Простейшее дифференциальное уравнение 1 порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнение бернулли

1. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

Если это уравнение можно разрешить относительно та его можно записать в виде

В этом случае мы говорим, что дифференциальное уравнение разрешено относительно производной. Для такого уравнения справедлива следующая теорема, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. Теорема. Если в уравнении

функция и ее частная производная по у непрерывны в некоторой области D на плоскости содержащей некоторую точку , то существует единственное решение этого уравнения

удовлетворяющее условию при

Эта теорема будет доказана в § 27 гл. XVI.

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и притом единственная функция график которой проходит через точку

Из только что высказанной теоремы вытекает, что уравнение имеет бесконечное число различных решений (например, решение, график которого проходит через точку другое решение, график которого проходит через точку и т. д., если только эти точки лежат в области

Условие, что при функция у должна равняться заданному числу называется начальным условием. Оно часто записывается в виде

Определение 1. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция

которая зависит от одной произвольной постоянной С и удовлетворяет следующим условиям:

а) она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении постоянной С;

б) каково бы ни было начальное условие при можно найти такое значение , что функция удовлетворяет данному начальному условию. При этом предполагается, что значения принадлежат к той области изменения переменных х и у, в которой выполняются условия теоремы существования и единственности решения.

2. В процессе разыскания общего решения дифференциального уравнения мы нередко приходим к соотношению вида

не разрешенному относительно у. Разрешив это соотношение относительно у, получаем общее решение. Однако выразить у из соотношения (2) в элементарных функциях не всегда оказывается возможным; в таких случаях общее решение оставляется в неявном виде. Равенство вида неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение 2. Частным решением называется любая функция которая получается из общего решения , если в последнем произвольной постоянной С придать определенное значение Соотношение называется в этом случае частным интегралом уравнения.

Пример 1. Для уравнения первого порядка

общим решением будет семейство функции это можно проверить простой подстановкой в уравнение.

Найдем частное решение, удовлетворяющее следующему начальному условию: при Подставляя эти значения в формулу получим или Следовательно, искомым частным решением будет функция

С точки зрения геометрической общий интеграл представляет собой семейство кривых на координатной плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной С (или, как говорят, от одного параметра С).

Эти кривые называются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения. Частному интегралу соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через некоторую заданную точку плоскости.

Так, в последнем примере общий интеграл геометрически изображается семейством гипербол а частный интеграл, определенный указанным начальным условием, изображается одной из этих гипербол, проходящей через точку На рис. 251 изображены кривые семейства, соответствующие некоторым значениям параметра: и т. д.

Чтобы сделать рассуждения более наглядными, мы будем в дальнейшем называть решением уравнения не только функцию удовлетворяющую уравнению, но и соответствующую интегральную кривую. В связи с этим мы будем говорить, например, о решении, проходящем через точку .

Замечание. Уравнение не имеет решения, проходящего через точку, лежащую на оси рис. 251), так как правая часть уравнения при не определена и, следовательно, не является непрерывной.

Решить или, как часто говорят, проинтегрировать дифференциальное уравнение - значит:

а) найти его общее решение или общий интеграл (если начальные условия не заданы) или

б) найти то частное решение уравнения, которое удовлетворяет заданным начальным условиям (если таковые имеются).

3. Дадим геометрическую интерпретацию дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной:

и пусть есть общее решение данного уравнения. Это общее решение определяет семейство интегральных кривых на плоскости

Уравнение (Г) для каждой точки М с координатами х и у определяет значение производной т. е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Таким образом, дифференциальное уравнение (Г) дает совокупность направлений или, как говорят, определяет поле направлений на плоскости

Следовательно, с геометрической точки зрения задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля в соответствующих точках.

Для дифференциального уравнения (1) геометрическое место точек, в которых выполняется соотношение называется изоклиной данного дифференциального уравнения.

При различных значениях k получаем различные изоклины. Уравнение изоклины, соответствующей значению k, будет, очевидно, Построив семейство изоклин, можно приближенно построить семейство интегральных кривых. Говорят, что, зная изоклины, можно качественно определить расположение интегральных кривых на плоскости.

Думаю, нам стоит начать с истории такого славного математического инструмента как дифференциальные уравнения. Как и все дифференциальные и интегральные исчисления, эти уравнения были изобретены Ньютоном в конце 17-го века. Он считал именно это своё открытие настолько важным, что даже зашифровал послание, которое сегодня можно перевести примерно так: "Все законы природы описываются дифференциальными уравнениями". Это может показаться преувеличением, но всё так и есть. Любой закон физики, химии, биологии можно описать этими уравнениями.

Огромный вклад в развитие и создание теории дифференциальных уравнений внесли математики Эйлер и Лагранж. Уже в 18-м веке они открыли и развили то, что сейчас изучают на старших курсах университетов.

Новая веха в изучении дифференциальных уравнений началась благодаря Анри Пуанкаре. Он создал «качественную теорию дифференциальных уравнений», которая в сочетании с теорией функций комплексного переменного внесла значительный вклад в основание топологии - науки о пространстве и его свойствах.

Что такое дифференциальные уравнения?

Многие боятся одного словосочетания Однако в этой статье мы подробно изложим всю суть этого очень полезного математического аппарата, который на самом деле не так сложен, как кажется из названия. Для того чтобы начать рассказывать про дифференциальные уравнения первого порядка, следует сначала познакомиться с основными понятиями, которые неотъемлемо связаны с этим определением. И начнём мы с дифференциала.

Дифференциал

Многие знают это понятие ещё со школы. Однако всё же остановимся на нём поподробнее. Представьте себе график функции. Мы можем увеличить его до такой степени, что любой его отрезок примет вид прямой линии. На ней возьмём две точки, находящиеся бесконечно близко друг к другу. Разность их координат (x или y) будет бесконечно малой величиной. Ее и называют дифференциалом и обозначают знаками dy (дифференциал от y) и dx (дифференциал от x). Очень важно понимать, что дифференциал не является конечной величиной, и в этом заключается его смысл и основная функция.

А теперь необходимо рассмотреть следующий элемент, который нам пригодится при объяснении понятия дифференциального уравнения. Это - производная.

Производная

Все мы наверняка слышали в школе и это понятие. Говорят, что производная - это скорость роста или убывания функции. Однако из этого определения многое становится непонятным. Попробуем объяснить производную через дифференциалы. Давайте вернёмся к бесконечно малому отрезку функции с двумя точками, которые находятся на минимальном расстоянии друг от друга. Но даже за это расстояние функция успевает измениться на какую-то величину. И чтобы описать это изменение и придумали производную, которую иначе можно записать как отношение дифференциалов: f(x)"=df/dx.

Теперь стоит рассмотреть основные свойства производной. Их всего три:

1. Производную суммы или разности можно представить как сумму или разность производных: (a+b)"=a"+b" и (a-b)"=a"-b".
2. Второе свойство связано с умножением. Производная произведения - это сумма произведений одной функции на производную другой: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Производную разности записать можно в виде следующего равенства: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Все эти свойства нам пригодятся для нахождения решений дифференциальных уравнений первого порядка.

Также бывают частные производные. Допустим, у нас есть функция z, которая зависит от переменных x и y. Чтобы вычислить частную производную этой функции, скажем, по x, нам необходимо принять переменную y за постоянную и просто продифференцировать.

Интеграл

Другое важное понятие - интеграл. По сути это прямая противоположность производной. Интегралы бывают нескольких видов, но для решения простейших дифференциальных уравнений нам понадобятся самые тривиальные

Итак, Допустим, у нас есть некоторая зависимость f от x. Мы возьмём от неё интеграл и получим функцию F(x) (часто её называют первообразной), производная от которой равна первоначальной функции. Таким образом F(x)"=f(x). Отсюда следует также, что интеграл от производной равен первоначальной функции.

При решении дифференциальных уравнений очень важно понимать смысл и функцию интеграла, так как придётся очень часто их брать для нахождения решения.

Уравнения бывают разными в зависимости от своей природы. В следующем разделе мы рассмотрим виды дифференциальных уравнений первого порядка, а потом и научимся их решать.

Классы дифференциальных уравнений

"Диффуры" делятся по порядку производных, участвующих в них. Таким образом бывает первый, второй, третий и более порядок. Их также можно поделить на несколько классов: обыкновенные и в частных производных.

В этой статье мы рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры и способы их решения мы также обсудим в следующих разделах. Будем рассматривать только ОДУ, потому что это самые распространённые виды уравнений. Обыкновенные делятся на подвиды: с разделяющимися переменными, однородные и неоднородные. Далее вы узнаете, чем они отличаются друг от друга, и научитесь их решать.

Кроме того, эти уравнения можно объединять, чтобы после у нас получилась система дифференциальных уравнений первого порядка. Такие системы мы тоже рассмотрим и научимся решать.

Почему мы рассматриваем только первый порядок? Потому что нужно начинать с простого, а описать всё, связанное с дифференциальными уравнениями, в одной статье просто невозможно.

Уравнения с разделяющимися переменными

Это, пожалуй, самые простые дифференциальные уравнения первого порядка. К ним относятся примеры, которые можно записать так: y"=f(x)*f(y). Для решения этого уравнения нам понадобится формула представления производной как отношения дифференциалов: y"=dy/dx. С помощью неё получаем такое уравнение: dy/dx=f(x)*f(y). Теперь мы можем обратиться к методу решения стандартных примеров: разделим переменные по частям, т. е. перенесём всё с переменной y в часть, где находится dy, и так же сделаем с переменной x. Получим уравнение вида: dy/f(y)=f(x)dx, которое решается взятием интегралов от обеих частей. Не стоит забывать и о константе, которую нужно ставить после взятия интеграла.

