Как решить уравнение параболы. Парабола — свойства и график квадратичной функции
Многие технические, экономические и социальные вопросы прогнозируются при помощи кривых. Наиболее используемым типом среди них является парабола, а точнее, ее половина. Важной составляющей любой параболической кривой является ее вершина, определение точных координат которой иногда играет ключевую роль не только в самом отображении протекания процесса, но и для последующих выводов. О том, как найти ее точные координаты, и пойдет речь в данной статье.
Вконтакте
Начало поиска
Перед тем как перейти к поиску координат вершины параболы, ознакомимся с самим определением и его свойствами. В классическом понимании параболой называется такое расположение точек, которые удалены на одинаковом расстоянии от конкретной точки (фокус, точка F), а также от прямой, которая не проходит через точку F. Рассмотрим данное определение более предметно на рисунке 1.
Рисунок 1. Классический вид параболы
На рисунке изображена классическая форма. Фокусом является точка F. Директрисой в данном случае будет считаться прямая оси Y (выделена красным цветом). Из определения можно удостовериться, что абсолютно любая точка кривой, не считая фокуса, имеет себе подобную с другой стороны, удаленную на таком же расстояние от оси симметрии, как и сама. Более того, расстояние от любой из точек на параболе равно расстоянию до директрисы . Забегая вперед, скажем, что центр функции не обязательно должен находиться в начале координат, а ветки могут быть направлены в разные стороны.
Парабола, как и любая другая функция, имеет свою запись в виде формулы:
В указанной формуле буква «s» обозначает параметр параболы, которая равна расстоянию от фокуса до директрисы. Также есть и другая форма записи, указано ГМТ, имеющая вид:
Такая формула используется при решении задач из области математического анализа и применяется чаще, чем традиционная (в силу удобства). В дальнейшем будем ориентироваться на вторую запись.
Это интересно! : доказательство
Расчет коэффициентов и основных точек параболы
К числу основных параметров принято относить расположение вершины на оси абсцисс, координаты вершины на оси ординат, параметр директрисы.
Численное значение координаты вершины на оси абсцисс
Если уравнение параболы задано в классическом виде (1), то значение абсциссы в искомой точке будет равняться половине значения параметра s (половине расстояния между директрисой и фокусом). В случае, если функция представлена в виде (2), то x нулевое рассчитывается по формуле:
Т.е., глядя на эту формулу, можно утверждать, что вершина будет находиться в правой половине относительно оси y в том случае, если один из параметров a или b будет меньше нуля.
Уравнение директрисы определяется следующим уравнением:
Значение вершины на оси ординат
Численное значение местонахождения вершины для формулы (2) на оси ординат можно найти по такой формуле:
Отсюда можно сделать вывод, что в случае если а<0, то вершина кривой будет находиться в верхней полуплоскости , в противном случае – в нижней. При этом точки параболы будут обладать теми же свойствами, что были упомянуты ранее.
Если дана классическая форма записи, то более рациональным будет вычисление значения расположения вершины на оси абсцисс, а через него и последующее значение ординаты. Отметим, что для формы записи (2), ось симметрии параболы, в классическом представлении, будет совпадать с осью ординат.
Важно! При решении заданий с использованием уравнения параболы прежде всего выделите основные значения, которые уже известны. Более того, нелишним будет, если будут определены недостающие параметры. Такой подход заранее даст большее «пространство для маневра» и более рациональное решение. На практике старайтесь использовать запись (2). Она более проста для восприятия (не придется «переворачивать координаты Декарта), к тому же подавляющее количество заданий приспособлено именно под такую форму записи.
Построение кривой параболического типа
Используя распространенную форму записи, перед тем как построить параболу, требуется найти ее вершину. Проще говоря, необходимо выполнить следующий алгоритм:
- Найти координату вершину на оси X.
- Найти координату расположения вершины на оси Y.
- Подставляя разные значения зависимой переменной X, найти соответствующие значения Y и построить кривую.
Т.е. алгоритм не представляет собой ничего сложного, основной акцент делается на том, как найти вершину параболы. Дальнейший процесс построения можно считать механическим.
При условии, что даны три точки, координаты которых известны, прежде всего необходимо составить уравнение самой параболы, а потом повторить порядок действий, который был описан ранее. Т.к. в уравнении (2) присутствуют 3 коэффициента, то, используя координаты точек, вычислим каждое из них:
(5.1).
(5.2).
(5.3).
В формулах (5.1), (5.2), (5.3) применяются соответственно тех точек, которые известны (к примеру А (, B (, C (. Таким путем находим уравнение параболы по 3 точкам. С практической стороны такой подход не является самым «приятным», однако он дает четкий результат, на основе которого впоследствии строится сама кривая.
При построении параболы всегда должна присутствовать ось симметрии. Формула оси симметрии для записи (2) будет иметь такой вид:
Т.е. найти ось симметрии, которой симметричны все точки кривой, не составляет труда. Точнее, она равна первой координате вершины.
