Постановка задачи. Найти графическим методом максимум целевой функции. Решение задач линейного программирования графическим методом
Тесты для текущего контроля знаний
1. Любая экономико – математическая модель задачи линейного программирования состоит из:
A. целевой функции и системы ограничений
B. целевой функции, системы ограничений и условия неотрицательности переменных
C. системы ограничений и условия неотрицательности переменных
D. целевой функции и условия неотрицательности переменных
A. целевая функция
B. система уравнений
C. система неравенств
D. условие неотрицательности переменных
3. Оптимальное решение задачи математического программирования – это
A. допустимое решение системы ограничений
B. любое решение системы ограничений
C. допустимое решение системы ограничений, приводящее к максимуму или минимуму целевой функции
D. максимальное или минимальное решение системы ограничений
4. Система ограничений называется стандартной, если она содержит
A. все знаки
B. все знаки
C. все знаки
D. все знаки
5. Задача линейного программирования решается графическим способом, если в задаче
A. одна переменная
B. две переменные
C. три переменные
D. четыре переменные
6. Неравенство вида 
описывает
B. окружность
C. полуплоскость
D. плоскость
7. Максимум или минимум целевой функции находится
A. в начале координат
B. на сторонах выпуклого многоугольника решений
C. внутри выпуклого многоугольника решений
D. в вершинах выпуклого многоугольника решений
8. Каноническим видом ЗЛП называется такой ее вид, в котором система ограничений содержит знаки
A. все знаки
B. все знаки
C. все знаки
D. все знаки
9. Если ограничение задано со знаком «>=», то дополнительная переменная вводится в это ограничение с коэффициентом
B. -1
10. В целевую функцию дополнительные переменные вводятся с коэффициентами
C. 0
A. количество ресурса с номером i, необходимого для изготовления 1 единицы продукции j – го вида
B. неиспользованные ресурсы i - го вида
C. прибыль от реализации 1 единицы продукции j – го вида
D. количество продукции j – го вида
12. Разрешающий столбец при решении ЗЛП на max целевой функции выбирается исходя из условия
A. наибольшее положительное значение коэффициента Cj целевой функции
B. наименьшее положительное значение коэффициента Cj целевой функции
C. наибольшее отрицательное значение коэффициента Cj целевой функции
D. любой столбец коэффициентов при неизвестных
13. Значение целевой функции в таблице с оптимальным планом находится
A. на пересечении строки коэффициентов целевой функции со столбцом коэффициентов при х1
B. на пересечении строки коэффициентов целевой функции со столбцом b
C. в столбце коэффициентов при хn
D. на пересечении строки коэффициентов целевой функции со столбцом первоначального базиса
14. Искусственные переменные в систему ограничений в каноническом виде вводятся с коэффициентом
A. 1
15. Оптимальность плана в симплексной таблице определяется
A. по столбцу b
B. по строке значений целевой функции
C. по разрешающей строке
D. по разрешающему столбцу
16. Дана задача линейного программирования
B. 1
17. Дана задача линейного программирования
Количество искусственных переменных для этой задачи равно
C. 2
18. Если исходная ЗЛП имеет вид
тогда ограничения двойственной задачи
A. имеют вид
B. имеют вид
C. имеют вид 
D. имеют вид 
19. Если исходная ЗЛП имеет вид
A. имеют вид
B. имеют вид
C. имеют вид
D. имеют вид
20. Коэффициентами при неизвестных целевой функции двойственной задачи являются
A. коэффициенты при неизвестных целевой функции исходной задачи
B. свободные члены системы ограничений исходной задачи
C. неизвестные исходной задачи
D. коэффициенты при неизвестных системы ограничений исходной задачи
21. Если исходная ЗЛП была на максимум целевой функции, то двойственная задача будет
A. тоже на максимум
B. либо на максимум, либо на минимум
C. и на максимум, и на минимум
D. на минимум
22. Связь исходной и двойственной задач заключается в том, что
A. надо решать обе задачи
B. решение одной из них получается из решения другой
C. из решения двойственной задачи нельзя получить решения исходной
D. обе имеют одинаковые решения
23. Если исходная ЗЛП имеет вид
тогда целевая функция двойственной задачи
A. имеют вид
B. имеют вид
C. имеют вид
D. имеют вид
24. Если исходная ЗЛП имеет вид
то количество переменных в двойственной задаче равно
B. 2
25. Модель транспортной задачи закрытая,
A. если
26. Цикл в транспортной задаче – это
A. замкнутая прямоугольная ломаная линия, все вершины которой находятся в занятых клетках
B. замкнутая прямоугольная ломаная линия, все вершины которых находятся свободных клетках
C. замкнутая прямоугольная ломаная линия, одна вершина которой в занятой клетке, остальные в свободных клетках
D. замкнутая прямоугольная ломаная линия, одна вершина которой в свободной клетке, а остальные в занятых клетках
27. Потенциалами транспортной задачи размерности (m*n) называются m+n чисел ui и vj, для которых выполняются условия
A. ui+vj=cij для занятых клеток
B. ui+vj=cij для свободных клеток
C. ui+vj=cij для первых двух столбцов распределительной таблицы
D. ui+vj=cij для первых двух строк распределительной таблицы
28. Оценками транспортной задачи размерности (m+n) называются числа
yij=cij-ui-vj, которые вычисляются
A. для занятых клеток
B. для свободных клеток
C. для первых двух строк распределительной таблицы
D. для первых двух столбцов распределительной таблицы
29. При решении транспортной задачи значение целевой функции должно от итерации к итерации
A. увеличиваться
B. увеличиваться или не меняться
C. увеличиваться на величину любой оценки
D. уменьшаться или не меняться
30. Число занятых клеток невырожденного плана транспортной задачи должно быть равно
C. m+n-1
31. Экономический смысл целевой функции транспортной задачи
A. суммарный объем перевозок
B. суммарная стоимость перевозок
C. суммарные поставки
D. суммарные потребности
Введение
Современный этап развития человечества отличается тем, что на смену века энергетики приходит век информатики. Происходит интенсивное внедрение новых технологий во все сферы человеческой деятельности. Встает реальная проблема перехода в информационное общество, для которого приоритетным должно стать развитие образования. Изменяется и структура знаний в обществе. Все большее значение для практической жизни приобретают фундаментальные знания, способствующие творческому развитию личности. Важна и конструктивность приобретаемых знаний, умение их структурировать в соответствии с поставленной целью. На базе знаний формируются новые информационные ресурсы общества. Формирование и получение новых знаний должно базироваться на строгой методологии системного подхода, в рамках которого отдельное место занимает модельный подход. Возможности модельного подхода крайне многообразны как по используемым формальным моделям, так и по способам реализации методов моделирования. Физическое моделирование позволяет получить достоверные результаты для достаточно простых систем.