Решение любого "диффура" - это функция зависимости x от y (в нашем случае) или, если присутствует численное условие, то ответ в виде числа. Разберём на конкретном примере весь ход решения:

Переносим переменные в разные стороны:

Теперь берём интегралы. Все их можно найти в специальной таблице интегралов. И получаем:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Если требуется, мы можем выразить "игрек" как функцию от "икс". Теперь можно сказать, что наше дифференциальное уравнение решено, если не задано условие. Может быть задано условие, например, y(п/2)=e. Тогда мы просто подставляем значение этих переменных в решение и находим значение постоянной. В нашем примере оно равно 1.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Теперь переходим к более сложной части. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка можно записать в общем виде так: y"=z(x,y). Следует заметить, что правая функция от двух переменных однородна, и её нельзя разделить на две зависимости: z от x и z от y. Проверить, является ли уравнение однородным или нет, достаточно просто: мы делаем замену x=k*x и y=k*y. Теперь сокращаем все k. Если все эти буквы сократились, значит уравнение однородное и можно смело приступать к его решению. Забегая вперёд, скажем: принцип решения этих примеров тоже очень прост.

Нам нужно сделать замену: y=t(x)*x, где t - некая функция, которая тоже зависит от x. Тогда мы можем выразить производную: y"=t"(x)*x+t. Подставляя всё это в наше исходное уравнение и упрощая его, мы получаем пример с разделяющимися переменными t и x. Решаем его и получаем зависимость t(x). Когда мы ее получили, то просто подставляем в нашу предыдущую замену y=t(x)*x. Тогда получаем зависимость y от x.

Чтобы было понятнее, разберём пример: x*y"=y-x*e y/x .

При проверке с заменой всё сокращается. Значит, уравнение действительно однородное. Теперь делаем другую замену, о которой мы говорили: y=t(x)*x и y"=t"(x)*x+t(x). После упрощения получаем следующее уравнение: t"(x)*x=-e t . Решаем получившийся пример с разделёнными переменными и получаем: e -t =ln(C*x). Нам осталось только заменить t на y/x (ведь если y=t*x, то t=y/x), и мы получаем ответ: e -y/x =ln(x*С).

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Пришло время рассмотреть ещё одну обширную тему. Мы разберём неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Чем они отличаются от предыдущих двух? Давайте разберёмся. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка в общем виде можно записать таким равенством: y" + g(x)*y=z(x). Стоит уточнить, что z(x) и g(x) могут являться постоянными величинами.

А теперь пример: y" - y*x=x 2 .

Существует два способа решения, и мы по порядку разберём оба. Первый - метод вариации произвольных констант.

Для того чтобы решить уравнение этим способом, необходимо сначала приравнять правую часть к нулю и решить получившееся уравнение, которое после переноса частей примет вид:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *у С =C 1 *e x2/2 .

Теперь надо заменить константу C 1 на функцию v(x), которую нам предстоит найти.

Проведём замену производной:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

И подставим эти выражения в исходное уравнение:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Можно видеть, что в левой части сокращаются два слагаемых. Если в каком-то примере этого не произошло, значит вы что-то сделали не так. Продолжим:

v"*e x2/2 = x 2 .

Теперь решаем обычное уравнение, в котором нужно разделить переменные:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Чтобы извлечь интеграл, нам придётся применить здесь интегрирование по частям. Однако это не тема нашей статьи. Если вам интересно, вы можете самостоятельно научиться выполнять такие действия. Это не сложно, и при достаточном навыке и внимательности не отнимает много времени.

Обратимся ко второму способу решения неоднородных уравнений: методу Бернулли. Какой подход быстрее и проще - решать только вам.

Итак, при решении уравнения этим методом нам необходимо сделать замену: y=k*n. Здесь k и n - некоторые зависящие от x функции. Тогда производная будет выглядеть так: y"=k"*n+k*n". Подставляем обе замены в уравнение:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Группируем:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Теперь надо приравнять к нулю то, что находится в скобках. Теперь, если объединить два получившихся уравнения, получается система дифференциальных уравнений первого порядка, которую нужно решить:

Первое равенство решаем, как обычное уравнение. Для этого нужно разделить переменные:

Берём интеграл и получаем: ln(n)=x 2 /2. Тогда, если выразить n:

Теперь подставляем получившееся равенство во второе уравнение системы:

k"*e x2/2 =x 2 .

И преобразовывая, получаем то же самое равенство, что и в первом методе:

dk=x 2 /e x2/2 .

Мы также не будем разбирать дальнейшие действия. Стоит сказать, что поначалу решение дифференциальных уравнений первого порядка вызывает существенные трудности. Однако при более глубоком погружении в тему это начинает получаться всё лучше и лучше.

Где используются дифференциальные уравнения?

Очень активно дифференциальные уравнения применяются в физике, так как почти все основные законы записываются в дифференциальной форме, а те формулы, которые мы видим - решение этих уравнений. В химии они используются по той же причине: основные законы выводятся с их помощью. В биологии дифференциальные уравнения используются для моделирования поведения систем, например хищник - жертва. Они также могут использоваться для создания моделей размножения, скажем, колонии микроорганизмов.

Как дифференциальные уравнения помогут в жизни?

Ответ на этот вопрос прост: никак. Если вы не учёный или инженер, то вряд ли они вам пригодятся. Однако для общего развития не помешает знать, что такое дифференциальное уравнение и как оно решается. И тогда вопрос сына или дочки "что такое дифференциальное уравнение?" не поставит вас в тупик. Ну а если вы учёный или инженер, то и сами понимаете важность этой темы в любой науке. Но самое главное, что теперь на вопрос "как решить дифференциальное уравнение первого порядка?" вы всегда сможете дать ответ. Согласитесь, всегда приятно, когда понимаешь то, в чём люди даже боятся разобраться.

Основные проблемы при изучении

Основной проблемой в понимании этой темы является плохой навык интегрирования и дифференцирования функций. Если вы плохо берёте производные и интегралы, то, наверное, стоит ещё поучиться, освоить разные методы интегрирования и дифференцирования, и только потом приступать к изучению того материала, что был описан в статье.

Некоторые люди удивляются, когда узнают, что dx можно переносить, ведь ранее (в школе) утверждалось, что дробь dy/dx неделима. Тут нужно почитать литературу по производной и понять, что она является отношением бесконечно малых величин, которыми можно манипулировать при решении уравнений.

Многие не сразу осознают, что решение дифференциальных уравнений первого порядка - это зачастую функция или неберущийся интеграл, и это заблуждение доставляет им немало хлопот.

Что ещё можно изучить для лучшего понимания?

Лучше всего начать дальнейшее погружение в мир дифференциального исчисления со специализированных учебников, например, по математическому анализу для студентов нематематических специальностей. Затем можно переходить и к более специализированной литературе.

Стоит сказать, что, кроме дифференциальных, есть ещё интегральные уравнения, так что вам всегда будет к чему стремиться и что изучать.

Заключение

Надеемся, что после прочтения этой статьи у вас появилось представление о том, что такое дифференциальные уравнения и как их правильно решать.

В любом случае математика каким-либо образом пригодится нам в жизни. Она развивает логику и внимание, без которых каждый человек как без рук.

Инструкция

Если уравнение представлено в виде: dy/dx = q(x)/n(y), относите их к категории дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Их можно решить, записав условие в дифференциалах по следующей : n(y)dy = q(x)dx. Затем проинтегрируйте обе части. В некоторых случаях решение записывается в виде интегралов, взятых от известных функций. К примеру, в случае dy/dx = x/y, получится q(x) = x, n(y) = y. Запишите его в виде ydy = xdx и проинтегрируйте. Должно получиться y^2 = x^2 + c.

К линейным уравнениям относите уравнения «первой ». Неизвестная функция с ее производными входит в подобное уравнение лишь в первой степени. Линейное имеет вид dy/dx + f(x) = j(x), где f(x) и g(x) – функции, зависящие от x. Решение записывается с помощью интегралов, взятых от известных функций.

Учтите, что многие дифференциальные уравнения - это уравнения второго порядка (содержащие вторые производные) Таким, например, является уравнение простого гармонического движения, записанное в виде общей : md 2x/dt 2 = –kx. Такие уравнения имеют, в , частные решения. Уравнение простого гармонического движения является примером достаточно важного : линейных дифференциальных уравнений, у которых имеется постоянный коэффициент.

Если в условиях задачи лишь одно линейное уравнение, значит, вам даны дополнительные условия, благодаря которым можно найти решение. Внимательно прочитайте задачу, чтобы найти эти условия. Если переменными х и у обозначены расстояние, скорость, вес – смело ставьте ограничение х≥0 и у≥0. Вполне возможно, под х или у скрывается количество , яблок, и т.д. – тогда значениями могут быть только . Если х – возраст сына, понятно, что он не может быть старше отца, поэтому укажите это в условиях задачи.

Источники:

• как решить уравнение с одной переменной

Задачи на дифференциальное и интегральное исчисление являются важными элементами закрепления теории математического анализа, раздела высшей математики, изучаемой в вузах. Дифференциальное уравнение решается методом интегрирования.

