Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных). Условные экстремумы и метод множителей лагранжа
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)
состоит в замене произвольных постоянных ck в общем решении
z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...
Cnzn(t)
соответствующего однородного уравнения
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0
на вспомогательные функции ck(t), производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе
Определителем системы (1) служит вронскиан функций z1,z2,...,zn, что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .
Если - первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция
является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам.
Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных)
Метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.
Для линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,
где y = y(x) - неизвестная функция, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) - известные, непрерывные, справедливо: 1) существуют n линейно независимых решений уравнения y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) при любых значениях констант c1, c2, ..., cn функция y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) является решением уравнения; 3) для любых начальных значений x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 существуют такие значения c*1, c*n, ..., c*n, что решение y*(x)=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) удовлетворяет при x = x0 начальным условиям y*(x0)=y0, (y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.
Выражение y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) называется общим решением линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.
Совокупность n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка y1(x), y2(x), ..., yn(x) называется фундаментальной системой решений уравнения.
Для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами существует простой алгоритм построения фундаментальной системы решений. Будем искать решение уравнения в виде y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx)" + anexp(lx)= = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, т.е. число l является корнем характеристического уравнения ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. Левая часть характеристического уравнения называется характеристическим многочленом линейного дифференциального уравнения: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Таким образом, задача о решении линейного однородного уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами сводится к решению алгебраического уравнения.
Если характеристическое уравнение имеет n различных действительных корней l1№ l2 № ... № ln, то фундаментальная система решений состоит из функций y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), ..., yn(x) = exp(lnx), и общее решение однородного уравнения имеет вид: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).
ундаментальная система решений и общее решение для случая простых действительных корней.
Если какой-либо из действительных корней характеристического уравнения повторяется r раз (r-кратный корень), то в фундаментальной системе решений ему отвечают r функций; если lk=lk+1 = ... = lk+r-1, то в фундаментальную систему решений уравнения входят r функций: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r-1(x) =xr-1 exp(lnx).
ПРИМЕР 2. Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных действительных корней.
Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, то каждой паре простых (имеющих кратность 1) комплексных корней lk,k+1=ak ± ibk в фундаментальной системе решений отвечает пара функций yk(x) = exp(akx)cos(bkx), yk+1(x) = exp(akx)sin(bkx).
ПРИМЕР 4. Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых комплексных корней. Мнимые корни.
Если же комплексная пара корней имеет кратность r, то такой паре lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, в фундаментальной системе решений отвечают функции exp(akx)cos(bkx), exp(akx)sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), ................ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).
ПРИМЕР 5. Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных комплексных корней.
Таким образом, для отыскания общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует: записать характеристическое уравнение; найти все корни характеристического уравнения l1, l2, ... , ln; записать фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), ..., yn(x); записать выражение для общего решения y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x). Для решения задачи Коши нужно подставить выражение для общего решения в начальные условия и определить значения постоянных c1,..., cn, которые являются решениями системы линейных алгебраических уравнений c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)(x0) = y0,n-1
Для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),
где y = y(x) - неизвестная функция, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) - известные, непрерывные, справедливо: 1) если y1(x) и y2(x) - два решения неоднородного уравнения, то функция y(x) = y1(x) - y2(x) - решение соответствующего однородного уравнения; 2) если y1(x) решение неоднородного уравнения, а y2(x) - решение соответствующего однородного уравнения, то функция y(x) = y1(x) + y2(x) - решение неоднородного уравнения; 3) если y1(x), y2(x), ..., yn(x) - n линейно независимых решений однородного уравнения, а yч(x) - произвольное решение неоднородного уравнения, то для любых начальных значений x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 существуют такие значения c*1, c*n, ..., c*n, что решение y*(x)=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + yч(x) удовлетворяет при x = x0 начальным условиям y*(x0)=y0, (y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.
Выражение y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) называется общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.
Для отыскания частных решений неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правыми частями вида: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), где Pk(x), Qm(x) - многочлены степени k и m соответственно, существует простой алгоритм построения частного решения, называемый методом подбора.
