Визначити максимальну напругу у перерізі бруса формула. Розрахунок бруса круглого поперечного перерізу на міцність і жорсткість при крученні. Порядок побудови епюр N та σ
Поздовжня сила N, що виникає в поперечному перерізі бруса, являє собою рівнодіючу внутрішніх нормальних сил, розподілених за площею поперечного перерізу, і пов'язана з нормальними напругами залежністю, що виникають у цьому перерізі (4.1):
тут - нормальна напруга у довільній точці поперечного перерізу, що належить елементарному майданчику - площа поперечного перерізу бруса.
Твір є елементарною внутрішньою силою, що припадає на майданчик dF.
Величину поздовжньої сили N у кожному окремому випадку легко можна визначити за допомогою методу перерізів, як показано в попередньому параграфі. Для знаходження ж величин напруги а в кожній точці поперечного перерізу бруса треба знати закон їх розподілу по цьому перерізу.
Закон розподілу нормальних напруг у поперечному перерізі бруса зображується зазвичай графіком, що показує зміну їх за висотою або шириною поперечного перерізу. Такий графік називають епюрою нормальних напруг (епюрою а).
Вираз (1.2) може бути задоволений при нескінченно великій кількості видів епюр напруги а (наприклад, при епюрах а, зображених на рис. 4.2). Тому для з'ясування закону розподілу нормальних напруг у поперечних перерізах бруса необхідно провести експеримент.
Проведемо на бічній поверхні бруса до його навантаження лінії, перпендикулярні до осі бруса (рис. 5.2). Кожну таку лінію можна розглядати як слід площині поперечного перерізу бруса. При навантаженні бруса осьової силою Р ці лінії, як показує досвід, залишаються прямими і паралельними між собою (їх положення після навантаження бруса показано на рис. 5.2 штриховими лініями). Це дозволяє вважати, що поперечні перерізи бруса, плоскі до навантаження, залишаються плоскими і при дії навантаження. Такий досвід підтверджує гіпотезу плоских перерізів (гіпотезу Бернуллі), сформульовану наприкінці § 6.1.
Уявимо подумки брус, що складається з незліченної безлічі волокон, паралельних його осі.
Два будь-які поперечні перерізи при розтягуванні бруса залишаються плоскими і паралельними між собою, але віддаляються один від одного на деяку величину; таку ж величину подовжується кожне волокно. Оскільки однаковим подовженням відповідають однакові напруги, те й напруги в поперечних перерізах всіх волокон (а отже, і в усіх точках поперечного перерізу бруса) рівні між собою.
Це дозволяє у виразі (1.2) винести величину за знак інтеграла. Таким чином,
Отже, у поперечних перерізах бруса при центральному, розтягуванні або стиску виникають рівномірно розподілені нормальні напруги, рівні відношенню поздовжньої сили до площі поперечного перерізу.
За наявності ослаблень деяких перерізів бруса (наприклад, отворами для заклепок), визначаючи напруги в цих перерізах, слід враховувати фактичну площу ослабленого перерізу рівну повній площі, зменшеній на величину площі ослаблення
Для наочного зображення зміни нормальних напруг у поперечних перерізах стрижня (за його довжиною) будується епюра нормальних напруг. Осі цієї епюри є відрізок прямої, рівний довжині стрижня і паралельний його осі. При стрижні постійного перерізу епюра нормальних напруг має такий самий вигляд, як і епюра поздовжніх сил (вона відрізняється від неї лише прийнятим масштабом). При стрижні змінного перерізу вигляд цих двох епюр різний; зокрема, для стрижня зі ступінчастим законом зміни поперечних перерізів епюру нормальних напруг має стрибки не тільки в перерізах, в яких прикладені зосереджені осьові навантаження (де має стрибки епюра поздовжніх сил), а й у місцях зміни розмірів поперечних перерізів. Побудова епюри розподілу нормальних напруг за довжиною стрижня розглянуто на прикладі 1.2.
Розглянемо тепер напруги в похилих перерізах бруса.
