée sur la logique pure ne peut tout simplement pas être fausse. Mais avec le développement de la science, les tâches auxquelles sont confrontés les mathématiciens sont de plus en plus complexes.
"Nous sommes entrés dans une époque où l'appareil mathématique est devenu si complexe et encombrant qu'à première vue il n'est plus possible de dire si le problème rencontré est vrai ou non", estime Kate Devlin de l'université de Stanford en Californie, aux États-Unis. Il cite comme exemple la « classification des groupes finis simples », qui a été formulée en 1980, mais une preuve complète et exacte n'a pas encore été donnée. Très probablement, le théorème est vrai, mais il est impossible de le dire avec certitude.
Une solution informatique ne peut pas non plus être qualifiée de précise, car de tels calculs comportent toujours une erreur. En 1998, Hayles a proposé une solution informatique au théorème de Kepler, formulé en 1611. Ce théorème décrit l’empilement de boules le plus dense dans l’espace. La preuve était présentée sur 300 pages et contenait 40 000 lignes de code machine. 12 évaluateurs ont vérifié la solution pendant un an, mais ils n'ont pas atteint une confiance à 100 % dans l'exactitude des preuves et l'étude a été envoyée pour révision. En conséquence, il n’a été publié qu’après quatre ans et sans certification complète des réviseurs.
Tous les calculs récents pour les problèmes appliqués sont effectués sur un ordinateur, mais les scientifiques estiment que pour une plus grande fiabilité, les calculs mathématiques doivent être présentés sans erreurs.
La théorie de la preuve a été développée en logique et comprend trois éléments structurels : la thèse (ce qui est censé être prouvé), les arguments (un ensemble de faits, les concepts généralement acceptés, les lois, etc. de la science correspondante) et la démonstration (la procédure de développant la preuve elle-même ; une chaîne séquentielle d'inférences lorsque la nième conclusion devient l'une des prémisses de la n+1ième conclusion). Les règles de preuve sont mises en évidence et les erreurs logiques possibles sont indiquées.
La preuve mathématique a beaucoup de points communs avec les principes établis par la logique formelle. De plus, les règles mathématiques de raisonnement et d’opérations ont évidemment servi de fondement au développement de la procédure de preuve en logique. En particulier, les chercheurs sur l'histoire de la formation de la logique formelle estiment qu'à une époque, lorsqu'Aristote faisait les premiers pas pour créer des lois et des règles de logique, il se tourna vers les mathématiques et la pratique de l'activité juridique. Dans ces sources, il trouva matière à la construction logique de sa théorie projetée.
Au XXe siècle, la notion de preuve a perdu son sens strict, en lien avec la découverte de paradoxes logiques cachés dans la théorie des ensembles et surtout en lien avec les résultats apportés par les théorèmes de K. Gödel sur l'incomplétude de la formalisation.
Tout d'abord, cela a affecté les mathématiques elles-mêmes, à propos desquelles l'opinion a été exprimée que le terme « preuve » n'avait pas de définition précise. Mais si une telle opinion (qui existe encore aujourd'hui) affecte les mathématiques elles-mêmes, alors ils arrivent à la conclusion que la preuve doit être acceptée non pas au sens logique-mathématique, mais au sens psychologique. De plus, un point de vue similaire se retrouve chez Aristote lui-même, qui croyait que prouver signifie mener un raisonnement qui nous convaincra à tel point qu'en l'utilisant, nous convainquons les autres de la justesse de quelque chose. On retrouve une certaine nuance d'approche psychologique chez A.E. Yesenin-Volpin. Il s’oppose catégoriquement à l’acceptation de la vérité sans preuve, la reliant à un acte de foi, et écrit en outre : « J’appelle la preuve d’un jugement une réception honnête qui rend ce jugement indéniable. » Yesenin-Volpin rapporte que sa définition doit encore être clarifiée. En même temps, la qualification même d’une preuve comme étant une « réception honnête » ne révèle-t-elle pas un appel à une évaluation morale et psychologique ?
Parallèlement, la découverte des paradoxes de la théorie des ensembles et l'apparition des théorèmes de Gödel ont contribué au développement de la théorie de la preuve mathématique entreprise par les intuitionnistes, notamment de tendance constructiviste, et D. Hilbert.
On croit parfois qu’une preuve mathématique est de nature universelle et représente une version idéale d’une preuve scientifique. Cependant, ce n’est pas la seule méthode ; il existe d’autres méthodes de procédures et d’opérations fondées sur des preuves. Il est seulement vrai qu'une preuve mathématique présente de nombreuses similitudes avec la preuve formelle-logique mise en œuvre dans les sciences naturelles, et qu'une preuve mathématique présente une certaine spécificité, ainsi qu'un ensemble de techniques et d'opérations. Nous nous arrêterons là, en omettant les caractéristiques communes qui la rendent similaire à d'autres formes de preuve, c'est-à-dire sans étendre l'algorithme, les règles, les erreurs, etc. à toutes les étapes (même les principales). processus de preuve.
Une preuve mathématique est un raisonnement dont la tâche est de justifier la vérité (bien sûr, dans un sens mathématique, c'est-à-dire déductible) de toute affirmation.
L’ensemble des règles utilisées dans la preuve s’est formé avec l’avènement des constructions axiomatiques de la théorie mathématique. Cela s'est réalisé de la manière la plus claire et la plus complète dans la géométrie d'Euclide. Ses « Principia » sont devenus une sorte de modèle standard pour l’organisation axiomatique de la connaissance mathématique, et le sont restés longtemps pour les mathématiciens.
Les déclarations présentées sous la forme d'une certaine séquence doivent garantir une conclusion qui, sous réserve des règles du fonctionnement logique, est considérée comme prouvée. Il faut souligner qu'un certain raisonnement n'est une preuve que par rapport à un certain système axiomatique.
Lors de la caractérisation d'une preuve mathématique, deux caractéristiques principales se distinguent. Tout d’abord, la preuve mathématique exclut toute référence à des preuves empiriques. L'ensemble de la procédure de justification de la véracité d'une conclusion s'effectue dans le cadre des axiomatiques acceptées. L'académicien A.D. Aleksandrov souligne à cet égard. Vous pouvez mesurer les angles d’un triangle des milliers de fois et vous assurer qu’ils sont égaux à 2d. Mais on ne peut rien prouver avec les mathématiques. Vous pouvez le lui prouver si vous déduisez l’énoncé ci-dessus des axiomes. Répétons. Ici, les mathématiques sont proches des méthodes de la scolastique, qui rejette également fondamentalement l'argumentation basée sur des faits expérimentalement donnés.
Par exemple, lorsque l'on a découvert l'incommensurabilité des segments, lors de la démonstration de ce théorème, le recours à l'expérience physique a été exclu, car, d'une part, le concept même d'« incommensurabilité » est dépourvu de signification physique, et, d'autre part, les mathématiciens ne pouvaient pas, lorsqu'ils traitaient avec l'abstraction, pour attirer à l'aide d'extensions matériellement concrètes, mesurées par des méthodes sensorielles et visuelles. L'incommensurabilité, en particulier, des côtés et des diagonales d'un carré est prouvée à partir de la propriété des nombres entiers en utilisant le théorème de Pythagore sur l'égalité du carré de l'hypoténuse (respectivement la diagonale) à la somme des carrés des jambes (les deux côtés d'un triangle rectangle). Ou bien, lorsque Lobatchevski cherchait une confirmation de sa géométrie, en se tournant vers les résultats d'observations astronomiques, cette confirmation était réalisée par lui au moyen d'un caractère purement spéculatif. Les interprétations de la géométrie non euclidienne réalisées par Cayley-Klein et Beltrami présentaient également des objets typiquement mathématiques plutôt que physiques.
La deuxième caractéristique de la preuve mathématique est son caractère abstrait le plus élevé, dans lequel elle diffère des procédures de preuve des autres sciences. Et encore une fois, comme dans le cas du concept d'objet mathématique, nous ne parlons pas seulement du degré d'abstraction, mais de sa nature. Le fait est que la preuve atteint également un haut niveau d'abstraction dans un certain nombre d'autres sciences, par exemple en physique, en cosmologie et, bien sûr, en philosophie, puisque cette dernière a pour sujet les problèmes ultimes de l'être et de la pensée. Les mathématiques se distinguent par le fait que des variables fonctionnent ici, dont la signification fait abstraction de toute propriété spécifique. Rappelons que, par définition, les variables sont des signes qui en eux-mêmes n'ont pas de signification et n'acquièrent cette dernière qu'en les remplaçant par les noms de certains objets (variables individuelles) ou en indiquant des propriétés et des relations spécifiques (variables de prédicat), ou, enfin, en cas de remplacement d'une variable par une instruction significative (variable propositionnelle).
Cette caractéristique détermine la nature de l'abstraction extrême des signes utilisés dans la preuve mathématique, ainsi que des énoncés qui, en raison de l'inclusion de variables dans leur structure, se transforment en fonctions d'énoncés.
La procédure de preuve elle-même, définie en logique comme une démonstration, se déroule sur la base de règles d'inférence, sur la base desquelles s'effectue le passage d'un énoncé prouvé à un autre, formant une chaîne séquentielle d'inférences. Les plus courantes sont deux règles (substitution et inférence) et le théorème de déduction.
Règle de substitution. En mathématiques, la substitution est définie comme le remplacement de chacun des éléments a d'un ensemble donné par un autre élément F (a) du même ensemble. En logique mathématique, la règle de substitution est formulée comme suit. Si une vraie formule M dans le calcul propositionnel contient une lettre, disons A, alors en la remplaçant partout où elle apparaît par une lettre arbitraire D, nous obtenons une formule aussi vraie que la formule originale. Ceci est possible, et acceptable précisément parce que dans le calcul des énoncés on fait abstraction du sens des énoncés (formules)... Seules les significations « vrai » ou « faux » sont prises en compte. Par exemple, dans la formule M : A--> (BUA), à la place de A on substitue l'expression (AUB), on obtient ainsi une nouvelle formule (AUB) -->[(BU(AUB) ].
La règle pour tirer des conclusions correspond à la structure du syllogisme catégorique conditionnel modus ponens (mode affirmatif) en logique formelle. Cela ressemble à ceci :
un .
L'instruction (a-> b) est donnée et a est également donné. Cela implique b.
Par exemple : S'il pleut, alors le trottoir est mouillé, il pleut (a), donc le trottoir est mouillé (b). En logique mathématique, ce syllogisme s'écrit ainsi (a-> b) a-> b.
L'inférence est déterminée, en règle générale, par des divisions à des fins d'implication. Si une implication (a-> b) et son antécédent (a) sont donnés, alors on a le droit d'ajouter à l'argument (preuve) le conséquent de cette implication (b). Un syllogisme a un caractère obligatoire, constituant un arsenal de moyens de preuve déductifs, c'est-à-dire qu'il répond absolument aux exigences du raisonnement mathématique.
Un rôle majeur dans la preuve mathématique est joué par le théorème de déduction - nom général d'un certain nombre de théorèmes, dont la procédure permet d'établir la prouvabilité de l'implication : A-> B, lorsqu'il existe une dérivation logique de formule B à partir de la formule A. Dans la version la plus courante du calcul propositionnel (dans les mathématiques classiques, intuitionnistes et autres), le théorème de déduction énonce ce qui suit. Si un système de prémisses G et une prémisse A sont donnés, à partir desquels, selon les règles, B Г, A B (est le signe de la dérivation) peut être déduit, alors il s'ensuit que ce n'est qu'à partir des prémisses G que l'on peut obtenir la phrase A -> B.
Nous avons examiné le type de preuve directe. Dans le même temps, les preuves dites indirectes sont également utilisées en logique ; il existe des preuves indirectes qui se déroulent selon le schéma suivant. N'ayant pas, pour diverses raisons (inaccessibilité de l'objet de recherche, perte de la réalité de son existence, etc.) la possibilité de prouver directement la véracité de toute affirmation ou thèse, ils construisent une antithèse. Ils sont convaincus que l’antithèse conduit à des contradictions et est donc fausse. Ensuite, du fait de la fausseté de l'antithèse, une conclusion est tirée - sur la base de la loi du tiers exclu (a v) - sur la vérité de la thèse.
En mathématiques, une forme de preuve indirecte est largement utilisée : la preuve par contradiction. Il est particulièrement précieux et, en fait, indispensable pour l'acceptation des concepts et dispositions fondamentaux des mathématiques, par exemple le concept d'infini réel, qui ne peut être introduit d'aucune autre manière.
L'opération de preuve par contradiction se présente en logique mathématique comme suit. Étant donné une séquence de formules G et la négation de A (G , A). Si cela implique B et sa négation (G, A B, non-B), alors on peut conclure que la vérité de A découle de la séquence de formules G. En d'autres termes, la vérité de la thèse découle de la fausseté de l'antithèse .
Les références:
1. N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Fridman, Mathématiques supérieures pour les économistes, manuel, Moscou, 2002 ;
2. L.D. Kudryavtsev, Les mathématiques modernes et leur enseignement, Moscou, Nauka, 1985 ;
3. O.I. Larichev, Modèles objectifs et décisions subjectives, Moscou, Nauka, 1987 ;
4. A.Ya.Halamizer, « Mathématiques ? - Drôle!", publication de l'auteur, 1989;
5. P.K. Rashevsky, Géométrie riemannienne et analyse tensorielle, Moscou, 3e édition, 1967 ;
6. V.E. Gmurman, Théorie des probabilités et statistiques mathématiques, Moscou, École supérieure, 1977 ;
7. Internet sur le World Wide Web.

