محدودیت های مشخص شده را بدون استفاده از قانون L'Hopital محاسبه کنید. محاسبه محدودیت عملکرد آنلاین

راه حل محدودیت های عملکرد آنلاین. مقدار محدود یک تابع یا دنباله تابعی را در یک نقطه پیدا کنید، محاسبه کنید نهاییمقدار تابع در بی نهایت تعیین همگرایی یک سری اعداد و خیلی بیشتر به لطف ما انجام می شود سرویس آنلاین- . ما به شما اجازه می‌دهیم محدودیت‌های عملکرد را به‌سرعت و با دقت آنلاین پیدا کنید. خودت واردش میکنی متغیر تابعو در حدی که تلاش می کند، سرویس ما تمامی محاسبات را برای شما انجام می دهد و پاسخی دقیق و ساده می دهد. و برای یافتن محدودیت آنلاینمی توانید هر دو سری اعداد و توابع تحلیلی، حاوی ثابت هایی در بیان تحت اللفظی است. در این حالت، حد یافت شده تابع شامل این ثابت ها به عنوان آرگومان های ثابت در عبارت خواهد بود. خدمات ما هر کدام را حل می کند وظایف پیچیدهبا پیدا کردن محدودیت های آنلاین، کافی است تابع و نقطه ای که باید محاسبه شود را مشخص کنید مقدار حد تابع. در حال محاسبه محدودیت های آنلاین، شما می توانید استفاده کنید روش های مختلفو قوانین حل آنها، ضمن بررسی نتیجه به دست آمده با حل محدودیت های آنلایندر سایت www.site ، که منجر به انجام موفقیت آمیز کار می شود - از اشتباهات و خطاهای اداری خود جلوگیری خواهید کرد. یا می توانید کاملاً به ما اعتماد کنید و از نتیجه ما در کار خود استفاده کنید، بدون صرف تلاش و زمان اضافی برای محاسبه مستقل حد تابع. ما به ورودی مقادیر حدی مانند بی نهایت اجازه می دهیم. شما باید یک اصطلاح مشترک وارد کنید دنباله اعدادو www.siteمقدار را محاسبه خواهد کرد محدود کردن آنلاینبه اضافه یا منهای بی نهایت.

یکی از مفاهیم اساسی آنالیز ریاضی است محدودیت عملکردو محدودیت توالیدر یک نقطه و در بی نهایت مهم است که بتوانید درست حل کنید محدودیت ها. با خدمات ما این کار دشواری نخواهد بود. تصمیمی گرفته می شود محدودیت های آنلایندر عرض چند ثانیه، پاسخ دقیق و کامل است. مطالعه آنالیز ریاضی با شروع می شود انتقال به حد, محدودیت هاتقریباً در تمام زمینه های ریاضیات عالی استفاده می شود، بنابراین داشتن یک سرور در دسترس برای آن مفید است راه حل های محدود آنلاین، که سایت است.

این ماشین حساب ریاضیآنلاین در صورت نیاز به شما کمک خواهد کرد حد یک تابع را محاسبه کنید. برنامه محدودیت های راه حلنه تنها پاسخ مشکل را می دهد، بلکه منجر می شود راه حل دقیق با توضیحات، یعنی روند محاسبه حد را نمایش می دهد.

این برنامه ممکن است برای دانش آموزان دبیرستانی مفید باشد مدارس متوسطهدر آماده سازی برای آزمون ها و امتحانات، هنگام آزمایش دانش قبل از آزمون دولتی واحد، برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید آن را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟ مشق شبدر ریاضیات یا جبر؟ در این صورت می توانید از برنامه های ما با راه حل های دقیق نیز استفاده کنید.

به این ترتیب شما می توانید آموزش و یا آموزش برادران یا خواهران کوچکتر خود را انجام دهید، در حالی که سطح تحصیلات در زمینه حل مشکلات افزایش می یابد.

یک عبارت تابع را وارد کنید

حد محاسبه کنید

مشخص شد که برخی از اسکریپت های لازم برای حل این مشکل بارگیری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
ممکن است AdBlock را فعال کرده باشید.
در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را Refresh کنید.

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای اینکه راه حل ظاهر شود، باید جاوا اسکریپت را فعال کنید.
در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.

زیرا افراد زیادی مایل به حل مشکل هستند، درخواست شما در صف قرار گرفته است.
پس از چند ثانیه راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا صبر کنید ثانیه...

اگر شما متوجه خطا در راه حل شد، سپس می توانید در این مورد در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکن مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید چه چیزی در فیلدها وارد کنید.

بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری

حد تابع در x->x 0

اجازه دهید تابع f(x) در مجموعه ای از X تعریف شود و اجازه دهید نقطه \(x_0 \در X\) یا \(x_0 \نه X\)

اجازه دهید از X دنباله ای از نقاط متفاوت از x 0 بگیریم:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
همگرا به x*. مقادیر تابع در نقاط این دنباله نیز یک دنباله عددی را تشکیل می دهند
f(x 1)، f(x 2)، f(x 3)، ...، f(x n)، ... (2)
و می توان بحث وجود حد آن را مطرح کرد.

تعریف. عدد A حد تابع f(x) در نقطه x = x 0 (یا در x -> x 0) نامیده می شود، اگر برای هر دنباله (1) از مقادیر آرگومان x با x 0 متفاوت باشد. با همگرا شدن به x 0، دنباله مربوطه (2) از تابع مقادیر به عدد A همگرا می شود.

$$ \lim_(x\to x_0)(f(x)) = یک $$

تابع f(x) فقط می تواند یک حد در نقطه x 0 داشته باشد. این نتیجه از این واقعیت است که دنباله
(f(xn)) فقط یک حد دارد.