Инструкция

Дифференциальное исчисление исследует свойства . И наоборот, интегрирование функции позволяет по данным свойствам, т.е. производным или дифференциалам функции найти ее саму. В этом и заключается решение дифференциального уравнения.

Любое является соотношением между неизвестной величиной и известными данными. В случае дифференциального уравнения роль неизвестного играет функция, а роль известных величин – ее производные. Кроме этого, соотношение может содержать независимую переменную:F(x, y(x), y’(x), y’’(x),…, y^n(x)) = 0, где x – неизвестная переменная, y(x) – функция, которую нужно определить, порядок уравнения – это максимальный порядок производной (n).

Такое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если же в соотношении несколько независимых переменных и частные производные (дифференциалы) функции по этим переменным, то уравнение называется дифференциальным уравнением с частными производными и имеет вид:x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0, где z(x, y) – искомая функция.

Итак, чтобы научиться решать дифференциальные уравнения, необходимо уметь находить первообразные, т.е. решать задачу, обратную дифференцированию. Например:Решите уравнение первого порядка y’ = -y/x.

РешениеЗамените y’ на dy/dx: dy/dx = -y/x.

Приведите уравнение к виду, удобному для интегрирования. Для этого умножьте обе части на dx и разделите на y:dy/y = -dx/x.

Проинтегрируйте:∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| + C.

Это решение называется общим дифференциального уравнения. С – это константа, множество значений которой определяет множество решений уравнения. При любом конкретном значении С решение будет единственным. Такое решение является частным решением дифференциального уравнения.

Решение большинства уравнений высших степеней не имеет четкой формулы, как нахождение корней квадратного уравнения . Однако существует несколько способов приведения, которые позволяют преобразовать уравнение высшей степени к более наглядному виду.

Инструкция

Наиболее распространенным методом решения уравнений высших степеней является разложение . Этот подход представляет собой комбинацию подбора целочисленных корней, делителей свободного члена, и последующее деление общего многочлена на вида (x – x0).

Например, решите уравнение x^4 + x³ + 2·x² – x – 3 = 0.Решение.Свободным членом данного многочлена является -3, следовательно, его целочисленными делителями могут быть числа ±1 и ±3. Подставьте их по очереди в уравнение и выясните, получится ли тождество:1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

Второй корень x = -1. Поделите на выражение (x + 1). Запишите получившееся уравнение (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Степень понизилась до второй, следовательно, уравнение может иметь еще два корня. Чтобы найти их, решите квадратное уравнение:x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

Дискриминант – отрицательная величина, значит, действительных корней у уравнения больше нет. Найдите комплексные корни уравнения:x = (-2 + i·√11)/2 и x = (-2 – i·√11)/2.

Другой метод решения уравнения высшей степени – замена переменных для приведения его к квадратному. Такой подход используется, когда все степени уравнения четные, например:x^4 – 13·x² + 36 = 0

Теперь найдите корни исходного уравнения:x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Совет 10: Как определить окислительно-восстановительные уравнения

Химическая реакция – это процесс превращения веществ, протекающий с изменением их состава. Те вещества, которые вступают в реакцию, называются исходными, а те, которые образуются в результате этого процесса – продуктами. Бывает так, что в ходе химической реакции элементы, входящие в состав исходных веществ, изменяют свою степень окисления. То есть они могут принять чужие электроны и отдать свои. И в том, и в другом случае меняется их заряд. Такие реакции называются окислительно-восстановительными.

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Конспект лекции для студентов бухгалтерского факультета

заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Дифференциальные уравнения первого порядка

Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решения

При изучении различных явлений часто не удаётся найти закон, который непосредственно связывает независимую переменную и искомую функцию, но можно установить связь между искомой функцией и её производными.

Соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные, называется дифференциальным уравнением :

Здесь x – независимая переменная, y – искомая функция,
- производные искомой функции. При этом в соотношении (1) обязательно наличие хотя бы одной производной.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

. (2)

Так в это уравнение входит производная только первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (2) можно разрешить относительно производной и записать в виде

, (3)

то такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка в нормальной форме.

Во многих случаях целесообразно рассматривать уравнение вида

которое называется дифференциальным уравнением первого порядка, записанным в дифференциальной форме.

Так как
, то уравнение (3) можно записать в виде
или
, где можно считать
и
. Это означает, что уравнение (3) преобразовано в уравнение (4).

Запишем уравнение (4) в виде
. Тогда
,
,
, где можно считать
, т.е. получено уравнение вида (3). Таким образом, уравнения (3) и (4) равносильны.

Решением дифференциального уравнения (2) или (3) называется любая функция
, которая при подстановке её в уравнение (2) или (3) обращает его в тождество:

или
.

Процесс нахождения всех решений дифференциального уравнения называется его интегрированием , а график решения
дифференциального уравнения называетсяинтегральной кривой этого уравнения.

Если решение дифференциального уравнения получено в неявном виде
, то оно называетсяинтегралом данного дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется семейство функций вида
, зависящее от произвольной постояннойС , каждая из которых является решением данного дифференциального уравнения при любом допустимом значении произвольной постоянной С . Таким образом, дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из формулы общего решения при конкретном значении произвольной постоянной С , включая
.

Задача Коши и её геометрическая интерпретация

Уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений. Чтобы из этого множества выделить одно решение, которое называется частным, нужно задать некоторые дополнительные условия.

Задача отыскания частного решения уравнения (2) при заданных условиях называется задачей Коши . Эта задача является одной из важнейших в теории дифференциальных уравнений.

Формулируется задача Коши следующим образом: среди всех решений уравнения (2) найти такое решение
, в котором функция
принимает заданное числовое значение, если независимая переменная x принимает заданное числовое значение , т.е.

,
, (5)

где D – область определения функции
.

Значение называетсяначальным значением функции , а – начальным значением независимой переменной . Условие (5) называется начальным условием или условием Коши .

С геометрической точки зрения задачу Коши для дифференциального уравнения (2) можно сформулировать следующим образом: из множества интегральных кривых уравнения (2) выделить ту, которая проходит через заданную точку
.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Одним из простейших видов дифференциальных уравнений является дифференциальное уравнение первого порядка, не содержащее искомой функции:

. (6)

Учитывая, что
, запишем уравнение в виде
или
. Интегрируя обе части последнего уравнения, получим:
или

. (7)

Таким образом, (7) является общим решением уравнения (6).

Пример 1 . Найти общее решение дифференциального уравнения
.

Решение . Запишем уравнение в виде
или
. Проинтегрируем обе части полученного уравнения:
,
. Окончательно запишем
.

Пример 2 . Найти решение уравнения
при условии
.

Решение . Найдём общее решение уравнения:
,
,
,
. По условию
,
. Подставим в общее решение:
или
. Найденное значение произвольной постоянной подставим в формулу общего решения:
. Это и есть частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному условию.

Уравнение

(8)

Называется дифференциальным уравнением первого порядка, не содержащим независимой переменной . Запишем его в виде
или
. Проинтегрируем обе части последнего уравнения:
или
- общее решение уравнения (8).

Пример . Найти общее решение уравнения
.

Решение . Запишем это уравнение в виде:
или
. Тогда
,
,
,
. Таким образом,
– общее решение данного уравнения.

Уравнение вида

(9)

интегрируется с помощью разделения переменных. Для этого уравнение запишем в виде
, а затем с помощью операций умножения и деления приводим его к такой форме, чтобы в одну часть входила только функция отх и дифференциал dx , а во вторую часть – функция от у и дифференциал dy . Для этого обе части уравнения нужно умножить на dx и разделить на
. В результате получим уравнение

, (10)

в котором переменные х и у разделены. Проинтегрируем обе части уравнения (10):
. Полученное соотношение является общим интегралом уравнения (9).

Пример 3 . Проинтегрировать уравнение
.

Решение . Преобразуем уравнение и разделим переменные:
,
. Проинтегрируем:
,
или – общий интеграл данного уравнения.
.

Пусть уравнение задано в виде

Такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными в симметрической форме.

Для разделения переменных нужно обе части уравнения разделить на
:

. (12)

Полученное уравнение называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными . Проинтегрируем уравнение (12):

.(13)

Соотношение (13) является общим интегралом дифференциального уравнения (11).

Пример 4 . Проинтегрировать дифференциальное уравнение .

Решение . Запишем уравнение в виде

и разделим обе его части на
,
. Полученное уравнение:
является уравнением с разделёнными переменными. Проинтегрируем его:

,
,

,
. Последнее равенство является общим интегралом данного дифференциального уравнения.

Пример 5 . Найти частное решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее условию
.

Решение . Учитывая, что
, запишем уравнение в виде
или
. Разделим переменные:
. Проинтегрируем это уравнение:
,
,
. Полученное соотношение является общим интегралом данного уравнения. По условию
. Подставим в общий интеграл и найдёмС :
,С =1. Тогда выражение
является частным решением данного дифференциального уравнения, записанным в виде частного интеграла.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение

(14)

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка . Неизвестная функция
и её производная входят в это уравнение линейно, а функции
и
непрерывны.

Если
, то уравнение

(15)

называется линейным однородным . Если
, то уравнение (14) называетсялинейным неоднородным .

Для нахождения решения уравнения (14) обычно используют метод подстановки (Бернулли) , суть которого в следующем.