Les propriétés idéalisées des objets étudiés sont soit formulées sous forme d'axiomes, soit répertoriées dans la définition des objets mathématiques correspondants. Ensuite, selon des règles strictes d’inférence logique, d’autres vraies propriétés (théorèmes) sont déduites de ces propriétés. Cette théorie forme ensemble un modèle mathématique de l’objet étudié. Ainsi, partant initialement de relations spatiales et quantitatives, les mathématiques reçoivent des relations plus abstraites, dont l'étude fait aussi l'objet des mathématiques modernes.

Traditionnellement, les mathématiques sont divisées en mathématiques théoriques, qui effectuent une analyse approfondie des structures intra-mathématiques, et appliquées, qui fournissent leurs modèles à d'autres disciplines scientifiques et techniques, dont certaines occupent une position frontalière avec les mathématiques. En particulier, la logique formelle peut être considérée à la fois comme une partie des sciences philosophiques et des sciences mathématiques ; mécanique - physique et mathématiques ; L'informatique, la technologie informatique et les algorithmes relèvent à la fois des sciences de l'ingénieur et des sciences mathématiques, etc. De nombreuses définitions différentes des mathématiques ont été proposées dans la littérature.

Étymologie

Le mot « mathématiques » vient du grec ancien. μάθημα, ce qui signifie étudier, connaissance, la science, etc.-grec. μαθηματικός, signifiant à l'origine réceptif, réussi, plus tard pertinent pour étudier, ensuite lié aux mathématiques. En particulier, μαθηματικὴ τέχνη , en latin ars mathématiques, moyens art des mathématiques. Le terme est du grec ancien. μᾰθημᾰτικά au sens moderne du mot « mathématiques » se retrouve déjà dans les œuvres d'Aristote (IVe siècle avant JC). Selon Vasmer, le mot est entré dans la langue russe soit par le polonais. matematyka, ou par Lat. mathématique.

Définitions

L'une des premières définitions du sujet mathématique a été donnée par Descartes :

Le domaine des mathématiques ne comprend que les sciences dans lesquelles l'ordre ou la mesure est considéré, et peu importe qu'il s'agisse de nombres, de chiffres, d'étoiles, de sons ou de toute autre chose dans laquelle cette mesure est recherchée. Ainsi, il doit y avoir une sorte de science générale qui explique tout ce qui touche à l'ordre et à la mesure, sans entrer dans l'étude de sujets particuliers, et cette science ne doit pas être appelée étrangère, mais sous l'ancien nom de Mathématiques universelles, qui est déjà venu en utilisation.

L'essence des mathématiques... est maintenant présentée comme la doctrine des relations entre des objets dont on ne sait rien à l'exception de certaines propriétés qui les décrivent - précisément celles qui, en tant qu'axiomes, sont à la base de la théorie... Les mathématiques sont un ensemble de formes abstraites - structures mathématiques.

Sections de mathématiques

1. Mathématiques comment discipline académique

Désignations

Parce que les mathématiques traitent de structures extrêmement variées et assez complexes, leur notation est également très complexe. Le système moderne d'écriture de formules a été formé sur la base de la tradition algébrique européenne, ainsi que des besoins des branches ultérieures des mathématiques - analyse mathématique, logique mathématique, théorie des ensembles, etc. Depuis des temps immémoriaux, la géométrie a utilisé un visuel (géométrique ) représentation. En mathématiques modernes, les systèmes de notation graphique complexes (par exemple, les diagrammes commutatifs) sont également courants ; la notation basée sur des graphiques est également souvent utilisée.

Histoire courte

Philosophie des mathématiques

Objectifs et méthodes

Espace R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), à n > 3 (\displaystyle n>3) est une invention mathématique. Il s’agit cependant d’une invention très ingénieuse qui permet de comprendre des phénomènes mathématiquement complexes.».

Terrains

Intuitionnisme

Mathématiques constructives

clarifier

Les thèmes principaux

Quantité

La section principale traitant de l’abstraction de la quantité est l’algèbre. Le concept de « nombre » est à l’origine issu de concepts arithmétiques et lié aux nombres naturels. Plus tard, avec l’aide de l’algèbre, il a été progressivement étendu aux nombres entiers, rationnels, réels, complexes et autres.

1 , − 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\ldots ) Nombres rationnels 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\ldots ) Nombres réels − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 je + 2 , e je π / 3 , … (\displaystyle -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\ldots ) 1 , je , j , k , π j − 1 2 k , … (\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2))k ,\;\points) Nombres complexes Quaternions

Transformations

L'analyse considère les phénomènes de transformations et de changements sous la forme la plus générale.

Structures

Relations spatiales

La géométrie examine les principes fondamentaux des relations spatiales. La trigonométrie examine les propriétés des fonctions trigonométriques. La géométrie différentielle est l'étude d'objets géométriques par l'analyse mathématique. Les propriétés des espaces qui restent inchangées sous des déformations continues et le phénomène de continuité lui-même sont étudiés par la topologie.

