Як виникають поздовжні та поперечні деформації. Поздовжня та поперечна деформація. Діаграма розтягування маловуглецевої сталі

Розглянемо деформації, що виникають при розтягуванні та стисканні стрижнів. При розтягуванні довжина стрижня збільшується, а поперечні розміри скорочуються. При стисканні, навпаки, довжина стрижня зменшується, а поперечні розміри збільшуються. На рис.2.7 пунктиром показано деформований вид розтягнутого стрижня.

ℓ – довжина стрижня до застосування навантаження;

ℓ 1 – довжина стрижня після застосування навантаження;

b – поперечний розмір до застосування навантаження;

b 1 – поперечний розмір після застосування навантаження.

Абсолютна поздовжня деформація ∆ℓ = ℓ 1 – ℓ.

Абсолютна поперечна деформація ∆b = b1 – b.

Значення відносної лінійної деформації можна визначити як відношення абсолютного подовження ∆ℓ до початкової довжини бруса ℓ

Аналогічно перебувають поперечні деформації.

При розтягуванні поперечні розміри зменшуються: ε > 0, ε′< 0; при сжатии: ε < 0, ε′ >0. Досвід показує, що при пружних деформаціях поперечна завжди прямо пропорційна поздовжній.

ε′ = – νε. (2.7)

Коефіцієнт пропорційності називається коефіцієнтом Пуассона чи коефіцієнтом поперечної деформації. Він являє собою абсолютну величину відношення поперечної деформації до поздовжньої при осьовому розтягуванні

Названий на ім'я французького вченого, який уперше запропонував його на початку XIX століття. Коефіцієнт Пуассон є величина постійна для матеріалу в межах пружних деформацій (тобто деформацій, що зникають після зняття навантаження). Для різних матеріалів коефіцієнт Пуассона змінюється не більше 0 ≤ ν ≤ 0,5: для сталі ν = 0,28…0,32; для гуми = 0,5; для пробки = 0.

Між напруженнями та пружними деформаціями існує залежність, відома під назвою закон Гука:

σ = Еε. (2.9)

Коефіцієнт пропорційності Е між напругою та деформацією називається модулем нормальної пружності або модулем Юнга. Розмірність Е така сама, як і у напруги. Як і ν, Е – пружна постійна матеріалу. Чим більше значення Е, тим менше, за інших рівних умов, поздовжня деформація. Для сталі Е = (2...2,2) 105 МПа або Е = (2...2,2) 104 кН/см 2 .

Підставляючи у формулу (2.9) значення σ за формулою (2.2) та ε за формулою (2.5) , отримаємо вираз для абсолютної деформації

Твір EF називається жорсткістю бруса при розтягуванні та стисканні.

Формули (2.9) та (2.10) – це різні форми запису закону Гука, запропонованого в середині XVII століття. Сучасна форма запису цього фундаментального закону фізики з'явилася набагато пізніше – на початку ХІХ століття.

Формула (2.10) справедлива лише межах тих ділянок, де сила N і жорсткість EF постійні. Для ступінчастого стрижня і стрижня, навантаженого кількома силами, подовження підраховуються по ділянках з постійними N і F і результати підсумовуються алгебраїчно

Якщо ці величини змінюються за безперервним законом, ∆ℓ обчислюється за формулою

У ряді випадків для забезпечення нормальної роботи машин та споруд розміри їх деталей повинні бути обрані так, щоб, крім умови міцності, забезпечувалася умова жорсткості

де ∆ℓ – зміна розмірів деталі;

[∆ℓ] – допустима величина цієї зміни.

Підкреслюємо, що розрахунок на твердість завжди доповнює розрахунок на міцність.

2.4. Розрахунок стрижня з урахуванням власної ваги

Найпростішим прикладом задачі про розтягнення стрижня зі змінними по довжині параметрами є завдання про розтягнення призматичного стрижня під дією власної ваги (рис.2.8 а). Поздовжня сила N x у поперечному перерізі цього бруса (з відривом x від його нижнього кінця) дорівнює силі тяжкості нижчележачої частини бруса (рис.2.8,б), тобто.

N x = γFx, (2.14)

де γ – об'ємна вага матеріалу стрижня.