Решение уравнения (14) будем искать в виде произведения двух функций

, (16)

где
и
- некоторые непрерывные функции. Подставим
и производную
в уравнение (14):

Функцию v будем подбирать таким образом, чтобы выполнялось условие
. Тогда
. Таким образом, для нахождения решения уравнения (14) нужно решить систему дифференциальных уравнений

Первое уравнение системы является линейным однородным уравнением и решить его можно методом разделения переменных:
,
,
,
,
. В качестве функции
можно взять одно из частных решений однородного уравнения, т.е. приС =1:
. Подставим во второе уравнение системы:
или
.Тогда
. Таким образом, общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид
.

Пример 6 . Решить уравнение
.

Решение . Решение уравнения будем искать в виде
. Тогда
. Подставим в уравнение:

или
. Функциюv выберем таким образом, чтобы выполнялось равенство
. Тогда
. Решим первое из этих уравнений методом разделения переменных:
,
,
,
,. Функциюv подставим во второе уравнение:
,
,
,
. Общим решением данного уравнения является
.

Вопросы для самоконтроля знаний

Что называется дифференциальным уравнением?

Что называется порядком дифференциального уравнения?

Какое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка?

Как записывается дифференциальное уравнение первого порядка в дифференциальной форме?

Что называется решением дифференциального уравнения?

Что называется интегральной кривой?

Что называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка?

Что называется частным решением дифференциального уравнения?

Как формулируется задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка?

Какова геометрическая интерпретация задачи Коши?

Как записывается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными в симметрической форме?

Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка?

Каким методом можно решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка и в чём суть этого метода?

Задания для самостоятельной работы

Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

2. Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:

а)
; б)
; в)
;

г)
; д)
.

Дифференциальное уравнение - это уравнение, в которое входят функция и одна или несколько ее производных. В большинстве практических задач функции представляют собой физические величины, производные соответствуют скоростям изменения этих величин, а уравнение определяет связь между ними.

В данной статье рассмотрены методы решения некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых могут быть записаны в виде элементарных функций , то есть полиномиальных, экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических, а также обратных им функций. Многие из этих уравнений встречаются в реальной жизни, хотя большинство других дифференциальных уравнений нельзя решить данными методами, и для них ответ записывается в виде специальных функций или степенных рядов, либо находится численными методами.

Для понимания данной статьи необходимо владеть дифференциальным и интегральным исчислением, а также иметь некоторое представление о частных производных. Рекомендуется также знать основы линейной алгебры в применении к дифференциальным уравнениям, особенно к дифференциальным уравнениям второго порядка, хотя для их решения достаточно знания дифференциального и интегрального исчисления.

Предварительные сведения

• Дифференциальные уравнения имеют обширную классификацию. В настоящей статье рассказывается об обыкновенных дифференциальных уравнениях , то есть об уравнениях, в которые входит функция одной переменной и ее производные. Обыкновенные дифференциальные уравнения намного легче понять и решить, чем дифференциальные уравнения в частных производных , в которые входят функции нескольких переменных. В данной статье не рассматриваются дифференциальные уравнения в частных производных, поскольку методы решения этих уравнений обычно определяются их конкретным видом.
  • Ниже приведены несколько примеров обыкновенных дифференциальных уравнений.
    • d y d x = k y {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=ky}
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}x}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+kx=0}
  • Ниже приведены несколько примеров дифференциальных уравнений в частных производных.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=0}
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}
• Порядок дифференциального уравнения определяется по порядку старшей производной, входящей в данное уравнение. Первое из приведенных выше обыкновенных дифференциальных уравнений имеет первый порядок, в то время как второе относится к уравнениям второго порядка. Степенью дифференциального уравнения называется наивысшая степень, в которую возводится один из членов этого уравнения.
  • Например, приведенное ниже уравнение имеет третий порядок и вторую степень.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 {\displaystyle \left({\frac {{\mathrm {d} }^{3}y}{{\mathrm {d} }x^{3}}}\right)^{2}+{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=0}
• Дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением в том случае, если функция и все ее производные стоят в первой степени. В противном случае уравнение является нелинейным дифференциальным уравнением . Линейные дифференциальные уравнения примечательны тем, что из их решений можно составить линейные комбинации, которые также будут решениями данного уравнения.
  • Ниже приведены несколько примеров линейных дифференциальных уравнений.
  • Ниже приведены несколько примеров нелинейных дифференциальных уравнений. Первое уравнение является нелинейным из-за слагаемого с синусом.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}\theta }{{\mathrm {d} }t^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0}
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}x}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+\left({\frac {{\mathrm {d} }x}{{\mathrm {d} }t}}\right)^{2}+tx^{2}=0}
• Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения не является единственным, оно включает в себя произвольные постоянные интегрирования . В большинстве случаев число произвольных постоянных равно порядку уравнения. На практике значения этих констант определяются по заданным начальным условиям , то есть по значениям функции и ее производных при x = 0. {\displaystyle x=0.} Число начальных условий, которые необходимы для нахождения частного решения дифференциального уравнения, в большинстве случаев также равно порядку данного уравнения.
  • Например, в данной статье будет рассмотрено решение приведенного ниже уравнения. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение содержит две произвольные постоянные. Для нахождения этих постоянных необходимо знать начальные условия при x (0) {\displaystyle x(0)} и x ′ (0) . {\displaystyle x"(0).} Обычно начальные условия задаются в точке x = 0 , {\displaystyle x=0,} , хотя это и не обязательно. В данной статье будет рассмотрено также, как найти частные решения при заданных начальных условиях.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}x}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+k^{2}x=0}
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x {\displaystyle x(t)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx}

Шаги

Часть 1

Уравнения первого порядка

При использовании этого сервиса некоторая информация может быть передана YouTube.

1. Линейные уравнения первого порядка. В данном разделе рассмотрены методы решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка в общих и специальных случаях, когда некоторые члены равны нулю. Предположим, что y = y (x) , {\displaystyle y=y(x),} p (x) {\displaystyle p(x)} и q (x) {\displaystyle q(x)} являются функциями x . {\displaystyle x.}

   D y d x + p (x) y = q (x) {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+p(x)y=q(x)}
   

   P (x) = 0. {\displaystyle p(x)=0.} Согласно одной из основных теорем математического анализа, интеграл от производной функции также является функцией. Таким образом, достаточно просто проинтегрировать уравнение, чтобы найти его решение. При этом следует учесть, что при вычислении неопределенного интеграла появляется произвольная постоянная.

   • y (x) = ∫ q (x) d x {\displaystyle y(x)=\int q(x){\mathrm {d} }x}

   Q (x) = 0. {\displaystyle q(x)=0.} Используем метод разделения переменных . При этом различные переменные переносятся в разные стороны уравнения. Например, можно перенести все члены с y {\displaystyle y} в одну, а все члены с x {\displaystyle x} в другую сторону уравнения. Можно переносить также члены d x {\displaystyle {\mathrm {d} }x} и d y {\displaystyle {\mathrm {d} }y} , которые входят в выражения производных, однако следует помнить, что это всего лишь условное обозначение, которое удобно при дифференцировании сложной функции. Обсуждение этих членов, которые называются дифференциалами , выходит за рамки данной статьи.

   • Во-первых, необходимо перенести переменные по разные стороны знака равенства.
     • 1 y d y = − p (x) d x {\displaystyle {\frac {1}{y}}{\mathrm {d} }y=-p(x){\mathrm {d} }x}
   • Проинтегрируем обе стороны уравнения. После интегрирования с обеих сторон появятся произвольные постоянные, которые можно перенести в правую часть уравнения.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x {\displaystyle \ln y=\int -p(x){\mathrm {d} }x}
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x {\displaystyle y(x)=e^{-\int p(x){\mathrm {d} }x}}
   • Пример 1.1. На последнем шаге мы использовали правило e a + b = e a e b {\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}} и заменили e C {\displaystyle e^{C}} на C {\displaystyle C} , поскольку это также произвольная постоянная интегрирования.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}-2y\sin x=0}
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2y}}{\mathrm {d} }y&=\sin x{\mathrm {d} }x\\{\frac {1}{2}}\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^{-2\cos x}\end{aligned}}}

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. {\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.} Для нахождения общего решения мы ввели интегрирующий множитель в виде функции от x {\displaystyle x} , чтобы свести левую часть к общей производной и таким образом решить уравнение.

   • Умножим обе стороны на μ (x) {\displaystyle \mu (x)}
     • μ d y d x + μ p y = μ q {\displaystyle \mu {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+\mu py=\mu q}
   • Чтобы свести левую часть к общей производной, необходимо сделать следующие преобразования:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}(\mu y)={\frac {{\mathrm {d} }\mu }{{\mathrm {d} }x}}y+\mu {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=\mu {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+\mu py}
   • Последнее равенство означает, что d μ d x = μ p {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }\mu }{{\mathrm {d} }x}}=\mu p} . Это интегрирующий множитель, которого достаточно для решения любого линейного уравнения первого порядка. Теперь можно вывести формулу решения данного уравнения относительно μ , {\displaystyle \mu ,} хотя для тренировки полезно проделать все промежуточные вычисления.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x {\displaystyle \mu (x)=e^{\int p(x){\mathrm {d} }x}}
   • Пример 1.2. В данном примере рассмотрено, как найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 {\displaystyle t{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }t}}+2y=t^{2},\quad y(2)=3}
     • d y d t + 2 t y = t {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }t}}+{\frac {2}{t}}y=t}
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 {\displaystyle \mu (x)=e^{\int p(t){\mathrm {d} }t}=e^{2\ln t}=t^{2}}
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }t}}(t^{2}y)&=t^{3}\\t^{2}y&={\frac {1}{4}}t^{4}+C\\y(t)&={\frac {1}{4}}t^{2}+{\frac {C}{t^{2}}}\end{aligned}}}
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 {\displaystyle 3=y(2)=1+{\frac {C}{4}},\quad C=8}
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 {\displaystyle y(t)={\frac {1}{4}}t^{2}+{\frac {8}{t^{2}}}}
   
   Решение линейных уравнений первого порядка (запись Интуита – национального открытого университета).