В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Особенно это относится к сфере управления различными системами, где основными являются процессы принятия решений на основе получаемой информации.
1. Постановка задачи
минимум целевая функция
Решить задачу нахождения минимума целевой функции для системы ограничений, заданной многоугольником решений в соответствии с вариантом №16 задания. Многоугольник решений представлен на рисунке 1:
Рисунок 1 - Многоугольник решений задачи
Система ограничений и целевая функция задачи представлены ниже:
Необходимо решить задачу, используя следующие методы:
Графический метод решения задач ЛП;
Алгебраический метод решения задач ЛП;
Симплекс-метод решения задач ЛП;
Метод отыскания допустимого решения задач ЛП;
Решение двойственной задачи ЛП;
Метод «ветвей и границ» решения целочисленных задач ЛП;
Метод Гомори решения целочисленных задач ЛП;
Метод Балаша решения булевских задач ЛП.
Сравнить результаты решения разными методами сделать соответствующие выводы по работе.
2. Графическое решение задачи линейного программирования
Графический метод решения задач линейного программирования применяется в тех случаях, когда число неизвестных не превышает трех. Удобен для качественного исследования свойств решений и применяется совместно с другими методами (алгебраическим, ветвей и границ и т. д.). Идея метода основана на графическом решении системы линейных неравенств.
Рис. 2 Графическое решение задачи ЛП
Точка минимума
Уравнение прямой проходящей через две точки A1 и A2:
АВ: (0;1); (3;3)
ВС: (3;3); (4;1)
CD: (4;1); (3;0)
EА: (1;0); (0;1)
ЦФ: (0;1); (5;2)
при ограничениях:
Решение задачи линейного программирования алгебраическим симплекс-методом
Применение алгебраического метода решения задачи требует обобщения представления задачи ЛП. Исходную систему ограничений, заданную в виде неравенств преобразуют к стандартной форме записи, когда ограничения заданы в виде равенств. Преобразование системы ограничений к стандартному виду включает в себя следующие этапы:
Преобразовать неравенства таким образом, чтобы слева находились переменные и свободные члены, а справа - 0 т.е. чтобы левая часть была больше или равной нулю;
Ввести дополнительные переменные, число которых равно числу неравенств в системе ограничений;
Введя дополнительные ограничения на неотрицательность добавленных переменных, заменить знаки неравенств на знаки строгих равенств.
При решении задачи ЛП алгебраическим методом добавляется условие: целевая функция должна стремиться к минимуму. Если данное условие не выполняется, необходимо соответствующим образом преобразовать целевую функцию (умножить на -1) и решать задачу минимизации. После того, как решение найдено, подставить значения переменных в исходную функцию и посчитать ее значение.
Решение задачи при использовании алгебраического метода считается оптимальным, когда значения всех, базисных переменных - неотрицательно, и коэффициенты при свободных переменных в уравнении целевой функции также неотрицательны. Если эти условия не выполняются, необходимо преобразовать систему неравенств, выражая одни переменные через другие (меняя свободные и базисные переменные) добиться выполнения вышеприведенных ограничений. Значение всех свободных переменных считается равным нулю.
Алгебраический метод решения задач линейного программирования является одним из самых эффективных методов при решении задач небольшой размерности вручную т.к. не требует большого числа арифметических вычислений. Машинная реализация этого метода сложнее, чем, например, для симплекс-метода, т.к. алгоритм решения алгебраическим методом является в какой то степени эвристическим и эффективность решения во многом зависит от личного опыта.
Свободных переменных
св.пер. - доп. набор
Условия не отрицательности выполнены, следовательно, найдено оптимальное решение.
3. Решение задачи линейного программирования с использованием симплекс-таблицы
Решение: Приведем задачу к стандартному виду для решения с помощью симплекс-таблицы.
Все уравнения системы приведем к виду:
Строим симплекс-таблицу:
В верхний угол каждой клетки таблицы вписываем коэффициенты из системы уравнений;
Выбираем максимальный положительный элемент в строке F, кроме, это будет генеральный столбец;
Для того, чтобы найти генеральный элемент строим отношение для всех положительных. 3/3; 9/1;- минимальное соотношение в строке x3. Следовательно - генеральная строка и =3 - генеральный элемент.