Наглядные примеры
Пример 1. Допустим, имеем уравнение параболы:
Требуется найти координаты вершины параболы, а также проверить, принадлежит ли точка D (10; 5) данной кривой.
Решение: Прежде всего проверим принадлежность упомянутой точки самой кривой
Откуда делаем вывод, что указанная точка не принадлежит заданной кривой. Найдем координаты вершины параболы. Из формул (4) и (5) получаем такую последовательность:
Получается, что координаты на вершине, в точке О, следующие (-1,25; -7,625). Это говорит о том, что наша парабола берет свое начало в 3-й четверти декартовой системы координат.
Пример 2. Найти вершину параболы, зная три точки, которые ей принадлежат: A (2;3), B (3;5), C (6;2). Используя формулы (5.1), (5.2), (5.3), найдем коэффициенты уравнения параболы. Получим следующее:
Используя полученные значения, получим следующие уравнение:
На рисунке заданная функция будет выглядеть следующим образом (рисунок 2):
Рисунок 2. График параболы, проходящий через 3 точки
Т.е. график параболы, который проходит по трем заданным точкам, будет иметь вершину в 1-й четверти. Однако ветки данной кривой направлены вниз, т.е. имеется смещение параболы от начала координат. Такое построение можно было предвидеть, обратив внимание на коэффициенты a, b, c.
В частности, если a<0, то ветки» будут направлены вниз. При a>1 кривая будет растянута, а если меньше 1 – сжата.
Константа c отвечает за «движение» кривой вдоль оси ординат. Если c>0, то парабола «ползет» вверх , в противном случае – вниз. Относительно коэффициента b, то определить степень влияния можно лишь изменив форму записи уравнения, приведя ее к следующему виду:
Если коэффициент b>0, то координаты вершины параболы будут смещены вправо на b единиц, если меньше – то на b единиц влево.
Важно! Использование приемов определения смещения параболы на координатной плоскости подчас помогает экономить время при решении задач либо узнать о возможном пересечении параболы с другой кривой еще до построения. Обычно смотрят только на коэффициент a, так как именно он дает четкий ответ на поставленный вопрос.
Полезное видео: как найти вершину параболы
Полезное видео: как легко составить уравнение параболы из графика
Вывод
Такой как алгебраический процесс, как определение вершин параболы, не является сложным, но при этом достаточно трудоемкий. На практике стараются использовать именно вторую форму записи с целью облегчения понимания графического решения и решения в целом. Поэтому настоятельно рекомендуем использовать именно такой подход, и если не помнить формулы координаты вершины, то хотя бы иметь шпаргалку.
Занятие 10 . Кривые второго порядка.
10.1. Эллипс. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, график.
10.2. Гипербола. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, асимптоты, график.
10.3. Парабола. Каноническое уравнение. Параметр параболы, график.
Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, неявное задание которых имеет вид:
где
- заданные вещественные числа,
- координаты точек кривой. Наиболее
важными линиями среди кривых второго
порядка являются эллипс, гипербола,
парабола.
10.1. Эллипс. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, график.
Определение эллипса.
Эллипсом
называется плоская кривая, у которой
сумма расстояний от двух фиксированных
точек
плоскости до любой точки
(т.е.).
Точки
называются фокусами эллипса.
Каноническое уравнение эллипса
:
.
(2)
(или
ось
)
проходит через фокусы
,
а начало координат – точка
-
находится в центре отрезка
(рис.1). Эллипс (2) симметричен относительно
осей координат и начала координат
(центра эллипса). Постоянные
,
называютсяполуосями эллипса
.
Если эллипс задан уравнением (2), то фокусы эллипса находятся так.
1) Сначала определяем, где лежат фокусы: фокусы лежат на той координатной оси, на которой расположены бóльшие полуоси.
2) Затем вычисляется фокусное расстояние
(расстояние от фокусов до начала
координат).
При
фокусы лежат на оси
;
;
.
При
фокусы лежат на оси
;
;
.
Эксцентриситетом
эллипса называется
величина:
(при
);
(при
).
У эллипса всегда
.
Эксцентриситет служит характеристикой
сжатия эллипса.
Если эллипс (2) переместить так, что центр
эллипса попадет в точку
,
,
то уравнение полученного эллипса имеет
вид
.
10.2. Гипербола. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, асимптоты, график.
Определение гиперболы.
Гиперболой
называется плоская кривая, у которой
абсолютная величина разности расстояний
от двух фиксированных точек
плоскости до любой точки
этой кривой есть постоянная величина,
независящая от точки
(т.е.). Точки
называются фокусами гиперболы.
Каноническое уравнение гиперболы
:
или
.
(3)
Такое уравнение получается, если
координатная ось
(или
ось
)
проходит через фокусы
,
а начало координат – точка
-
находится в центре отрезка
.
