Формулировка уравнения клапейрона. Уравнение Менделеева-Клапейрона. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

Известно, что разреженные газы подчинены законам Бойля и Ге-Люссака. Закон Бойля гласит, что при изотермическом сжатии газа давление изменяется обратно пропорционально объему. Следовательно, при

Согласно закону Ге-Люссака нагревание газа на при постоянном давлении влечет за собой его расширение на того объема, который он занимает при и при том же неизменном давлении.

Следовательно, если есть объем, занимаемый газом при 0° С и при давлении есть объем, занимаемый этим газом при

и при том же давлении то

Будем изображать состояние газа точкой на диаграмме (координаты какой-либо точки в этой диаграмме указывают численные значения давления и объема или 1 моля газа; на рис. 184 нанесены линии, для каждой из которых это изотермы газа).

Представим себе, что газ был взят в некотором выбранном произвольно состоянии С, при котором его температура есть давление р и занятый им объем

Рис. 184 Изотермы газа по закону Бойля.

Рис. 185 Диаграмма поясняющая вывод уравнения Клапейрона из законов Бойля и Ге-Люссака.

Охладим его до не изменяя давления (рис. 185). На основании закона Ге-Люссака можно написать, что

Теперь, поддерживая температуру будем сжимать газ или, если требуется, предоставим ему возможность расширяться до тех пор, пока его давление не сделается равным одной физической атмосфере. Это давление обозначим через а объем, который в результате окажется занятым газом (при через (точка на рис. 185). На основании закона Бойля

Умножая почленно первое равенство на второе и сокращая на получим:

Это уравнение впервые было выведено Б. П. Клапейроном, выдающимся французским инженером, работавшим в России профессором Института путей сообщения с 1820 по 1830 г. Постоянную величину 27516 нбывают газовой постоянной.

По закону, открытому в 1811 г. итальянским ученым Авогадро, все газы независимо от их химической природы при одинаковом давлении занимают одинаковый объем, если они взяты в количествах, пропорциональных их молекулярному весу. Пользуясь в качестве единицы массы молем (или, что то же, грамм-молекулой, грамм-молем), закон Авогадро можно сформулировать так: при определенной температуре и определенном давлении моль любого газа будет занимать один и тот же объем. Так, например, при и при давлении -моль любого газа занимает

Законы Бойля, Ге-Люссака и Авогадро, найденные экспериментально, позже были выведены теоретически из молекулярно-кинетических представлений (Крёнигом в 1856 г., Клаузиусом в 1857 г. и Максвеллом в 1860 г.). С молекулярно-кинетической точки зрения закон Авогадро (который, подобно другим газовым законам, является точным для идеальных газов и приближенным для реальных) означает, что в равных объемах двух газов содержится одинаковое число молекул, если эти газы находятся при одинаковой температуре и одинаковом давлении.

Пусть есть масса (в граммах) атома кислорода, масса молекулы какого-либо вещества, молекулярный вес этого вещества: Очевидно, что число молекул, содержащихся в моле какого-либо вещества, равно:

т. е. моль любого вещества содержит одно и то же число молекул. Это число равно оно называется числом Авогадро.

Д. И. Менделеев в 1874 г. указал, что благодаря закону Авогадро уравнение Клапейрона, синтезирующее законы Бойля и Ге-Люссака, приобретает наибольшую общность, когда оно отнесено не к обычной весовой единице (грамм или килограмм), а к молю газов. Действительно, поскольку моль любого газа при занимает объем, равный численное значение газовой постоянной для всех газов, взятых в количестве 1 грамм-молекулы, должно быть одинаково независимо от их химической природы.

Газовую постоянную для 1 моля газа обычно обозначают буквой и называют универсальной газовой постоянной:

Если в объеме у (а значит, и содержится не 1 моль газа, а молей, то, очевидно,

Численное значение универсальной газовой постоянной зависит от того, в каких единицах измерены стоящие в левой части уравнения Клапейрона величины Например, если давление измерять в и объем в то отсюда

В табл. 3 (стр. 316) даны значения газовой постоянной, выраженной в различных часто применяемых единицах.

