Уравнение экспоненциального роста. Что такое экспонента или как заставить чай остывать не так быстро
Экспоненциальный рост - возрастание величины, когда скорость роста пропорциональна значению самой величины. Говорят, что такой рост подчиняется экспоненциальному закону . Экспоненциальный рост противопоставляется более медленным (на достаточно длинном промежутке времени) линейному , степенному или геометрическому зависимостям.
Свойства
Для любой экспоненциально растущей величины, чем большее значение она принимает, тем быстрее растет. Также это означает, что величина зависимой переменной и скорость ее роста прямо пропорциональны . Но при этом, в отличие от гиперболической экспоненциальная кривая никогда не уходит в бесконечность за конечный промежуток времени.
Экспоненциальный рост в итоге оказывается более быстрым, чем любая геометрическая прогрессия , чем любой степенной , и тем более, чем любой линейный рост .
Математическая запись
Экспоненциальный рост описывается дифференциальным уравнением:
Решение этого дифференциального уравнения - экспонента:
Примеры
Примером экспоненциального роста может быть рост числа бактерий в колонии до наступления ограничения ресурсов. Другим примером экспоненциального роста являются сложные проценты .
См. также
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Экспоненциальный рост" в других словарях:
Возрастание величины (возрастание в геометрической прогрессии), которая растет со скоростью, пропорциональной ее значению. Говорят: такой рост подчиняется экспоненциальному закону. Это означает, что для любой экспоненциально растущей величины,… … Словарь бизнес-терминов
экспоненциальный рост - eksponentinis didėjimas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. exponential rising vok. Exponentialanstieg, m rus. экспоненциальный рост, m pranc. accroissement exponentiel, m … Fizikos terminų žodynas
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ РОСТ - рост с относительно постоянной скоростью … Словарь ботанических терминов
Процесс увеличения какого либо качества со временем. Качества могут быть как физическими (например, рост в высоту), так и абстрактными (например, взросление человека, расширение системы): Клеточный рост, или пролиферация Рост населения Рост… … Википедия
РОСТ - означает увеличение размеров развивающегося организма. В типичных случаях Р. связан с увеличением массы, однако не всякое увеличение массы организма мы, обозначаем как Р. (напр. отложение жира, накопление половых продуктов у некоторых животных,… … Большая медицинская энциклопедия
Экспоненциальный рост в математике экспоненциальное возрастание величины (возрастание в геометрической прогрессии), которая растет со скоростью, пропорциональной её значению. Говорят что такой рост подчиняется экспоненциальному закону. Это… … Википедия
- [от algorithm!; algorismus, первоначально лат. транслитерация имени ср. азиат. учёного 9 в. Хорезми (Мухаммед бен Муса аль Хорезми)], программа, определяющая способ поведения (вычисления); система правил (предписаний) для эффективного… … Философская энциклопедия
Движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. К. свойственны всем явлениям природы: пульсирует излучение звёзд, внутри к рых происходят циклич. яд. реакции; с высокой степенью периодичности вращаются планеты… … Физическая энциклопедия
Проблема отыскания алгоритма для распознавания по любому диофантову уравнению, имеет ли оно решение. Существенным в постановке проблемы является требование найти универсальный метод, к рый должен быть пригоден для любого уравнения (все известные… … Математическая энциклопедия
Логическая схема перцептрона с тремя выходами Перцептрон, или персептрон (англ. perceptron от … Википедия
Книги
- Великие озера мира , В.А. Румянцев, В. Г. Драбкова, А. В. Измайлова. Экспоненциальный рост народонаселения и вслед за этим рост промышленности и сельского хозяйства приводит не только к катастрофической нехватке запасов пресных вод, но и к ухудшению их…
1. Классы нелинейных регрессий.
2. Параболическая форма зависимости.
3. Гиперболическая форма зависимости.
4. Экспоненциальная форма зависимости.
5. Степенная форма зависимости.
Между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, которые выражаются с помощью нелинейных функций.
Различают два класса нелинейных регрессий:
1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам Примерами таких регрессий являются функции:
Полиномы разных степеней;
Равносторонняя гипербола.
2. К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:
Степенная;
Показательная;
Экспоненциальная.
Нелинейная регрессия по включенным переменным определяется, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), так как эти функции линейны по параметрам.
1. Параболическая форма зависимости.
