Для определения общей передаточной функции запишем выражение для выходной переменной системы. Разложение сложной передаточной функции
Можно преобразовать, вынеся X(s) и Y(s) за скобки и поделив друг на друга:
Полученное выражение называется передаточной
(2.4)
Передаточной функцией называется отношение изображения выходного воздействия Y(s) к изображению входного X(s) при нулевых начальных условиях.
Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной:
Передаточная функция имеет порядок, который определяется порядком полинома знаменателя (n).
Из (2.4) следует, что изображение выходного сигнала можно найти как
Y(s) = W(s)*X(s).
Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета АСР сводится к определению ее передаточной функции.
Примеры типовых звеньев
Звеном системы называется ее элемент, обладающий определенными свойствами в динамическом отношении. Звенья систем регулирования могут иметь разную физическую природу (электрические, пневматические, механические и др. звенья), но описываться одинаковыми ДУ, а соотношение входных и выходных сигналов в звеньях описываться одинаковыми передаточными функциями. В ТАУ выделяют группу простейших звеньев, которые принято называть типовыми. Статические и динамические характеристики типовых звеньев изучены достаточно полно. Типовые звенья широко используются при определении динамических характеристик объектов управления. Например, зная переходную характеристику, построенную с помощью самопишущего прибора, часто можно определить, к какому типу звеньев относится объект управления, а следовательно, его передаточную функцию, дифференциальное уравнение и т.д., т.е. модель объекта. Типовые звенья. Любое сложное звено может быть представлено как соединение простейших звеньев.
К простейшим типовым звеньям относятся:
· усилительное,
· инерционное (апериодическое 1-го порядка),
· интегрирующие (реальное и идеальное),
· дифференцирующие (реальное и идеальное),
· апериодическое 2-го порядка,
· колебательное,
· запаздывающее.
1) Усилительное звено.
Звено усиливает входной сигнал в К раз. Уравнение звена у = К*х, передаточная функция W(s) = К. Параметр К называется коэффициентом усиления.
Выходной сигнал такого звена в точности повторяет входной сигнал, усиленный в К раз (рис. 1.18). у = Kx .
При ступенчатом воздействии h(t) = K.
Примерами таких звеньев являются: механические передачи, датчики, безынерционные усилители и др.
2) Интегрирующее.
2.1) Идеальное интегрирующее.
Выходная величина идеального интегрирующего звена пропорциональна нтегралу входной величины:
При подаче на вход звена ступенчатого воздействия x(t) = 1 выходной сигнал постоянно возрастает (рис. 1.19):
h(t) = Kt.
Это звено астатическое, т.е. не имеет установившегося режима.
Примером такого звена может служить емкость, наполняемая жидкостью. Входной параметр – расход поступающей жидкости, выходной - уровень. Изначально емкость пуста и при отсутствии расхода уровень равен нулю, но если включить подачу жидкости, уровень начинает равномерно увеличиваться.
2.2) Реальное интегрирующее.
Передаточная функция этого звена имеет вид (рис. 1.20)
Переходная характеристика в отличие от идеального звена является кривой
Примером интегрирующего звена является двигатель постоянного тока с независимым возбуждением, если в качестве входного воздействия принять напряжение питания статора, а выходного - угол поворота ротора. Если напряжение на двигатель не подается, то ротор не двигается и угол его поворота можно принять равным нулю. При подаче напряжения ротор начинает раскручиваться, а угол его поворота сначала медленно вследствие инерции, а затем быстрее увеличиваться до достижения определенной скорости вращения.
3) Дифференцирующее.
3.1) Идеальное дифференцирующее .
Выходная величина пропорциональна производной по времени от входной:
 |
При ступенчатом входном сигнале выходной сигнал представляет собой импульс (d-функцию): h(t) = Kδ(t).
3.2) Реальное дифференцирующее.
Идеальные дифференцирующие звенья физически не реализуемы. Большинство объектов, которые представляют собой дифференцирующие звенья, относятся к реальным дифференцирующим звеньям, передаточные функции которых имеют вид
Переходная характеристика (рис. 1.21):
Пример звена: электрогенератор. Входной параметр – угол поворота ротора, выходной – напряжение. Если ротор повернуть на некоторый угол, то на клеммах появится напряжение, но если ротор далее не вращать, напряжение снизится до нуля. Резко упасть оно не может вследствие наличия индуктивности у обмотки.