تعریف دیگری از حد یک تابع وجود دارد.

تعریفعدد A حد تابع f(x) در نقطه x = x 0 نامیده می شود اگر برای هر عدد \(\varepsilon > 0\) یک عدد \(\delta > 0\) وجود داشته باشد به طوری که برای همه \( (x \در X, \; x \neq x_0 \)، با ارضای نابرابری \(|x-x_0| با استفاده از نمادهای منطقی، این تعریف را می توان به صورت نوشتاری
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \در X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| توجه داشته باشید که نابرابری‌های \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| تعریف اول مبتنی بر مفهوم حد یک دنباله اعداد است، بنابراین اغلب به آن تعریف "در زبان دنباله ها" می گویند. تعریف دوم را تعریف "در زبان" می نامند. \(\varepsilon - \delta \)".
این دو تعریف از حد یک تابع معادل هستند و بسته به اینکه کدام یک برای حل یک مشکل خاص راحت تر است، می توانید از هر یک از آنها استفاده کنید.

توجه داشته باشید که تعریف حد یک تابع "در زبان دنباله ها" را تعریف حد یک تابع از نظر هاینه و به تعریف حد یک تابع "در زبان \(\varepsilon - نیز می گویند. \delta \)” به تعریف حد یک تابع مطابق کوشی نیز گفته می شود.

حد تابع در x->x 0 - و در x->x 0 +

در ادامه از مفاهیم حدود یک طرفه یک تابع استفاده خواهیم کرد که به صورت زیر تعریف می شوند.

تعریفعدد A حد راست (چپ) تابع f(x) در نقطه x 0 نامیده می شود اگر برای هر دنباله (1) که به x 0 همگرا می شود، عناصر x n آن بزرگتر (کمتر از) x 0 هستند، دنباله مربوطه (2) به A همگرا می شود.

به طور نمادین اینگونه نوشته شده است:
$$ \lim_(x \تا x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \راست) $$

ما می توانیم یک تعریف معادل از محدودیت های یک طرفه یک تابع "در زبان \(\varepsilon - \delta\)" ارائه دهیم:

تعریفیک عدد A حد راست (چپ) تابع f(x) در نقطه x 0 نامیده می شود اگر برای هر \(\varepsilon > 0\) یک \(\delta > 0\) وجود داشته باشد به طوری که برای همه x وجود داشته باشد. ارضای نابرابری ها \(x_0 ورودی های نمادین:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

دسته ای از گنجشک ها را با چشمانی برآمده تصور کنید. نه، این رعد و برق نیست، طوفان یا حتی یک پسر بچه با تیرکمان در دستانش نیست. فقط این است که یک گلوله بزرگ و بزرگ توپ در ضخامت جوجه ها پرواز می کند. دقیقا قوانین L'Hopitalبا حدودی که در آن عدم قطعیت یا .

قوانین L'Hôpital یک روش بسیار قدرتمند است که به شما امکان می دهد تا به سرعت و به طور موثر این عدم قطعیت ها را از بین ببرید، تصادفی نیست که در مجموعه ای از مشکلات، در تست ها، در آزمایشات اغلب یک مهر ثابت وجود دارد: "حد را محاسبه کنید، بدون استفاده از قانون L'Hopital" شرط درشت می تواند باشد وجدان پاکبرای هر محدودیت درسی اعمال شود محدودیت ها. نمونه هایی از راه حل ها, محدودیت های شگفت انگیز. روش های حل حدود, معادل های قابل توجه، جایی که عدم قطعیت "صفر به صفر" یا "بی نهایت تا بی نهایت" رخ می دهد. حتی اگر کار به طور خلاصه فرموله شود - "محدودیت ها را محاسبه کنید"، به طور ضمنی درک می شود که شما از همه چیز استفاده خواهید کرد، اما نه از قوانین L'Hopital.

در مجموع دو قاعده وجود دارد که هم از نظر ماهیت و هم از نظر روش کاربرد بسیار شبیه به یکدیگر هستند. علاوه بر مثال های مستقیم در مورد موضوع، ما نیز مطالعه خواهیم کرد مواد اضافی، که در مطالعه بیشتر تحلیل ریاضی مفید خواهد بود.

من فوراً رزرو می کنم که قوانین به شکل "عملی" لاکونیک ارائه می شود و اگر مجبور به شرکت در آزمون تئوری هستید ، توصیه می کنم برای محاسبات دقیق تر به کتاب درسی مراجعه کنید.

اولین قانون L'Hopital

بیایید توابعی را در نظر بگیریم که بی نهایت کوچکاز برخی نقطه نظرات. اگر محدودیتی برای رابطه آنها وجود دارد، پس برای از بین بردن عدم اطمینان می توانیم اتخاذ کنیم دو مشتقات- از صورت و از مخرج. که در آن: ، به این معنا که .

توجه داشته باشید : حد نیز باید وجود داشته باشد وگرنه قاعده جاری نمی شود.

از مطالب فوق چه نتیجه ای حاصل می شود؟

ابتدا باید بتوانید پیدا کنید مشتقات توابعو هر چه بهتر بهتر =)

ثانیاً مشتقات به طور جداگانه از صورت و به طور جداگانه از مخرج گرفته می شوند. لطفا با قاعده افتراق ضرایب اشتباه نگیرید !!!

و ثالثاً، "X" می تواند به هرجایی گرایش داشته باشد، از جمله به بی نهایت - تا زمانی که عدم قطعیت وجود داشته باشد.

