Figures géométriques volumétriques et leurs noms : boule, cube, pyramide, prisme, tétraèdre. Formes géométriques pour enfants Forme géométrique avec beaucoup de lignes complexes

Dans cette leçon, vous apprendrez ce que sont les formes géométriques. Nous parlerons des figures représentées sur un avion et de leurs propriétés. Vous découvrirez les formes les plus simples de formes géométriques telles que les points et les lignes. Considérez comment se forment un segment et un rayon. Apprenez la définition et les différents types d'angles. La forme suivante dont la définition et les propriétés sont abordées dans cette leçon est un cercle. Ce qui suit traite de la définition du triangle et du polygone et de leurs variétés.

Riz. 10. Cercle et circonférence

Réfléchissez aux points qui appartiennent à un cercle et à quels cercles (voir Fig. 11).

Riz. 11. Disposition mutuelle des points et du cercle, des points et du cercle

Bonne réponse : points et appartiennent au cercle, et seulement points et appartiennent au cercle.

Un point est le centre d'un cercle ou d'un cercle. Les segments sont les rayons d'un cercle ou d'un cercle, c'est-à-dire des segments qui relient le centre et tout point situé sur le cercle. Un segment est le diamètre d'un cercle ou d'un cercle, c'est-à-dire qu'il s'agit d'un segment reliant deux points situés sur le cercle et passant par le centre. Le rayon est la moitié du diamètre (voir Fig. 12).

Riz. 12. Rayon et diamètre

Rappelons maintenant quel type de figure s'appelle un triangle. Un triangle est une figure géométrique composée de trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite et de trois segments reliant ces points deux à deux. Un triangle a trois angles.

Considérons un triangle (voir Fig. 13).

Riz. 13. Triangles

Il a trois angles : coin, coin et angle. Les points , , sont appelés les sommets du triangle. Trois segments - segment , , - sont les côtés du triangle.

Répétons quels types de triangles on distingue (voir Fig. 14).

Riz. 14. Types de triangles

En fonction des types d'angles, les triangles peuvent être divisés en aigus, rectangulaires et obtus. Dans un triangle, tous les angles sont aigus ; un tel triangle est appelé aigu. Un triangle a un angle droit, un tel triangle est appelé triangle rectangle. Un triangle a un angle obtus, un tel rectangle est appelé triangle obtus.

Les triangles se distinguent selon que les longueurs des côtés sont égales ou non :

Scalene - ces triangles ont des longueurs différentes de tous les côtés ;

Équilatéral - ces triangles ont des longueurs égales de tous les côtés ;

Isocèle - leurs deux côtés ont la même longueur. Deux côtés de même longueur sont appelés côtés latéraux du triangle et le troisième côté est la base du triangle (voir Fig. 15).

Riz. 15. Types de triangles

Quelles formes sont appelées polygones ? Si vous connectez séquentiellement plusieurs points de manière à ce que leur connexion donne une ligne brisée fermée, alors une image d'un polygone, d'un quadrangle, d'un pentagone ou d'un hexagone, etc. est créée.

Les polygones sont nommés par le nombre d'angles. Chaque polygone a autant de sommets et de côtés qu'il y a d'angles (voir Fig. 16).

Riz. 16. Polygones

Toutes les figures représentées (voir Fig. 17) sont appelées quadrilatères. Pourquoi?

Riz. 17. Quadrilatères

Vous avez probablement remarqué que toutes les figures ont quatre coins, mais elles peuvent toutes être divisées en deux groupes. Comment feriez-vous?

Vous avez probablement séparé les quadrilatères dans lesquels tous les angles sont droits en un groupe distinct, et ces quadrilatères étaient appelés quadrilatères rectangulaires. Les côtés opposés des rectangles sont égaux (voir Fig. 18).

Riz. 18. Quadrilatères rectangulaires

Dans un rectangle et sont des côtés opposés, et ils sont égaux, et sont également des côtés opposés, et ils sont égaux (voir Fig. 19).

Figure géométrique- un ensemble de points sur une surface (souvent sur un plan) qui forme un nombre fini de lignes.

Les principales figures géométriques du plan sont point Et droit doubler. Un segment, un rayon, une ligne brisée sont les formes géométriques les plus simples sur un plan.

