ආවර්තිතා ශ්‍රිත සඳහා ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ සංගුණක නිර්ණය කිරීම. කාර්යයන් ක්රියාත්මක කිරීමේ උදාහරණ. බොහෝ විශේෂාංග ඉරට්ටේ හෝ අමුතු ඒවා නොවේ

පිටපත

1 රුසියානු සමූහාණ්ඩුවේ අධ්‍යාපන හා විද්‍යා අමාත්‍යාංශය නොවොසිබර්ස්ක් රාජ්‍ය විශ්ව විද්‍යාල භෞතික විද්‍යා පීඨය ආර්.

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R. K. ෆූරියර් මාලාව උදාහරණ සහ ගැටළු: පෙළපොත් / Novosib. රජයේ un-t. නොවොසිබිර්ස්ක්, එස්. ISBN නිබන්ධනය ෆූරියර් මාලාව පිළිබඳ මූලික තොරතුරු සපයයි, අධ්‍යයනය කරන ලද එක් එක් මාතෘකාව සඳහා උදාහරණ සපයයි. තන්තුවක තීර්යක් කම්පන ගැටළුව විසඳීම සඳහා ෆූරියර් ක්‍රමය යෙදීමේ උදාහරණයක් විස්තරාත්මකව විශ්ලේෂණය කෙරේ. නිදර්ශන ද්රව්ය ලබා දී ඇත. ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා කාර්යයන් ඇත. එය Novosibirsk රාජ්ය විශ්ව විද්යාලයේ භෞතික විද්යා පීඨයේ සිසුන් සහ ගුරුවරුන් සඳහා අදහස් කෙරේ. NSU හි භෞතික විද්‍යා පීඨයේ ක්‍රමවේද කොමිසමේ තීරණය අනුව ප්‍රකාශයට පත් කරන ලදී. සමාලෝචක ආචාර්ය Phys.-math. විද්‍යාවන්. V. A. ඇලෙක්සැන්ඩ්රොව් ISBN c Novosibirsk State University, 211 c Belkheeva R. K., 211

3 1. 2π-කාලීන ශ්‍රිතයක ෆූරියර් ශ්‍රේණි ප්‍රසාරණය අර්ථ දැක්වීම. f(x) ශ්‍රිතයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණිය යනු ක්‍රියාකාරී ශ්‍රේණිය a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) මෙහි සංගුණක a n, b n සූත්‍ර මගින් ගණනය කරනු ලැබේ: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) සූත්‍ර (2) (3) Euler Fourier සූත්‍ර ලෙස හැඳින්වේ. . F(x) ශ්‍රිතය ෆූරියර් ශ්‍රේණි (1) ට අනුරූප වන බව f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) සූත්‍රයක් ලෙස ලියා ඇති අතර ඔවුන් පවසන්නේ සූත්‍රයේ දකුණු පැත්ත ( 4) යනු ෆූරියර් ශ්‍රිත f(x) විධිමත් ශ්‍රේණියකි. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සූත්‍රය (4) යනු n, b n යන සංගුණක (2), (3) සූත්‍ර මගින් සොයා ගැනීම පමණි. 3

4 අර්ථ දැක්වීම. 2π-ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක් f(x) ඛණ්ඩාකාර සුමට ලෙස හැඳින්වේ [, π] අන්තරයේ සීමිත ලකුණු සංඛ්‍යාවක් = x අඩංගු වේ නම්< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 රූපය. 1. ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්තාරය f(x) nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, සඳහා ඔත්තේ n, ඉරට්ටේ n සඳහා, f(x ) sin nxdx = f(x) ශ්‍රිතය ඉරට්ටේ නිසා. අපි f(x) ශ්‍රිතය සඳහා විධිමත් ෆූරියර් ශ්‍රේණිය ලියන්නෙමු: f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.

6 f(x) ශ්‍රිතය කොටස් වශයෙන් සුමටද යන්න සොයා බලන්න. එය අඛණ්ඩ බැවින්, අපි ගණනය කරන්නේ අන්තරයේ x = ±π හි අවසාන ලක්ෂ්‍යවල සහ x = : සහ f(π h) f(π) π h π lim = lim h + හි අවසාන ස්ථානවල සීමාවන් (6) පමණි. h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f (+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1 , f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h සීමාවන් පවතින අතර සීමිත වේ, එබැවින් ශ්‍රිතය කොටස් වශයෙන් සුමට වේ. ලක්ෂ්‍ය අභිසාරී ප්‍රමේයය මගින්, එහි ෆූරියර් ශ්‍රේණිය එක් එක් ලක්ෂ්‍යයේ f(x) අංකයට අභිසාරී වේ, එනම් f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) රූප 2 සහ 3 මගින් ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ S n (x) හි අර්ධ එකතුවල ආසන්නයේ ස්වභාවය පෙන්නුම් කරයි, මෙහි S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx), k=1, ශ්‍රිතයට f(x) පරතරය [, π] . 6

7 රූපය. Fig. 2. S (x) = a 2 සහ S 1(x) = a 2 + a 1 cos x යන අර්ධ එකතුවල අධිස්ථාපිත ප්‍රස්ථාර සහිත f(x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්තාරය 3. F (x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය S 99 (x) \u003d a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7 මත අර්ධ එකතු ප්‍රස්ථාරයක් සමඟ

8 ආදේශ කිරීම (7) x = අපට ලැබෙන්නේ: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, අපි සංඛ්‍යා ශ්‍රේණියේ එකතුව සොයා ගන්නා ස්ථානයෙන්: = π2 8. මෙම ශ්‍රේණියේ එකතුව දැන ගැනීම, එය පහත එකතුව සොයා ගැනීම පහසුය: S = () S = ()= π S, එබැවින් S = π2 6, එනම් 1 n = π මෙම සුප්‍රසිද්ධ ශ්‍රේණියේ එකතුව මුලින්ම සොයාගනු ලැබුවේ ලියොන්හාර්ඩ් ඉයුලර් විසිනි. එය බොහෝ විට ගණිතමය විශ්ලේෂණය සහ එහි යෙදීම් වල දක්නට ලැබේ. උදාහරණය 2. ප්‍රස්ථාරයක් අඳින්න, f(x) = x සඳහා සූත්‍රය මඟින් ලබා දෙන ශ්‍රිතයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණිය සොයා ගන්න< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 රූපය. 4. f(x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්තාරය f(x) ශ්‍රිතය අන්තරය (, π) මත අඛණ්ඩව වෙනස් කළ හැක. x = ±π ලක්ෂ්‍යවලදී, එයට සීමිත සීමාවන් (5) ඇත: f() =, f(π) = π. මීට අමතරව, සීමිත සීමාවන් ඇත (6): f(+ h) f(+) lim = 1 සහ h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h එබැවින්, f(x) වේ කෑලි වශයෙන් සුමට කාර්යය. f(x) ශ්‍රිතය ඔත්තේ බැවින්, a n =. සංගුණක b n කොටස් මගින් අනුකලනය මගින් සොයා ගැනේ: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1 )n+ එකක්. n අපි 2(1) n+1 f(x) sin nx ශ්‍රිතයේ විධිමත් ෆූරියර් ශ්‍රේණිය රචනා කරමු. n 9 cosnxdx ] =

10 කෑලි වශයෙන් සුමට 2π-ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක් සඳහා ලක්ෂ්‍ය අභිසාරී ප්‍රමේයයට අනුව, f(x) ශ්‍රිතයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණිය එකතුවට අභිසාරී වේ: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x නම් π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 රූපය. රූප සටහන 6. F(x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය සහ S 2 (x) යන අර්ධ එකතුවේ ප්‍රස්ථාරය එය මත අධිස්ථාපනය කර ඇත. 7. F(x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය සහ S 3 (x) 11 යන අර්ධ එකතුවේ ප්‍රස්ථාරය එය මත අධිස්ථාපනය කර ඇත.

12 රූපය. 8. F(x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය S 99 (x) අර්ධ එකතුවේ ප්‍රස්ථාරය සමඟ එය මත අධිස්ථාපනය කර ඇත. සංඛ්‍යාත්මක ශ්‍රේණි දෙකක එකතුව සෙවීමට අපි ලබාගත් ෆූරියර් ශ්‍රේණිය භාවිතා කරමු. අපි (8) x = π/2 දැම්මා. එවිට 2 () +... = π 2, හෝ = n= (1) n 2n + 1 = π 4. අපි ප්‍රසිද්ධ ලයිබ්නිස් ශ්‍රේණියේ එකතුව පහසුවෙන් සොයා ගත්තෙමු. (8) තුළ x = π/3 දැමීමෙන්, අපට () +... = π 2 3, හෝ (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k හමු වේ.

13 උදාහරණය 3. ප්‍රස්ථාරයක් අඳින්න, f(x) = sin x ශ්‍රිතයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණිය සොයා ගන්න, එයට 2π කාල සීමාවක් ඇතැයි උපකල්පනය කරන්න, සහ 1 සංඛ්‍යා ශ්‍රේණියේ එකතුව 4n 2 1 ගණනය කරන්න. විසඳුම. f(x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය රූපයේ දැක්වේ. 9. පැහැදිලිවම, f(x) = sin x යනු π කාල පරිච්ඡේදය සමඟ අඛණ්ඩ ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයකි. නමුත් 2π යනු f(x) ශ්‍රිතයේ කාල සීමාවද වේ. සහල්. 9. f(x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්තාරය අපි ෆූරියර් සංගුණක ගණනය කරමු. සියලුම b n = ශ්‍රිතය ඒකාකාර බැවින්. ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර භාවිතා කරමින්, අපි n 1 සඳහා n ගණනය කරමු: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos(1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1 නම් n = 2k, = π n 2 1 නම් n = 2k

14 n = 1 දී හරය බිංදුවට යන නිසා මෙම ගණනය කිරීම a 1 සංගුණකය සොයා ගැනීමට ඉඩ නොදේ. එබැවින්, අපි සංගුණකය a 1 සෘජුවම ගණනය කරමු: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. f(x) (,) සහ (, π) මත අඛණ්ඩව වෙනස් කළ හැකි බැවින් සහ kπ ලක්ෂ්‍යවලදී (k යනු පූර්ණ සංඛ්‍යාවකි), සීමිත සීමාවන් (5) සහ (6) ඇති බැවින්, ශ්‍රිතයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණිය අභිසාරී වේ. එය සෑම අවස්ථාවකදීම: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x 1. F(x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය සමඟ S(x) අර්ධ එකතුවේ ප්‍රස්ථාරය එය මත අධිස්ථාපනය කර ඇත 14

15 රූපය. Fig. 11. F(x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය සහ S 1 (x) අර්ධ එකතුවේ ප්‍රස්ථාරය එය මත අධිස්ථාපනය කර ඇත. Fig. 12. F(x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය සහ S 2 (x) යන අර්ධ එකතුවේ ප්‍රස්ථාරය එය මත අධිස්ථාපනය කර ඇත. 13. F(x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය සහ S 99 (x) 15 යන අර්ධ එකතුවේ ප්‍රස්ථාරය එය මත අධිස්ථාපනය කර ඇත.

16 1 සංඛ්‍යා ශ්‍රේණියේ එකතුව ගණනය කරන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි (9) x = හි 4n 2 1 දමමු. එවිට cosnx = 1 සියල්ලටම n = 1, 2,... සහ එබැවින්, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. උදාහරණය 4. කෑලි වශයෙන් සුමට අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයක් f(x) x සඳහා f(x π) = f(x) කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරන්නේ නම් (එනම්, π-ආවර්තිතා) බව අපි ඔප්පු කරමු. , එවිට a 2n 1 = b 2n 1 = සියලු n 1 සඳහා, සහ අනෙක් අතට, a 2n 1 = b 2n 1 = සියලු n 1 සඳහා නම්, f(x) π-ආවර්තිතා වේ. විසඳුමක්. f(x) ශ්‍රිතය π-කාලීන වීමට ඉඩ හරින්න. අපි එහි ෆූරියර් සංගුණක a 2n 1 සහ b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x) ගණනය කරමු. ) cos (2n 1)xdx. පළමු අනුකලයේ අපි x = t π: f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt යන විචල්‍යයේ වෙනසක් සිදු කරමු. 16

17 cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t සහ f(t π) = f(t) යන කාරනය භාවිතා කරමින්, අපට ලැබෙන්නේ: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. b 2n 1 = බව එලෙසම ඔප්පු වේ. අනෙක් අතට, a 2n 1 = b 2n 1 = ඉඩ දෙන්න. f(x) ශ්‍රිතය සන්තතික වන බැවින්, යම් ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයක නියෝජන හැකියාව පිළිබඳ ප්‍රමේයය මගින් එහි ෆූරියර් ශ්‍රේණිය මගින්, අපට ඇත්තේ එෆ්(x π) = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), එනම් f(x) යනු π-ආවර්තිතා ශ්‍රිතයකි. උදාහරණය 5. කෑලි වශයෙන් සුමට ශ්‍රිතයක් f(x) සියලු x සඳහා f(x) = f(x) කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරන්නේ නම්, a = සහ a 2n = b 2n = සියලු n 1 සඳහා සහ අනෙක් අතට බව අපි ඔප්පු කරමු. , a = a 2n = b 2n = නම්, සියලු x සඳහා f(x π) = f(x). විසඳුමක්. f(x) ශ්‍රිතයට f(x π) = f(x) කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කිරීමට ඉඩ දෙන්න. අපි එහි ෆූරියර් සංගුණක ගණනය කරමු: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. පළමු අනුකලයේ අපි x = t π විචල්‍යයේ වෙනසක් සිදු කරමු. එවිට f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. cos n(t π) = (1) n cosnt සහ f(t π) = f(t) යන කාරනය භාවිතා කරමින්, අපි ලබා ගනිමු: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt = නම් n ඉරට්ටේ, = 2 π f(t) cos nt dt, n ඔත්තේ නම්. π b 2n = බව එලෙසම ඔප්පු වේ. අනෙක් අතට, a = a 2n = b 2n =, සියලු n 1 සඳහා ඉඩ දෙන්න. f(x) ශ්‍රිතය අඛණ්ඩ බැවින්, ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයක නියෝජන හැකියාව පිළිබඳ ප්‍රමේය මගින්, එහි ෆූරියර් ශ්‍රේණිය සමානාත්මතාවය තෘප්තිමත් කරයි f( x) = (a 2n 1 cos (2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). දහඅට

19 එවිට = f(x π) = = = f(x). උදාහරණය 6. එහි ෆූරියර් ශ්‍රේණියට පෝරමය ඇති වන පරිදි [, π/2] අන්තරය මත f(x) අනුකලනය කළ හැකි ශ්‍රිතය [, π] දක්වා දීර්ඝ කරන්නේ කෙසේදැයි අපි අධ්‍යයනය කරමු: a 2n 1 cos(2n 1) x. (1) විසඳුම. ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට රූපයේ දැක්වෙන පෝරමය තිබීමට ඉඩ දෙන්න. 14. ශ්‍රේණියේ (1) a = a 2n = b 2n = සියලු n සඳහා වන බැවින්, එය උදාහරණ 5 න් අනුගමනය කරන්නේ f(x) ශ්‍රිතය සියලු x සඳහා f(x π) = f(x) සමානාත්මතාවය තෘප්තිමත් කළ යුතු බවයි. මෙම නිරීක්ෂණය f(x) ශ්‍රිතය [, /2] අන්තරය දක්වා දිගු කිරීමට මගක් ලබා දෙයි: f(x) = f(x+π), fig. 15. ශ්‍රේණියේ (1) කෝසයින පමණක් අඩංගු වන බැවින්, අපි නිගමනය කරන්නේ අඛණ්ඩ ශ්‍රිතය f (x) ඉරට්ටේ විය යුතු බවයි (එනම්, එහි ප්‍රස්ථාරය Oy අක්ෂය සම්බන්ධයෙන් සමමිතික විය යුතුය), Fig.