Позначимо кут між похилим перерізом і поперечним перерізом (рис. 6.2, а). Кут умовнимось вважати позитивним, коли поперечний переріз для суміщення з похилим перетином треба повернути на цей кут проти годинникової стрілки.
Як відомо, подовження всіх волокон, паралельних осі бруса, за його розтягуванні чи стисканні однакові. Це дозволяє припускати, що напруги р у всіх точках похилого (як і поперечного) перерізу однакові.
Розглянемо нижню частину бруса, відтяту перетином (рис. 6.2, б). З умов її рівноваги випливає, що напруги паралельні осі бруса і спрямовані у бік, протилежний силі Р, а внутрішня сила, що діє в перерізі, дорівнює Р. Тут - площа похилого перерізу рівна (де - площа поперечного перерізу бруса).
Отже,
де - нормальна напруга в поперечних перерізах бруса.
Розкладемо напругу на дві складові напруги: нормальне перпендикулярне до площини перерізу та дотичне та, паралельне цій площині (рис. 6.2, в).
Значення і та отримаємо з виразів
Нормальна напруга вважається зазвичай позитивною при розтягуванні та негативною при стисканні. Відносна напруга позитивно, якщо зображує вектор прагне обертати тіло відносно будь-якої точки С, що лежить на внутрішній нормалі до перерізу, за годинниковою стрілкою. На рис. 6.2, показано позитивне дотичне напруга та, а на рис. 6.2 г - негативне.
З формули (6.2) випливає, що нормальні напруги мають значення від (при до нуля (при а). Таким чином, найбільші (за абсолютною величиною) нормальні напруги виникають у поперечних перерізах бруса. Тому розрахунок міцності розтягнутого або стисненого бруса проводиться за нормальними напругами у його поперечних перерізах.
РОЗДІЛ 9 Зрушення та крутіння
Брус, зображений на рис. 9.13 має чотири ділянки. Якщо розглядати умови рівноваги систем сил, прикладених до лівої відсіченої частини, можна записати:
Ділянка 1 |
a (рис. 9.13 б). |
|||||||||||||||
Mx 0: Mкр m x dx 0; Mкр |
dx. |
|||||||||||||||
Ділянка 2 |
a x2 |
a b (рис. 9.13, в). |
||||||||||||||
Mx 0: Mкр m x dx M1 0; Mкр m x dx M1. |
||||||||||||||||
Ділянка 3 |
a b x2 |
a b c (рис. 913 г). |
||||||||||||||
M 0; |
x dx M. |
|||||||||||||||
Ділянка 4 |
a b c x2 a b c d . |
|||||||||||||||
Mx 0: Mкр m x dx M1 M2 0; |
||||||||||||||||
M кр |
m x dx M1 M2. |
|||||||||||||||
Таким чином, крутний момент М кр в поперечному перерізі бруса дорівнює сумі алгебри моментів всіх зовнішніх сил, що діють по одну сторону від перерізу.
9.2.2. Напруги та деформації при крученні прямого бруса круглого поперечного перерізу
Як уже згадувалося, повну дотичну напругу можна було б визначити із залежності (9.14), якби був відомий закон їх розподілу по перерізу бруса. Неможливість аналітичного визначення цього закону змушує звернутися до експериментального дослідження деформацій бруса.
В. А. Жилкін
Розглянемо брус, лівий торець якого жорстко защемлений, а до правого торця прикладений момент, що скручує, М кр . До завантаження бруса моментом на його поверхню була нанесена сітка ортогональна з розмірами осередків a×b (рис. 9.14, а). Після застосування скручувального моменту М кр правий торець бруса повернеться щодо лівого торця бруса на кут, при цьому відстані між перерізами бруса, що скручується, не зміняться, а радіуси, проведені в торцевому перерізі, залишаться прямими, тобто можна припустити, що гіпотеза плоскої (Рис. 9.14, б). Перерізи, плоскі до деформації бруса, залишаються плоскими і після деформації, повертаючись як жорсткі диски, одне щодо іншого на деякий кут. Оскільки відстані між перерізами бруса не змінюється, то поздовжня відносна деформація x 0 дорівнює нулю. Поздовжні лінії сітки приймають гвинтоподібну форму, але відстань з-поміж них залишається постійним (отже, y 0 ), прямокутні осередки сітки перетворюються на паралелограми, розміри сторін яких змінюються, тобто. Виділений елементарний об'єм будь-якого шару бруса знаходиться в умовах чистого зсуву.