Метод подбора, или метод неопределенных коэффициентов, состоит в следующем. Искомое решение уравнения записывается в виде: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, где Pr(x), Qr(x) - многочлены степени r = max(k, m) с неизвестными коэффициентами pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. Сомножитель xs называют резонансным сомножителем. Резонанс имеет место в случаях, когда среди корней характеристического уравнения есть корень l =a ± ib кратности s. Т.е. если среди корней характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения есть такой, что его действительная часть совпадает с коэффициентом в показателе степени экспоненты, а мнимая - с коэффициентом в аргументе тригонометрической функции в правой части уравнения, и кратность этого корня s, то в искомом частном решении присутствует резонансный сомножитель xs. Если же такого совпадения нет (s=0), то резонансный сомножитель отсутствует.
Подставив выражение для частного решения в левую часть уравнения, получим обобщенный многочлен того же вида, что и многочлен в правой части уравнения, коэффициенты которого неизвестны.
Два обобщенных многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при сомножителях вида xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) с одинаковыми степенями t. Приравняв коэффициенты при таких сомножителях, получим систему 2(r+1) линейных алгебраических уравнений относительно 2(r+1) неизвестных. Можно показать, что такая система совместна и имеет единственное решение.
Краткая теория
Метод множителей Лагранжа является классическим методом решения задач математического программирования (в частности выпуклого). К сожалению, при практическом применении метода могут встретиться значительные вычислительные трудности, сужающие область его использования. Мы рассматриваем здесь метод Лагранжа главным образом потому, что он является аппаратом, активно используемым для обоснования различных современных численных методов, широко применяемых на практике. Что же касается функции Лагранжа и множителей Лагранжа, то они играют самостоятельную и исключительно важную роль в теории и приложениях не только математического программирования.
Рассмотрим классическую задачу оптимизации:
Среди ограничений этой задачи нет неравенств, нет условий неотрицательности переменных, их дискретности, и функции и непрерывны и имеют частные производные по крайней мере второго порядка.
Классический подход к решению задачи дает систему уравнений (необходимые условия), которым должна удовлетворять точка , доставляющая функции локальный экстремум на множестве точек, удовлетворяющих ограничениям (для задачи выпуклого программирования найденная точка будет одновременно и точкой глобального экстремума).
Предположим, что в точке функция (1) имеет локальный условный экстремум и ранг матрицы равен . Тогда необходимые условия запишутся в виде:
есть функция Лагранжа; – множители Лагранжа.
Существуют также и достаточные условия, при выполнении которых решение системы уравнений (3) определяет точку экстремума функции . Этот вопрос решается на основании исследования знака второго дифференциала функции Лагранжа. Однако достаточные условия представляют главным образом теоретический интерес.
Можно указать следующий порядок решения задачи (1), (2) методом множителей Лагранжа:
1) составить функцию Лагранжа (4);
2) найти частные производные функции Лагранжа по всем переменным и приравнять их
нулю. Тем самым будет получена система (3, состоящая из уравнений. Решить полученную систему (если это окажется возможным!) и найти таким образом все стационарные точки функции Лагранжа;
3) из стационарных точек, взятых без координат выбрать точки, в которых функция имеет условные локальные экстремумы при наличии ограничений (2). Этот выбор осуществляется, например, с применением достаточных условий локального экстремума. Часто исследование упрощается, если использовать конкретные условия задачи.
Пример решения задачи
Условие задачи
Фирма производит товар двух видов в количествах и . Функция полезных издержек определена соотношением . Цены этих товаров на рынке равны и соответственно.
Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль и чему она равна, если полные издержки не превосходят
Испытываете сложности с пониманием хода решения? На сайте действует услуга Решение задач по методам оптимальных решений на заказ
Решение задачи
Экономико-математическая модель задачи
Функция прибыли:
Ограничения на издержки:
Получаем следующую экономико-математическую модель:
Кроме того, по смыслу задачи
Метод множителей Лагранжа
Составим функцию Лагранжа:
Находим частные производные 1-го порядка:
Составим и решим систему уравнений:
Так как , то
Максимальная прибыль:
Ответ
Таким
образом необходимо выпускать
ед. товара 1-го вида и
ед. товара 2-го вида. При этом прибыль будет
максимальной и составит 270.
Приведен образец решения задачи квадратичного выпуклого программирования графическим методом.
Решение линейной задачи графическим методом
Рассмотрен графический метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП) с двумя переменными. На примере задачи приведено подробное описание построения чертежа и нахождения решения.