Находим =1/=1/3. Вносим в нижний угол клетки, где находится генеральный элемент;
Во все незаполненные нижние углы генеральной строки вносим произведение значения в верхнем углу клетки на;
Выделяем верхние углы генеральной строки;
Во все нижние углы генерального столбца заносим произведение значения в верхнем углу на - и выделяем полученные значения;
Остальные клетки таблицы заполняются, как произведения соответствующих выделенных элементов;
Затем строим новую таблицу, в которой обозначения клеток элементов генерального столбца и строки меняются местами (x2 и x3);
В верхний угол бывших генеральных строки и столбца записываются значения, которые до этого были в нижнем углу;
В верхний угол остальных клеток записывается сумма значений верхнего и нижнего угла этих клеток в предыдущей таблице
4. Решение задачи линейного программирования методом отыскания допустимого решения
Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:
Можно предположить, что все, в противном случае умножаем соответствующее уравнение на -1.
Вводим вспомогательные переменные:
Вводим так же вспомогательную функцию
Будем минимизировать систему при ограничениях (2) и условиях.
ПРАВИЛО ОТЫСКАНИЯ ДОПУСТИМОГО РЕШЕНИЯ: Для отыскания допустимого решения системы (1) минимизируем форму (3) при ограничениях (2), в качестве свободных неизвестных берем xj, в качестве базисных.
При решении задачи симплекс-методом могут возникнуть два случая:
min f=0, тогда все i обязаны быть равными нулю. А получившиеся значения xj будут составлять допустимое решение системы (1).
min f>0, т.е. исходная система не имеет допустимого решения.
Исходная система:
Используется условие задачи предыдущей темы.
Внесем дополнительные переменные:
Найдено допустимое решение исходной задачи: х1 = 3, х2 = 3, F = -12. Основываясь на полученном допустимом решении найдем оптимальное решение исходной задачи, пользуясь симплекс-методом. Для этого построим новую симплекс-таблицу из таблицы полученной выше, удалив строку и строку с целевой функцией вспомогательной задачи:
Анализируя построенную симплекс-таблицу, видим, что оптимальное решение для исходной задачи уже найдено (элементы в строке, соответствующей целевой функции, отрицательны). Таким образом, допустимое решение, найденное при решении вспомогательной задачи совпадает с оптимальным решением исходной задачи:
6. Двойственная задача линейного программирования
Исходная система ограничений и целевая функция задачи показаны на рисунке ниже.
при ограничениях:
Решение: Приведем систему ограничений к стандартному виду:
Задача, двойственная данной будет иметь вид:
Решение двойственной задачи будет выполняться простым симплекс-методом.
Преобразуем целевую функцию так, чтобы решалась задача минимизации, и запишем систему ограничений в стандартной форме для решения симплекс-методом.
y6 = 1 - (-2 y1 + 2y2 +y3 + y4+ y5)
y7 = 5 - (-3y1 - y2 + y3 + y4)
Ф = 0 - (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??min
Построим исходную симплекс-таблицу для решения двойственной задачи ЛП.
Второй шаг симплекс-метода
Итак, на третьем шаге симплекс-метода найдено оптимальное решение задачи минимизации со следующими результатами: y2 = -7 /8, y1 = -11/8, Ф = 12. Для того, чтобы найти значение целевой функции двойственной задачи, подставим найденные значения базисных и свободных переменных в функцию максимизации:
Фmax = - Фmin = 3*(-11/8) + 9(-7/8) + 3*0 + 0 = -12
Так как значение целевой функции прямой и двойственной задач совпадают, решение прямой задачи найдено и равно 12.
Fmin = Фmax = -12
7. Решение задачи целочисленного линейного программирования методом «ветвей и границ»
Преобразуем исходную задачу таким образом, чтобы не выполнялось условие целочисленности при решении обычными методами.
Исходный многоугольник решений задачи целочисленного программирования.
Для преобразованного многоугольника решений построим новую систему ограничений.
Запишем систему ограничений в виде равенств, для решения алгебраическим методом.