به مثال 5 مقاله اول برگردیم در مورد محدودیت ها، که نتیجه زیر را ایجاد کرد:

برای عدم قطعیت 0:0، قانون اول L'Hôpital را اعمال می کنیم:

همانطور که می بینید، تمایز صورت و مخرج ما را در نیم دور به جواب رساند: دو مشتق ساده پیدا کردیم، "دو" را در آنها جایگزین کردیم و معلوم شد که عدم قطعیت بدون هیچ ردی ناپدید شد!

این غیر معمول نیست که قوانین L'Hopital به طور متوالی دو یا چند بار اعمال شوند (این در مورد قانون دوم نیز صدق می کند). بیایید آن را برای یک عصر یکپارچهسازی با سیستمعامل درس 2 بیرون بیاوریم در مورد محدودیت های شگفت انگیز:

بر تخت تختخواب سفریدو شیرینی دوباره در حال خنک شدن هستند. بیایید قانون L'Hopital را اعمال کنیم:

لطفا توجه داشته باشید که در مرحله اول مخرج گرفته می شود مشتق یک تابع پیچیده. پس از این، تعدادی از ساده سازی های میانی را انجام می دهیم، به ویژه، از کسینوس خلاص می شویم، که نشان می دهد که تمایل به وحدت دارد. عدم قطعیت برطرف نشده است، بنابراین قانون L'Hopital را دوباره اعمال می کنیم (خط دوم).

من عمدا یک مثال نه چندان ساده را انتخاب کردم تا بتوانید کمی خودآزمایی انجام دهید. اگر کاملاً مشخص نیست که چگونه پیدا شده اند مشتقات، باید تکنیک تمایز خود را تقویت کنید، اگر ترفند کسینوس واضح نیست، لطفاً به آن بازگردید محدودیت های قابل توجه. نمیبینم معنی خاصدر نظرات گام به گام، زیرا قبلاً در مورد مشتقات و محدودیت ها با جزئیات کافی صحبت کرده ام. تازگی مقاله در خود قوانین و برخی راه حل های فنی نهفته است.

همانطور که قبلاً اشاره شد، در بیشتر موارد قوانین L'Hopital نیازی به استفاده ندارند، اما اغلب توصیه می شود برای بررسی دقیق یک راه حل استفاده شوند. اغلب، اما نه همیشه. بنابراین، به عنوان مثال، نمونه ای که به تازگی در نظر گرفته شده است بسیار سودآورتر است معادل های شگفت انگیز.

قانون دوم L'Hopital

برادر-2 با دو هشت خواب دعوا می کند. به همین ترتیب:

اگر محدودیت رابطه وجود داشته باشد بی نهایت بزرگدر نقطه تابع: ، سپس برای از بین بردن عدم قطعیت می توانیم بگیریم دو مشتق- به طور جداگانه از صورت و جدا از مخرج. که در آن: ، به این معنا که هنگام افتراق صورت و مخرج، مقدار حد تغییر نمی کند.

توجه داشته باشید : باید حدی وجود داشته باشد

باز هم در موارد مختلف نمونه های عملی ممکن است معنی متفاوت باشد، از جمله بی نهایت. مهم این است که عدم اطمینان وجود داشته باشد.

بیایید مثال شماره 3 درس اول را بررسی کنیم: . ما از قانون دوم L'Hopital استفاده می کنیم:

از آنجایی که ما در مورد غول ها صحبت می کنیم، اجازه دهید به دو محدودیت متعارف نگاه کنیم:

مثال 1

حد محاسبه کنید

دریافت پاسخ با استفاده از روش‌های «متعارف» آسان نیست، بنابراین برای آشکار کردن عدم قطعیت «بی‌نهایت تا بی‌نهایت» از قانون L’Hopital استفاده می‌کنیم:

بدین ترتیب، تابع خطیمرتبه رشد بالاتر از لگاریتمی با پایه بزرگتر از یک( و غیره.). البته "X" در توان های بالاتر نیز چنین لگاریتمی را "کشش" می کند. در واقع، عملکرد بسیار آهسته رشد می کند و رشد می کند برنامهنسبت به همان "X" صاف تر است.

مثال 2

حد محاسبه کنید

یک شات آشنا دیگر. برای از بین بردن عدم قطعیت، از قانون L'Hopital استفاده می کنیم، علاوه بر این، دو بار متوالی:

تابع نمایی، با پایه بزرگتر از یک( و غیره.) ترتیب رشد بالاتر از تابع توانبا درجه مثبت.

محدودیت های مشابهی در طول مطالعه عملکرد کامل، یعنی هنگام پیدا کردن مجانب نمودارها. آنها همچنین در برخی از وظایف قابل توجه هستند نظریه احتمال. به شما توصیه می کنم به دو مثال مورد بحث توجه کنید؛ این یکی از معدود مواردی است که هیچ چیز بهتر از تفکیک صورت و مخرج نیست.

علاوه بر این در متن، من بین قاعده اول و دوم L'Hôpital تمایز قائل نمی شوم؛ این فقط به منظور ساختار مقاله انجام شد. به طور کلی، از دیدگاه من، تعداد بیش از حد بدیهیات، قضایا، قواعد، خصوصیات ریاضی تا حدودی مضر است، زیرا عباراتی مانند "طبق نتیجه 3 قضیه 19 ..." فقط در چارچوب یک کتاب درسی خاص آموزنده است. . در منبع دیگری از اطلاعات، همان چیزی است که "نتیجه 2 و قضیه 3" خواهد بود. چنین اظهاراتی فقط برای خود نویسندگان رسمی و راحت است. در حالت ایده آل، بهتر است به اصل واقعیت ریاضی اشاره کنیم. استثنا عبارت‌های تاریخی است که به عنوان مثال، اولین حد فوق العادهیا دومین محدودیت فوق العاده.