Point- la plus petite figure géométrique qui sert de base aux autres figures d'une image ou d'un dessin.

Chacun est plus complexe figure géométrique il existe de nombreux points qui ont une certaine propriété qui n'est caractéristique que de cette figure.

Ligne droite, ou droit - il s'agit d'un ensemble infini de points situés sur la 1ère ligne, qui n'a ni début ni fin. Sur une feuille de papier, on ne voit qu'une partie d'une ligne droite, car... il n'y a pas de limite.

La ligne droite est représentée ainsi :

Une partie d'une droite délimitée des deux côtés par des points est appelée segment droit ou segmenté. Il est représenté ainsi :

Rayon est une demi-ligne dirigée qui a un point de départ et n'a pas de fin. La poutre est représentée comme ceci :

Si vous placez un point sur une ligne droite, ce point divisera la ligne droite en 2 rayons dirigés de manière opposée. Ces rayons sont appelés supplémentaire.

ligne brisée- plusieurs segments qui sont reliés entre eux de telle sorte que la fin du 1er segment s'avère être le début du 2ème segment, et la fin du 2ème segment est le début du 3ème segment, et ainsi de suite, avec les voisins (qui ont 1 chose en commun) point) les segments sont situés sur des droites différentes. Lorsque la fin du dernier segment ne coïncide pas avec le début du 1er, alors cette ligne brisée sera appelée ouvrir:

Lorsque la fin du dernier segment d'une ligne brisée coïncide avec le début du 1er, cela signifie que cette ligne brisée sera fermé. Un exemple de polyligne fermée est n'importe quel polygone :

Ligne brisée fermée à quatre maillons - quadrilatère (rectangle) :

Ligne brisée fermée à trois maillons -

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Introduction

La géométrie est l'une des composantes les plus importantes de l'enseignement mathématique, nécessaire à l'acquisition de connaissances spécifiques sur l'espace et de compétences pratiquement significatives, à la formation d'un langage pour décrire les objets du monde environnant, au développement de l'imagination et de l'intuition spatiales, de la culture mathématique. , ainsi que pour l'éducation esthétique. L'étude de la géométrie contribue au développement de la pensée logique et à la formation de compétences de preuve.

Le cours de géométrie de 7e systématise les connaissances sur les figures géométriques les plus simples et leurs propriétés ; la notion d'égalité des chiffres est introduite ; la capacité de prouver l'égalité des triangles à l'aide des signes étudiés est développée ; une classe de problèmes impliquant la construction à l'aide d'un compas et d'une règle est introduite ; l'un des concepts les plus importants est introduit - le concept de lignes parallèles ; de nouvelles propriétés intéressantes et importantes des triangles sont prises en compte ; l'un des théorèmes les plus importants en géométrie est considéré - le théorème sur la somme des angles d'un triangle, qui permet de classer les triangles par angles (aigus, rectangulaires, obtus).

Pendant les cours, notamment lors du passage d'une partie du cours à une autre, du changement d'activité, se pose la question du maintien de l'intérêt pour les cours. Ainsi, pertinent La question se pose de l'utilisation de tâches dans les cours de géométrie qui impliquent la condition d'une situation problématique et des éléments de créativité. Ainsi, but Cette étude consiste à systématiser des tâches à contenu géométrique avec des éléments de créativité et des situations problématiques.

Objet d'étude: Tâches de géométrie avec des éléments de créativité, de divertissement et de situations problématiques.

Objectifs de recherche: Analyser les tâches de géométrie existantes visant à développer la logique, l'imagination et la pensée créative. Montrez comment vous pouvez développer votre intérêt pour un sujet en utilisant des techniques divertissantes.

Importance théorique et pratique de la recherche est que le matériel collecté peut être utilisé dans le cadre de cours supplémentaires de géométrie, notamment lors d'Olympiades et de concours de géométrie.

Portée et structure de l'étude :

L'étude se compose d'une introduction, de deux chapitres, d'une conclusion, d'une bibliographie, contient 14 pages de texte principal dactylographié, 1 tableau, 10 figures.

Chapitre 1. FIGURES GÉOMÉTRIQUES PLATES. CONCEPTS DE BASE ET DÉFINITIONS

1.1. Figures géométriques de base dans l'architecture des bâtiments et des structures

Dans le monde qui nous entoure, il existe de nombreux objets matériels de formes et de tailles différentes : bâtiments résidentiels, pièces de machines, livres, bijoux, jouets, etc.