4) Апериодическое (инерционное).
Изображение ступенчатого воздействия: X(s) =Хо / s Тогда изображение выходной величины:
Разложим дробь на простые:
Оригинал первой дроби по таблице:
Постоянная Т называется постоянной времени . Большинство тепловых объектов являются апериодическими звеньями. Например, при подаче на вход электрической печи напряжения ее температура будет изменяться по аналогичному закону (рис. 1.22).
5) Звенья второго порядка (рис. 1.23)
Звенья имеют ДУ и ПФ вида.
При подаче на вход ступенчатого воздействия амплитудой Хо переходная кривая будет иметь один из двух видов: апериодический (при Т1 ≥ 2Т2) или колебательный (при Т1 < 2Т2).
В связи с этим выделяют звенья второго порядка:
· апериодическое 2-го порядка (Т1 ≥ 2Т2),
· инерционное (Т1 < 2Т2),
· консервативное (Т1 = 0).
6) Запаздывающее .
Если при подаче на вход объекта некоторого сигнала он реагирует на этот сигнал не моментально, а спустя некоторое время, то говорят, что объект обладает запаздыванием.
Запаздывание – это интервал времени от момента изменения входного сигнала до начала изменения выходного.
Запаздывающее звено – это звено, у которого выходная величина у в точности повторяет входную величину х с некоторым запаздыванием t.
Будем полагать, что процессы, проходящие в САР, описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Таким образом, мы ограничимся рассмотрением линейных САР с постоянными параметрами, т.е. параметрами, не зависящими ни от времени, ни от состояния системы.
Пусть для динамической системы (см. рис.)
дифференциальное уравнение записано в операторной форме
где D(P) и M(P) – многочлены от P.
P – оператор дифференцирования;
x(t) – выходная координата системы;
g(t) – входное воздействие.
Преобразуем (1) по Лапласу, предположив нулевые начальные условия.
Введем обозначения
;
,
получим, учитывая, что
Используем обозначение
, (5)
тогда уравнение (3) примет вид:
. (6)
Уравнение (6) связывает изображение Х (S) выходной координаты системы с изображением G(S) входного воздействия. Функция Ф(S) характеризует динамические свойства системы. Как следует из (4) и (5), эта функция не зависит от воздействия, приложенного к системе, а зависит лишь от параметров системы. Учитывая (6) функцию Ф(S ) можно записать следующим образом
Функция Ф(S) называется передаточной функцией системы. Из (7) видно, что передаточная функция представляет собой отношение изображения по Лапласу входной координаты системы к изображению по Лапласу входного воздействия при нулевых начальных условиях.
Зная передаточную функцию системы Ф(S) определив изображение G(S) воздействия g(t), приложенного к системе можно найти по (6) изображение Х(S) выходной координаты системы х (t), затем, переходя от изображения Х(S) к оригиналу х(t) получить процесс изменения выходной координаты системы при приложении к этой системе входного воздействия.
Многочлен в знаменателе передаточной функции, называется характеристическим полиномом, а уравнение
характеристическим уравнением.
Для системы, описываемой уравнением n-го порядка, характеристическое уравнение представляет собой алгебраическое уравнение n-ой степени и имеет n корней, S 1 S 2… S n , среди которых могут быть как вещественные, так и комплексно – сопряженные.
Корень многочлена стоящего в знаменателе передаточной функции называются полюсами этой передаточной функции, а в числителе – нулями.
Представим многочлены в виде:
Поэтому передаточная функция
. (11)
Отсюда
следует, что задание нулей и полюсов
определяет передаточную функцию с
точностью до постоянного множителя
.
В том случае, когда вещественные части всех полюсов передаточной функции отрицательны, т.е.
,
k=1,2…n,система называется устойчивой. В
ней переходная составляющая выходной
величины (собственного движения) с
течением времени затухает.
Частотные характеристики системы
Преобразование линейной системой гармонического входного сигнала
Передаточная функция автоматической системы по отношению к управляющему воздействию g(t) есть
(1)
Пусть воздействие
g(t) = A 1 sin ω 1 t,
И требуется определить изменение X(t) в установившемся процессе, т.Е. Найти частное решение уравнения (1), рассмотренное ранее.