Уравнение регрессии параболы 2-го порядка имеет следующий вид:
Нормальные уравнения метода наименьших квадратов для параболической зависимости таковы:
Решая эту систему уравнений, получаем значения параметров a , b и c .
Парабола второй степени при b > 0 и с < 0 симметрична относительно точки максимума, изменяющей направление связи, а именно рост на падение. Такого рода функцию можно наблюдать в экономике труда при изучении зависимости заработной платы работников физического труда от возраста, с увеличением возраста повышается заработная плата ввиду одновременного увеличения опыта и повышения квалификации работника. Однако с определенного возраста ввиду старения организма и снижения производительности труда дальнейшее повышение возраста может приводить к снижению заработной платы работника.
При b < 0 и с > 0 парабола второго порядка симметрична относительно минимума функции в точке, меняющей направление связи, а именно снижение на рост.
2. Гиперболическая форма зависимости.
Уравнение регрессии гиперболы имеет следующий вид:
Из системы нормальных уравнений метода наименьших квадратов для гиперболы:
определяются значения коэффициентов гиперболического уравнения регрессии a и b .
Гиперболическая зависимость может быть использована на микро- и макроуровне - например, для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота. Классическим ее примером является кривая Филлипса, характеризующая соотношение между нормой безработицы и процентомприроста заработной платы.
Рассмотрим регрессию, нелинейную по оцениваемым параметрам
3.Экспоненциальная форма зависимости.
Общий вид экспоненциального уравнения регрессии:
Для упрощения алгоритма обработки выборочной совокупности проводится линеаризация экспоненциального уравнения регрессии путем логарифмирования второго из представленных уравнений
Проведя замену ln y на z , получается линейное уравнение вида:
z = a + bx .
определяем параметры уравнения регрессии a и b . Производя обратную замену, получаем эмпирические значения результирующего признака.
4. Степенная форма зависимости.
Общий вид степенного уравнения регрессии:
Логарифмирование данного уравнения приводит его к линейному виду:
Оценки параметров a и b уравнения могут быть найдены МНК. Система нормальных уравнений имеет вид:
Параметр b определяется из системы, а параметр a – потенцированием выражения lna .
Показателем тесноты нелинейной корреляции является индекс корреляции, вычисляемый по формуле:
,
где - индивидуальные значения у по уравнению связи.
Индекс корреляции находится в границах: 0 < R < 1 и чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, более надежно найденное уравнение регрессии.
Индекс детерминации R 2 используется для проверки статистической значимости в целом уравнения нелинейной регрессии по -критерию Фишера.
Как уже подчеркивалось в предыдущем разделе, любая популяция в принципе способна экспоненциально увеличивать свою численность, и именно поэтому экспоненциальная модель используется для оценки потенциальных возможностей роста популяций. В некоторых случаях, однако, экспоненциальная модель оказывается пригодной для описания и реально наблюдаемых процессов. Очевидно, это возможно тогда, когда в течение достаточно продолжительного (относительно длительности поколения) времени ничто не ограничивает рост популяции и соответственно показатель его удельной скорости (r ) сохраняет постоянное положительное значение.
Так, например, в 1937 г. на небольшой остров Протекши (у северо-западного побережья США близ штата Вашингтон) были завезены 2 самца и 6 самок фазана (Phasanius colchicus torqualus), ранее на острове не встречавшегося. В том же году фазаны начали размножаться, а через 6 лет популяция, начало которой дали 8 птиц, насчитывала уже 1898 особей. Как следует из рис. 28 а, в течение по крайней мере первых 3-4 лет рост численности фазанов хорошо описывался экспоненциальной зависимостью (прямая линия при логарифмической шкале по ординате). К сожалению, позднее, в связи с началом военных действий, на острове были расположены войска, ежегодные учеты прекратились, а сама популяция фазанов была в значительной степени истреблена.
Другой известный случай экспоненциального роста популяции-увеличение численности популяции кольчатой горлицы (Streptopelia decaocto) на Британских островах в конце 1950-х- начале 1960-х гг. (рис. 28, б). Прекратился этот рост только через 8 лет, после того как все пригодные местообитания были заселены.
