Особенности построения математических моделей. Пример математического моделирования прикладной задачи по математике

Для построения математической модели необходимо:

тщательно проанализировать реальный объект или процесс;
выделить его наиболее существенные черты и свойства;
определить переменные, т.е. параметры, значения которых влияют на основные черты и свойства объекта;
описать зависимость основных свойств объекта, процесса или системы от значения переменных с помощью логико-математических соотношений (уравнения, равенства, неравенства, логико-математические конструкций);
выделить внутренние связи объекта, процесса или системы с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций;
определить внешние связи и описать их с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций.

Математическое моделирование, кроме исследования объекта, процесса или системы и составления их математического описания, также включает:

построение алгоритма, моделирующего поведение объекта, процесса или системы;
проверка адекватности модели и объекта, процесса или системы на основе вычислительного и натурного эксперимента;
корректировка модели;
использование модели.

Математическое описание исследуемых процессов и систем зависит от:

природы реального процесса или системы и составляется на основе законов физики, химии, механики, термодинамики, гидродинамики, электротехники, теории пластичности, теории упругости и т.д.
требуемой достоверности и точности изучения и исследования реальных процессов и систем.

Построение математической модели обычно начинается с построения и анализа простейшей, наиболее грубой математической модели рассматриваемого объекта, процесса или системы. В дальнейшем, в случае необходимости, модель уточняется, делается ее соответствие объекту более полным.

Возьмем простой пример. Нужно определить площадь поверхности письменного стола. Обычно для этого измеряют его длину и ширину, а затем перемножают полученные числа. Такая элементарная процедура фактически обозначает следующее: реальный объект (поверхность стола) заменяется абстрактной математической моделью – прямоугольником. Прямоугольнику приписываются размеры, полученные в результате измерения длины и ширины поверхности стола, и площадь такого прямоугольника приближенно принимается за искомую площадь стола. Однако модель прямоугольника для письменного стола – это простейшая, наиболее грубая модель. При более серьезном подходе к задаче прежде, чем воспользоваться для определения площади стола моделью прямоугольника, эту модель нужно проверить. Проверки можно осуществить следующим образом: измерить длины противоположных сторон стола, а также длины его диагоналей и сравнить их между собой. Если, с требуемой степенью точности, длины противоположных сторон и длины диагоналей попарно равны между собой, то поверхность стола действительно можно рассматривать как прямоугольник. В противном случае модель прямоугольника придется отвергнуть и заменить моделью четырехугольника общего вида. При более высоком требовании к точности может возникнуть необходимость пойти в уточнении модели еще дальше, например, учесть закругления углов стола.

С помощью этого простого примера было показано, что математическая модель не определяется однозначно исследуемым объектом, процессом или системой .

ИЛИ (надо завтра уточнить)

Пути решения мат. Модели:

1, Построение м. на основе законов природы (аналитич. Метод)

2. Формальный путь с помощью статистическ. Обработки и результатов измерения (статист. Подход)

3. Построение м. на основе модели элементов (сложных систем)

1, Аналитический – использование при достаточном изуч. Общей закономерности изв. Моделей.

2. эксперимент. При отсутствии информ.

3. Имитационная м. – исследует св-ва объекта сст. В целом.

Пример построения математической модели.

Математи́ческая моде́ль - это математическое представление реальности.

Математическое моделирование - это процесс построения и изучения математических моделей.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют объект его математической моделью и затем изучают последнюю. Связь математической модели с реальностью осуществляется с помощью цепочки гипотез, идеализаций и упрощений. С помощью математических методов описывается, как правило, идеальный объект, построенный на этапе содержательного моделирования.

Зачем нужны модели?

Очень часто при исследовании какого либо объекта возникают трудности. Сам оригинал порой бывает недоступен, или его использование не целесообразно, или привлечение оригинала требует больших затрат. Все эти проблемы можно решить с помощью моделирования. Модель в определенном смысле может заменить исследуемый объект.

Простейшие примеры моделей

§ Фотографию можно назвать моделью человека. Для того чтобы узнать человека, достаточно видеть его фотографию.

§ Архитектор создал макет нового жилого района. Он может движением руки переместить высотное здание из одной части в другую. В реальности это было бы не возможно.