Заметим, что в результате приложения воздействия в системе возникает переходной процесс, который с течением времени стремится к 0, т.к. система предполагается устойчивой. Его мы не рассматриваем. Подобный переход позволяет считать воздействие g(t) заданным на всей оси времени (не рассматривается начальный момент приложения к системе управляющего воздействия) и использовать полученное ранее выражение для спектральной характеристики синусоиды.
Для определения x(t) в установившемся режиме преобразуем обе части дифференциального уравнения (1) по Фурье. При этом имеем в виду, что
;
,
Заметим, что
передаточная
функция, в которой S
Кроме того
Тогда спектральная характеристика вынужденных колебаний регулируемой величины определяется из (3) в виде
В (4) функциональный множитель Ф(jω) учитывает изменение спектральной характеристики при прохождении воздействия g(t) через линейную динамическую систему.
Представим комплексную функцию Ф(jω) в показательной форме
и найдем х(t) по формуле обратного преобразования Фурье:
используя фильтрующие свойства дельта-функции, и учитывая (5), будем иметь
Т.к.
,,
(6)
Отсюда следует, что в установившемся режиме реакция х(t) линейной автоматической системы на синусоидальные воздействия является также синусоидой. Угловые частоты входного и выходного сигнала совпадают. Амплитуда на выходе системы равна А 1 │Ф(jω) │, а начальная фаза равна argФ(jω) .
Если на вход линейной системы поступает периодическое воздействие в виде
,
то, используя принцип суперпозиции, справедливый для линейной системы, найдем, что в этом случае вынужденное установившееся движение системы
(7)
Причем величине ω здесь следует придавать дискретные значения, т.е. полагать ω=kω 1
Зная частотные спектры сигнала на входе, можно легко определить частотные спектры сигнала на входе системы. Если, например, известен амплитудный частотный спектр А k входного сигнала g(t), то амплитудный частотный спектр выходного сигнала есть А k │Ф(jkω 1 ) │.
В рассматриваемых выражениях функция Ф(jω) характеризует динамические свойства самой автоматической системы и не зависит от характера приложенных к системе воздействий. Она легко может быть получена из передаточной функции формальной заменой S на jω
Функция Ф(jω) от непрерывного аргумента ω называется амплитудно-фазовой характеристикой системы АФХ по отношению к управляющему воздействию g(t), приложенному к системе.
Исходя из (3) АФХ может быть определена также, как отношение спектральной характеристики сигнала на ее входе. Модуль АФХ Ф(j ) характеризует изменение амплитуды гармонического сигнала при прохождении последнего через систему, а аргумент ее – фазовый сдвиг сигнала.
Функция Ф(j ) получила название амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), а функция argФ(j ) – фазо-частотной характеристики (ФЧХ).
Пусть воздействие g(t), приложенное к автоматической системе, представляет собой комплексную гармонику с частотой 1 , т.е.
Реакция системы на подобное воздействие в установившемся режиме определяется равенством
Или используя формулу Эйлера
а также то, что
;
Интеграл в правой части равенства найдем, используя фильтрующие свойства дельта-функции.
определяет в комплексной форме установившуюся реакцию системы на воздействие в виде комплексной гармоники с частотой 1.
АФХ
может быть использована не только для
анализа установившихся колебаний на
выходе автоматической системы, но и для
определения процесса регулирования в
целом. В последнем случае момент времени
t 0
приложения к системе управляющего
воздействия удобно считать нулевым
моментом времени и воспользоваться
формулами одностороннего преобразования
Фурье. Определив спектральную
характеристику
и найдя спектральную характеристику
регулируемой величины по формуле
Изменение регулируемой величины x(t) после приложения воздействия g(t) находится по формуле обратного преобразования Фурье.
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Издательство ОмГТУ
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Омский государственный технический университет»
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Методические указания к практическим работам
Издательство ОмГТУ
Составитель Е. В. Шендалева , канд. техн. наук
Издание содержит методические указания к проведению практических работ по теории автоматического управления.
Предназначено для студентов специальности 200503, «Стандартизация и сертификация», изучающих дисциплину «Основы автоматического управления».