Mathématiques discrètes

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\Rightarrow P(x")))

Les mathématiques sont apparues il y a très longtemps. L'homme ramassait des fruits, déterrait des fruits, pêchait du poisson et stockait le tout pour l'hiver. Pour comprendre la quantité de nourriture stockée, l’homme a inventé le comptage. C’est ainsi que les mathématiques ont commencé à émerger.

Puis l’homme a commencé à se lancer dans l’agriculture. Il fallait mesurer des parcelles de terrain, construire des maisons et mesurer le temps.

C'est-à-dire qu'il est devenu nécessaire pour une personne d'utiliser la relation quantitative du monde réel. Déterminez la quantité de récolte qui a été récoltée, quelle est la taille du terrain à bâtir ou quelle est la taille de la zone du ciel avec un certain nombre d'étoiles brillantes.

De plus, l'homme a commencé à déterminer les formes : un soleil rond, une boîte carrée, un lac ovale et la manière dont ces objets sont situés dans l'espace. C'est-à-dire qu'une personne s'est intéressée aux formes spatiales du monde réel.

Ainsi, la notion mathématiques peut être définie comme la science des relations quantitatives et des formes spatiales du monde réel.

Actuellement, il n'existe pas un seul métier où l'on pourrait se passer des mathématiques. Le célèbre mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss, surnommé le « roi des mathématiques », a dit un jour :

"Les mathématiques sont la reine des sciences, l'arithmétique est la reine des mathématiques."

Le mot « arithmétique » vient du mot grec « arithmos » – « nombre ».

Ainsi, arithmétique est une branche des mathématiques qui étudie les nombres et leurs opérations.

À l’école primaire, l’arithmétique est principalement enseignée.

Comment cette science s'est-elle développée, explorons cette question.

La période de naissance des mathématiques

La principale période d'accumulation des connaissances mathématiques est considérée comme étant la période précédant le 5ème siècle avant JC.

Le premier à avoir commencé à prouver des propositions mathématiques fut le penseur grec ancien, qui vécut au 7ème siècle avant JC, vraisemblablement entre 625 et 545. Ce philosophe a voyagé dans les pays de l'Est. Les traditions disent qu'il étudia auprès des prêtres égyptiens et des Chaldéens babyloniens.

Thalès de Milet a apporté les premiers concepts de géométrie élémentaire d'Egypte en Grèce : qu'est-ce qu'un diamètre, qu'est-ce qui détermine un triangle, etc. Il a prédit une éclipse solaire et conçu des ouvrages d'art.

Durant cette période, l'arithmétique se développe progressivement, l'astronomie et la géométrie se développent. L'algèbre et la trigonométrie sont nées.

Période de mathématiques élémentaires

Cette période commence à partir du VIe av. Les mathématiques apparaissent désormais comme une science dotée de théories et de preuves. La théorie des nombres, la doctrine des quantités et de leur mesure, apparaît.

Le mathématicien le plus célèbre de cette époque est Euclide. Il vécut au 3ème siècle avant JC. Cet homme est l'auteur du premier traité théorique de mathématiques qui nous soit parvenu.

Dans les travaux d'Euclide, les fondements de la géométrie dite euclidienne sont donnés - ce sont des axiomes qui reposent sur des concepts de base, tels que.

C'est à l'époque des mathématiques élémentaires qu'est née la théorie des nombres, ainsi que la doctrine des quantités et de leur mesure. Des nombres négatifs et irrationnels apparaissent pour la première fois.

A la fin de cette période, on observe la création de l'algèbre comme calcul littéral. La science de « l’algèbre » elle-même apparaît chez les Arabes comme la science de la résolution d’équations. Le mot « algèbre » en arabe signifie « restauration », c'est-à-dire transférer des valeurs négatives vers une autre partie de l'équation.

Période de mathématiques des variables

Le fondateur de cette période est considéré comme René Descartes, qui vécut au XVIIe siècle après JC. Dans ses écrits, Descartes a été le premier à introduire le concept de quantité variable.

Grâce à cela, les scientifiques passent de l'étude des quantités constantes à l'étude des dépendances entre quantités variables et à la description mathématique du mouvement.

Cette période a été caractérisée de la manière la plus frappante par Friedrich Engels, dans ses écrits, il a écrit :

« Le tournant en mathématiques a été la variable cartésienne. Grâce à cela, le mouvement et donc la dialectique sont entrés dans les mathématiques, et grâce à cela est devenu immédiatement nécessaire le calcul différentiel et intégral, qui surgit immédiatement et qui a été, dans l'ensemble, achevé et non inventé par Newton et Leibniz.

Période des mathématiques modernes

Dans les années 20 du XIXe siècle, Nikolai Ivanovich Lobachevsky est devenu le fondateur de la géométrie dite non euclidienne.

A partir de ce moment commence le développement des branches les plus importantes des mathématiques modernes. Tels que la théorie des probabilités, la théorie des ensembles, les statistiques mathématiques, etc.

Toutes ces découvertes et recherches trouvent de larges applications dans divers domaines scientifiques.

Et à l'heure actuelle, la science mathématique se développe rapidement, le sujet des mathématiques s'élargit, incluant de nouvelles formes et relations, de nouveaux théorèmes sont prouvés et les concepts de base s'approfondissent.

Les propriétés idéalisées des objets étudiés sont soit formulées sous forme d'axiomes, soit répertoriées dans la définition des objets mathématiques correspondants. Ensuite, selon des règles strictes d’inférence logique, d’autres vraies propriétés (théorèmes) sont déduites de ces propriétés. Cette théorie forme ensemble un modèle mathématique de l’objet étudié. Ainsi, dans un premier temps, fondées sur des relations spatiales et quantitatives, les mathématiques reçoivent des relations plus abstraites, dont l'étude fait également l'objet des mathématiques modernes.

Traditionnellement, les mathématiques sont divisées en mathématiques théoriques, qui effectuent une analyse approfondie des structures intra-mathématiques, et appliquées, qui fournissent leurs modèles à d'autres disciplines scientifiques et techniques, dont certaines occupent une position frontalière avec les mathématiques. En particulier, la logique formelle peut être considérée à la fois comme une partie des sciences philosophiques et des sciences mathématiques ; mécanique - physique et mathématiques ; l'informatique, l'informatique et l'algorithmique concernent à la fois les sciences de l'ingénieur et les sciences mathématiques, etc. De nombreuses définitions différentes des mathématiques ont été proposées dans la littérature (voir).

Étymologie

Le mot « mathématiques » vient du grec ancien. μάθημα ( mathématique), ce qui signifie étudier, connaissance, la science, etc.-grec. μαθηματικός ( mathēmatikos), signifiant à l'origine réceptif, réussi, plus tard pertinent pour étudier, ensuite lié aux mathématiques. En particulier, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), en latin ars mathématiques, moyens art des mathématiques.

Définitions

Le domaine des mathématiques ne comprend que les sciences dans lesquelles l'ordre ou la mesure est considéré, et peu importe qu'il s'agisse de nombres, de chiffres, d'étoiles, de sons ou de toute autre chose dans laquelle cette mesure est recherchée. Ainsi, il doit y avoir une sorte de science générale qui explique tout ce qui touche à l'ordre et à la mesure, sans entrer dans l'étude de sujets particuliers, et cette science ne doit pas être appelée étrangère, mais sous l'ancien nom de Mathématiques universelles, qui est déjà venu en utilisation.

À l'époque soviétique, la définition du TSB donnée par A. N. Kolmogorov était considérée comme classique :

Mathématiques... la science des relations quantitatives et des formes spatiales du monde réel.

L'essence des mathématiques... est maintenant présentée comme la doctrine des relations entre des objets dont on ne sait rien à l'exception de certaines propriétés qui les décrivent - précisément celles qui, en tant qu'axiomes, sont à la base de la théorie... Les mathématiques sont un ensemble de formes abstraites - structures mathématiques.

Donnons quelques définitions plus modernes.

Les mathématiques théoriques (« pures ») modernes sont la science des structures mathématiques, des invariants mathématiques de divers systèmes et processus.

Les mathématiques sont une science qui offre la possibilité de calculer des modèles pouvant être réduits à une forme standard (canonique). La science qui consiste à trouver des solutions aux modèles analytiques (analyse) à l'aide de transformations formelles.

Sections de mathématiques

1. Mathématiques comment discipline académique est subdivisée dans la Fédération de Russie en mathématiques élémentaires, étudiées au lycée et formées par les disciplines :

géométrie élémentaire : planimétrie et stéréométrie
théorie des fonctions élémentaires et éléments d'analyse

4. L'American Mathematical Society (AMS) a développé sa propre norme de classification des branches des mathématiques. C'est ce qu'on appelle la classification des matières mathématiques. Cette norme est mise à jour périodiquement. La version actuelle est MSC 2010. La version précédente est MSC 2000.

Désignations

Parce que les mathématiques traitent de structures extrêmement variées et assez complexes, le système de notation est également très complexe. Le système moderne d'écriture des formules s'est formé sur la base de la tradition algébrique européenne, ainsi que de l'analyse mathématique (concept de fonction, de dérivée, etc.). Depuis des temps immémoriaux, la géométrie utilise une représentation visuelle (géométrique). En mathématiques modernes, les systèmes de notation graphique complexes (par exemple, les diagrammes commutatifs) sont également courants ; la notation basée sur des graphiques est également souvent utilisée.