2. Нелинейные уравнения первого порядка . В данном разделе рассмотрены методы решения некоторых нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Хотя и не существует общего метода решения таких уравнений, некоторые из них можно решить с помощью приведенных ниже методов.

   D y d x = f (x , y) {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=f(x,y)}
   d y d x = h (x) g (y) . {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=h(x)g(y).} Если функцию f (x , y) = h (x) g (y) {\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)} можно разделить на функции одной переменной, такое уравнение называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными . В этом случае можно воспользоваться приведенным выше методом:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x {\displaystyle \int {\frac {{\mathrm {d} }y}{h(y)}}=\int g(x){\mathrm {d} }x}
   • Пример 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}={\frac {x^{3}}{y(1+x^{4})}}}
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int y{\mathrm {d} }y&=\int {\frac {x^{3}}{1+x^{4}}}{\mathrm {d} }x\\{\frac {1}{2}}y^{2}&={\frac {1}{4}}\ln(1+x^{4})+C\\y(x)&={\frac {1}{2}}\ln(1+x^{4})+C\end{aligned}}}

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}={\frac {g(x,y)}{h(x,y)}}.} Предположим, что g (x , y) {\displaystyle g(x,y)} и h (x , y) {\displaystyle h(x,y)} являются функциями x {\displaystyle x} и y . {\displaystyle y.} Тогда однородным дифференциальным уравнением называется такое уравнение, в котором g {\displaystyle g} и h {\displaystyle h} являются однородными функциями одинаковой степени. То есть функции должны удовлетворять условию g (α x , α y) = α k g (x , y) , {\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^{k}g(x,y),} где k {\displaystyle k} называется степенью однородности. Любое однородное дифференциальное уравнение можно путем подходящей замены переменных ( v = y / x {\displaystyle v=y/x} или v = x / y {\displaystyle v=x/y} ) преобразовать в уравнение с разделяющимися переменными.

   • Пример 1.4. Приведенное выше описание однородности может показаться неясным. Рассмотрим это понятие на примере.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}={\frac {y^{3}-x^{3}}{y^{2}x}}}
     • Для начала следует отметить, что это уравнение нелинейно относительно y . {\displaystyle y.} Также мы видим, что в данном случае нельзя разделить переменные. Вместе с тем это дифференциальное уравнение является однородным, поскольку и числитель, и знаменатель однородны со степенью 3. Следовательно, мы можем произвести замену переменных v = y / x . {\displaystyle v=y/x.}
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}={\frac {y}{x}}-{\frac {x^{2}}{y^{2}}}=v-{\frac {1}{v^{2}}}}
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v {\displaystyle y=vx,\quad {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}={\frac {{\mathrm {d} }v}{{\mathrm {d} }x}}x+v}
     • d v d x x = − 1 v 2 . {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }v}{{\mathrm {d} }x}}x=-{\frac {1}{v^{2}}}.} В результате мы имеем уравнение для v {\displaystyle v} с разделяющимися переменными.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 {\displaystyle v(x)={\sqrt[{3}]{-3\ln x+C}}}
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 {\displaystyle y(x)=x{\sqrt[{3}]{-3\ln x+C}}}

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=p(x)y+q(x)y^{n}.} Это дифференциальное уравнение Бернулли - особый вид нелинейного уравнения первой степени, решение которого может быть записано с помощью элементарных функций.

   • Умножим обе стороны уравнения на (1 − n) y − n {\displaystyle (1-n)y^{-n}} :
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) {\displaystyle (1-n)y^{-n}{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=p(x)(1-n)y^{1-n}+(1-n)q(x)}
   • Используем с левой стороны правило дифференцирования сложной функции и преобразуем уравнение в линейное уравнение относительно y 1 − n , {\displaystyle y^{1-n},} которое можно решить приведенными выше методами.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y^{1-n}}{{\mathrm {d} }x}}=p(x)(1-n)y^{1-n}+(1-n)q(x)}

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. {\displaystyle M(x,y)+N(x,y){\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=0.} Это уравнение в полных дифференциалах . Необходимо найти так называемую потенциальную функцию φ (x , y) , {\displaystyle \varphi (x,y),} , которая удовлетворяет условию d φ d x = 0. {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }\varphi }{{\mathrm {d} }x}}=0.}

   • Для выполнения данного условия необходимо наличие полной производной . Полная производная учитывает зависимость от других переменных. Чтобы вычислить полную производную φ {\displaystyle \varphi } по x , {\displaystyle x,} мы предполагаем, что y {\displaystyle y} может также зависеть от x . {\displaystyle x.}
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }\varphi }{{\mathrm {d} }x}}={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}}
   • Сравнение слагаемых дает нам M (x , y) = ∂ φ ∂ x {\displaystyle M(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}} и N (x , y) = ∂ φ ∂ y . {\displaystyle N(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}.} Это типичный результат для уравнений с несколькими переменными, при котором смешанные производные гладких функций равны друг другу. Иногда такой случай называют теоремой Клеро . В этом случае дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется следующее условие:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}}
   • Метод решения уравнений в полных дифференциалах аналогичен нахождению потенциальных функций при наличии нескольких производных, на чем мы кратко остановимся. Сначала проинтегрируем M {\displaystyle M} по x . {\displaystyle x.} Поскольку M {\displaystyle M} является функцией и x {\displaystyle x} , и y , {\displaystyle y,} при интегрировании мы получим неполную функцию φ , {\displaystyle \varphi ,} обозначенную как φ ~ {\displaystyle {\tilde {\varphi }}} . В результат входит также зависящая от y {\displaystyle y} постоянная интегрирования.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) {\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y){\mathrm {d} }x={\tilde {\varphi }}(x,y)+c(y)}
   • После этого для получения c (y) {\displaystyle c(y)} можно взять частную производную полученной функции по y , {\displaystyle y,} приравнять результат N (x , y) {\displaystyle N(x,y)} и проинтегрировать. Можно также сначала проинтегрировать N {\displaystyle N} , а затем взять частную производную по x {\displaystyle x} , что позволит найти произвольную функцию d (x) . {\displaystyle d(x).} Подходят оба метода, и обычно для интегрирования выбирается более простая функция.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y {\displaystyle N(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}={\frac {\partial {\tilde {\varphi }}}{\partial y}}+{\frac {{\mathrm {d} }c}{{\mathrm {d} }y}}}
   • Пример 1.5. Можно взять частные производные и убедиться в том, что приведенное ниже уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 {\displaystyle 3x^{2}+y^{2}+2xy{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=0}
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\int (3x^{2}+y^{2}){\mathrm {d} }x=x^{3}+xy^{2}+c(y)\\{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}&=N(x,y)=2xy+{\frac {{\mathrm {d} }c}{{\mathrm {d} }y}}\end{aligned}}}
     • d c d y = 0 , c (y) = C {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }c}{{\mathrm {d} }y}}=0,\quad c(y)=C}
     • x 3 + x y 2 = C {\displaystyle x^{3}+xy^{2}=C}
   • Если дифференциальное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, в некоторых случаях можно найти интегрирующий множитель, который позволит преобразовать его в уравнение в полных дифференциалах. Однако подобные уравнения редко применяются на практике, и хотя интегрирующий множитель существует , найти его бывает непросто , поэтому эти уравнения не рассматриваются в данной статье.

Часть 2

Уравнения второго порядка

1. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Эти уравнения широко используются на практике, поэтому их решение имеет первоочередное значение. В данном случае речь идет не об однородных функциях, а о том, что в правой части уравнения стоит 0. В следующем разделе будет показано, как решаются соответствующие неоднородные дифференциальные уравнения. Ниже a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} являются константами.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+a{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+by=0}
   

   Характеристическое уравнение . Данное дифференциальное уравнение примечательно тем, что его можно очень легко решить, если обратить внимание на то, какими свойствами должны обладать его решения. Из уравнения видно, что y {\displaystyle y} и его производные пропорциональны друг другу. Из предыдущих примеров, которые были рассмотрены в разделе об уравнениях первого порядка, мы знаем, что таким свойством обладает лишь экспоненциальная функция. Следовательно, можно выдвинуть анзац (обоснованное предположение) о том, каким будет решение данного уравнения.