Когда газовая постоянная входит в формулу, все члены которой выражены в калорических единицах энергии, то и газовая постоянная должна быть выражена в калориях; приближенно, точнее

Вычисление универсальной газовой постоянной основано, как мы видели, на законе Авогадро, согласно которому все газы независимо от их химической природы занимают при объем

В действительности объем занимаемый 1 молем газа при нормальных условиях, для большинства газов не вполне точно равен (например, для кислорода и азота он немного меньше, для водорода - немного больше). Если это учесть при вычислении то обнаружится некоторое расхождение в численном значении для различных по химической природе газов. Так, для кислорода вместо получается для азота . Это несовпадение находится в связи с тем, что все вообще газы при обычной плотности не вполне точно следуют законам Бойля и Ге-Люссака.

В технических расчетах вместо измерения массы газа в молях обычно измеряют массу газа в килограммах. Пусть объем содержит газа. Коэффициент в уравнении Клапейрона означает число молей, содержащихся в объеме т. е. в данном случае

Каждый школьник, учащийся в десятом классе, на одном из уроков физики изучает закон Клапейрона-Менделеева, его формулу, формулировку, учится применению при решении задач. В технических университетах эта тема тоже входит в курс лекций и практических работ, причем в нескольких дисциплинах, а не только на физике. Закон Клапейрона-Менделеева активно используется в термодинамике при составлении уравнений состояния идеально газа.

Термодинамика, термодинамические состояния и процессы

Термодинамика представляет собой раздел физики, который посвящен изучению общих свойств тел и тепловых явлений в этих телах без учета их молекулярного строения. Давление, объем и температура являются основными величинами, учитывающимися при описании тепловых процессов в телах. Термодинамическим процессом называется изменение состояния системы, т. е. изменение ее основных величин (давление, объем, температура). В зависимости от того, происходят ли изменения основных величин, системы бывают равновесными и неравновесными. Процессы тепловые (термодинамические) можно так классифицировать. То есть если система переходит из одного равновесного состояния в другое, то такие процессы называются, соответственно, равновесными. Неравновесные процессы, в свою очередь, характеризуются переходами неравновесных состояний, то есть основные величины претерпевают изменения. Однако можно их (процессы) разделить на обратимые (возможен обратный переход через те же состояния) и необратимые. Все состояния системы можно описать определенными уравнениями. Для упрощения расчетов в термодинамике вводится такое понятие, как идеальный газ - некая абстракция, которая характеризуется отсутствием взаимодействия на расстоянии между молекулами, размерами которых можно пренебречь ввиду их малого размера. Основные газовые законы и уравнение Менделеева-Клапейрона тесно взаимосвязаны - все законы вытекают из уравнения. Они описывают изопроцессы в системах, то есть такие процессы, в результате которых один из основных параметров остается неизменным (изохорный процесс - не изменяется объем, изотермический - постоянна температура, изобарный - происходит изменение температуры и объема при постоянстве давления). Закон Клапейрона-Менделеева стоит разобрать подробнее.

Уравнение состояния идеального газа

Закон Клапейрона-Менделеева выражает зависимость между давлением, объемом, температурой, количеством вещества именно идеального газа. Можно так же выразить зависимость только между основными параметрами, то есть абсолютной температурой, молярным объемом и давлением. Суть не изменяется, так как молярный объем равен отношению объема к количеству вещества.

Закон Менделеева-Клапейрона: формула

Уравнение состояния идеального газа записывается в виде произведения давления на молярный объем, приравненного к произведению универсальной газовой постоянной и абсолютной температуры. Универсальная газовая постоянная - коэффициент пропорциональности, константа (неизменная величина), выражающая работу расширения моля в процессе увеличения значения температуры на 1 Кельвин в условиях изобарного процесса. Ее величина составляет (приблизительно) 8,314 Дж/(моль*К). Если выразить молярный объем, то получится уравнение вида: р*V=(m/М)*R*Т. Или можно привести к виду: р=nkT, где n - концентрация атомов, к - постоянная Больцмана (R/N А).