En géométrie, au lieu du mot objet, on dit figure géométrique, tout en divisant les figures géométriques en figures plates et spatiales. Dans ce travail, nous considérerons l'une des sections les plus intéressantes de la géométrie - la planimétrie, dans laquelle seules les figures planes sont prises en compte. Planimétrie(du latin planum - "plan", grec ancien μετρεω - "mesure") - une section de la géométrie euclidienne qui étudie les figures bidimensionnelles (à un seul plan), c'est-à-dire les figures qui peuvent être situées dans le même plan. Une figure géométrique plate est une figure dans laquelle tous les points se trouvent sur le même plan. Tout dessin réalisé sur une feuille de papier donne une idée d'une telle figure.

Mais avant d'envisager des figures plates, il est nécessaire de se familiariser avec des figures simples mais très importantes, sans lesquelles les figures plates ne peuvent tout simplement pas exister.

La figure géométrique la plus simple est point. C'est l'une des principales figures de la géométrie. Il est très petit, mais il est toujours utilisé pour construire diverses formes sur un plan. Le point est la figure principale d'absolument toutes les constructions, même les plus complexes. D'un point de vue mathématique, un point est un objet spatial abstrait qui ne possède pas de caractéristiques telles que l'aire ou le volume, mais qui reste en même temps un concept fondamental en géométrie.

Droit- l'un des concepts fondamentaux de la géométrie. Dans une présentation systématique de la géométrie, une ligne droite est généralement considérée comme l'un des concepts initiaux, qui n'est qu'indirectement déterminé par les axiomes de la géométrie (euclidienne). Si la base de la construction de la géométrie est le concept de distance entre deux points dans l'espace, alors une ligne droite peut être définie comme une ligne le long de laquelle le chemin est égal à la distance entre deux points.

Les lignes droites dans l’espace peuvent occuper différentes positions ; considérons-en quelques-unes et donnons des exemples trouvés dans l’apparence architecturale des bâtiments et des structures (Tableau 1) :

Tableau 1

Lignes parallèles	Propriétés des lignes parallèles
	Si les droites sont parallèles, alors leurs projections du même nom sont parallèles :	Essentuki, bâtiment des bains de boue (photo de l'auteur)
Lignes d'intersection	Propriétés des lignes qui se croisent	Exemples dans l'architecture des bâtiments et des structures
	Les lignes qui se croisent ont un point commun, c'est-à-dire que les points d'intersection de leurs projections du même nom se trouvent sur une ligne de connexion commune :	Bâtiments « de montagne » à Taiwan https://www.sro-ps.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane
Les lignes des passages piétons	Propriétés des lignes obliques	Exemples dans l'architecture des bâtiments et des structures
	Les lignes droites qui ne se trouvent pas dans le même plan et ne sont pas parallèles les unes aux autres se coupent. Aucune n’est une ligne de communication commune. Si les lignes sécantes et parallèles se trouvent dans le même plan, alors les lignes sécantes se trouvent dans deux plans parallèles.	Robert, Hubert - Villa Madame près de Rome https://gallerix.ru/album/Hermitage-10/pic/glrx-172894287

1.2. Formes géométriques plates. Propriétés et définitions

En observant les formes des plantes et des animaux, les montagnes et les méandres des rivières, les caractéristiques du paysage et les planètes lointaines, l'homme a emprunté à la nature ses formes, tailles et propriétés correctes. Les besoins matériels ont incité les gens à construire des maisons, à fabriquer des outils pour le travail et la chasse, à sculpter des plats en argile, etc. Tout cela a progressivement contribué au fait que l'homme est parvenu à comprendre les concepts géométriques de base.

Quadrilatères :

Parallélogramme(grec ancien παραλληλόγραμμον de παράλληλος - parallèle et γραμμή - ligne, ligne) est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux, c'est-à-dire qu'ils se trouvent sur des lignes parallèles.

Signes d'un parallélogramme :

Un quadrilatère est un parallélogramme si l'une des conditions suivantes est remplie : 1. Si dans un quadrilatère les côtés opposés sont deux à deux égaux, alors le quadrilatère est un parallélogramme. 2. Si dans un quadrilatère les diagonales se coupent et sont divisées en deux par le point d'intersection, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. 3. Si deux côtés d'un quadrilatère sont égaux et parallèles, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Un parallélogramme dont les angles sont tous droits s’appelle rectangle.