Типы моделей

Модели можно разделить на материальные" и идеальные . выше приведенные примеры являются материальными моделями. Идеальные модели часто имеют знаковую форму. Реальные понятия заменяются при этом некоторыми знаками, котое можно легко зафиксировать на бумаге, в памяти компьютера и т.д.

Математическое моделирование

Математическое моделирование относится к классу знакового моделирования. При этом модели могу создаваться из любых математических объектов: чисел, функций, уравнений и т.д.

Построение математической модели

§ Можно отметить несколько этапов построения математической модели:

1. Осмысление задачи, выделение наиболе важных для нас качеств, свойств, велечин и параметров.

2. Введение обозначений.

3. Составление системы ограничений, которым должны удовлетворять введенные величины.

4. Формулировка и запись условий,которым должно удовлетворять искомое оптимальное решение.

Процесс моделирования не заканчивается составлением модели,а только имначинается. Составив модель, выбирают метод нахождения ответа, решают задачу. после того как ответ найден сопостовляют его с реальностью. И возможно что ответ не удовлетворяет, в этом случае модель видоизменяют или даже выбирают совсем другую модель.

Пример математической модели

Задача

Производственное объединение, в которое входят две мебельные фабрики, нуждается в обновлении парка станков. Причем первой мебельной фабрике нужно заменить три станка, а второй-семь. Заказы можно разместить на двух станкостроительных заводах. Первый завод может изготовить не более 6 станков, а второй завод примет заказ если их будет не мение трех. Требуется определить как размещать заказы.

Пример 1.5.1.

Пусть некоторый экономический регион производит несколько (n) видов продуктов исключительно своими силами и только для населения данного региона. Предполагается, что технологический процесс отработан, а спрос населения на эти товары изучен. Надо определить годовой объем выпуска продуктов, с учетом того, что этот объем должен обеспечить как конечное, так и производственное потребление.

Составим математическую модель этой задачи. По ее условию даны: виды продуктов, спрос на них и технологический процесс; требуется найти объем выпуска каждого вида продукта.

Обозначим известные величины:

c i – спрос населения на i -й продукт (i =1,...,n ); a ij – количество i -го продукта, необходимое для выпуска единицы j -го продукта по данной технологии (i =1,...,n ; j =1,...,n );

х i – объем выпуска i -го продукта (i =1,...,n ); совокупность с =(c 1 ,..., c n ) называется вектором спроса, числа a ij – технологическими коэффициентами, а совокупность х =(х 1 ,..., х n ) – вектором выпуска.

По условию задачи вектор х распределяется на две части: на конечное потребление (вектор с ) и на воспроизводство (вектор х-с ). Вычислим ту часть вектора х которая идет на воспроизводство. По нашим обозначениям для производства х j количества j-го товара идет a ij · х j количества i -го товара.

Тогда сумма a i1 · х 1 +...+ a in · х n показывает ту величину i -го товара, которая нужна для всего выпуска х =(х 1 ,..., х n ).

Следовательно, должно выполняться равенство:

Распространяя это рассуждение на все виды продуктов, приходим к искомой модели:

Решая эту систему из n линейных уравнений относительно х 1 ,...,х n и найдем требуемый вектор выпуска.

Для того, чтобы написать эту модель в более компактной (векторной) форме, введем обозначения:

Квадратная (
) -матрицаА называется технологической матрицей. Легко проверить, что наша модель теперь запишется так:х-с=Ах или

(1.6)

Мы получили классическую модель «Затраты – выпуск », автором которой является известный американский экономист В. Леонтьев.

Пример 1.5.2.

Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сортами нефти: сортом А в количестве 10 единиц, сортом В - 15 единиц. При переработке из нефти получаются два материала: бензин (обозначим Б ) и мазут (М ). Имеется три варианта технологического процесса переработки:

I : 1ед.А + 2ед.В дает 3ед.Б + 2ед.М

II: 2ед.А + 1ед.В дает 1ед.Б + 5ед.М

III : 2ед.А + 2ед.В дает 1ед.Б + 2ед.М

Цена бензина - 10 долл. за единицу, мазута - 1 долл. за единицу.

Требуется определить наиболее выгодное сочетание технологических процессов переработки имеющегося количества нефти.