Решение задач

Закон Менделеева-Клапейрона, решение задач с его помощью значительно облегчают расчетную часть при проектировании оборудования. Закон при решении задач применяется в двух случаях: задано одно состояние газа и его масса и при неизвестности величины массы газа известен факт ее изменения. Необходимо учитывать, что в случае многокомпонентных систем (смеси газов) записывается уравнение состояния для каждого компонента, т. е. для каждого газа в отдельности. Для установления связи между давлением смеси и давлениями компонентов используется закон Дальтона. Также стоит помнить, что для каждого состояния газа описывается отдельным уравнением, далее решается уже полученная система уравнений. И, наконец, необходимо всегда помнить, что в случае уравнения состояния идеального газа температура является абсолютной величиной, ее значение обязательно берется в Кельвинах. Если в условиях задачи температура измеряется в градусах Цельсия или в каких-либо других, то необходимо произвести перевод в градусы Кельвина.

Оно выведено на основе объединенного закона Бойля-Мариотта и Гей-Люссака с применением закона Авогадро. Для одной грамм-молекулы любого вещества, находящегося в идеальном газовом состоянии, уравнение Менделеева-Клапейрона имеет выражение:

Или PV = RT (11) .

В том случае, если имеется не один, а n молей газа выражение принимает вид:

где R- универсальная газовая постоянная, не зависящая от природы газа.

Так как число грамм-молей газа , где m- масса газа, а М- его молекулярная масса, то выражение (12) принимает вид:

Числовое значение R зависит от единицы измерения дав­ления и объема. Величина ее выражается в единицах энергия/моль´град. Для нахождения числовых значений R используем уравнение (11), применив его для 1 моля идеального газа, находящегося в нормальных условиях,

Подставив в уравнение (11) числовые значения Р=1 атм, T= 273° и V = 22,4 л, получаем

В международной системе единиц СИ давление выра­жается в ньютонах на м 2 (н/м 2), а объем в м 3 . Тогда .

Пользуясь уравнением Менделеева-Клапейрона можно производить следующие расчеты: а) нахождение физи­ческих параметров состояния газа по его молекулярной массе и другим данным, б) нахождение молекулярной мас­сы газа по данным о его физическом состоянии (см. при­мер 22).

Пример 11. Сколько весит азот, находящийся в газгольдере диаметром 3,6 м и высотой 25 м при темпе­ратуре 25ºС и давлении 747 мм рт. ст.?

IIример 12. В колбе емкостью 500 мл при 25ºС находится 0,615 г оксида азота (II). Каково давление газа в атмосферах, в н/м 2 ?

Пример 13. Масса колбы емкостью 750 см 3 , на­полненной кислородом при 27°С, равна 83,35 г. Масса пустой колбы 82,11 г. Определить давление кислорода и мм рт.ст. на стенки колбы.

Закон Дальтона

Сформулирован этот закон так: общее давление смесей газов, не реагирующих друг с другом, равно сумме пар­циальных давлении составных частей (компонентов).

P = p 1 + p 2 + p 3 + ….. + p n (14)

где Р - общее давление смеси газов; p 1 , p 2 , p 3 , …., p n – парциальные давления компонентов смеси.

Парциальным давлением называется давление, оказы­ваемое каждым компонентом газовой смеси, если предста­вить этот компонент занимающим объем, равный объему смеси при той же температуре. Иными словами, парциаль­ным давлением называется та часть общего давления га­зовой смеси, которая обусловлена данным газом.

Из закона Дальтона следует, что при наличии смеси газов п в уравнении (12) представляет собой сумму числа молей всех компонентов, образующих данную смесь, а Р- общее давление смеси, занимающей при температу­ре Т объем V.

Зависимость между парциальными давлениями и общим выражается уравнениями:

где n 1 , n 2 , n 3 - число молей компонента 1, 2, 3, соответ­ственно, в смеси газов.