   • Решение будет иметь вид экспоненциальной функции e r x , {\displaystyle e^{rx},} где r {\displaystyle r} - постоянная, значение которой следует найти. Подставим эту функцию в уравнение и получим следующее выражение
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 {\displaystyle e^{rx}(r^{2}+ar+b)=0}
   • Это уравнение свидетельствует о том, что произведение экспоненциальной функции и полинома должно равняться нулю. Известно, что экспонента не может равняться нулю ни при каких значениях степени. Отсюда заключаем, что нулю равен полином. Таким образом, мы свели задачу решения дифференциального уравнения к намного более простой задаче решения алгебраического уравнения, которое называется характеристическим уравнением для данного дифференциального уравнения.
     • r 2 + a r + b = 0 {\displaystyle r^{2}+ar+b=0}
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 {\displaystyle r_{\pm }={\frac {-a\pm {\sqrt {a^{2}-4b}}}{2}}}
   • Мы получили два корня. Поскольку данное дифференциальное уравнение является линейным, его общее решение представляет собой линейную комбинацию частных решений. Так как это уравнение второго порядка, мы знаем, что это действительно общее решение, и других не существует. Более строгое обоснование этого заключается в теоремах о существовании и единственности решения, которые можно найти в учебниках.
   • Полезный способ проверить, являются ли два решения линейно независимыми, заключается в вычислении вронскиана . Вронскиан W {\displaystyle W} - это определитель матрицы, в колонках которой стоят функции и их последовательные производные. Теорема линейной алгебры гласит, что входящие в вронскиан функции линейно зависимы, если вронскиан равен нулю. В данном разделе мы можем проверить, являются ли два решения линейно независимыми - для этого необходимо убедиться, что вронскиан не равен нулю. Вронскиан важен при решении неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом вариации параметров.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | {\displaystyle W={\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\y_{1}"&y_{2}"\end{vmatrix}}}
   • В терминах линейной алгебры множество всех решений данного дифференциального уравнения образует векторное пространство, размерность которого равна порядку дифференциального уравнения. В этом пространстве можно выбрать базис из линейно независимых друг от друга решений. Это возможно благодаря тому, что на функцию y (x) {\displaystyle y(x)} действует линейный оператор . Производная является линейным оператором, поскольку она преобразует пространство дифференцируемых функций в пространство всех функций. Уравнения называются однородными в тех случаях, когда для какого-либо линейного оператора L {\displaystyle L} требуется найти решение уравнения L [ y ] = 0. {\displaystyle L[y]=0.}

   Перейдем теперь к рассмотрению нескольких конкретных примеров. Случай кратных корней характеристического уравнения рассмотрим чуть позже, в разделе о понижении порядка.

   Если корни r ± {\displaystyle r_{\pm }} являются различными действительными числами, дифференциальное уравнение имеет следующее решение

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x {\displaystyle y(x)=c_{1}e^{r_{+}x}+c_{2}e^{r_{-}x}}

   Два комплексных корня. Из основной теоремы алгебры следует, что решения решения полиномиальных уравнений с действительными коэффициентами имеют корни, которые вещественны или образуют сопряженные пары. Следовательно, если комплексное число r = α + i β {\displaystyle r=\alpha +i\beta } является корнем характеристического уравнения, тогда r ∗ = α − i β {\displaystyle r^{*}=\alpha -i\beta } также является корнем этого уравнения. Таким образом, можно записать решение в виде c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , {\displaystyle c_{1}e^{(\alpha +i\beta)x}+c_{2}e^{(\alpha -i\beta)x},} однако это комплексное число, и оно нежелательно при решении практических задач.

   • Вместо этого можно использовать формулу Эйлера e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} , которая позволяет записать решение в виде тригонометрических функций:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) {\displaystyle e^{\alpha x}(c_{1}\cos \beta x+ic_{1}\sin \beta x+c_{2}\cos \beta x-ic_{2}\sin \beta x)}
   • Теперь можно вместо постоянной c 1 + c 2 {\displaystyle c_{1}+c_{2}} записать c 1 {\displaystyle c_{1}} , а выражение i (c 1 − c 2) {\displaystyle i(c_{1}-c_{2})} заменить на c 2 . {\displaystyle c_{2}.} После этого получаем следующее решение:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) {\displaystyle y(x)=e^{\alpha x}(c_{1}\cos \beta x+c_{2}\sin \beta x)}
   • Есть и другой способ записать решение в виде амплитуды и фазы, который лучше подходит для физических задач.
   • Пример 2.1. Найдем решение приведенного ниже дифференциального уравнения с заданными начальными условиями. Для этого необходимо взять полученное решение, а также его производную , и подставить их в начальные условия, что позволит определить произвольные постоянные.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}x}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+3{\frac {{\mathrm {d} }x}{{\mathrm {d} }t}}+10x=0,\quad x(0)=1,\ x"(0)=-1}
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i {\displaystyle r^{2}+3r+10=0,\quad r_{\pm }={\frac {-3\pm {\sqrt {9-40}}}{2}}=-{\frac {3}{2}}\pm {\frac {\sqrt {31}}{2}}i}
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) {\displaystyle x(t)=e^{-3t/2}\left(c_{1}\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+c_{2}\sin {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)}
     • x (0) = 1 = c 1 {\displaystyle x(0)=1=c_{1}}
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) {\displaystyle {\begin{aligned}x"(t)&=-{\frac {3}{2}}e^{-3t/2}\left(c_{1}\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+c_{2}\sin {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)\\&+e^{-3t/2}\left(-{\frac {\sqrt {31}}{2}}c_{1}\sin {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+{\frac {\sqrt {31}}{2}}c_{2}\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)\end{aligned}}}
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 {\displaystyle x"(0)=-1=-{\frac {3}{2}}c_{1}+{\frac {\sqrt {31}}{2}}c_{2},\quad c_{2}={\frac {1}{\sqrt {31}}}}
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) {\displaystyle x(t)=e^{-3t/2}\left(\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+{\frac {1}{\sqrt {31}}}\sin {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)}
   
   Решение дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами (запись Интуита – национального открытого университета).

2. Понижение порядка. Понижение порядка представляет собой метод решения дифференциальных уравнений в случае, когда известно одно линейно независимое решение. Данный метод заключается в понижении порядка уравнения на один, что позволяет решить уравнение методами, которые описаны в предыдущем разделе. Пусть известно решение . Основная идея понижения порядка заключается в поиске решения в представленном ниже виде, где необходимо определить функцию v (x) {\displaystyle v(x)} , подстановке его в дифференциальное уравнение и нахождении v (x) . {\displaystyle v(x).} Рассмотрим, как можно использовать понижение порядка для решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и кратными корнями.

   
   

   Кратные корни однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Вспомним о том, что уравнение второго порядка должно иметь два линейно независимых решения. Если характеристическое уравнение имеет кратные корни, множество решений не образует пространство, поскольку эти решения линейно зависимы. В этом случае необходимо использовать понижение порядка, чтобы найти второе линейно независимое решение.

   • Пусть характеристическое уравнение имеет кратные корни r {\displaystyle r} . Предположим, что второе решение можно записать в виде y (x) = e r x v (x) {\displaystyle y(x)=e^{rx}v(x)} , и подставим его в дифференциальное уравнение. При этом большинство членов, за исключением слагаемого со второй производной функции v , {\displaystyle v,} сократятся.
     • v ″ (x) e r x = 0 {\displaystyle v""(x)e^{rx}=0}
   • Пример 2.2. Пусть дано приведенное ниже уравнение, которое имеет кратные корни r = − 4. {\displaystyle r=-4.} При подстановке сокращается большинство членов.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+8{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+16y=0}
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x {\displaystyle {\begin{aligned}y&=v(x)e^{-4x}\\y"&=v"(x)e^{-4x}-4v(x)e^{-4x}\\y""&=v""(x)e^{-4x}-8v"(x)e^{-4x}+16v(x)e^{-4x}\end{aligned}}}
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}v""e^{-4x}&-{\cancel {8v"e^{-4x}}}+{\cancel {16ve^{-4x}}}\\&+{\cancel {8v"e^{-4x}}}-{\cancel {32ve^{-4x}}}+{\cancel {16ve^{-4x}}}=0\end{aligned}}}
   • Подобно нашему анзацу для дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в данном случае нулю может быть равна лишь вторая производная. Интегрируем два раза и получаем искомое выражение для v {\displaystyle v} :
     • v (x) = c 1 + c 2 x {\displaystyle v(x)=c_{1}+c_{2}x}
   • Тогда общее решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в том случае, если характеристическое уравнение имеет кратные корни, может быть записано в следующем виде. Для удобства можно запомнить, что для получения линейной независимости достаточно просто умножить второе слагаемое на x {\displaystyle x} . Этот набор решений является линейно независимым, и таким образом мы нашли все решения данного уравнения.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x {\displaystyle y(x)=(c_{1}+c_{2}x)e^{rx}}

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+p(x){\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+q(x)y=0.} Понижение порядка применимо в том случае, если известно решение y 1 (x) {\displaystyle y_{1}(x)} , которое может быть найдено или дано в условии задачи.

   • Мы ищем решение в виде y (x) = v (x) y 1 (x) {\displaystyle y(x)=v(x)y_{1}(x)} и подставляем его в данное уравнение:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 {\displaystyle v""y_{1}+2v"y_{1}"+p(x)v"y_{1}+v(y_{1}""+p(x)y_{1}"+q(x))=0}
   • Поскольку y 1 {\displaystyle y_{1}} является решением дифференциального уравнения, все члены с v {\displaystyle v} сокращаются. В итоге остается линейное уравнение первого порядка . Чтобы яснее увидеть это, произведем замену переменных w (x) = v ′ (x) {\displaystyle w(x)=v"(x)} :
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 {\displaystyle y_{1}w"+(2y_{1}"+p(x)y_{1})w=0}
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) {\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left({\frac {2y_{1}"(x)}{y_{1}(x)}}+p(x)\right){\mathrm {d} }x\right)}
     • v (x) = ∫ w (x) d x {\displaystyle v(x)=\int w(x){\mathrm {d} }x}
   • Если интегралы могут быть вычислены, мы получаем общее решение в виде комбинации элементарных функций. В противном случае решение можно оставить в интегральном виде.