ما به توسعه موضوعی ادامه می دهیم که توسط یکی از اعضای آکادمی علوم پاریس، مارکیز گیوم فرانسوا دو هوپیتال به ما پیشنهاد شده بود. این مقاله طعم عملی واضحی به خود می گیرد و در یک کار نسبتاً رایج لازم است:

برای گرم کردن، بیایید با چند گنجشک کوچک سر و کار داشته باشیم:

مثال 3

حد را می توان ابتدا با خلاص شدن از کسینوس ساده کرد، اما بیایید به شرط احترام بگذاریم و بلافاصله صورت و مخرج را متمایز کنیم:

هیچ چیز غیر استانداردی در فرآیند یافتن مشتقات وجود ندارد؛ به عنوان مثال، مخرج از معمول استفاده می کند. قانون تمایزآثار .

مثال در نظر گرفته شده از طریق حل می شود محدودیت های شگفت انگیز، مورد مشابهی در انتهای مقاله محدودیت های پیچیده مورد بحث قرار گرفته است.

مثال 4

حد را با استفاده از قانون L'Hopital محاسبه کنید

این یک مثال برای تصمیم مستقل. شوخی خوب =)

یک موقعیت معمولی زمانی است که پس از تمایز، کسرهای سه یا چهار طبقه به دست می آیند:

مثال 5

حد را با استفاده از قانون L'Hopital محاسبه کنید

التماس می کند که استفاده شود معادل قابل توجه، اما مسیر کاملاً توسط شرط از پیش تعیین شده است:

پس از تمایز، اکیداً توصیه می‌کنم از کسری چند طبقه خلاص شوید و حداکثر ساده‌سازی را انجام دهید.. البته دانش آموزانی که آمادگی بیشتری دارند ممکن است از این کار صرف نظر کنند آخرین مرحلهو بلافاصله بنویسید: ، اما حتی دانش آموزان ممتاز نیز در محدوده خاصی گیج می شوند.

مثال 6

حد را با استفاده از قانون L'Hopital محاسبه کنید

مثال 7

حد را با استفاده از قانون L'Hopital محاسبه کنید

اینها نمونه هایی هستند که می توانید خودتان تصمیم بگیرید. در مثال 7، لازم نیست چیزی را ساده کنید؛ کسر به دست آمده پس از تمایز بسیار ساده است. اما در مثال 8، پس از اعمال قانون L'Hopital، رهایی از ساختار سه طبقه بسیار مطلوب است، زیرا محاسبات راحت ترین نخواهد بود. راه حل کاملو پاسخ در پایان درس. اگر مشکلی دارید - جدول مثلثاتیبرای کمک به.

و زمانی که پس از تمایز، عدم قطعیت وجود داشته باشد، ساده سازی ها کاملا ضروری است حل نشده است.

مثال 8

حد را با استفاده از قانون L'Hopital محاسبه کنید

برو:

جالب است که عدم قطعیت اولیه پس از اولین تمایز به عدم قطعیت تبدیل شد و قانون L'Hôpital با آرامش بیشتر اعمال می شود. همچنین توجه کنید که چگونه پس از هر "رویکرد" کسری چهار طبقه حذف می شود و ثابت ها فراتر از علامت حد منتقل می شوند. در بیشتر مثال های سادهراحت‌تر است که ثابت‌ها را لحاظ نکنیم، اما وقتی حد پیچیده است، همه چیز، همه چیز، همه چیز را ساده می‌کنیم. موذی بودن مثال حل شده نیز در این است که وقتی و بنابراین، در هنگام حذف سینوس ها، تعجب آور نیست که در علائم سردرگم شوید. در خط ماقبل آخر، سینوس ها نمی توانستند کشته شوند، اما مثال بسیار سنگین، قابل بخشش است.

روز دیگر به یک کار جالب برخوردم:

مثال 9

راستش را بخواهید کمی شک کردم که این حد با چه حدی باشد. همانطور که در بالا نشان داده شد، "x" بیشتر است نظم بالاارتفاع نسبت به لگاریتم، اما آیا از لگاریتم مکعبی "بیشتر" خواهد بود؟ سعی کن خودت بفهمی کی برنده میشه

بله، قوانین L'Hopital فقط در مورد تیراندازی به گنجشک با توپ نیست، بلکه کار پرزحمت است ...

به منظور اعمال قوانین L'Hopital به نان شیرینی یا هشتی خسته، عدم قطعیت فرم کاهش می یابد.

برخورد با عدم قطعیت در مثال های شماره 9-13 درس به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است. روش های حل حدود. برای رسمیت، یکی دیگر را در نظر بگیریم:

مثال 10

حد یک تابع را با استفاده از قانون L'Hopital محاسبه کنید

در مرحله اول، عبارت را به کاهش می دهیم مخرج مشترک، در نتیجه عدم قطعیت را به عدم قطعیت تبدیل می کند. و سپس قانون L'Hopital را شارژ می کنیم:

در اینجا، اتفاقا، موردی است که دست زدن به بیان چهار طبقه بی معنی است.

عدم قطعیت همچنین در برابر تبدیل شدن به یا:

مثال 11

حد یک تابع را با استفاده از قانون L'Hopital محاسبه کنید

محدودیت در اینجا یک طرفه است و چنین محدودیت هایی قبلاً در دفترچه راهنما مورد بحث قرار گرفته است نمودارها و خواص توابع. همانطور که به یاد دارید، نمودار لگاریتم "کلاسیک" در سمت چپ محور وجود ندارد، بنابراین ما فقط می توانیم از سمت راست به صفر نزدیک شویم.