Перед моделированием уточним следующие моменты. Из условия задачи следует, что «выгодность» технологического процесса для завода следует понимать в смысле получения максимального дохода от реализации своей готовой продукции (бензина и мазута). В связи с этим понятно, что «выбор (принятие) решения» завода состоит в определении того, какую технологию и сколько раз применить. Очевидно, что таких возможных вариантов достаточно много.

Обозначим неизвестные величины:

х i – количество использованияi -го технологического процесса(i=1,2,3) . Остальные параметры модели (запасы сортов нефти, цены бензина и мазута)известны .

Теперь одно конкретное решение завода сводится к выбору одного вектора х =(х 1 ,х 2 ,х 3 ) , для которого выручка завода равна(32х 1 +15х 2 +12х 3 ) долл. Здесь 32 долл. – это доход, полученный от одного применения первого технологического процесса (10 долл. ·3ед.Б + 1 долл. ·2ед.М = 32 долл.). Аналогичный смысл имеют коэффициенты 15 и 12 для второго и третьего технологических процессов соответственно. Учет запаса нефти приводит к следующим условиям:

для сорта А :

для сорта В :,

где в первом неравенстве коэффициенты 1, 2, 2 – это нормы расхода нефти сорта А для одноразового применения технологических процессов I ,II ,III соответственно. Коэффициенты второго неравенства имеют аналогичный смысл для нефти сорта В.

Математическая модель в целом имеет вид:

Найти такой вектор х = (х 1 ,х 2 ,х 3 ) , чтобы максимизировать

f(x) =32х 1 +15х 2 +12х 3

при выполнении условий:

Сокращенная форма этой записи такова:

при ограничениях

(1.7)

Мы получили так называемую задачу линейного программирования.

Модель (1.7.) является примером оптимизационной модели детерминированного типа (с вполне определенными элементами).

Пример1.5.3.

Инвестору требуется определить наилучший набор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобретения их на некоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый доллар, вложенный в ценную бумагу j - го вида, характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической прибылью. Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на один доллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины b .

Заметим, что для правильного моделирования этой задачи от математика требуются определенные базовые знания в области портфельной теории ценных бумаг.

Обозначим известные параметры задачи:

n – число разновидностей ценных бумаг; а j – фактическая прибыль (случайное число) от j-го вида ценной бумаги; – ожидаемая прибыль отj -го вида ценной бумаги.

Обозначим неизвестные величины :

y j - средства, выделенные для приобретения ценных бумаг вида j .

По нашим обозначениям вся инвестированная сумма выражается как . Для упрощения модели введем новые величины

Таким образом, х i - это доля от всех средств, выделяемая для приобретения ценных бумаг видаj .

Ясно, что

Из условия задачи видно, что цель инвестора - достижение определенного уровня прибыли с минимальным риском. Содержательно риск - это мера отклонения фактической прибыли от ожидаемой. Поэтому его можно отождествить с ковариацией прибыли для ценных бумаг вида i и вида j. Здесь М - обозначение математического ожидания.

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

при ограничениях

,
,
,
. (1.8)

Мы получили известную модель Марковица для оптимизации структуры портфеля ценных бумаг.

Модель (1.8.) является примеров оптимизационной модели стохастического типа (с элементами случайности).

Пример1.5.4.

На базе торговой организации имеется n типов одного из товаров ассортиментного минимума. В магазин должен быть завезен только один из типов данного товара. Требуется выбрать тот тип товара, который целесообразно завести в магазин. Если товар типа j будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыльр j , если же он не будет пользоваться спросом - убытокq j .

Перед моделированием обсудим некоторые принципиальные моменты. В данной задаче лицом, принимающим решение (ЛПР), является магазин. Однако исход (получение максимальной прибыли) зависит не только от его решения, но и от того, будет ли завезенный товар пользоваться спросом, т. е. будет ли выкуплен населением (предполагается, что по какой-то причине у магазина нет возможности изучить спрос населения). Поэтому население может рассматриваться как второе ЛПР, выбирающее тип товара согласно своего предпочтения. Наихудшим для магазина «решением» населения является: «завезенный товар не пользуется спросом». Так что, для учета всевозможных ситуаций, магазину нужно считать население своим «противником» (условно), преследующим противоположную цель – минимизировать прибыль магазина.