Виріжемо двома поперечними перерізами елемент бруса довжиною dx (рис. 9.15). В результаті навантаження бруса правий переріз елемента повернеться відносного лівого на кут d. При цьому утворююча циліндра повернеться на кут
РОЗДІЛ 9 Зрушення та крутіння
зсуву. На той же кут повернуться всі внутрішні циліндри радіусу, що утворюють.
Згідно рис. 9.15 дуга
ab dx d.
де d dx називається відносним кутом закручування. Якщо розміри поперечних перерізів прямого бруса і крутні моменти, які у них, певному ділянці постійні, то значення також і рівно відношенню повного кута закручування у цій ділянці до його довжині L , тобто. L.
Переходячи за законом Гука при зсуві (G ) до напруги, отримуємо
Отже, у поперечних перерізах бруса при крученні виникають дотичні напруги, напрямок яких у кожній точці перпендикулярно до радіусу, що з'єднує цю точку з центром перерізу, а величина прямо пропорційна
В. А. Жилкін
відстані точки від центру. У центрі (при 0) дотичні напруги дорівнюють нулю; у точках, розташованих у безпосередній близькості від зовнішньої поверхні бруса, вони є найбільшими.
Підставляючи знайдений закон розподілу напруг (9.18) на рівність (9.14), отримуємо
Mкр G dF G 2 dF G J , |
||||||||||||||||
де J d 4 - полярний момент інерції круглого попере- |
||||||||||||||||
ного перерізу бруса. |
||||||||||||||||
Твір GJ |
називається жорсткістю поперечно- |
|||||||||||||||
го перерізу бруса при крученні. |
||||||||||||||||
Одиницями виміру жорсткості є- |
||||||||||||||||
ються Н·м2, кН·м2 і т.д. |
||||||||||||||||
З (9.19) знаходимо відносний кут закручування бруса |
||||||||||||||||
M кр |
||||||||||||||||
а потім, виключаючи з рівності (9.18), одержуємо формулу |
||||||||||||||||
для напруги при крученні бруса круглого перерізу |
||||||||||||||||
M кр |
||||||||||||||||
Найбільшого значення напруги досягають у кон- |
||||||||||||||||
турних точках перерізу при d 2 : |
||||||||||||||||
M кр |
M кр |
M кр |
||||||||||||||
називають моментом опору кручення валу круглого поперечного перерізу.
Розмірність моменту опору кручення - см3, м3 і т.д.
що дозволяє визначити кут закручування всього бруса
GJ кр. |
Якщо брус має кілька ділянок з різними аналітичними виразами для М кр або різними значеннями жорсткості поперечних перерізів GJ то
Mкр dx |
|||||
Для бруса довжиною L постійного перерізу, навантаженого по кінцях зосередженими парами сил з моментом М кр
Mкр L |
|||||||||||||||||||
| D і внутрішнім d. Тільки в цьому випадку J і W кр треба | |||||||||||||||||||
1 c 4; W кр |
1 c 4; c |
|||||
Епюра дотичних напруг у перерізі порожнистого бруса наведена на рис. 9.17.
Порівняння епюр дотичних напруг у суцільному і порожнистому брусі вказує на переваги порожнистих валів, так як у таких валах матеріал використовується більш раціонально (прибраний матеріал в області дії малих напруг). В результаті розподіл напруги по перерізу стає більш рівномірним, а сам брус легшим,
чим рівноміцний йому брус суціль- Рис. 9.17 ного перерізу, незважаючи на деякий-
роє збільшення зовнішнього діаметра.