قوانین L'Hopital برای محدودیت های یک طرفه کار می کند، اما ابتدا باید با عدم قطعیت برخورد کرد. در مرحله اول، یک کسر سه طبقه را ایجاد می کنیم و عدم قطعیت به دست می آوریم، سپس راه حل از یک طرح الگو پیروی می کند:

پس از تمایز صورت و مخرج، از کسر چهار طبقه خلاص می‌شویم تا ساده‌سازی‌ها را انجام دهیم. در نتیجه، عدم اطمینان ظاهر شد. ما این ترفند را تکرار می کنیم: دوباره کسر را سه طبقه می کنیم و دوباره قانون L'Hopital را برای عدم قطعیت حاصل اعمال می کنیم:

آماده.

حد اولیهمی توان سعی کرد آن را به دو نان شیرینی تبدیل کرد:

اما اولاً مشتق در مخرج دشوارتر است و ثانیاً هیچ چیز خوبی از این کار حاصل نمی شود.

بدین ترتیب، قبل از حل مثال های مشابه، باید تجزیه و تحلیل کنید(به صورت شفاهی یا روی پیش نویس)، کدام عدم قطعیت برای کاهش به - به "صفر تا صفر" یا "بی نهایت تا بی نهایت" سودمندتر است.

به نوبه خود، دوستان نوشیدن و رفقای عجیب و غریب تر به آتش می پیوندند. روش تبدیل ساده و استاندارد است.

ما قبلاً شروع به درک محدودیت ها و راه حل آنها کرده ایم. بیایید به تعقیب داغ ادامه دهیم و دریابیم که چگونه محدودیت ها را حل کنیم طبق قانون L'Hopital. این قانون سادهمی تواند به شما کمک کند تا از تله های موذیانه و پیچیده ای که معلمان دوست دارند در نمونه هایی در آزمون های ریاضیات و حساب دیفرانسیل و انتگرال بالاتر استفاده کنند، خلاص شوید. راه حل با استفاده از قانون L'Hopital ساده و سریع است. نکته اصلی این است که بتوانیم متمایز کنیم.

قانون L'Hopital: تاریخچه و تعریف

در واقع، این دقیقاً قانون L'Hopital نیست، بلکه یک قانون است L'Hopital-Bernoulli. توسط یک ریاضیدان سوئیسی فرموله شده است یوهان برنولی، و فرانسوی Guillaume L'Hopitalاولین بار در کتاب درسی خود بی نهایت کوچک در شکوه منتشر شد 1696 سال آیا می توانید تصور کنید که چگونه مردم قبل از وقوع این اتفاق باید محدودیت ها را با آشکار شدن عدم قطعیت ها حل کنند؟ ما نیستیم.

قبل از شروع به تجزیه و تحلیل قانون L'Hopital، توصیه می کنیم مقاله مقدماتی در مورد و روش های حل آنها را مطالعه کنید. اغلب در وظایف یک فرمول وجود دارد: بدون استفاده از قانون L'Hopital حد را پیدا کنید. در مقاله ما در مورد تکنیک هایی که به شما در این امر کمک می کند بخوانید.

اگر با محدودیت کسری دو تابع سر و کار دارید، آماده باشید: به زودی با عدم قطعیت شکل 0/0 یا بی نهایت/بی نهایت مواجه خواهید شد. چه مفهومی داره؟ صورت و مخرج عبارت به سمت صفر یا بی نهایت تمایل دارند. با چنین محدودیتی چه باید کرد، در نگاه اول کاملاً نامشخص است. با این حال، اگر قانون L'Hopital را اعمال کنید و کمی فکر کنید، همه چیز سر جای خود قرار می گیرد.

اما اجازه دهید قانون L'Hopital-Bernoulli را فرموله کنیم. برای اینکه کاملاً دقیق باشیم، با یک قضیه بیان می شود. قانون L'Hopital، تعریف:

اگر دو تابع در همسایگی یک نقطه متمایز شوند x=a در این نقطه ناپدید می شوند، و محدودیتی در نسبت مشتقات این توابع وجود دارد، پس زمانی که ایکس تلاش برای آ محدودیتی در نسبت خود توابع وجود دارد که برابر با محدودیت نسبت مشتقات است.

بیایید فرمول را بنویسیم، و همه چیز بلافاصله ساده تر می شود. قانون L'Hopital، فرمول:

از آنجایی که ما به جنبه عملی موضوع علاقه مندیم، در اینجا اثبات این قضیه را ارائه نمی کنیم. یا باید حرف ما را قبول کنید، یا آن را در هر کتاب درسی تحلیل ریاضی پیدا کنید و مطمئن شوید که قضیه درست است.

راستی! برای خوانندگان ما اکنون 10٪ تخفیف در نظر گرفته شده است

افشای عدم قطعیت با استفاده از قانون L'Hopital

قانون L'Hopital می تواند به حل چه عدم قطعیت هایی کمک کند؟ قبلاً عمدتاً در مورد عدم قطعیت صحبت می کردیم 0/0 . با این حال، این به دور از تنها عدم قطعیتی است که می توان با آن مواجه شد. در اینجا انواع دیگری از عدم قطعیت وجود دارد:

بیایید تبدیل هایی را در نظر بگیریم که می توان از آنها برای رساندن این عدم قطعیت ها به شکل 0/0 یا بی نهایت/بی نهایت استفاده کرد. پس از تبدیل، می توانید قانون L'Hopital-Bernoulli را اعمال کنید و روی نمونه هایی مانند آجیل کلیک کنید.