Отношения называются мольными долями данного компонента.

Если мольную долю обозначить через N, то парциальное давление любого i-го компонента смеси (где i = 1,2,3,...) будет равно:

Таким образом, парциальное давление каждого компо­нента смеси равно произведению его мольной доли па общее давление газовой смеси.

Помимо парциального давления у газовых смесей раз­личают парциальный объем каждого из газов v 1 , v 2 , v 3 и т. д.

Парциальным называют объем, который занимал бы отдельный идеальный газ, входящий в состав идеальной смеси газов, если бы при том же количестве, он имел давление и температуру смеси.

Сумма парциальных объемов всех компонентов газовой смеси равна общему объему смеси

V = v 1 , + v 2 + v 3 + ... + v n (16) .

Отношение и т. д. называется объемной долей первого, второго и т.д. компонентов газовой смеси. Для идеальных газов мольная доля равна объемной доле. Следовательно, парциальное давление каждого ком­понента смеси равно также произведению его объемной доли на общее давление смеси.

; ; p i = r i ´P (17).

Парциальное давление обычно находят из величины общего давления с учетом состава газовой смеси. Состав газовой смеси выражают в весовых процентах, объемных процентах и в мольных процентах.

Объемным процентом называется объемная доля, уве­личенная в 100 раз (число единиц объема данного газа, содержащегося в 100 единицах объема смеси)

Мольным процентом q называется мольная доля, уве­личенная в 100 раз.

Весовой процент данного газа - число единиц массы его, содержащихся в 100 единицах массы газовой смеси.

где m 1 , m 2 – массы отдельных компонентой газовой смеси; m – общая масса смеси.

Для перехода от объемных процентов к весовым, что бывает необходимым в практических расчетах, пользуют­ся формулой:

где r i (%) - объемное процентное содержание i-гo компонен­та газовой смеси; M i -молекулярная масса этого газа; М ср - средняя молекулярная масса смеси газов, которую вычисляют по формуле

М ср = М 1 ´r 1 + M 2 ´r 2 + M 3 ´r 3 + ….. + M i ´r i (19)

где М 1 , M 2 , M 3 , M i - молекулярные мaccы отдельных газов.

Если состав газовой смеси выражен количеством масс отдельных компонентов, то среднюю молекулярную массу смеси можно выразить по формуле

где G 1 , G 2 , G 3 , G i – доли масс газов в смеси: ; ; и т.д.

Пример 14. 5 л азота под давлением 2 атм, 2 л кислорода под давлением 2,5 атм и 3 л углекислою газа под давлением 5 атм перемешаны, причем объем, пре­доставленный смеси, равен 15 л. Вычислить, под каким давлением находятся смесь и парциальные давления каж­дого газа.

Азот, занимавший объем 5 л при давлении Р 1 = 2 атм, после смешения с другими газами распространился в объе­ме V 2 = 15 л. Парциальное давление азота р N 2 = Р 2 нахо­дим из закона Бойля-Мариотта (P 1 V 1 = P 2 V 2). Откуда

Парциальное давления кислорода и углекислого газа на­ходим аналогичным способом:

Общее давление смеси равно .

Пример 15. Смесь, состоящая из 2 молей водоро­да, некоторого количества молей кислорода и 1 моля азота при 20°С и давлении 4 атм, занимает объем 40 литров. Вычислить число молей кислорода в смеси и парциальные давления каждого из газов.

Из уравнения (12) Менделеева-Клапейрона находим общее число молей всех газов, составляющих смесь

Число молей кислорода в смеси равно

Парциальные давления каждого из газов вычисляем по уравнениям (15а):

Пример 17. Состав паров бензольных углеводоро­дов над поглотительным маслом в бензольных скрубберах, выраженный в единицах массы, характеризуется такими величинами: бензола C 6 H 6 - 73%, толуола С 6 Н 5 СН 3 - 21%, ксилола С 6 Н 4 (СН 3) 2 - 4%, триметилбензола С 6 Н 3 (СН 3) 3 - 2%. Вычислить содержание каждой составной части по объе­му и парциальные давления паров каждого вещества, если общее давление смеси равно 200 мм рт. ст.