В результате решения найден оптимальный план задачи: х1 =9/4, х2 = 5/2, F =-41/4. Это решения не отвечает условию целочисленности, поставленному в задаче. Разобьем исходный многоугольник решений на две области, исключив из него область 3 Измененный многоугольник решений задачи Составим новые системы ограничений для образовавшихся областей многоугольника решений. Левая область представляет собой четырехугольник (трапецию). Система ограничений для левой области многоугольника решений представлена ниже. Система ограничений для левой области Правая область представляет собой точку С. Система ограничений для правой области решений представлена ниже. Новые системы ограничений представляют из себя две вспомогательные задачи, которые необходимо решить независимо друг от друга. Решим задачу целочисленного программирования для левой области многоугольника решений. В результате решения найден оптимальный план задачи: х1 = 3, х2 = 3, F = -12. Этот план удовлетворяет условию целочисленности переменных в задаче и может быть принят в качестве оптимального опорного плана для исходной задачи целочисленного линейного программирования. Проводить решение для правой области решений нет смысла. На рисунке ниже представлен ход решения целочисленной задачи линейного программирования в виде дерева. Ход решения целочисленной задачи линейного программирования методом Гомори. Во многих практических приложениях представляет большой интерес задача целочисленного программирования, в которой дана система линейных неравенств и линейная форма Требуется найти целочисленное решение системы (1), которое минимизирует целевую функцию F, причем, все коэффициенты - целые. Один из методов решения задачи целочисленного программирования предложен Гомори. Идея метода заключается в использовании методов непрерывного линейного программирования, в частности, симплекс-метода. 1)Определяется с помощью симплекс-метода решение задачи (1), (2), у которой снято требование целочисленности решения; если решение оказывается целочисленным, то искомое решение целочисленной задачи будет также найдено; 2) В противном случае, если некоторая координата - не целая, полученное решение задачи проверяется на возможность существования целочисленного решения (наличие целых точек в допустимом многограннике): если в какой-либо строке с дробным свободным членом, все остальные коэффициенты окажутся целыми, то в допустимом многограннике нет целых, точек и задача целочисленного программирования решения не имеет; В противном случае вводится дополнительное линейное ограничение, которое отсекает от допустимого многогранника часть, бесперспективную для поиска решения задачи целочисленного программирования; 3) Для построения дополнительного линейного ограничения, выбираем l-тую строку с дробным свободным членом и записываем дополнительное ограничение где и - соответственно дробные части коэффициентов и свободного члена. Введем в ограничение (3) вспомогательную переменную: Определим коэффициенты и, входящие в ограничение (4): где и - ближайшие целые снизу для и соответственно. Гомори доказал, что конечное число подобных шагов приводит к такой задаче линейного программирования, решение которой будет целочисленным и, следовательно, искомым. Решение: Приведем систему линейных ограничений и функцию цели к канонической форме: Определим оптимальное решение системы линейных ограничений, временно отбросив условие целочисленности. Используем для этого симплекс-метод. Ниже последовательно в таблицах представлены исходное решение задачи, и приведены преобразования исходной таблицы с целью получения оптимального решения задачи: Решение булевских задач ЛП методом Балаша. Составить самостоятельно вариант для задачи целочисленного линейного программирования с булевскими переменными с учетом следующих правил: в задаче используется не менее 5 переменных, не менее 4 ограничений, коэффициенты ограничений и целевой функции выбираются произвольно, но таким образом, чтобы система ограничений была совместна. Задание состоит в том, чтобы решить ЗЦЛП с булевскими переменными, используя алгоритм Балаша и определить снижение трудоемкости вычислений по отношению к решению задачи методом полного перебора. Выполнение ограничений Значение F Фильтрующее ограничение: Определение снижения трудоемкости вычислений Решение задачи методом полного перебора составляет 6*25=192 вычисленных выражения. Решение задачи методом Балаша составляет 3*6+(25-3)=47 вычисленных выражений. Итого снижение трудоемкости вычислений по отношению к решению задачи методом полного перебора составляет. Заключение
Процесс проектирования информационных систем, реализующих новую информационную технологию, непрерывно совершенствуется. В центре внимания инженеров-системотехников оказываются все более сложные системы, что затрудняет использование физических моделей и повышает значимость математических моделей и машинного моделирования систем. Машинное моделирование стало эффективным инструментом исследования и проектирования сложных систем. Актуальность математических моделей непрерывно возрастает из-за их гибкости, адекватности реальным процессам, невысокой стоимости реализации на базе современных ПЭВМ. Все большие возможности предоставляются пользователю, т. е. специалисту по моделированию систем средствами вычислительной техники. Особенно эффективно применение моделирования на ранних этапах проектирования автоматизированных систем, когда цена ошибочных решений наиболее значительна. Современные вычислительные средства позволили существенно увеличить сложность используемых моделей при изучении систем, появилась возможность построения комбинированных, аналитико-имитационных моделей, учитывающих все многообразие факторов, имеющих место в реальных системах, т. е. использованию моделей, более адекватных исследуемым явлениям. Литература:
1. Лященко И.Н. Линейное и нелинейное программирования / И.Н.Лященко, Е.А.Карагодова, Н.В.Черникова, Н.З.Шор. - К.: «Высшая школа», 1975, 372 с. 2. Методические указания для выполнения курсового проекта по дисциплине «Прикладная математика» для студентов специальности «Компьютерные системы и сети» дневной и заочной форм обучения / Сост.: И.А.Балакирева, А.В.Скатков- Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2003. - 15 с. 3. Методические указания по изучению дисциплины «Прикладная математика», раздел «Методы глобального поиска и одномерной минимизации» / Сост. А.В.Скатков, И.А.Балакирева, Л.А.Литвинова - Севастополь: Изд-во СевГТУ, 2000. - 31с. 4. Методические указания для изучения дисциплины «Прикладная математика» для студентов специальности «Компьютерные системы и сети» Раздел «Решение задач целочисленного линейного программирования» дневной и заочной форм обучения / Сост.: И.А.Балакирева, А.В.Скатков - Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2000. - 13 с. 5. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: 6. Учеб. пособие для студентом эконом. спец. вузов.-М.: Высш. шк., 1986.- 319с., ил. 7. Андронов С.А. Методы оптимального проектирования: Текст лекций / СПбГУАП. СПб., 2001. 169 с.: ил. Алгоритм решения задач линейного программирования симплекс-методом. Построение математической модели задачи линейного программирования. Решение задачи линейного программирования в Excel. Нахождение прибыли и оптимального плана выпуска продукции. курсовая работа , добавлен 21.03.2012 Графическое решение задач. Составление математической модели. Определение максимального значения целевой функции. Решение симплексным методом с искусственным базисом канонической задачи линейного программирования. Проверка оптимальности решения. контрольная работа , добавлен 05.04.2016 Теоретическая основа линейного программирования. Задачи линейного программирования, методы решения. Анализ оптимального решения. Решение одноиндексной задачи линейного программирования. Постановка задачи и ввод данных. Построение модели и этапы решения. курсовая работа , добавлен 09.12.2008 Построение математической модели. Выбор, обоснование и описание метода решений прямой задачи линейного программирования симплекс-методом, с использованием симплексной таблицы. Составление и решение двойственной задачи. Анализ модели на чувствительность. курсовая работа , добавлен 31.10.2014 Построения математической модели с целью получения максимальной прибыли предприятия, графическое решение задачи. Решение задачи с помощью надстройки SOLVER. Анализ изменений запасов ресурсов. Определение пределов изменения коэффициентов целевой функции. курсовая работа , добавлен 17.12.2014 Математическое программирование. Линейное программирование. Задачи линейного программирования. Графический метод решения задачи линейного программирования. Экономическая постановка задачи линейного программирования. Построение математической модели. курсовая работа , добавлен 13.10.2008 Решение задачи линейного программирования графическим методом, его проверка в MS Excel. Анализ внутренней структуры решения задачи в программе. Оптимизация плана производства. Решение задачи симплекс-методом. Многоканальная система массового обслуживания. контрольная работа , добавлен 02.05.2012 Решение задачи линейного программирования симплекс-методом: постановка задачи, построение экономико-математической модели. Решение транспортной задачи методом потенциалов: построение исходного опорного плана, определение его оптимального значения. контрольная работа , добавлен 11.04.2012 Постановка задачи нелинейного программирования. Определение стационарных точек и их типа. Построение линий уровней, трехмерного графика целевой функции и ограничения. Графическое и аналитическое решение задачи. Руководство пользователя и схема алгоритма. курсовая работа , добавлен 17.12.2012 Анализ решения задачи линейного программирования. Симплексный метод с использованием симплекс-таблиц. Моделирование и решение задач ЛП на ЭВМ. Экономическая интерпретация оптимального решения задачи. Математическая формулировка транспортной задачи. Целевая функция
- вещественная или целочисленная функция нескольких переменных, подлежащая оптимизации (минимизации или максимизации) в целях решения некоторой оптимизационной задачи. Термин используется в математическом программировании, исследовании операций, линейном программировании, теории статистических решений и других областях математики в первую очередь прикладного характера, хотя целью оптимизации может быть и решение собственно математической задачи. Помимо целевой функции в задаче оптимизации для переменных могут быть заданы ограничения в виде системы равенств или неравенств. В общем случае аргументы целевой функции могут задаваться на произвольных множествах. Задача решения любой системы уравнений
{ F 1 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 F 2 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 … F N (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}F_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\F_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\\ldots \\F_{N}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\end{matrix}}\right.}
может быть сформулирована как задача минимизации целевой функции S = ∑ j = 1 N F j 2 (x 1 , x 2 , … , x M) (1) {\displaystyle S=\sum _{j=1}^{N}F_{j}^{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})\qquad (1)}
Если функции гладкие, то задачу минимизации можно решать градиентными методами. Для всякой гладкой целевой функции можно приравнять к 0 {\displaystyle 0} частные производные по всем переменным. Оптимум целевой функции будет одним из решений такой системы уравнений. В случае функции (1) {\displaystyle (1)} это будет система уравнений метода наименьших квадратов (МНК). Всякое решение исходной системы является решением системы МНК. Если исходная система несовместна, то всегда имеющая решение система МНК позволяет получить приближённое решение исходной системы. Число уравнений системы МНК совпадает с числом неизвестных, что иногда облегчает и решение совместных исходных систем. Другим известным примером целевой функции является линейная функция, которая возникает в задачах линейного программирования. В отличие от квадратичной целевой функции оптимизация линейной функции возможна только при наличии ограничений в виде системы линейных равенств или неравенств. Типичным примером комбинаторной целевой функции является целевая функция задачи коммивояжёра. Эта функция равна длине гамильтонова цикла на графе. Она задана на множестве перестановок n − 1 {\displaystyle n-1} вершины графа и определяется матрицей длин рёбер графа. Точное решение подобных задач часто сводится к перебору вариантов. Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием. Такие задачи находят обширные приложения в различных сферах человеческой деятельности. Систематическое изучение задач такого типа началось в 1939 – 1940 гг. в работах Л.