عدم قطعیت گونه ای بی نهایت / بی نهایت به عدم قطعیت فرم می رسد 0/0 تبدیل ساده:

اجازه دهید یک حاصل از دو تابع وجود داشته باشد که یکی از آنها به صفر میل می کند و دومی به بی نهایت. یک تبدیل اعمال می کنیم و حاصل ضرب صفر و بی نهایت به عدم قطعیت تبدیل می شود 0/0 :

برای یافتن محدودیت هایی با عدم قطعیت هایی مانند بی نهایت منهای بی نهایت ما از تبدیل زیر که منجر به عدم قطعیت می شود استفاده می کنیم 0/0 :

برای استفاده از قانون L'Hopital، باید بتوانید مشتقات را بگیرید. در زیر جدول مشتقات آمده است توابع ابتدایی، که می توانید هنگام حل مثال ها و همچنین قوانینی برای محاسبه مشتقات توابع پیچیده استفاده کنید:

حال به سراغ مثال‌ها می‌رویم.

مثال 1

با استفاده از قانون L'Hopital حد را پیدا کنید:

مثال 2

با استفاده از قانون L'Hopital محاسبه کنید:

نکته مهم! اگر حد تابع مشتق دوم و پس از آن در وجود داشته باشد ایکس تلاش برای آ ، سپس قانون L'Hopital را می توان چندین بار اعمال کرد.

بیایید حد را پیدا کنیم ( n – عدد طبیعی). برای این کار، قانون L'Hopital را اعمال می کنیم n یک بار:

برای شما در تسلط بر تحلیل ریاضی آرزوی موفقیت داریم. و اگر باید حد را با استفاده از قانون L'Hopital پیدا کنید، یک مقاله با استفاده از قانون L'Hopital بنویسید، ریشه ها را محاسبه کنید. معادله دیفرانسیلیا حتی تانسور اینرسی یک جسم را محاسبه کنید، با نویسندگان ما تماس بگیرید. آنها خوشحال خواهند شد که به شما در درک پیچیدگی های راه حل کمک کنند.

دستورالعمل ها

محاسبه مستقیم حدود، اول از همه، با حدود منطقی Qm(x)/Rn(x) مرتبط است، که در آن Q و R چند جمله ای هستند. اگر حد به صورت x →a محاسبه شود (a یک عدد است)، برای مثال ممکن است عدم قطعیت ایجاد شود. برای حذف آن، صورت و مخرج را بر (x-a) تقسیم کنید. عملیات را تکرار کنید تا عدم قطعیت از بین برود. تقسيم چند جمله اي ها تقريباً به روش تقسيم اعداد انجام مي شود. بر این اساس است که تقسیم و ضرب عملیات معکوس هستند. یک مثال در شکل نشان داده شده است. 1.

اعمال اولین حد قابل توجه. فرمول اولین حد قابل توجه در شکل نشان داده شده است. 2a. برای استفاده از آن، عبارت مثال خود را به فرم مناسب تبدیل کنید. این همیشه می تواند صرفاً جبری یا با تغییر یک متغیر انجام شود. نکته اصلی این است که فراموش نکنید که اگر سینوس kx باشد، مخرج نیز kx است. یک مثال در شکل نشان داده شده است. 2e. علاوه بر این، اگر ما در نظر بگیریم که tgx=sinx/cosx، cos0=1، در نتیجه ظاهر می‌شود (شکل 2b را ببینید). arcsin(sinx)=x و arctg(tgx)=x. بنابراین، دو پیامد دیگر وجود دارد (شکل 2c. و 2d). طیف نسبتاً گسترده ای از روش ها پدیدار شده است.

استفاده از حد دوم قابل توجه است (نگاه کنید به شکل 3a). برای حل مسائل مربوطه، به سادگی شرط را به ساختاری متناسب با نوع حد تبدیل کنید. به یاد داشته باشید که هنگام بالا بردن یک عبارت به قدرتی که قبلاً در قدرتی است، آنها ضرب می شوند. مربوطه در شکل نشان داده شده است. 2f. جایگزینی α=1/х را اعمال کنید و نتیجه دومین حد قابل توجه را بدست آورید (شکل 2b). با گرفتن لگاریتم هر دو طرف این نتیجه به پایه a، به نتیجه دوم، در و برای a = e خواهید رسید (شکل 2c را ببینید). جایگزین را a^x-1=y کنید. سپس x=log(a)(1+y). همانطور که x به صفر میل می کند، y نیز به صفر میل می کند. بنابراین، یک پیامد سوم به وجود می آید (شکل 2d را ببینید).

کاربرد بی نهایت کوچک های معادل: اگر حد نسبت α(x)/γ(x) آنها برابر با یک باشد، توابع بی نهایت کوچک معادل x →a هستند. هنگام محاسبه حدود با استفاده از چنین بینهایت کوچکی، به سادگی γ(x)=α(x)+o(α(x)) بنویسید. o(α(x)) یک بی نهایت کوچک با مرتبه کوچکی بالاتر از α(x) است. برای آن lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. برای یافتن معادل، از همان فوق العاده استفاده کنید محدودیت ها. این روش به شما امکان می دهد تا فرآیند را به طور قابل توجهی ساده کنید و آن را شفاف تر کنید.

منابع:

• شیپاچف V.S. ریاضیات عالی کتاب درسی برای دانشگاه ها - چاپ سوم، پاک شد. - م.: بالاتر. مدرسه، 1996. - 496 ص: ill.

تابع یکی از مفاهیم اساسی ریاضی است. او حد- این مقداری است که آرگومان به o میل می کند حداین اندازه شما می توانید آن را با استفاده از برخی تکنیک ها محاسبه کنید، به عنوان مثال، قانون Bernoulli-L'Hopital.