Итак, имеем задачу принятия решения с двумя участниками, преследующими противоположные цели. Уточним, что магазин выбирает один из типов товаров для продажи (всего n вариантов решений), а население - один из типов товаров, который пользуется наибольшим спросом (n вариантов решений).

Для составления математической модели нарисуем таблицу с n строками и n столбцами (всего n 2 клеток) и условимся, что строки соответствуют выбору магазина, а столбики - выбору населения. Тогда клетка (i, j) соответствует той ситуации, когда магазин выбирает i -й тип товара (i -ю строку), а население выбирает j -й тип товара (j- ю столбик). В каждую клетку запишем числовую оценку (прибыль или убыток) соответствующей ситуации с точки зрения магазина:

Числа q i написаны с минусом для отражения убытка магазина; в каждой ситуации «выигрыш» населения (условно) равен «выигрышу» магазина, взятому с обратным знаком.

Сокращенный вид этой модели таков:

(1.9)

Мы получили так называемую матричную игру. Модель (1.9.) является примером игровых моделей принятия решения.

Аннотация: В лекции описан процесс построения математической модели. Приведен словесный алгоритм процесса.

Для использования ЭВМ при решении прикладных задач прежде всего прикладная задача должна быть "переведена" на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы должна быть построена его математическая модель .

Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи .

Для построения математической модели необходимо:

тщательно проанализировать реальный объект или процесс;
выделить его наиболее существенные черты и свойства;
определить переменные, т.е. параметры, значения которых влияют на основные черты и свойства объекта;
описать зависимость основных свойств объекта, процесса или системы от значения переменных с помощью логико-математических соотношений (уравнения, равенства, неравенства, логико-математические конструкций);
выделить внутренние связи объекта, процесса или системы с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций;
определить внешние связи и описать их с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций.

Математическое моделирование , кроме исследования объекта, процесса или системы и составления их математического описания, также включает:

построение алгоритма, моделирующего поведение объекта, процесса или системы;
проверка адекватности модели и объекта, процесса или системы на основе вычислительного и натурного эксперимента;
корректировка модели;
использование модели.

Математическое описание исследуемых процессов и систем зависит от:

природы реального процесса или системы и составляется на основе законов физики, химии, механики, термодинамики, гидродинамики, электротехники, теории пластичности , теории упругости и т.д.
требуемой достоверности и точности изучения и исследования реальных процессов и систем.

На этапе выбора математической модели устанавливаются: линейность и нелинейность объекта, процесса или системы, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса. При математическом моделировании сознательно отвлекаются от конкретной физической природы объектов, процессов или систем и, в основном, сосредотачиваются на изучении количественных зависимостей между величинами, описывающими эти процессы.

Математическая модель никогда не бывает полностью тождественна рассматриваемому объекту, процессу или системе. Основанная на упрощении, идеализации , она является приближенным описанием объекта. Поэтому результаты, полученные при анализе модели, носят приближенный характер. Их точность определяется степенью адекватности (соответствия) модели и объекта.

Обычно начинается с построения и анализа простейшей, наиболее грубой математической модели рассматриваемого объекта, процесса или системы. В дальнейшем, в случае необходимости, модель уточняется, делается ее соответствие объекту более полным.

Однако модель прямоугольника для письменного стола – это простейшая, наиболее грубая модель. При более серьезном подходе к задаче прежде, чем воспользоваться для определения площади стола моделью прямоугольника, эту модель нужно проверить. Проверки можно осуществить следующим образом: измерить длины противоположных сторон стола, а также длины его диагоналей и сравнить их между собой. Если, с требуемой степенью точности, длины противоположных сторон и длины диагоналей попарно равны между собой, то поверхность стола действительно можно рассматривать как прямоугольник . В противном случае модель прямоугольника придется отвергнуть и заменить моделью четырехугольника общего вида. При более высоком требовании к точности может возникнуть необходимость пойти в уточнении модели еще дальше, например, учесть закругления углов стола.