20 රූපය. 14. f(x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්තාරය 15. [, /2] 2 අන්තරය මත f(x) ශ්‍රිතයේ අඛණ්ඩ පැවැත්මේ ප්‍රස්තාරය

21 එබැවින්, අපේක්ෂිත ශ්රිතය රූපයේ දැක්වෙන ස්වරූපය ඇත. 16. රූපය. 16. [, π] අන්තරය මත f(x) ශ්‍රිතය අඛණ්ඩව පවත්වාගෙන යාමේ ප්‍රස්තාරය සාරාංශගත කරමින්, ශ්‍රිතය පහත පරිදි කරගෙන යා යුතු බව අපි නිගමනය කරමු: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), එනම් අන්තරය [π/2, π], f(x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය ලක්ෂ්‍යයේ (π/2,) කේන්ද්‍රීයව සමමිතික වන අතර [, π] පරතරය මත එහි ප්‍රස්ථාරය වේ Oy අක්ෂය ගැන සමමිතික. 21

22 උදාහරණ සාමාන්‍යකරණය 3 6 ඉඩ l >. කොන්දේසි දෙකක් සලකා බලන්න: a) f(l x) = f(x); b) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. ජ්‍යාමිතික දෘෂ්ටි කෝණයකින්, කොන්දේසිය (a) යනු f(x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය සිරස් රේඛාව x = l/2 ගැන සමමිතික වන අතර, (b) ප්‍රස්ථාරය f(x) කේන්ද්‍රීයව සමමිතික වේ. abscissa අක්ෂයේ ලක්ෂ්‍යය (l/2;). එවිට පහත ප්‍රකාශයන් සත්‍ය වේ: 1) f(x) ශ්‍රිතය ඉරට්ටේ නම් සහ කොන්දේසිය (a) තෘප්තිමත් නම්, b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) f(x) ශ්‍රිතය ඉරට්ටේ නම් සහ කොන්දේසිය (b) තෘප්තිමත් නම්, b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) f(x) ශ්‍රිතය ඔත්තේ නම් සහ කොන්දේසිය (a) තෘප්තිමත් නම්, a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) f(x) ශ්‍රිතය ඔත්තේ නම් සහ කොන්දේසිය (b) තෘප්තිමත් නම්, a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. ගැටළු 1 7 ප්‍රස්ථාර අඳින්න සහ ශ්‍රිත සඳහා ෆූරියර් ශ්‍රේණි සොයා ගන්න, (ඒවායේ කාලසීමාව 2π: නම්< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1 නම් /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. [, π] අන්තරයේ දී ඇති ශ්‍රිතයක ප්‍රසාරණය සයින අනුව හෝ කෝසයින අනුව පමණක් [, π] පරතරය තුළ f ශ්‍රිතයක් ලබා දෙමු. මෙම කාල පරතරය තුළ එය ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් දක්වා ව්‍යාප්ත කිරීම සඳහා, අපි පළමුව අත්තනෝමතික ආකාරයකින් [, π] අන්තරය තුළට විහිදුවමු, පසුව අපි ඉයුලර් ෆූරියර් සූත්‍ර භාවිතා කරමු. ශ්‍රිතයක් අඛණ්ඩව පවත්වාගෙන යාමේදී ඇති අත්තනෝමතික බව එකම ශ්‍රිතය සඳහා f: [, π] R සඳහා අපට විවිධ ෆූරියර් ශ්‍රේණි ලබා ගත හැකිය. නමුත් මෙම අත්තනෝමතිකත්වය සයිනවල පමණක් හෝ කෝසයිනවල පමණක් ප්‍රසාරණය වන ආකාරයෙන් භාවිතා කළ හැකිය: පළමු අවස්ථාවේ දී, f අමුතු ආකාරයකින් ද, දෙවනුව, ඉරට්ටේ ආකාරයෙන් ද දිගටම කරගෙන යාමට ප්‍රමාණවත් වේ. විසඳුම් ඇල්ගොරිතම 1. (,) මත ශ්‍රිතය ඔත්තේ (ඉරට්ටේ) ආකාරයෙන් දිගටම කරගෙන යන්න, ඉන්පසු වරින් වර 2π කාල පරිච්ඡේදයක් සමඟින් ශ්‍රිතය සම්පූර්ණ අක්ෂයටම කරගෙන යන්න. 2. ෆූරියර් සංගුණක ගණනය කරන්න. 3. f(x) ශ්‍රිතයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණිය රචනා කරන්න. 4. මාලාවේ අභිසාරීතාව සඳහා කොන්දේසි පරීක්ෂා කරන්න. 5. මෙම ශ්‍රේණිය අභිසාරී වන ශ්‍රිතය සඳහන් කරන්න. උදාහරණ 7. f(x) = cosx ශ්‍රිතය පුළුල් කරන්න,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 රූපය. 17. අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්තාරය පැහැදිලිවම, f (x) ශ්‍රිතය කොටස් වශයෙන් සුමට වේ. අපි ෆූරියර් සංගුණක ගණනය කරමු: a n = සියලු n සඳහා f (x) ශ්‍රිතය ඔත්තේ බැවින්. n 1 නම්, b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1 නම් n = 2 k + 1, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π (n + 1)(n 1) 2 2n නම් n = 2k. π n 2 1 පෙර ගණනය කිරීම් වලදී n = 1 සඳහා, හරය අතුරුදහන් වේ, එබැවින් සංගුණකය b 1 කෙලින්ම ගණනය කළ හැක.

26 අත්යවශ්යයෙන්ම: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. f (x) ශ්‍රිතයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණිය රචනා කරන්න : f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. f (x) ශ්‍රිතය කොටස් වශයෙන් සුමට බැවින්, ලක්ෂ්‍ය අභිසාරී ප්‍රමේයය මගින්, f (x) ශ්‍රිතයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණිය π නම් cosx එකතුවට අභිසාරී වේ.< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 රූපය. රූප සටහන 18. F (x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය සහ S 1 (x) යන අර්ධ එකතුවේ ප්‍රස්ථාරය එය මත අධිස්ථාපනය කර ඇත. 27

28 රූපය. Fig. 2. F (x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය සහ S 3 (x) යන අර්ධ එකතුවේ ප්‍රස්ථාරය එය මත අධිස්ථාපනය කර ඇත. 21 f (x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාර සහ එහි අර්ධ එකතුව S 99 (x) පෙන්වයි. සහල්. 21. F (x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය සහ S 99 (x) 28 අර්ධ එකතුවේ ප්‍රස්ථාරයක් එය මත අධිස්ථාපනය කර ඇත

29 උදාහරණය 8. අපි ෆූරියර් ශ්‍රේණියක f(x) = e ax, a >, x [, π] ශ්‍රිතය cosine වල පමණක් පුළුල් කරමු. විසඳුමක්. අපි ශ්‍රිතය ඉරට්ටේ (,) (එනම්, f(x) = f(x) සමානාත්මතාවය සියලු x (, π) සඳහා රඳවන පරිදි, පසුව වරින් වර සම්පූර්ණ තාත්විකයට 2π කාල සීමාවක් සමඟින් ශ්‍රිතය දිගටම කරගෙන යන්නෙමු. අක්ෂය. අපි f (x) ශ්රිතය ලබා ගනිමු, එහි ප්රස්ථාරය රූපයේ දැක්වේ. 22. ලක්ෂ්‍යවල f (x) ශ්‍රිතය 22. අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය f (x) x = kπ, k යනු පූර්ණ සංඛ්‍යාවකි, kinks ඇත. අපි ෆූරියර් සංගුණක ගණනය කරමු: b n =, f (x) ඉරට්ටේ බැවින්. කොටස් අනුව ඒකාබද්ධ කිරීම, අපට 29 ලැබේ

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 π πs ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2ex ax 2n a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 එබැවින්, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 f (x) අඛණ්ඩ බැවින්, ලක්ෂ්‍ය අභිසාරී ප්‍රමේයයට අනුව, එහි ෆූරියර් ශ්‍රේණිය f (x) වෙත අභිසාරී වේ. එබැවින්, සියලුම x [, π] සඳහා අපට f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π) ඇත. දී ඇති අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයකට ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ අර්ධ එකතුව ක්‍රමානුකූලව ආසන්න කිරීම සංඛ්‍යා මගින් පෙන්නුම් කරයි. 3

31 රූපය. 23. f (x) සහ S (x) ශ්‍රිතවල ප්‍රස්තාර 24. f (x) සහ S 1 (x) ශ්‍රිතවල ප්‍රස්තාර 25. f (x) සහ S 2 (x) ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර 26. f (x) සහ S 3 (x) 31 ශ්‍රිතවල ප්‍රස්තාර

32 රූපය. 27. f (x) සහ S 4 (x) ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර 28. f (x) සහ S 99 (x) ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර ගැටළුව 9. F (x) = cos x, x π ශ්‍රිතය පුළුල් කරන්න, ෆූරියර් ශ්‍රේණියක කොසයිනවල පමණි. 1. ෆූරියර් ශ්‍රේණියක f (x) \u003d e ax, a >, x π ශ්‍රිතය පුළුල් කරන්න. 11. ෆූරියර් ශ්‍රේණියක f (x) \u003d x 2, x π ශ්‍රිතය පුළුල් කරන්න. 12. F (x) \u003d sin ax, x π ශ්‍රිතය ෆූරියර් ශ්‍රේණියක කෝසයින අනුව පමණක් පුළුල් කරන්න. 13. F (x) \u003d x sin x, x π ශ්‍රිතය පුළුල් කරන්න, ෆූරියර් ශ්‍රේණියක පමණක් සයින් තුළ. පිළිතුරු 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. a නිඛිලයක් නොවේ නම්, sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; a = 2m ඉරට්ටේ අංකයක් නම්, sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; a = 2m 1 ධන ඔත්තේ සංඛ්‍යාවක් නම්, sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. අත්තනෝමතික කාලපරිච්ඡේදයක් සහිත ශ්‍රිතයක ෆූරියර් ශ්‍රේණිය f(x) ශ්‍රිතය [l, l], l > පරතරය තුළ අර්ථ දක්වා ඇතැයි උපකල්පනය කරමු. x = ly, y π ආදේශ කිරීමෙන්, අපි π [, π] පරතරය තුළ අර්ථ දක්වා ඇති g(y) = f(ly/π) ශ්‍රිතය ලබා ගනිමු. මෙම ශ්‍රිතය g(y) (විධිමත්) ෆූරියර් ශ්‍රේණි () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny) ට අනුරූප වේ, එහි සංගුණක Euler Fourier සූත්‍ර මගින් සොයා ගනී: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2,..., 33

34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π l, අපි f(x) ශ්‍රිතය සඳහා තරමක් වෙනස් කළ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රේණියක් ලබා ගනිමු: එහිදී f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2 ,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) සූත්‍ර (11) (13) අත්තනෝමතික කාල සීමාවක් සහිත ශ්‍රිතයක ෆූරියර් ශ්‍රේණියක ප්‍රසාරණය අර්ථ දක්වන බව කියනු ලැබේ. උදාහරණය 9. (A if l) ප්‍රකාශනයෙන් (l, l) අන්තරයේ දී ඇති ශ්‍රිතයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණිය සොයන්න< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l l a n = 1 l l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos πnx l = A + B π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn = නම් n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn f (x) ශ්‍රිතයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණිය රචනා කරන්න : f(x) A + B π (B A සිට cosπn = (1) n, පසුව n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l n = 2k සඳහා අපට b n = b 2k =, n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1) ලැබේ.

36 එහෙයින් f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l ලක්ෂ්‍ය අභිසාරී ප්‍රමේයයට අනුව, f(x) ශ්‍රිතයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණිය A එකතුවට අභිසාරී වේ, l නම්< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 රූපය. 29. S (x) = a 2 සහ S 1 (x) = b 1 sinx හි අධිස්ථාපිත ප්‍රස්ථාර සහිත f (x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය. පැහැදිලිකම සඳහා, S 3 (x) \u003d b 3 sin 3πx, S l 5 (x) \u003d b 5 sin 5πx l සහ S 7 (x) \u003d b 7 sin 7πx යන ඉහළ හාර්මොනික් තුනේ ග්‍රැෆික්ස් සිරස් අතට මාරු කරනු ලැබේ. l 37 දක්වා

38 රූපය. Fig. 3. F(x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය සහ S 99 (x) යන අර්ධ එකතුවේ ප්‍රස්ථාරය එය මත අධිස්ථාපනය කර ඇත. 31. අත්තික්කා කැබැල්ල. 3 තවත් පරිමාණයකින් 38

ගැටළු 39 ගැටළු වලදී, ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ නිශ්චිත ශ්‍රිතයන් ලබා දී ඇති කාල පරතරයන් තුළ පුළුල් කරන්න. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = ch2x, (2, 2] f(x) = x (1 x), (1, 1]. 17. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x ) = sin π x, (1, 1).( 2 1 නම් 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, π1 2 (2n1) l b) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ සංකීර්ණ ආකාරය විසංයෝජනය f(x) = c n e inx, c n = 1 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ සංකීර්ණ ස්වරූපය ලෙස හැඳින්වේ. ශ්‍රිතය සැබෑ ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් දක්වා ව්‍යාප්ත වන කොන්දේසි යටතේම සංකීර්ණ ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් දක්වා ව්‍යාප්ත වේ. හතර

41 උදාහරණය 1. ෆූරියර් ශ්‍රේණිය f(x) = e ax සූත්‍රය මගින් ලබා දෙන [, π) පරතරයේ ඇති ශ්‍රිතයේ සංකීර්ණ ස්වරූපයෙන් සොයන්න, මෙහි a යනු තාත්වික අංකයකි. විසඳුමක්. අපි සංගුණක ගණනය කරමු: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) f ශ්‍රිතයේ සංකීර්ණ ෆූරියර් ශ්‍රේණිය einx හි f(x) sh aπ π n= (1) n a ආකෘතිය ඇත. f(x) ශ්‍රිතය කොටස් වශයෙන් සුමට බව අපි තහවුරු කරමු: (, π) පරතරය තුළ එය අඛණ්ඩව වෙනස් කළ හැකි අතර, x = ±π ලක්ෂ්‍යවල සීමිත සීමාවන් (5), (6) lim h + ea( +h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. එබැවින්, f(x) ශ්‍රිතය ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් මගින් නිරූපණය කළ හැක sh aπ π n= (1) n a in einx, එය එකතුවට අභිසාරී වේ: ( e S(x) = ax නම් π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 උදාහරණය 11. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2 සූත්‍රය මගින් ලබා දී ඇති ශ්‍රිතයේ සංකීර්ණ සහ සැබෑ ස්වරූපයෙන් ෆූරියර් ශ්‍රේණිය සොයන්න.< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 q (q) හරය සහිත අසීමිත ජ්‍යාමිතික ප්‍රගමනයක එකතුව බව මතක තබා ගන්න.< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 දැන් අපි ෆූරියර් මාලාව සැබෑ ස්වරූපයෙන් සොයා ගනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි n සඳහා අංක n සහ n සමඟ නියමයන් කාණ්ඩ කරමු: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx c = 1 සිට, පසුව 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 මෙය f(x) ශ්‍රිතයේ සැබෑ ස්වරූපයෙන් ෆූරියර් ශ්‍රේණියකි. මේ අනුව, තනි අනුකලනයක් ගණනය නොකර, අපි ශ්‍රිතයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණිය සොයා ගත්තෙමු. එසේ කිරීමේදී, cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a පරාමිතිය මත පදනම්ව අපි දෘඩ අනුකලනයක් ගණනය කළෙමු.< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (z a)(z a 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 ජ්‍යාමිතික ප්‍රගති සූත්‍රය අනුව අපි එක් එක් සරල භාග පුළුල් කරමු: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n, n= z a 1 z a = az = a n z n. n= මෙය කළ හැක්කේ az = a/z = a නිසා ය< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, හෝ, වඩාත් කෙටියෙන්, c n = 1 2i a n sgnn. මේ අනුව, සංකීර්ණ ස්වරූපයෙන් ෆූරියර් මාලාව සොයා ගනී. අංක n සහ n සමඟ නියමයන් කාණ්ඩ කිරීම, අපි ශ්‍රිතයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණිය සැබෑ ස්වරූපයෙන් ලබා ගනිමු: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n= +) = c n e inx = a n sin nx. නැවතත්, අපි පහත සංකීර්ණ අනුකලනය ගණනය කිරීමට සමත් විය: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 ගැටලුව 24. (15) භාවිතා කරමින්, තථ්‍ය a සඳහා අනුකලිත cos nxdx 1 2a cosx + a 2 ගණනය කරන්න, a > භාවිතා කරමින් (16), ප්‍රශ්නවල දී a > a cosx + a2 සඳහා අනුකලිත sin x sin nxdx ගණනය කරන්න , ශ්‍රිත සඳහා සංකීර්ණ ස්වරූපයෙන් ෆූරියර් මාලාව සොයා ගන්න. 26. f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. ලියපුනොව්ගේ සමානතා ප්‍රමේයය (ලියාපුනොව්ගේ සමානාත්මතාවය). f: [, π] R යනු f 2 (x) dx වැනි ශ්‍රිතයක් වේවා< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. එබැවින්, f(x) ශ්‍රිතය සඳහා වූ ලියපුනොව් සමානාත්මතාවය ස්වරූපය ගනී: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. π සඳහා අවසාන සමානාත්මතාවයෙන් අපට sin 2 na n 2 = a(π a) 2 a = π 2 උපකල්පනය කිරීමෙන්, අපි n = 2k 1 සඳහා sin2 na = 1 සහ n = 2k සඳහා sin 2 na = ලබා ගනිමු. එබැවින්, k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. උදාහරණය 14. අපි f(x) = x cosx, x [, π] ශ්‍රිතය සඳහා Lyapunov සමානාත්මතාවය ලියන්නෙමු, එය භාවිතා කර එකතුව සොයා ගනිමු. සංඛ්යා මාලාව (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π විසඳුම. සෘජු ගණනය කිරීම් ලබා දෙයි = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π cos = 1 2 4π

49 f(x) ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයක් බැවින්, සියලු n සඳහා අපට b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1 )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 නම් n = 2k, 2 නම් n = 2k + 1. සංගුණකය a 1 වෙන වෙනම ගණනය කළ යුතුය, n = 1 සඳහා වන සාමාන්‍ය සූත්‍රයේ දී භාගයේ හරය අතුරුදහන් වන බැවිනි. . = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 මේ අනුව, f(x) ශ්‍රිතය සඳහා වූ ලියපුනොව් සමානාත්මතාවයේ ස්වරූපය ඇත: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π , මෙතැන් සිට අපි සංඛ්‍යා ශ්‍රේණියේ එකතුව (4n 2) සොයා ගනිමු. + 1) 2 (4n 2 1) = π π ගැටලුව 32. ශ්‍රිතය සඳහා ලියපුනොව් සමානාත්මතාවය ලියන්න ( x f(x) = 2 πx නම් x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 පිළිතුරු + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, c n යනු f(x) ශ්‍රිතයේ ෆූරියර් සංගුණකය 2π වේ. සහ d n යනු ෆූරියර් සංගුණක ශ්‍රිත g(x) වේ. 6. ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ අවකලනය f: R R අඛණ්ඩව අවකලනය කළ හැකි 2π-ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක් වේවා. එහි ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ ස්වරූපය ඇත: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). මෙම ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්න f (x) අඛණ්ඩ සහ 2π-ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක් වනු ඇත, ඒ සඳහා විධිමත් ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් ලිවිය හැකිය: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), මෙහි a, a n , b n, n = 1 , 2,... f (x) ශ්‍රිතයේ ෆූරියර් සංගුණක. 51