Список примеров экспоненциального роста популяции может быть продолжен. В частности, несколько раз экспоненциальное (или, по крайней мере близкое к экспоненциальному) увеличение численности северного оленя (Rangifer tarandus) наблюдалось при интродукции его на различные острова. Так, от 25 особей (4 самца и 21 самка), завезенных в 1911 г. на остров Святого Павла (входящий в архипелаг островов Прибылова в Беринговом море), произошла популяция, численность которой к 1938г. достигла 2 тыс. особей, но затем последовал резкий спад, и к 1950 г. на острове осталось только 8 оленей. Сходная картина наблюдалась и на острове Святого Матвея (также расположенном в Беринговом море): 29 особей (5 самцов и 24 самки), интродуцированных на остров в 1944 г., дали популяцию, насчитывавшую в 1957 г. 1350 особей, а в 1963 г. - около 6 тыс. особей (площадь этого острова 332 км 2 , что примерно в три раза больше площади острова Святого Павла). В последующие годы произошло, однако, катастрофическое снижение численности оленей-к 1966 г. их осталось только 42. В обоих вышеописанных случаях причиной резкого снижения численности была нехватка в зимнее время пищи, состоящей почти исключительно из лишайников.
В лаборатории можно создать условия для экспоненциального роста, если снабжать культивируемые организмы избытком ресурсов, обычно лимитирующих их развитие, а также поддерживать значение всех физико-химических параметров среды в пределах толерантности данного вида. Нередко для поддержания экспоненциального роста бывает нужно удалять продукты обмена веществ организмов (используя, например, проточные системы при культивировании различных водных животных и растений) или изолировать нарождающихся особей друг от друга, чтобы избегать их скученности (это важно, например, при культивировании многих грызунов и других животных с достаточно сложным поведением). Практически получить в эксперименте кривую экспоненциального роста несложно только для очень мелких организмов (дрожжевых грибков, простейших, одноклеточных водорослей и т. д.). Крупные организмы культивировать в больших количествах трудно по чисто техническим причинам. Кроме того, для этого требуется много времени.
Ситуации, при которых складываются условия экспоненциального роста, возможны и в природе, притом не только для островных популяций. Так, например, в озерах умеренных широт весной, после таяния льда, в поверхностных слоях содержится большое количество обычно дефицитных для планктонных водорослей биогенных элементов (фосфора, азота, кремния), и поэтому неудивительно, что сразу после прогревания воды здесь наблюдается быстрый (близкий к экспоненциальному) рост численности диатомовых или зеленых водорослей. Прекращается он лишь тогда, когда все дефицитные элементы окажутся связанными в клетках водорослей или же когда продукция популяций уравновесится выеданием их различными животными-фитофагами.
Хотя можно привести и другие примеры реально наблюдаемого экспоненциального увеличения численности, нельзя сказать, чтобы они были очень многочисленны. Очевидно, возрастание численности популяции по экспоненциальному закону если и происходит, то только очень короткое время, сменяясь затем спадом или выходом на плато (= стационарный уровень). В принципе возможны несколько вариантов прекращения экспоненциального роста численности. Первый вариант - это чередование периодов экспоненциального роста численности с периодами резкого (катастрофического) спада, вплоть до очень низких значений. Подобная регуляция (а под регуляцией численности мы будем понимать действие любых механизмов, приводящих к ограничению роста популяции) наиболее вероятна у организмов с коротким жизненным циклом, обитающих в местах с резко выраженными колебаниями основных лимитирующих факторов, например у насекомых, живущих в высоких широтах. Очевидно также то, что такие организмы должны иметь покоящиеся стадии, позволяющие пережить неблагоприятные сезоны. Второй вариант - это резкая остановка экспоненциального роста и поддержание популяции на постоянном (=стационарном) уровне, вокруг которого возможны различные флуктуации. Третий вариант - это плавный выход на плато. Получающаяся при этом S-образная форма кривой указывает на то, что по мере увеличения численности популяции скорость роста ее не остается постоянной, а снижается. S-образный рост популяций наблюдается очень часто как в лабораторных экспериментах, так и при вселении видов в новые местообитания.
Экспоненциальная зависимость представляет собой математическую функцию, которая является полезной для описания процесса, где быстро увеличивается или быстро уменьшается количество каких-либо элементов. Существует множество примеров использования этой зависимости в биологии, физике, экономике, медицине и других сферах человеческой деятельности.
