Площадь основания призмы: от треугольной до многоугольной. Объем треугольной призмы: формула общего типа и формула для правильной призмы

Объём призмы. Решение задач

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.

Г.Галилей

Цель урока:

обучить решению задач на вычисление объема призм, обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся сведения о призме и ее элементах, формировать умения решать задачи повышенной сложности;
развивать логическое мышление, умение самостоятельно работать, навыки взаимоконтроля и самоконтроля, умение говорить и слушать;
выработать привычку к постоянной занятости, каким- либо полезным делом, воспитание отзывчивости, трудолюбия, аккуратности.

Тип урока: урок применения знаний, умений и навыков.

Оборудование: карточки контроля,медиапроектор, презентация “Урок. Объем Призмы”, компьютеры.

Ход урока

Боковые ребра призмы (рис 2).
Боковую поверхность призмы (рис 2, рис 5).
Высоту призмы (рис 3, рис 4).
Прямую призму (рис 2,3,4).
Наклонную призму (рис 5).
Правильную призму (рис 2, рис 3).
Диагональное сечение призмы (рис 2).
Диагональ призмы (рис 2).
Перпендикулярное сечение призмы (ри3, рис4).
Площадь боковой поверхности призмы.
Площадь полной поверхности призмы.
Объем призмы.

ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ (8 мин)

Обменяйтесь тетрадями, проверьте решение на слайдах и выставьте отметку (отметка 10 если составлена задача)

Составьте по рисунку задачу и решите её. Ученик защищает составленную им задачу у доски. Рис 6 и рис 7.

Глава 2,§3
Задача.2. Длины всех ребер правильной треугольной призмы равны между собой. Вычислите объем призмы, если площадь ее поверхности равна cм 2 (рис8)

Глава 2,§3
Задача 5. Основание прямой призмы АВСА 1В 1С1 есть прямоугольный треугольник АВС (угол АВС=90°), АВ=4см. Вычислите объем призмы, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 2,5см, а высота призмы равна 10см. (рис 9).

Глава2,§3
Задача 29.Длина стороны основания правильной четырехугольной призмы равна 3см. Диагональ призмы образует с плоскостью боковой грани угол 30°. Вычислить объем призмы (рис 10).

Совместная работа учителя с классом (2-3мин.).

Цель: подведение итогов теоретической разминки (учащиеся проставляют оценки друг другу), изучение способов решения задач по теме.

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА (3 мин)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ (10 мин)

На данном этапе учитель организует фронтальную работу по повторению способов решения планиметрических задач, формул планиметрии. Класс делится на две группы, одни решают задачи, другие работают за компьютером. Затем меняются. Учащимся предлагается решить всем № 8 (устно), № 9 (устно). После делятся на группы и преступают к решению задач № 14, № 30, № 32.

Глава 2, §3, страница 66-67

Задача 8. Все ребра правильной треугольной призмы равны между собой. Найдите объём призмы, если площадь сечения плоскостью, проходящей через ребро нижнего основания и середину стороны верхнего основания, равна см (рис.11).

Глава 2,§3, страница 66-67
Задача 9. основание прямой призмы – квадрат, а ее боковые ребра в два раза больше стороны основания. Вычислите объем призмы, если радиус окружности, описанной около сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и середину противолежащего бокового ребра, равен см. (рис.12)

Глава 2,§3, страница 66-67
Задача 14 .Основание прямой призмы – ромб, одна из диагоналей которого равна его стороне. Вычислите периметр сечения плоскостью проходящей через большую диагональ нижнего основания, если объем призмы равен и все боковые грани квадраты (рис.13).

Глава 2,§3, страница 66-67
Задача 30 .АВСА 1 В 1 С 1 –правильная треугольная призма, все ребра которой равны между собой, точка о середина ребра ВВ 1 . Вычислите радиус окружности, вписанной в сечение призмы плоскостью АОС, если объем призмы равен (рис.14).