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Омского государственного технического университета
© ГОУ ВПО «Омский государственный
технический университет», 2011
Необходимость использования методологии теории управления для специалистов по стандартизации и сертификации возникает при определении:
1) количественных и (или) качественных характеристик свойств объекта испытаний как результата влияния на него при его функционировании, при моделировании объекта и (или) воздействий, закон изменения которых необходимо обеспечить с помощью системы автоматического управления;
2) динамических свойств объекта измерений и испытаний;
3) влияния динамических свойств средств измерений на результаты измерений и испытаний объекта.
Методы исследования объектов рассмотрены в практических работах.
Динамические функции
Задание 1.1
Найти весовую функцию w (t ) по известной переходной функции
h (t ) = 2(1–e –0,2 t ).
Решение
w (t )=h ¢(t ), поэтому при дифференцировании исходного выражения
w (t )=0,4e –0,2t .
Задание 1.2
Найти передаточную функцию системы по дифференциальному уравнению 4y ¢¢(t ) + 2y ¢(t ) + 10y (t ) = 5x (t ). Начальные условия – нулевые.
Решение
Дифференциальное уравнение преобразуют в стандартную форму делением на коэффициент при слагаемом y (t )
0,4y ¢¢(t ) + 0,2y ¢(t ) + y (t ) = 0,5x (t ).
Полученное уравнение преобразуют по Лапласу
0,4s 2 y (s ) + 0,2sy (s ) + y (s ) = 0,5x (s )
и затем записывают в виде передаточной функции:
где s = a + i w – оператор Лапласа.
Задание 1.3
Найти передаточную функцию W (s ) системы по известной весовой функции w (t )=5–t .
Решение
Преобразование Лапласа
. (1.1)
Используя связь между передаточной функцией и весовой функцией W (s ) = w (s ), получим
.
Преобразование Лапласа можно получить расчетным путем (1.1), с помощью таблиц преобразования Лапласа или с помощью пакета программного обеспечения Matlab. Программа в Matlab приведена ниже.
syms s t
x=5-t % временная функция
y=laplace(x) % функция, преобразованная по Лапласу.
Задание 1.4
По передаточной функции системы найти ее реакцию на единичное ступенчатое воздействие (переходную функцию)
.
Решение
Обратное преобразование Лапласа
, (1.2)
где с – абсцисса сходимости x (s ).
По принципу суперпозиции, справедливому для линейных систем
h (t )=h 1 (t )+h 2 (t ),
где h (t ) – переходная функция всей системы;
h 1 (t ) – переходная функция интегрирующего звена
;
h 2 (t ) – переходная функция усилительного звена
.
Известно, что h 1 (t )=k 1 ×t , h 2 (t )=k 2 ×δ(t ), тогда h (t )= k 1 ×t +k 2 ×δ(t ).
Обратное преобразование Лапласа можно получить расчетным путем (1.2), с помощью таблиц преобразования Лапласа или с помощью пакета программного обеспечения Matlab. Программа в Matlab приведена ниже.
syms s k1 k2 % обозначение символьных переменных
y=k1/s+k2 % функция, преобразованная по Лапласу
x=ilaplace(y) % временная функция.
Задание 1.5
Найти амплитудно-частотную и фазочастотную характеристику по известной передаточной функции системы
.
Решение
Для определения амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной характеристики (ФЧХ) необходимо перейти от передаточной функции к амплитудно-фазовой характеристике W (i w), для чего изменить аргумент s → i w
.
Затем представить АФХ в виде W (i w)=P (w)+iQ (w), где P (w) – действительная часть, Q (w) – мнимая часть АФХ. Для получения действительной и мнимой части АФХ необходимо умножить числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное выражению в знаменателе:
АЧХ и ФЧХ определяют соответственно по формулам
, 
;
, 
Амплитудно-фазовую характеристику W (j w) можно представить в виде
.
Задание 1.6
Определить сигнал y (t ) на выходе системы по известному входному сигналу и передаточной функции системы
x
(t
)=2sin10t
; 
.
Известно, что при воздействии входного сигнала x (t )=B sinwt на систему выходной сигнал y (t ) также будет гармоническим, но будет отличаться от входного амплитудой и фазой
y (t ) = B ×A (w)sin,
где A (w) – АЧХ системы; j(w) – ФЧХ системы.
По передаточной функции определим АЧХ и ФЧХ
j(w)=–arctg0,1w.
На частоте w = 10с –1 A (10) = 4/ = 2 и j(10) = –arctg1=–0,25p.