В. Канторовича. К математическим задачам линейного программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов. Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк.Это, например: задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании; задача о смесях (планирование состава продукции); задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или); транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов). Линейное программирование – наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования (кроме того, сюда относят: целочисленное, динамическое, нелинейное, параметрическое программирование). Это объясняется следующим: математические модели большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных; данный тип задач в настоящее время наиболее изучен. Для него разработаны специальные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие программы для ЭВМ; многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли широкое применение; некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования. Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных. В общем виде модель записывается следующим образом: целевая функция (1.1) при ограничениях Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (1.1) при соблюдении ограничений (1.2) и (1.3). Систему ограничений (1.2) называют функциональными ограничениями задачи, а ограничения (1.3) - прямыми. Вектор, удовлетворяющий ограничениям (1.2) и (1.3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План, при котором функция (1.1) достигает своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным. Симплекс-метод был разработан и впервые применен для решения задач в 1947 г. американским математиком Дж. Данцигом. Двумерные задачи линейного программирования решаются графически. Для случая N=3 можно рассмотреть трехмерное пространство и целевая функция будет достигать своё оптимальное значение в одной из вершин многогранника. Допустимым решением (допустимым планом) задачи ЛП, данной в стандартной форме, называется упорядоченное множество чисел (х1, х2, …, хn), удовлетворяющих ограничениям; это точка в n-мерном пространстве. Множество допустимых решений образует область допустимых решений (ОДР) задачи ЛП. ОДР представляет собой выпуклый многогранник (многоугольник). В общем виде, когда в задаче участвуют N-неизвестных, можно сказать, что область допустимых решений, задаваемая системой ограничивающих условий, представляется выпуклым многогранником в n-мерном пространстве и оптимальное значение целевой функции достигается в одной или нескольких вершинах. Базисным называется решение, при котором все свободные переменные равны нулю. Опорное решение - это базисное неотрицательное решение. Опорное решение может быть невырожденным и вырожденным. Опорное решение называется невырожденным, если число его ненулевых координат равно рангу системы, в противном случае оно является вырожденным. Допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальным и обозначается Решить данные задачи графически, когда количество переменных более 3 весьма затруднительно. Существует универсальный способ решения задач линейного программирования, называемый симплекс-методом. Симплекс-метод - это универсальный метод решения задач ЛП, представляющий собой итерационный процесс, который начинается с одного решения и в поисках лучшего варианта движется по угловым точкам области допустимых решений до тех пор, пока не достигнет оптимального значения. С его помощью можно решить любую задачу линейного программирования. В основу симплексного метода положена идея последовательного улучшения получаемого решения. Геометрический смысл симплексного метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многогранника ограничений к соседней, в которой целевая функция принимает лучшее (или, по крайней мере, не худшее) значение до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение - вершина, где достигается оптимальное значение функции цели (если задача имеет конечный оптимум). Таким образом, имея систему ограничений, приведенную к канонической форме (все функциональные ограничения имеют вид равенств), находят любое базисное решение этой системы, заботясь только о том, чтобы найти его как можно проще. Если первое же найденное базисное решение оказалось допустимым, то проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то осуществляется переход к другому, обязательно допустимому базисному решению. Симплексный метод гарантирует, что при этом новом решении целевая функция, если и не достигнет оптимума, то приблизится к нему (или, по крайней мере, не удалится от него). С новым допустимым базисным решением поступают так же, пока не отыщется решение, которое является оптимальным. Процесс применения симплексного метода предполагает реализацию трех его основных элементов: способ определения какого-либо первоначального допустимого базисного решения задачи; правило перехода к лучшему (точнее, не худшему) решению; критерий проверки оптимальности найденного решения. Симплексный метод включает в себя ряд этапов и может быть сформулирован в виде четкого алгоритма (четкого предписания о выполнении последовательных операций). Это позволяет успешно программировать и реализовывать его на ЭВМ. Задачи с небольшим числом переменных и ограничений могут быть решены симплексным методом вручную. Оптимизация. Часть 1
Методы оптимизации позволяют выбрать наилучший вариант конструкции из всех возможных вариантов. В последние годы этим методам уделялось большое внимание, и в результате был разработан целый ряд высокоэффективных алгоритмов, позволяющих найти оптимальный вариант конструкции при помощи ЭЦВМ. В данной главе излагаются основы теории оптимизации, рассмат-риваются принципы, лежащие в основе построения алгоритмов оптимальных решений, описываются наиболее известные алгоритмы, анализируются их достоинства и недостатки. Термином «оптимизация» в литературе обозначают процесс или последовательность операций, позволяющих получить уточненное решение. Хотя конечной целью оптимизации является отыскание наилучшего, или «оптимального», решения, обычно приходится довольствоваться улучшением известных решений, а не доведением их до совершенства. Поэтому под оптимизацией понимают скорее стремление к совершенству, которое, возможно, и не будет достигнуто. Рассматривая некоторую произвольную систему, описываемую m уравнениями с n неизвестными, можно выделить три основных типа задач. Если m=n , задачу называют алгебраической. Такая задача обычно имеет одно решение. Если m>n, то задача переопределена и, как правило, не имеет решения. Наконец, при m Прежде чем приступить к обсуждению вопросов оптимизации, введем ряд определений. Проектные параметры