52 ප්‍රමේයය (ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ පදයෙන්-කාලීන අවකලනය මත). ඉහත කරන ලද උපකල්පන යටතේ, a =, a n = nb n, b n = na n, n 1 යන සමානාත්මතා සත්‍ය වේ උදාහරණ 15. කොටස් වශයෙන් සුමට ශ්‍රිතයක් f(x) [, π] පරතරය තුළ අඛණ්ඩව පවතින්න. f(x)dx = කොන්දේසිය තෘප්තිමත් වූ විට, Steklov අසමානතාවය ලෙස හඳුන්වන අසමානතාවය 2 dx 2 dx පවතින බව අපි ඔප්පු කරමු, සහ එහි සමානාත්මතාවය සාක්ෂාත් වන්නේ f(x) = ආකෘතියේ කාර්යයන් සඳහා පමණක් බව අපි තහවුරු කරමු. කොස්ක්ස්. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, Steklov ගේ අසමානතාවය ව්‍යුත්පන්නයේ කුඩා බව (මධ්‍යන්‍ය චතුරස්‍රයේ) ශ්‍රිතයේ කුඩා බව (මධ්‍යන්‍ය චතුරස්‍රයේ) ගම්‍ය වන කොන්දේසි ලබා දෙයි. විසඳුමක්. අපි f(x) ශ්‍රිතය [, ] අන්තරය දක්වා ඒකාකාරව දිගු කරමු. එකම සංකේතය f(x) මගින් විස්තීරණ ශ්‍රිතය දක්වන්න. එවිට අඛණ්ඩ ශ්‍රිතය [, π] පරතරය මත අඛණ්ඩව සහ කොටස් වශයෙන් සුමට වනු ඇත. f(x) ශ්‍රිතය සන්තතික වන බැවින්, f 2 (x) අන්තරය සහ 2 dx මත අඛණ්ඩ වේ.< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 අඛණ්ඩ ශ්‍රිතය ඉරට්ටේ බැවින්, b n =, a = කොන්දේසිය අනුව. එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, ලියපුනොව් සමානාත්මතාවය 1 π 2 dx = a 2 π n ස්වරූපය ගනී. (17) ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ වාරයෙන්-කාලීන අවකලනය පිළිබඳ ප්‍රමේයයේ නිගමනය f (x) තෘප්තිමත් කරන බවට සහතික කර ගනිමු, එනම් a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. f (x) ව්‍යුත්පන්නයට [, π] අන්තරයේ x 1, x 2,..., x N යන ලක්ෂ්‍යවල බිඳීම් වලට ඉඩ දෙන්න. x =, x N+1 = π දක්වන්න. අපි ඒකාබද්ධ විරාමය [, π] N +1 අන්තරයන් (x, x 1),..., (x N, x N+1) වලට බෙදමු, ඒ සෑම එකක් මත f(x) අඛණ්ඩව අවකලනය වේ. ඉන්පසුව, අනුකලයේ ආකලන ගුණය භාවිතා කර කොටස් මගින් අනුකලනය කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x ) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [( f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= ඒ හා සමානව, අපට n = nb n ලැබේ. [, π] අන්තරයේ ව්‍යුත්පන්නය පළමු ආකාරයේ අඛණ්ඩතාවයට ලක්වන අඛණ්ඩ කෑලි-සුමට 2π-ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක් සඳහා ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ පදයෙන්-කාලීන අවකලනය පිළිබඳ ප්‍රමේයය සත්‍ය බව අපි පෙන්වා දුන්නෙමු. එබැවින් f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n) sin nx, a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... නිසා 2dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 (18) ශ්‍රේණියේ සෑම පදයක්ම (17) ශ්‍රේණියේ අනුරූප පදයට වඩා විශාල හෝ සමාන වන බැවින්, පසුව 2 dx 2 dx. f(x) යනු මුල් ශ්‍රිතයේ ඉරට්ටේ අඛණ්ඩ පැවැත්මක් බව සිහිපත් කරමින්, අපට 2 dx 2 dx ඇත. එය Steklov සමානාත්මතාවය ඔප්පු කරයි. දැන් අපි Steklov ගේ අසමානතාවය තුළ සමානාත්මතාවය දරන්නේ කුමන කාර්යයන් සඳහාදැයි විමසා බලමු. අවම වශයෙන් එක් n 2 සඳහා, සංගුණකය a n ශුන්‍ය නොවේ නම්, 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 ගැටළු 37. කොටස් වශයෙන් සුමට ශ්‍රිතයක් f(x) පරතරය [, π] මත අඛණ්ඩව පවතින්න. කොන්දේසිය යටතේ f() = f(π) = අසමානතාවය 2 dx 2 dx, Steklov's අසමානතාවය ලෙසද හඳුන්වනු ලබන බව ඔප්පු කරන්න, සහ එහි සමානාත්මතාවය පවතින්නේ f(x) = B sin x ආකාරයේ ශ්‍රිත සඳහා පමණක් බව තහවුරු කර ගන්න. . 38. f ශ්‍රිතයක් [, π] පරතරය තුළ අඛණ්ඩව පවතින්නට සලස්වන්න සහ එහි (හැකිය හැකි සීමිත ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාවක් හැර) වර්ග අනුකලනය කළ හැකි ව්‍යුත්පන්නයක් f (x) තිබිය යුතුය. f() = f(π) සහ f(x) dx = යන කොන්දේසි සෑහීමකට පත්වේ නම්, Wirtinger අසමානතාවය ලෙස හඳුන්වන අසමානතාවය 2 dx 2 dx පවතින අතර, එහි සමානාත්මතාවය සිදුවන්නේ කර්තව්‍යයන් සඳහා පමණක් බව ඔප්පු කරන්න. ආකෘතිය f(x ) = A cosx + B sinx. 56

57 7. අර්ධ අවකල සමීකරණ විසඳීම සඳහා ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ යෙදීම සැබෑ වස්තුවක් (ස්වාභාවික සංසිද්ධි, නිෂ්පාදන ක්‍රියාවලිය, පාලන පද්ධතිය, ආදිය) අධ්‍යයනය කරන විට, සාධක දෙකක් වැදගත් වේ: අධ්‍යයනයට ලක්වන වස්තුව පිළිබඳ සමුච්චිත දැනුමේ මට්ටම සහ ගණිතමය උපකරණයේ සංවර්ධන මට්ටම. විද්‍යාත්මක පර්යේෂණවල වර්තමාන අවධියේදී, පහත දාමය වර්ධනය වී ඇත: සංසිද්ධියක් භෞතික ආකෘතියක් ගණිතමය ආකෘතියක්. ගැටලුවේ භෞතික සැකැස්ම (ආකෘතිය) පහත පරිදි වේ: ක්රියාවලිය වර්ධනය කිරීම සඳහා කොන්දේසි සහ එය බලපාන ප්රධාන සාධක හඳුනාගෙන ඇත. ගණිතමය සූත්‍රගත කිරීම (ආකෘතිය) සමන්විත වන්නේ සමීකරණ පද්ධතියක් (වීජීය, අවකල, අනුකලනය, ආදිය) ආකාරයෙන් භෞතික සූත්‍රගත කිරීමේදී තෝරාගත් සාධක සහ කොන්දේසි විස්තර කිරීමෙනි. යම්කිසි ක්‍රියාකාරී අවකාශයක, ගැටලුවේ විසඳුම පවතින්නේ නම්, ප්‍රථම සහ මායිම් තත්ත්වයන් මත අනන්‍යව සහ අඛණ්ඩව රඳා පවතී නම්, ගැටලුවක් හොඳින් මතුවන බව කියනු ලැබේ. ගණිතමය ආකෘතිය සලකා බලනු ලබන වස්තුවට සමාන නොවේ, නමුත් එහි ආසන්න විස්තරය තන්තුවෙහි නිදහස් කුඩා තීර්යක් කම්පන සමීකරණයේ ව්‍යුත්පන්නය, අපි පෙළපොත අනුගමනය කරන්නෙමු. නූලෙහි කෙළවර සවි කිරීමට ඉඩ දෙන්න, නූලම තද විය යුතුය. නූල සමතුලිතතාවයෙන් ඉවතට ගන්නේ නම් (උදාහරණයක් ලෙස, එය ඇදීමෙන් හෝ පහර දීමෙන්), එවිට නූල ආරම්භ වනු ඇත 57

58 පසුබට. නූලෙහි සියලුම ලක්ෂ්‍ය එහි සමතුලිත ස්ථානයට (තීර්‍ය කම්පන) ලම්බකව චලනය වන බවත්, සෑම මොහොතකම නූල එකම තලයක පවතින බවත් අපි උපකල්පනය කරමු. අපි මෙම තලයේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක xou පද්ධතියක් ගනිමු. එවිට, ආරම්භක අවස්ථාවේ දී t = නූල අක්ෂය Ox දිගේ පිහිටා තිබුනේ නම්, එවිට u යනු සමතුලිත ස්ථානයේ සිට තන්තුවේ අපගමනය, එනම් අත්තනෝමතික වේලාවක t abscissa x සමඟ නූල් ලක්ෂ්‍යයේ පිහිටීමයි. u(x, t) ශ්‍රිතයේ අගයට අනුරූප වේ. t හි එක් එක් ස්ථාවර අගය සඳහා, u (x, t) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය t වේලාවේ කම්පන තන්තුවේ හැඩය නිරූපණය කරයි (රූපය 32). x හි නියත අගයකදී, u (x, t) ශ්‍රිතය Ou අක්ෂයට සමාන්තරව සරල රේඛාවක් ඔස්සේ abscissa x සමඟ ලක්ෂ්‍යයක චලිත නියමය ලබා දෙයි, ව්‍යුත්පන්න u t යනු මෙම චලිතයේ වේගය වන අතර දෙවැන්න ව්යුත්පන්න 2 u t 2 යනු ත්වරණයයි. සහල්. 32. තන්තුවක අසීමිත කුඩා කොටසකට යොදන බලවේග u(x, t) ශ්‍රිතය තෘප්තිමත් විය යුතු සමීකරණයක් ලියමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි තවත් සරල උපකල්පන කිහිපයක් කරන්නෙමු. තන්තුව සම්පූර්ණයෙන්ම නම්‍යශීලී බව අපි උපකල්පනය කරමු.

59 coy, එනම්, නූල නැමීමට ඔරොත්තු නොදෙන බව අපි උපකල්පනය කරමු; මෙයින් අදහස් කරන්නේ තන්තුව තුළ පැන නගින ආතතීන් සෑම විටම එහි ක්ෂණික පැතිකඩ වෙත ස්පර්ශක ලෙස යොමු කර ඇති බවයි. නූල් ඉලාස්ටික් සහ හූක්ගේ නියමයට යටත් යැයි උපකල්පනය කෙරේ; මෙයින් අදහස් කරන්නේ ආතති බලයේ විශාලත්වය වෙනස් වීම නූලෙහි දිග වෙනස් වීමට සමානුපාතික වන බවයි. අපි උපකල්පනය කරමු තන්තුව සමජාතීය බව; මෙයින් අදහස් කරන්නේ එහි රේඛීය ඝනත්වය ρ නියත බවයි. අපි බාහිර බලවේග නොසලකා හරින්නෙමු. මෙයින් අදහස් කරන්නේ අපි නිදහස් දෝලනයන් සලකා බලන බවයි. අපි තන්තුවක කුඩා කම්පන පමණක් අධ්‍යයනය කරන්නෙමු. t අවස්ථාවේ abscissa x සමඟ ලක්ෂ්‍යයේ abscissa අක්ෂය සහ තන්තුවට ස්පර්ශක අතර කෝණය ϕ(x, t) මගින් දක්වන්නේ නම්, දෝලනයන්හි කුඩා බව සඳහා කොන්දේසිය වන්නේ ϕ 2 (x) අගයයි. , t) ϕ (x, t) සමඟ සැසඳීමේදී නොසලකා හැරිය හැක, එනම්, ϕ 2. කෝණය ϕ කුඩා බැවින්, cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u, එබැවින්, අගය (u x x,) 2 හැක. ද නොසලකා හැරිය යුතුය. දෝලනය වීමේ ක්‍රියාවලියේදී අපට නූලෙහි ඕනෑම කොටසක දිග වෙනස් වීම නොසලකා හැරිය හැකි බව මෙයින් වහාම අනුගමනය කරයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, x 2 = x 1 + x, l = x 2 x () 2 u dx x ට සමාන වන x අක්ෂයේ අන්තරයට ප්‍රක්ෂේපණය කරන ලද M 1 M 2 නූල් කැබැල්ලක දිග. x අපගේ උපකල්පනවලට අනුව, T ආතති බලයේ අගය සම්පූර්ණ නූල දිගේ නියත වන බව පෙන්වමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි t වේලාවේදී M 1 M 2 (රූපය 32) තන්තුවෙන් කොටසක් ගෙන ඉවතලන කොටස්වල ක්‍රියාව ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු.

T 1 සහ T 2 ආතති බලවේග මගින් 60 kov. තත්ත්‍වය අනුව, තන්තුවේ සියලුම ලක්ෂ්‍ය Ou අක්ෂයට සමාන්තරව චලනය වන අතර බාහිර බලවේග නොමැති බැවින්, Ox අක්ෂය මත ඇති ආතති බලවේගවල ප්‍රක්ෂේපණවල එකතුව ශුන්‍යයට සමාන විය යුතුය: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. එබැවින්, ϕ 1 = ϕ(x 1, t) සහ ϕ 2 = ϕ(x 2, t) කෝණ වල කුඩා බව නිසා T 1 = T 2 ලෙස අපි නිගමනය කරමු. T 1 = T 2 හි සාමාන්‍ය අගය දක්වන්න. T by T. දැන් අපි Ou අක්ෂය මත එකම බලවේගවල F u ප්රක්ෂේපණ එකතුව ගණනය කරමු: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) කුඩා කෝණ සඳහා sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t), සහ tg ϕ(x, t) u(x, t)/ x නිසා, සමීකරණය (2) F u T ලෙස නැවත ලිවිය හැක. (tan ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . x 1 ලක්ෂ්‍යය අත්තනෝමතික ලෙස තෝරාගෙන ඇති බැවින්, F u T 2 u x2(x, t) x. M 1 M 2 කොටසේ ක්‍රියා කරන සියලුම බලවේග සොයාගත් පසු, අපි එයට නිව්ටන්ගේ දෙවන නියමය යොදන්නෙමු, ඒ අනුව ස්කන්ධයේ සහ ත්වරණයේ ගුණිතය සියලුම ක්‍රියාකාරී බලවේගවල එකතුවට සමාන වේ. M 1 M 2 නූල් කැබැල්ලක ස්කන්ධය m = ρ l ρ x ට සමාන වන අතර ත්වරණය 2 u (x, t) ට සමාන වේ. නිව්ටන්ගේ t 2 සමීකරණයේ ස්වරූපය ගනී: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, මෙහි α 2 = T ρ යනු නියත ධන අංකයකි. 6

61 x මගින් අඩු කිරීම, අපි 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2 (x, t) ලබා ගනිමු. (21) ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අර්ධ අවකල සමීකරණයක් ලබා ගෙන ඇත. එය තන්තු කම්පන සමීකරණය හෝ ඒකමාන තරංග සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ. සමීකරණය (21) අත්‍යවශ්‍යයෙන්ම නිව්ටන්ගේ නියමයේ ප්‍රතිසංස්කරණයක් වන අතර තන්තුවක චලිතය විස්තර කරයි. නමුත් ගැටලුවේ භෞතික සූත්‍රගත කිරීමේදී, නූලෙහි කෙළවර සවි කර ඇති අතර යම් අවස්ථාවක දී නූලෙහි පිහිටීම දැන ගැනීමට අවශ්‍යතා තිබුණි. අපි මෙම කොන්දේසි පහත පරිදි සමීකරණවල ලියන්නෙමු: a) තන්තුවේ කෙළවර x = සහ x = l යන ලක්ෂ්‍යවල සවි කර ඇති බව අපි උපකල්පනය කරමු, එනම්, අපි සියලු t සම්බන්ධතා සඳහා u(, t) = යැයි උපකල්පනය කරමු. , u (l, t ) = ; (22) b) අපි උපකල්පනය කරමු t = තන්තුවේ පිහිටීම f(x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය සමග සමපාත වේ, එනම්, අපි සියලු x [, l] සඳහා සමානාත්මතාවය u(x,) යැයි උපකල්පනය කරමු. = f (x); (23) c) අපි උපකල්පනය කරන අවස්ථාවේ t = abscissa x සමඟ ඇති තන්තුවේ ලක්ෂ්‍යයට g(x) වේගය ලබා දී ඇත, එනම්, අපි u (x,) = g(x) යැයි උපකල්පනය කරමු. (24) t සම්බන්ධතා (22) මායිම් කොන්දේසි ලෙසත්, සම්බන්ධතා (23) සහ (24) ආරම්භක කොන්දේසි ලෙසත් හැඳින්වේ. නිදහස් කුඩා තීර්යක් 61 හි ගණිතමය ආකෘතිය

62 තන්තු කම්පන යනු සමීකරණය (21) මායිම් කොන්දේසි (22) සහ ආරම්භක කොන්දේසි (23) සහ (24) ෆූරියර් ක්‍රමය මගින් නූල්වල නිදහස් කුඩා තීර්යක් කම්පන සමීකරණය විසඳීම අවශ්‍ය වේ.< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. (25) (25) ආදේශ කිරීම, අපට ලැබෙන්නේ: X T = α 2 X T, (26) හෝ T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x). (27) විචල්‍ය වෙන්වීමක් සිදුවී ඇතැයි පැවසේ. x සහ t එකිනෙක මත රඳා නොපවතින බැවින්, (27) හි වම් පැත්ත x මත රඳා නොපවතී, නමුත් දකුණු පැත්ත t මත රඳා නොපවතී, මෙම අනුපාතවල සම්පූර්ණ අගය 62 කි.