Un parallélogramme dont tous les côtés sont égaux s’appelle diamant

Trapèze— C’est un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles et les deux autres côtés ne sont pas parallèles. De plus, un trapèze est un quadrilatère dans lequel une paire de côtés opposés est parallèle et les côtés ne sont pas égaux les uns aux autres.

Triangle est la figure géométrique la plus simple formée de trois segments qui relient trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite. Ces trois points sont appelés sommets Triangle, et les segments sont des côtés Triangle. C’est précisément en raison de sa simplicité que le triangle a servi de base à de nombreuses mesures. Les géomètres, lorsqu'ils calculent des superficies terrestres, et les astronomes, lorsqu'ils déterminent les distances des planètes et des étoiles, utilisent les propriétés des triangles. C'est ainsi qu'est née la science de la trigonométrie - la science de mesurer les triangles, d'exprimer les côtés à travers ses angles. L'aire de tout polygone est exprimée par l'aire d'un triangle : il suffit de diviser ce polygone en triangles, de calculer leurs aires et d'additionner les résultats. Certes, il n'a pas été immédiatement possible de trouver la formule correcte pour l'aire d'un triangle.

Les propriétés du triangle ont été particulièrement étudiées aux XVe et XVIe siècles. Voici l’un des plus beaux théorèmes de cette époque, dû à Leonhard Euler :

Un énorme travail sur la géométrie du triangle, réalisé au cours des siècles XY-XIX, a donné l'impression que tout était déjà connu sur le triangle.

Polygone - c'est une figure géométrique, généralement définie comme une polyligne fermée.

Cercle- le lieu géométrique des points du plan dont la distance à un point donné, appelé centre du cercle, n'excède pas un nombre non négatif donné, appelé rayon de ce cercle. Si le rayon est nul, alors le cercle dégénère en point.

Il existe un grand nombre de formes géométriques, elles diffèrent toutes par leurs paramètres et leurs propriétés, parfois surprenantes par leurs formes.

Afin de mieux mémoriser et distinguer les figures plates par propriétés et caractéristiques, j'ai imaginé un conte de fées géométrique, que je voudrais présenter à votre attention dans le paragraphe suivant.

Chapitre 2. PUZZLES DE FIGURES GÉOMÉTRIQUES PLATES

2.1.Puzzles pour construire une figure complexe à partir d'un ensemble d'éléments géométriques plats.

Après avoir étudié les formes plates, je me suis demandé s'il y avait des problèmes intéressants avec les formes plates qui pourraient être utilisées comme jeux ou puzzles. Et le premier problème que j’ai trouvé était le puzzle Tangram.

C'est un puzzle chinois. En Chine, on l'appelle « chi tao tu », ou un puzzle mental composé de sept pièces. En Europe, le nom « Tangram » vient très probablement du mot « tan », qui signifie « chinois » et de la racine « gramme » (grec - « lettre »).

Vous devez d’abord dessiner un carré de 10 x 10 et le diviser en sept parties : cinq triangles 1-5 , carré 6 et parallélogramme 7 . L'essence du puzzle est d'utiliser les sept pièces pour assembler les figures illustrées à la figure 3.

Figure 3. Éléments du jeu "Tangram" et formes géométriques

Figure 4. Tâches Tangram

Il est particulièrement intéressant de réaliser des polygones « façonnés » à partir de figures plates, en ne connaissant que les contours des objets (Fig. 4). J'ai moi-même imaginé plusieurs de ces tâches générales et j'ai montré ces tâches à mes camarades de classe, qui ont commencé avec plaisir à résoudre les tâches et ont créé de nombreuses figures polyédriques intéressantes, similaires aux contours des objets du monde qui nous entoure.

Pour développer l'imagination, vous pouvez également utiliser des formes de puzzles divertissants comme tâches de découpe et de reproduction de figures données.

Exemple 2. Les tâches de découpe (parquet) peuvent sembler, à première vue, très diverses. Cependant, la plupart d'entre eux n'utilisent que quelques types de coupes de base (généralement celles qui peuvent être utilisées pour en créer une autre à partir d'un parallélogramme).