Для вычисления содержания каждой составной части смеси паров по объему используем формулу (18)

Следовательно, необходимо знать М ср, которую можно вычислить из формулы (20):

Парциальные давления каждого компонента в смеси вычисляем, используя уравнение (17)

p бензола = 0,7678´200 = 153,56 мм рт.ст. ; p толуола = 0,1875´200 = 37,50 мм рт.ст. ;

p ксилола = 0,0310´200 = 6,20 мм рт.ст. ; p триметилбензола = 0,0137´200 = 2,74 мм рт.ст.

Похожая информация.

Это уравнение справедливо для всех газов в любых количествах и для всех значений P, V и T, при которых газы можно считать идеальными

где R – универсальная газовая постоянная;

R=8,314 Дж / моль к =0,0821 л а.е.м./ моль к

Состав газовых смесей выражают при помощи объёмной доли – отношении объёма данного компонента к общему объёму смеси

,

где -объёмная доля компонента X, V(x) – объём компонента X; V – объём системы.

Объёмная доля – безразмерная величина, её выражают в долях от единицы или в процентах.

IV. Примеры решения задач.

Задача 1 . Какой объём занимают 0,2 моль любого газа при н.у.?

Решение: Количество вещества определяется по формуле:

Задача 2 . Какой объём при н.у. занимает 11г. углекислого газа?

Решение: Количество вещества определяется

Задача 3 . Рассчитайте относительную плотность хлороводорода по азоту, по водороду, по воздуху.

Решение: Относительная плотность определятся по формуле:

;
;

Задача 4 .Вычисление молекулярной массы газа по заданному объёму.

Масса 327 мл газа при 13 0 С и давлении 1,04*10 5 Па равна 828 г.

Вычислить молекулярную массу газа.

Решение: Вычислить молекулярную массу газа можно, используя уравнение Менделеева-Клапейрона:

Величина газовой постоянной определяется принятыми единицами измерения. Если давление измеряется в Па, а объём в м 3 , то .

Задача 5 . Вычисление абсолютной массы в молекуле вещества.

1. Определите массу молекулы газа, если масса 1 л газа при н.у. равна 1,785г.

Решение: Исходя из молекулярного объёма газа определяем массу моля газа

где m – масса газа;

M – молярная масса газа;

Vm – молярный объём, 22,4л/моль;

V – объём газа.

2. Число молекул в моле любого вещества равно постоянной Авогадро (
). Следовательно, число молекулm равна:

Задача 6 . Сколько молекул содержится в 1 мл водорода при н.у.?

Решение: Согласно закону Авогадро 1 моль газа при н.у. занимает объём 22,4 л, 1 моль газа содержит
(моль -1) молекул.

в22,4 л содержится 6,02*10 23 молекул

в 1 мл водорода содержится X молекул

Ответ:

Задача 7 . Вывод формул.

I. Органическое вещество содержит углерод (массовая доля 84,21%) и водород (15,79%). Плотность паров вещества по воздуху составляет 3,93.

Определить формулу вещества.

Решение: Представляем формулу вещества в виде CxHy.

1. Рассчитаем молярную массу углеводорода, используя плотность по воздуху.

2. Определяем количество вещества углерода и водорода

II. Определить формулу вещества. При содержании 145 г его, получено 330 г CO 2 и 135 г H 2 O. Относительная плотность пара этого вещества по водороду равна 29.

1. Определяем массу неизвестного вещества:

2. Определяем массу водорода:

2.1.

2.2. Определяем массу углерода:

2.3. Определяем, есть ли третий элемент – кислород.

Т.о. m(O) = 40г

Чтобы выразить полученное уравнение целыми числами (т.к. это количество атомов в молекуле) разделим все его числа на меньшее из них

Тогда простейшая формула неизвестного вещества C 3 H 6 O.

2.5. → простейшая формула и есть искомое неизвестное вещество.