63 නියත විය යුතුය, අපි λ මගින් දක්වන: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. එබැවින් අපි සාමාන්‍ය අවකල සමීකරණ දෙකක් ලබා ගනිමු: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) මෙම අවස්ථාවෙහිදී, මායිම් කොන්දේසි (22) X()T(t) = සහ X(l)T(t) = ආකාරය ගනී. ඒවා සියලු t, t > සඳහා සම්පූර්ණ විය යුතු බැවින්, X() = X(l) =. (3) සමීකරණයට විසඳුම් සොයා බලමු (28) තෘප්තිමත් මායිම් කොන්දේසි (3). අපි අවස්ථා තුනක් සලකා බලමු. නඩුව 1: λ >. λ = β 2 දක්වන්න. සමීකරණය (28) X (x) β 2 X(x) = ස්වරූපය ගනී. එහි ලාක්ෂණික සමීකරණය k 2 β 2 = k = ±β මූලයන් ඇත. එබැවින්, Eq. (28) හි පොදු විසඳුම X(x) = C e βx + De βx ආකෘතිය ඇත. මායිම් කොන්දේසි (3) සපුරාලීම සඳහා අපි C සහ D නියතයන් තෝරාගත යුතුය, එනම් X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. β සිට, මෙම සමීකරණ පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් C = D = ඇත. එබැවින් X(x) සහ 63

64 u (x, t). මේ අනුව, 1 නඩුවේදී අපි සුළු විසඳුමක් ලබාගෙන ඇති අතර, අපි තවදුරටත් සලකා බලන්නේ නැත. නඩුව 2: λ =. එවිට සමීකරණය (28) X (x) = ආකාරය ගන්නා අතර එහි විසඳුම පැහැදිලිවම X(x) = C x+d සූත්‍රය මගින් ලබා දේ. මෙම විසඳුම මායිම් කොන්දේසි (3) තුළට ආදේශ කිරීම, අපි X() = D = සහ X(l) = Cl = ලබා ගනිමු, එබැවින් C = D =. එබැවින් X(x) සහ u(x, t), අපට නැවතත් සුළු විසඳුමක් ඇත. නඩුව 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 පහත දැක්වෙන දේ තුළ, අපි n n = 1, 2,... වෙත ධන අගයන් පමණක් පවරමු, මන්ද සෘණ n සඳහා, එකම ආකෘතියේ (nπ) විසඳුම් ලැබෙනු ඇත. λ n = අගයන් හැඳින්වේ. eigenvalues, සහ කාර්යයන් X n (x) = C n sin πnx අවකල සමීකරණයේ eigenfunctions (28) මායිම් කොන්දේසි (3). දැන් අපි සමීකරණය විසඳමු (29). ඔහු සඳහා, ලාක්ෂණික සමීකරණයට k 2 α 2 λ = ආකෘතිය ඇත. (32) l 2 අප ඉහතින් සොයා ගත් පරිදි සම (28) හි සුළු නොවන විසඳුම් X(x) පවතින්නේ λ = n2 π 2 ට සමාන සෘණ λ සඳහා පමණක් බැවින්, අපි පහත සලකා බලන්නේ මෙම λ ය. සමීකරණයේ මූලයන් (32) k = ±iα λ වන අතර, සමීකරණයේ (29) විසඳුම්වල ස්වරූපය ඇත: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l මෙහි A n සහ B n යනු අත්තනෝමතික නියතයන් වේ. සූත්‍ර (31) සහ (33) (33) (25) ආදේශ කිරීමෙන්, මායිම් කොන්දේසි (22) තෘප්තිමත් කරන සමීකරණයේ (21) විශේෂිත විසඳුම් අපට හමු වේ: (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n sin pnx. l l l සාධකය C n වරහන් තුළ ඇතුළත් කර C n A n = b n සහ B n C n = a n යන අංකනය හඳුන්වා දීම, අපි u n (X, T) ලෙස (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt ලෙස ලියන්නෙමු. ) sin pnx. (34) l l l 65

66 u n (x, t) විසඳුම් වලට අනුරූප වන තන්තුවේ කම්පන තන්තුවේ ස්වභාවික කම්පන ලෙස හැඳින්වේ. සමීකරණය (21) සහ මායිම් කොන්දේසි (22) රේඛීය සහ සමජාතීය වන බැවින්, විසඳුම් (34) (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l යනු රේඛීය සංයෝගයකි. සමීකරණයට විසඳුම (21 ) මායිම් කොන්දේසි (22) තෘප්තිමත් කිරීම a n සහ b n සංගුණකවල විශේෂ තේරීමක් සමඟ, ශ්‍රේණියේ ඒකාකාර අභිසාරීතාවය සහතික කරයි. දැන් අපි ද්‍රාවණයේ (35) a n සහ b n සංගුණක තෝරා ගන්නා අතර එමඟින් එය මායිම් කොන්දේසි පමණක් නොව, ආරම්භක කොන්දේසි (23) සහ (24), f(x), g(x) සඳහා ශ්‍රිත ලබා දී ඇත ( තව ද, f () = f (l) = g () = g (l) =). f(x) සහ g(x) ශ්‍රිත ෆූරියර් ප්‍රසාරණ කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරන බව අපි උපකල්පනය කරමු. අගය t = බවට (35) ආදේශ කිරීම, අපි u (x,) = a n sin πnx l = f(x) ලබා ගනිමු. t සම්බන්ධයෙන් ශ්‍රේණි (35) වෙනස් කිරීම සහ t = ආදේශ කිරීම, අපි u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x) ලබා ගනිමු, මෙය f(x) සහ g(x) ශ්‍රිතවල ප්‍රසාරණය වේ. ෆූරියර් මාලාවට. එබැවින්, a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 a n සහ b n යන සංගුණක සඳහා ප්‍රකාශන ශ්‍රේණියට (35) ආදේශ කිරීම, මායිම් කොන්දේසි (22) සහ ආරම්භක කොන්දේසි (23) සහ (24) තෘප්තිමත් කරන සමීකරණයට (21) විසඳුමක් ලබා ගනිමු. මේ අනුව, අපි නූලක නිදහස් කුඩා තීර්යක් කම්පන ගැටළුව විසඳා ඇත. සූත්‍රය (34) මගින් නිර්වචනය කරන ලද තන්තුවක නිදහස් කම්පන ගැටලුවේ eigenfunctions u n (x, t) හි භෞතික අර්ථය පැහැදිලි කරමු. අපි එය u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctg b n ලෙස නැවත ලියමු. l a n සූත්‍රය (37) පෙන්නුම් කරන්නේ තන්තුවේ සියලුම ලක්ෂ්‍ය එකම සංඛ්‍යාතය ω n = πnα සහ අදියර πnα δ n සමඟ සුසංයෝග දෝලනය වන බවයි. දෝලන විස්තාරය තන්තු ලක්ෂ්‍යයේ abscissa x මත රඳා පවතින අතර එය α n sin πnx ට සමාන වේ. එවැනි දෝලනය වීමත් සමඟ, තන්තුවේ සියලුම ලක්ෂ්‍ය එකවරම එක් දිශාවකින් හෝ වෙනත් ආකාරයකින් ඔවුන්ගේ l උපරිම අපගමනය කරා ළඟා වන අතර සමතුලිත තත්ත්වය සමගාමීව ගමන් කරයි. එවැනි දෝලනය ස්ථාවර තරංග ලෙස හැඳින්වේ. ස්ථායී තරංගයක sin πnx = [, l] පරතරයේ සමීකරණයේ මූලයන් මඟින් ලබා දෙන n + 1 ස්ථාවර ලක්ෂ්‍ය ඇත. ස්ථාවර ලක්ෂ්ය ස්ථාවර තරංගයේ නෝඩ් ලෙස හැඳින්වේ. නෝඩ් අතර මැද - l mi යනු අපගමනය උපරිමයට ළඟා වන ලක්ෂ්ය වේ; එවැනි ලක්ෂ්ය ප්රතිවිරෝධක ලෙස හැඳින්වේ. සෑම තන්තුවකටම ω n = πnα, n = 1, 2,.... මෙම සංඛ්‍යාත තන්තුවේ ස්වභාවික සංඛ්‍යාත ලෙස හැඳින්වේ. තන්තුවකට නිපදවිය හැකි අඩුම l ස්වරය එය විසින්ම තීරණය කරනු ලැබේ 67

68 අඩු ස්වභාවික සංඛ්‍යාතය ω 1 = π T සහ තන්තුවේ මූලික ස්වරය ලෙස හැඳින්වේ. l ρ සංඛ්‍යාත ω n, n = 2, 3,..., ට අනුරූප වන ඉතිරි ස්වර ඕවර්ටෝන හෝ හර්මොනික්ස් ලෙස හැඳින්වේ. පැහැදිලිකම සඳහා, අපි මූලික ස්වරය (රූපය 33), පළමු උඩින් (පය. 34) සහ දෙවන උඩින් (පය. 35) විමෝචනය කරන තන්තුවක සාමාන්‍ය පැතිකඩ නිරූපණය කරන්නෙමු. සහල්. රූපය 33. මූලික ස්වරය නිකුත් කරන තන්තුවෙහි පැතිකඩ. රූප සටහන 34. පළමු අධි ස්වරය නිකුත් කරන තන්තුවක පැතිකඩ. 35. තන්තුවක ප්‍රොෆයිල්, දෙවන උඩ ස්වරය විමෝචනය කරයි නම්, තන්තුව මුල් තත්ත්‍වයෙන් නිර්ණය කරන ලද නිදහස් කම්පන සිදු කරයි නම්, සූත්‍රයෙන් (35) දැකිය හැකි පරිදි, u(x, t) ශ්‍රිතය නිරූපනය වේ. . මෙලෙස අත්තනෝමතික දෝලනය 68

69 වන තන්තුව ස්ථාවර තරංගවල සුපිරි පිහිටීමකි. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, තන්තුවේ ශබ්දයේ ස්වභාවය (තානය, ශබ්ද ශක්තිය, ටිම්බර්) තනි හර්මොනික්ස්වල විස්තාරය අතර අනුපාතය මත රඳා පවතී.ශබ්දයේ ශක්තිය, තාරතාව සහ ටිම්බර් කම්පන තන්තුව මිනිසා විසින් වටහා ගන්නා වායු කම්පන උද්දීපනය කරයි. කන් නූලකින් නිකුත් වන ශබ්දයක් ලෙස. ශබ්දයේ ශක්තිය කම්පනවල ශක්තිය හෝ විස්තාරය මගින් සංලක්ෂිත වේ: ශක්තිය වැඩි වන තරමට ශබ්දයේ ශක්තිය වැඩි වේ. ශබ්දයක තාරතාව තීරණය වන්නේ එහි සංඛ්‍යාතය හෝ දෝලනය වන කාලය අනුව ය: සංඛ්‍යාතය වැඩි වන තරමට ශබ්දය වැඩි වේ. ශබ්දයේ ශබ්දය තීරණය වන්නේ උඩින් ඇති ස්වර තිබීම, හාර්මොනික්ස් හරහා ශක්තිය බෙදා හැරීම, එනම් දෝලනය උද්දීපනය කිරීමේ ක්‍රමය මගිනි. උඩින් ඇති විස්තාරය, සාමාන්‍යයෙන් කථා කරන විට, මූලික විස්තාරයට වඩා අඩු වන අතර, උඩින් ඇති අවධීන් අත්තනෝමතික විය හැකිය. අපේ කන දෝලනය වීමේ අවධියට සංවේදී නොවේ. උදාහරණයක් ලෙස, රූපයේ ඇති වක්‍ර දෙක සසඳන්න. 36, ණයට ගත්තා. මෙය ක්ලැරිනට් (a) සහ පියානෝ (b) වලින් උපුටා ගත් එකම මූලික ස්වරය සහිත ශබ්දයක් පටිගත කිරීමකි. ශබ්ද දෙකම සරල sinusoidal දෝලනය නොවේ. අවස්ථා දෙකේදීම ශබ්දයේ මූලික සංඛ්‍යාතය සමාන වන අතර මෙය එකම ස්වරය නිර්මාණය කරයි. නමුත් වක්‍ර රටා වෙනස් වන්නේ මූලික ස්වරය මත විවිධ උඩින් පටවා ඇති බැවිනි. එක් අතකින්, මෙම චිත්‍රවලින් පෙන්නුම් කරන්නේ දැව යනු කුමක්ද යන්නයි. 69

හයිපර්බෝලික් වර්ගයේ සමීකරණ. අනන්ත සහ අර්ධ අනන්ත තන්තුවක කම්පන. ෆූරියර් ක්‍රමය ෆූරියර් ක්‍රමය ස්ථාවර තරංග 4 දේශනය 4.1 හයිපර්බෝලික් වර්ගයේ සමීකරණ. අනන්ත සහ අර්ධ අනන්ත උච්චාවචනයන්

සිවිල් ගුවන් සේවා මොස්කව් රාජ්ය තාක්ෂණික විශ්ව විද්යාලය V.M. ලියුබිමොව්, ඊ.ඒ. Zhukova, V.A. උකෝවා, යූ.ඒ. ෂුරිනොව්

රුසියාවේ අධ්‍යාපන හා විද්‍යා අමාත්‍යාංශය උසස් වෘත්තීය අධ්‍යාපනය පිළිබඳ ෆෙඩරල් රාජ්‍ය අයවැය අධ්‍යාපන ආයතනය MATI රුසියානු රාජ්‍ය තාක්ෂණ විශ්ව විද්‍යාලය K. E. Tsiolkovsky නමින් නම් කර ඇත.

බෙලාරුස් ජනරජයේ අධ්‍යාපන අමාත්‍යාංශය Vitebsk රාජ්‍ය තාක්ෂණ විශ්ව විද්‍යාලයේ මාතෘකාව. "පේළි" න්යායික හා ව්යවහාරික ගණිත දෙපාර්තමේන්තුව. Assoc විසින් සංවර්ධනය කරන ලදී. ඊ.බී. දුනිනා. ප්රධාන

අධ්‍යාපනය සඳහා වන ෆෙඩරල් ඒජන්සිය, උසස් වෘත්තීය අධ්‍යාපනය පිළිබඳ ෆෙඩරල් රාජ්‍ය අධ්‍යාපන ආයතනය දකුණු ෆෙඩරල් විශ්ව විද්‍යාලය R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Methodical

මාතෘකා ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ ප්‍රායෝගික පාඩම ෆූරියර් ශ්‍රිතවල විකලාංග පද්ධතිවල කොටස් වශයෙන් අඛණ්ඩ ශ්‍රිතවල අවකාශය සාමාන්‍යකරණය වූ ෆූරියර් ශ්‍රේණි 3 ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ අභ්‍යවකාශයේ බෙසල් අසමානතාවය සහ අභිසාරීතාව

ශ්‍රේණියේ න්‍යාය ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ වැදගත්ම අංගය ශ්‍රේණියේ න්‍යාය වන අතර න්‍යායික සහ බොහෝ ප්‍රායෝගික යෙදුම් සොයා ගනී. සංඛ්‍යාත්මක සහ ක්‍රියාකාරී ශ්‍රේණි අතර වෙනස හඳුනා ගන්න.

අන්තර්ගත ෆූරියර් ශ්‍රේණි 4 ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක සංකල්පය 4 ත්‍රිකෝණමිතික බහුපද 6 3 ඕතොගෝන ශ්‍රිත පද්ධති 4 ත්‍රිකෝණමිතික ෆූරියර් ශ්‍රේණි 3 5 ඉරට්ටේ සහ ඔත්තේ ශ්‍රිත සඳහා ෆූරියර් ශ්‍රේණි 6 6 වියෝජනය

අධ්‍යාපනය සඳහා වන ෆෙඩරල් ඒජන්සිය මොස්කව් ප්‍රාන්ත භූ විද්‍යාව සහ සිතියම් විද්‍යා විශ්ව විද්‍යාලය (MIIGAiK) උසස් ගණිතය පාඨමාලාවේ ස්වාධීන කටයුතු සඳහා ක්‍රමවේද උපදෙස් සහ කාර්යයන්

දේශනය 4. හර්මොනික් විශ්ලේෂණය. ෆූරියර් ශ්‍රේණි ආවර්තිතා ශ්‍රිත. හාර්මොනික් විශ්ලේෂණය විද්‍යාවේ සහ තාක්‍ෂණයේ දී, කෙනෙකුට බොහෝ විට ආවර්තිතා සංසිද්ධීන් සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදුවේ, එනම්, පුනරාවර්තනය වන ඒවා

මාතෘකා V ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ දේශනය 6 ෆූරියර් ශ්‍රේණියක ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක ප්‍රසාරණය ස්වභාවධර්මයේ සහ තාක්‍ෂණයේ සිදුවන බොහෝ ක්‍රියාවලීන් යම් යම් කාල පරාසයන්හිදී පුනරාවර්තනය වීමට ගුණ ඇත.