Тогда y (t ) = 2×2 sin(10t –0,25p) = 4 sin(10t –0,25p).
1. Определите понятие весовой функции.
2. Определите понятие переходной функции.
3. С какой целью используют преобразование Лапласа при описании динамических звеньев?
4. Какие уравнения называют линейными дифференциальными?
5. С какой целью при переходе к уравнению в операторном виде исходное дифференциальное уравнение преобразуют в стандартную форму?
6. Каким образом из знаменателя амплитудно-фазовой характеристики устраняют выражение с мнимым числом?
7. Укажите команду прямого преобразования Лапласа в программном пакете Matlab.
8. Укажите команду обратного преобразования Лапласа в программном пакете Matlab.
Практическая работа 2
Передаточные функции
Задание 2.1
Найти передаточную функцию системы по ее структурной схеме.
Решение
Основными способами соединения звеньев в структурных схемах являются: параллельное, последовательное и соединение звеньев с обратной связью (типовые участки звеньев).
Передаточная функция системы параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев (рис. 2.1)
. (2.1)
Рис. 2.1. Параллельное соединение звеньев
Передаточная функция системы последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев (рис. 2.2)
(2.2)
Рис. 2.2. Последовательное соединение звеньев
Обратной связью называют передачу сигнала с выхода звена на его вход, где сигнал обратной связи алгебраически суммируется с внешним сигналом (рис. 2.3).
Рис. 2.3 Соединение с обратной связью: а) положительной, б) отрицательной
Передаточная функция соединения с положительной обратной связью
, (2.3)
передаточная функция соединения с отрицательной обратной связью
. (2.4)
Определение передаточной функции сложной системы управления производят поэтапно. Для этого выделяют участки, содержащие последовательные, параллельные соединения и соединения с обратной связью (типовые участки звеньев) (рис. 2.4)
W
34 (s
)=W
3 (s
)+W
4 (s
); 
.
Рис. 2.4. Структурная схема системы управления
Затем выбранный типовой участок звеньев заменяют одним звеном с рассчитанной передаточной функцией и повторяют процедуру расчета (рис. 2.5 – 2.7).
Рис. 2.5. Замена параллельного соединения и соединения с обратной связью одним звеном
Рис. 2.6. Замена соединения с обратной связью одним звеном
Рис. 2.7. Замена последовательного соединения одним звеном
(2.5)
Задание 2.2
Определить передаточную функцию, если передаточные функции входящих в ее состав звеньев:
Решение
При подстановке в (2.5) передаточных функций звеньев
Преобразование структурной схемы относительно входного управляющего воздействия (рис. 2.7, 2.11) можно получить расчетным путем (2.5) или с помощью пакета программного обеспечения Matlab. Программа в Matlab приведена ниже.
W1=tf(,) % передаточная функция W 1
W2=tf(,) % передаточная функция W 2
W3=tf(,) % передаточная функция W 3
W4=tf(,) % передаточная функция W 4
W5=tf(,) % передаточная функция W 5
W34=parallel(W3,W4) % параллельное соединение (W 3 + W 4)
W25=feedback(W2,W5)
W134=feedback(W1,W34) % отрицательная обратная связь
W12345=series(W134,W25) % последовательное соединение (W 134 ×W 25)
W=feedback(W12345,1)
Задание 2.3.
Найти передаточную функцию замкнутой системы по возмущающему воздействию
Решение
Для того, чтобы определить передаточную функцию сложной системы по возмущающему воздействию необходимо упростить ее и рассмотреть относительно возмущающего входного воздействия (рис. 2.8 – 2.12).
Рис.2.8. Исходная структурная схема автоматической системы
Рис. 2.9. Упрощение структурной схемы
Рис. 2.10. Упрощенная структурная схема
Рис. 2.11. Структурная схема относительно входного управляющего воздействия
Рис. 2.12. Структурная схема системы относительно возмущающего воздействия
После приведения структурной схемы к одноконтурной передаточная функция по возмущающему воздействию f (t )
(2.6)
Преобразование структурной схемы относительно возмущающего воздействия (рис. 2.12) можно получить расчетным путем (2.6) или с помощью пакета программного обеспечения Matlab.