Гиперболы (3) симметричны относительно
осей координат и начала координат.
Постоянные
,
называютсяполуосями гиперболы
.
Фокусы гиперболы находятся так.
У гиперболы
фокусы лежат на оси
:
(рис. 2.а).
У гиперболы
фокусы лежат на оси
:
(рис. 2.б)
Здесь
-
фокусное расстояние (расстояние от
фокусов до начала координат). Оно
вычисляется по формуле:
.
Эксцентриситетом гиперболы называется величина:
(для
);
(для
).
У гиперболы всегда
.
Асимптотами гипербол
(3) являются
две прямые:
.
Обе ветви гиперболы неограниченно
приближаются к асимптотам с ростом
.
Построение графика гиперболы следует
проводить так: сначала по полуосям
строим вспомогательный прямоугольник
со сторонами, параллельными осям
координат; затем через противоположные
вершины этого прямоугольника проводим
прямые, это – асимптоты гиперболы;
наконец изображаем ветви гиперболы,
они касаются середин соответствующих
сторон вспомогательного прямоугольника
и приближаются с ростом
к асимптотам (рис. 2).
Если гиперболы (3) переместить так, что
их центр попадет в точку
,
а полуоси останутся параллельны осям
,
,
то уравнение полученных гипербол
запишутся в виде
,
.
10.3. Парабола. Каноническое уравнение. Параметр параболы, график.
Определение параболы.
Параболой
называется плоская кривая, у которой
для любой точки
этой кривой расстояние от
до фиксированной точки
плоскости (называемой фокусом параболы)
равно расстоянию от
до фиксированной прямой на плоскости
(называемой директрисой параболы).
Каноническое уравнение параболы
:
,
(4)
где
- постоянная, называемаяпараметром
параболы.
Точка
параболы (4) называется вершиной параболы.
Ось
является осью симметрии. Фокус параболы
(4) находится в точке
,
уравнение директрисы
.
Графики параболы (4) со значениями
и
приведены
на рис. 3.а и 3.б соответственно.
Уравнение
также определяет параболу на плоскости
,
у которой по сравнению с параболой (4),
оси
,
поменялись местами.
Если параболу (4) переместить так, что
ее вершина попадет в точку
,
а ось симметрии останется параллельна
оси
,
то уравнение полученной параболы имеют
вид
.
Перейдем к примерам.
Пример 1
. Кривая второго порядка
задана уравнением
.
Дать название этой кривой. Найти ее
фокусы и эксцентриситет. Изобразить
кривую и ее фокусы на плоскости
.
Решение. Данная кривая является эллипсом
с центром в точке
и полуосями
.
В этом легко убедиться, если провести
замену
.
Это преобразование означает переход
от заданной декартовой системы координат
к новой декартовой системе координат
,
у которой оси
параллельны
осям
,
.
Это преобразование координат называется
сдвигом системы
в точку
.
В новой системе координат
уравнение кривой преобразуется в
каноническое уравнение эллипса
,
его график приведен на рис. 4.
Найдем фокусы.
,
поэтому фокусы
эллипса расположены на оси
..
В системе координат
:
.
Т.к.
,
в старой системе координат
фокусы имеют координаты.
Пример 2 . Дать название кривой второго порядкаи привести ее график.
Решение. Выделим полные квадраты по
слагаемым, содержащим переменные
и
.
Теперь, уравнение кривой можно переписать так:
Следовательно, заданная кривая является
эллипсом с центром в точке
и полуосями
.
Полученные сведения позволяют нарисовать
его график.
Пример 3
. Дать название и привести
график линии
.
Решение.
.
Это – каноническое уравнение эллипса
с центром в точке
и полуосями
.
Поскольку,
,
делаем заключение: заданное уравнение
определяет на плоскости
нижнюю половину эллипса (рис. 5).
Пример 4
. Дать название кривой второго
порядка
.
Найти ее фокусы, эксцентриситет. Привести
график этой кривой.
-
каноническое уравнение гиперболы с
полуосями
.
Фокусное расстояние.
Знак "минус" стоит перед слагаемым
с
,
поэтому фокусы
гиперболы лежат на оси
:.
Ветви гиперболы располагаются над и
под осью
.
- эксцентриситет гиперболы.
Асимптоты гиперболы: .
Построение графика этой гиперболы осуществляется в соответствии с изложенным выше порядком действий: строим вспомогательный прямоугольник, проводим асимптоты гиперболы, рисуем ветви гиперболы (см. рис.2.б).
Пример 5
. Выяснить вид кривой,
заданной уравнением
и построить ее график.
- гипербола с центром в точке
и полуосями.
Т.к.
,
заключаем: заданное уравнение определяет
ту часть гиперболы, которая лежит Справа
от прямой
.