دستورالعمل ها

برای محاسبه حد V نقطه داده شده x0، باید این مقدار آرگومان را با عبارت تابع زیر علامت lim جایگزین کنید. اصلاً لازم نیست که این متعلق به منطقه o باشد حدعملکرد تغییر می کند اگر حد O حدبرابر یک عدد تک رقمی است، سپس گفته می شود که تابع همگرا است. اگر او نمی تواند در مورد حد en یا بی نهایت در یک نقطه خاص، پس واگرایی وجود دارد.

راه حل: مقدار x = -2 را با عبارت:lim (x² – 6 x - 14)/(2 x² + 3 x - 6) = -1/2 جایگزین کنید.

راه حل همیشه چندان واضح و ساده نیست، به خصوص اگر بیان خیلی دست و پا گیر باشد. در این مورد، ابتدا باید کاهش، گروه بندی یا جایگزینی متغیر آن را ساده کنید: lim_(x→-8) (10 x - 1)/(2 x + ∛x) = [y= ∛x] = lim_(y→- 2) (10 y³ - 1)/(2 y³ + y) = 9/2.

اغلب موقعیت های غیرممکن حدلنیا حدو به خصوص اگر آرگومان به بی نهایت یا صفر تمایل داشته باشد. تعویض نتیجه مورد انتظار را به ارمغان نمی آورد و منجر به نئو می شود حدخواص فرم یا [∞/∞]. سپس L'Hopital-Bernoulli قابل استفاده است که شامل یافتن اولین مشتق است. مثلا محاسبه کنید حد lim (x² – 5 x -14)/(2 x²+ x - 6) در x→-2.

Solution.lim (x² – 5 x -14)/(2 x² + x - 6) = .

مشتق را پیدا کنید: lim (2 x - 5)/(4 x + 1) = 9/7.

lim (sinx/x) = 1 برای x → 0، برعکس نیز صادق است: lim (x/sinx) = 1; x → 0. آرگومان می تواند هر ساختاری باشد، نکته اصلی این است که مقدار آن به صفر میل می کند: lim (x³ – 5 x² + x)/sin(x³ – 5 x² + x) = 1. x → 0.

ویدیو در مورد موضوع

تئوری محدودیت هایک حوزه نسبتاً گسترده از تجزیه و تحلیل ریاضی است. این مفهوم برای یک تابع قابل استفاده است و ساختاری از سه عنصر است: نماد lim، عبارت زیر علامت حد و مقدار محدود آرگومان.

دستورالعمل ها

برای محاسبه حد، لازم است تابع در نقطه مربوط به مقدار حدی آرگومان برابر با چه مقدار باشد. در برخی موارد، راه‌حل نهایی ندارد و با جایگزینی مقداری که متغیر به آن تمایل دارد، شکل «صفر به صفر» یا «بی‌نهایت تا بی‌نهایت» را می‌دهد. در این مورد،، مشتق شده توسط برنولی و L'Hopital، اعمال می شود، که شامل گرفتن اولین مشتق است.

مانند هر تابع ریاضی، یک حد ممکن است در زیر علامت خود یک عبارت تابعی داشته باشد که برای جایگزینی ساده بسیار دست و پا گیر یا ناخوشایند باشد. سپس لازم است ابتدا آن را با استفاده از روش‌های معمول، گروه‌بندی، افزودن یک عامل مشترک و جایگزینی متغیر ساده کنیم که مقدار محدود کننده آرگومان را تغییر می‌دهد.

شما خوش شانس هستید، عبارت تابع برای مقدار حد معین آرگومان منطقی است. این ساده ترین موردمحاسبات محدود اکنون مسئله زیر را که شامل مفهوم مبهم بی‌نهایت است، حل کنید: lim_(x→∞) (5 - x).

قانون Bernoulli-L'Hopital:lim_(x→-2) (x^5 – 4 x³)/(x³ + 2 x²) = (-32 + 32)/(-8 + 8) = . عبارت تابع را متمایز کنید: lim (5 x^4 – 12 x²)/(3 x² + 4 x) = (5 16 – 12 4)/(3 4 - 8) = 8.

جایگزینی متغیر: lim_(x→125) (x + 2 ∛x)/(x + 5) = = lim_(y→5) (y³ + 2 y)/(y³ + 3) = (125 + 10)/( 125 + 5) = 27/26.

حرف یونانی π (pi, pi) معمولاً نشان دهنده نسبت محیط دایره به قطر آن است. این عددکه در ابتدا در آثار هندسه‌دانان باستانی ظاهر شد، بعدها معلوم شد که در بسیاری از شاخه‌های ریاضیات بسیار مهم است. این بدان معناست که شما باید بتوانید آن را محاسبه کنید.

دستورالعمل ها

π - غیر منطقی عدد. این است که نمی توان آن را به عنوان کسری با یک عدد صحیح و یک مخرج نشان داد. علاوه بر این، π ماورایی است عدد، یعنی نمی تواند به هیچ کدام خدمت کند معادله جبری. بدین ترتیب، ارزش دقیقاعداد π را نمی توان نوشت. با این حال، روش هایی وجود دارد که به شما امکان می دهد آن را با هر درجه دقت مورد نیاز محاسبه کنید.

باستانی‌ترین آنها که هندسه‌دانان یونان و مصر از آن استفاده کرده‌اند، می‌گویند که π تقریباً برابر است ریشه دوماز 10 یا کسری 256/81. اما این فرمول ها مقدار π برابر با 3.16 را می دهند و این به وضوح کافی نیست.