W1=tf(,) % передаточная функция W 1
W2=tf(,) % передаточная функция W 2
W3=tf(,) % передаточная функция W 3
W4=tf(,) % передаточная функция W 4
W5=tf(,) % передаточная функция W 5
W34=parallel(W3,W4) % параллельное соединение
W25=feedback(W2,W5) % отрицательная обратная связь
W134=feedback(W1,W34) % отрицательная обратная связь
Wf=feedback(W25,W134) % отрицательная обратная связь.
Задание 2. 4
Определить передаточную функцию замкнутой системы для ошибки.
Решение
Структурная схема для определения передаточной функции замкнутой системы для ошибки управления изображена на рис. 2.13.
Рис. 2.13. Структурная схема системы относительно ошибки управления
Передаточная функция замкнутой системы для ошибки
(2.7)
При подстановке числовых значений
Преобразование структурной схемы относительно сигнала ошибки управления (рис. 2.13) можно получить расчетным путем (2.7) или с помощью пакета программного обеспечения Matlab.
W1=tf(,) % передаточная функция W 1
W2=tf(,) % передаточная функция W 2
W3=tf(,) % передаточная функция W 3
W4=tf(,) % передаточная функция W 4
W5=tf(,) % передаточная функция W 5
W34=parallel(W3,W4) % параллельное соединение)
W25=feedback(W2,W5) % отрицательная обратная связь
W134=feedback(W1,W34) % отрицательная обратная связь
We=feedback(1,W134*W25) % отрицательная обратная связь
Контрольные вопросы :
1. Перечислите основные способы соединения звеньев в структурных схемах.
2. Определите передаточную функцию системы параллельно соединенных звеньев.
3. Определите передаточную функцию системы последовательно соединенных звеньев.
4. Определите передаточную функцию с положительной обратной связью.
5. Определите передаточную функцию с отрицательной обратной связью.
6. Определите передаточную функцию линии связи.
7. C помощью какой команды Matlab определяется передаточная функция двух параллельно соединенных звеньев?
8. C помощью какой команды Matlab определяется передаточная функция двух последовательно соединенных звеньев?
9. C помощью какой команды Matlab определяется передаточная функция звена, охваченного обратной связью?
10. Изобразите структурную схему системы для определения передаточной функции по управляющему воздействию.
11. Напишите передаточную функцию по управляющему воздействию.
12. Изобразите структурную схему системы для определения передаточной функции по возмущающему параметру.
13. Напишите передаточную функцию по возмущающему параметру.
14. Изобразите структурную схему системы определения передаточной функции для ошибки управления.
15. Напишите передаточную функцию для ошибки управления.
Практическая работа 3
Разложение сложной передаточной функции
Конечной целью анализа САР является решение (если это возможно) или исследование дифференциального уравнения системы в целом. Обычно известны уравнения отдельных звеньев, входящих в состав САР, и возникает промежуточная задача получения дифференциального уравнения системы по известным ДУ её звеньев. При классической форме представления ДУ эта задача сопряжена со значительными трудностями. Использование понятия передаточной функции существенно упрощает её.
Пусть некоторая система описывается ДУ вида.
Введя обозначение = p, где p называют оператором, или символом, дифференцирования, и обращаясь теперь с этим символом как с обычным алгебраическим числом, после вынесения x вых и x вх за скобки, получают дифференциальное уравнение этой системы в операторной форме:
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x вых = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x вх. (3.38)
Многочлен от p, стоящий при выходной величине,
D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3.39)
называется собственным оператором, а многочлен при входной величине – оператором воздействия
K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3.40)
Передаточной функцией называется отношение оператора воздействия к собственному оператору:
W(p) = K(p)/D(p) = x вых /x вх. (3.41)
В дальнейшем мы будем практически всюду использовать именно операторную форму записи дифференциальных уравнений.
Виды соединений звеньев и алгебра передаточных функций.
Получение передаточной функции САР требует знания правил нахождения передаточных функций групп звеньев, в которых звенья соединены между собой определенным образом. Имеется три типа соединений.
1.Последовательное, при котором выход предыдущего звена является входом для последующего (рис.3.12):
| x вых |
Рис. 3.14. Встречно – параллельное соединение.
В зависимости от того, складывается сигнал обратной связи х с входным сигналом х вх либо вычитается из него, различают положительные и отрицательные обратные связи.
