Непрерывная случайная величина х задана функцией распределения вероятностей. Дискретные случайные величины
Глава 1. Дискретная случайная величина
§ 1.Понятия случайной величины.
Закон распределения дискретной случайной величины.
Определение : Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.
Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.
Определение : Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.
Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.
Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.
Определение : Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т. е.
где р1+ р2+…+ рn=1
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.
Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р1+ р2+…+ рn+… сходится и его сумма равна 1.
Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (xi;pi), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения (рис.1).
Органическая хиимя" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">органической химии соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х - числа экзаменов, которые сдаст студент.
Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена может принять одно из следующих значений:x1=0, x2=1, х3=2.
Найдем вероятность этих значений.Обозначим события:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Итак, закон распределения случайной величины Х задается таблицей:
Контроль:0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Функция распределения
Полное описание случайной величины дает также функция распределения.
Определение: Функцией распределения дискретной случайной величины Х называется функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:
F(x)=Р(Х<х)
Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается на числовой прямой точкой, лежащей левее точки х.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x)- неубывающая функция на (-∞;+∞);
3) F(x)- непрерывна слева в точках х= xi (i=1,2,…n) и непрерывна во всех остальных точках;
4) F(-∞)=Р (Х<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=Р(Х<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Если закон распределения дискретной случайной величины Х задан в виде таблицы:
то функция распределения F(x) определяется формулой:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 при х≤ x1,
р1 при x1< х≤ x2,
F(x)= р1 + р2 при x2< х≤ х3
1 при х> хn.
Её график изображен на рис.2:
§ 3. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.
Определение : Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:
М(Х)= ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.
Свойства математического ожидания:
1)M(C)=C, где С-постоянная величина;
2)М(С Х)=С М(Х),
3)М(Х±Y)=М(Х) ±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), где X, Y - независимые случайные величины;
5)M(X±C)=M(X)±C, где С-постоянная величина;
Для характеристики степени рассеивания возможных значений дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения служит дисперсия .
Определение : Дисперсией D ( X ) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Свойства дисперсии:
1)D(C)=0, где С-постоянная величина;
2)D(X)>0, где Х - случайная величина;
3)D(C X)=C2 D(X), где С-постоянная величина;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X, Y - независимые случайные величины;
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
где М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину √D(X).
Определение: Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
Задача №2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Найти Р2, функцию распределения F(x) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).
Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины Х равна 1, то
Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Найдем функцию распределения F(х)=P(X Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х. Если х≤-1, то F(х)=0, т. к. на (-∞;х) нет ни одного значения данной случайной величины; Если -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Если 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают два значения x1=-1 и x2=0; Если 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Если 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Если х>3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)+Р(Х=3)= 0,1+0,1+0,3+0,2+0,3=1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1,х4=2 и х5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 при х≤-1, 0,1 при -1<х≤0, 0,2 при 0<х≤1, F(x)= 0,5 при 1<х≤2, 0,7 при 2<х≤3, 1 при х>3 Изобразим функцию F(x)графически (рис.3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1,2845. §
4. Биномиальный закон распределения
дискретной случайной величины, закон Пуассона.
Определение:
Биномиальным
называется закон распределения дискретной случайной величины Х - числа появлений события А в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых события А может наступить с вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p. Тогда Р(Х=m)-вероятность появления события А ровно m раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по бинарному закону, находят, соответственно, по формулам: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Вероятность события А - «выпадение пятерки» в каждом испытании одна и та же и равна 1/6, т. е. Р(А)=р=1/6, тогда Р(А)=1-p=q=5/6, где - «выпадения не пятерки». Случайная величина Х может принимать значения: 0;1;2;3. Вероятность каждого из возможных значений Х найдем по формуле Бернулли: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Т. о. закон распределения случайной величины Х имеет вид: Контроль: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Найдем числовые характеристики случайной величины Х: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Задача№4.
Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 отобранных деталей окажется: а) 5 бракованных; б) хотя бы одна бракованная. Решение:
Число n=1000 велико, вероятность изготовления бракованной детали р=0,002 мала, и рассматриваемые события (деталь окажется бракованной) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона: Рn(m)= e
-
λ
λm
Найдем λ=np=1000 0,002=2. а)Найдем вероятность того, что будет 5 бракованных деталей (m=5): Р1000(5)= e
-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 б)Найдем вероятность того, что будет хотя бы одна бракованная деталь. Событие А -«хотя бы одна из отобранных деталей бракованная» является противоположным событию -«все отобранные детали не бракованные».Следовательно, Р(А)=1-Р(). Отсюда искомая вероятность равна: Р(А)=1-Р1000(0)=1- e
-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Задачи для самостоятельной работы.
1.1
1.2.
Дисперсная случайная величина Х задана законом распределения: Найти р4, функцию распределения F(X) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х). 1.3.
В коробке 9 фломастеров, из которых 2 фломастера уже не пишут. Наудачу берут 3 фломастера. Случайная величина Х - число пишущих фломастеров среди взятых. Составить закон распределения случайной величины. 1.4.
На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 6 учебников, причем 4 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 4 учебника. Случайная величина Х-число учебников в переплете среди взятых. Составить закон распределения случайной величины. 1.5.
В билете две задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй-0,7. Случайная величина Х- число правильно решенных задач в билете. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, а также найти функцию распределения F(x) и построить ее график. 1.6.
Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,5, для второго-0,8, для третьего -0,7. Случайная величина Х - число попаданий в мишень, если стрелки делают по одному выстрелу. Найти закон распределения, M(X),D(X). 1.7.
Баскетболист бросает мяч в корзину с вероятностью попадания при каждом броске 0,8. За каждое попадание он получает 10 очков, а в случае промаха очки ему не начисляют. Составить закон распределения случайной величины Х-числа очков, полученных баскетболистом за 3 броска. Найти M(X),D(X), а также вероятность того, что он получит более 10 очков. 1.8.
На карточках написаны буквы, всего 5 гласных и 3 согласных. Наугад выбирают 3 карточки, причем каждый раз взятую карточку возвращают назад. Случайная величина Х-число гласных букв среди взятых. Составить закон распределения и найти M(X),D(X),σ(Х). 1.9.
В среднем по 60% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения случайной величины Х - числа договоров, по которым была выплачена страховая сумма среди наудачу отобранных четырех договоров. Найти числовые характеристики этой величины. 1.10.
Радиостанция через определенные промежутки времени посылает позывные сигналы (не более четырех) до установления двусторонней связи. Вероятность получения ответа на позывной сигнал равна 0,3. Случайная величина Х-число посланных позывных сигналов. Составить закон распределения и найти F(x). 1.11.
Имеется 3 ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения случайной величины Х-числа попыток открывания замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти M(X),D(X). 1.12.
Производятся последовательные независимые испытания трех приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х-числа испытанных приборов. 1.13
.Дискретная случайная величина Х имеет три возможные значения: х1=1, х2,х3, причем х1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Блок электронного устройства содержит 100 одинаковых элементов. Вероятность отказа каждого элемента в течении времени Т равна 0,002. Элементы работают независимо. Найти вероятность того, что за время Т откажет не более двух элементов. 1.15.
Учебник издан тиражом 50000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того, что тираж содержит: а) четыре бракованные книги, б) менее двух бракованных книг. 1
.16.
Число вызовов, поступающих на АТС каждую минуту, распределено по закону Пуассона с параметром λ=1,5. Найдите вероятность того, что за минуту поступит: а) два вызова; б)хотя бы один вызов. 1.17.
Найти M(Z),D(Z), если Z=3X+Y. 1.18.
Даны законы распределения двух независимых случайных величин: Найти M(Z),D(Z), если Z=X+2Y. Ответы:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">1.1.
р3=0,4; 0 при х≤-2, 0,3 при -2<х≤0, F(x)= 0,5 при 0<х≤2, 0,9 при 2<х≤5, 1 при х>5 0,3 при -1<х≤0, 0,4 при 0<х≤1, F(x)= 0,6 при 1<х≤2, 0,7 при 2<х≤3, 1 при х>3 M(Х)=1; D(Х)=2,6; σ(Х) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 при х≤0, 0,03 при 0<х≤1, F(x)= 0,37 при 1<х≤2, 1 при х>2 M(Х)=2; D(Х)=0,62 M(Х)=2,4; D(Х)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(Х)=15/8; D(Х)=45/64; σ(Х) ≈ M(Х)=2,4; D(Х)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14">1.11.
M(Х)=2; D(Х)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
а)0,0189; б) 0,00049 1.16.
а)0,0702; б)0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Глава 2.
Непрерывная случайная величина
Определение:
Непрерывной
называют величину, все возможные значения которой полностью заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Непрерывную случайную величину можно задавать с помощью функции распределения. Определение:
Функцией распределения
непрерывной случайной величины Х называется функция F(х), определяющая для каждого значения хhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">R Функцию распределения иногда называют интегральной функцией распределения. Свойства функции распределения:
1)1≤ F(x) ≤1 2)У непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек. 3) Вероятность попадания случайной величины Х в один из промежутков (а;b), [а;b), [а;b], равна разности значений функции F(х) в точках а и b, т.е. Р(а<Х 4)Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно отдельное значение равна 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Введем понятие плотности распределения вероятностей (плотность распределения). Определение
:
Плотностью распределения вероятностей
f
(
x
)
непрерывной случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, т. е.: Плотность распределения вероятностей иногда называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения. Графикплотности распределения вероятностей f(x) называется кривой распределения вероятностей
.
Свойства плотности распределения вероятностей:
1)f(x) ≥0,при хhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height="62 src="> 0 при х≤2, f(x)= с(х-2) при 2<х≤6, 0 при х>6. Найти: а) значение с; б) функцию распределения F(х) и построить ее график; в) Р(3≤х<5) Решение:
+
∞ а) Значение с найдем из условия нормировки: ∫ f(x)dx=1. Следовательно, -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 х если 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(х2/2-2х+2)=1/16(х-2)2; Gif" width="14" height="62"> 0 при х≤2, F(х)= (х-2)2/16 при 2<х≤6, 1 при х>6. График функции F(х) изображен на рис.3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 при х≤0, F(х)= (3 arctg х)/π при 0<х≤√3, 1 при х>√3. Найти дифференциальную функцию распределения f(х) Решение:
Т. к.f(х)= F’(x), то https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24"> Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дисперсных случайных величин, справедливы и для непрерывных. Задача №3.
Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + х2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ х2 f(x)dx-(М(х))2=∫ х2 х/3 dx+∫1/3х2 dx=(31/18)2=х4/12 +х3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Задачи для самостоятельного решения.
2.1.
Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения: 0 при х≤0, F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤ π/6, F(х)= - cos 3x при π/6<х≤ π/3, 1 при х> π/3. Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 при х≤2, f(х)= с х при 2<х≤4, 0 при х>4. 2.4.
Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения: 0 при х≤0, f(х)= с √х при 0<х≤1, 0 при х>1. Найти: а) число с; б) М(Х), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> при х, 0 при х . Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), σ(Х); в) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее интервалу (1;4). 2.6.
Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х: f(х)= 2(х-2) при х, 0 при х . Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), σ (Х); в) вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее отрезку . 2.7.
Функция f(х) задана в виде: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√3/2 ; √3/2]. 2.8.
Функция f(x) задана в виде: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Найти: а) значение постоянной с, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) функцию распределения F(x). 2.9.
Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (3;7), задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение: а) меньше 5, б) не меньше 7. 2.10.
Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (-1;4), задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение: а) меньше 2, б) не меньше 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Найти: а) число с; б) М(Х); в) вероятность Р(Х> М(Х)). 2.12.
Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15">. Найти: а) М(Х); б) вероятность Р(Х≤М(Х)) 2.13.
Распределение Ремя задается плотностью вероятности: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> при х ≥0. Доказать, что f(x) действительно является плотностью распределения вероятностей. 2.14.
Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(рис.4) 2.16.
Случайная величина Х распределена по закону «прямоугольного треугольника» в интервале (0;4) (рис.5). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f(x) на всей числовой оси. Ответы
0 при х≤0, f(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤ π/6, F(х)= 3sin 3x при π/6<х≤ π/3, 0 при х> π/3.
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. 0 при х≤а, f(х)= при a<х 0 при х≥b. График функции f(x) изображен на рис. 1 F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(Х)=. Задача№1.
Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке . Найти: а) плотность распределения вероятностей f(x) и построить ее график; б) функцию распределения F(x) и построить ее график; в) M(X),D(X), σ(Х). Решение:
Воспользовавшись формулами, рассмотренными выше, при а=3, b=7, находим: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> при 3≤х≤7, 0 при х>7 Построим ее график (рис.3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 при х≤3, F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">рис.4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 при х<0, f(х)= λе-λх при х≥0. Функция распределения случайной величины Х, распределенной по показательному закону, задается формулой: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">рис..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)= Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой. Вероятность попадания Х в интервал (a;b) вычисляется по формуле: Р(a<Х Задача №2.
Среднее время безотказной работы прибора равно 100 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти: а) плотность распределения вероятностей; б) функцию распределения; в) вероятность того, что время безотказной работы прибора превысит 120 ч. Решение:
По условию математическое распределение M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 при х<0, а) f(х)= 0,01е -0,01х при х≥0. б) F(x)= 0 при х<0, 1- е -0,01х при х≥0. в) Искомую вероятность найдем, используя функцию распределения: Р(X>120)=1-F(120)=1-(1- е -1,2)= е -1,2≈0,3. §
3.Нормальный закон распределения
Определение:
Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса),
если ее плотность распределения имеет вид: где m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой
(рис.7) Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф (х) по формуле: где - функция Лапласа. Замечание:
Функция Ф(х) является нечетной (Ф(-х)=-Ф(х)), кроме того, при х>5 можно считать Ф(х) ≈1/2. График функции распределения F(x) изображен на рис. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ вычисляется по формуле: В частности, при m=0 справедливо равенство: «Правило трех сигм»
Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами m и σ, то практически достоверно, что ее значение заключены в интервале (a-3σ; a+3σ), т. к. https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">а) б) Воспользуемся формулой: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> По таблице значений функции Ф(х) находим Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413. Итак, искомая вероятность: P(28 Задачи для самостоятельной работы
3.1.
Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-3;5). Найдите: б)функции распределения F(x); в)числовые характеристики; г)вероятность Р(4<х<6). 3.2.
Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке . Найдите: а) плотность распределения f(x); б)функции распределения F(x); в)числовые характеристики; г)вероятность Р(3≤х≤6). 3.3.
На шоссе установлен автоматический светофор, в котором 2 минуты для транспорта горит зеленый свет, 3 секунды желтый и 30 секунд красный и т. д. Машина проезжает по шоссе в случайный момент времени. Найти вероятность того, что машина проедет мимо светофора, не останавливаясь. 3.4.
Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать поезд пассажиру придется больше 50 секунд. Найти математическое ожидание случайной величины Х - время ожидания поезда. 3.5.
Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного функцией распределения: F(x)= 0 при х<0, 1-е-8х при х≥0. 3.6.
Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей: f(x)= 0 при х<0, 0,7 е-0,7х при х≥0. а) Назовите закон распределения рассматриваемой случайной величины. б) Найдите функцию распределения F(X) и числовые характеристики случайной величины Х. 3.7.
Случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью распределения вероятностей: f(x)= 0 при х<0, 0,4 е-0,4 х при х≥0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (2,5;5). 3.8.
Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения: F(x)= 0 при х<0, 1-е-0,6х при х≥0 Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка . 3.9.
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 8 и 2. Найдите: а) плотность распределения f(x); б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (10;14). 3.10.
Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 3,5 и дисперсией 0,04. Найдите: а) плотность распределения f(x); б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка . 3.11.
Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и D(X)=1. Какое из событий: |Х|≤0,6 или |Х|≥0,6 имеет большую вероятность? 3.12.
Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и D(X)=1.Из какого интервала (-0,5;-0,1) или (1;2) при одном испытании она примет значение с большей вероятностью? 3.13.
Текущая цена за одну акцию может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с M(X)=10ден. ед. и σ (Х)=0,3 ден. ед. Найти: а) вероятность того, что текущая цена акции будет от 9,8 ден. ед. до 10,4 ден. ед.; б)с помощью «правила трех сигм» найти границы, в которых будет находится текущая цена акции. 3.14.
Производится взвешивание вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отношением σ=5г. Найти вероятность того, что в четырех независимых опытах ошибка при трех взвешиваниях не произойдет по абсолютной величине 3г. 3.15.
Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=12,6. Вероятность попадания случайной величины в интервал (11,4;13,8) равна 0,6826. Найдите среднее квадратическое отклонение σ. 3.16.
Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=12 и D(X)=36.Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадет в результате испытания случайная величина Х. 3.17.
Деталь, изготовленная автоматом, считается бракованной, если отклонение Х ее контролируемого параметра от номинала превышает по модулю 2 единицы измерения . Предполагается, что случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и σ(Х)=0,7. Сколько процентов бракованных деталей выдает автомат? 3.18.
Параметр Х детали распределен нормально с математическим ожиданием 2, равным номиналу, и средним квадратическим отклонением 0,014. Найти вероятность того, что отклонение Х от номинала по модулю не превысит 1% номинала. Ответы
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> б) 0 при х≤-3, F(х)= left"> 3.10.
а)f(x)= , б) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
а) Р(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. Случайной величиной
называется переменная, которая
может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и случайная величина называется непрерывной
, если
она может принимать любое значение из какого-либо ограниченного или неограниченного
интервала. Для непрерывной случайной величины невозможно указать все возможные
значения, поэтому обозначают интервалы этих значений, которые связаны с определёнными
вероятностями. Примерами непрерывных случайных величин могут служить: диаметр
детали, обтачиваемой до заданного размера, рост человека, дальность полёта снаряда и др. Так как для непрерывных случайных величин функция F
(x
), в отличие
от дискретных случайных величин
, нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения
непрерывной случайной величины равна нулю. Это значит, что для непрерывной случайной величины бессмысленно говорить о распределении
вероятностей между её значениями: каждое из них имеет нулевую вероятность. Однако в некотором смысле
среди значений непрерывной случайной величины есть "более и менее вероятные". Например, вряд ли у кого-либо
возникнет сомнение, что значение случайной величины - роста наугад встреченного человека - 170 см - более
вероятно, чем 220 см, хотя и одно, и другое значение могут встретиться на практике. В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных
величин, вводится понятие плотности распределения или плотности вероятности. Подойдём к нему путём
сравнения смысла функции распределения для непрерывной случайной величины и для дискретной случайной величины. Итак, функцией распределения случайной величины (как
дискретной, так и непрерывной) или интегральной функцией
называется функция ,
которая определяет вероятность, что значение случайной величины X
меньше или
равно граничному значению х
. Для дискретной случайной величины в точках её значений
x
1
, x
2
, ..., x
i
,...
сосредоточены массы вероятностей p
1
, p
2
, ..., p
i
,...
,
причём сумма всех масс равна 1. Перенесём эту интерпретацию на случай непрерывной случайной величины.
Представим себе, что масса, равная 1, не сосредоточена в отдельных точках, а непрерывно "размазана"
по оси абсцисс Оx
с какой-то неравномерной плотностью. Вероятность попадания случайной величины
на любой участок Δx
будет интерпретироваться как масса, приходящаяся
на этот участок, а средняя плотность на этом участке - как отношение массы к длине. Только что мы
ввели важное понятие теории вероятностей: плотность распределения. Плотностью вероятности
f
(x
)
непрерывной случайной величины называется производная её функции распределения: Зная функцию плотности, можно найти вероятность того, что значение
непрерывной случайной величины принадлежит закрытому интервалу [a
; b
]: вероятность того, что непрерывная случайная величина X
примет какое-либо значение из интервала [a
; b
], равна определённому
интегралу от её плотности вероятности в пределах от a
до b
: При этом общая формула функции F
(x
)
распределения вероятностей непрерывной случайной величины, которой можно пользоваться, если известна функция
плотности f
(x
)
: График плотности вероятности непрерывной случайной величины
называется её кривой распределения (рис. ниже). Площадь фигуры (на рисунке заштрихована), ограниченной кривой, прямыми, проведёнными из точек a
и b
перпендикулярно оси абсцисс, и осью Ох
, графически отображает вероятность того,
что значение непрерывной случайной величины Х
находится в пределах от
a
до b
. 1. Вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из интервала
(и площадь фигуры,
которую ограничивают график функции f
(x
) и ось
Ох
) равна единице: 2. Функция плотности вероятности не может принимать отрицательные значения: а за пределами существования распределения её значение равно нулю Плотность распределения f
(x
), как и функция распределения
F
(x
), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции
распределения, она не универсальна: плотность распределения существует только для непрерывных
случайных величин. Упомянем о двух важнейших в практике видах распределения непрерывной случайной величины. Если функция плотности распределения f
(x
) непрерывной случайной
величины в некотором конечном интервале [a
; b
] принимает постоянное значение
C
, а за пределами интервала принимает значение, равное нулю, то такое распределение называется
равномерным
. Если график функции плотности распределения симметричен относительно центра,
средние значения сосредоточены вблизи центра, а при отдалении от центра собираются более отличающиеся от средних
(график функции напоминает разрез колокола), то такое распределение называется нормальным
. Пример 1.