С помощью этого простого примера было показано, что математическая модель не определяется однозначно исследуемым объектом, процессом или системой. Для одного и того же стола мы можем принять либо модель прямоугольника, либо более сложную модель четырехугольника общего вида, либо четырехугольника с закругленными углами. Выбор той или иной модели определяется требованием точности. С повышением точности модель приходится усложнять, учитывая новые и новые особенности изучаемого объекта, процесса или системы.

Рассмотрим другой пример: исследование движения кривошипно-шатунного механизма (Рис. 2.1) .

Рис. 2.1.

Для кинематического анализа этого механизма, прежде всего, необходимо построить его кинематическую модель. Для этого:

Заменяем механизм его кинематической схемой, где все звенья заменены жесткими связями ;
Пользуясь этой схемой, мы выводим уравнение движения механизма;
Дифференцируя последнее, получаем уравнения скоростей и ускорения, которые представляют собой дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядка.

Запишем эти уравнения:

где С 0 – крайнее правое положение ползуна С:

r – радиус кривошипа AB;

l – длина шатуна BC;

– угол поворота кривошипа;

Полученные трансцендентные уравнения представляют математическую модель движения плоского аксиального кривошипно-шатунного механизма, основанную на следующих упрощающих предположениях:

нас не интересовали конструктивные формы и расположение масс, входящих в механизм тел, и все тела механизма мы заменили отрезками прямых. На самом деле, все звенья механизма имеют массу и довольно сложную форму. Например, шатун – это сложное сборное соединение, форма и размеры которого, конечно, будут влиять на движение механизма;
при движения рассматриваемого механизма мы также не учитывали упругость входящих в механизм тел, т.е. все звенья рассматривали как абстрактные абсолютно жесткие тела. В действительности же, все входящие в механизм тела – упругие тела. Они при движении механизма будут как-то деформироваться, в них могут даже возникнуть упругие колебания. Это все, конечно, также будет влиять на движение механизма;
мы не учитывали погрешность изготовления звеньев, зазоры в кинематических парах A, B, C и т.д.

Таким образом, важно еще раз подчеркнуть, что, чем выше требования к точности результатов решения задачи, тем больше необходимость учитывать при построении математической модели особенности изучаемого объекта, процесса или системы. Однако, здесь важно во время остановиться, так как сложная математическая модель может превратиться в трудно разрешимую задачу.

Наиболее просто строится модель, когда хорошо известны законы, определяющие поведение и свойства объекта, процесса или системы, и имеется большой практический опыт их применения.

Более сложная ситуация возникает тогда, когда наши знания об изучаемом объекте, процессе или системе недостаточны. В этом случае при построении математической модели приходится делать дополнительные предположения, которые носят характер гипотез, такая модель называется гипотетической. Выводы, полученные в результате исследования такой гипотетической модели, носят условный характер. Для проверки выводов необходимо сопоставить результаты исследования модели на ЭВМ с результатами натурного эксперимента. Таким образом, вопрос применимости некоторой математической модели к изучению рассматриваемого объекта, процесса или системы не является математическим вопросом и не может быть решен математическими методами.

Основным критерием истинности является эксперимент, практика в самом широком смысле этого слова.

Построение математической модели в прикладных задачах – один из наиболее сложных и ответственных этапов работы. Опыт показывает, что во многих случаях правильно выбрать модель – значит решить проблему более, чем наполовину. Трудность данного этапа состоит в том, что он требует соединения математических и специальных знаний. Поэтому очень важно, чтобы при решении прикладных задач математики обладали специальными знаниями об объекте, а их партнеры, специалисты, – определенной математической культурой, опытом исследования в своей области, знанием ЭВМ и программирования.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Подобные документы

Значение математики в нашей жизни. История возникновения счета. Развитие методов вычислительной математики в настоящее время. Использование математики в других науках, роль математического моделирования. Состояние математического образования в России.

статья , добавлен 05.01.2010

Основные понятия математического моделирования, характеристика этапов создания моделей задач планирования производства и транспортных задач; аналитический и программный подходы к их решению. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

курсовая работа , добавлен 11.12.2011

Процесс выбора или построения модели для исследования определенных свойств оригинала в определенных условиях. Стадии процесса моделирования. Математические модели и их виды. Адекватность математических моделей. Рассогласование между оригиналом и моделью.