උසස් ගණිත පාඨමාලාවේ ගණනය කිරීම් කාර්යයන් සඳහා ක්‍රමවේද උපදෙස් "සාමාන්‍ය අවකල සමීකරණ මාලාව ද්විත්ව අනුකලනය" III කොටස තේමා ශ්‍රේණි සාංක්‍ෂික ශ්‍රේණි සහ සංක්‍ෂණ ශ්‍රේණි විවිධත්වය

6 ෆූරියර් ශ්‍රේණි 6 විකලාංග ශ්‍රිත පද්ධතියක් අනුව ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ ක්‍රියාකාරී පද්ධති [, ] කොටසෙහි අර්ථ දක්වා ඇති සහ ඒකාබද්ධ කළ හැකි ශ්‍රිත ϕ () සහ ψ (), මෙම කොටසෙහි විකලාංග ලෙස හැඳින්වේ නම්

නිශ්චිත අනුකලනය. අනුකලිත එකතුව සහ නිශ්චිත අනුකලනය [, b ] කොටසේ අර්ථ දක්වා ඇති ශ්‍රිතයක් y = f () කරමු< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 බල ශ්‍රේණි 5 බල ශ්‍රේණි: අර්ථ දැක්වීම, අභිසාරී කලාපය (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) සංඛ්‍යා බල ශ්‍රේණි අංක ලෙස හැඳින්වේ.

බෙලරුසියානු රාජ්‍ය විශ්ව විද්‍යාල ව්‍යවහාරික ගණිත හා තොරතුරු විද්‍යා පීඨය උසස් ගණිත අංශයේ ව්‍යවහාරික ගණිත හා තොරතුරු පීඨයේ සිසුන් සඳහා ඉගැන්වීමේ ආධාර

අපි උදාහරණ කිහිපයක් බලමු. උදාහරණයක්. අපි අනන්ත ජ්‍යාමිතික ප්‍රගමනයක එකතුව සොයා ගනිමු මෙම ශ්‍රේණියේ පොදු පදය සඳහා සූත්‍රය a+aq+...+aq n +... (a) වේ. a n = aq n. අපි එහි අර්ධ එකතුව ගණනය කරමු. q = නම්, එසේ නම්

කාර්යය 1.1. දක්වා ඇති ප්‍රදේශයේ අනන්‍ය නොවන ශුන්‍ය වන අවකල සමීකරණයේ y = y(x) විසඳුම් සොයාගෙන ලබා දී ඇති මායිම් කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරන්න (Sturm-Lioville ගැටලුව) විසඳුම: සලකා බලන්න

ගණිතමය විශ්ලේෂණය මාතෘකාව: නිශ්චිත අනුකලිත නුසුදුසු අනුකලනය කථිකාචාර්ය Pakhomova E.G. 2017 II පරිච්ඡේදය. නිශ්චිත අනුකලනය සහ එහි යෙදුම් 1. නිශ්චිත අනුකලනය සහ එහි ගුණාංග 1. කාර්යයන්,

දේශනය 8 4 Sturm-Liouville ගැටලුව

පෙළට පැහැදිලි කිරීම්: ලකුණ "සමාන" ලෙස කියවනු ලබන අතර එයින් අදහස් වන්නේ ලකුණේ දකුණට සහ ලකුණේ වම් පස ඇති සමීකරණවලට එකම විසඳුම් කට්ටලයක් ඇති බවයි, IR ලකුණෙන් තාත්වික සංඛ්‍යා කට්ටලය, ලකුණ දක්වයි තුල

82 4. කොටස 4. ක්රියාකාරී සහ බල ශ්රේණි 4.2. පාඩම 3 4.2. පාඩම 3 4.2.. ශ්‍රිතයක ටේලර් ප්‍රසාරණය නිර්වචනය 4.2.. y = f(x) ශ්‍රිතය සමහර අසල්වැසි ප්‍රදේශයක අසීමිත ලෙස අවකලනය වීමට ඉඩ හරින්න

රුසියාවේ අධ්‍යාපන හා විද්‍යා අමාත්‍යාංශය ෆෙඩරල් රාජ්‍ය අයවැය අධ්‍යාපනික උසස් වෘත්තීය අධ්‍යාපන ආයතනය "සමාරා ප්‍රාන්ත තාක්ෂණික විශ්ව විද්‍යාලය" ව්‍යවහාරික ගණිත දෙපාර්තමේන්තුව

දුම්රිය ප්‍රවාහනය සඳහා ෆෙඩරල් නියෝජිතායතනය යූරල් රාජ්‍ය දුම්රිය ප්‍රවාහන දෙපාර්තමේන්තුවේ විශ්වවිද්‍යාලය "උසස් සහ ව්‍යවහාරික ගණිතය" N. P. Chuev හරාත්මක විශ්ලේෂණ ක්‍රමවේද මූලද්‍රව්‍ය

දේශනය 3 Taylor සහ Maclaurin ශ්‍රේණි බල ශ්‍රේණිවල යෙදීම Taylor සහ Maclaurin ශ්‍රේණිවල ශ්‍රිතයන් බල ශ්‍රේණි බවට ප්‍රසාරණය කිරීම යෙදුම් සඳහා, දී ඇති ශ්‍රිතයක් බල ශ්‍රේණියක්, එම ශ්‍රිතයන් බවට පුළුල් කිරීමට හැකි වීම වැදගත් වේ.

එස් ඒ ලැව්රෙන්චෙන්කෝ wwwwrckoru දේශනය ෆූරියර් පරිවර්තන සංකල්පය සමෝධානික පරිවර්තනය පිළිබඳ සංකල්පය ගණිතමය භෞතික විද්‍යාවේ ප්‍රබල ක්‍රමවලින් එකක් වන අතර එය ප්‍රබල විසඳුමකි.

ශ්‍රිතයක අනුකලනය (Riemann ට අනුව) සහ නිශ්චිත අනුකලනයක් ගැටළු නිරාකරණය සඳහා උදාහරණ 1. නියත ශ්‍රිතය f(x) = C මත අනුකලනය වේ, මන්ද ඕනෑම කොටස් සහ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් ξ i අනුකලනය

මම පාඨමාලාව, කාර්යය. රීමන් ශ්‍රිතය, 0, m m R(), නම්, m, m 0, සහ භාගය ප්‍රත්‍යාවර්තනය කළ නොහැකි නම්, 0, අතාර්කික නම්, සෑම තාර්කික ලක්ෂ්‍යකදීම අඛණ්ඩව පවතින අතර සෑම අතාර්කික ස්ථානයකදීම අඛණ්ඩව පවතින බව ඔප්පු කරන්න. විසඳුමක්.

1 2 පටුන 1 ෆූරියර් ශ්‍රේණි 5 1.1 ත්‍රිකෝණමිතික ෆූරියර් ශ්‍රේණිය .................. 5 1.2 sin & cos ............. ............ 7 1.3 ෆූරියර් ශ්‍රේණි සංකීර්ණ ස්වරූපයෙන්............. 11 1.4 f(x) = c k?......... ......

ගණිතමය භෞතික විද්‍යාවේ සමීකරණ 1. අර්ධ අවකල සමීකරණ

දේශනය 4. තරංග සමීකරණ 1. තන්තු කම්පන සමීකරණයේ ව්‍යුත්පන්නය 2. දණ්ඩක කල්පවත්නා කම්පන සමීකරණය 3. ආරම්භක කොන්දේසි, මායිම් කොන්දේසි 4. ගැටළු ප්‍රකාශය 1. නූල් කම්පන සමීකරණයේ ව්‍යුත්පන්නය

1. විද්‍යුත් ස්ථිතික 1 1. විද්‍යුත් ස්ථිතික පාඩම 6 කාටිසියානු ඛණ්ඩාංකවල විචල්‍යයන් වෙන් කිරීම 1.1. (ගැටලු 1.49) z = තලය ඝනත්වයෙන් ආරෝපණය වේ σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), මෙහි σ, α, β නියත වේ.

මොඩියුල මාතෘකා ශ්‍රිත අනුපිළිවෙලවල් සහ ශ්‍රේණි අනුපිළිවෙලවල් සහ ශ්‍රේණිවල ඒකාකාර අභිසාරීතාවයේ ගුණාංග බල ශ්‍රේණි දේශනය ශ්‍රිත අනුක්‍රම සහ ශ්‍රේණි ඒකාකාරව අර්ථ දැක්වීම

පරාවලයික වර්ගයේ සමීකරණ. විචල්‍යයන් වෙන් කිරීමේ ක්‍රමය සමජාතීය මායිම් අගය ගැටළුව ප්‍රභව ශ්‍රිතය අසමජාතීය තාප සමීකරණය 7 දේශනය 7.1 පරාවලයික වර්ගයේ සමීකරණ. වෙන් කිරීමේ ක්රමය

දේශනය සංඛ්‍යාත්මක ශ්‍රේණි අභිසාරීතාවයේ ලකුණු සංඛ්‍යා ශ්‍රේණි අභිසාරීතාවයේ සලකුණු අනන්ත එකක සාමාජිකයින්ගෙන් සමන්විත + + + + සංඛ්‍යාත්මක අනුක්‍රමයක අසීමිත ප්‍රකාශනයක් සංඛ්‍යාත්මක ශ්‍රේණියක් ලෙස හැඳින්වේ.

35 7 ත්‍රිකෝණමිතික ෆූරියර් ශ්‍රේණිය T සමඟ ආවර්තිතා ශ්‍රිත සඳහා ෆූරියර් ශ්‍රේණිය. f(x) ටී කාල පරිච්ඡේදය සමඟ කොටස් වශයෙන් අඛණ්ඩ ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක් වේ. මූලික ත්‍රිකෝණමිතික පද්ධතිය සලකා බලන්න.

ලෝහ විද්‍යා පීඨය උසස් ගණිත දෙපාර්තමේන්තුව

උසස් ගණිතයේ ගණිත හා තොරතුරු විද්‍යා අංශයේ දුරස්ථ තාක්ෂණය භාවිතා කරමින් අධ්‍යාපනය ලබන ද්විතීයික වෘත්තීය අධ්‍යාපනය හදාරන සිසුන් සඳහා අධ්‍යාපනික හා ක්‍රමවේද සංකීර්ණය මොඩියුල අවකලනය සම්පාදනය කළේ:

9. ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න සහ අවිනිශ්චිත අනුකලනය 9.. I R පරතරය මත f() ශ්‍රිතය ලබා දෙන්න. F () ශ්‍රිතය I අන්තරය මත f() ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න ශ්‍රිතය ලෙස හැඳින්වේ, F () = f() ඕනෑම I සඳහා නම් සහ ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න

එක් විචල්‍යයක ක්‍රියාකාරීත්වයන් වෙනස් කිරීම ව්‍යුත්පන්න සංකල්පය, එහි ජ්‍යාමිතික සහ භෞතික අර්ථය A x ලක්ෂ්‍යයේ y f (x) රේඛාවට ස්පර්ශක S හි ව්‍යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීමේ සංකල්පයට තුඩු දෙන ගැටළු; f(

හයිපර්බෝලික් වර්ගයේ සමීකරණ. අනන්ත සහ අර්ධ අනන්ත තන්තුවක කම්පන. d'Alembert ගේ ක්‍රමය Infinite string. d'Alembert සූත්‍රය අර්ධ අනන්ත string 3 දේශනය 3.1 Hyperbolic ආකාරයේ සමීකරණ.

මාතෘකාව හැඳින්වීම. මූලික සංකල්ප.... 4 1. Volterra අනුකලිත සමීකරණ... 5 ගෙදර වැඩ විකල්ප.... 8 2. Volterra අනුකල සමීකරණයේ විසර්ජනය. ගෙදර වැඩ විකල්ප 10.... 11

පේළි අංක රේඛා. මූලික අර්ථ දැක්වීම් අසීමිත සංඛ්‍යා අනුපිළිවෙලක් ලබා දෙමු ප්‍රකාශනය (අනන්ත එකතුව) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= a ලෙස හැඳින්වේ. සංඛ්යා මාලාව. අංක

8. බල ශ්‍රේණි 8.. c n (z) n, (8.) n= ආකෘති පත්‍රයේ ක්‍රියාකාරී ශ්‍රේණියක් c n යනු සංඛ්‍යාත්මක අනුක්‍රමයක් වන අතර R යනු ස්ථාවර සංඛ්‍යාවක් වන අතර z R යනු c n සංගුණක සහිත බල ශ්‍රේණියක් ලෙස හැඳින්වේ. . විචල්‍යයන් වෙනස් කිරීමෙන්

~ ~ අවිනිශ්චිත සහ නිශ්චිත අනුකලනය ප්රතිව්යුත්පන්න සහ අවිනිශ්චිත අනුකලනය පිළිබඳ සංකල්පය. අර්ථ දැක්වීම: මෙම ශ්‍රිත පහත පරිදි සම්බන්ධ වන්නේ නම් f ශ්‍රිතයක් f ශ්‍රිතයකට අදාළව ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයක් ලෙස හැඳින්වේ.

3724 බහු සහ වක්‍ර අනුකලන මාලාව 1 අංශවල ක්‍රියාකාරී වැඩසටහන "බහු සහ වක්‍ර අනුකලන මාලාව" 11 සංඛ්‍යා ශ්‍රේණියේ සංකල්පය අවශ්‍ය සංඛ්‍යා ශ්‍රේණි සඳහා අවශ්‍ය නිර්ණායක සඳහා ගුණාංග

කන්න. ORE ගණිතමය විශ්ලේෂණය. සංඛ්‍යාත්මක සහ ක්‍රියාකාරී ශ්‍රේණි NOVOSIBIRSK 200 2 රුසියානු අධ්‍යාපන හා විද්‍යා අමාත්‍යාංශය SEI HPE "NOVOSIBIRSK රාජ්‍ය අධ්‍යාපනික විශ්ව විද්‍යාලය" E.M. Rudoy ගණිතමය විශ්ලේෂණය.

දේශනය N 7 .බලය

චතුරස්රාකාර සමීකරණ

පරාමිති සහිත කාර්යයන් කොටස අදහස් දැක්වීම පරාමිති සහිත කාර්යයන් භාවිතා ව්‍යුහය තුළ සම්ප්‍රදායිකව සංකීර්ණ කාර්යයන් වන අතර, අයදුම්කරුට විවිධ විසඳුම් සඳහා සියලු ක්‍රම සහ ශිල්පීය ක්‍රම ප්‍රගුණ කිරීමට පමණක් අවශ්‍ය වේ.

ආන්තරික කලනය ගණිතමය විශ්ලේෂණයට හැඳින්වීම අනුපිළිවෙල සහ ශ්‍රිත සීමාව. ඇතුළත අවිනිශ්චිතතාවයන් හෙළිදරව් කිරීම. කාර්යය ව්යුත්පන්නය. අවකලනය කිරීමේ නීති. ව්යුත්පන්නයේ යෙදීම

ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ විකලාංග ශ්‍රිත පද්ධති වීජ ගණිතයේ දෘෂ්ටිකෝණයෙන්, දී ඇති පන්තියක ශ්‍රිත වන සහ R හෝ C වලින් සංගුණක වන සමානාත්මතාවය සරලව අදහස් කරන්නේ දෛශිකය B දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනයක් බවයි.

1. නිශ්චිත අනුකලනය 1.1. f යනු [, b] R කොටසේ නිර්වචනය කර ඇති සීමාකාරී ශ්‍රිතයක් වේ. [, b] කොටසේ කොටසක් τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b ] එවැනි = x< x 1 < < x n 1

Ch බල ශ්‍රේණි a a a A ආකෘතියේ a a a a () බල ශ්‍රේණියක් ලෙස හැඳින්වේ, එහිදී, a, නියතයන්, ශ්‍රේණියේ සංගුණක ලෙස හැඳින්වේ.සමහර විට වඩාත් සාමාන්‍ය ආකාරයක බල ශ්‍රේණියක් සැලකේ: a (a) a ( a) a (a) (), කොහෙද

ෆූරියර් මාලාව- සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක් සරල, සුප්‍රසිද්ධ එකතුවක් ලෙස නිරූපණය කිරීමේ ක්‍රමයක්.
සයින් සහ කොසයින් ආවර්තිතා ශ්‍රිත වේ. ඔවුන් විකලාංග පදනමක් ද සාදයි. මෙම ගුණාංගය අක්ෂ සමඟ සාදෘශ්‍යයෙන් පැහැදිලි කළ හැක X X xහා YY වයිඛණ්ඩාංක තලය මත. අක්ෂ සම්බන්ධයෙන් ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක විස්තර කරන ආකාරයටම, සයින් සහ කෝසයින් සම්බන්ධයෙන් ඕනෑම ශ්‍රිතයක් විස්තර කළ හැක. ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයන් හොඳින් වටහාගෙන ඇති අතර ගණිතයේ යෙදීමට පහසුය.

ඔබට එවැනි තරංග ස්වරූපයෙන් සයින් සහ කෝසයින් නියෝජනය කළ හැකිය:

නිල් යනු කොසයින්, රතු යනු සයින් ය. මෙම තරංග හර්මොනික්ස් ලෙසද හැඳින්වේ. කොසයින් ඉරට්ටේ, සයින ඔත්තේ. හාර්මොනිකා යන පදය පුරාණ කාලයේ සිට පැමිණි අතර සංගීතයේ තණතීරුවල සම්බන්ධතාවය පිළිබඳ නිරීක්ෂණ සමඟ සම්බන්ධ වේ.

ෆූරියර් මාලාවක් යනු කුමක්ද?