با توسعه حساب دیفرانسیلو دیگر رشته های جدید ریاضی در اختیار دانشمندان ظاهر شد ابزار جدید- سری پاور گوتفرید ویلهلم لایب نیتس در سال 1674 کشف کرد که این سری
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9... + (1/(2n+1)*(-1)^n
در حد برابر با π/4 همگرا می شود. محاسبه این مجموع ساده است، اما برای دستیابی به دقت کافی، مراحل زیادی نیاز است، زیرا این سری به کندی همگرا می شوند.

متعاقباً سری‌های توان دیگری کشف شد که محاسبه π را سریع‌تر از سری لایب‌نیتس ممکن می‌سازد. به عنوان مثال، مشخص است که tan(π/6) = 1/√3، بنابراین، arctan(1/√3) = π/6.
تابع متقاطع به گسترش می یابد سری پاور، و برای یک مقدار معین به این نتیجه می رسیم:
π = 2√3*(1 - (1/3)*(1/3) + (1/5)*(1/3)^2 - (1/7)*(1/3)^3… + 1/((2n + 1)*(-3)^n)…)
با استفاده از این فرمول و سایر فرمول های مشابه عددπ قبلاً با دقت میلیون ها رقم اعشار محاسبه شده است.

توجه داشته باشید

روش های زیادی برای محاسبه پی وجود دارد. ساده ترین و قابل فهم ترین آن است روش عددیمونت کارلو، که ماهیت آن به ساده ترین شمارش نقاط در مربع خلاصه می شود. دو برابر y=شعاع*شعاع-x*x; بازگشت y; ) برنامه مقادیر Pi را بسته به شعاع و تعداد نقاط نمایش می دهد. تنها چیزی که برای خواننده باقی می ماند این است که خودش آن را کامپایل کند و با پارامترهایی که می خواهد اجرا کند.

مشاوره مفید

اما دانشمندان خستگی‌ناپذیر به محاسبه ارقام اعشاری پی ادامه دادند، که در واقع یک کار بسیار بی‌اهمیت است، زیرا نمی‌توان آن را فقط در یک ستون محاسبه کرد: این عدد نه تنها غیرمنطقی، بلکه ماورایی است (اینها عبارتند از فقط اعدادی که محاسبه نمی شوند توسط معادلات ساده). دانشمندان دانشگاه توکیو موفق به ثبت رکورد جهانی در محاسبه عدد پی تا 12411 تریلیون رقم شدند.

منابع:

• تاریخچه پی

روش های ریاضیدر بسیاری از زمینه های علمی استفاده می شود. این عبارت به ویژه به حساب دیفرانسیل مربوط می شود. مثلاً اگر دومی را محاسبه کنید مشتقتابع فاصله از متغیر زمان، سپس می توانید شتاب نقطه ماده را پیدا کنید.

دستورالعمل ها

قوانین و روش های تمایز برای مشتقات مرتبه بالاتر حفظ می شود. این امر در مورد برخی از توابع ابتدایی، عملیات جمع و تقسیم، و همچنین توابع پیچیده به شکل u(g(x)) صدق می کند: u’ = C’ = 0 – مشتق از یک ثابت. u' = x' = 1 - ساده ترین آرگومان. u' = (x^a)' = a x^(a-1); u' = (a^x)' = a^x ln a - تابع نمایی;

عملیات حسابی یک جفت تابع u(x) و g(x): (u + g)’ = u’ + g’; (u g)’ = u’ g + g’ u; (u/g)’ = (u’ g – g’ u)/g².

دومی خیلی سخته مشتق تابع پیچیده. برای این، روش های تمایز عددی، اگرچه نتیجه تقریبی است، به اصطلاح خطای تقریبی وجود دارد α:u''(x) = (u(x + h) – 2 u(x) + u(x - h) )/h² + α (h²) - چند جمله ای درون یابی نیوتن؛ u''(x) = (-u(x + 2 ساعت) + 16 u(x + h) - 30 u(x) + 16 u(x - h ) – u(x – 2h))/(12h²) + α(h²) – استریلینگ.

این فرمول ها حاوی مقدار مشخصی h هستند. به آن تقریب گفته می شود که انتخاب آن باید بهینه باشد تا خطای محاسباتی به حداقل برسد. انتخاب مقدار صحیح h تنظیم گام به گام نامیده می شود: |u(x + h) – u(x)| > ε، جایی که ε بی نهایت کوچک است.

روش محاسبه مشتق دوم برای دیفرانسیل کل مرتبه دوم استفاده می شود. در این مورد، به صورت خصوصی برای هر آرگومان محاسبه می شود و در عبارت نهایی به صورت ضریب دیفرانسیل مربوطه dх، dy و غیره شرکت می کند: d² u = ∂u'/∂х d²х + ∂u'/∂ y d²у + ∂u' /∂z d²z.

مثال: دومی را پیدا کنید مشتقتوابع u = 2 x sin x – 7 x³ + x^5/tg x.

Solutionu' = 2 sin x + 2 x cos x – 21 x² + 5 x^4/tg x – x²/sin² x;u'' = 4 cos x – 2 x sin x – 42 x + 20 x³/tg x – 5 x^4/sin² x – 2 x/sin² x + 2 x² cos x/sin³ x.

برای مطالعه ماهیت رفتار از روش های حساب دیفرانسیل استفاده می شود کارکرد V تجزیه و تحلیل ریاضی. با این حال، این تنها حوزه کاربرد آنها نیست؛ اغلب لازم است که آن را پیدا کنید مشتقبرای محاسبه مقادیر حدیدر اقتصاد، سرعت یا شتاب را در فیزیک محاسبه کنید.