Гиперболу лучше нарисовать во
вспомогательной системе координат
,
полученной из системы координат
сдвигом
,
а затем жирной линией выделить нужную
часть гиперболы
Пример 6 . Выяснить вид кривойи нарисовать ее график.
Решение. Выделим полный квадрат по
слагаемым с переменной
:
Перепишем уравнение кривой.
Это – уравнение параболы с вершиной в
точке
.
Преобразованием сдвигауравнение параболы приводится к
каноническому виду
,
из которого видно, что- параметр параболы. Фокус
параболы в системе
имеет координаты
,,
а в системе
(согласно преобразованию сдвига).
График параболы приведен на рис. 7.
Домашнее задание .
1. Нарисовать эллипсы, заданные уравнениями:
Найти их полуоси, фокусное расстояние,
эксцентриситет и указать на графиках
эллипсов места расположения их фокусов.
2. Нарисовать гиперболы, заданные
уравнениями:
Найти их полуоси, фокусное расстояние,
эксцентриситет и указать на графиках
гипербол места расположения их фокусов.
Написать уравнения асимптот данных
гипербол.
3. Нарисовать параболы, заданные
уравнениями:
.
Найти их параметр, фокусное расстояние
и указать на графиках парабол место
расположения фокуса.
4. Уравнение
определяет часть кривой 2-го порядка.
Найти каноническое уравнение этой
кривой, записать ее название, построить
ее график и выделить на нем ту часть
кривой, которая отвечает исходному
уравнению.
Как построить параболу? Существует несколько способов построения графика квадратичной функции. Каждый из них имеет свои плюсы и минусы. Рассмотрим два способа.
Начнём с построения графика квадратичной функции вида y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.
Пример.
Построить график функции y=x²+2x-3.
Решение:
y=x²+2x-3 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы
От вершины (-1;-4) строим график параболы y=x²(как от начала координат. Вместо (0;0) — вершина (-1;-4). От (-1;-4) идём вправо на 1 единицу и вверх на 1 единицу, затем влево на 1 и вверх на 1; далее: 2 — вправо, 4 — вверх, 2- влево, 4 — вверх; 3 — вправо, 9 — вверх, 3 — влево, 9 — вверх. Если этих 7 точек недостаточно, далее — 4 вправо, 16 — вверх и т. д.).
График квадратичной функции y= -x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика ищем координаты вершины и от неё строим параболу y= -x².
Пример.
Построить график функции y= -x²+2x+8.
Решение:
y= -x²+2x+8 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы
От вершины строим параболу y= -x² (1 — вправо, 1- вниз; 1 — влево, 1 — вниз; 2 — вправо, 4 — вниз; 2 — влево, 4 — вниз и т. д.):
Этот способ позволяет построить параболу быстро и не вызывает затруднений, если вы умеете строить графики функций y=x² и y= -x². Недостаток: если координаты вершины — дробные числа, строить график не очень удобно. Если требуется знать точные значения точек пересечения графика с осью Ох, придется дополнительно решить уравнение x²+bx+c=0 (или —x²+bx+c=0), даже если эти точки непосредственно можно определить по рисунку.
Другой способ построения параболы — по точкам, то есть можно найти несколько точек графика и через них провести параболу (с учетом того, что прямая x=хₒ является её осью симметрии). Обычно для этого берут вершину параболы, точки пересечения графика с осями координат и 1-2 дополнительные точки.
Построить график функции y=x²+5x+4.
Решение:
y=x²+5x+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы
то есть вершина параболы — точка (-2,5; -2,25).
Ищем . В точке пересечения с осью Ох y=0: x²+5x+4=0. Корни квадратного уравнения х1=-1, х2=-4, то есть получили две точки графике (-1; 0) и (-4; 0).
В точке пересечения графика с осью Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Получили точку (0; 4).
Для уточнения графика можно найти дополнительную точку. Возьмем х=1, тогда y=1²+5∙1+4=10, то есть еще одна точка графика — (1; 10). Отмечаем эти точки на координатной плоскости. С учетом симметрии параболы относительно прямой, проходящей через её вершину, отметим еще две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и проведем через них параболу:
Построить график функции y= -x²-3x.
Решение:
y= -x²-3x — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы
Вершина (-1,5; 2,25) — первая точка параболы.
В точках пересечения графика с осью абсцисс y=0, то есть решаем уравнение -x²-3x=0. Его корни — х=0 и х=-3, то есть (0;0) и (-3; 0) — еще две точки графика. Точка (о; 0) является также точкой пересечения параболы с осью ординат.
При х=1 y=-1²-3∙1=-4, то есть (1; -4) — дополнительная точка для построения графика.
Построение параболы по точкам — более трудоёмкий, по сравнению с первым, способ. Если парабола не пересекает ось Oх, дополнительных точек потребуется больше.
Прежде чем продолжить построение графиков квадратичных функций вида y=ax²+bx+c, рассмотрим построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Графики функций вида y=x²+c также удобнее всего строить, используя одно из таких преобразований — параллельный перенос.