Histoire courte

Le développement des mathématiques repose sur l’écriture et la capacité à écrire des nombres. Il est probable que les peuples anciens exprimaient d’abord les quantités en traçant des lignes sur le sol ou en les grattant sur du bois. Les anciens Incas, n'ayant pas d'autre système d'écriture, représentaient et stockaient les données numériques à l'aide d'un système complexe de nœuds de corde appelés quipus. Il existait de nombreux systèmes numériques différents. Les premiers enregistrements connus de nombres ont été trouvés dans le papyrus Ahmes, créé par les Égyptiens de l’Empire du Milieu. La civilisation de l'Indus a développé le système de nombres décimaux moderne, qui incluait le concept de zéro.

Historiquement, les disciplines mathématiques de base sont nées de la nécessité d'effectuer des calculs dans le domaine commercial, de mesurer des terres, de prédire des phénomènes astronomiques et, plus tard, de résoudre de nouveaux problèmes physiques. Chacun de ces domaines joue un rôle important dans le développement général des mathématiques, qui consistent en l’étude des structures, des espaces et des changements.

Philosophie des mathématiques

Objectifs et méthodes

Les mathématiques étudient les objets imaginaires et idéaux et les relations entre eux en utilisant un langage formel. En général, les concepts et théorèmes mathématiques n’ont pas nécessairement de correspondance avec quoi que ce soit dans le monde physique. La tâche principale de la section appliquée des mathématiques est de créer un modèle mathématique suffisamment adapté à l'objet réel étudié. La tâche d'un mathématicien théoricien est de fournir un ensemble suffisant de moyens pratiques pour atteindre cet objectif.

Le contenu des mathématiques peut être défini comme un système de modèles mathématiques et d'outils pour leur création. Le modèle d'un objet ne prend pas en compte toutes ses caractéristiques, mais uniquement celles les plus nécessaires aux fins de l'étude (idéalisées). Par exemple, lorsque nous étudions les propriétés physiques d’une orange, nous pouvons faire abstraction de sa couleur et de son goût et l’imaginer (même si ce n’est pas parfaitement précis) comme une boule. Si nous avons besoin de comprendre combien d'oranges nous obtiendrons si nous additionnons deux et trois ensemble, nous pouvons alors faire abstraction de la forme, laissant le modèle avec une seule caractéristique : la quantité. L'abstraction et l'établissement de connexions entre objets sous la forme la plus générale sont l'une des principales directions de la créativité mathématique.

Une autre direction, outre l'abstraction, est la généralisation. Par exemple, généraliser le concept d’« espace » à un espace à n dimensions. " L'espace est une invention mathématique. Il s’agit cependant d’une invention très ingénieuse qui permet de comprendre des phénomènes mathématiquement complexes.».

L'étude des objets intra-mathématiques s'effectue généralement à l'aide de la méthode axiomatique : d'abord, une liste de concepts et d'axiomes de base est formulée pour les objets étudiés, puis des théorèmes significatifs sont obtenus à partir des axiomes à l'aide de règles d'inférence, qui, ensemble former un modèle mathématique.

Terrains

La question de l’essence et des fondements des mathématiques est discutée depuis l’époque de Platon. Depuis le XXe siècle, il existe un accord relatif sur ce qui constitue une preuve mathématique rigoureuse, mais peu d’accord sur ce qui est considéré comme intrinsèquement vrai en mathématiques. Cela conduit à des désaccords à la fois sur les questions d'axiomatiques et d'interrelation des branches des mathématiques, ainsi que sur le choix des systèmes logiques à utiliser dans les preuves.

En plus de la approche sceptique, les approches suivantes sur cette question sont connues.

Approche de la théorie des ensembles

Il est proposé de considérer tous les objets mathématiques dans le cadre de la théorie des ensembles, le plus souvent avec l'axiomatique de Zermelo-Frenkel (bien qu'il en existe bien d'autres équivalentes). Cette approche est considérée comme prédominante depuis le milieu du XXe siècle, mais en réalité la plupart des travaux mathématiques ne visent pas à traduire leurs déclarations strictement dans le langage de la théorie des ensembles, mais opèrent avec des concepts et des faits établis dans certains domaines des mathématiques. Ainsi, si une contradiction est découverte dans la théorie des ensembles, cela n’entraînera pas l’invalidation de la plupart des résultats.

Logicisme

Cette approche suppose un typage strict des objets mathématiques. De nombreux paradoxes, évités dans la théorie des ensembles uniquement par des astuces spéciales, s'avèrent en principe impossibles.

Formalisme

Cette approche implique l'étude de systèmes formels basés sur la logique classique.

Intuitionnisme

L'intuitionnisme suppose que les mathématiques sont basées sur une logique intuitionniste, qui est plus limitée dans ses moyens de preuve (mais est considérée comme plus fiable). L'intuitionnisme rejette la preuve par contradiction, de nombreuses preuves non constructives deviennent impossibles et de nombreux problèmes de théorie des ensembles perdent leur sens (informalisables).

Mathématiques constructives

Les mathématiques constructives sont un mouvement mathématique proche de l'intuitionnisme qui étudie les constructions constructives. clarifier] . Selon le critère de constructivité - " exister signifie être construit" Le critère de constructivité est une exigence plus forte que le critère de cohérence.

Les thèmes principaux

Nombres

Le concept de « nombre » faisait à l’origine référence aux nombres naturels. Plus tard, il a été progressivement étendu aux nombres entiers, rationnels, réels, complexes et autres.

Nombres entiers Nombres rationnels Nombres réels Nombres complexes Quaternions

Systèmes numériques
Compte ensembles	Nombres naturels () Entiers () Rationnel () Algébrique () Périodes Arithmétique calculable
Nombres réels et leurs extensions	Réel () Complexe () Quaternions () Nombres de Cayley (octaves, octonions) () Cédenions () Alternions Procédure de Cayley-Dixon Double Hypercomplexe Superréal Hyperréel Nombre surréaliste ( Anglais)
Autre systèmes de numérotation	Nombres cardinaux Nombres ordinaux (transfinis, ordinaux) p-adiques Nombres surnaturels
voir également	Nombres doubles Nombres irrationnels Rayon numérique transcendantal Biquaternion

Transformations

Mathématiques discrètes

Codes dans les systèmes de classification des connaissances

Services en ligne

Il existe un grand nombre de sites proposant des services de calculs mathématiques. La plupart d’entre eux sont anglophones. Parmi les russophones, on peut noter le service de requêtes mathématiques du moteur de recherche Nigma.

voir également

Vulgarisateurs de la science

Remarques

Encyclopédie britannique
Dictionnaire en ligne Webster
Chapitre 2. Les mathématiques comme langage de la science. Université ouverte de Sibérie. Archivé de l'original le 2 février 2012. Récupéré le 5 octobre 2010.
Grand dictionnaire grec ancien (αω)
Dictionnaire de la langue russe XI-XVII siècles. Numéro 9 / Ch. éd. F.P. Filin. - M. : Nauka, 1982. - P. 41.
Descartes R. Règles pour guider l'esprit. M.-L. : Sotsekgiz, 1936.
Voir : Mathématiques TSB
Marx K., Engels F. Essais. 2e éd. T. 20. P. 37.
Bourbaki N. Architecture des mathématiques. Essais sur l'histoire des mathématiques / Traduction de I. G. Bashmakova, éd. K.A. Rybnikova. M. : IL, 1963. P. 32, 258.
Kaziev V. M. Introduction aux mathématiques
Mukhin O.I. Tutoriel sur les systèmes de modélisation. Perm : RCI PSTU.
Hermann Weil // Klein M.. - M. : Mir, 1984. - P. 16.
Norme éducative de l'État pour l'enseignement professionnel supérieur. Spécialité 01.01.00. "Mathématiques". Diplôme - Mathématicien. Moscou, 2000 (Compilé sous la direction d'O. B. Lupanov)
Nomenclature des spécialités des travailleurs scientifiques, approuvée par arrêté du ministère de l'Éducation et des Sciences de Russie du 25 février 2009 n° 59
UDC 51 Mathématiques
Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky. Éléments d'algèbre linéaire et de géométrie analytique. M. : Nauka, 1988. P. 44.
N. I. Kondakov. Ouvrage de référence de dictionnaire logique. M. : Nauka, 1975. P. 259.
G.I. Ruzavin. Sur la nature des connaissances mathématiques. M. : 1968.
http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
Par exemple : http://mathworld.wolfram.com

Littérature

Encyclopédies

// Dictionnaire encyclopédique de Brockhaus et Efron : En 86 volumes (82 volumes et 4 supplémentaires). - Saint-Pétersbourg. , 1890-1907.
Encyclopédie mathématique (5 volumes), années 1980. // Ouvrages de référence généraux et spéciaux sur les mathématiques sur EqWorld
Kondakov N.I. Ouvrage de référence de dictionnaire logique. M. : Nauka, 1975.
Encyclopédie des sciences mathématiques et de leurs applications (allemand) 1899-1934. (la plus grande étude de la littérature du 19e siècle)

Annuaires

G. Korn, T. Korn. Manuel de mathématiques pour scientifiques et ingénieurs M., 1973.

Livres

Klein M. Mathématiques. Perte de certitude. - M. : Mir, 1984.
Klein M. Mathématiques. Rechercher la vérité. M. : Mir, 1988.
Klein F. Mathématiques élémentaires d'un point de vue supérieur.