Этим термином обозначают независимые переменные параметры, которые полностью и однозначно определяют решаемую задачу проектирования. Проектные параметры - неизвестные величины, значения которых вычисляются в процессе оптимизации. В качестве проектных параметров могут служить любые основные или произ-водные величины, служащие для количественного описания системы. Так, это могут быть неизвестные значения длины, массы, време-ни, температуры. Число проектных параметров характеризует сте-пень сложности данной задачи проектирования. Обычно число проектных параметров обозначают через n, а сами проектные пара-метры через х с соответствующими индексами. Таким образом n проектных параметров данной задачи будем обозначать через Целевая функция
Это - выражение, значение которого инженер стремится сделать максимальным или минимальным. Целевая функция позволяет количественно сравнить два альтернативных решения. С мате-матической точки зрения целевая функция описывает некоторую (n+1) - мерную поверхность. Ее значение определяется проектными параметрами M=M(x 1 , x 2 ,...,x n). Примерами целевой функции, часто встречающимися в инженерной практике, являются стоимость, вес, прочность, габариты, КПД. Если имеется только один проектный параметр, то целевую функцию можно представить кривой на плоскости (рис.6.1). Если проектных параметров два, то целевая функция будет изображаться поверх-ностью в пространстве трех измерений (рис.6.2). При трех и более проектных параметрах поверхности, задаваемые целевой функцией, называются гиперповерхностями и не поддаются изобра- жению обычными средствами. Топологические свойства поверхности целевой функции играют большую роль в процессе оптимизации, так как от них зависит выбор наиболее эффективного алгоритма. Целевая функция в ряде случаев может принимать самые неожиданные формы. Например, ее не всегда удается выразить в Рис.1.Одномерная целевая функция. Рис.6.2.Двумерная целевая функция. замкнутой математической форме, в других случаях она может представлять собой кусочно-гладкую функцию. Для задания целевой функции иногда может потребоваться таблица технических данных (например, таблица состояния водяного пара) или может понадобиться провести эксперимент. В ряде случаев проектные параметры принимают только целые значения. Примером может служить число зубьев в зубчатой передаче или число болтов во фланце. Иногда проектные параметры имеют только два значения - да или нет. Качественные параметры, такие как удовлетворение, которое испытывает приобретший изделие покупатель, надежность, эстетичность, трудно учитывать в процессе оптимизации, так как их практически невозможно охарактеризовать количественно. Однако в каком бы виде ни была представлена целевая функция, она должна быть однозначной функцией проектных параметров. В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции. Иногда одна из них может оказаться несов-местимой с другой. Примером служит проектирование самолетов, когда одновременно требуется обеспечить максимальную прочность, минимальный вес и минимальную стоимость. В таких случаях конструктор должен ввести систему приоритетов и поставить в соответствие каждой целевой функции некоторый безразмерный мно-житель. В результате появляется «функция компромисса», позво-ляющая в процессе оптимизации пользоваться одной составной целевой функцией. Поиск минимума и максимума
Одни алгоритмы оптимизации приспособлены для поиска максимума, другие - для поиска минимума. Однако независимо от типа решаемой задачи на экстремум можно пользоваться одним т тем же алгоритмом, так как задачу минимизации можно легко превратить в задачу на поиск максимума, поменяв знак целевой функции на обратный. Этот прием иллюстрируется рис.6.3. Пространство проектирования
Так называется область, определяемая всеми n проектными параметрами. Пространство проектирования не столь велико, как может показаться, поскольку оно обычно ограничено рядом условий, связанных с физической сущностью задачи. Ограничения могут быть столь сильными, что задача не будет иметь ни одного Рис.6.3.Изменением знака целевой функции на противоположный задача на максимум превращается в задачу на минимум. удовлетворительного решения. Ограничения делятся на две группы: ограничения - равенства и ограничения - неравенства. Ограничения - равенства
Ограничения - равенства - это зависимость между проектными параметрами, которые должны учитываться при отыскании решения. Они отражают законы природы, экономики, права, господствующие вкусы и наличие необходимых материалов. Число ограничений - равенств может быть любым. Они имеют вид C 1 (x 1 , x 2 ,...,x n)=0, C 2 (x 1 , x 2 ,...,x n)=0, .................. C j (x 1 , x 2 ,...,x n)=0. Если какое-либо из этих соотношений можно разрешить отно-сительно одного из проектных параметров, то это позволяет исключить данный параметр из процесса оптимизации. Тем самым уменьшается число измерений пространства проектирования и упрощается решение задачи. Ограничения - неравенства
Это особый вид ограничений, выраженных неравенствами. В общем случае их может быть сколько угодно, причем все они имееют вид z 1 r 1 (x 1 , x 2 ,...,x n) Z 1 z 2 r 2 (x 1 , x 2 ,...,x n) Z 2 ....................... z k r k (x 1 , x 2 ,...,x n) Z k Следует отметить, что очень часто в связи с ограничениями оптимальное значение целевой функции достигается не тем, где ее поверхность имеет нулевой градиент. Нередко лучшее решение соответствует одной из границ области проектирования. Локальный оптимум
Так называется точка пространства проектирования, в которой целевая функция имеет наибольшее значение по сравнению с ее значениями во всех других точках ее ближайшей окрестности. Рис.6.4.Произвольная целевая функция может иметь несколько локальных оптимумов. На рис. 6.4 показана одномерная целевая функция, имеющая два локальных оптимума. Часто пространство проектирования содержит много локальных оптимумов и следует соблюдать осторожность, чтобы не принять первый из них за оптимальное решение задачи. Глобальный оптимум