Рубрика: |Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки F и заданной прямой d , не проходящей через заданную точку. Это геометрическое определение выражает директориальное свойство параболы .
Директориальное свойство параболы
Точка F называется фокусом параболы, прямая d - директрисой параболы, середина O перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, - вершиной параболы, расстояние p от фокуса до директрисы - параметром параболы, а расстояние \frac{p}{2} от вершины параболы до её фокуса - фокусным расстоянием (рис.3.45,а). Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы (фокальной осью параболы). Отрезок FM , соединяющий произвольную точку M параболы с её фокусом, называется фокальным радиусом точки M . Отрезок, соединяющий две точки параболы, называется хордой параболы.
Для произвольной точки параболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно единице. Сравнивая директориальные свойства , и параболы, заключаем, что эксцентриситет параболы по определению равен единице (e=1) .
Геометрическое определение параболы , выражающее её директориальное свойство, эквивалентно её аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением параболы:
Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.45,б). Вершину O параболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокус перпендикулярно директрисе, примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки O к точке F ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через вершину параболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).
Составим уравнение параболы, используя её геометрическое определение, выражающее директориальное свойство параболы. В выбранной системе координат определяем координаты фокуса F\!\left(\frac{p}{2};\,0\right) и уравнение директрисы x=-\frac{p}{2} . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей параболе, имеем:
FM=MM_d,
где M_d\!\left(\frac{p}{2};\,y\right) - ортогональная проекция точки M(x,y) на директрису. Записываем это уравнение в координатной форме:
\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)\!}^2+y^2}=x+\frac{p}{2}.
Возводим обе части уравнения в квадрат: {\left(x-\frac{p}{2}\right)\!}^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} . Приводя подобные члены, получаем каноническое уравнение параболы
y^2=2\cdot p\cdot x, т.е. выбранная система координат является канонической.
Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.51), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому параболой. Таким образом, аналитическое определение параболы эквивалентно его геометрическому определению, выражающему директориальное свойство параболы.
Уравнение параболы в полярной системе координат
Уравнение параболы в полярной системе координат Fr\varphi (рис.3.45,в) имеет вид
r=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi}, где p - параметр параболы, а e=1 - её эксцентриситет.
В самом деле, в качестве полюса полярной системы координат выберем фокус F параболы, а в качестве полярной оси - луч с началом в точке F , перпендикулярный директрисе и не пересекающий её (рис.3.45,в). Тогда для произвольной точки M(r,\varphi) , принадлежащей параболе, согласно геометрическому определению (директориальному свойству) параболы, имеем MM_d=r . Поскольку MM_d=p+r\cos\varphi , получаем уравнение параболы в координатной форме:
p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{p}{1-\cos\varphi},
что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения эллипса, гиперболы и параболы совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 для ).
Геометрический смысл параметра в уравнении параболы
Поясним геометрический смысл параметра p в каноническом уравнении параболы. Подставляя в уравнение (3.51) x=\frac{p}{2} , получаем y^2=p^2 , т.е. y=\pm p . Следовательно, параметр p - это половина длины хорды параболы, проходящей через её фокус перпендикулярно оси параболы.
Фокальным параметром параболы , так же как для эллипса и для гиперболы, называется половина длины хорды, проходящей через её фокус перпендикулярно фокальной оси (см. рис.3.45,в). Из уравнения параболы в полярных координатах при \varphi=\frac{\pi}{2} получаем r=p , т.е. параметр параболы совпадает с её фокальным параметром.
Замечания 3.11.
1. Параметр p параболы характеризует её форму. Чем больше p , тем шире ветви параболы, чем ближе p к нулю, тем ветви параболы уже (рис.3.46).
2. Уравнение y^2=-2px (при p>0 ) определяет параболу, которая расположена слева от оси ординат (рис. 3.47,a). Это уравнение сводится к каноническому при помощи изменения направления оси абсцисс (3.37). На рис. 3.47,a изображены заданная система координат Oxy и каноническая Ox"y" .
3. Уравнение (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 определяет параболу с вершиной O"(x_0,y_0) , ось которой параллельна оси абсцисс (рис.3.47,6). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36).
Уравнение (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0 , также определяет параболу с вершиной O"(x_0,y_0) , ось которой параллельна оси ординат (рис.3.47,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36) и переименования координатных осей (3.38). На рис. 3.47,б,в изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат Ox"y" .
4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 является параболой с вершиной в точке O"\!\left(-\frac{b}{2a};\,-\frac{b^2-4ac}{4a}\right) , ось которой параллельна оси ординат, ветви параболы направлены вверх (при a>0 ) или вниз (при a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение
y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{1}{a}\left(y+\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\!,
которое приводится к каноническому виду (y")^2=2px" , где p=\left|\frac{1}{2a}\right| , при помощи замены y"=x+\frac{b}{2a} и x"=\pm\!\left(y+\frac{b^2-4ac}{4a}\right) .