Модель управления запасами Уилсона
На примере решения задачи рассмотрена основная модель управления запасами (модель Уилсона). Вычислены такие показатели модели как оптимальный размер партии заказа, годовые затраты на хранение, интервал между поставками и точка размещения заказа.
Матрица коэффициентов прямых затрат и матрица "Затраты-выпуск"
На примере решения задачи рассмотрена межотраслевая модель Леонтьева. Показано вычисление матрицы коэффициентов прямых материальных затрат, матрицы «затраты-выпуск», матрицы коэффициентов косвенных затрат, векторов конечного потребления и валового выпуска.
Точка М называется внутренней для некоторого множества G, если она принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью. Точка N называется граничной для множества G, если в любой ее полной окрестности имеются точки, как принадлежащие G, так и не принадлежащие ему.
Совокупность всех граничных точек множества G называется границей Г.
Множество G будет называться областью, если все его точки – внутренние (открытое множество). Множество G с присоединенной границей Г называется замкнутой областью. Область называется ограниченной, если она целиком содержится внутри круга достаточно большого радиуса.
Наименьшее и наибольшее значения функции в данной области называются абсолютными экстремумами функции в этой области.
Теорема Вейерштрасса: функция, непрерывная в ограниченной и замкнутой области, достигает в этой области своего наименьшего и своего наибольшего значений.
Следствие. Абсолютный экстремум функции в данной области достигается либо в критической точке функции, принадлежащей этой области, либо на Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой областиG необходимо найти все ее критические точки в этой области, вычислить значения функции в этих точках (включая граничные) и путем сравнения полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее из них.
Пример
4.1.
Найти
абсолютный экстремум функции (наибольшее
и наименьшее значения)
в треугольной областиD
с вершинами
,
,
(рис.1).
;
,
то есть точка О(0, 0) – критическая точка, принадлежащая области D. z(0,0)=0.
Исследуем границу:
а)
ОА: y=0
;z(x,
0)=0; z(0,
0)=0; z(1,
0)=0,
б)
ОВ: х=0
z(0,y)=0;
z(0,
0)=0; z(0,
2)=0,
в)
АВ:
;
,
Пример
4.2.
Найти
наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области, ограниченной осями
координат и прямой
.
1) Найдем критические точки, лежащие в области:
,
,
.
Исследуем границу. Т.к. граница состоит из отрезка ОА оси Ох, отрезка ОВ оси Оу и отрезка АВ, то определим наибольшее и наименьшее значения функции z на каждом из этих отрезков.
,
z(0,
2)=–3, z(0,
0)=5, z(0,
4)=5.
M 3 (5/3,7/3), z(5/3, 7/3)=–10/3.
Среди всех найденных значений выбираем z наиб =z(4, 0)=13; z наим =z(1, 2)=–4.
5. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющему некоторому условию.
Пусть рассматривается
функция
,
аргументы
и
которой удовлетворяют условию
,
называемому уравнением связи.
Точка
называется точкой условного максимума
(минимума), если существует такая
окрестность этой точки, что для всех
точек
из этой окрестности удовлетворяющих
условию
,
выполняется неравенство
или
.
На рис.2 изображена
точка условного максимума
.
Очевидно, что она не является точкой
безусловного экстремума функции
(на рис.2 это точка
).
Наиболее простым
способом нахождения условного экстремума
функции двух переменных является
сведение задачи к отысканию экстремума
функции одной переменной. Допустим
уравнение связи
удалось разрешить относительно одной
из переменных, например, выразить
через
:
.
Подставив полученное выражение в функцию
двух переменных, получим
т.е. функцию одной
переменной. Ее экстремум и будет условным
экстремумом функции
.
Пример 5.1.
Найти
точки максимума и минимума функции
при условии
.
Решение. Выразим
из уравнения
переменную
через переменную
и подставим полученное выражение
в функцию
.
Получим
или
.
Эта функция имеет единственный минимум
при
.
Соответствующее значение функции
.
Таким образом,
– точка условного экстремума (минимума).
В рассмотренном
примере уравнение связи
оказалось линейным, поэтому его легко
удалось разрешить относительно одной
из переменных. Однако в более сложных
случаях сделать это не удается.
Для отыскания
условного экстремума в общем случае
используется метод множителей Лагранжа.