Examinons quelques techniques de coupe. Dans ce cas, nous appellerons les chiffres coupés polygones.

Riz. 5. Techniques de coupe

La figure 5 montre des formes géométriques à partir desquelles vous pouvez assembler diverses compositions ornementales et créer un ornement de vos propres mains.

Exemple 3. Une autre tâche intéressante que vous pouvez réaliser vous-même et échanger avec d'autres étudiants, et celui qui ramasse le plus de morceaux coupés est déclaré vainqueur. Il peut y avoir de nombreuses tâches de ce type. Pour le codage, vous pouvez prendre toutes les formes géométriques existantes, découpées en trois ou quatre parties.

Fig. 6. Exemples de tâches de découpe :

------ - place recréée; - couper avec des ciseaux ;

Chiffre de base

2.2. Chiffres de taille égale et composés de manière égale

Considérons une autre technique intéressante pour découper des figures plates, où les principaux « héros » des coupes seront des polygones. Lors du calcul des superficies des polygones, une technique simple appelée méthode de partitionnement est utilisée.

En général, les polygones sont dits équiconstitués si, après avoir coupé le polygone d'une certaine manière F en un nombre fini de parties, il est possible, en disposant différemment ces parties, d'en former un polygone H.

Cela conduit à ce qui suit théorème: Les polygones équilatéraux ont la même superficie, ils seront donc considérés comme égaux en superficie.

En prenant l'exemple des polygones équipartites, on peut envisager un découpage aussi intéressant que la transformation d'une « croix grecque » en carré (Fig. 7).

Figure 7. Transformation de la "Croix grecque"

Dans le cas d'une mosaïque (parquet) composée de croix grecques, le parallélogramme des périodes est un carré. Nous pouvons résoudre le problème en superposant une mosaïque composée de carrés sur une mosaïque formée à l'aide de croix, de manière à ce que les points congruents d'une mosaïque coïncident avec les points congruents de l'autre (Fig. 8).

Sur la figure, les points congruents de la mosaïque de croix, à savoir les centres des croix, coïncident avec les points congruents de la mosaïque « carrée » - les sommets des carrés. En déplaçant la mosaïque carrée en parallèle, on obtiendra toujours une solution au problème. De plus, le problème a plusieurs solutions possibles si la couleur est utilisée lors de la composition de l'ornement du parquet.

Figure 8. Parquet réalisé à partir d'une croix grecque

Un autre exemple de figures également proportionnées peut être envisagé en utilisant l'exemple d'un parallélogramme. Par exemple, un parallélogramme équivaut à un rectangle (Fig. 9).

Cet exemple illustre la méthode de partitionnement, qui consiste à calculer l'aire d'un polygone en essayant de le diviser en un nombre fini de parties de telle sorte que ces parties puissent être utilisées pour créer un polygone plus simple dont on connaît déjà l'aire.

Par exemple, un triangle équivaut à un parallélogramme ayant la même base et la même moitié de hauteur. À partir de cette position, la formule de l’aire d’un triangle est facilement dérivée.

Notez que le théorème ci-dessus est également valable théorème inverse : si deux polygones sont de taille égale, alors ils sont équivalents.

Ce théorème, prouvé dans la première moitié du XIXe siècle. par le mathématicien hongrois F. Bolyai et l'officier allemand et passionné de mathématiques P. Gerwin, peut être représenté de cette façon : s'il y a un gâteau en forme de polygone et une boîte polygonale de forme complètement différente, mais de même surface , vous pouvez ensuite couper le gâteau en un nombre fini de morceaux (sans les retourner côté crème vers le bas) pour qu'ils puissent être placés dans cette boîte.

Conclusion

En conclusion, je voudrais noter qu'il existe pas mal de problèmes sur les chiffres plats dans diverses sources, mais ceux qui m'intéressaient étaient ceux sur la base desquels j'ai dû proposer mes propres problèmes de puzzle.

Après tout, en résolvant de tels problèmes, vous pouvez non seulement accumuler une expérience de vie, mais également acquérir de nouvelles connaissances et compétences.

Dans les puzzles, lors de la construction d'actions-mouvements utilisant des rotations, des déplacements, des traductions sur un plan ou leurs compositions, j'ai créé indépendamment de nouvelles images, par exemple des figures de polyèdres du jeu « Tangram ».