Tome I. Arithmétique. Algèbre. Analyse M. : Nauka, 1987. 432 p.
Tome II. Géométrie M. : Nauka, 1987. 416 p.

Courant R., G. Robbins. Qu'est-ce que les mathématiques ? 3e éd., rév. et supplémentaire - M. : 2001. 568 p.
Pisarevsky B.M., Kharin V.T.À propos des mathématiques, des mathématiciens et plus encore. - M. : Binom. Laboratoire de connaissances, 2012. - 302 p.
Poincaré A. Science et méthode (russe) (français)

Les mathématiques sont l'une des sciences les plus anciennes. Donner une brève définition des mathématiques n'est pas du tout facile, son contenu variera considérablement en fonction du niveau d'éducation mathématique d'une personne. Un élève du primaire qui vient de commencer à étudier l'arithmétique dira que les mathématiques étudient les règles de comptage des objets. Et il aura raison, puisque c’est exactement ce qu’il découvre au début. Les élèves plus âgés ajouteront à ce qui a été dit que le concept des mathématiques inclut l'algèbre et l'étude des objets géométriques : les lignes, leurs intersections, les figures planes, les corps géométriques, diverses sortes de transformations. Les diplômés du secondaire incluront également dans leur définition des mathématiques l’étude des fonctions et de l’action de passer à une limite, ainsi que les concepts connexes de dérivée et d’intégrale. Les diplômés des établissements d'enseignement technique supérieur ou des facultés de sciences naturelles des universités et des instituts pédagogiques ne se contenteront plus des définitions scolaires, car ils savent que les mathématiques incluent également d'autres disciplines : théorie des probabilités, statistiques mathématiques, calcul différentiel, programmation, méthodes de calcul, ainsi que ainsi que des applications de ces disciplines pour la modélisation des processus de production, le traitement des données expérimentales, le transfert et le traitement de l'information. Cependant, ce qui est énuméré n’épuise pas le contenu des mathématiques. La théorie des ensembles, la logique mathématique, le contrôle optimal, la théorie des processus aléatoires et bien plus encore entrent dans sa composition.

Les tentatives visant à définir les mathématiques en énumérant leurs branches constitutives nous égarent, car elles ne donnent pas une idée de ce qu'étudient exactement les mathématiques et de leur relation avec le monde qui nous entoure. Si une question similaire était posée à un physicien, un biologiste ou un astronome, chacun d’eux donnerait une réponse très courte, ne contenant pas une liste des parties qui composent la science qu’ils étudient. Une telle réponse contiendrait une indication sur les phénomènes naturels qu’elle étudie. Par exemple, un biologiste affirmerait que la biologie est l’étude des diverses manifestations de la vie. Que cette réponse ne soit pas tout à fait complète, puisqu'elle ne dit pas ce que sont la vie et les phénomènes vitaux, mais néanmoins une telle définition donnerait une idée assez complète du contenu de la science de la biologie elle-même et des différents niveaux de cette science. Et cette définition ne changerait pas avec l’expansion de nos connaissances en biologie.

Il n'existe pas de phénomène naturel, de processus technique ou social qui feraient l'objet de l'étude des mathématiques, mais qui ne seraient pas liés à des phénomènes physiques, biologiques, chimiques, techniques ou sociaux. Chaque discipline des sciences naturelles : biologie et physique, chimie et psychologie - est déterminée par les caractéristiques matérielles de son sujet, les spécificités du domaine du monde réel qu'elle étudie. L'objet ou le phénomène lui-même peut être étudié par différentes méthodes, y compris mathématiques, mais en changeant les méthodes, on reste toujours dans les limites de cette discipline, puisque le contenu de cette science est l'objet réel, et non la méthode de recherche. Pour les mathématiques, le sujet matériel de recherche n'a pas d'importance décisive, la méthode utilisée est importante. Par exemple, les fonctions trigonométriques peuvent être utilisées à la fois pour étudier le mouvement oscillatoire et pour déterminer la hauteur d'un objet inaccessible. Quels phénomènes du monde réel peuvent être étudiés à l’aide de la méthode mathématique ? Ces phénomènes ne sont pas déterminés par leur nature matérielle, mais exclusivement par leurs propriétés structurelles formelles, et surtout par les relations quantitatives et les formes spatiales dans lesquelles ils existent.

Ainsi, les mathématiques n'étudient pas les objets matériels, mais les méthodes de recherche et les propriétés structurelles de l'objet d'étude, qui permettent de lui appliquer certaines opérations (sommation, différenciation, etc.). Cependant, une partie importante des problèmes, concepts et théories mathématiques ont comme source principale des phénomènes et des processus réels. Par exemple, l’arithmétique et la théorie des nombres sont issues de la tâche pratique principale consistant à compter les objets. La géométrie élémentaire trouve sa source dans les problèmes liés à la comparaison des distances, au calcul des aires de figures plates ou des volumes des corps spatiaux. Il fallait trouver tout cela, puisqu'il fallait redistribuer les parcelles entre les utilisateurs, calculer la taille des greniers ou le volume des travaux d'excavation lors de la construction des ouvrages de défense.

Un résultat mathématique a la propriété de pouvoir non seulement être utilisé dans l'étude d'un phénomène ou d'un processus spécifique, mais également pour étudier d'autres phénomènes dont la nature physique est fondamentalement différente de celles considérées précédemment. Ainsi, les règles de l'arithmétique sont applicables aux problèmes économiques, aux problèmes techniques, à la résolution de problèmes agricoles et à la recherche scientifique. Les règles arithmétiques ont été élaborées il y a des milliers d’années, mais elles ont conservé leur valeur appliquée pour l’éternité. L'arithmétique fait partie intégrante des mathématiques, sa partie traditionnelle ne fait plus l'objet d'un développement créatif dans le cadre des mathématiques, mais elle a trouvé et continuera de trouver de nombreuses nouvelles applications. Ces applications peuvent être d’une grande importance pour l’humanité, mais elles n’apporteront plus de contribution aux mathématiques elles-mêmes.

Les mathématiques, en tant que force créatrice, ont pour objectif le développement de règles générales qui devraient être utilisées dans de nombreux cas particuliers. Celui qui crée ces règles crée quelque chose de nouveau, crée. Quiconque applique des règles toutes faites ne crée plus dans les mathématiques elles-mêmes, mais crée très probablement de nouvelles valeurs dans d'autres domaines de la connaissance à l'aide de règles mathématiques. Par exemple, aujourd'hui, les données issues de l'interprétation d'images spatiales, ainsi que les informations sur la composition et l'âge des roches, les anomalies géochimiques et géophysiques sont traitées à l'aide d'ordinateurs. Il ne fait aucun doute que l'utilisation d'ordinateurs dans la recherche géologique laisse ces études géologiques. Les principes de fonctionnement des ordinateurs et de leurs logiciels ont été développés sans tenir compte de la possibilité de leur utilisation dans l'intérêt de la science géologique. Cette possibilité elle-même est déterminée par le fait que les propriétés structurelles des données géologiques sont conformes à la logique de certains programmes informatiques.

Deux définitions des mathématiques se sont répandues. Le premier d'entre eux a été donné par F. Engels dans l'ouvrage « Anti-Dühring », l'autre par un groupe de mathématiciens français connu sous le nom de Nicolas Bourbaki, dans l'article « L'architecture des mathématiques » (1948).

« Les mathématiques pures ont pour objet les formes spatiales et les relations quantitatives du monde réel. » Cette définition décrit non seulement l'objet d'étude des mathématiques, mais indique également son origine - le monde réel. Cependant, cette définition de F. Engels reflète largement l'état des mathématiques dans la seconde moitié du XIXe siècle. et ne prend pas en compte les nouveaux domaines qui ne sont directement liés ni aux relations quantitatives ni aux formes géométriques. Il s'agit avant tout de la logique mathématique et des disciplines liées à la programmation. Cette définition nécessite donc quelques précisions. Peut-être faut-il dire que les mathématiques ont pour objet d'étude les formes spatiales, les relations quantitatives et les constructions logiques.

Les Bourbakis affirment que « les seuls objets mathématiques sont, à proprement parler, des structures mathématiques ». En d’autres termes, les mathématiques devraient être définies comme la science des structures mathématiques. Cette définition est essentiellement une tautologie, puisqu'elle n'énonce qu'une chose : les mathématiques s'intéressent aux objets qu'elles étudient. Un autre défaut de cette définition est qu’elle ne clarifie pas la relation des mathématiques avec le monde qui nous entoure. De plus, les Bourbakis soulignent que les structures mathématiques sont créées indépendamment du monde réel et de ses phénomènes. C’est pourquoi les Bourbakis ont été contraints de déclarer que « le problème principal est le rapport entre le monde expérimental et le monde mathématique. Qu'il existe un lien étroit entre les phénomènes expérimentaux et les structures mathématiques semble avoir été confirmé de manière tout à fait inattendue par les découvertes de la physique moderne, mais les raisons profondes de cela nous sont totalement inconnues... et peut-être ne les connaîtrons-nous jamais. .»

Une conclusion aussi décevante ne peut découler de la définition de F. Engels, puisqu'elle contient déjà l'affirmation selon laquelle les concepts mathématiques sont des abstractions de certaines relations et formes du monde réel. Ces concepts sont tirés du monde réel et liés à celui-ci. En substance, c'est précisément ce qui explique l'étonnante applicabilité des résultats des mathématiques aux phénomènes du monde qui nous entoure, et en même temps le succès du processus de mathématisation des connaissances.