3. Уравнение Коши-Эйлера. Уравнение Коши-Эйлера является примером дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, которое имеет точные решения. Это уравнение применяется на практике, например для решения уравнения Лапласа в сферических координатах.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+ax{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+by=0}
   

   Характеристическое уравнение. Как видно, в данном дифференциальном уравнении каждый член содержит степенной множитель, степень которого равна порядку соответствующей производной.

   • Таким образом, можно попробовать искать решение в виде y (x) = x n , {\displaystyle y(x)=x^{n},} где необходимо определить n {\displaystyle n} , подобно тому, как мы искали решение в виде экспоненциальной функции для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. После дифференцирования и подстановки получаем
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 {\displaystyle x^{n}(n^{2}+(a-1)n+b)=0}
   • Чтобы воспользоваться характеристическим уравнением, следует предположить, что x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} . Точка x = 0 {\displaystyle x=0} называется регулярной особой точкой дифференциального уравнения. Такие точки важны при решении дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Данное уравнение имеет два корня, которые могут быть различными и действительными, кратными или комплексно сопряженными.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 {\displaystyle n_{\pm }={\frac {1-a\pm {\sqrt {(a-1)^{2}-4b}}}{2}}}

   Два различных действительных корня. Если корни n ± {\displaystyle n_{\pm }} действительны и различны, тогда решение дифференциального уравнения имеет следующий вид:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − {\displaystyle y(x)=c_{1}x^{n_{+}}+c_{2}x^{n_{-}}}

   Два комплексных корня. Если характеристическое уравнение имеет корни n ± = α ± β i {\displaystyle n_{\pm }=\alpha \pm \beta i} , решением является комплексная функция.

   • Чтобы преобразовать решение в действительную функцию, произведем замену переменных x = e t , {\displaystyle x=e^{t},} то есть t = ln ⁡ x , {\displaystyle t=\ln x,} и используем формулу Эйлера. Подобные действия выполнялись ранее при определении произвольных постоянных.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) {\displaystyle y(t)=e^{\alpha t}(c_{1}e^{\beta it}+c_{2}e^{-\beta it})}
   • Тогда общее решение можно записать в виде
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) {\displaystyle y(x)=x^{\alpha }(c_{1}\cos(\beta \ln x)+c_{2}\sin(\beta \ln x))}

   Кратные корни. Чтобы получить второе линейно независимое решение, необходимо вновь провести понижение порядка.

   • Требуется довольно много вычислений, но принцип остается тем же: мы подставляем y = v (x) y 1 {\displaystyle y=v(x)y_{1}} в уравнение, первым решением которого является y 1 {\displaystyle y_{1}} . После сокращений получается следующее уравнение:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 {\displaystyle v""+{\frac {1}{x}}v"=0}
   • Это линейное уравнение первого порядка относительно v ′ (x) . {\displaystyle v"(x).} Его решением является v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . {\displaystyle v(x)=c_{1}+c_{2}\ln x.} Таким образом, решение можно записать в следующем виде. Это довольно просто запомнить - для получения второго линейно независимого решения просто требуется дополнительный член с ln ⁡ x {\displaystyle \ln x} .
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) {\displaystyle y(x)=x^{n}(c_{1}+c_{2}\ln x)}

4. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Неоднородные уравнения имеют вид L [ y (x) ] = f (x) , {\displaystyle L=f(x),} где f (x) {\displaystyle f(x)} - так называемый свободный член . Согласно теории дифференциальных уравнений, общее решение данного уравнения представляет собой суперпозицию частного решения y p (x) {\displaystyle y_{p}(x)} и дополнительного решения y c (x) . {\displaystyle y_{c}(x).} Однако в данном случае частное решение означает не решение, заданное начальными условиями, а скорее такое решение, которое обусловлено наличием неоднородности (свободным членом). Дополнительное решение - это решение соответствующего однородного уравнения, в котором f (x) = 0. {\displaystyle f(x)=0.} Общее решение представляет собой суперпозицию этих двух решений, поскольку L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) {\displaystyle L=L+L=f(x)} , а так как L [ y c ] = 0 , {\displaystyle L=0,} такая суперпозиция действительно является общим решением.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+a{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+by=f(x)}
   

   Метод неопределенных коэффициентов. Метод неопределенных коэффициентов применяется в тех случаях, когда свободный член представляет собой комбинацию экспоненциальных, тригонометрических, гиперболических или степенных функций. Лишь эти функции гарантированно имеют конечное число линейно независимых производных. В данном разделе мы найдем частное решение уравнения.

   • Сравним члены в f (x) {\displaystyle f(x)} с членами в не обращая внимание на постоянные множители. Возможны три случая.
     • Нет одинаковых членов. В этом случае частное решение y p {\displaystyle y_{p}} будет представлять собой линейную комбинацию членов из y p {\displaystyle y_{p}}
     • f (x) {\displaystyle f(x)} содержит член x n {\displaystyle x^{n}} и члена из y c , {\displaystyle y_{c},} где n {\displaystyle n} является нулем или положительным целым числом, причем этот член соответствует отдельному корню характеристического уравнения. В этом случае y p {\displaystyle y_{p}} будет состоять из комбинации функции x n + 1 h (x) , {\displaystyle x^{n+1}h(x),} ее линейно независимых производных, а также других членов f (x) {\displaystyle f(x)} и их линейно независимых производных.
     • f (x) {\displaystyle f(x)} содержит член h (x) , {\displaystyle h(x),} который представляет собой произведение x n {\displaystyle x^{n}} и члена из y c , {\displaystyle y_{c},} где n {\displaystyle n} равно 0 или положительному целому числу, причем этот член соответствует кратному корню характеристического уравнения. В этом случае y p {\displaystyle y_{p}} представляет собой линейную комбинацию функции x n + s h (x) {\displaystyle x^{n+s}h(x)} (где s {\displaystyle s} - кратность корня) и ее линейно независимых производных, а также других членов функции f (x) {\displaystyle f(x)} и ее линейно независимых производных.
   • Запишем y p {\displaystyle y_{p}} в виде линейной комбинации перечисленных выше членов. Благодаря этим коэффициентам в линейной комбинации данный метод получил название "метода неопределенных коэффициентов". При появлении содержащихся в y c {\displaystyle y_{c}} членов их можно отбросить ввиду наличия произвольных постоянных в y c . {\displaystyle y_{c}.} После этого подставляем y p {\displaystyle y_{p}} в уравнение и приравниваем схожие члены.
   • Определяем коэффициенты. На данном этапе получается система алгебраических уравнений, которую обычно можно решить без особых проблем. Решение этой системы позволяет получить y p {\displaystyle y_{p}} и тем самым решить уравнение.
   • Пример 2.3. Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение, свободный член которого содержит конечное число линейно независимых производных. Частное решение такого уравнения можно найти методом неопределенных коэффициентов.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+6y=2e^{3t}-\cos 5t}
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t {\displaystyle y_{c}(t)=c_{1}\cos {\sqrt {6}}t+c_{2}\sin {\sqrt {6}}t}
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t {\displaystyle y_{p}(t)=Ae^{3t}+B\cos 5t+C\sin 5t}
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t {\displaystyle {\begin{aligned}9Ae^{3t}-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^{3t}\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^{3t}-\cos 5t\end{aligned}}}
     • { 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 {\displaystyle {\begin{cases}9A+6A=2,&A={\dfrac {2}{15}}\\-25B+6B=-1,&B={\dfrac {1}{19}}\\-25C+6C=0,&C=0\end{cases}}}
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t {\displaystyle y(t)=c_{1}\cos {\sqrt {6}}t+c_{2}\sin {\sqrt {6}}t+{\frac {2}{15}}e^{3t}+{\frac {1}{19}}\cos 5t}

   Метод Лагранжа. Метод Лагранжа, или метод вариации произвольных постоянных, представляет собой более общий метод решения неоднородных дифференциальных уравнений, особенно в тех случаях, когда свободный член не содержит конечное число линейно независимых производных. Например, при свободных членах tan ⁡ x {\displaystyle \tan x} или x − n {\displaystyle x^{-n}} для нахождения частного решения необходимо использовать метод Лагранжа. Метод Лагранжа можно даже использовать для решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, хотя в этом случае, за исключением уравнения Коши-Эйлера, он применяется реже, поскольку дополнительное решение обычно не выражается через элементарные функции.