On sait que le critère principal de la mobilité de la pensée d’une personne est la capacité, grâce à l’imagination reconstructive et créatrice, d’effectuer certaines actions dans un laps de temps défini et, dans notre cas, des mouvements de figures sur un plan. Par conséquent, étudier les mathématiques et, en particulier, la géométrie à l'école me donnera encore plus de connaissances à appliquer plus tard dans mes futures activités professionnelles.

Bibliographie

1. Pavlova, L.V. Approches non traditionnelles de l'enseignement du dessin : un manuel / L.V. Pavlova. - Nijni Novgorod : Maison d'édition NSTU, 2002. - 73 p.

2. Dictionnaire encyclopédique d'un jeune mathématicien / Comp. A.P. Savine. - M. : Pédagogie, 1985. - 352 p.

3.https://www.srops.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane

4.https://www.votpusk.ru/country/dostopim_info.asp?ID=16053

Annexe 1

Questionnaire pour les camarades de classe

1. Savez-vous ce qu'est un puzzle Tangram ?

2. Qu'est-ce qu'une « croix grecque » ?

3. Seriez-vous intéressé de savoir ce qu’est le « Tangram » ?

4. Seriez-vous intéressé de savoir ce qu’est une « croix grecque » ?

22 élèves de 8e année ont été interrogés. Résultats : 22 étudiants ne savent pas ce que sont « Tangram » et « Croix grecque ». 20 étudiants seraient intéressés à apprendre à utiliser le puzzle Tangram, composé de sept figures plates, pour obtenir une figure plus complexe. Les résultats de l'enquête sont résumés dans un schéma.

Annexe 2

Éléments du jeu "Tangram" et formes géométriques

Transformation de la "Croix grecque"

La géométrie est une science mathématique exacte qui traite de l’étude des relations et formes spatiales et autres relations similaires. Mais on l’appelle souvent « sec » parce qu’il n’est pas capable de décrire la forme de nombreux objets naturels, parce que les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes et la foudre ne se propage pas en lignes droites. De nombreux objets dans la nature ont des formes complexes par rapport à la géométrie standard.

Cependant, il existe un certain nombre de figures étonnantes qui ne sont généralement pas étudiées dans les cours de géométrie à l'école, mais qui entourent les gens dans le monde réel : dans la nature et l'architecture, les puzzles, les jeux informatiques, etc.

La principale propriété de cette figure géométrique complexe est l'autosimilarité, c'est-à-dire qu'elle se compose de plusieurs parties, chacune étant similaire à l'objet dans son ensemble. C'est cette propriété qui distingue les fractales des objets de géométrie classique (ou, comme on dit, euclidienne).

De plus, le terme « fractal » lui-même n'est pas mathématique et n'a pas de définition univoque, il peut donc être appliqué à des objets auto-similaires ou approximativement auto-similaires. Il a été inventé en 1975 par Benoît Mandelbrot, en empruntant le mot latin « fractus » (cassé, écrasé).

Les formes fractales sont les mieux adaptées pour décrire le monde réel et se retrouvent souvent parmi les objets naturels : flocons de neige, feuilles de plantes, système vasculaire humain et animal.

C’est l’une des formes tridimensionnelles les plus extraordinaires en géométrie, facile à réaliser à la maison. Pour ce faire, il suffit de prendre une bande de papier dont la largeur est 5 à 6 fois inférieure à sa longueur et, en tordant l'une des extrémités à 180°, de les coller ensemble.

Si tout est fait correctement, vous pouvez vérifier vous-même ses étonnantes propriétés :

La présence d'un seul côté (sans division en interne et externe). Cela peut être facilement vérifié si vous essayez de peindre sur l’un de ses côtés avec un crayon. Peu importe où et dans quelle direction vous commencez à peindre, le résultat final sera que tout le ruban sera peint de la même couleur.
Continuité : Si vous tracez une ligne sur toute la surface avec un stylo, son extrémité se connectera au point de départ sans franchir les limites de la surface.
Bidimensionnalité (connectivité) : lors de la coupe d'une bande de Möbius dans le sens de la longueur, elle reste intacte, de nouvelles formes sont simplement obtenues (par exemple, lorsqu'on la coupe en deux, on obtient un anneau plus grand).
Manque d'orientation. Un voyage le long d'une telle bande de Mobius sera toujours sans fin, il mènera au point de départ du chemin, uniquement dans une image miroir.