Les mathématiques ne font pas exception à tous les domaines de la connaissance : elles forment également des concepts qui découlent de situations pratiques et d'abstractions ultérieures ; cela nous permet d'étudier la réalité aussi de manière approximative. Mais il ne faut pas oublier que les mathématiques n’étudient pas des choses du monde réel, mais des concepts abstraits, et que leurs conclusions logiques sont absolument strictes et précises. Son approximation n'est pas de nature interne, mais est associée à l'élaboration d'un modèle mathématique du phénomène. Notons également que les règles mathématiques n'ont pas d'applicabilité absolue ; elles ont aussi un domaine d'application limité où elles règnent en maître. Clarifions cette idée avec un exemple : il s'avère que deux et deux ne font pas toujours quatre. On sait qu'en mélangeant 2 litres d'alcool et 2 litres d'eau, on obtient moins de 4 litres du mélange. Dans ce mélange, les molécules sont disposées de manière plus compacte et le volume du mélange est inférieur à la somme des volumes des composants constitutifs. La règle d’addition arithmétique est enfreinte. Vous pouvez également donner des exemples dans lesquels d'autres vérités arithmétiques sont violées, par exemple, lors de l'ajout de certains objets, il s'avère que la somme dépend de l'ordre de sommation.

De nombreux mathématiciens considèrent les concepts mathématiques non pas comme une création de la raison pure, mais comme des abstractions de choses, de phénomènes, de processus réellement existants ou des abstractions d'abstractions déjà existantes (abstractions d'ordres supérieurs). Dans "Dialectique de la nature", F. Engels a écrit que "... toutes les mathématiques dites pures traitent d'abstractions... toutes ses quantités sont, à proprement parler, des quantités imaginaires..." Ces mots reflètent très clairement l'opinion d'un des fondateurs de la philosophie marxiste sur le rôle des abstractions en mathématiques. Il faut seulement ajouter que toutes ces « quantités imaginaires » sont tirées de la réalité réelle, et ne sont pas construites arbitrairement, par le libre vol de la pensée. C’est ainsi que la notion de nombre s’est généralisée. Au début, il s’agissait de nombres compris dans les unités et, de plus, uniquement d’entiers positifs. Puis l'expérience m'a forcé à élargir mon arsenal de nombres jusqu'à des dizaines et des centaines. L'idée du nombre illimité d'entiers est née à une époque historiquement proche de nous : Archimède dans son livre « Psammit » (« Calcul de grains de sable ») a montré comment il est possible de construire des nombres encore plus grands que le ceux donnés. Dans le même temps, pour des raisons pratiques, est né le concept de nombres fractionnaires. Les calculs liés aux figures géométriques les plus simples ont conduit l'humanité à de nouveaux nombres - irrationnels. C'est ainsi que s'est progressivement formée l'idée de l'ensemble de tous les nombres réels.

Le même chemin peut être suivi pour tout autre concept mathématique. Tous sont nés de besoins pratiques et se sont progressivement transformés en concepts abstraits. On peut encore rappeler les paroles de F. Engels : « ...les mathématiques pures ont un sens indépendant de l'expérience particulière de chaque individu... Mais il est totalement faux de dire qu'en mathématiques pures l'esprit ne s'occupe que des produits de lui-même. créativité et imagination. Les concepts de nombre et de figure ne viennent de nulle part, mais uniquement du monde réel. Les dix doigts avec lesquels les gens ont appris à compter, c'est-à-dire à effectuer la première opération arithmétique, sont tout sauf le produit de la libre créativité de l'esprit. Pour compter, il faut non seulement avoir des objets qui peuvent être comptés, mais aussi avoir la capacité de faire abstraction, lorsqu'on considère ces objets, de toutes les autres propriétés à l'exception du nombre, et cette capacité est le résultat d'un long développement historique basé sur l'expérience. Tant le concept de nombre que le concept de figure sont empruntés exclusivement au monde extérieur et ne sont pas nés dans la tête de la pensée pure. Il devait y avoir des choses qui avaient une certaine forme, et ces formes devaient être comparées avant de pouvoir parvenir au concept de figure.

Voyons s'il existe des concepts scientifiques qui ont été créés sans lien avec les progrès passés de la science et les progrès actuels de la pratique. Nous savons très bien que la créativité mathématique scientifique est précédée par l’étude de nombreuses matières à l’école, à l’université, par la lecture de livres, d’articles, par des conversations avec des experts tant dans son propre domaine que dans d’autres domaines de la connaissance. Un mathématicien vit en société et, grâce à ses livres, à la radio et à d'autres sources, il découvre les problèmes qui se posent dans les domaines de la science, de l'ingénierie et de la vie publique. De plus, la pensée du chercheur est influencée par toute l’évolution antérieure de la pensée scientifique. Il s’avère donc prêt à résoudre certains problèmes nécessaires au progrès de la science. C’est pourquoi un scientifique ne peut pas proposer des problèmes de manière arbitraire, sur un coup de tête, mais doit créer des concepts et des théories mathématiques qui seraient utiles à la science, aux autres chercheurs, à l’humanité. Mais les théories mathématiques conservent leur importance dans les conditions de diverses formations sociales et époques historiques. De plus, les mêmes idées proviennent souvent de scientifiques qui n'ont aucun lien entre eux. C’est un argument supplémentaire contre ceux qui adhèrent au concept de libre créativité des concepts mathématiques.

Nous avons donc expliqué ce qu'inclut le concept de « mathématiques ». Mais il existe aussi des mathématiques appliquées. Il s’agit de l’ensemble de toutes les méthodes et disciplines mathématiques qui trouvent des applications en dehors des mathématiques. Dans les temps anciens, la géométrie et l'arithmétique représentaient toutes les mathématiques, et comme toutes deux trouvaient de nombreuses applications dans les échanges commerciaux, dans la mesure de surfaces et de volumes, ainsi qu'en matière de navigation, toutes les mathématiques étaient non seulement théoriques, mais également appliquées. Plus tard, dans la Grèce antique, une division est apparue entre mathématiques et mathématiques appliquées. Cependant, tous les mathématiciens exceptionnels étaient également engagés dans des recherches appliquées, et pas seulement dans des recherches purement théoriques.

Le développement ultérieur des mathématiques était continuellement lié aux progrès des sciences naturelles, de la technologie et à l’émergence de nouveaux besoins sociaux. Vers la fin du XVIIIe siècle. un besoin s'est fait sentir (principalement en relation avec les problèmes de navigation et d'artillerie) de créer une théorie mathématique du mouvement. C'est ce que G. W. Leibniz et I. Newton ont fait dans leurs travaux. Les mathématiques appliquées ont été complétées par une nouvelle méthode de recherche très puissante : l'analyse mathématique. Presque simultanément, les besoins de la démographie et de l'assurance ont conduit à la formation des débuts de la théorie des probabilités (voir Théorie des probabilités). XVIIIe et XIXème siècles. a élargi le contenu des mathématiques appliquées, en y ajoutant la théorie des équations aux dérivées ordinaires et partielles, les équations de la physique mathématique, les éléments de statistiques mathématiques et la géométrie différentielle. XXe siècle a apporté de nouvelles méthodes pour l'étude mathématique de problèmes pratiques : la théorie des processus aléatoires, la théorie des graphes, l'analyse fonctionnelle, le contrôle optimal, la programmation linéaire et non linéaire. De plus, il s’est avéré que la théorie des nombres et l’algèbre abstraite avaient des applications inattendues aux problèmes de physique. En conséquence, la croyance a commencé à émerger selon laquelle les mathématiques appliquées en tant que discipline distincte n’existent pas et que toutes les mathématiques peuvent être considérées comme appliquées. Peut-être devons-nous parler non pas du fait que les mathématiques sont appliquées et théoriques, mais du fait que les mathématiciens sont divisés en appliqués et théoriciens. Pour certains, les mathématiques sont une méthode de compréhension du monde qui nous entoure et des phénomènes qui s'y produisent ; c'est dans ce but qu'un scientifique développe et élargit ses connaissances mathématiques. Pour d’autres, les mathématiques elles-mêmes représentent un monde entier digne d’être étudié et développé. Pour le progrès de la science, il faut des scientifiques des deux types.

Les mathématiques, avant d'étudier un phénomène en utilisant leurs propres méthodes, créent leur modèle mathématique, c'est-à-dire qu'elles répertorient toutes les caractéristiques du phénomène qui seront prises en compte. Le modèle oblige le chercheur à choisir les outils mathématiques qui lui permettront de transmettre adéquatement les caractéristiques du phénomène étudié et son évolution. A titre d'exemple, prenons un modèle de système planétaire : le Soleil et les planètes sont considérés comme des points matériels avec les masses correspondantes. L'interaction de deux points est déterminée par la force d'attraction entre eux

où m 1 et m 2 sont les masses des points en interaction, r est la distance qui les sépare et f est la constante gravitationnelle. Malgré la simplicité de ce modèle, il transmet depuis trois cents ans avec une grande précision les caractéristiques du mouvement des planètes du système solaire.