Поздовжня сила та напруги змінюються за лінійним законом, досягаючи максимуму в закладенні. Осьове переміщення довільного перерізу дорівнює подовженню вище розташованої частини бруса. Тому визначити його потрібно за формулою (2.12), інтегрування вести від поточного значення х до х = ℓ:

Отримали вираз для довільного перерізу стрижня

При х = ℓ переміщення найбільше, воно дорівнює подовженню стрижня

На рис.2.8,в,г,д наведено графіки N x , σ х і u x

Помножимо чисельник і знаменник формули (2.17) на F і отримаємо:

Вираз γFℓ дорівнює власної ваги стрижня G. Тому

Формула (2.18) може бути одразу отримана з (2.10)., якщо пам'ятати, що рівнодіюча власної ваги G повинна бути додана в центрі ваги стрижня і тому вона викликає подовження тільки верхньої половини стрижня (рис.2.8,а).

Якщо стрижні, крім власної ваги, навантажені ще зосередженими поздовжніми силами, то напруги та деформації визначають на основі принципу незалежності дії сил окремо від зосереджених сил та від власної ваги, після чого результати складають.

Принцип незалежності дії силвитікає з лінійної деформованості пружних тіл. Суть його полягає в тому, що будь-яка величина (напруга, переміщення, деформація) від дії групи сил може бути отримана як сума величин, знайдених від кожної сили окремо.

При дії сил, що розтягують, по осі бруса довжина його збільшується, а поперечні розміри зменшуються. При дії стискаючих зусиль відбувається протилежне явище. На рис. 6 показаний брус, що розтягується двома силами Р. В результаті розтягування брус подовжився на величину Δ l, яка називається абсолютним подовженням,і отримаємо абсолютне поперечне звуження Δа .

Відношення величини абсолютного подовження та укорочення до початкової довжини або ширини бруса називається відносною деформацією. У цьому випадку відносна деформація називається поздовжньою деформацією, а - відносною поперечною деформацією. Відношення відносної поперечної деформації до відносної поздовжньої деформації називається коефіцієнтом Пуассона: (3.1)

Коефіцієнт Пуассона для кожного матеріалу як пружна константа визначається дослідним шляхом і знаходиться в межах: ; для сталі.

У межах пружних деформацій встановлено, що нормальна напруга прямо пропорційна відносної поздовжньої деформації. Ця залежність називається законом Гука:

, (3.2)

де Е- Коефіцієнт пропорційності, званий модулем нормальної пружності.

Відношення абсолютного подовження стрижня до його первісної довжини називається відносним подовженням (-епсілон) або поздовжньою деформацією. Поздовжня деформація – це безрозмірна величина. Формула безрозмірної деформації:

При розтягуванні поздовжня деформація вважається позитивною, а при стисканні негативною.
Поперечні розміри стрижня в результаті деформування також змінюються, при цьому при розтягуванні зменшуються, а при стисканні – збільшуються. Якщо матеріал є ізотропним, його поперечні деформації рівні між собою:
.
Досвідченим шляхом встановлено, що при розтягуванні (стиску) в межах пружних деформацій відношення поперечної деформації до поздовжньої є постійною для даного матеріалу величиною. Модуль відношення поперечної деформації до поздовжньої, що називається коефіцієнтом Пуассона або коефіцієнтом поперечної деформації, обчислюється за формулою:

Для різних матеріалів коефіцієнт Пуассона змінюється не більше. Наприклад, для пробки, для каучуку, для сталі, для золота.

Закон Гука
Сила пружності, що виникає в тілі за його деформації, прямо пропорційна величині цієї деформації.
Для тонкого розтягненого стрижня закон Гука має вигляд:

Тут – сила, якою розтягують (стискають) стрижень, – абсолютне подовження (стиснення) стрижня, а – коефіцієнт пружності (або жорсткості).
p align="justify"> Коефіцієнт пружності залежить як від властивостей матеріалу, так і від розмірів стрижня. Можна виділити залежність від розмірів стрижня (площі поперечного перерізу та довжини) явно, записавши коефіцієнт пружності як

Розмір називається модулем пружності першого роду чи модулем Юнга і є механічною характеристикою матеріалу.
Якщо ввести відносне подовження

І нормальна напруга у поперечному перерізі

То закон Гука у відносних одиницях запишеться як

У такій формі він справедливий для будь-яких малих обсягів матеріалу.
Також при розрахунку прямих стрижнів застосовують запис закону Гука у відносній формі

Модуль Юнга
Модуль Юнга (модуль пружності) - фізична величина, що характеризує властивості матеріалу чинити опір розтягуванню/стиску при пружній деформації.
Модуль Юнга розраховується так:

Де:
E - модуль пружності,
F - сила,
S - площа поверхні, за якою розподілено дію сили,
l - довжина стрижня, що деформується,
x - модуль зміни довжини стрижня в результаті пружної деформації (виміряного в тих самих одиницях, що і довжина l).
Через модуль Юнга обчислюється швидкість поширення поздовжньої хвилі в тонкому стрижні:

Де – щільність речовини.
Коефіцієнт Пуассона
p align="justify"> Коефіцієнт Пуассона (позначається як або) - абсолютна величина відношення поперечної до поздовжньої відносної деформації зразка матеріалу. Цей коефіцієнт залежить немає від розмірів тіла, як від природи матеріалу, з якого виготовлений зразок.
Рівняння
,
де
- коефіцієнт Пуассона;
- деформація в поперечному напрямку (негативна при осьовому розтягуванні, позитивна при осьовому стисканні);
- Поздовжня деформація (позитивна при осьовому розтягуванні, негативна при осьовому стисканні).

Розглянемо прямий стрижень постійного поперечного перерізу, що жорстко закріплений зверху. Нехай стрижень має довжину і навантажений силою, що розтягує. F . Від дії цієї сили довжина стрижня збільшується на певну величину Δ (Рис.9.7, а).

При стисканні стрижня такою ж силою F довжина стрижня скоротиться на таку саму величину Δ (Рис.9.7, б).

Величина Δ , Рівна різниці між довжинами стрижня після деформації і до деформації, називається абсолютною лінійною деформацією (подовженням або укороченням) стрижня при його розтягуванні або стисненні.

Відношення абсолютної лінійної деформації Δ до початкової довжини стрижня називається відносною лінійною деформацією і позначається буквою ε або ε x (де індекс x вказує напрямок деформації). При розтягуванні чи стисканні стрижня величину ε просто називають відносною поздовжньою деформацією стрижня. Вона визначається за такою формулою:

Багаторазові дослідження процесу деформування розтягнутого або стисненого стрижня в пружній стадії підтвердили існування прямої пропорційної залежності між нормальною напругою та відносною поздовжньою деформацією. Ця залежність називається законом Гука і має вигляд:

Величина E називається модулем поздовжньої пружності чи модулем першого роду. Вона є постійною фізичною (константою) для кожного виду матеріалу стрижня і характеризує його жорсткість. Чим більша величина E тим менше буде поздовжня деформація стрижня. Величина E вимірюється в тих самих одиницях, що і напруга, тобто в Па , МПа , і тому подібне. Величини модуля пружності містяться у таблицях довідкової та навчальної літератури. Наприклад, величина модуля поздовжньої пружності сталі приймається рівною E = 2∙10 5 МПа , а деревини

E = 0,8 10 5 МПа.

При розрахунку стрижнів на розтяг або стиснення часто виникає необхідність визначення величини абсолютної поздовжньої деформації, якщо відома величина поздовжньої сили, площа поперечного перерізу і матеріал стрижня. З формули (9.8) знайдемо: . Замінимо у цьому виразі ε його значенням із формули (9.9). В результаті отримаємо = . Якщо використовувати формулу нормальної напруги , тоотримаємо остаточну формулу для визначення абсолютної поздовжньої деформації:

Добуток модуля поздовжньої пружності на площу поперечного перерізу стрижня називається його жорсткістюпри розтягуванні чи стисканні.

Аналізуючи формулу (9.10) зробимо суттєвий висновок: абсолютна поздовжня деформація стрижня при розтягуванні (стисненні) прямо пропорційна добутку поздовжньої сили на довжину стрижня і обернено пропорційна його жорсткості.

Зауважимо, що формула (9.10) може бути використана у тому випадку, коли поперечний переріз стрижня та поздовжня сила мають постійні значення по всій його довжині. У випадку, коли стрижень має ступінчасто змінну жорсткість і завантажений по довжині декількома силами, потрібно розділити їх у ділянки і визначити абсолютні деформації кожного з них за формулою (9.10).

Алгебраїчна сума абсолютних деформацій кожної ділянки дорівнюватиме абсолютній деформації всього стрижня, тобто:

Поздовжні деформації стрижня від дії рівномірно розподіленого навантаження вздовж його осі (наприклад, від дії власної ваги) визначається наступною формулою, яку наводимо без доказу:

У разі розтягування або стиснення стрижня, крім поздовжніх деформацій, виникають також поперечні деформації, як абсолютні, так і відносні. Позначимо через b Розмір поперечного перерізу стрижня до деформації. При розтягуванні стрижня силою F цей розмір зменшиться на величину Δb яка є абсолютною поперечною деформацією стрижня. Ця величина має негативний знак. При стисненні, навпаки, абсолютна поперечна деформація матиме позитивний знак (рис. 9.8).