Известна функция распределения вероятностей
непрерывной случайной величины: Найти функцию f
(x
)
плотности
вероятности непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что
непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 4 до 8:
. Решение. Функцию плотности вероятности получаем, находя производную функции распределения
вероятностей: График функции F
(x
)
- парабола: График функции f
(x
)
- прямая: Найдём вероятность того, что
непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 4 до 8: Пример 2.
Функция плотности вероятности
непрерывной случайной величины дана в виде: Вычислить коэффициент C
. Найти функцию F
(x
)
распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что
непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 0 до 5:
. Решение. Коэффициент C
найдём, пользуясь
свойством 1 функции плотности вероятности: Таким образом, функция плотности вероятности непрерывной случайной величины: Интегрируя, найдём функцию F
(x
)
распределения вероятностей. Если x
< 0
, то
F
(x
) = 0
. Если 0 < x
< 10
, то x
> 10
, то
F
(x
) = 1
. Таким образом, полная запись функции распределения вероятностей: График функции f
(x
)
: График функции F
(x
)
: Найдём вероятность того, что
непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 0 до 5: Пример 3.
Плотность вероятности непрерывной
случайной величины X
задана равенством
,
при этом .
Найти коэффициент А
, вероятность того, что непрерывная случайная величина
X
примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[, функцию распределения
непрерывной случайной величины X
. Решение. По условию
приходим к равенству Следовательно, ,
откуда . Итак, Теперь находим вероятность того, что непрерывная случайная величина
X
примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[: Теперь получим функцию распределения данной случайной величины: Пример 4.
Найти плотность вероятности непрерывной
случайной величины X
, которая принимает только неотрицательные значения, а
её функция распределения Непрерывную
случайную величину можно задать с
помощью функции распределения F
(x
)
.
Этот способ задания не является
единственным. Непрерывную случайную
величину можно также задать, используя
другую функцию, которую называют
плотностью распределения или плотностью
вероятности (иногда её называют
дифференциальной функцией). Определение4.1:
Плотностью
распределения непрерывной случайной
величины
Х
называют функцию f
(x
)
- первую
производную от функции распределения
F
(x
)
: f
(
x
)
=
F
"(
x
)
.
Из
этого определения следует, что функция
распределения является первообразной
для плотности распределения. Заметим,
что для описания распределения
вероятностей дискретной случайной
величины плотность распределения
неприменима. Вероятность
попадания непрерывной случайной величины
в заданный интервал
Зная
плотность распределения, можно вычислить
вероятность того, что непрерывная
случайная величина примет значение,
принадлежащее заданному интервалу. Теорема:
Вероятность того, что непрерывная
случайная величина Х примет значение,
принадлежащие интервалу (a
,
b
),
равна определённому интегралу от
плотности распределения, взятому в
пределах от
a
до
b
:
Доказательство:
Используем соотношение P
(a
≤
X
b
)
=
F
(b
)
–
F
(a
).
По формуле
Ньютона-Лейбница, Таким образом, Так как P
(a
≤
X
b
)=
P
(a
X
b
)
,
то окончательно получим
Геометрически
полученный результат можно истолковать
так: вероятность того, что непрерывная
случайная величина примет значение,
принадлежащее интервалу (a
,
b
),
равна площади криволинейной трапеции,
ограниченной осью
Ox
,
кривой распределения
f
(x
)
и прямыми
x
=
a
и
x
=
b
.
Замечание:
В частности, если f
(x
)
– чётная функция и концы интервала
симметричны относительно начала
координат, то Пример.
Задана плотность вероятности случайной
величины Х
Найти вероятность
того, что в результате испытания Х
примет значение, принадлежащие интервалу
(0,5; 1). Решение:
Искомая вероятность Нахождение
функции распределения по известной
плотности распределения
Зная
плотность распределения f
(x
)
,
можно найти функцию распределения F
(x
)
по формуле Действительно,
F
(x
)
=
P
(X
x
) = P
(-∞
X
x
)
.
Следовательно, Таким образом,
зная плотность распределения, можно
найти функцию распределения. Разумеется,
по известной функции распределения
можно найти плотность распределения
,
а именно: f
(x
)
=
F
"(x
).
Пример.
Найти функцию распределения по данной
плотности распределения: Решение:
Воспользуемся формулой
Если x
≤
a
, то f
(x
)
= 0
, следовательно, F
(x
)
= 0
. Если a
, то
f(x) = 1/(b-a)
,
следовательно, Если x
>
b
, то Итак, искомая
функция распределения Замечание:
Получили функцию распределения
равномерно распределенной случайной
величины (см. равномерное распределение). Свойства
плотности распределения
Свойство 1:
Плотность распределения - неотрицательная
функция: f
(
x
)
≥ 0
. Свойство 2:
Несобственный интеграл от плотности
распределения в пределах от -∞ до ∞
равен единице: Замечание:
График плотности распределения
называют кривой распределения
. Замечание:
Плотность распределения непрерывной
случайной величины также называют
законом распределения. Пример.