Bien entendu, chaque modèle grossit la réalité, et la tâche du chercheur est avant tout de proposer un modèle qui, d'une part, traduit le plus pleinement l'aspect factuel de la question (comme on dit, ses caractéristiques physiques), et d'autre part en revanche, cela donne une approximation significative de la réalité. Bien entendu, plusieurs modèles mathématiques peuvent être proposés pour un même phénomène. Tous ont le droit d’exister jusqu’à ce qu’un écart significatif entre le modèle et la réalité commence à les affecter.

Mathématiques 1. D'où vient le mot mathématiques 2. Qui a inventé les mathématiques ? 3. Thèmes principaux. 4. Définition 5. Étymologie Jusqu'à la dernière diapositive.

D'où vient le mot (aller à la diapositive précédente) Mathématiques du grec - étude, science) - la science des structures, de l'ordre et des relations, historiquement développée sur la base des opérations de comptage, de mesure et de description de la forme des objets. Les objets mathématiques sont créés en idéalisant les propriétés d'objets mathématiques réels ou autres et en écrivant ces propriétés dans un langage formel.

Qui a inventé les mathématiques (aller au menu) Le premier mathématicien s'appelle généralement Thalès de Milet, qui vécut au 6ème siècle. avant JC e. , l'un des soi-disant Sept Sages de Grèce. Quoi qu'il en soit, c'est lui qui fut le premier à structurer toute la base de connaissances sur ce sujet, constituée depuis longtemps dans les limites du monde qu'il connaissait. Cependant, l'auteur du premier traité de mathématiques qui nous soit parvenu est Euclide (IIIe siècle avant JC). Il peut aussi à juste titre être considéré comme le père de cette science.

Thèmes principaux (aller au menu) Le domaine des mathématiques ne comprend que les sciences dans lesquelles l'ordre ou la mesure est considéré, et il n'est pas du tout important qu'il s'agisse de nombres, de chiffres, d'étoiles, de sons ou de toute autre chose dans laquelle cette mesure se trouve . Ainsi, il doit y avoir une sorte de science générale qui explique tout ce qui touche à l'ordre et à la mesure, sans entrer dans l'étude de sujets particuliers, et cette science ne doit pas être appelée étrangère, mais sous l'ancien nom de Mathématiques universelles, qui est déjà venu en utilisation.

Définition (aller au menu) L'analyse moderne est basée sur l'analyse mathématique classique, qui est considérée comme l'un des trois principaux domaines des mathématiques (avec l'algèbre et la géométrie). Dans le même temps, le terme « analyse mathématique » au sens classique est principalement utilisé dans les programmes et matériels éducatifs. Dans la tradition anglo-américaine, l'analyse mathématique classique correspond à des programmes de cours appelés « calcul »

Étymologie (aller au menu) Le mot « mathématiques » vient du grec ancien. , qui signifie étude, connaissance, science, etc. -Grec, signifiant à l'origine réceptif, réussi, plus tard lié à l'étude, puis lié aux mathématiques. Plus précisément, en latin, cela signifie l’art des mathématiques. Le terme est du grec ancien. dans le sens moderne du mot « mathématiques » se retrouve déjà dans les œuvres d'Aristote (IVe siècle avant JC). Dans les textes en russe, le mot « mathématiques » ou « mathématiques » apparaît au moins depuis le XVIIe siècle, par exemple , dans Nikolai Spafari dans le « Livre des mémoires choisis sur les neuf muses et les sept arts libres » (1672)

MATHÉMATIQUES – la science des relations quantitatives et des formes spatiales du monde réel ; Le mot grec (mathématiques) vient du mot grec (mathema) qui signifie « connaissance », « science ».

Les mathématiques sont nées dans l’Antiquité des besoins pratiques des hommes. Son contenu et son caractère ont changé au cours de l’histoire et continuent de changer aujourd’hui. À partir des concepts fondamentaux d'un nombre entier positif, ainsi que du concept de segment de droite comme distance la plus courte entre deux points, les mathématiques ont suivi un long chemin de développement avant de devenir une science abstraite dotée de méthodes de recherche spécifiques.

La compréhension moderne des formes spatiales est très large. Il comprend, outre les objets géométriques de l'espace tridimensionnel (ligne droite, cercle, triangle, cône, cylindre, boule, etc.), également de nombreuses généralisations - les concepts d'espace multidimensionnel et de dimension infinie, ainsi que les objets géométriques dans eux, et bien plus encore. De la même manière, les relations quantitatives s'expriment désormais non seulement par des entiers positifs ou des nombres rationnels, mais aussi par l'utilisation de nombres complexes, vecteurs, fonctions etc. Le développement de la science et de la technologie oblige les mathématiques à élargir continuellement leurs idées sur les formes spatiales et les relations quantitatives.

Les concepts mathématiques sont abstraits de phénomènes et d'objets spécifiques ; ils sont obtenus grâce à l'abstraction de caractéristiques qualitatives spécifiques à une gamme donnée de phénomènes et d'objets. Cette circonstance est extrêmement importante pour les applications des mathématiques. Le chiffre 2 n’est inextricablement lié à aucun contenu thématique spécifique. Cela peut faire référence à deux pommes, ou à deux livres, ou à deux pensées. Il traite également bien tous ces objets et d’innombrables autres objets. De même, les propriétés géométriques d’une balle ne changent pas car elle est en verre, en acier ou en stéarine. Bien entendu, faire abstraction des propriétés d'un objet appauvrit notre connaissance de cet objet, de ses caractéristiques matérielles caractéristiques. En même temps, c'est précisément cette abstraction des propriétés particulières des objets individuels qui donne une généralité aux concepts et permet d'appliquer les mathématiques aux phénomènes matériels les plus divers. Ainsi, les mêmes lois mathématiques, le même appareil mathématique peuvent être appliqués de manière tout à fait satisfaisante à la description des phénomènes naturels, des processus techniques, ainsi qu'économiques et sociaux.

Le caractère abstrait des concepts n’est pas une caractéristique exclusive des mathématiques ; tous les concepts scientifiques et généraux contiennent un élément d'abstraction des propriétés de choses spécifiques. Mais en mathématiques, le processus d’abstraction va plus loin que dans les sciences naturelles ; En mathématiques, le processus de construction d’abstractions à différents niveaux est largement utilisé. Oui, le concept groupes est né de l'abstraction de certaines propriétés de la collection de nombres et d'autres concepts abstraits. Les mathématiques se caractérisent également par la méthode d'obtention de leurs résultats. Si un naturaliste recourt constamment à l'expérience pour prouver ses positions, alors un mathématicien ne prouve ses résultats que par un raisonnement logique. En mathématiques, aucun résultat ne peut être considéré comme prouvé tant qu’il n’a pas besoin d’une preuve logique, et ce, même si des expériences spéciales confirment ce résultat. Dans le même temps, la vérité des théories mathématiques est également testée par la pratique, mais ce test est d'une nature particulière : les concepts de base des mathématiques se forment à la suite de leur cristallisation à long terme à partir des besoins particuliers de la pratique ; les règles de la logique elles-mêmes n'ont été développées qu'après des milliers d'années d'observation du flux des processus dans la nature ; La formulation de théorèmes et la formulation de problèmes en mathématiques découlent également des besoins de la pratique. Les mathématiques sont nées de besoins pratiques et leurs liens avec la pratique sont devenus de plus en plus diversifiés et approfondis au fil du temps.

En principe, les mathématiques peuvent être appliquées à l’étude de tout type de mouvement, d’une grande variété de phénomènes. En réalité, son rôle dans différents domaines d’activité scientifique et pratique n’est pas le même. Le rôle des mathématiques est particulièrement important dans le développement de la physique moderne, de la chimie, de nombreux domaines technologiques et, en général, dans l'étude de ces phénomènes où même une abstraction significative de leurs caractéristiques spécifiquement qualitatives permet de saisir avec assez de précision les aspects quantitatifs et spatiaux. modèles qui leur sont inhérents. Par exemple, l'étude mathématique du mouvement des corps célestes, basée sur des abstractions significatives de leurs caractéristiques réelles (les corps, par exemple, sont considérés comme des points matériels), a conduit et conduit à une excellente coïncidence avec leur mouvement réel. Sur cette base, il est possible non seulement de pré-calculer les phénomènes célestes (éclipses, positions des planètes, etc.), mais aussi de prédire l'existence de planètes qui n'avaient pas été observées auparavant sur la base des écarts des mouvements réels par rapport à ceux calculés (Pluton fut ainsi découverte en 1930, Neptune en 1846). Une place plus petite, mais néanmoins importante, est occupée par les mathématiques dans des sciences telles que l'économie, la biologie et la médecine. L'unicité qualitative des phénomènes étudiés dans ces sciences est si grande et influence si fortement la nature de leur déroulement que l'analyse mathématique ne peut encore jouer qu'un rôle secondaire. Il est particulièrement important pour les sciences sociales et biologiques statistiques mathématiques. Les mathématiques elles-mêmes se développent également sous l’influence des exigences des sciences naturelles, de la technologie et de l’économie. Ces dernières années, un certain nombre de disciplines mathématiques ont émergé sur la base de besoins pratiques : théorie de l'information, théorie des jeux et etc.