Розглянемо прямий брус постійного перерізу довжиною зароблений одним кінцем і навантажений на іншому кінці силою Р, що розтягує (рис. 8.2, а). Під дією сили Р брус подовжується на деяку величину яка називається повним або абсолютним подовженням (абсолютною поздовжньою деформацією).

У будь-яких точках бруса, що розглядається, є однаковий напружений стан і, отже, лінійні деформації (див. § 5.1) для всіх його точок однакові. Тому значення можна визначити як відношення абсолютного подовження до початкової довжини бруса I, тобто. Лінійну деформацію при розтягуванні або стиску брусів називають зазвичай відносним подовженням, або відносною поздовжньою деформацією, і позначають .

Отже,

Відносна поздовжня деформація вимірюється у абстрактних одиницях. Деформацію подовження умовимо вважати позитивною (рис. 8.2, а), а деформацію стиснення – негативною (рис. 8.2, б).

Чим більше величина сили, що розтягує брус, тим більше, за інших рівних умов, подовження бруса; що більше площа поперечного перерізу бруса, то подовження бруса менше. Бруси з різних матеріалів подовжуються по-різному. Для випадків, коли напруга в брусі не перевищує межі пропорційності (див. § 6.1, п. 4), досвідом встановлена ​​наступна залежність:

Тут N - поздовжня сила поперечних перерізах бруса; - Площа поперечного перерізу бруса; Е - коефіцієнт, що залежить від фізичних властивостей матеріалу.

Враховуючи, що нормальну напругу в поперечному перерізі бруса отримуємо

Абсолютне подовження бруса виражається формулою

т. е. абсолютна поздовжня деформація прямо пропорційна поздовжній силі.

Вперше закон про пряму пропорційність між силами та деформаціями сформулював (1660 р.). Формули (10.2)-(13.2) є математичними виразами закону Гука при розтягуванні та стисканні бруса.

Найбільш загальним є наступне формулювання закону Гука [див. формули (11.2) та (12.2)]: відносна поздовжня деформація прямо пропорційна нормальній напрузі. У такому формулюванні закон Гука використовується не тільки при вивченні розтягування та стиснення брусів, а й в інших розділах курсу.

Величина Е, що входить у формули (10.2)-(13.2), називається модулем пружності першого роду (скорочено-модулем пружності) Ця величина - фізична стала матеріалу, що характеризує його жорсткість. Чим більше значення Е, тим менше, за інших рівних умов, поздовжня деформація.

Добуток назвемо жорсткістю поперечного перерізу бруса при розтягуванні та стисканні.

У додатку I наведено значення модулів пружності для різних матеріалів.

Формулою (13.2) можна використовувати для обчислення абсолютної поздовжньої деформації ділянки бруса довжиною лише за умови, що переріз бруса в межах цієї ділянки постійно і поздовжня сила N у всіх поперечних перерізах однакова.

Крім поздовжньої деформації, при дії на брус стискаючої або сили, що розтягує, спостерігається також поперечна деформація. При стисканні бруса поперечні розміри його збільшуються, а при розтягуванні зменшуються. Якщо поперечний розмір бруса до застосування до нього стискаючих сил Р позначити b, а після застосування цих сил (рис. 9.2), то величина буде позначати абсолютну поперечну деформацію бруса.

Відношення є відносною поперечною деформацією.

Досвід показує, що при напругах, що не перевищують межі пружності (див. § 6.1, п. 3), відносна поперечна деформація прямо пропорційна відносної поздовжньої деформації, але має зворотний знак:

Коефіцієнт пропорційності у формулі (14.2) залежить від матеріалу бруса. Він називається коефіцієнтом поперечної деформації, або коефіцієнтом Пуассона, і є відношенням відносної поперечної деформації до поздовжньої, взяте по абсолютній величині, тобто.

p align="justify"> Коефіцієнт Пуассона поряд з модулем пружності Е характеризує пружні властивості матеріалу.

Розмір коефіцієнта Пуассона визначається експериментально. Для різних матеріалів вона має значення від нуля (для пробки) до величини, близької до 0,50 (для гуми та парафіну). Для сталі коефіцієнт Пуассона дорівнює 025-030; для інших металів (чавуну, цинку, бронзи, міді) має значення від 0,23 до 0,36. Орієнтовні значення коефіцієнта Пуассона різних матеріалів наведені у додатку I.