Попрежнему базируясь на свойстве передаточной функции, можем написать
W 1 (p) =x вых /(x вх ±х) ; W 2 (p) = x/x вых; W c =x вых /x вх. (3.44)
Исключив из первых двух уравнений внутреннюю координату х, получим передаточную функцию для такого соединения:
W c (p) = W 1 (p)/ . (3.45)
Следует иметь в виду, что в последнем выражении знак плюс соответствует отрицательной обратной связи.
В том случае, когда какое-нибудь звено имеет несколько входов (как, например, объект регулирования), рассматриваются несколько передаточных функций этого звена, соответствующие каждому из входов, например, если уравнение звена имеет вид
D(p)y = K x (p)x + K z (p)z (3.46)
где K x (p) и K z (p) – операторы воздействий соответственно по входам x и z, то это звено имеет передаточные функции по входам х и z:
W x (p) = K x (p)/D(p); W z (p) = K z (p)/D(p). (3.47)
В дальнейшем в целях сокращения записей в выражениях передаточных функций и соответствующих операторов будем опускать аргумент «p».
Из совместного рассмотрения выражений (3.46) и (3.47) следует, что
y = W x x+W z z, (3.48)
то есть в общем случае выходная величина любого звена с несколькими входами равна сумме произведений входных величин на передаточные функции по соответствующим входам.
Передаточная функция САР по возмущению.
Обычный вид структуры САР, работающей по отклонению регулируемой величины, таков:
| W o z =K z /D объект W o x =K x /D |
| W p y |
| z |
| y |
| -x |
Рис.3.15. Замкнутая САР.
Обратим внимание на то обстоятельство, что регулирующее воздействие поступает на объект с измененным знаком. Связь между выходом объекта и его входом через регулятор называется главной обратной связью (в отличие от возможных дополнительных обратных связей в самом регуляторе). По самому философскому смыслу регулирования действие регулятора направлено на уменьшениеотклонения регулируемой величины, и потому главная обратная связь всегда отрицательна. На рис. 3.15:
W o z - передаточная функция объекта по возмущению;
W o x - передаточная функция объекта по регулирующему воздействию;
W p y - передаточная функция регулятора по отклонению у.
Дифференциальные уравнения объекта и регулятора выглядят так:
y=W o x x +W o z z
x = - W p у y. (3.49)
Подставив х из второго уравнения в первое и выполнив группировку, получаем уравнение САР:
(1+W o x W p у)y = W o z z . (3.50)
Отсюда передаточная функция САР по возмущению
W c z = y/z =W o z /(1+W o x W p у) . (3.51)
Подобным путём можно получить и передаточную функцию САР по управляющему воздействию:
W c u = W o x W p u /(1+W o x W p y) , (3.52)
где W p u -передаточная функция регулятора по управляющему воздействию.
3.4 Вынужденные колебания и частотные характеристики САР.
В реальных условиях эксплуатации САР нередко подвергается действию периодических возмущающих сил, что сопровождается периодическими изменениями регулируемых величин и регулирующих воздействий. Таковы, например, колебания судна при ходе на волнении, колебания частоты вращения гребного винта и других величин. В ряде случаев амплитуды колебаний выходных величин системы могут достигать недопустимо больших значений, и это соответствует явлению резонанса. Последствия резонанса часто губительны для испытывающей его системы, например, опрокидывание судна, разрушение двигателя. В системах регулирования такие явления возможны при изменении свойств элементов, вызванном износами, заменой, перенастройкой, отказами. Тогда возникает необходимость либо определения безопасных диапазонов эксплуатационных условий, либо надлежащей настройки САР. Здесь будут рассмотрены эти вопросы в приложении к линейным системам.
Пусть некоторая система имеет нижепоказанную структуру:
| x=A x sinωt |
| y=A y sin(ωt+φ) |
Рис.3.16. САР в режиме вынужденных колебаний.
Если на систему действует периодическое воздействие х с амплитудой А х и круговой частотой w, то после окончания переходного процесса на выходе установятся колебания той же частоты с амплитудой А у и смещенные относительно входных колебаний на фазовый угол j. Параметры выходных колебаний (амплитуда и фазовый сдвиг) зависят от частоты вынуждающей силы. Задача заключается в определении параметров выходных колебаний по известным параметрам колебаний на входе.