Але при проектуванні брусів, що працюють на кручення, слід враховувати, що у разі кільцевого перерізу їх виготовлення складніше, а отже, і дорожче.
З формули для визначення напруги і епюри розподілу дотичних напруг при крученні видно, що максимальні напруги виникають на поверхні.
Визначимо максимальну напругу, враховуючи, що ρ тах = d/ 2, де d- Діаметр бруса круглого перерізу.
Для круглого перерізу полярний момент інерції розраховується за формулою (див. лекцію 25).
Максимальна напруга виникає на поверхні, тому маємо
Зазвичай J P /p maxпозначають W pі називають моментом опорупри крученні, або полярним моментом опоруперерізу
Таким чином, для розрахунку максимальної напруги на поверхні круглого бруса одержуємо формулу
Для круглого перерізу
Для кільцевого перерізу
Умова міцності при крученні
Руйнування бруса при крученні відбувається з поверхні, при розрахунку на міцність використовують умову міцності.
де [ τ до ] - напруга кручення, що допускається.
Види розрахунків на міцність
Існує два види розрахунку на міцність.
1. Проектувальний розрахунок - Визначається діаметр бруса (валу) в небезпечному перерізі:
2. Перевірочний розрахунок - перевіряється виконання умови міцності
3. Визначення здатності навантаження (максимального моменту, що крутить)
Розрахунок на жорсткість
При розрахунку жорсткість визначається деформація і порівнюється з допускаемой. Розглянемо деформацію круглого бруса над дією зовнішньої пари сил із моментом т(Рис. 27.4).
При крученні деформація оцінюється кутом закручування (див. лекцію 26):
Тут φ - Кут закручування; γ - Кут зсуву; l- Довжина бруса; R- Радіус; R = d/2.Звідки
Закон Гука має вигляд τ до = G γ. Підставимо вираз для γ , отримаємо
твір GJ Pназивають твердістю перерізу.
Модуль пружності можна визначити як G = 0,4е.Для сталі G= 0,8 105 МПа.
Зазвичай розраховується кут закручування, що припадає на один метр довжини бруса (валу) φ o.
Умову жорсткості під час кручення можна записати у вигляді
де φ o - відносний кут закручування, φ про = φ/l; [φ про ]≈ 1град/м = 0,02рад/м - відносний кут закручування, що допускається.
Приклади розв'язання задач
приклад 1.З розрахунків на міцність і жорсткість визначити потрібний діаметр валу передачі потужності 63 кВт при швидкості 30 рад/с. Матеріал валу - сталь, допустима напруга при крученні 30 МПа; відносний кут закручування, що допускається [φ про ]= 0,02 рад/м; модуль пружності при зрушенні G= 0,8*10 5 МПа.
Рішення
1. Визначення розмірів поперечного перерізу з розрахунку міцність.
Умова міцності при крученні:
Визначаємо крутний момент із формули потужності при обертанні:
З умови міцності визначаємо момент опору валу під час кручення
Значення підставляємо в ньютонах та мм.
Визначаємо діаметр валу:
2. Визначення розмірів поперечного перерізу з розрахунку жорсткість.
Умова жорсткості при крученні:
З умови жорсткості визначаємо момент інерції перерізу під час кручення:
Визначаємо діаметр валу:
3. Вибір потрібного діаметра валу з розрахунків на міцність та жорсткість.
Для забезпечення міцності та жорсткості одночасно із двох знайдених значень вибираємо більше.
Отримане значення слід округлити, використовуючи ряд бажаних чисел. Практично округляємо отримане значення те щоб число закінчувалося на 5 чи 0. Приймаємо значення d вала = 75 мм.
Для визначення діаметра валу бажано користуватися стандартним рядом діаметрів, наведеним у Додатку 2.
приклад 2.У поперечному перерізі бруса d= 80 мм найбільша дотична напруга τ тах= 40 Н/мм2. Визначити дотичну напругу в точці віддаленої від центру перерізу на 20 мм.