Определение экспоненциальной зависимости
Для того чтобы понимать, что означают слова "это количество растет экспоненциально" или "этот процесс характеризуется экспоненциальным спадом", необходимо рассмотреть понятие самой экспоненциальной функции. Для этого возьмем некоторое положительное число "a", которое не равно 1, и возведем его в степень "x", при этом переменная x может иметь как положительные, так и отрицательные значения, но не должна равняться нулю. Также возьмем некоторое постоянное число k (константа), которое не равно нулю. Теперь введем математическую функцию f(x) = k*a x . Возведение в степень "x" положительного числа "a" - это экспоненциальная зависимость, а сама функция f(x) называется показательной. В функции f(x) число "a" называется основанием, а "x" - это независимая переменная.
Отметим, что в математике часто фигурирует основание экспоненциальной функции "a", которое приблизительно равно 2,718. Это число обозначается латинской буквой "e" и называется числом Эйлера. Отмеченное число играет важную роль в математической теории пределов, а также во многих физических процессах в природе, например, давление воздуха с высотой на нашей планете уменьшается по экспоненциальному закону, в которого основанием выступает число Эйлера.
График экспоненциальной зависимости
Рассмотрим свойства экспоненциальной функции y = a x , для этого обратимся к графику, представленному выше. Первым важным свойством является то, что каким бы основанием "a" ни была представлена функция, она всегда будет проходить через точку с координатами (0,1), поскольку a 0 = 1.
Из графика экспоненциальной зависимости также видно, что функция a x для любых значений переменной "x" принимает только положительные значения. При больших отрицательных значениях "x" функция быстро приближается к оси абсцисс, то есть стремится к нулю. В свою очередь, уже при небольших положительных значениях "x" функция резко возрастает, при этом скорость ее увеличения постоянно увеличивается также по экспоненциальному закону, что можно показать, если взять производную от рассматриваемой функции ((a x)" = ln(a)*a x , где ln(a) - натуральный логарифм).
Таким образом, экспоненциальная зависимость - это резкое изменение некоторой величины как в сторону ее увеличения, так и в сторону уменьшения.
Пример из шахматной истории
Хорошей демонстрацией значимости экспоненциального увеличения объектов является древняя легенда, связанная с изобретением шахмат. Согласно этой легенде, для развлечения одного индусского короля, которого звали Белкиб, его близкий друг Брахман Сисса за 3000 лет до нашей эры придумал настольную игру шахматы.
Король так рад был новой игре, что пообещал дать Сиссе все, что тот пожелает. Тогда Брахман Сисса предложил ему дать столько зерна, сколько поместится на 64 шахматных клетках, при этом на 1-ю клетку он положил 1 зерно, на 2-ю - 2 зерна, на 3-ю - 4 зерна и так далее, удваивая каждый раз число. Белкиб сразу не понял, насколько много ему потребуется отдать зерна, поэтому принял без размышлений предложение своего друга.
Количество зерен, которое помещается на шахматной доске согласно описанному принципу, составит 2 64 = 18 446 744 073 709 551 616 - гигантское число!
Рост населения планеты
Еще одним ярким примером процессов, которые описываются согласно экспоненциальной зависимости, является рост населения планеты. Так, в 1500 году население планеты составляло около 500 млн., в 1800 году, то есть через 300 лет, оно удвоилось и стало равно 1 млрд., прошло менее 50 лет, и население планеты перешагнуло отметку 2 млрд, в настоящее время количество жителей на планете Земля составляет 7,5 млрд. человек.
Описанный на примере человечества рост популяции характерен для любого биологического вида, будь то млекопитающее или одноклеточная бактерия. Математически этот рост описывается следующей формулой: N t = N 0 *e k*t , где N t и N 0 - численность популяции в моменты времени t и нулевой, соответственно, k - некоторый положительный коэффициент. Данная математическая модель роста популяций получила название экспоненциальной зависимости в экологии.
Экспоненциальный рост населения планеты заставил задуматься еще в начале XIX века известного английского экономиста и демографа Томаса Роберта Мальтуса. Ученый в свое время предсказывал, что в середине XIX века на Земле должен будет наступить голод, поскольку производство продуктов питания увеличивается линейно, в то время как численность людей на планете увеличивается экспоненциально. Мальтус полагал, что единственным способом достигнуть равновесия в рассматриваемой системе, является массовая смертность, вызванная войнами, эпидемиями и другими катаклизмами.