Il est clair que le passage d'une étape de connaissance des phénomènes à une autre, plus précise, impose de nouvelles exigences aux mathématiques et conduit à la création de nouveaux concepts et de nouvelles méthodes de recherche. Ainsi, les exigences de l'astronomie, passant d'un savoir purement descriptif à un savoir précis, ont conduit à l'élaboration de concepts de base trigonométrie: au 2ème siècle avant JC l'ancien scientifique grec Hipparque a compilé des tables d'accords correspondant aux tables modernes de sinus ; Les anciens scientifiques grecs du 1er siècle Ménélas et du 2ème siècle Claude Ptolémée ont créé les fondations trigonométrie sphérique. L'intérêt accru pour l'étude du mouvement, provoqué par le développement de l'industrie manufacturière, de la navigation, de l'artillerie, etc., conduit au XVIIe siècle à la création des concepts analyse mathematique, le développement de nouvelles mathématiques. L'introduction généralisée des méthodes mathématiques dans l'étude des phénomènes naturels (principalement astronomiques et physiques) et le développement de la technologie (notamment le génie mécanique) ont conduit aux XVIIIe et XIXe siècles au développement rapide de la mécanique théorique et de la théorie. équations différentielles. Le développement d'idées sur la structure moléculaire de la matière a provoqué un développement rapide théorie des probabilités. Actuellement, nous pouvons retracer l'émergence de nouveaux domaines de recherche mathématique à l'aide de nombreux exemples. Les succès doivent être reconnus comme particulièrement significatifs mathématiques computationnelles et la technologie informatique et les transformations qu’elle produit dans de nombreuses branches des mathématiques.

Esquisse historique. Dans l’histoire des mathématiques, quatre périodes présentant des différences qualitatives significatives peuvent être identifiées. Il est difficile de diviser ces périodes avec précision, car chacune des périodes suivantes s'est développée au sein de la précédente et il y a donc eu des étapes de transition assez importantes lorsque de nouvelles idées émergeaient à peine et n'étaient pas encore devenues directrices ni dans les mathématiques elles-mêmes ni dans leurs applications.

1) La période de naissance des mathématiques en tant que discipline scientifique indépendante ; le début de cette période se perd dans les profondeurs de l’histoire ; cela a duré jusqu'à environ 6-5 siècles avant JC. e.

2) La période des mathématiques élémentaires, mathématiques des quantités constantes ; elle s'est poursuivie jusqu'à la fin du XVIIe siècle environ, lorsque le développement de nouvelles mathématiques « supérieures » avait bien progressé.

3) Période de mathématiques des variables ; caractérisé par la création et le développement de l'analyse mathématique, l'étude des processus dans leur mouvement et leur développement.

4) Période des mathématiques modernes ; caractérisé par une étude consciente et systématique des types possibles de relations quantitatives et de formes spatiales. En géométrie, non seulement l'espace tridimensionnel réel est étudié, mais également les formes spatiales qui lui sont similaires. En analyse mathématique, on considère des variables qui dépendent non seulement d'un argument numérique, mais également d'une certaine ligne (fonction), qui conduit aux concepts Fonctionnalité Et opérateur. Algèbre transformé en théorie des opérations algébriques sur des éléments de nature arbitraire. Si seulement ces opérations pouvaient être effectuées sur eux. Le début de cette période peut naturellement être attribué à la 1ère moitié du 19ème siècle.

Dans le monde antique, les informations mathématiques faisaient initialement partie intégrante des connaissances des prêtres et des fonctionnaires. La fourniture de ces informations, comme on peut en juger à partir des tablettes d'argile babyloniennes et égyptiennes déjà déchiffrées, papyrus mathématiques,était relativement importante. Il est prouvé que mille ans avant le scientifique grec Pythagore, en Mésopotamie, non seulement la théorie de Pythagore était connue, mais que le problème de la recherche de tous les triangles rectangles à côtés entiers était également résolu. Cependant, l'écrasante majorité des documents de cette époque sont des recueils de règles permettant d'effectuer des opérations arithmétiques simples, ainsi que de calculer les aires des figures et les volumes des corps. Divers tableaux ont également été conservés pour faciliter ces calculs. Dans tous les manuels, les règles ne sont pas formulées, mais expliquées à l'aide d'exemples fréquents. La transformation des mathématiques en une science formalisée dotée d’une méthode de construction déductive établie s’est produite dans la Grèce antique. Là, la créativité mathématique a cessé d’être anonyme. Pratique arithmétique et géométrie dans la Grèce antique, il y avait un niveau de développement élevé. Le début de la géométrie grecque est associé au nom de Thalès de Milet (fin du VIIe siècle avant JC - début du VIe siècle avant JC), qui apporta des connaissances primaires d'Égypte. A l'école de Pythagore de Samos (VIe siècle avant JC), on étudiait la divisibilité des nombres, on résumait les progressions les plus simples, on étudiait les nombres parfaits, on introduisait différents types de moyennes (moyenne arithmétique, moyenne géométrique, moyenne harmonique). , des nombres de Pythagore ont été retrouvés (triples d'entiers, qui peuvent être les côtés d'un triangle rectangle). Aux Ve-VIe siècles avant JC. Des problèmes célèbres de l'Antiquité sont apparus : la quadrature d'un cercle, la trisection d'un angle, le doublement d'un cube, et les premiers nombres irrationnels ont été construits. Le premier manuel systématique de géométrie est attribué à Hippocrate de Chios (2e moitié du Ve siècle avant JC). Le succès important de l'école platonicienne associé aux tentatives d'explication rationnelle de la structure de la matière dans l'Univers, la recherche de tous les polyèdres réguliers, remonte à cette époque. A la frontière des Ve et IVe siècles avant JC. Démocrite, basé sur des concepts atomiques, a proposé une méthode pour déterminer les volumes des corps. Cette méthode peut être considérée comme un prototype de la méthode infinitésimale. Au 4ème siècle avant JC. Eudoxe de Cnide a développé la théorie des proportions. Le IIIe siècle avant JC se caractérise par la plus grande intensité de créativité mathématique. (1er siècle de l'ère dite alexandrine). Au 3ème siècle avant JC. des mathématiciens comme Euclide, Archimède, Apollonius de Perge, Ératosthène ont travaillé ; plus tard – Héron (1er siècle après JC) Diophante (3e siècle). Dans ses Éléments, Euclide a rassemblé et soumis au traitement logique final les réalisations dans le domaine de la géométrie ; en même temps, il pose les bases de la théorie des nombres. La principale réalisation d'Archimède en géométrie fut la détermination de diverses zones et volumes. Diophante étudiait principalement la solution d'équations en nombres rationnels positifs. À partir de la fin du IIIe siècle, le déclin des mathématiques grecques s’amorce.

Les mathématiques ont connu un développement significatif dans la Chine et l’Inde anciennes. Les mathématiciens chinois se caractérisent par une technique élevée pour effectuer des calculs et un intérêt pour le développement de méthodes algébriques générales. Aux IIe-Ier siècles avant JC. "Les Mathématiciens en Neuf Livres" a été écrit. Il contient les mêmes techniques d'extraction de racines carrées que celles présentées dans l'école moderne : des méthodes de résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires, une formulation arithmétique du théorème de Pythagore.

Les mathématiques indiennes, dont l'apogée remonte aux Ve-XIIe siècles, sont créditées de l'utilisation de la numérotation décimale moderne, ainsi que du zéro pour indiquer l'absence d'unités d'un rang donné, et du mérite d'un développement beaucoup plus large de la numérotation. algèbre que celle de Diophante, opérant non seulement avec des nombres rationnels positifs, mais aussi avec des nombres négatifs et irrationnels.

Les conquêtes arabes ont conduit à ce que, de l'Asie centrale à la péninsule ibérique, les scientifiques aient utilisé la langue arabe aux IXe-XVe siècles. Au IXe siècle, le scientifique d'Asie centrale al-Khorezmi a été le premier à présenter l'algèbre comme une science indépendante. Durant cette période, de nombreux problèmes géométriques reçurent une formulation algébrique. Le Syrien al-Battani a introduit les fonctions trigonométriques sinus, tangente et cotangente. Le scientifique de Samarcande al-Kashi (XVe siècle) a introduit les fractions décimales et a donné une présentation systématique, formulant la formule binomiale de Newton.

Une période considérablement nouvelle dans le développement des mathématiques a commencé au XVIIe siècle, lorsque l'idée de mouvement et de changement est clairement entrée dans les mathématiques. La prise en compte des variables et des connexions entre elles a conduit aux concepts de fonctions, de dérivées et d'intégrales, de calcul différentiel, de calcul intégral, et à l'émergence d'une nouvelle discipline mathématique : l'analyse mathématique.

De la fin du XVIIIe siècle au début du XIXe siècle, un certain nombre de nouveautés significatives ont été observées dans le développement des mathématiques. Le plus caractéristique d'entre eux était leur intérêt pour une révision critique d'un certain nombre de questions liées à la justification des mathématiques. Les idées vagues sur les infinitésimaux ont été remplacées par des formulations précises associées au concept de limite.

En algèbre au XIXe siècle, la question de la possibilité de résoudre des équations algébriques en radicaux a été clarifiée (scientifique norvégien N. Abel, scientifique français E. Galois).

Aux XIXe et XXe siècles, les méthodes mathématiques numériques sont devenues une branche indépendante : les mathématiques computationnelles. La branche des mathématiques qui s'est développée aux XIXe et XXe siècles, la logique mathématique, a trouvé d'importantes applications dans les nouvelles technologies informatiques.

Le matériel a été préparé par O. V. Leshchenko, professeur de mathématiques.