Рішення
б. Очевидно,
 |
приклад 3.У точках внутрішнього контуру поперечного перерізу труби (d 0 = 60 мм; d = 80 мм) виникають дотичні напруги, що дорівнює 40 Н/мм 2 . Визначити максимальну дотичну напругу, що виникає в трубі.
Рішення
Епюра дотичних напруг у поперечному перерізі представлена на рис. 2.37, в. Очевидно,
приклад 4.У кільцевому поперечному перерізі бруса ( d 0= 30 мм; d = 70 мм) виникає крутний момент М z= 3 кН-м. Обчислити дотичну напругу в точці віддаленої від центру перерізу на 27 мм.
Рішення
Відносна напруга в довільній точці поперечного перерізу обчислюється за формулою
У цьому прикладі М z= 3 кН-м = 3-10 6 Н мм,
Приклад 5.Сталева труба (d 0 = l00 мм; d = 120 мм) завдовжки l= 1,8 м закручується моментами т, прикладеними у її торцевих перерізах Визначити величину т, при якій кут закручування φ = 0,25 °. При знайденому значенні тобчислити максимальну дотичну напругу.
Рішення
Кут закручування (град/м) для однієї ділянки обчислюється за формулою
В даному випадку
Підставляючи числові значення, отримуємо
Обчислюємо максимальну дотичну напругу:
Приклад 6.Для заданого бруса (рис. 2.38 а) побудувати епюри крутних моментів, максимальних дотичних напруг, кутів повороту поперечних перерізів.
Рішення
Заданий брус має ділянки І, ІІ, ІІІ, ІV, V(Рис. 2. 38, а).Нагадаємо, що межами ділянок є перерізи, в яких прикладені зовнішні (скручують) моменти та місця зміни розмірів поперечного перерізу.
Користуючись співвідношенням
будуємо епюру крутних моментів.
Побудова епюри М zпочинаємо з вільного кінця бруса:
для ділянок IIIі IV
для ділянки V
Епюра моментів, що крутять, представлена на рис, 2.38, б. Будуємо епюру максимальної дотичної напруги по довжині бруса. Умовно приписуємо τ шах ті ж знаки, що й відповідним моментам, що крутять. На ділянці I
на ділянці II
на ділянці III
на ділянці IV
на ділянці V
Епюра максимальної дотичної напруги показана на рис. 2.38, в.
Кут повороту поперечного перерізу бруса при постійних (у межах кожної ділянки) діаметрі перерізу та крутному моменті визначається за формулою
Будуємо епюру кутів повороту поперечних перерізів. Кут повороту перерізу А φл = 0, тому що в цьому перерізі брус закріплений.
Епюра кутів повороту поперечних перерізів зображено на рис. 2.38, г.
Приклад 7.На шків Уступінчастого валу (рис. 2.39, а)передається від двигуна потужність N B = 36 кВт, шківи Аі Звідповідно передають на верстати потужності N A= 15 кВт та N C= 21 кВт. Частота обертання валу п= 300 об/хв. Перевірити міцність і жорсткість валу, якщо [ τ K J = 30 Н/мм 2 , [Θ] = 0,3 град/м, G = 8,0-10 4 Н/мм 2 d 1= 45 мм, d 2= 50 мм.
Рішення
Обчислимо зовнішні (скручують) моменти, прикладені до валу:
Будуємо епюру моментів, що крутять. При цьому, рухаючись від лівого кінця валу, умовно вважаємо момент, що відповідає NА, позитивним, N c- Негативним. Епюра M z показано на рис. 2.39, б. Максимальна напруга у поперечних перерізах ділянки АВ
що менше [т до ] на
Відносний кут закручування ділянки АВ
що значно більше [?] == 0,3 град/м.
Максимальна напруга в поперечних перерізах ділянки НД
що менше [т до ] на
Відносний кут закручування ділянки НД
що значно більше [?] = 0,3 град/м.