Знак выбирается совпадающим со знаком старшего коэффициента a . Эта замена соответствует композиции: параллельного переноса (3.36) с x_0=-\frac{b}{2a} и y_0=-\frac{b^2-4ac}{4a} , переименования координатных осей (3.38), а в случае a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 и a<0 соответственно.
5. Ось абсцисс канонической системы координат является осью симметрии параболы , поскольку замена переменной y на -y не изменяет уравнения (3.51). Другими словами, координаты точки M(x,y) , принадлежащей параболе, и координаты точки M"(x,-y) , симметричной точке M относительно оси абсцисс, удовлетворяют уравнению (3.S1). Оси канонической системы координат называются главными осями параболы .
Пример 3.22. Изобразить параболу y^2=2x в канонической системе координат Oxy . Найти фокальный параметр, координаты фокуса и уравнение директрисы.
Решение. Строим параболу, учитывая её симметрию относительно оси абсцисс (рис.3.49). При необходимости определяем координаты некоторых точек параболы. Например, подставляя x=2 в уравнение параболы, получаем y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2 . Следовательно, точки с координатами (2;2),\,(2;-2) принадлежат параболе.
Сравнивая заданное уравнение с каноническим (3.S1), определяем фокальный параметр: p=1 . Координаты фокуса x_F=\frac{p}{2}=\frac{1}{2},~y_F=0 , т.е. F\!\left(\frac{1}{2},\,0\right) . Составляем уравнение директрисы x=-\frac{p}{2} , т.е. x=-\frac{1}{2} .
Общие свойства эллипса, гиперболы, параболы
1. Директориальное свойство может быть использовано как единое определение эллипса, гиперболы, параболы (см. рис.3.50): геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e , называется:
а) , если 0\leqslant e<1 ;
б) , если e>1 ;
в) параболой , если e=1 .
2. Эллипс, гипербола, парабола получаются в сечениях кругового конуса плоскостями и поэтому называются коническими сечениями . Это свойство также может служить геометрическим определением эллипса, гиперболы, параболы.
3. К числу общих свойств эллипса, гиперболы и параболы можно отнести биссекториальное свойство их касательных. Под касательной к линии в некоторой её точке K понимается предельное положение секущей KM , когда точка M , оставаясь на рассматриваемой линии, стремится к точке K . Прямая, перпендикулярная касательной к линии и проходящая через точку касания, называется нормалью к этой линии.
Биссекториальное свойство касательных (и нормалей) к эллипсу, гиперболе и параболе формулируется следующим образом: касательная (нормаль) к эллипсу или к гиперболе образует равные углы с фокальными радиусами точки касания (рис.3.51,а,б); касательная (нормаль) к параболе образует равные углы с фокальным радиусом точки касания и перпендикуляром, опущенным из нее на директрису (рис.3.51,в). Другими словами, касательная к эллипсу в точке K является биссектрисой внешнего угла треугольника F_1KF_2 (а нормаль - биссектрисой внутреннего угла F_1KF_2 треугольника); касательная к гиперболе является биссектрисой внутреннего угла треугольника F_1KF_2 (а нормаль - биссектрисой внешнего угла); касательная к параболе является биссектрисой внутреннего угла треугольника FKK_d (а нормаль - биссектрисой внешнего угла). Биссекториальное свойство касательной к параболе можно сформулировать так же, как для эллипса и гиперболы, если считать, что у параболы имеется второй фокус в бесконечно удаленной точке.
4. Из биссекториальных свойств следуют оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы , поясняющие физический смысл термина "фокус". Представим себе поверхности, образованные вращением эллипса, гиперболы или параболы вокруг фокальной оси. Если на эти поверхности нанести отражающее покрытие, то получаются эллиптическое, гиперболическое и параболическое зеркала. Согласно закону оптики, угол падения луча света на зеркало равен углу отражения, т.е. падающий и отраженный лучи образуют равные углы с нормалью к поверхности, причем оба луча и ось вращения находятся в одной плоскости. Отсюда получаем следующие свойства:
– если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе (рис.3.52,а);
– если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, расходятся так, как если бы они исходили из другого фокуса (рис.3.52,б);
– если источник света находится в фокусе параболического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, идут параллельно фокальной оси (рис.3.52,в).
5. Диаметральное свойство эллипса, гиперболы и параболы можно сформулировать следующим образом:
– середины параллельных хорд эллипса (гиперболы) лежат на одной прямой, проходящей через центр эллипса (гиперболы) ;
– середины параллельных хорд параболы лежат на прямой, коллинеарной оси симметрии параболы .
Геометрическое место середин всех параллельных хорд эллипса (гиперболы, параболы) называют диаметром эллипса (гиперболы, параболы) , сопряженным к этим хордам.