සයින් සහ කෝසයින් ශ්‍රිත සරලම ලෙස භාවිතා කරන එවැනි ශ්‍රේණියක් ත්‍රිකෝණමිතික ලෙස හැඳින්වේ. එය 18 වන සියවස අවසානයේ - 19 වන සියවස ආරම්භයේදී එහි නව නිපැයුම්කරු ජීන් බැප්ටිස්ට් ජෝසප් ෆූරියර්ගේ නමින් නම් කරන ලදී. එවැනි හාර්මොනික්ස් වල එකතුවක් ලෙස ඕනෑම ශ්‍රිතයක් නිරූපණය කළ හැකි බව ඔප්පු කළ. ඔබ වැඩිපුර ගන්නා තරමට, මෙම නිරූපණය වඩාත් නිවැරදි වනු ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, පහත පින්තූරය: ප්‍රබන්ධ විශාල සංඛ්‍යාවක් සමඟ, එනම් ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ සාමාජිකයින්, රතු ප්‍රස්ථාරය නිල් එකට සමීප වන බව ඔබට දැක ගත හැකිය - මුල් ශ්‍රිතය.

නූතන ලෝකයේ ප්රායෝගික යෙදුම

ඇත්තටම මේ පේළි දැන් අවශ්‍යද? ඒවා ප්‍රායෝගිකව යෙදිය හැක්කේ කොතැනින්ද සහ න්‍යායික ගණිතඥයන් හැර වෙනත් අය ඒවා භාවිතා කරන්නේද? ඔහුගේ ලිපි මාලාවේ ප්‍රායෝගික භාවිතය වචනාර්ථයෙන් ගණනය කළ නොහැකි නිසා ෆූරියර් ලොව පුරා ප්‍රසිද්ධ වී ඇති බව පෙනේ. කිසියම් කම්පන හෝ තරංග ඇති විට ඒවා භාවිතා කිරීම පහසුය: ධ්වනි විද්යාව, තාරකා විද්යාව, ගුවන්විදුලි ඉංජිනේරු විද්යාව, ආදිය. එහි භාවිතයේ සරලම උදාහරණය වන්නේ කැමරාවේ හෝ වීඩියෝ කැමරාවේ යාන්ත්රණයයි. කෙටියෙන් කිවහොත්, මෙම උපකරණ පින්තූර පමණක් නොව, ෆූරියර් මාලාවේ සංගුණක වාර්තා කරයි. එය සෑම තැනකම ක්‍රියාත්මක වේ - අන්තර්ජාලයේ පින්තූර බලන විට, චිත්‍රපටයක් හෝ සංගීතයට සවන් දෙන විට. ෆූරියර් මාලාවට ස්තූතිවන්ත වන අතර ඔබට දැන් මෙම ලිපිය ඔබේ ජංගම දුරකථනයෙන් කියවිය හැකිය. ෆූරියර් පරිණාමනය නොමැතිව, සම්මත ගුණාත්මක භාවයෙන් වුවද, යූ ටියුබ් වීඩියෝවක් නැරඹීමට තරම් අන්තර්ජාල සම්බන්ධතා කලාප පළලක් අපට නොතිබෙනු ඇත.

මෙම රූප සටහනෙහි, ද්විමාන ෆූරියර් පරිණාමනය කරයි, එය රූපය හරස් බවට වියෝජනය කිරීමට භාවිතා කරයි, එනම් මූලික සංරචක. මෙම රූප සටහනේ, අගය -1 කළු පැහැයෙන්, 1 සුදු පැහැයෙන් සංකේතනය කර ඇත. ප්‍රස්ථාරයේ දකුණට සහ පහළට, සංඛ්‍යාතය වැඩි වේ.

ෆූරියර් පුළුල් කිරීම

බොහෝ විට, ඔබ දැනටමත් කියවීමෙන් වෙහෙසට පත්ව ඇත, එබැවින් අපි සූත්‍ර වෙත යමු.
ෆූරියර් ශ්‍රේණියක ශ්‍රිත ප්‍රසාරණය කිරීම වැනි ගණිතමය තාක්‍ෂණයක් සඳහා කෙනෙකුට අනුකලනය කිරීමට සිදුවේ. අනුකලනය ගොඩක්. පොදුවේ ගත් කල, ෆූරියර් මාලාව අසීමිත එකතුවක් ලෙස ලියා ඇත:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ ​ (ඒ n​ cos (n x ) +බී n​ පාපය (n x))
කොහෙද
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA=2 pi1 ​ − π ∫ π ​ f(x)dx
a n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxඒ n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x)cos(nx)dx
b n = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sin(nx)dxබී n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x) sin(nx)dx

අපට කෙසේ හෝ අනන්ත ගණනක් ගණන් කළ හැකි නම් a n a_n ඒ n​ හා b n b_n බී n​ (ඒවා ෆූරියර් ප්‍රසාරණයේ සංගුණක ලෙස හැඳින්වේ. ඒ ඒ ඒමෙම ප්‍රසාරණයේ නියතයක් පමණි), එවිට ලැබෙන ශ්‍රේණිය මුල් ශ්‍රිතය සමඟ 100% සමපාත වේ f(x)f(x) f(x)සිට කොටස මත - π -\pi − π කලින් π\pi π . එවැනි ඛණ්ඩයක් සයින් සහ කොසයින් ඒකාබද්ධ කිරීමේ ගුණාංග නිසාය. වැඩි වැඩියෙන් n n n, අපි ශ්‍රේණියක් බවට ශ්‍රිතයේ ප්‍රසාරණයේ සංගුණක ගණනය කිරීම සඳහා, මෙම ප්‍රසාරණය වඩාත් නිවැරදි වනු ඇත.

උදාහරණයක්

අපි සරල කාර්යයක් ගනිමු y=5x y=5x y=5 x
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) d x = 1 2 π ∫ - π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2 pi1 ​ − π ∫ π ​ f (x) d x =2 pi1 ​ − π ∫ π ​ 5xdx=0
a 1 = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\dis int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0ඒ 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x ) cos (x ) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5xcos(x)dx=0
b 1 = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\display int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx = 10බී 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5xsin(x)dx=1 0
a 2 = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ - π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac\1)(\pi) displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) ) 5x\cos(2x)dx = 0ඒ 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x ) cos (2 x ) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ - π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = - 5 b_2 = \frac(1)(1) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\\ pi) 5x\ sin(2x)dx = -5බී 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x) පව්(2 x) ඈx= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 xපව්(2 x) ඈx= − 5

සහ යනාදි. එවැනි කාර්යයක් සම්බන්ධයෙන්, අපට වහාම සියල්ල පැවසිය හැකිය a n = 0 a_n = 0ඒn​ = 0 , සංගුණක b n b_nබීn​ ගණනය කිරීමට සිදුවනු ඇත. ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ ප්‍රසාරණයේ පළමු පද හතර අපි ශ්‍රිතය සඳහා ගතහොත් y=5x y=5xවයි= 5 x, අපට ලැබෙන්නේ:

$5x\approx 10\cdot පව්(x)-5\cdot පව්(2\cdot x)+310\cdot පව්(3\cdot x)-25\cdot පව්(4\cdot x)$

ලැබෙන ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:

ප්රතිඵලයක් වශයෙන් ෆූරියර් ප්රසාරණය අපගේ මුල් කාර්යයට ළඟා වේ. අපි මාලාවේ නියමයන් විශාල සංඛ්‍යාවක් ගතහොත්, උදාහරණයක් ලෙස, 15, අපි දැනටමත් පහත සඳහන් දේ දකිමු:

ශ්‍රේණියක ප්‍රසාරණ නියමයන් වැඩි වන තරමට නිරවද්‍යතාවය වැඩි වේ.
අපි ප්‍රස්ථාරයේ පරිමාණය මඳක් වෙනස් කළහොත්, පරිවර්තනයේ තවත් අංගයක් අපට දැකිය හැකිය: ෆූරියර් ශ්‍රේණිය යනු කාල පරිච්ඡේදයක් සහිත ආවර්තිතා ශ්‍රිතයකි. 2 π 2\pi2 π .

මේ අනුව, කොටසෙහි අඛණ්ඩව පවතින ඕනෑම ශ්‍රිතයක් නිරූපණය කළ හැකිය [ - π ; pi ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . සංකීර්ණ කාර්යයන් මගින් විස්තර කර ඇති සමහර සංසිද්ධි විශ්ලේෂණයට පහසුකම් සැලසීම සඳහා මේ සියල්ල අවශ්ය වේ. ව්යුත්පන්නය විශ්ලේෂණාත්මකව (එනම්, සූත්රය මගින්) ගණනය කිරීම සැමවිටම කළ නොහැකි අතර, සයින් සහ කෝසයින කට්ටලයක් සම්බන්ධයෙන්, එවැනි ගැටළුවක් මතු නොවනු ඇත. ෆූරියර් මාලාවක් බවට ප්‍රසාරණය වීම පෙන්නුම් කරන්නේ බොහෝ විට සරල කළ ආකෘති මත ගැටළු විශ්ලේෂණාත්මකව විසඳා ගත හැකි බවයි, ඉන් එක් උදාහරණයක් වන්නේ ෆූරියර් මාලාවයි.

පහත සඳහන්:

1) ප්‍රස්ථාරයක් අඳින්න f(x)දී ඇති ශ්‍රිතය ආවර්තිතා බව පෙන්වීමට අවම වශයෙන් කාල පරිච්ඡේද දෙකක කාල පරතරයක් මත;

2) ප්‍රස්ථාරයක් අඳින්න S(x)ඒ හා සමානව, එය කුමන ස්ථානවල දැකිය හැකිය f(x)¹S(x);

3) ෆූරියර් සංගුණක ගණනය කර ෆූරියර් මාලාව ලියන්න.

කාර්යයන්

№1. ෆූරියර් මාලාවක් තුළ පුළුල් කරන්න

විසඳුමක්.දැනුම් දෙන්න, ඒක f(x)දිගු පරතරය මත ලබා දී ඇත T=4. නිසා f(x)ආවර්තිතා ලෙස උපකල්පනය කරනු ලැබේ, එවිට මෙම අංකය එහි කාල පරිච්ඡේදය වේ, එවිට - l = 2.

1) ප්‍රස්තාරය f(x):

2) ප්‍රස්තාරය S(x):

රේඛාවල කෙළවරේ ඇති ඊතල පෙන්නුම් කරන්නේ ශ්‍රිතය අන්තරය මත ලබා දී ඇති ප්‍රකාශනයෙන් තීරණය කරන අගය විරාමයේ කෙළවරට නොගන්නා බවයි. ප්රස්තාර සංසන්දනය කිරීමේදී f(x)හා S(x)එය අනවරත ස්ථානවල බව පැහැදිලිව පෙනේ f(x)¹S(x).

3) ෆූරියර් සංගුණක ගණනය කරන්න. මෙය සූත්‍ර (3*) භාවිතයෙන් කළ හැක: ; ; . හරියටම:; ඒ නිසා,

වියෝජනය f(x)ෆූරියර් මාලාවක පෝරමය ඇත:

අදහස් . 1) ඒකාබද්ධ කරන විට [-1;3] මෙම කොටස බෙදා ඇත හා , නිසා මෙම කොටස් මත f(x)විවිධ අගයන්ට සකසා ඇත.

2) සංගුණක ගණනය කිරීමේදී, අනුකලනය භාවිතා කරන ලදී: සහ , කොහෙද a = const.

№2 . ෆූරියර් මාලාවක් තුළ පුළුල් කරන්න

විසඳුමක්.මෙතන T=2, l = 1.

ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ පෝරමය ඇත: , කොහෙද ; ; , නිසා l = 1.

1) ප්‍රස්තාරය f(x):

2) ප්‍රස්තාරය S(x):

№3. සයින් අනුව ෆූරියර් මාලාවක් තුළ පුළුල් කරන්න

විසඳුමක්.සයින් අනුව ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ ඔත්තේ ශ්‍රිත පමණක් පුළුල් වන බව සලකන්න. නිසා f(x)සඳහා පමණක් අර්ථ දක්වා ඇත x > 0, xн(0;2)И(2;3), එවිට මෙයින් අදහස් වන්නේ සමමිතික පරතරය මත බවයි (-3;-2)È(-2;0) f(x)සමානාත්මතාවය ඇති වන ආකාරයෙන් ඉදිරියට යා යුතුය f(-x) = -f(x). ඒ නිසා, කුමන මත පරතරය දිග f(x)ඔත්තේ ශ්‍රිතයක් ලෙස ලබා දී ඇත, සමාන වේ 6. එබැවින් T = 6, l = 3.සඳහා ෆූරියර් මාලාව f(x)පෝරමය ඇත: , කොහෙද , n = 1, 2, 3, (සූත්ර (5") අනුව).

1) ප්‍රස්තාරය f(x).

ප්‍රස්ථාරයක් ඇඳීමට f(x)අමුතු ශ්‍රිතයක් ලෙස, අපි මුලින්ම ප්‍රස්ථාරයක් අඳින්නෙමු (0;2)È(2;3), ඉන්පසු ඔත්තේ ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය මූලාරම්භයට සාපේක්ෂව සමමිතික බව ප්‍රයෝජනයට ගන්න. මෙම සලකා බැලීම් වලින්, අපි ප්රස්ථාරය ලබා ගනිමු f(x)මත (-3;-2)È(-2;0). ඊට පස්සේ අපි දිගටම කරගෙන යනවා f(x) T=6.

2) ප්‍රස්තාරය S(x).

කාලසටහන S(x)ප්‍රස්ථාරයෙන් වෙනස් f(x)ශ්‍රිතයේ කඩඉම් ස්ථානවල f(x). උදාහරණයක් ලෙස, ටී. x = 2f(x)අර්ථ දක්වා නැත, නමුත් S(x)හි ඇත x=2ශ්‍රිතයේ ඒකපාර්ශ්වික සීමාවන්ගේ එකතුවෙන් අඩකට සමාන අගයක් f(x), හරියටම: , කොහෙද, .

ඉතින්, පසුව වියෝජනය f(x)ෆූරියර් මාලාවක පෝරමය ඇත: .

№4 . කොසයිනවල ෆූරියර් මාලාවක් තුළ පුළුල් කරන්න.

විසඳුමක්. ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ කොසයිනවල පවා ශ්‍රිතයන් පමණක් පුළුල් කළ හැකි බව සලකන්න. නිසා f(x)සඳහා පමණක් සකසා ඇත x>0, xн(0;2)И(2;3],එවිට මෙයින් අදහස් වන්නේ සමමිතික පරතරය මත බවයි [-3;-2)È(-2;0) f(x)සමානාත්මතාවය පවතින ආකාරයට අප ඉදිරියට යා යුතුය: f(-x) = f(x).ඒ නිසා, කුමන මත පරතරය දිග f(x)ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයක් ලෙස ලබා දී ඇත්තේ 6 ට සමාන වේ, එවිට T = 6, l = 3.මෙම නඩුවේ ෆූරියර් මාලාවට පෝරමය ඇත:

කොහෙද ; ; n=1,2,...(සූත්ර (4") අනුව).

1) ප්‍රස්තාරය f(x).

ප්‍රස්ථාරයක් ඇඳීමට f(x)ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයක් ලෙස, අපි මුලින්ම ප්‍රස්ථාරයක් අඳින්නෙමු f(x)මත (0;2)È(2;3], ඉන්පසු ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය y-අක්ෂයේ සමමිතික බව ප්‍රයෝජනයට ගන්න. මෙම සලකා බැලීම් වලින්, අපි ප්රස්ථාරය ලබා ගනිමු f(x)මත [-3;-2)È(-2;0). ඊට පස්සේ අපි දිගටම කරගෙන යනවා f(x)කාල සීමාව සමඟ ආවර්තිතා ශ්රිතයක් ලෙස සම්පූර්ණ සංඛ්යා රේඛාව මත T=6.

මෙන්න ප්‍රස්ථාරය f(x)ශ්‍රිතයේ සම්පූර්ණ කාල පරිච්ඡේද දෙකක් මත ඇඳ ඇත.

2) ප්‍රස්තාරය S(x)

කාලසටහන S(x)ප්‍රස්ථාරයෙන් වෙනස් f(x)ශ්‍රිතයේ කඩඉම් ස්ථානවල f(x). උදාහරණයක් ලෙස, ටී. x = 0 f(x)අර්ථ දක්වා නැත, නමුත් S(x)අර්ථය ඇත: , ඉතින් ප්‍රස්ථාරය S(x)තුළ බාධා නොකෙරේ x=0, ප්‍රස්තාරයට ප්‍රතිවිරුද්ධව f(x).

වියෝජනය f(x)ෆූරියර් මාලාවක කොසයිනවල ස්වරූපය ඇත: .

№5. ෆූරියර් මාලාවක් තුළ පුළුල් කරන්න f(x) = |x|, xn(-2;2)..

විසඳුමක්.කොන්දේසිය අනුව, f(x)මත ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයකි (-2;2) ; එම. එහි ෆූරියර් මාලාවේ අඩංගු වන්නේ කොසයින පමණි T = 4, l = 2, ,

කොහෙද ; ; n = 1, 2,

1) ප්‍රස්තාරය f(x):

2) ප්‍රස්තාරය S(x):

3) නිසා |x| = xසදහා x > 0.; .

එවිට වියෝජනය f(x)ෆූරියර් මාලාවක පෝරමය ඇත: . ප්‍රකාශන අනුකලනය කිරීමේදී හෝ , අනුකලනය-කොටස් සූත්‍රය භාවිතා කරන බව සලකන්න: , එහිදී u=x; dv = cos(ax)dxහෝ dv = sin(ax)dx.

№6. ෆූරියර් ශ්‍රේණියක ශ්‍රිතය පුළුල් කරන්න: a) පරතරය (-?,?); b) පරතරය තුළ (0, 2?); ඇ) සයින මාලාවක (0, ?) පරතරය තුළ.