Отже, міцність валу забезпечена, а жорсткість – ні.
Приклад 8.Від електродвигуна за допомогою ременя на вал 1 передається потужність N= 20 кВт, З валу 1 надходить на вал 2 потужність N 1= 15 кВт і до робочих машин - потужності N 2= 2 кВт та N 3= 3 квт. З валу 2 до робочих машин надходять потужності N 4= 7 кВт, N 5= 4 кВт, N 6= 4 кВт (рис. 2.40, а).Визначити діаметри валів d 1 і d 2 з умови міцності та жорсткості, якщо [ τ K J = 25 Н/мм 2 , [Θ] = 0,25 град/м, G = 8,0-10 4 Н/мм 2 . Переріз валів 1 і 2 вважати по всій довжині постійними. Частота обертання валу електродвигуна п = 970 об/хв, діаметри шківів D 1 = 200 мм, D 2 = 400 мм, D 3 = 200 мм, D 4 = 600 мм. Ковзанням у ремінній передачі знехтувати.
Рішення
Нарис. 2.40, бзображено вал I. На нього надходить потужність Nі з нього знімаються потужності N l, N 2 , N 3 .
Визначимо кутову швидкість обертання валу 1
і зовнішні скручують моменти m, m 1 , т 2 , т 3:
 |
Будуємо епюру моментів, що крутять, для валу 1 (рис. 2.40, в). При цьому, рухаючись від лівого кінця валу, умовно вважаємо моменти, що відповідають N 3і N 1, позитивними, а N- Негативним. Розрахунковий (максимальний) крутний момент N x 1 max = 354,5 H*м.
Діаметр валу 1 із умови міцності
Діаметр валу 1 із умови жорсткості ([Θ], рад/мм)
Остаточно приймаємо із заокругленням до стандартного значення d 1 = 58 мм.
Частота обертання валу 2
На рис. 2.40, гзображено вал 2; на вал надходить потужність N 1, а знімаються з нього потужності N 4, N 5, N 6 .
Обчислимо зовнішні скручують моменти:
Епюра крутних моментів для валу 2 показано на рис. 2.40, буд.Розрахунковий (максимальний) момент, що крутить, М я max " = 470 H-м.
Діаметр валу 2 з умови міцності
Діаметр валу 2 з умови жорсткості
Остаточно приймаємо d 2 = 62 мм.
Приклад 9.Визначити з умов міцності та жорсткості потужність N(Рис. 2.41, а), яку може передати сталевий вал діаметром d = 50мм, якщо [т до ] = 35 Н/мм 2 [JJ = 0,9 град/м; G = 8,0* I0 4 Н/мм 2 n= 600 об/хв.
Рішення
Обчислимо зовнішні моменти, що додаються до валу:
Розрахункова схема валу показано на рис. 2.41, б.
На рис. 2.41, впредставлена епюра крутних моментів. Розрахунковий (максимальний) крутний момент M z = 9,54N. Умови міцності
Умова жорсткості
Лімітує умова жорсткості. Отже, допустиме значення потужності, що передається [N] = 82,3 кВт.
При розтягуванні (стиснення) бруса в його поперечних перерізахвиникають тільки нормальні напруги.Рівночинна відповідних елементарних сил, dA - поздовжня сила N -може бути знайдено за допомогою методу перерізів. Для того щоб мати можливість визначити нормальну напругу при відомому значенні поздовжньої сили, необхідно встановити закон їх розподілу по поперечному перерізу бруса.
Це завдання вирішується на основі протези плоских перерізів(гіпотези Я. Бернуллі),яка говорить:
перерізи бруса, плоскі та нормальні до його осі до деформації, залишаються плоскими та нормальними до осі та при деформації.
При розтягуванні бруса (виготовленого, наприклад, длябільшої наочності досвіду з гуми), на поверхні якогонанесена система продольнь1х і поперечних рисок (рис. 2.7,а), можна переконатися, що ризики залишаються прямолінійними та взаємно перпендикулярними, змінюються лише
де А – площа поперечного перерізу бруса. Опускаючи індекс z, остаточно отримуємо
Для нормальних напруг приймають те правило знаків, що й для поздовжніх сил, тобто. при розтягуванні вважають напружена позитивними.