Это определение диаметра в узком смысле (см. пример 2.8). Ранее было дано определение диаметра в широком смысле, где диаметром эллипса, гиперболы, параболы, а также других линий второго порядка называется прямая, содержащая середины всех параллельных хорд. В узком смысле диаметром эллипса является любая хорда, проходящая через его центр (рис.3.53,а); диаметром гиперболы является любая прямая, проходящая через центр гиперболы (за исключением асимптот), либо часть такой прямой (рис.3.53,6); диаметром параболы является любой луч, исходящий из некоторой точки параболы и коллинеарный оси симметрии (рис.3.53,в).
Два диаметра, каждый их которых делит пополам все хорды, параллельные другому диаметру, называются сопряженными. На рис.3.53 полужирными линиями изображены сопряженные диаметры эллипса, гиперболы, параболы.
Касательную к эллипсу (гиперболе, параболе) в точке K можно определить как предельное положение параллельных секущих M_1M_2 , когда точки M_1 и M_2 , оставаясь на рассматриваемой линии, стремятся к точке K . Из этого определения следует, что касательная, параллельная хордам, проходит через конец диаметра, сопряженного к этим хордам.
6. Эллипс, гипербола и парабола имеют, кроме приведенных выше, многочисленные геометрические свойства и физические приложения. Например, рис.3.50 может служить иллюстрацией траекторий движения космических объектов, находящихся в окрестности центра F притяжения.
Определение 1. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, не проходящей через данную точку и называемой директрисой.
Составим уравнение параболы с фокусом в данной точке F и директрисой которой является прямая d, не проходящая через F. Выберем прямоугольную систему координат следующим образом: ось Ох проведем через фокус F перпендикулярно директрисе d в направлении от d к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (рис. 1).
Определение 2. Расстояние от фокуса F до директрисы d называется параметром параболы и обозначается через р (р > 0).
Из рис. 1 видно, что p = FK, следовательно, фокус имеет координаты F (р/2; 0) , а уравнение директрисы имеет вид х = – р/2, или
Пусть М(х; у) – произвольная точка параболы. Соединим точку М с F ипроведем MN d. Непосредственно из рис. 1 видно, что
а по формуле расстояния между двумя точками 
Согласно определению параболы, MF = MN, (1)
следовательно, 
(2)
Уравнение (2) является искомым уравнением параболы. Для упрощения уравнения (2) преобразуем его следующим образом:
т.е.,
Координаты х и у точки М параболы удовлетворяют условию (1), а следовательно, и уравнению (3).
Определение 3. Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы.
2. Исследование формы параболы по ее уравнению. Определим форму параболы по ее каноническому уравнению (3).
1) Координаты точки О (0; 0) удовлетворяют уравнению (3), следовательно, парабола, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат.
2) Так как в уравнение (3) переменная у входит только в четной степени, то парабола у 2 = 2рх симметрична относительно оси абсцисс.
3) Так как р > 0 , то из (3) следует х ≥ 0. Следовательно, парабола у 2 = 2рх расположена справа от оси Оу .
4) При возрастании абсциссы х от 0 до +∞ ордината у изменяется от 0 до ± ∞, т.е. точки параболы неограниченно удаляются как от оси Ох , так и от оси Оу .
Парабола у 2 = 2рх имеет форму, изображенную на рис. 2.
Определение 4. Ось Ох называется осью симметрии параболы . Точка О (0; 0) пересечения параболы с осью симметрии называется вершиной параболы . Отрезок FM называется фокальным радиусом точки М .
Замечание. Для составления уравнения параболы вида у 2 = 2рх мы специальным образом выбрали прямоугольную систему координат (см. п. 1). Если же систему координат выбрать другим образом, то и уравнение параболы будет иметь иной вид.
а
Так, например, если направить ось Ох от фокуса к директрисе (рис. 3, а
у 2 = –2рх. (4)
F(–р/2; 0) , а директриса d задана уравнением х = р/2.
Если ось Оу проведем через фокус F d в направлении от d к F , а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (рис. 3, б ), то уравнение параболы пример вид
х 2 = 2ру. (5)
Фокус такой параболы имеет координаты F (0; р/2) , а директриса d задана уравнением у=–р/2.
Если ось Оу проведем через фокус F перпендикулярно к директрисе d в направлении от F к d (рис. 3, в ), то уравнение параболы примет вид
х 2 = –2ру (6)
Координаты ее фокуса будут F (0; –р/2) , а уравнением директрисы d будет у = р/2.
Об уравнения (4), (5), (6) говорят, что они имеют простейший вид.
3. Параллельный перенос параболы. Пусть дана парабола с вершиной в точке О" (а; b) , ось симметрии которой параллельна оси Оу , а ветви направлены вверх (рис. 4). Требуется составить уравнение параболы.