විසඳුමක්. a) 2 සහිත ශ්‍රිතයක ප්‍රස්තාරය? - ආවර්තිතා අඛණ්ඩව පෝරමය ඇත

ශ්‍රිතය ඩිරිච්ලට් ප්‍රමේයයේ කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරන අතර එම නිසා එය ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් දක්වා පුළුල් කළ හැක.

අපි ෆූරියර් සංගුණක ගණනය කරමු. ශ්‍රිතය ඉරට්ටේ බැවින්, bn = 0 (n = 0, 1, 2,...) සහ (n = 0, 1, 2,...).

මෙම අනුකලනය ගණනය කිරීම සඳහා, නිශ්චිත අනුකලනයක කොටස් මගින් අනුකලනය කිරීමේ සූත්‍රය භාවිතා වේ. අපිට ලැබෙනවා

මෙම ශ්රිතයේ ෆූරියර් ශ්රේණියේ ආකෘතිය ඇත. ඩිරිච්ලට් පරීක්ෂණය අනුව, මෙම ශ්‍රේණිය විරාමයේ (-?,?) ශ්‍රිතය x2 නියෝජනය කරයි.

ආ) අන්තරය (0, 2?) සම්භවය සම්බන්ධයෙන් සමමිතික නොවන අතර එහි දිග 2 වේ එල්= 2?. අපි සූත්‍ර භාවිතා කරමින් ෆූරියර් සංගුණක ගණනය කරමු:

එබැවින්, ෆූරියර් මාලාවෙහි ස්වරූපය ඇත. ඩිරිච්ලට් ප්‍රමේයය අනුව ශ්‍රේණිය x අගය කිරීමට. ශ්‍රේණියේ එකතුව ප්‍රස්තාරය මෙබඳුය

ඇ) සයින අනුව ශ්‍රේණියක විස්තාරණය කරන ලද ශ්‍රිතය ඔත්තේ විය යුතුය. එබැවින්, අපි ලබා දී ඇති ශ්‍රිතය x2 (-π,π) හි ඔත්තේ ආකාරයකින් දිගු කරමු, i.e. කාර්යය සලකා බලන්න. මෙම f(x) ශ්‍රිතය සඳහා අපට = 0 (n = 0, 1, 2,...) සහ

අපේක්ෂිත ප්‍රසාරණයට පෝරමය ඇත.

ශ්‍රේණියේ එකතුව ප්‍රස්තාරය මෙබඳුය

x = (-π, π) ලක්ෂ්‍යවලදී ෆූරියර් ශ්‍රේණිය ශුන්‍යයට අභිසාරී වන බව සලකන්න.

№7 ෆූරියර් ශ්‍රේණියක ප්‍රස්ථාරිකව ලබා දී ඇති ශ්‍රිතයක් පුළුල් කරන්න:

විසඳුමක් . අපි f(x) සඳහා පැහැදිලි ප්‍රකාශනයක් ලබා ගනිමු. ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය සරල රේඛාවකි, අපි ආකෘතියේ සරල රේඛාවක සමීකරණය භාවිතා කරමු. චිත්රයෙන් දැකිය හැකි පරිදි, i.e. f(x) = x - 1 (-1< x < 1) и период Т = 2.

මෙම කාර්යය ඩිරිච්ලට් පරීක්ෂණයේ කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරයි, එබැවින් එය ෆූරියර් මාලාවක් දක්වා විහිදේ. අපි ෆූරියර් සංගුණක ගණනය කරමු ( එල් = 1):

; (n = 1, 2,...);

f(x) ශ්‍රිතය සඳහා වූ ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ පෝරමය ඇත

එය -1 හි f(x) ශ්‍රිතය නියෝජනය කරයි< x < 1, а в точках х0 = -1 и х0 = 1 ряд сходится к -1.

№8. ශ්‍රිතය කොටසක ත්‍රිකෝණමිතික ෆූරියර් ශ්‍රේණියකට විස්තාරණය කර ප්‍රතිඵල ශ්‍රේණිය අභිසාරී වන ශ්‍රිතය දක්වන්න.

විසඳුමක්.ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයක් අඳින්න, කාලාන්තරයක් හෝ සම්පූර්ණ අක්ෂය මත එය වරින් වර දිගටම කරගෙන යන්න. අඛණ්ඩ කාර්යයට කාලපරිච්ඡේදයක් ඇත.

ෆූරියර් මාලාව (Dini-Lipschitz, Jordan, Dirichlet) අභිසාරී වීම සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසි සඳහා කොන්දේසි පරීක්ෂා කරන්න.

ශ්‍රිතය කොටසෙහි කොටස් වශයෙන් ඒකාකාරී වේ: එය මත සහ වැඩි වේ. ලක්ෂ්‍යවලදී, ශ්‍රිතයට පළමු ආකාරයේ විසන්ධි කිරීම් ඇත.

ශ්‍රිතයක් ඉරට්ටේ ද ඔත්තේ ද යන්න සොයා බලන්න: ශ්‍රිතය ඉරට්ටේ හෝ ඔත්තේ නොවේ.

a) ශ්‍රිතය සකසා ඇත්නම්

b) ශ්‍රිතය සකසා ඇත්නම්

ශ්‍රිතයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණිය රචනා කරන්න: .

ලක්ෂ්‍ය අභිසාරී නිර්ණායක භාවිතා කරමින් මෙම ශ්‍රේණිය අභිසාරී වන ශ්‍රිතය සඳහන් කරන්න: ඩිරිච්ලට් නිර්ණායකයට අනුව, ශ්‍රිතයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණිය එකතුවට අභිසාරී වේ:

№9. ශ්‍රිතය සයින් ඔන් අනුව ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් දක්වා පුළුල් කර සංඛ්‍යා ශ්‍රේණියේ එකතුව සොයා ගැනීමට මෙම ප්‍රසාරණය භාවිතා කරන්න.

විසඳුමක්.ශ්‍රිතය ඉරට්ටේ (ඔත්තේ) ආකාරයෙන් දිගටම කරගෙන යන්න (- පි,0) හෝ (- එල්,0), ඉන්පසු කාල පරිච්ඡේද 2 සමඟ වරින් වර පිහෝ 2 එල්සම්පූර්ණ අක්ෂය වෙත කාර්යය දිගටම කරගෙන යන්න.

අපි ශ්‍රිතය අමුතු ආකාරයකින් ඉදිරියට ගෙන යන අතර, පසුව කාලාන්තරයක් සමඟින්, අපි එය සම්පූර්ණ අක්ෂය මත දිගටම කරගෙන යන්නෙමු.

ආවර්තිතා අඛණ්ඩ ප්‍රස්ථාරයක් අඳින්න. අපි පෝරමයේ කාර්යයක් ලබා ගනිමු:

ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ අභිසාරීතාවය සඳහා ප්‍රමාණවත් කොන්දේසි සඳහා කොන්දේසි පරීක්ෂා කරන්න (Dini-Lipitz, Jordan, Dirichlet).

ශ්‍රිතය අන්තරයේ කොටස් වශයෙන් නියත වේ: එය -1 on සහ 1 on ට සමාන වේ. ලක්ෂ්‍යවලදී, ශ්‍රිතයට පළමු ආකාරයේ විසන්ධි කිරීම් ඇත.

ෆූරියර් සංගුණක ගණනය කරන්න:

එහි ෆූරියර් සංගුණක සූත්‍ර මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:

ශ්‍රිතයේ ෆූරියර් මාලාව රචනා කරන්න. .

ලක්ෂ්‍ය අභිසාරී නිර්ණායක භාවිතා කරමින් මෙම ශ්‍රේණිය අභිසාරී වන ශ්‍රිතය සඳහන් කරන්න.

ඩිරිච්ලට් පරීක්ෂණයට අනුව, ශ්‍රිතයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණිය එකතුවට අභිසාරී වේ:

එබැවින්, දී

අගයන් ආදේශ කරමින්, දී ඇති සංඛ්‍යා ශ්‍රේණියේ එකතුව දක්වන්න.

ප්රතිඵලයක් ලෙස වියෝජනය උපකල්පනය කිරීමෙන්, අපි සොයා ගන්නේ,

කොහෙන්ද, එතැන් සිට, .

№10. ශ්‍රිතය සඳහා Parseval හි සමානාත්මතාවය ලියන්න, සහ, මෙම සමානාත්මතාවය මත පදනම්ව, සංඛ්‍යා ශ්‍රේණියේ එකතුව සොයා ගන්න.

විසඳුමක්.දී ඇති ශ්‍රිතය මත හතරැස් අනුකලනය කළ හැකි ශ්‍රිතයක් ද යන්න තීරණය කරන්න.

ශ්‍රිතය අඛණ්ඩ වන අතර, එබැවින්, මත ඒකාබද්ධ කළ හැකිය. එම හේතුව නිසාම, එහි චතුරස්රය මත අනුකලනය වේ.

සූත්‍ර භාවිතා කරමින් ෆූරියර් සංගුණක ගණනය කරන්න:

එය අමුතු ශ්‍රිතයක් බැවින්, එහි ෆූරියර් සංගුණක සූත්‍ර මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:

අනුකලනය ගණනය කරන්න.

Parseval සූත්‍රය ලියන්න:

මේ අනුව, Parseval සූත්‍රයට ස්වරූපය ඇත

අවශ්ය නම්, දකුණු සහ වම් පැතිවල අංක ගණිතමය මෙහෙයුම් සිදු කිරීමෙන් පසු, ලබා දී ඇති සංඛ්යාත්මක ශ්රේණියේ එකතුව ලබා ගන්න.

ලැබෙන සමානාත්මතාවයේ කොටස් දෙකම 144 න් බෙදීම, අපි සොයා ගන්නේ: .

№11. ශ්‍රිතයක ෆූරියර් අනුකලනය සොයන්න

සහ එහි ප්‍රස්ථාරය ගොඩනඟන්න.

විසඳුමක්.කාර්යය සැලසුම් කරන්න.

ෆූරියර් අනුකලනය (Dini, Dirichlet-Jordan හෝ ඒවායේ ප්රතිවිපාක) අභිසාරී වීම සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසි වල කොන්දේසි ඉටු කිරීම පරීක්ෂා කරන්න.

ශ්‍රිතය අන්තරය තුළ නිරපේක්ෂ අනුකලනය වන අතර, සඳහා අඛණ්ඩව සහ , සහ ලක්ෂ්‍යයක දී පළමු ආකාරයේ අඛණ්ඩ පැවැත්මක් ඇත. තවද, සඳහා සහ ශ්‍රිතයට පරිමිත ව්‍යුත්පන්නයක් ඇති අතර, ශුන්‍යයේ දී සීමිත දකුණු සහ වම් ව්‍යුත්පන්න ඇත. ශ්‍රිතය ඉරට්ටේ ද ඔත්තේ ද යන්න සොයා බලන්න. කාර්යය ඉරට්ටේ හෝ ඔත්තේ නැත. ; .

ඉතින්, හෝ,

ෆූරියර් ශ්‍රේණි යනු ශ්‍රේණියක් ලෙස නිශ්චිත කාල පරිච්ඡේදයක් සමඟ අත්තනෝමතික ලෙස ගත් ශ්‍රිතයක නිරූපණයකි. පොදුවේ ගත් කල, මෙම විසඳුම විකලාංග පදනමක් තුළ මූලද්රව්යයක වියෝජනය ලෙස හැඳින්වේ. ෆූරියර් ශ්‍රේණියක ශ්‍රිතයන් ප්‍රසාරණය කිරීම, තර්කයක සහ සංකෝචනයක ප්‍රකාශනයක් ඒකාබද්ධ කිරීමේදී, අවකලනය කිරීමේදී මෙන්ම මාරු කිරීමේදී මෙම පරිවර්තනයේ ගුණාංග හේතුවෙන් විවිධ ගැටළු විසඳීම සඳහා තරමක් ප්‍රබල මෙවලමකි.

උසස් ගණිතය මෙන්ම ප්‍රංශ විද්‍යාඥ ෆූරියර්ගේ කෘතීන් ගැන හුරුපුරුදු නැති පුද්ගලයෙකුට මෙම “මාලාව” යනු කුමක්ද සහ ඒවා මොනවාද යන්න බොහෝ විට තේරුම් නොගනු ඇත. මේ අතර, මෙම පරිවර්තනය අපගේ ජීවිතයේ තරමක් ඝන වී ඇත. එය ගණිතඥයින් විසින් පමණක් නොව, භෞතික විද්යාඥයින්, රසායනඥයින්, වෛද්යවරුන්, තාරකා විද්යාඥයින්, භූ කම්පන විද්යාඥයින්, සාගර විද්යාඥයින් සහ තවත් බොහෝ අය විසින් භාවිතා කරනු ලැබේ. ඔහුගේ කාලයට පෙර සොයාගැනීමක් කළ ශ්රේෂ්ඨ ප්රංශ විද්යාඥයාගේ කෘති දෙස සමීපව බලමු.

මිනිසා සහ ෆූරියර් පරිවර්තනය

ෆූරියර් ශ්‍රේණිය ක්‍රම වලින් එකකි (විශ්ලේෂණ සහ වෙනත් අය සමඟ) පුද්ගලයෙකුට ඕනෑම ශබ්දයක් ඇසෙන සෑම අවස්ථාවකම මෙම ක්‍රියාවලිය සිදු වේ. අපගේ කණ ස්වයංක්‍රීයව ප්‍රත්‍යාස්ථ මාධ්‍යයක මූලික අංශු පරිවර්තනය කරයි, ඒවා විවිධ උසවල නාද සඳහා පරිමා මට්ටමේ අනුක්‍රමික අගයන්හි පේළි (වර්ණාවලි දිගේ) බවට දිරාපත් වේ. ඊළඟට, මොළය මෙම දත්ත අපට හුරුපුරුදු ශබ්ද බවට පත් කරයි. මේ සියල්ල සිදුවන්නේ අපගේ ආශාවට හෝ විඥානයට අමතරව, එය විසින්ම, නමුත් මෙම ක්‍රියාවලීන් අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා, උසස් ගණිතය හැදෑරීමට වසර කිහිපයක් ගතවනු ඇත.

ෆූරියර් පරිවර්තනය පිළිබඳ වැඩි විස්තර

ෆූරියර් පරිවර්තනය විශ්ලේෂණාත්මක, සංඛ්‍යාත්මක සහ වෙනත් ක්‍රම මගින් සිදු කළ හැක. ෆූරියර් ශ්‍රේණි යනු ඕනෑම දෝලන ක්‍රියාවලීන් දිරාපත් කිරීමේ සංඛ්‍යාත්මක ක්‍රමයයි - සාගර වඩදිය බාදිය සහ ආලෝක තරංග සිට සූර්ය (සහ අනෙකුත් තාරකා විද්‍යාත්මක වස්තූන්) ක්‍රියාකාරකම් චක්‍ර දක්වා. මෙම ගණිතමය ශිල්පීය ක්‍රම භාවිතා කරමින්, ඕනෑම දෝලන ක්‍රියාවලි අවමයේ සිට උපරිම දක්වා සහ අනෙක් අතට යන sinusoidal සංරචක මාලාවක් ලෙස නියෝජනය කරමින් ශ්‍රිත විශ්ලේෂණය කළ හැකිය. ෆූරියර් පරිවර්තනය යනු නිශ්චිත සංඛ්‍යාතයකට අනුරූප වන සයිනසයිඩ් වල අදියර සහ විස්තාරය විස්තර කරන ශ්‍රිතයකි. මෙම ක්රියාවලිය තාප, ආලෝකය හෝ විද්යුත් ශක්තියේ බලපෑම යටතේ සිදුවන ගතික ක්රියාවලීන් විස්තර කරන ඉතා සංකීර්ණ සමීකරණ විසඳීමට භාවිතා කළ හැකිය. එසේම, ෆූරියර් ශ්‍රේණි මගින් සංකීර්ණ දෝලන සංඥාවල නියත සංරචක හුදකලා කිරීමට හැකි වන අතර එමඟින් වෛද්‍ය විද්‍යාව, රසායන විද්‍යාව සහ තාරකා විද්‍යාව පිළිබඳ ලබාගත් පර්යේෂණාත්මක නිරීක්ෂණ නිවැරදිව අර්ථ නිරූපණය කිරීමට හැකි විය.

ඉතිහාස යොමුව

මෙම න්‍යායේ ආරම්භක පියා ප්‍රංශ ගණිතඥ ජීන් බැප්ටිස්ට් ජෝසප් ෆූරියර් ය. මෙම පරිවර්තනය පසුව ඔහු නමින් නම් කරන ලදී. මුලදී, විද්යාඥයා තාප සන්නායකතාවයේ යාන්ත්රණ අධ්යයනය කිරීම සහ පැහැදිලි කිරීම සඳහා ඔහුගේ ක්රමය යොදා ගත්තේය - ඝන ද්රව්යවල තාපය පැතිරීම. ෆූරියර් යෝජනා කළේ මුල් අක්‍රමවත් ව්‍යාප්තිය සරලම සයිනසයිඩ් බවට වියෝජනය කළ හැකි බවත්, ඒ සෑම එකක්ම තමන්ගේම උෂ්ණත්වය අවම සහ උපරිම මෙන්ම තමන්ගේම අවධියක් ඇති බවත්ය. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, එවැනි එක් එක් සංරචක අවම වශයෙන් උපරිම සහ අනෙක් අතට මනිනු ලැබේ. වක්‍රයේ ඉහළ සහ පහළ ශිඛර විස්තර කරන ගණිතමය ශ්‍රිතය මෙන්ම එක් එක් හාර්මොනික්ස්වල අදියර, උෂ්ණත්ව ව්‍යාප්ති ප්‍රකාශනයේ ෆූරියර් පරිවර්තනය ලෙස හැඳින්වේ. න්‍යායේ කතුවරයා ගණිතමය වශයෙන් විස්තර කිරීමට අපහසු සාමාන්‍ය ව්‍යාප්ති ශ්‍රිතය, මුල් ව්‍යාප්තිය ලබා දීමට සාරාංශ කරන ඉතා පහසු කොසයින් සහ සයින් මාලාවක් දක්වා අඩු කළේය.