В соответствии с передаточной функцией САР, показанной на рис.3.14, дифференциальное уравнение её имеет вид
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3.53)
Подставим в (3.53) выражения для х и у, приведенные на рис. 3.14:
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=
=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3.54)
Если рассматривать картину колебаний, смещенную на четверть периода, то в уравнении (3.54) функции синусов сменятся функциями косинусов:
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=
=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3.55)
Умножим уравнение (3.54) на i = и сложим полученное с (3.55):
(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =
= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3.56)
Применяя формулу Эйлера
exp(±ibt)=cosbt ± isinbt,
приведём уравнение (3.56) к виду
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=
= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3.57)
Выполним операцию дифференцирования по времени, предусмотренную оператором р=d/dt:
A y exp=
A x exp(iwt). (3.58)
После простых преобразований, связанных с сокращением на exp(iwt), получаем
Правая часть выражения (3.59) похожа на выражение передаточной функции САР и может быть получена из него заменой p=iw. По аналогии она называется комплексной передаточной функцией W(iw), или амплитудно - фазовой характеристикой (АФХ). Нередко употребляют также термин частотная характеристика. Понятно, что эта дробь является функцией комплексного аргумента и может быть представлена ещё и в таком виде:
W(iw) = M(w) +iN(w), (3.60)
где M(w) и N(w) – соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики.
Отношение А у /А х есть модуль АФХ и является функцией частоты:
А у /А х =R(w)
и называется амплитудно- частотной характеристикой (АЧХ). Фазовый
сдвиг j =j (w) - также функция частоты и называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ). Вычисляя R(w) и j(w) для диапазона частот (0…¥), можно построить на комплексной плоскости в координатах M(w) и iN(w) график АФХ (рис.3.17).
| ω |
| R(ω) |
| ω cp |
| ω рез |
Рис.3.18. Амплитудно-частотные характеристики.
На АЧХ системы 1 виден резонансный пик, соответствующий наибольшей амплитуде вынужденных колебаний. Работа в зоне около резонансной частоты может оказаться губительной и часто вообще недопустима правилами эксплуатации конкретного объекта регулирования. АЧХ вида 2 не имеет резонансного пика и для механических систем более предпочтительна. Видно также, что с увеличением частоты амплитуда выходных колебаний уменьшается. Физически это легко объясняется: любая система в силу присущих ей инерционных свойств легче подчиняется раскачиванию низкими частотами, чем высокими. Начиная с некоторой частоты, колебания на выходе становятся незначительными, и эту частоту называют частотой среза, а диапазон частот ниже частоты среза называют полосой пропускания частот. В теории автоматического регулирования за частоту среза принимают такую, при которой значение АЧХ в 10 раз меньше, чем при нулевой частоте. Свойство системы гасить высокочастотные колебания называется свойством фильтра низких частот.
Рассмотрим методику расчета АЧХ на примере звена второго порядка, дифференциальное уравнение которого
(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1)y = kx. (3.62)
В задачах вынужденных колебаний часто используют более наглядную форму уравнения
(p 2 +2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3.63)
где называется собственной частотой колебаний при отсутствии затухания, x =T 1 w 0 /2 - коэффициент затухания.
Передаточная функция при этом выглядит так:
Заменой p = iw получаем амплитудно-фазовую характеристику
Используя правило деления комплексных чисел, получаем выражение для АЧХ:
Определим резонансную частоту, при которой АЧХ имеет максимум. Это соответствует минимуму знаменателя выражения (3.66). Приравнивая нулю производную знаменателя по частоте w, имеем:
2(w 0 2 - w 2)(-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3.67)
откуда получаем значение резонансной частоты, не равное нулю:
w рез = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3.68)
Проанализируем это выражение, для чего рассмотрим отдельные случаи, которым соответствуют различные значения коэффициента затухания.
1. x = 0. Резонансная частота равна собственной, и модуль АЧХ при этом обращается в бесконечность. Это случай так называемого математического резонанса.
2. . Поскольку частота выражается положительным числом, а из (68) для этого случая получается либо нуль, либо мнимое число, следует вывод, что при таких значениях коэффициента затухания АЧХ не имеет резонансного пика (кривая 2 на рис.3.18).
3. . АЧХ имеет резонансный пик, причём с уменьшением коэффициента затухания резонансная частота приближается к собственной и резонансный пик становится выше и острее.