Les bandes Mobius sont largement utilisées dans l'industrie et la science (dans les bandes transporteuses, les imprimantes matricielles, les mécanismes d'affûtage, etc.). De plus, il existe une hypothèse scientifique selon laquelle l'Univers lui-même est également une bande de Mobius d'une taille incroyable.

Polyomino

Ce sont des formes géométriques plates formées en reliant plusieurs carrés de tailles égales le long de leurs côtés.

Les noms des polyominos dépendent du nombre de carrés à partir desquels ils sont formés :

monomino – 1 ;
dominos – 2;
trimino – 3;
tétromino – 4, etc.

De plus, pour chaque variété il existe un nombre différent de types de figures : les dominos ont 1 type, les triminos ont 3 types, les hexaminos (de 6 carrés) ont 35 types. Le nombre de variations différentes dépend du nombre de carrés utilisés, mais aucun scientifique n'a encore été en mesure de trouver une formule étonnante qui exprimerait cette dépendance. À partir de pièces polyomino, vous pouvez disposer à la fois des formes géométriques et des images de personnes, d'animaux et d'objets. Malgré le fait qu'il s'agira de silhouettes sommaires, les principales caractéristiques et formes des objets les rendent tout à fait reconnaissables.

Polyamond

Outre les polyominos, il existe une autre figure géométrique étonnante utilisée pour composer d'autres formes : le polyentre eux. C'est un polygone formé de plusieurs triangles équilatéraux de même taille.

Le nom a été inventé par le mathématicien T. O'Beirne sur la base de l'un des noms d'un losange en anglais - diamant, qui peut être composé de 2 triangles équilatéraux. Par analogie, O'Beirne a appelé une figure de 3 triangles équilatéraux un triamond, une figure de 4 - un tétriamond, etc.

La question principale de leur existence reste celle du nombre possible de polyamides pouvant être fabriqués à partir d'un certain nombre de triangles. L’utilisation des polyominos dans la vie réelle est également similaire à l’utilisation des polyominos. Il peut s’agir de différents types d’énigmes et de tâches logiques.

Triangle de Reuleaux

Aussi surprenant que cela puisse paraître, vous pouvez percer un trou carré avec une perceuse, et le triangle de Reuleaux vous y aide. Il représente une aire formée par l'intersection de 3 cercles égaux dont les centres sont les sommets d'un triangle régulier et dont les rayons sont égaux à son côté.

Le triangle de Reuleaux lui-même porte le nom du scientifique-ingénieur allemand, qui fut le premier à étudier ses caractéristiques plus en détail et à l'utiliser pour ses mécanismes au tournant des XIXe et XXe siècles. siècle, même si ses propriétés étonnantes étaient déjà connues de Léonard de Vinci. Quel que soit son découvreur, dans le monde moderne, cette figure a trouvé une large application sous la forme de :

Perceuse Watts, qui permet de percer des trous de forme carrée presque parfaite, uniquement avec des bords légèrement arrondis ;
un médiateur nécessaire pour jouer des instruments de musique pincés ;
mécanismes à came utilisés pour créer des coutures en zigzag dans les machines à coudre, ainsi que dans les montres allemandes ;
arcs en ogive, caractéristiques du style gothique en architecture.

Des chiffres impossibles

Les figures dites impossibles méritent une attention particulière - d'étonnantes illusions d'optique qui, à première vue, semblent être une projection d'un objet tridimensionnel, mais après un examen plus approfondi, des combinaisons inhabituelles d'éléments deviennent perceptibles. Les plus populaires d'entre eux sont :

Tribar, créé par le père et le fils Lionel et Roger Penrose, qui est l'image d'un triangle équilatéral, mais présente des motifs étranges. Les côtés qui forment le haut du triangle apparaissent perpendiculaires, mais les côtés droit et gauche en bas apparaissent également perpendiculaires. Si nous considérons chaque partie de ce triangle séparément, nous pouvons toujours reconnaître leur existence, mais en réalité une telle figure ne peut pas exister, car les éléments corrects n'étaient pas correctement connectés lors de sa création.