контрольная работа , добавлен 09.10.2016

Сущность математического моделирования. Аналитические и имитационные математические модели. Геометрический, кинематический и силовой анализы механизмов подъемно-навесных устройств. Расчет на устойчивость мобильного сельскохозяйственного агрегата.

курсовая работа , добавлен 18.12.2015

Математическое моделирование задач коммерческой деятельности на примере моделирования процесса выбора товара. Методы и модели линейного программирования (определение ежедневного плана производства продукции, обеспечивающей максимальный доход от продажи).

контрольная работа , добавлен 16.02.2011

Математика как чрезвычайно мощный и гибкий инструмент при изучении окружающего мира. Роль математики в промышленной сфере, строительстве, медицине и жизни человека. Место математического моделирования в создании разнообразных архитектурных моделей.

презентация , добавлен 31.03.2015

Основные этапы математического моделирования - приближенного описания класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Методы кодирования информации. Построение устройства, которое позволяет переводить код азбуки Морзе в машинный код.

курсовая работа , добавлен 28.06.2011

Применение системы MathCAD при решении прикладных задач технического характера. Основные средства математического моделирования. Решение дифференциальных уравнений. Использование системы MathCad для реализации математических моделей электрических схем.

курсовая работа , добавлен 17.11.2016

При построении математической модели системы можно выделить несколько этапов.

1-й этап. Постановка задачи. Этапу предшествует возникновение ситуаций или проблем, осознание которых приводит к мысли их обобщения или решения для последующего достижения какого-либо эффекта. Исходя из этого, объект описывается, отмечаются вопросы, подлежащие решению, и ставится цель исследования. Здесь необходимо уяснить, что мы хотим получить в результате исследований. Предварительно нужно оценить, нельзя ли получить эти результаты другим, более дешевым или доступным путем.

2-й этап. Определение задачи. Исследователь старается определить, к какому виду относится объект, описывает параметры состояния объекта, переменные, характеристики, факторы внешней среды. Необходимо познать закономерности внутренней организации объекта, очертить границы объекта, построить его структуру. Эта работа называется идентификацией системы. Отсюда выбирается задача исследования, которая может решать вопросы: оптимизации, сравнения, оценки, прогноза, анализа чувствительности, выявления функциональных соотношений и т.п.

Концептуальная модель позволяет оценить положение системы во внешней среде, выявить необходимые ресурсы для ее функционирования, влияние факторов внешней среды и то, что мы ожидаем на выходе.

Необходимость проведения исследования возникает из реальных ситуаций, складывающихся в процессе работы системы, когда они в чем-либо начинают не удовлетворять каким-либо старым или новым требованиям. Если недостатки очевидны и известны методы их устранения, то нет необходимости в исследованиях.

Исходя из задачи исследования, можно определить назначение математической модели, которая должна быть построена для исследования. Такие модели могут решать задачи:

· выявления функциональных соотношений, заключающихся в определении количественных зависимостей между входными фактора ми модели и выходными характеристиками исследуемого объекта;

· анализа чувствительности, заключающегося в установлении факторов, которые в большей степени влияют на интересующие исследователя выходные характеристики системы;

· прогноза - оценки поведения системы при некотором предполагаемом сочетании внешних условий;

· оценки - определения, насколько хорошо исследуемый объект будет соответствовать некоторым критериям;

· сравнения, заключающегося в сопоставлении ограниченного числа альтернативных вариантов систем или же в сопоставлении нескольких предлагаемых принципов или методов действия;

· оптимизации, состоящей в точном определении такого сочетания переменных управления, при которых обеспечивается экстремальное значение целевой функции.

Выбор задачи определяет процесс создания и экспериментальной проверки модели.

Любое исследование должно начинаться с построения плана,включающего обследование системы и анализ ее функционирования. В плане должны быть предусмотрены:

· описание функций, реализуемых объектом;

· определение взаимодействий всех систем и элементов объекта;

· определение зависимости между входными и выходными переменными и влияние переменных управляющих воздействий на эти зависимости;

· определение экономических показателей функционирования системы.