Как известно, ученый ошибся в своих мрачных предсказаниях, по крайней мере он ошибся с указанной датой.
Возраст археологических останков
Еще одним ярким примером природных процессов, которые происходят согласно экспоненциальному закону, является распад радиоактивных элементов. Это физическое явление, которое заключается в превращении ядер тяжелых элементов в ядра более легких, описывается следующей математической формулой: N t = N 0 *e -k*t , где N t и N 0 - количество ядер более тяжелого элемента в момент времени t и в начальный момент соответственно. Из этой формулы видно, что она практически аналогична таковой для роста биологической популяции, единственное отличие заключается в знаке "минус" в показателе экспоненты, который говорит об убыли тяжелых ядер.
Отмеченную формулу используют для определения возраста горных пород и окаменелых организмов. В последнем случае работают с изотопом углерода 14 C, поскольку его период полураспада (время, за которое начальное число тяжелых ядер уменьшится вдвое) является относительно небольшим (5700 лет).
Другие процессы, подчиняющиеся экспоненциальному закону
Экспоненциальная зависимость описывает многие процессы в экономике, химии и медицине. Например, дозы медикаментов, попавших в организм человека, уменьшаются во времени по экспоненциальному закону. В экономике инвестиционная прибыль, исходя из определенного начального капитала, рассчитывается также по экспоненциальному закону.
Экспоненциальный ростКогда Альберта Эйнштейна попросили назвать самую могучую силу на свете, он без колебаний ответил: «Сложные проценты».
Для того чтобы действительно понять природу и последствия длительного периода роста, нужно быть гением. Эксперименты показали, что даже образованным и хорошо разбирающимся в математике людям свойственно значительно недооценивать результаты роста. Например, в ходе одного исследования* испытуемых попросили оценить необходимую производительность тракторного завода, который начал работать в 1976 году с выпуска 1000 тракторов в год, после чего каждый год спрос увеличивался на 6 процентов. Сколько тракторов, спрашивали их, завод должен будет производить в 1990, 2020, 2050 и 2080 годах? Типичные ответы базировались на постепенном линейном увеличении, и поэтому оценки спроса до 1990 года были достаточно близки к правильному ответу. Но последующие цифры правильных ответов подскакивали «экспоненциально», в то время как оценки отвечающих продолжали основываться на стабильном приросте. Большинство респондентов ответили, что в 2080 году спрос составит около 30 000 тракторов, в то время как правильный ответ около 350 000, что в 10 с лишним раз больше!
А теперь отгадайте загадку. В пруду площадью 13 тысяч кв. футов плавает один лист кувшинки, занимающий площадь в 1 кв. фут. Через неделю листьев уже два. Через две недели четыре. Посчитайте, сколько времени понадобится кувшинкам, чтобы покрыть весь пруд.
Через 16 недель они покроют половину пруда. А теперь скажите, сколько еще пройдет времени, пока весь пруд не будет покрыт кувшинками? Для того чтобы покрыть половину пруда, кувшинкам понадобилось 16 недель. Но вот чтобы закрыть вторую половину, достаточно будет одной недели, так как площадь листьев каждую неделю удваивается. Окончательный ответ -17 недель.
* См.: ^ Дитрих Дернер. Логика неудачи: почему дела идут плохо и что мы можем сделать, чтобы их поправить (Dietrich Dorner. The Logic of Failure: Why Things Go Wrong and What We Can Do to Make Them Right. 1996, Metropolitan Books, New York). Оригинал опубликован в Германии в 1989 году под названием «Die Logik des Misslingcns» издательством Rowohlt Verlag.
А помните басню про индийского короля, который захотел наградить изобретателя шахмат? Изобретатель попросил всего лишь несколько зернышек риса: на одну клетку положить одно, на вторую два, на третью четыре, и так далее на все остальные клетки. Король думал, что мудрец поскромничал, - пока не выяснилось, что только на одну последнюю клетку пришлось бы положить 9 223 372 036 000 000 000 зерен, или около 153 миллиардов тонн, или больше двух с половиной миллионов огромных (по 60 000 тонн) сухогрузов, до самых бортов заполненных рисом. А всему виной «экспоненциальный» рост, в данном случае удвоение зерен риса на каждой клетке.
^ В чем суть экспоненциального роста?