Глава 2,§3, страница 66-67
Задача 32 .В правильной четырех угольной призме сумма площадей оснований равна площади боковой поверхности. Вычислите объем призмы, если диаметр окружности, описанной около сечения призмы плоскостью, проходящей через две вершины нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания, равен 6 см (рис15).

В ходе решения задач ученики сопоставляют свои ответы с теми, что показывает учитель. Это образец решения задачи с подробными комментариями … Индивидуальная работа учителя с “сильными” учениками (10мин.).

Самостоятельная работа учащихся над тестом за компьютером

1. Сторона основания правильной треугольной призмы равна , а высота-5. Найдите объем призмы.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Выберите верное утверждение.

1)Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

2) Объем правильной треугольной призмы вычисляется по формулеV=0,25а 2 h -где а- сторона основания,h-высота призмы.

3)Объем прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

4)Объем правильной четырехугольной призмы вычисляется по формуле V=a 2 h-где а- сторона основания,h-высота призмы.

5)Объем правильной шестиугольной призмы вычисляется по формуле V=1.5а 2 h, где а- сторона основания,h-высота призмы.

3.Сторона основания правильной треугольной призмы равна . Через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания проведена плоскость, которая проходит под углом 45° к основанию. Найдите объем призмы.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Основанием прямой призмы является ромб, сторона которого равна 13, а одна из диогоналей-24. Найдите объем призмы, если диагональ боковой грани равна 14.

В физике треугольная призма, сделанная из стекла, часто используется для изучения спектра белого света, поскольку она способна разлагать его на отдельные составляющие. В данной статье рассмотрим формулу объема

Что такое треугольная призма?

Перед тем как приводить формулу объема рассмотрим свойства этой фигуры.

Чтобы получить этот необходимо взять треугольник произвольной формы и параллельно самому себе перенести его на некоторое расстояние. Вершины треугольника в начальном и конечном положении следует соединить прямыми отрезками. Полученная объемная фигура называется треугольной призмой. Она состоит из пяти сторон. Две из них называются основаниями: они параллельны и равны друг другу. Основаниями рассматриваемой призмы являются треугольники. Три оставшиеся стороны - это параллелограммы.

Помимо сторон, рассматриваемая призма характеризуется шестью вершинами (по три для каждого основания) и девятью ребрами (6 ребер лежат в плоскостях оснований и 3 ребра образованы пересечением боковых сторон). Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то такая призма называется прямоугольной.

Отличие треугольной призмы от всех остальных фигур этого класса заключается в том, что она всегда является выпуклой (четырех-, пяти-, ..., n-угольные призмы могут также быть вогнутыми).

Это прямоугольная фигура, в основании которой лежит равносторонний треугольник.

Объем треугольной призмы общего типа

Как найти объем треугольной призмы? Формула в общем виде аналогична таковой для призмы любого вида. Она имеет такую математическую запись:

Здесь h - это высота фигуры, то есть расстояние между ее основаниями, S o - площадь треугольника.

Величину S o можно найти, если известны некоторые параметры для треугольника, например одна его сторона и два угла или две стороны и один угол. Площадь треугольника равна половине произведения его высоты на длину стороны, на которую опущена эта высота.

Что касается высоты h фигуры, то ее проще всего найти для прямоугольной призмы. В последнем случае h совпадает с длиной бокового ребра.

Объем правильной треугольной призмы

Общую формулу объема треугольной призмы, которая приведена в предыдущем разделе статьи, можно использовать для вычисления соответствующей величины для правильной треугольной призмы. Поскольку в ее основании лежит равносторонний треугольник, то его площадь равна:

Эту формулу может получить каждый, если вспомнит, что в равностороннем треугольнике все углы равны друг другу и составляют 60 o . Здесь символ a - это длина стороны треугольника.