Плотность распределения случайной
величины имеет следующий вид: Найти постоянный
параметр a
. Решение:
Плотность распределения должна
удовлетворять условию ,
поэтому потребуем, чтобы выполнялось
равенство Отсюда
Вычислим
несобственный интеграл: Таким образом,
искомый параметр Вероятный
смысл плотности распределения
Пусть
F
(x
)
– функция распределения непрерывной
случайной величины X
. По определению плотности распределения,
f
(x
)
=
F
"(x
)
,
или Разность
F
(x
+∆х)
-
F
(x
)
определяет вероятность того, что X
примет значение, принадлежащее интервалу
(x
,
x
+∆х)
.
Таким образом, предел отношения
вероятности того, что непрерывная
случайная величина примет значение,
принадлежащее интервалу (x
,
x
+∆х)
, к длине
этого интервала (при ∆х→0
) равен
значению плотности распределения в
точке х
. Итак,
функция f
(x
)
определяет плотность распределения
вероятности для каждой точки х
. Из
дифференциального исчисления известно,что приращение функции приближенно
равно дифференциалу функции, т.е. Так как F
"(x
)
=
f
(x
)
и dx
= ∆
x
,
то F
(x
+∆
x
)
-
F
(x
)
≈
f
(x
)∆
x
. Вероятностный
смысл этого равенства таков:
вероятность
того, что случайная величина примет
значение принадлежащее интервалу (x
,
x
+∆
x
)
,приближенно равна произведению плотности
вероятности в точке х на длину интервала
∆х
. Геометрически
этот результат можно истолковать так
:
вероятность того, что случайная
величина примет значение принадлежащее
интервалу (x
,
x
+∆
x
)
,приближенно равна площади прямоугольника
с основанием ∆х и высотой
f
(x
).
Определение5.1:
Случайная
величина
X
, принимающая
два значения 1
и 0
с вероятностями
(“успеха”) p
и
(“неуспеха”) q
,
называется Бернуллиевской
: Пусть
производится n
независимых испытаний, в каждом из
которых событие A
может появиться или не появиться.
Вероятность наступления события во
всех испытаниях постоянна и равна p
(следовательно, вероятность непоявления
q
= 1 -
p
). Рассмотрим
случайную величину X
– число появлений события A
в этих испытаниях. Случайная величина
X
принимает значения
0,1,2,…
n
с вероятностями,
вычисленными по формуле Бернулли:
,
где k
= 0,1,2,…
n
. Определение5.2:
Биномиальным
называют раcпределение
вероятностей, определяемое формулой
Бернулли. Пример.
По мишени производится три выстрела,
причем вероятность попадания при каждом
выстреле равна 0,8. Рассматривается
случайная величина X
– число попаданий в мишень. Найти ее
ряд распределения. Решение:
Случайная величина X
принимает значения 0,1,2,3
с вероятностями,
вычисленными по формуле Бернулли, где
n
= 3,
p
= 0,8
(вероятность попадания), q
= 1 - 0,8 = = 0,2
(вероятность непопадания). Таким образом, ряд распределения
имеет следующий вид: Пользоваться формулой Бернулли
при больших значениях n
достаточно трудно, поэтому для подсчета
соответствующих вероятностей используют
локальную теорему Лапласа, которая
позволяет приближенно найти вероятность
появления события ровно k
раз в n
испытаниях,
если число испытаний достаточно велико. Локальная
теорема Лапласа
: Если вероятность p
появления события A
Замечание1:
Таблицы, в которых помещены значения
функции
Пример:
Найти вероятность того, что событие
A
наступит ровно
80
раз в 400
испытаниях, если
вероятность появления этого события в
каждом испытании равна 0,2.
Решение:
По условию n
= 400,
k
= 80,
p
= 0,2
, q
= 0,8
.
Вычислим определяемое данными задачи
значение x
:
Если
нужно вычислить вероятность того, что
событие A
появится в
n
испытаниях не менее
k
1
раз и не
более k
2
раз, то нужно использовать интегральную
теорему Лапласа: Интегральная
теорема Лапласа
: Если вероятность p
появления события A
в каждом испытании постоянна и отлична
от нуля и единицы, то вероятность
того, что событие A
появится в n
испытаниях
от k
1
до
k
2
раз,
приближенно равна определенному
интегралу Другими
словами, вероятность того, что событие
A
появится в n
испытаниях от k
1
до k
2
раз,
приближенно равна где
Замечание2:
Функцию
Пример:
Найти вероятность того, что среди
400
случайно отобранных деталей окажется
непроверенных от 70 до 100 деталей, если
вероятность того, что деталь не прошла
проверку ОТК, равна 0,2.
Решение:
По условию n
= 400,
p
= 0,2
, q
= 0,8,
k
1
=
70,
k
2
=
100
. Вычислим нижний и верхний пределы
интегрирования: Таким образом,
имеем: По таблице
приложения 2 находим, что
Замечание3:
В сериях независимых испытаний (когда
n велико, p мало) для вычисления вероятности
наступления события ровно k раз используют
формулу Пуассона (смотри распределение
Пуассона). Определение5.3:
Дискретную
случайную величину называют Пуассоновской,
если ее закон распределения имеет
следующий вид: Примеры
Пуассоновских случайных величин:
Число вызовов
на автоматическую станцию за промежуток
времени T
.
Число частиц
распада некоторого радиоактивного
вещества за промежуток времени T
.
Число
телевизоров, которые поступают в
мастерскую за промежуток времени T
в большом городе.
Число
автомобилей, которые поступят к
стоп-линии перекрестка в большом городе.