Экспонента - это число, показывающее, сколько раз какая-то величина должна быть умножена сама на себя. Например, если экспонента равна 3, а величина 4, то выражение 4 3 означает 4 х 4x4, что составит 64. Математическое выражение у 2 означает у ху , а число 2 - это экспонента.
Чем экспоненциальный рост отличается от линейного? При линейном росте величина увеличивается на каждом этапе на одно и то оке, а не на кратное число. Если мой стартовый капитал составляет 1000 долларов и каждый год увеличивается на 100 долларов, то через 10 лет я его удвою и буду иметь 2000 долларов. Вот это и есть линейный рост, на одну и ту же сумму каждый год. Но если мой стартовый капитал в 1000 долларов каждый год будет увеличиваться на 10 процентов, то через десять лет у меня будет 2594 доллара. Это пример экспоненциального роста с постоянным кратным числом ежегодного увеличения 1,1. Если же я буду продолжать свой бизнес еще 10 лет, то линейный рост даст мне общую сумму 3000 долларов, в то время как экспоненциальный - 6727 долларов.
Любой рынок или бизнес, поддерживающий уровень роста 10 процентов или больше на протяжении длительного периода времени, получит гораздо больший эффект с плане создания стоимости, чем мы интуитивно оцениваем. Некоторые компании- такие как IBM или McDonald"s за период с 1950 по
1985 год или Microsoft в 1990-х годах- сумели обеспечить уровень роста, превышающий 15 процентов в год, и во много раз увеличили свои капиталы. Если вы начнете со 100 долларов и в течение 15 лет будете увеличивать капитал на 15 процентов в год, то в конце у вас будет уже 3292 доллара, то есть почти в 33 раза больше, чем в начале. Незначительное увеличение процента роста приводит к большой разнице в результатах.
К примеру, американский биржевой брокер Уильям О"Нил создал для своих одноклассников фонд и управлял им с 1961 по 1986 год. За это время первоначальные 850 долларов превратились в сумму 51 653 доллара после выплаты всех налогов*. За 25 лет средний рост составил 17,85 процента в год, что выразилось в увеличении первоначальной суммы в 61 раз. Таким образом, мы видим, что если за 25 лет 15-процентный рост увеличивает капитал в 33 раза, то добавление меньше чем 3 процентных пунктов к темпам годового прироста увеличивает результат в 61 раз.
Экспоненциальный рост меняет вещи не только количественно, но и качественно. Например, при быстром росте индустрии - Питер Дрюкер называет цифру 40 процентов за 10 лет - меняется сама ее структура, и на первый план выходят новые лидеры рынка. Быстрому росту рынков способствуют новаторство, отсутствие закономерности, новые продукты, технологии или потребители. Новаторы по определению ведут дела не так, как все. Новые способы редко уживаются с привычками, идеями, процедурами и структурами существующих фирм. Новаторы нередко получают возможность снимать пенки на протяжении нескольких лет, пока традиционные лидеры не решат пойти в контратаку, но тогда может быть уже поздно.
^ Кролики Фибоначчи
Хочу предложить вам любопытную загадку на тему экспоненциального роста. В 1220 году Леонардо Пизанский, получивший 600 лет спустя прозвище «Фибоначчи», придумал следую-
* ^ Уильям Дж. О "Нил. Как делать деньги на биржах (William J. О "Neil. How to Make Money in Stocks. 1991, McGraw-Hill, New York. P. 132).
щий сценарий. Начнем с пары кроликов. Затем представим, что каждая пара через год производит на свет другую пару, а через год - еще одну. После этого кролики становятся слишком старыми для размножения. Как будет увеличиваться количество пар, и есть ли в этой модели что-нибудь замечательное?
Если хотите, можете составить последовательность ежегодного количества пар самостоятельно, но можете посмотреть ответ сразу:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...
Не замечаете ничего необычного?
Собственно говоря, тут есть два интересных момента. Один заключается в том, что начиная с третьей, каждая последующая цифра является суммой двух предыдущих. Второй состоит в том, что отношение числа каждого года (после третьего) к числу предыдущего составляет практически постоянный коэффициент, который вскоре приближается к 1,618. Другими словами, тут наблюдается постоянная скорость прироста, составляющая чуть больше 60 процентов.