Высота h является длиной ребра. Она никак не связана с основанием правильной призмы и может принимать произвольные значения. В итоге формула объема треугольной призмы правильного вида выглядит так:

Вычислив корень, можно переписать эту формулу так:

Таким образом, чтобы найти объем правильной призмы с треугольным основанием, необходимо возвести в квадрат сторону основания, умножить эту величину на высоту и полученное значение умножить на 0,433.

Чему равен объем призмы и как его найти

Объём призмы - это произведение площади ее основания на высоту.

Однако нам известно, что у основания призмы может быть треугольник, квадрат или какой-либо другой многогранник.

Следовательно, для нахождения объема призмы, необходимо просто вычислить площадь основания призмы, а потом эту площадь умножить на ее высоту.

То есть, если у основания призмы треугольник, то значит вначале нужно найти площадь треугольника. Если же основанием призмы является квадрат или другой многоугольник, то значит вначале нужно искать площадь квадрата или же другого многоугольника.

Следует помнить, что высотой призмы является перпендикуляр, проведенный к основаниям призмы.

Что такое призма

А теперь давайте вспомним определение призмы.

Призма – это многоугольник, две грани (основания) которого, находятся в параллельных плоскостях, а все ребра, находящиеся вне этих граней параллельны.

Если говорить проще, то:

Призма – это любая геометрическая фигура, которая имеет два основания, равных между собой и плоские грани.

Название призмы зависит от формы ее основания. Когда основанием призмы является треугольник, то такую призму называют треугольной. Многогранной призмой называют геометрическую фигуру, основанием которой является многогранник. Также призма - это разновидность цилиндра.

Каких видов бывают призмы

Если мы посмотрим на рисунок вверху, то увидим, что призмы бывают прямыми, правильными и наклонными.

Задание

1. Какую призму называют правильной?
2. Почему она так называется?
3. Какое носит название призма, основаниями которой являются правильные многоугольники?
4. Что является высотой этой фигуры?
5. Как называют призму, ребра которой не являются перпендикулярными?
6. Дайте определение треугольной призме.
7. Может ли призма быть параллелепипедом?
8. Какая геометрическая фигура называется полуправильным многоугольником?

Из каких элементов состоит призма

Призма состоит из таких элементов, как нижнее и верхнее основание, боковые грани, ребра и вершины.

Оба основания призмы лежат в плоскостях и параллельны друг другу.
Боковые грани пирамиды – это параллелограммы.
Боковая поверхность пирамиды является суммой боковых граней.
Общие стороны боковых граней, есть не что иное, как боковые ребра данной фигуры.
Высотой пирамиды является отрезок, соединяющий плоскости оснований и перпендикулярен им.

Свойства призмы

Геометрическая фигура, как призма, обладает рядом свойств. Давайте более подробно рассмотрим эти свойства:

Во-первых, основаниями призмы называются равные многоугольники;
Во-вторых, у призмы боковые грани представлены в виде параллелограмма;
В-третьих, у этой геометрической фигуры ребра параллельны и равны;
В-четвертых, площадью полной поверхности призмы является:

А теперь рассмотрим теорему, которая предоставляет формулу, с помощью которой вычисляют площадь боковой поверхности и доказательство.

Задумывались ли вы над таким интересным фактом, что призмой может быть не только, геометрическое тело, но и другие окружающие нас предметы. Даже обычная снежинка в зависимости от температурного режима может превратиться в ледяную призму, приняв форму шестигранной фигуры.

А вот кристаллы кальцита обладают таким уникальным явлением, как распадаться на осколки и приобретать форму параллелепипеда. И что самое удивительное, на какие бы мелкие части не дробили кристаллы кальцита, результат всегда одинаковый, они превращаются в махонькие параллелепипеды.

Оказывается, призма получила популярность не только в математике, демонстрируя свое геометрическое тело, но и в области искусства, так как она является основой картин, созданных такими великими художниками, как П.Пикассо, Брак, Грисс и других.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.