පරිවර්තනයේ මූලධර්මය සහ සමකාලීනයන්ගේ අදහස්

විද්යාඥයාගේ සමකාලීනයන් - දහනව වන සියවසේ මුල් භාගයේ ප්රමුඛ ගණිතඥයින් - මෙම න්යාය පිළිගත්තේ නැත. ප්‍රධාන විරෝධය වූයේ සරල රේඛාවක් හෝ අඛණ්ඩ වක්‍රයක් විස්තර කරන අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයක් අඛණ්ඩව පවතින සයිනාකාර ප්‍රකාශනවල එකතුවක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකි බවට ෆූරියර්ගේ ප්‍රකාශයයි. උදාහරණයක් ලෙස, හෙවිසයිඩ්ගේ "පියවර" සලකා බලන්න: එහි අගය පරතරයේ වමට ශුන්‍ය වන අතර එකක් දකුණට වේ. මෙම කාර්යය පරිපථය වසා ඇති විට කාල විචල්යය මත විද්යුත් ධාරාව රඳා පැවතීම විස්තර කරයි. ඝාතීය, sinusoid, රේඛීය හෝ හතරැස් වැනි අඛණ්ඩ, සාමාන්‍ය ශ්‍රිතවල එකතුවකින් අඛණ්ඩ ප්‍රකාශනයක් විස්තර කරන විට, එකල න්‍යායේ සමකාලීනයන් එවැනි තත්වයකට මුහුණ දී නොතිබුණි.

ෆූරියර් න්‍යාය තුළ ප්‍රංශ ගණිතඥයන් ව්‍යාකූල කළේ කුමක් ද?

සියල්ලට පසු, ගණිතඥයා ඔහුගේ ප්‍රකාශවල නිවැරදි නම්, අනන්ත ත්‍රිකෝණමිතික ෆූරියර් ශ්‍රේණිය සාරාංශ කිරීමෙන්, කෙනෙකුට සමාන පියවර රාශියක් තිබුණද, පියවරෙන් පියවර ප්‍රකාශනයේ නිශ්චිත නිරූපණයක් ලබා ගත හැකිය. දහනව වන ශතවර්ෂයේ ආරම්භයේ දී, එවැනි ප්රකාශයක් විකාරයක් ලෙස පෙනෙන්නට තිබුණි. නමුත් සියලු සැකයන් තිබියදීත්, බොහෝ ගණිතඥයින් මෙම සංසිද්ධිය අධ්‍යයනය කිරීමේ විෂය පථය පුළුල් කර ඇති අතර එය තාප සන්නායකතාවය පිළිබඳ අධ්‍යයන විෂය පථයෙන් ඔබ්බට ගෙන ඇත. කෙසේ වෙතත්, බොහෝ විද්‍යාඥයින් දිගින් දිගටම ප්‍රශ්නයෙන් පීඩා විඳිති: "සිනොසොයිඩ් ශ්‍රේණියේ එකතුව අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයේ නියම අගයට අභිසාරී විය හැකිද?"

ෆූරියර් ශ්‍රේණි අභිසාරීතාව: උදාහරණයක්

අපරිමිත සංඛ්‍යා ශ්‍රේණි එකතු කිරීමට අවශ්‍ය වූ විට අභිසාරී ප්‍රශ්නය මතු වේ. මෙම සංසිද්ධිය තේරුම් ගැනීමට, සම්භාව්ය උදාහරණයක් සලකා බලන්න. සෑම අනුක්‍රමික පියවරක්ම පෙර තිබූ ප්‍රමාණයෙන් අඩක් නම් ඔබට කවදා හෝ බිත්තියට ළඟා විය හැකිද? ඔබ ඉලක්කයේ සිට මීටර් දෙකක් යැයි සිතමු, පළමු පියවර ඔබව අර්ධ ලක්ෂ්‍යයට සමීප කරයි, ඊළඟ එක හතරෙන් තුනේ ලකුණට ගෙන එයි, පස්වන ස්ථානයෙන් පසු ඔබ සියයට 97 ක් පමණ ජය ගනු ඇත. කෙසේ වෙතත්, ඔබ කොපමණ පියවර ගත්තද, දැඩි ගණිතමය අර්ථයකින් ඔබ අපේක්ෂිත ඉලක්කය සපුරා ගන්නේ නැත. සංඛ්‍යාත්මක ගණනය කිරීම් භාවිතා කරමින්, අවසානයේ දී අත්තනෝමතික ලෙස කුඩා දී ඇති දුරකට ළඟා විය හැකි බව පෙන්විය හැකිය. මෙම සාධනය සමාන වන්නේ එකහමාරක්, හතරෙන් එකක්, යනාදී මුළු අගය එකකට නැඹුරු වන බව පෙන්වීමටය.

අභිසාරී ප්‍රශ්නයක්: දෙවන පැමිණීම හෝ කෙල්වින් සාමිවරයාගේ උපකරණය

දහනව වන ශතවර්ෂයේ අවසානයේ දී මෙම ප්‍රශ්නය නැවත මතු කරන ලදී, ෆූරියර් මාලාව ඊබ් සහ ප්‍රවාහයේ තීව්‍රතාවය පුරෝකථනය කිරීමට භාවිතා කිරීමට උත්සාහ කරන ලදී. මෙම අවස්ථාවේදී, කෙල්වින් සාමිවරයා විසින් උපාංගයක් නිර්මාණය කරන ලද අතර, මෙම ස්වභාවික සංසිද්ධිය නිරීක්ෂණය කිරීමට මිලිටරි සහ වෙළඳ නාවික හමුදාවේ නාවිකයින්ට ඉඩ සලසන ඇනලොග් පරිගණක උපාංගයකි. මෙම යාන්ත්‍රණය මඟින් වඩදිය බාදිය උස වගුවකින් අදියර සහ විස්තාර කට්ටල තීරණය කරන අතර ඒවාට අනුරූප කාල අවස්ථා, වර්ෂය තුළ දී ඇති වරායක් තුළ ප්‍රවේශමෙන් මනිනු ලැබේ. සෑම පරාමිතියක්ම වඩදිය උස ප්‍රකාශනයේ sinusoidal සංරචකයක් වූ අතර එය නිත්‍ය සංරචක වලින් එකකි. මිනුම්වල ප්‍රතිඵල කෙල්වින් සාමිවරයාගේ කැල්කියුලේටරය තුළට ඇතුළු කරන ලද අතර, එය ඊළඟ වසර සඳහා කාල ශ්‍රිතයක් ලෙස ජලයේ උස පුරෝකථනය කරන වක්‍රයක් සංස්ලේෂණය කළේය. ඉතා ඉක්මනින් ලෝකයේ සියලුම වරායන් සඳහා සමාන වක්‍ර සකස් කරන ලදී.

සහ ක්‍රියාවලිය අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයකින් කැඩී ගියහොත්?

එකල, ගණන් කිරීමේ මූලද්‍රව්‍ය විශාල සංඛ්‍යාවක් සහිත වඩදිය තරංග අනාවැකිකරුවෙකුට අදියර සහ විස්තාර විශාල සංඛ්‍යාවක් ගණනය කළ හැකි අතර එමඟින් වඩාත් නිවැරදි අනාවැකි සැපයිය හැකි බව පැහැදිලිව පෙනෙන්නට තිබුණි. එසේ වුවද, සංස්ලේෂණය කළ යුතු උදම් ප්‍රකාශනයේ තියුණු පිම්මක් අඩංගු වූ විට, එනම් එය අඛණ්ඩව පවතින අවස්ථා වලදී මෙම විධිමත්භාවය නිරීක්ෂණය නොවන බව පෙනී ගියේය. කාලසටහන් වගුවෙන් උපාංගයට දත්ත ඇතුළත් කළහොත්, එය ෆූරියර් සංගුණක කිහිපයක් ගණනය කරයි. මුල් ශ්රිතය sinusoidal සංරචක වලට ස්තුති කිරීම (සොයාගත් සංගුණක අනුව) ප්රතිෂ්ඨාපනය වේ. මුල් සහ ප්රතිෂ්ඨාපනය කළ ප්රකාශනය අතර විෂමතාවය ඕනෑම අවස්ථාවක මැනිය හැක. නැවත නැවත ගණනය කිරීම් සහ සැසඳීම් සිදු කරන විට, විශාලතම දෝෂයේ අගය අඩු නොවන බව දැකිය හැකිය. කෙසේ වෙතත්, ඒවා අත්හිටුවීමේ ලක්ෂ්‍යයට අනුරූප කලාපයේ ස්ථානගත කර ඇති අතර වෙනත් ඕනෑම ස්ථානයක ශුන්‍යයට නැඹුරු වේ. 1899 දී මෙම ප්‍රතිඵලය යේල් විශ්වවිද්‍යාලයේ ජෝෂුවා විලාර්ඩ් ගිබ්ස් විසින් න්‍යායාත්මකව තහවුරු කරන ලදී.

ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ අභිසාරීතාවය සහ පොදුවේ ගණිතයේ වර්ධනය

ෆූරියර් විශ්ලේෂණය යම් කාල පරතරයක් තුළ අසීමිත පිපිරුම් ගණනක් අඩංගු ප්‍රකාශනවලට අදාළ නොවේ. සාමාන්‍යයෙන්, ෆූරියර් ශ්‍රේණිය, මුල් ශ්‍රිතය සැබෑ භෞතික මිනුමක ප්‍රතිඵලයක් නම්, සෑම විටම අභිසාරී වේ. නිශ්චිත පන්ති ශ්‍රිත සඳහා මෙම ක්‍රියාවලියේ අභිසාරීතාවය පිළිබඳ ප්‍රශ්න ගණිතයේ නව අංශ මතුවීමට හේතු වී ඇත, උදාහරණයක් ලෙස සාමාන්‍යකරණය වූ ශ්‍රිත පිළිබඳ න්‍යාය. එය L. Schwartz, J. Mikusinsky සහ J. Temple වැනි නම් සමඟ සම්බන්ධ වේ. මෙම සිද්ධාන්තයේ රාමුව තුළ, ඩිරැක් ඩෙල්ටා ශ්‍රිතය (එය ලක්ෂ්‍යයක අසීමිත කුඩා අසල්වැසි ප්‍රදේශයක සංකේන්ද්‍රණය වූ තනි ප්‍රදේශයක ප්‍රදේශයක් විස්තර කරයි) සහ හෙවිසයිඩ් වැනි ප්‍රකාශන සඳහා පැහැදිලි සහ නිරවද්‍ය න්‍යායික පදනමක් නිර්මාණය කරන ලදී. පියවර". මෙම කාර්යයට ස්තූතිවන්ත වන්නට, ෆූරියර් ශ්‍රේණිය සමීකරණ සහ බුද්ධිමය සංකල්ප දිස්වන ගැටළු විසඳීමට අදාළ විය: ලක්ෂ්‍ය ආරෝපණයක්, ලක්ෂ්‍ය ස්කන්ධයක්, චුම්බක ඩයිපෝල් සහ කදම්භයක් මත සාන්ද්‍රිත බරක්.

ෆූරියර් ක්රමය

ෆූරියර් ශ්‍රේණි, මැදිහත්වීමේ මූලධර්මවලට අනුකූලව, සංකීර්ණ ආකෘති සරල ඒවා බවට වියෝජනය කිරීමෙන් ආරම්භ වේ. නිදසුනක් ලෙස, තාප ප්‍රවාහයේ වෙනසක් පැහැදිලි වන්නේ අක්‍රමවත් හැඩැති තාප පරිවාරක ද්‍රව්‍ය වලින් සාදන ලද විවිධ බාධක හරහා ගමන් කිරීම හෝ පෘථිවි පෘෂ්ඨයේ වෙනසක් - භූමිකම්පාවක්, ආකාශ වස්තුවක කක්ෂයේ වෙනසක් - ග්රහලෝකවල බලපෑම. රීතියක් ලෙස, සරල සම්භාව්‍ය පද්ධති විස්තර කරන සමාන සමීකරණ එක් එක් තරංග සඳහා මූලික වශයෙන් විසඳනු ලැබේ. වඩාත් සංකීර්ණ ගැටළු සඳහා විසඳුම් ලබා දීම සඳහා සරල විසඳුම් ද සාරාංශ කළ හැකි බව ෆූරියර් පෙන්වා දුන්නේය. ගණිතයේ භාෂාවෙන් ප්‍රකාශිත, ෆූරියර් ශ්‍රේණිය යනු ප්‍රකාශනයක් හාර්මොනික්ස් - කොසයින් සහ සයිනසයිඩ් එකතුව ලෙස නිරූපණය කිරීමේ තාක්‍ෂණයකි. එබැවින් මෙම විශ්ලේෂණය "harmonic analysis" ලෙසද හැඳින්වේ.

ෆූරියර් මාලාව - "පරිගණක යුගයට" පෙර කදිම තාක්ෂණය

පරිගණක තාක්ෂණය නිර්මාණය කිරීමට පෙර, අපේ ලෝකයේ තරංග ස්වභාවය සමඟ වැඩ කරන විට විද්යාඥයින්ගේ අවි ගබඩාවේ හොඳම ආයුධය වූයේ ෆූරියර් තාක්ෂණයයි. සංකීර්ණ ස්වරූපයෙන් ෆූරියර් ශ්‍රේණිය නිව්ටන්ගේ යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේ නීතිවලට කෙලින්ම යෙදිය හැකි සරල ගැටලු පමණක් නොව මූලික සමීකරණ ද විසඳීමට ඉඩ සලසයි. දහනවවන සියවසේ නිව්ටෝනියානු විද්‍යාවේ බොහෝ සොයාගැනීම් සිදු වූයේ ෆූරියර්ගේ තාක්ෂණයෙන් පමණි.

ෆූරියර් මාලාව අද

පරිගණක සංවර්ධනයත් සමඟ ෆූරියර් පරිවර්තන ගුණාත්මකව නව මට්ටමකට නැඟී ඇත. මෙම තාක්ෂණය විද්‍යාව හා තාක්‍ෂණයේ සෑම අංශයකම පාහේ දැඩි ලෙස මුල් බැස ඇත. උදාහරණයක් ලෙස ඩිජිටල් ශ්රව්ය සහ දෘශ්ය සංඥාවකි. එය සාක්ෂාත් කර ගැනීමට හැකි වූයේ දහනව වන ශතවර්ෂයේ ආරම්භයේ දී ප්රංශ ගණිතඥයෙකු විසින් වර්ධනය කරන ලද න්යායට ස්තුති කිරීම පමණි. මේ අනුව, ෆූරියර් මාලාව සංකීර්ණ ස්වරූපයෙන් අභ්‍යවකාශය පිළිබඳ අධ්‍යයනයේ ඉදිරි ගමනක් කිරීමට හැකි විය. මීට අමතරව, මෙය අර්ධ සන්නායක ද්රව්ය සහ ප්ලාස්මා, ක්ෂුද්ර තරංග ධ්වනි විද්යාව, සාගර විද්යාව, රේඩාර් සහ භූ කම්පන විද්යාව පිළිබඳ භෞතික විද්යාව අධ්යයනය කිරීමට බලපෑවේය.

ත්‍රිකෝණමිතික ෆූරියර් මාලාව

ගණිතයේ දී, ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් යනු අත්තනෝමතික සංකීර්ණ ශ්‍රිත සරල ඒවාවල එකතුවක් ලෙස නිරූපණය කිරීමේ ක්‍රමයකි. සාමාන්‍ය අවස්ථාවන්හිදී, එවැනි ප්‍රකාශන ගණන අසීමිත විය හැකිය. එපමනක් නොව, ඔවුන්ගේ සංඛ්යාව ගණනය කිරීමේදී සැලකිල්ලට ගනී, අවසාන ප්රතිඵලය වඩාත් නිවැරදි වේ. බොහෝ විට, cosine හෝ sine හි ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත සරලම ඒවා ලෙස භාවිතා වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ෆූරියර් ශ්‍රේණිය ත්‍රිකෝණමිතික ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, එවැනි ප්‍රකාශනවල විසඳුම හර්මොනික් ප්‍රසාරණය ලෙස හැඳින්වේ. මෙම ක්රමය ගණිතයේ වැදගත් කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි. පළමුවෙන්ම, ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රේණිය රූපය සඳහා මාධ්‍යයක් සපයයි, මෙන්ම ශ්‍රිත අධ්‍යයනය කිරීම, එය න්‍යායේ ප්‍රධාන උපකරණය වේ. මීට අමතරව, එය ගණිතමය භෞතික විද්යාවේ ගැටළු ගණනාවක් විසඳීමට ඉඩ සලසයි. අවසාන වශයෙන්, මෙම න්‍යාය වර්ධනයට දායක වූ අතර ගණිත විද්‍යාවේ ඉතා වැදගත් අංශ ගණනාවක් (අනුකලනයන්ගේ න්‍යාය, ආවර්තිතා ශ්‍රිත න්‍යාය) ජීවයට ගෙන ආවේය. මීට අමතරව, එය සැබෑ විචල්‍යයක පහත ශ්‍රිතයන් වර්ධනය කිරීම සඳහා ආරම්භක ලක්ෂ්‍යයක් ලෙස ක්‍රියා කළ අතර, සුසංයෝග විශ්ලේෂණයේ ආරම්භය ද සනිටුහන් කළේය.