Со временем загадка ^ Кроликов Фибоначчи получила исчерпывающее математическое объяснение, но, к счастью, тут нет для него места*. Тем не менее эти кролики являются прекрасной иллюстрацией экспоненциального роста, равно как и того факта, что даже такой явно ограниченный рост не может продолжаться слишком долго. Через 144 года объем кроликов Фибоначчи превысит объем Вселенной, и все люди погибнут, задохнувшись под пушистой массой. Вот уж действительно притянуто за уши!
^ Большой Взрыв
Другая, более экстремальная форма экспоненциального роста, возможно, лежит в основе возникновения Вселенной. В наши дни практически все астрономы и физики согласились с Теорией Большого Взрыва, согласно которой Вселенная началась
* Любители математики могут полистать книгу Питера М. Хиггинса «Математика для любознательных» (Peter M. Higgins. Mathematics for the Curious. 1998, Oxford University Press, Oxford).
с невообразимо малого объема, а потом за долю секунды 100 раз удвоила свои размеры, что сделало ее похожей на небольшой грейпфрут. Затем этот период «вспучивания», или экспоненциального роста, закончился, уступив место линейному росту, в ходе которого расширяющийся огненный шар создал сегодняшнюю Вселенную.
Экспоненциальный рост - это неотъемлемая составляющая творчества любого рода. Интересный урок состоит в том, что при экспоненциальном росте не нужно начинать с чего-то большого. По сути дела, начать можно с самого малого. Если Вселенная могла возникнуть с чего-то настолько малого, что мы не можем себе этого представить, и расширилась до своих сегодняшних невообразимо бесконечных размеров, то фактор первоначальных размеров нового бизнеса следует признать не имеющим совершенно никакого значения. Ключевой показатель - это период экспоненциального роста, за которым следует более длительный период линейного роста.
^ Выводы из концепции роста
Самые лучшие возможности творчества и роста возникают в периоды нарушения равновесия или, иными словами, в момент достижения точки опрокидывания и сразу после него.
Нарушения равновесия и точки опрокидывания не происходят внезапно. Всегда существует период, иногда достаточно долгий, предварительной разминки, когда существующая система выказывает признаки нестабильности, а новая спокойно набирает силу. Во всем, что касается новых технологий или видов продукции, точка опрокидывания достигается только после того, как новшество получает «прописку» на массовом рынке. Это означает, что его продажа должна основываться на традиционных критериях выгоды, а революционная сущность перемены (если она есть) должна быть закамуфлирована.
Периоды стремительных изменений и высокого экспоненциального роста обычно не длятся долго. Пройдет немного времени, как установится новое равновесие с новой господствующей технологией и/или новой конкурентной ситуацией. Отсюда ощущение увлекательности и необычной неуверенности, связанное с периодами нарушения равновесия. Отсюда же те исключительные выгоды, которые извлекают люди, сумевшие в этот короткий период захватить господствующие позиции. Такое господство скорее является результатом искусного маркетинга и позиционирования, чем превосходства самой технологии.
Большинство новаторов терпят поражение. Чтобы оседлать успех, они должны «преодолеть пропасть» - или перейти точку опрокидывания - и внедриться на массовый рынок. Ключевым фактором тут является ускорение. Пока новая продукция или технология не начнет стремительно размножаться, у нее мало шансов на выживание.
^ Закон экономического арбитража Сэя
В 1803 году французский экономист Жан-Батист Сэй (1767- 1832) опубликовал замечательную работу «Трактат о политической экономии». Томас Джефферсон отозвался о ней так:
«Превосходный труд... блестящая компоновка, четкие идеи, ясный слог, а вся работа в два раза тоньше, чем книга [Адама] Смита"*.
В трактате содержалось множество поразительных новшеств, включая термин «entrepreneur» (предприниматель) и сформулированную в том же самом предложении первую теорию экономического арбитража.
Предприниматель перемещает экономические ресурсы из области с более низкой производительностью в область с более высокой производительностью и извлекает из этого выгоду.
Задолго до распространения понятия доходности капитала Сэй назвал один из наиболее важных двигателей экономического творчества и прогресса. Ресурсы по определению ограниченны, поэтому рост зависит не столько от разведки и эксплуатации природных ресурсов, сколько от возможности более пол-
* Томас Джефферсон в письме Джозефу Миллигану, 6 апреля 1816 года. Это превосходная статья, и я использовал ее в своем докладе.