Замечание1:
Специальные таблицы для вычисления
данных вероятностей приведены в
приложении 3. Замечание2:
В сериях независимых испытаний (когда
n
велико, p
мало) для вычисления вероятности
наступления события ровно k
раз используют формулу Пуассона:
Замечание3:
Если есть случайная величина, которая
распределена по закону Пуассона, то
обязательно есть случайная величина,
которая распределена по показательному
закону и, наоборот (см. Показательное
распределение). Пример.
Завод отправил на базу 5000
доброкачественных изделий. Вероятность
того, что в пути изделие повредится,
равна 0,0002
. Найти вероятность, что
на базу прибудут ровно три негодных
изделия. Решение:
По условию n
= 5000,
p
= 0,0002,
k
= 3.
Найдем
λ: λ =
np
= 5000·0,0002
= 1
. По формуле
Пуассона искомая вероятность равна: Пусть
производятся независимые испытания, в
каждом из которых вероятность появления
события А
равна p
(0 p q
= 1 -
p
. Испытания
заканчиваются, как только появится
событие А
. Таким образом, если
событие А
появилось в k
-м
испытании, то в предшествующих k
– 1
испытаниях оно не появлялось. Обозначим
через Х
дискретную случайную величину
– число испытаний, которые нужно провести
до первого появления события А
.
Очевидно, возможными значениями Х
являются натуральные числа х 1 =
1, х 2 = 2, … Пусть в
первых k
-1
испытаниях
событие А
не наступило, а в k
-м
испытании появилось. Вероятность этого
“сложного события”, по теореме умножения
вероятностей независимых событий,
P
(X
=
k
) =
q
k
-1
p
.
Определение5.4:
Дискретная
случайная величина имеет геометрическое
распределение
, если ее закон
распределения имеет следующий вид: P
(
X
=
k
) =
q
k
-1
p
,
где
Замечание1:
Полагая k
= 1,2,…
,
получим геометрическую прогрессию с
первым членом p
и
знаменателем q
(0q
. По этой
причине распределение называют
геометрическим.
Замечание2:
Ряд
Пример.
Из орудия производится стрельба по
цели до первого попадания. Вероятность
попадания в цель p
= 0,6
. Найти вероятность того, что
попадание произойдет при третьем
выстреле. Решение:
По условию p
= 0,6,
q
= 1 – 0,6 = 0,4,
k
= 3.
Искомая вероятность равна: P
(X
= 3) = 0,4
2
·0,6
= 0,096.
Рассмотрим
следующую задачу. Пусть в партии из N
изделий имеется M
стандартных (M
N
).
Из партии случайно отбирают n
изделий (каждое изделие может быть
извлечено с одинаковой вероятностью),
причем отобранное изделие перед отбором
следующего не возвращается в партию
(поэтому формула Бернулли здесь не
применима).
Обозначим
через X
случайную
величину – число m
стандартных изделий среди n
отобранных. Тогда возможными значениями
X
будут 0, 1, 2,…, min
; обозначим их и, ... по
значениям независимой переменной (Fonds) воспользуемся кнопкой (раздел
... ... методические
указания
по
выполнению практических работ 5.1 Методические
рекомендации по
выполнению учебных проектов 5.2 Методические
рекомендации по
... чувствительности), одномерного
и многомерного... случайного
компонента в величине
... с разделом
«Представление... ... разделов
в учебниках. Решение задач по
каждой теме. Проработка методических
указаний
к лабораторным работам по
... случайной
и приборной погрешности измерений 1.8 Тематика контрольных работ и методические
указания
по
... Частица в одномерной
потенциальной яме. ... ... Методические
указания
к ЛАБОРАТОРНым РАБОТАМ по
... величиной
, а наибольшей суммой величин
... массива случайными
числами... 3.0 4.0 3.0 -2.5 14.3 16.2 18.0 1.0 а) одномерный
массив б) двумерный массив Рис. 2– Файлы... описываются в разделе
реализации после... Случайной величиной
называют переменную величину, которая в результате каждого испытания принимает одно заранее неизвестное значение, зависящее от случайных причин. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ По своему типу случайные величины могут быть дискретными
и непрерывными
. Дискретная случайная величина
- это такая случайная величина, значения которой могут быть не более чем счетными, то есть либо конечными, либо счетными. Под счетностью имеется ввиду, что значения случайной величины можно занумеровать. Пример 1
. Приведем примеры дискретных случайных величин: а) число попаданий в мишень при $n$ выстрелах, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$. б) число выпавших гербов при подкидывании монеты, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$. в) число прибывших кораблей на борт (счетное множество значений). г) число вызовов, поступающих на АТС (счетное множество значений). Дискретная случайная величина $X$ может принимать значения $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятностями $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Соответствие между этими значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины
. Как правило, это соответствие задается с помощью таблицы, в первой строке которой указывают значения $x_1,\dots ,\ x_n$, а во второй строке соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$. $\begin{array}{|c|c|} Пример 2
. Пусть случайная величина $X$ - число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика. Такая случайная величина $X$ может принимать следующие значения $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятности всех этих значений равны $1/6$. Тогда закон распределения вероятностей случайной величины $X$: $\begin{array}{|c|c|} Замечание
. Поскольку в законе распределения дискретной случайной величины $X$ события $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ образуют полную группу событий, то в сумме вероятности должны быть равны единице, то есть $\sum{p_i}=1$. Математическое ожидание случайной величины
задает ее «центральное» значение. Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется как сумма произведений значений $x_1,\dots ,\ x_n$ на соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$, то есть: $M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}$. В англоязычной литературе используют другое обозначение $E\left(X\right)$. Свойства математического ожидания
$M\left(X\right)$: Пример 3