Результаты обследования системы и окружающей среды представляются в виде описания процесса функционирования, которое используется для идентификации системы. Идентифицировать систему - значит выявить и изучить ее, а также:

Получить более полную характеристику системы и ее поведения;

Познать объективные закономерности ее внутренней организации;

Очертить ее границы;

Указать на вход, процесс и выход;

Определить ограничения на них;

Построить ее структурную и математическую модели;

Описать ее на каком-либо формальном абстрактном языке;

Определить цели, принуждающие связи, критерии действия системы.

После идентификации системы строится концептуальная модель,являющаяся «идеологической» основой будущей математической модели. Именно в ней отражается состав критериев оптимальности и ограничений, определяющих целевую направленность модели. Перевод на этапе формализации качественных зависимостей в количественные преобразует критерий оптимальности в целевую функцию, ограничения - в уравнения связи, концептуальную модель - в математическую.

На основе концептуальной модели можно построить факторную модель, которая устанавливает логическую связь между параметрами объекта, входными и выходными переменными, факторами внешней среды и параметрами управления, а также учитывать обратные связи в системе.

3-й этап. Составление математической модели. Вид математической модели в значительной степени зависит от цели исследования. Математическая модель может быть в виде математического выражения, представляющего собой алгебраическое уравнение, или неравенство, не имеющее разветвления вычислительного процесса при определении любых переменных состояния модели, целевой функции и уравнений связи.

Для построения такой модели формулируются следующие понятия:

· критерий оптимальности - показатель, выбираемый исследователем, имеющий, как правило, экологический смысл, который служит для формализации конкретной цели управления объектом исследования и выражаемый при помощи целевой функции;

· целевая функция - характеристика объекта, установленная из условия дальнейшего поиска критерия оптимальности, математически связывающая между собой те или иные факторы объекта исследования. Целевая функция и критерий оптимальности - разные понятия. Они могут быть описаны функциями одного и того же вида или же разными функциями;

· ограничения - пределы, сужающие область осуществимых, приемлемых или допустимых решений и фиксирующие основные внутренние и внешние свойства объекта. Ограничения определяют область исследования, протекания процессов, пределы изменения параметров и факторов объекта.

Следующим этапом построения системы является формирование математической модели, включающее в себя несколько видов работ: математическую формализацию, численное представление, анализ модели и выбор метода ее решения.

Математическая формализация осуществляется по концептуальной модели. При формализации рассматривают три основные ситуации:

1) известны уравнения, описывающие поведение объекта. В этом случае решением прямой задачи можно найти реакцию объекта на заданный входной сигнал;

2) обратная задача, когда по заданному математическому описанию и известной реакции необходимо найти входной сигнал, вызывающий этот отклик;

3)математическое описание объекта неизвестно, но имеются или могут быть заданы совокупности входных и соответствующих им выходных сигналов. В этом случае имеем дело с задачей идентификации объекта.

При моделировании производственно-экологических объектов в третьей ситуации при решении задачи идентификации используется подход, предложенный Н. Винером, и известный как метод «черного ящика». В качестве «черного ящика» рассматривается объект в целом, вследствие его сложности. Так как внутреннее устройство объекта неизвестно, мы можем изучить «черный ящик», найдя входы и выходы. Сопоставляя входы и выходы, можно написать соотношение

Y = АХ,

где X - вектор входных параметров; Y - вектор выходных параметров; А - оператор объекта, преобразующий Х в Y. Для описания объекта в виде математической зависимости в задачах идентификации используются методы регрессивного анализа. При этом возможно описание объекта множеством математических моделей, так как нельзя вынести обоснованного суждения о его внутреннем устройстве.

Основой выбора метода математического описания является знание физической природы функционирования описываемого объекта достаточно широкого круга эколого-математических методов, возможностей и особенностей ЭВМ, на которой планируется проведение моделирования. Для многих рассматриваемых явлений имеется достаточно много известных математических описаний и типовых математических моделей. При развитой системе математического обеспечения ЭВМ целый ряд процедур моделирования можно осуществит с помощью стандартных программ.

Оригинальные математические модели можно написать на основе проведенных исследований систем и апробированных в реалы ной обстановке. Для проведения новых исследований такие модели корректируются под новые условия.

Математические модели элементарных процессов, физической природа которых известна, записываются в виде тех формул и зависимостей, которые установлены для этих процессов. Как правило, статические задачи выражаются в виде алгебраических выражений, динамические - в виде дифференциальных или конечно-разностных уравнений.