ного использования каждой единицы ресурса. Отчасти это функция более совершенных технологий и методик, но нельзя сбрасывать со счетов умение предпринимателя доставить эти ресурсы туда, где они окажутся наиболее продуктивными.
^ Принцип реальности Фрейда
В 1900 году Зигмунд Фрейд (1856-1939) выпустил в свет «Толкование сновидений» и основал новую науку психоанализа. Одной из его ключевых концепций был Принцип реальности, утверждающий, что от использования других людей в корыстных целях нас удерживает только то, что они стремятся сделать то же самое с нами. Сталкиваясь с реальностью (действительностью), мы вынуждены приспосабливаться к потребностям других людей и требованиям внешнего мира, чтобы иметь возможность удовлетворить собственные инстинкты.
Концепция Фрейда определенно имеет большую ценность, но довольно неожиданный поворот той же идее придал его современник, драматург Джордж Бернард Шоу:
«Разумный человек приспосабливает себя к миру [в соответствии с принципом реальности Фрейда]: неразумный человек настойчиво пытается приспособить мир к себе. Следовательно, любой прогресс зависит от человека неразумного «.
Творчество и предпринимательство требуют подпитки новыми идеями, новыми методами и неразумными подходами. Вел ли себя разумно Генри Форд, когда настаивал на том, что автомобили должны быть доступны рабочему человеку? Он явно не следовал за спросом, так как спрос на автомобили существовал только среди богатых. Форд отказался согласиться с тем миром, который существовал вокруг него; он продолжал попытки подстроить мир под свое видение. Используя конвейер и максимальную стандартизацию, Форд снизил стоимость модели Т с 850 долларов в 1908 году до 300 долларов в 1922 году и преуспел в своей миссии «демократизации автомобиля».
^ Преуспевающий предприниматель
Книга Бытия и теория Большого Взрыва сходятся в одном: было только одно первоначальное сотворение мира. Следовательно, прогресс - это всего лишь перестановка слагаемых. Ничто не ново под луной.
Такую точку зрения никак нельзя считать мрачной, и это обнадеживает. Все, чего не хватает человеческому благосостоянию, это взять определенный набор ресурсов и переместить их из областей с низкой продуктивностью в области с высокой продуктивностью.
Весь экономический прогресс основан на экономическом арбитраже данного типа. Это хорошая новость. Заниматься арбитражем легче, чем творчеством. Каждый должен быть способен придумать что-нибудь такое, что может получить выгоду от экономического арбитража, от выявления ресурсов, которые можно использовать с большей эффективностью.
Истинные предприниматели не ждут, пока исследователи рынка скажут им, что делать. У них есть свое видение того, как сделать что-нибудь лучше и по-иному. Они разрабатывают способы достичь большего меньшими усилиями. Они меняют менее доходные варианты использования ресурсов на более доходные и продолжают оставаться настойчивыми и неразумными, пока мир не примет их точку зрения.
^ Закон убывающей доходности
Одной из наиболее влиятельных и популярных концепций работы рынков и предприятия является Закон убывающей доходности, который сформулировал примерно в 1767 году французский экономист Робер Жак Тюрго.
Закон гласит, что после определенного момента доходность дополнительных усилий или инвестиций уменьшается, то есть уменьшается прирост стоимости. Для голодного человека булка хлеба имеет очень большую ценность. Ценность второй булки меньше. Десятая уже не будет иметь почти никакой цены. Если вы наймете дополнительно несколько крестьян для обработки одного участка земли, то после определенной точки вступит в действие закон убывающей доходности.
Через сто лет британские классические экономисты, лидером которых был Альфред Маршалл, распространили эту идею на рынки и фирмы. Лидирующие на рынке продукты или компании попадают в ловушку убывающей доходности. Цена крупных размеров в бизнесе - большой рыночной доли, крупной фабрики, широкого ассортимента - достигает своего пика, а затем идет на спад. Что ж, звучит вполне разумно.
Но классические экономисты пошли дальше. Они заявили, что рано или поздно предсказуемое равновесие цен и рыночной доли будет достигнуто и что честная конкуренция в сотрудничестве с законом убывающей доходности в конечном итоге приведут к невозможности получения сверхприбылей. Такая теория оправдывала государственное регулирование рынков - если прибыли очень высоки, это значит только одно: монополисты искусственно раздувают цены и препятствуют честной конкуренции.