   • Предположим, что решение имеет следующий вид. Его производная приведена во второй строке.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) {\displaystyle y(x)=v_{1}(x)y_{1}(x)+v_{2}(x)y_{2}(x)}
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ {\displaystyle y"=v_{1}"y_{1}+v_{1}y_{1}"+v_{2}"y_{2}+v_{2}y_{2}"}
   • Поскольку предполагаемое решение содержит две неизвестных величины, необходимо наложить дополнительное условие. Выберем это дополнительное условие в следующем виде:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 {\displaystyle v_{1}"y_{1}+v_{2}"y_{2}=0}
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ {\displaystyle y"=v_{1}y_{1}"+v_{2}y_{2}"}
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ {\displaystyle y""=v_{1}"y_{1}"+v_{1}y_{1}""+v_{2}"y_{2}"+v_{2}y_{2}""}
   • Теперь мы можем получить второе уравнение. После подстановки и перераспределения членов можно сгруппировать вместе члены с v 1 {\displaystyle v_{1}} и члены с v 2 {\displaystyle v_{2}} . Эти члены сокращаются, поскольку y 1 {\displaystyle y_{1}} и y 2 {\displaystyle y_{2}} являются решениями соответствующего однородного уравнения. В результате получаем следующую систему уравнений
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) {\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}"y_{1}+v_{2}"y_{2}&=0\\v_{1}"y_{1}"+v_{2}"y_{2}"&=f(x)\\\end{aligned}}}
   • Эту систему можно преобразовать в матричное уравнение вида A x = b , {\displaystyle A{\mathbf {x} }={\mathbf {b} },} решением которого является x = A − 1 b . {\displaystyle {\mathbf {x} }=A^{-1}{\mathbf {b} }.} Для матрицы 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} обратная матрица находится путем деления на определитель, перестановки диагональных элементов и изменением знака недиагональных элементов. Фактически, определитель данной матрицы является вронскианом.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) {\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}"\\v_{2}"\end{pmatrix}}={\frac {1}{W}}{\begin{pmatrix}y_{2}"&-y_{2}\\-y_{1}"&y_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\f(x)\end{pmatrix}}}
   • Выражения для v 1 {\displaystyle v_{1}} и v 2 {\displaystyle v_{2}} приведены ниже. Как и в методе понижения порядка, в данном случае при интегрировании появляется произвольная постоянная, которая включает дополнительное решение в общее решение дифференциального уравнения.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x {\displaystyle v_{1}(x)=-\int {\frac {1}{W}}f(x)y_{2}(x){\mathrm {d} }x}
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x {\displaystyle v_{2}(x)=\int {\frac {1}{W}}f(x)y_{1}(x){\mathrm {d} }x}
   
   Лекция национального открытого университета Интуит под названием "Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами".

Практическое применение

Дифференциальные уравнения устанавливают связь между функцией и одной или несколькими ее производными. Поскольку подобные связи чрезвычайно распространены, дифференциальные уравнения нашли широкое применение в самых разных сферах, а так как мы живем в четырех измерениях, эти уравнения часто представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных. В данном разделе рассмотрены некоторые из наиболее важных уравнений этого типа.

• Экспоненциальный рост и распад. Радиоактивный распад. Составные проценты. Скорость химических реакций. Концентрация лекарств в крови. Неограниченный рост популяции. Закон Ньютона-Рихмана. В реальном мире существует множество систем, в которых скорость роста или распада в любой момент времени пропорциональна количеству в данный момент времени или может быть хорошо аппроксимирована моделью. Это объясняется тем, что решение данного дифференциального уравнения, экспоненциальная функция, является одной из наиболее важных функций в математике и других науках. В более общем случае при контролируемом росте популяции система может включать дополнительные члены, которые ограничивают рост. В приведенном ниже уравнении постоянная k {\displaystyle k} может быть как больше, так и меньше нуля.
  • d y d x = k x {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=kx}
• Гармонические колебания. И в классической, и в квантовой механике гармонический осциллятор является одной из наиболее важных физических систем благодаря своей простоте и широкому применению для аппроксимации более сложных систем, таких как простой маятник. В классической механике гармонические колебания описываются уравнением, которое связывает положение материальной точки с ее ускорением посредством закона Гука. При этом можно учитывать также демпфирующие и движущие силы. В приведенном ниже выражении x ˙ {\displaystyle {\dot {x}}} - производная по времени от x , {\displaystyle x,} β {\displaystyle \beta } - параметр, который описывает демпфирующую силу, ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} - угловая частота системы, F (t) {\displaystyle F(t)} - зависящая от времени движущая сила. Гармонический осциллятор присутствует также в электромагнитных колебательных контурах, где его можно реализовать с большей точностью, чем в механических системах.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) {\displaystyle {\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=F(t)}
• Уравнение Бесселя. Дифференциальное уравнение Бесселя используется во многих областях физики, в том числе для решения волнового уравнения, уравнения Лапласа и уравнения Шредингера, особенно при наличии цилиндрической или сферической симметрии. Это дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами не является уравнением Коши-Эйлера, поэтому его решения не могут быть записаны в виде элементарных функций. Решениями уравнения Бесселя являются функции Бесселя, которые хорошо изучены благодаря тому, что применяются во многих областях. В выражении ниже α {\displaystyle \alpha } - константа, которая соответствует порядку функции Бесселя.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+x{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0}
• Уравнения Максвелла. Наряду с силой Лоренца уравнения Максвелла составляют основу классической электродинамики. Это четыре дифференциальных уравнения в частных производных для электрического E (r , t) {\displaystyle {\mathbf {E} }({\mathbf {r} },t)} и магнитного B (r , t) {\displaystyle {\mathbf {B} }({\mathbf {r} },t)} поля. В приведенных ниже выражениях ρ = ρ (r , t) {\displaystyle \rho =\rho ({\mathbf {r} },t)} - плотность заряда, J = J (r , t) {\displaystyle {\mathbf {J} }={\mathbf {J} }({\mathbf {r} },t)} - плотность тока, а ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} и μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} - соответственно электрическая и магнитная постоянные.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\mathbf {E} }&={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\\nabla \cdot {\mathbf {B} }&=0\\\nabla \times {\mathbf {E} }&=-{\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}\\\nabla \times {\mathbf {B} }&=\mu _{0}{\mathbf {J} }+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\partial t}}\end{aligned}}}
• Уравнение Шредингера. В квантовой механике уравнение Шредингера является основным уравнением движения, которое описывает перемещение частиц в соответствии с изменением волновой функции Ψ = Ψ (r , t) {\displaystyle \Psi =\Psi ({\mathbf {r} },t)} со временем. Уравнение движения описывается поведением гамильтониана H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} - оператора , который описывает энергию системы. Одним из широко известных примеров уравнения Шредингера в физике является уравнение для одной нерелятивистской частицы, на которую действует потенциал V (r , t) {\displaystyle V({\mathbf {r} },t)} . Многие системы описываются зависящим от времени уравнением Шредингера, при этом в левой части уравнения стоит E Ψ , {\displaystyle E\Psi ,} где E {\displaystyle E} - энергия частицы. В выражениях ниже ℏ {\displaystyle \hbar } - приведенная постоянная Планка.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi }
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\mathbf {r} },t)\right)\Psi }
• Волновое уравнение. Без волн нельзя представить физику и технику, они присутствуют во всех типах систем. В общем случае волны описываются приведенным ниже уравнением, в котором u = u (r , t) {\displaystyle u=u({\mathbf {r} },t)} является искомой функцией, а c {\displaystyle c} - экспериментально определяемая постоянная. Даламбер был первым, кто обнаружил, что для одномерного случая решением волнового уравнения является любая функция с аргументом x − c t {\displaystyle x-ct} , которая описывает волну произвольной формы, распространяющуюся вправо. Общее решение для одномерного случая представляет собой линейную комбинацию этой функции со второй функцией с аргументом x + c t {\displaystyle x+ct} , которая описывает волну, распространяющуюся влево. Это решение представлено во второй строке.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}u}
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) {\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)}
• Уравнения Навье-Стокса. Уравнения Навье-Стокса описывают движение жидкостей. Поскольку жидкости присутствуют практически в каждой области науки и техники, эти уравнения чрезвычайно важны для предсказания погоды, конструирования самолетов, изучения океанских течений и решения множества других прикладных задач. Уравнения Навье-Стокса являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, и в большинстве случаев решить их очень сложно, поскольку нелинейность приводит к турбулентности, и для получения устойчивого решения численными методами необходимо разбиение на очень мелкие ячейки, что требует значительных вычислительных мощностей. Для практических целей в гидродинамике для моделирования турбулентных потоков используют такие методы, как усреднение по времени. Сложными задачами являются даже более основные вопросы, такие как существование и единственность решений для нелинейных уравнений в частных производных, а доказательство существования и единственности решения для уравнений Навье-Стокса в трех измерениях входит в число математических задач тысячелетия. Ниже приведены уравнение потока несжимаемой жидкости и уравнение непрерывности.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathbf {u} }}{\partial t}}+({\mathbf {u} }\cdot \nabla){\mathbf {u} }-\nu \nabla ^{2}{\mathbf {u} }=-\nabla h,\quad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\mathbf {u} })=0}

• Многие дифференциальные уравнения просто невозможно решить приведенными выше методами, особенно упомянутые в последнем разделе. Это касается тех случаев, когда уравнение содержит переменные коэффициенты и не является уравнением Коши-Эйлера, или когда уравнение является нелинейным, за исключением нескольких очень редких случаев. Тем не менее, приведенные выше методы позволяют решить многие важные дифференциальные уравнения, которые часто встречаются в различных областях науки.
• В отличие от дифференцирования, которое позволяет найти производную любой функции, интеграл многих выражений нельзя выразить в элементарных функциях. Поэтому не тратьте время в попытках вычислить интеграл там, где это невозможно. Загляните в таблицу интегралов. Если решение дифференциального уравнения нельзя выразить через элементарные функции, иногда его можно представить в интегральной форме, и в данном случае неважно, можно ли вычислить данный интеграл аналитически.

Предупреждения

• Внешний вид дифференциального уравнения может оказаться обманчивым. Например, ниже приведены два дифференциальных уравнения первого порядка. Первое уравнение легко решается с помощью описанных в данной статье методов. На первый взгляд незначительная замена y {\displaystyle y} на y 2 {\displaystyle y^{2}} во втором уравнении делает его нелинейным, и его становится очень сложно решить.
  • d y d x = x 2 + y {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=x^{2}+y}
  • d y d x = x 2 + y 2 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=x^{2}+y^{2}}