(9)
Определение 5. Уравнение (9) называется уравнением параболы со смещенной вершиной.
Преобразуем это уравнение следующим образом:
Положив 
будем иметь 
(10)
Нетрудно показать, что для любых А, В, С график квадратного трехчлена (10) представляет собой параболу в смысле определения 1. Уравнение параболы вида (10) изучалось в школьном курсе алгебре.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
№1. Составить уравнение окружности:
a. с центром в начале координат и радиусом 7;
b. с центром в точке (-1;4) и радиусом 2.
Построить данные окружности в прямоугольной декартовой системе координат.
№2. Составить каноническое уравнение эллипса с вершинами
и фокусами 
№3. Построить эллипс, заданный каноническим уравнением:
1) 2) 
№4. Составить каноническое уравнение эллипса с вершинами
и фокусами 
№5. Составить каноническое уравнение гиперболы с вершинами
и фокусами
№6. Составить каноническое уравнение гиперболы, если:
1. расстояние между фокусами , а между вершинами
2. действительная полуось , а эксцентриситет ;
3. фокусы на оси , действительная ось 12, а мнимая 8.
№7. Построить гиперболу, заданную каноническим уравнением:
1) 2) 
.
№8. Составить каноническое уравнение параболы, если:
1) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси и её параметр ;
2) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси и её параметр .
Построить эти параболы, их фокусы и директрисы.
№9. Определить тип линии, если её уравнение:
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Векторы в пространстве.
1.1. Что такое вектор?
1.2. Что такое абсолютная величина вектора?
1.3. Какие виды векторов в пространстве Вы знаете?
1.4. Какие действия можно выполнять с ними?
1.5. Что такое координаты вектора? Как их найти?
2. Действия над векторами, заданными своими координатами.
2.1. Какие действия можно выполнять с векторами, заданными в координатной форме (правила, равенства, примеры); как найти абсолютную величину такого вектора.
2.2. Свойства:
2.2.1 коллинеарных;
2.2.2 перпендикулярных;
2.2.3 компланарных;
2.2.4 равных векторов.
(формулировки, равенства).
3. Уравнение прямой. Прикладные задачи.
3.1. Какие виды уравнения прямой Вы знаете (уметь записывать и интерпретировать по записи);
3.2. Как исследовать на параллельность – перпендикулярность две прямые, заданные уравнениями с угловым коэффициентом или общими уравнениями?
3.3. Как найти расстояние от точки до прямой, между двумя точками?
3.4. Как найти угол между прямыми, заданными общими уравнениями прямой или уравнениями с угловым коэффициентом?
3.5. Как найти координаты середины отрезка и длину этого отрезка?
4. Уравнение плоскости. Прикладные задачи.
4.1. Какие виды уравнения плоскости Вы знаете (уметь записывать и интерпретировать по записи)?
4.2. Как исследовать на параллельность – перпендикулярность прямые в пространстве?
4.3. Как найти расстояние от точки до плоскости и угол между плоскостям?.
4.4. Как исследовать взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве?
4.5. Виды уравнения прямой в пространстве: общее, каноническое, параметрическое, проходящей через две данные точки.
4.6. Как найти угол между прямыми и расстояние между точками в пространстве?
5. Линии второго порядка.
5.1. Эллипс: определение, фокусы, вершины, большая и малая оси, фокальные радиусы, эксцентриситет, уравнения директрис, простейшие (или канонические) уравнения эллипса; чертеж.
5.2. Гипербола: определение, фокусы, вершины, действительная и мнимая оси, фокальные радиусы, эксцентриситет, уравнения директрис, простейшие (или канонические) уравнения гиперболы; чертеж.
5.3. Парабола: определение, фокус, директриса, вершина, параметр, ось симметрии, простейшие (или канонические) уравнения параболы; чертеж.
Примечание к 4.1, 4.2, 4.3: Для каждой линии 2го порядка уметь описывать построение.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.Даны точки: 
, где N – номер студента по списку.
3) найти расстояние от точки М до плоскости Р.
4. Построить линию второго порядка, заданную своим каноническим уравнением:
.
ЛИТЕРАТУРА
1. Высшая математика для экономистов - Учебник для вузов под ред. Н.Ш. Кремер и др., - Москва, ЮНИТИ, 2003.
2. Барковський В.В., Барковська Н.В. - Вища математика для економістів – Київ, ЦУЛ, 2002.
3. Суворов И.Ф. - Курс высшей математики. - М., Высшая школа, 1967.
4. Тарасов Н.П. - Курс высшей математики для техникумов. - М.; Наука, 1969.
5. Зайцев И.Л. - Элементы высшей математики для техникумов. - М.; Наука, 1965.
6. Валуцэ Н.Н., Дилигул Г.Д. - Математика для техникумов. - М.; Наука, 1990.
7. Шипачев В.С. - Высшая математика. Учебник для вузов – М.: Высшая школа, 2003.