Ответ: C 3 H 5 O

Задача 8 : (Решить самостоятельно)

Соединение содержит 46,15% углерода, остальное азот. Плотность по воздуху равна 1,79.

Найти истинную формулу соединения.

Задача 9 : (решить самостоятельно)

Одинаковое ли число молекул

а) в 0,5 г азота и 0,5 г метана

б) в 0,5 л азота и 0,5 л метана

в) в смесях 1,1 г CO 2 и 2,4 г озона и 1,32 г CO 2 и 2,16 г озона

Задача 10 : Относительная плотность галогеноводорода по воздуху 2,8. Определить плотность этого газа по воздуху и назовите его.

Решение: согласно закону газового состояния
, т.е. отношение молярной массы галогеноводорода (M (HX)) к молярной массе воздуха (M ВОЗД) равно 2,8 →

Тогда молярная масса галогена:

→ X – это Br, а газ – бромоводород.

Относительная плотность бромоводорода по водороду:

Ответ: 40,5, бромоводород.

Как уже указывалось, состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением р ,объемом V и температурой Т. Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравнением состояния, которое в общем виде дается выражением: Рис.7.4.

F (p , V , T )=0,

где каждая из переменных является функцией двух других.

Французский физик и инженер Б. Клапейрон вывел уравнение состояния идеального газа, объединив законы Бойля - Мариотта и Гей-Люссака. Пусть некоторая масса газа занимает объем V 1 , имеет давление р 1 и находится при температуре T 1 . Эта же масса газа в другом произвольном состоянии характеризуется параметрами р 2 , V 2 , Т 2 (рис.7.4).

Переход из состояния 1 в состояние 2осуществляется в виде двух процессов: 1) изотермического (изотерма 1 – 1 /), 2) изохорного (изохора 1 / – 2).

В соответствии с законами Бойля- Мариотта (7.1) и Гей-Люссака (7.5) запишем:

р 1 V 1 =p / 1 V 2 , (7.6)

. (7.7)

Исключив из уравнений (7.6) и (7.7) p / 1 получим:

.

Так как состояния 1 и 2были выбраны произвольно, то для данной массы газа величина pV/T остается постоянной, т. е.

pV/T = В = const. (7.8)

Выражение (7.8) является уравнением Клапейрона , в котором В - газовая постоянная, различная для разных газов.

Д. И. Менделеев объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (7.8) к одному молю, использовав молярный объем V m . Согласно закону Авогадро, при одинаковых p и Τ моли всех газов занимают одинаковый молярный объем V m ,поэтому постоянная В будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называется молярной газовой постоянной . Уравнению

pV m = RT (7.9)

удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа , называемым также уравнением Клапейрона - Менделеева .

Числовое значение молярной газовой постоянной определим из формулы (7.9), полагая, что моль газа находится при нормальных условиях (р 0 = 1,013×10 5 Па, T 0 =273,15 К, V m =22,41×10 -3 м 3 /моль): R =8,31 Дж/(моль К).

От уравнения (7.9) для моля газа можно перейти к уравнению Клапейрона - Менделеева для произвольной массы газа. Если при некоторых заданных p и T один моль газа занимает молярный объем V m , то масса т газа займет объем V= (m/М ) V m ,где Μ – молярная масса (масса одного моля вещества). Единица молярной массы – килограмм на моль (кг/моль). Уравнение Клапейрона - Менделеева для массы т газа

pV = RT = vRT ,(7.10)

где: v=m/M - количество вещества.

Часто пользуются несколько иной формой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана

k=R/N A = 1,38∙10 -23 Дж/К.

Исходя из этого, уравнение состояния (2.4) запишем в виде

p= RT/V m = kN A T/V m = nkT ,

где N A /V m =n - концентрация молекул (число молекул в единице объема). Таким образом, из уравнения

p=nkT (7.11)

следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число молекул, содержащихся в 1м 3 газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта:

N l = р 0 / (kТ 0)= 2,68∙10 25 м -3 .