Рассмотрим функцию трех переменных
.
Эта функция называется функцией Лагранжа,
а
–
множитель Лагранжа. Верна следующая
теорема.
Теорема.
Если
точка
является точкой условного экстремума
функции
при
условии
,
то существует значение
такое, что точка
является точкой экстремума функции
.
Таким образом, для
нахождения условного экстремума функции
при
условии
требуется
найти решение системы
П
оследнее
из этих уравнений совпадает с уравнением
связи. Первые два уравнения системы
можно переписать в виде,
т.е. в точке условного экстремума
градиенты функций
и
коллинеарны. На рис. 3 показан геометрический
смысл условий Лагранжа. Линия
пунктирная, линия уровня
функции
сплошные. Из рис. следует, что в точке
условного экстремума линия уровня
функции
касается линии
.
Пример 5.2
.
Найти точки экстремума функции
при условии
,
используя метод множителей Лагранжа.
Решение. Составляем функцию Лагранжа . Приравнивая к нулю ее частные производные, получим систему уравнений:
Ее единственное
решение
.
Таким образом, точкой условного экстремума
может быть только точка (3; 1). Нетрудно
убедиться в том, что в этой точке функция
имеет условный минимум. В случае, если
число переменных более двух, моет
рассматриваться и несколько уравнений
связи. Соответственно в этом случае
будет и несколько множителей Лагранжа.
Задача нахождения условного экстремума используется при решении таких экономических задач, как нахождение оптимального распределения ресурсов, выбор оптимального портфеля ценных бумаг и др.
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Метод Лагранжа. |
| Рубрика (тематическая категория) | Математика |
Найти полином означает определить значения его коэффициента 
. Для этого используя условие интерполяции можно сформировать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Определитель этой СЛАУ принято называть определителем Вандермонда. Определитель Вандермонда не равен нулю при для , то есть в том случае, когда в интерполяционной таблице нет совпадающих узлов. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, можно утверждать, что СЛАУ имеет решение и это решение единственно. Решив СЛАУ и определив неизвестные коэффициенты можно построить интерполяционный полином .
Полином, удовлетворяющий условиям интерполяции, при интерполяции методом Лагранжа строится в виде линейной комбинации многочленов n-ой степени:
Многочлены принято называть базисными многочленами. Для того, чтобы многочлен Лагранжа удовлетворял условиям интерполяции крайне важно, чтобы для его базисных многочленов выполнялись следующие условия:
для 
.
В случае если эти условия выполняются, то для любого имеем:
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, выполнение заданных условий для базисных многочленов означает, что выполняются и условия интерполяции.
Определим вид базисных многочленов исходя из наложенных на них ограничений.
1-е условие: при .
2-е условие: .
Окончательно для базисного многочлена можно записать:
Тогда, подставляя полученное выражение для базисных многочленов в исходный полином, получаем окончательный вид многочлена Лагранжа:
Частная форма многочлена Лагранжа при принято называть формулой линейной интерполяции:
.
Многочлен Лагранжа взятый при принято называть формулой квадратичной интерполяции:
Метод Лагранжа. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Метод Лагранжа." 2017, 2018.
Линейные ДУ. Определение. ДУ вида т.е. линейное относ-но неизвестной ф-ции и ее производной наз-ся линейным. Для реш-я такого типа ур-й рассмотрим два метода: метод Лагранжа и метод Бернулли.Рассмотрим однородное ДУ Это ур-е с разделяющимися переем-ми Решение ур-я Общее... .
Определение. ДУ наз-ся однород-м, если ф-я может быть представлена, как ф-я отнош-я своих аргументов Пример. Ф-я наз-ся однородной ф-й измерения если Примеры: 1) - 1-й порядок однородности. 2) - 2-й порядок однородности. 3) - нулевой порядок однородности (просто однородная... .
Задачи на экстремум имеют большое значение в экономических расчетах. Это вычисление, например, максимумов дохода, прибыли, минимума издержек в зависимости от нескольких переменных: ресурсов, производственных фондов и т.д. Теория нахождения экстремумов функций... .
3. 2. 1. ДУ с разделяющимися переменными С.Р. 3. В естествознании, технике и экономике часто приходится иметь дело с эмпирическими формулами, т.е. формулами, составленными на основе обработки статистических данных или...