Глобальный оптимум - это оптимальное решение для всего пространства проектирования. Оно лучше всех других решений, соответствующих локальным оптимумам, и именно его ищет конструктор. Возможен случай нескольких равных глобальных оптимумов, расположенных в разных частях пространства проектирования. Как ставится задача оптимизации, лучше всего показать на примере. Пример 6.1
Пусть требуется спроектировать прямоугольный контейнер объемом 1м , предназначенный для перевозки неупакованного волокна. Желательно, чтобы на изготовление таких контейнеров затрачивалось как можно меньше материала (при условии посто-янства толщины стенок это означает, что площадь поверхности должна быть минимальной), так как при этом он будет дешевле. Чтобы контейнер удобно было брать автопогрузчиком, его ширина должна быть не менее 1,5м. Сформулируем эту задачу в виде, удобном для применения алгоритма оптимизации. Проектные параметры: x 1 , x 2 , x 3 . Целевая функция (которую требуется минимизировать) - площадь боковой поверхности контейнера: A=2(x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3), м2. Ограничение - равенство: Объем = x 1 x 2 x 3 =1м3. Ограничение - неравенство: Линейное программирование (ЛП)
является одним из разделов математического программирования – дисциплины, изучающей экстремальные (оптимизационные) задачи и разработкой методов их решения. Оптимизационная задача
– это математическая задача, заключающаяся в нахождении оптимального (т.е. максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений (ОДЗ). В общем виде постановка экстремальной задачи математического программирования состоит в определении наибольшего или наименьшего значения функции , называемой целевой функцией
, при условиях (ограничениях) , где и – заданные функции, а – заданные постоянные величины. При этом ограничения в виде равенств и неравенств определяют множество (область) допустимых решений (ОДР), а – называют проектными параметрами
. В зависимости от вида функций и задачи математического программирования делятся на ряд классов (линейной, нелинейное, выпуклое, целочисленное, стохастическое, динамическое программирование и др.). В общем виде
задача ЛП имеет следующий вид: , где , , – заданные постоянные величины. Функцию (5.1) называют целевой функцией; системы (5.2), (5.3) – системой ограничений; условие (5.4) – условием неотрицательности проектных параметров. Совокупность проектных параметров , удовлетворяющих ограничениям (5.2), (5.3) и (5.4), называют допустимым решением
или планом
. Оптимальным решением
или оптимальным планом
задачи ЛП называется допустимое решение , при котором целевая функция (5.1) принимает оптимальное (максимальное или минимальное) значение. Стандартной задачей
ЛП называют задачу нахождения максимального (минимального) значения целевой функции (5.1) при условии (5.2) и (5.4), где , , т.е. т.е. ограничения только в виде неравенств (5.2) и все проектные параметры удовлетворяют условию неотрицательности, а условия в виде равенств отсутствуют: Канонической (основной) задачей
ЛП называют задачу нахождения максимального (минимального) значения целевой функции (5.1) при условии (5.3) и (5.4), где , , т.е. т.е. ограничения только в виде равенств (5.3) и все проектные параметры удовлетворяют условию неотрицательности, а условия в виде неравенств отсутствуют: Каноническую задачу ЛП можно также записать в матричной и векторной форме. Матричная форма канонической задачи ЛП имеет следующий вид: Векторная форма канонической задачи ЛП. Построим на плоскости множество допустимых решений системы линейных неравенств и геометрически найдём минимальное значение целевой функции. Строим в системе координат х 1 ох 2 прямые Находим полуплоскости, определяемые системой. Так как неравенства системы выполняется для любой точки из соответствующей полуплоскости, то их достаточно проверить для какой-либо одной точки. Используем точку (0;0). Подставим её координаты в первое неравенство системы. Т.к. , то неравенство определяет полуплоскость, не содержащую точку (0;0). Аналогично определяем остальные полуплоскости. Находим множество допустимых решений как общую часть полученных полуплоскостей - это заштрихованная область. Строим вектор и перпендикулярно к нему прямую нулевого уровня. Перемещая прямую (5) в направлении вектора и видим, что у области максимальная точка будет в точке А пересечения прямой (3) и прямой (2). Находим решение системы уравнений: Значит, получили точку (13;11) и. Перемещая прямую (5) в направлении вектора и видим, что у области минимальная точка будет в точке В пересечения прямой (1) и прямой (4). Находим решение системы уравнений: Значит, получили точку (6;6) и. 2. Мебельная фирма производит комбинированные шкафы и компьютерные столики. Их производство ограничено наличием сырья (высококачественных досок, фурнитуры) и временем работы обрабатывающих их станков. Для каждого шкафа требуется 5 м2 досок, для стола - 2 м2. На один шкаф расходуется фурнитуры на 10$, на один столик также на 8$. Фирма может получать от своих поставщиков до 600 м2 досок в месяц и фурнитуры на 2000$. Для каждого шкафа требуется 7 часов работы станков, для стола - 3 часа. В месяц возможно использовать всего 840 часов работы станков. Сколько комбинированных шкафов и компьютерных столиков фирме следует выпускать в месяц для получения максимальной прибыли, если один шкаф приносит 100$ прибыли, а каждый стол - 50$? Обозначим через x 1 - объём производства шкафов, а х 2 - объём производства столиков. Составим систему ограничений и функцию цели: Задачу решаем симплекс-методом. Запишем её в каноническом виде: Запишем данные задачи в виде таблицы: Таблица 1 Т.к. теперь все дельта больше нуля, то дальнейшее увеличение значения функции цели f невозможно и мы получили оптимальный план.
Подобные документы
Примеры
Гладкие функции и системы уравнений
Линейное программирование
Комбинаторная оптимизация
Глава 1. Постановка основной задачи линейного программирования
Линейное программирование
(1.2) требования неотрицательности
(1.3) где x
j
– переменные (неизвестные);
- коэффициенты задачи линейного программирования.1.2. Симплекс метод решения задач линейного программирования
.6.1.Введение
6.2.Основы теории оптимизации
X1, x2, x3,...,xn.
Задачи линейного программирования
, (5.1)
, , (5.2)
, (5.3) , , , (5.5)
. ,
.