Численное представление модели производится для подготовки ее к реализации на ЭВМ. Задание числовых значений трудностей не представляет. Осложнения встречаются при компактном представлении обширной статистической информации и результатов экспериментов.

Основными методами преобразования табличных значений к аналитическому виду являются: интерполяция, аппроксимация и экстраполяция.

Интерполяция - приближенное или точное нахождение какой-либо величины по известным отдельным значениям этой же или других величин, связанных с ней.

Аппроксимация - замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов.

Экстраполяция - продолжение функции за пределы ее области определения, при котором продолженная функция принадлежит заданному классу. Экстраполяция функции обычно производится с помощью формул, в которых использована информация о поведении функций в некотором конечном наборе точек, называемых узлами экстраполяции, принадлежащими к области определения.

Следующим этапом построения является анализ полученной модели и выбор метода ее решения. Основой для вычисления значений выходных характеристик модели служит составленный на ее базе алгоритм решения задачи на ЭВМ. Разработка и программирование такого алгоритма, как правило, не встречают принципиальных трудностей.

Более сложной является организация вычислительного процесса для определения выходных характеристик, лежащих в допустимых областях, особенно для многофакторных моделей. Еще сложнее - поиск решений по оптимизационным моделям. Самая совершенная и адекватная описываемому объекту математическая модель без нахождения оптимального значения бесполезна, она не может быть использована.

Основную роль при разработке алгоритма поиска оптимальны решений играют характер факторов математической модели, чисуи критериев оптимальности, вид целевой функции и уравнений связи Вид целевой функции и ограничений определяет выбор одного и трех основных методов решения эколого-математических моделей:

· аналитического исследования;

· исследования при помощи численных методов;

· исследования алгоритмических моделей с помощью методов экспериментальной оптимизации на ЭВМ.

Аналитические методы отличаются тем, что помимо точного значения искомых переменных они могут давать оптимальное решение в виде готовой формулы, куда входят характеристики внешней среды и начальные условия, которые исследователь может изменять в широких пределах, не меняя самой формулы.

Численные методы дают возможность получить решение путем многократного вычисления по определенному алгоритму, реализующему тот или иной численный метод. В качестве исходных данных для вычисления используются числовые значения параметре объекта, внешней среды и начальных условий. Численные методы являются итеративными процедурами: для проведения следующего шага расчетов (при новом значении управляемых переменных) пользуются результаты предыдущих расчетов, что позволяет получать в процессе вычислений улучшенные результаты и тем самым находить оптимальное решение.

Свойства конкретной алгоритмической модели, на которой базируется алгоритм поиска оптимального решения, например ее линейность или выпуклость, могут быть определены только в процессе экспериментирования с ней, в связи с чем для решения моделей этого класса используются так называемые методы экспериментальной оптимизации на ЭВМ. При использовании этих метод производится пошаговое приближение к оптимальному решению на основе результатов расчета по алгоритму, моделирующему работу исследуемой системы. Методы базируются на принципах поиска оптимальных решений в численных методах, но в отличие от них все действия по разработке алгоритма и программы оптимизации выполняет разработчик модели.

Имитационное моделирование задач, содержащих случайные параметры, принято называть статистическим моделированием.

Заключительным шагом создания модели является составление ее описания, которое содержит сведения, необходимые для изучения модели, ее дальнейшего использования, а также все ограничения и допущения. Тщательный и полный учет факторов при построении модели и формулировке допущений позволяет оценить точность модели, избежать ошибок при интерпретации ее результатов.

· 4-й этап . Вычисления. При решении задачи необходимо тщательно разобраться с размерностью всех величин, входящих в математическую модель, и определить границы (пределы), в которых будет лежать искомая целевая функция, а также требуемую точность вычислений. Если возможно, то вычисления проводятся при неизменных условиях по несколько раз, чтобы убедиться, что целевая функция не изменяется.

· 5-й этап . Выдача результатов. Результаты исследования объекта могут выдаваться в устной или письменной форме. Они должны включать в себя краткое описание объекта исследования, цели исследования, математическую модель, допущения, принятые при выборе математической модели, основные результаты вычислений, обобщения и выводы.