. Найдем математическое ожидание случайной величины $X$ из примера $2$. $$M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}=1\cdot {{1}\over {6}}+2\cdot {{1}\over {6}}+3\cdot {{1}\over {6}}+4\cdot {{1}\over {6}}+5\cdot {{1}\over {6}}+6\cdot {{1}\over {6}}=3,5.$$ Можем заметить, что $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим ($1$) и наибольшим ($6$) значениями случайной величины $X$. Пример 4
. Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=2$. Найти математическое ожидание случайной величины $3X+5$. Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2+5=11$. Пример 5
. Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=4$. Найти математическое ожидание случайной величины $2X-9$. Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4-9=-1$. Возможные значения случайных величин с равными математическими ожиданиями могут по-разному рассеиваться вокруг своих средних значений. Например, в двух студенческих группах средний балл за экзамен по теории вероятностей оказался равным 4, но в одной группе все оказались хорошистами, а в другой группе - только троечники и отличники. Поэтому возникает необходимость в такой числовой характеристике случайной величины, которая бы показывала разброс значений случайной величины вокруг своего математического ожидания. Такой характеристикой является дисперсия. Дисперсия дискретной случайной величины
$X$ равна: $$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}.\ $$ В англоязычной литературе используются обозначения $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Очень часто дисперсию $D\left(X\right)$ вычисляют по формуле $D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix^2_i}-{\left(M\left(X\right)\right)}^2$. Свойства дисперсии
$D\left(X\right)$: Пример 6
. Вычислим дисперсию случайной величины $X$ из примера $2$. $$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}={{1}\over {6}}\cdot {\left(1-3,5\right)}^2+{{1}\over {6}}\cdot {\left(2-3,5\right)}^2+\dots +{{1}\over {6}}\cdot {\left(6-3,5\right)}^2={{35}\over {12}}\approx 2,92.$$ Пример 7
. Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=2$. Найти дисперсию случайной величины $4X+1$. Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\left(X\right)=16\cdot 2=32$. Пример 8
. Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=3$. Найти дисперсию случайной величины $3-2X$. Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\left(X\right)=4\cdot 3=12$. Способ представления дискретной случайной величины в виде ряда распределения не является единственным, а главное он не является универсальным, поскольку непрерывную случайную величину нельзя задать с помощью ряда распределения. Существует еще один способ представления случайной величины - функция распределения. Функцией распределения
случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$ Свойства функции распределения
: Пример 9
. Найдем функцию распределения $F\left(x\right)$ для закона распределения дискретной случайной величины $X$ из примера $2$. $\begin{array}{|c|c|} Если $x\le 1$, то, очевидно, $F\left(x\right)=0$ (в том числе и при $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X < 1\right)=0$). Если $1 < x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$. Если $2 < x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$. Если $3 < x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$. Если $4 < x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$. Если $5 < x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$. Если $x > 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1$. Итак, $F(x)=\left\{\begin{matrix}
1.2.
р4=0,1; 0 при х≤-1,
(рис.5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤а,
,
Нормальная кривая симметрична относительно прямой х=m, имеет максимум в т. х=а, равный .
,
Функция распределения непрерывной случайной величины и плотность вероятности
.
.
.
Свойства функции плотности вероятности непрерывной случайной величины
.
.
.4. Плотность распределения вероятностей
непрерывной случайной величины
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Найдём
неопределённый интеграл:
.
.5. Типовые распределения дискретных
случайных величин
5.1. Распределение Бернулли
,
где k
=0,1.
5.2. Биномиальное распределение
того, что событие A
появится в n
испытаниях
ровно k
раз, приближенно
равна (тем точнее, чем больше n
)
значению функции
,
где
,
.
,
даны в приложении 1, причем
.
Функция
является плотностью стандартного
нормального распределения (смотри
нормальное распределение).
.
По таблице приложения 1 находим
.
Тогда искомая вероятность будет:
,
где
и
.
,
и
.
называют функцией Лапласа (смотри
нормальное распределение). Таблицы, в
которых помещены значения функции
,
даны в приложении 2, причем
.
;
.
и
.
Тогда искомая вероятность равна:5.3. Распределение Пуассона
,
где
и
(постоянное
значение).
,
где
,
то есть среднее число появлений
событий остается постоянным.
,
где случайная величина X
– число негодных изделий.5.4. Геометрическое
распределение
.
сходится и сумма его равна единице.
Действительно сумма ряда равна
.5.5. Гипергеометрическое
распределение
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Общий психологический практикум»
Учебно-методический комплекс
Учебно-методический комплекс по дисциплине физика (название)
Учебно-методический комплекс
Методические указания к лабораторным работам по дисциплине информатика
Методические указания
1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end{array}$
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\hline
\end{array}$2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.
3. Дисперсия дискретной случайной величины.
4. Функция распределения дискретной случайной величины.
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end{array}$
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6,при\ 1 < x\le 2,\\
1/3,\ при\ 2 < x\le 3,\\
1/2,при\ 3 < x\le 4,\\
2/3,\ при\ 4 < x\le 5,\\
5/6,\ при\ 4 < x\le 5,\\
1,\ при\ x > 6.
\end{matrix}\right.$