Фактично розподіл напруг у перерізах бруса, що примикають до місця застосування зовнішніх сил, залежить від способу застосування навантаження і може бути нерівномірним. Експериментальні та теоретичні дослідження показують, що це порушення рівномірності розподілу напруг носить місцевий характер.У перерізах бруса, віддалених від місця навантаження на відстані, приблизно рівному найбільшому з поперечних розмірів бруса, розподіл напруг можна вважати практично рівномірним (рис. 2.9).
Розглянуте становище є окремим випадком принципу Сен-Венана,який можна сформулювати наступним чином:
розподіл напруг істотно залежить від способу застосування зовнішніх сил лише поблизу місця навантаження.
У частинах, досить віддалених від місця застосування сил, розподіл напруг практично залежить тільки від статичного еквівалента цих сил, а не від способу їх застосування.
Таким чином, застосовуючи принцип Сен-Венанаі відволікаючись від питання про місцеві напруги, маємо можливість (як у цій, так і в наступних розділах курсу) не цікавитися конкретними способами застосування зовнішніх сил.
У місцях різкої зміни форми та розмірів поперечного перерізу бруса також виникають місцеві напруги. Це явище називають концентрацією напруг,яку в цьому розділі не враховуватимемо.
У тих випадках, коли нормальна напруга в різних поперечних перерізах бруса неоднакова, доцільно показувати закон їх зміни по довжині бруса у вигляді графіка - епюри нормальних напруг.
Примір 2.3. Для бруса зі ступінчасто-змінним поперечним перерізом (рис. 2.10,а) побудувати епюри поздовжніх сил інормальних напруг.
Рішення.Розбиваємо брус на ділянки, починаючи від вільного гінця. Межами ділянок є місця застосування зовнішніх сил і зміни розмірів поперечного перерізу, тобто брус має п'ять ділянок. При побудові лише епюри Nварто було б розбити брус лише на три ділянки.
Застосовуючи метод перерізів, визначаємо поздовжні сили у поперечних перерізах бруса та будуємо відповідну епюру (рис. 2.10,6). Побудова епюри І принципово нічим не відрізняється від розглянутого в прикладі 2.1, тому подробиці цієї побудови опускаємо.
Нормальну напругу обчислимо за формулою (2.1), підставляючи значення сил у ньютонах, а площ – у квадратних метрах.
У межах кожної з ділянок напруги постійні, тобто. е.епюра даному ділянці - пряма, паралельна осі абсцис (рис. 2.10, в). Для розрахунків на міцність інтерес становлять насамперед ті перерізи, у яких виникають найбільші напруження. Істотно, що у розглянутому разі де вони збігаються з тими перерізами, де поздовжні сили максимальні.
У тих випадках, коли перетин бруса по всій довжині постійно, епюра аподібна до епюрі Nі відрізняється від неї лише масштабом, тому, природно, має сенс побудова лише однієї із зазначених епюр.
Розрахунок бруса круглого поперечного перерізу на міцність і жорсткість при крученні
Розрахунок бруса круглого поперечного перерізу на міцність і жорсткість при крученні
Метою розрахунків на міцність і жорсткість при крученні є визначення таких розмірів поперечного перерізу бруса, при яких напруги і переміщення не перевищуватиме заданих величин, що допускаються умовами експлуатації. Умова міцності за допустимою дотичною напругою в загальному випадку записується у вигляді Дана умова означає, що найбільша дотична напруга, що виникає в брусі, що скручується, не повинні перевищувати відповідних допустимих напруг для матеріалу. Допустима напруга при крученні залежить від 0 ─ напруги, що відповідає небезпечному стану матеріалу, та прийнятого коефіцієнта запасу міцності n: ─ межа плинності, nт-коефіцієнт запасу міцності для пластичного матеріалу; ─ межа міцності, nв-коефіцієнт запасу міцності для крихкого матеріалу. У зв'язку з тим, що значення отримати в експериментах на кручення важче, ніж при розтягуванні (стисненні), то, найчастіше, допустимі напруги на кручення приймають залежно від допустимих напруг на розтяг для того ж матеріалу. Так для сталі [для чавуну. При розрахунку бруків, що скручуються, на міцність можливі три види завдань, що відрізняються формою використання умов міцності: 1) перевірка напруг (перевірочний розрахунок); 2) підбір перерізу (проектний розрахунок); 3) визначення навантаження, що допускається. 1. При перевірці напруг за заданими навантаженнями і розмірами бруса визначаються найбільші дотичні напруги, що виникають у ньому, і порівнюються із заданими за формулою (2.16). Якщо умова міцності не виконується, необхідно або збільшити розміри поперечного перерізу, або зменшити навантаження, що діє на брус, або застосувати матеріал вищої міцності. 2. При підборі перерізу по заданому навантаженню і заданій величині напруги, що допускається, з умови міцності (2.16) визначається величина полярного моменту опору поперечного перерізу бруса За величиною полярного моменту опору знаходять діаметри суцільного круглого або кільцевого перерізу бруса. 3. При визначенні допустимого навантаження по заданому допустимому напрузі і полярному моменту опору WP попередньо на основі (3.16) визначається величина крутного моменту, що допускається, MK а потім за допомогою епюри крутних моментів встановлюється зв'язок між K M і зовнішніми скручуючими моментами. Розрахунок бруса на міцність не виключає можливість виникнення деформацій, неприпустимих при його експлуатації. Великі кути закручування бруса дуже небезпечні, оскільки можуть призводити до порушення точності обробки деталей, якщо цей брус є конструктивним елементом обробного верстата, або можуть виникнути крутильні коливання, якщо брус передає змінні за часом скручують моменти, тому брус необхідно розраховувати також на жорсткість. Умова жорсткості записується в такому вигляді: де найбільший відносний кут закручування бруса, що визначається з виразу (2.10) або (2.11). Тоді умова жорсткості для валу прийме вигляд Величина відносного кута закручування, що допускається, визначається нормами і для різних елементів конструкцій і різних видів навантажень змінюється від 0,15° до 2° на 1 м довжини бруса. Як за умови міцності, і у умови жорсткості щодо max чи max будемо використовувати геометричні характеристики: WP ─ полярний момент опору і IP ─ полярний момент інерції. Очевидно, ці характеристики будуть різними для круглого суцільного та кільцевого поперечних перерізів при однаковій площі цих перерізів. Шляхом конкретних розрахунків можна переконатися, що полярні моменти інерції і момент опору кільцевого перерізу значно більше, ніж для помилкового круглого перерізу, так як кільцевий переріз не має майданчиків, близько розташованих до центру. Тому брус кільцевого перерізу при крученні є більш економічним, ніж брус суцільного круглого перерізу, тобто вимагає меншої витрати матеріалу. Однак виготовлення такого бруса складніше, а значить, і дорожче, і цю обставину також необхідно враховувати під час проектування брусів, що працюють під час кручення. Методику розрахунку бруса на міцність та жорсткість при крученні, а також міркування про економічність, проілюструємо на прикладі. Приклад 2.2 Порівняти ваги двох валів, поперечні розміри яких підібрати для одного і того ж крутного моменту MK 600 Нм при однакових напругах, що допускаються 10 Rі 13 Розтягнення вздовж волокон р] 7 Rp 10 Стиснення і зім'яття вздовж волокон [см] 10 Rc , R поперек волокон (на довжині не менше 10 см) [см] 90 2,5 Rcм 90 3 Сколювання вздовж волокон при вигині [і] 2 Rcк 2,4 Сколювання вздовж волокон при врубках 1 Rcк 1,2 – 2,4 Сколювання у врубках поперек волокон