L'escalier sans fin, dont la paternité appartient également au père et au fils Penroses, est donc souvent appelé par son nom - « l'escalier Penrose », ainsi que « l'escalier éternel ». À première vue, il ressemble à un escalier ordinaire qui monte ou descend, mais une personne qui le suit montera (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) ou descendra continuellement (dans le sens des aiguilles d'une montre). Si vous parcourez visuellement un tel escalier, alors à la fin du « voyage », votre regard s'arrête au point de départ du chemin. Si un tel escalier existait réellement, il faudrait le monter et le descendre un nombre infini de fois, ce qui peut être comparé à une tâche sisyphe sans fin.

L'Impossible Trident est un objet étonnant, en regardant lequel il est impossible de déterminer où commence la branche médiane. Elle repose également sur le principe des connexions irrégulières, qui ne peuvent exister que dans un espace à deux dimensions, mais pas dans un espace à trois dimensions. En regardant les parties du trident séparément, 3 dents rondes sont visibles d'un côté et 2 rectangulaires de l'autre côté.

Ainsi, les parties de la figure entrent dans une sorte de conflit : d'une part, le premier plan et l'arrière-plan changent, et d'autre part, les dents rondes de la partie inférieure se transforment en dents plates de la partie supérieure.

Sujet de la leçon

Figures géométriques

Qu'est-ce qu'une figure géométrique

Les figures géométriques sont un ensemble de nombreux points, lignes, surfaces ou corps situés sur une surface, un plan ou un espace et formant un nombre fini de lignes.

Le terme « figure » est dans une certaine mesure appliqué formellement à un ensemble de points, mais en règle générale, une figure est généralement appelée un ensemble situé sur un plan et limité par un nombre fini de lignes.

Un point et une droite sont les figures géométriques de base situées sur un plan.

Les figures géométriques les plus simples sur un plan comprennent un segment, un rayon et une ligne brisée.

Qu'est-ce que la géométrie

La géométrie est une science mathématique qui traite de l'étude des propriétés des figures géométriques. Si nous traduisons littéralement le terme « géométrie » en russe, cela signifie « arpentage », car dans les temps anciens, la tâche principale de la géométrie en tant que science était la mesure des distances et des superficies à la surface de la terre.

L'application pratique de la géométrie est inestimable à tout moment et quelle que soit la profession. Ni un ouvrier, ni un ingénieur, ni un architecte, ni même un artiste ne peuvent se passer de connaissances en géométrie.

En géométrie, il existe une section qui traite de l'étude de diverses figures sur un plan et s'appelle planimétrie.

Vous savez déjà qu'une figure est un ensemble arbitraire de points situés sur un plan.

Les figures géométriques comprennent : le point, la ligne droite, le segment, le rayon, le triangle, le carré, le cercle et d'autres figures étudiées par la planimétrie.

Point

D'après le matériel étudié ci-dessus, vous savez déjà que le point fait référence aux principales figures géométriques. Et bien qu'il s'agisse de la plus petite figure géométrique, elle est nécessaire pour construire d'autres figures sur un plan, un dessin ou une image et constitue la base de toutes les autres constructions. Après tout, la construction de figures géométriques plus complexes comprend de nombreux points caractéristiques d'une figure donnée.

En géométrie, les points sont désignés par des lettres majuscules de l'alphabet latin par exemple, telles que : A, B, C, D....

Résumons maintenant, et ainsi, d'un point de vue mathématique, un point est un objet tellement abstrait dans l'espace qui n'a pas de volume, d'aire, de longueur et d'autres caractéristiques, mais reste l'un des concepts fondamentaux des mathématiques. Un point est un objet de dimension zéro qui n'a pas de définition. Selon la définition d'Euclide, un point est quelque chose qui ne peut être défini.

Droit

Comme un point, une ligne droite fait référence à des figures sur un plan, qui n'a pas de définition, puisqu'il est constitué d'un nombre infini de points situés sur une même ligne, qui n'a ni début ni fin. On peut affirmer qu’une ligne droite est infinie et n’a pas de limite.

Si une ligne droite commence et se termine par un point, alors ce n’est plus une ligne droite et s’appelle un segment.

Mais parfois, une ligne droite a une pointe d’un côté et pas de l’autre. Dans ce cas, la ligne droite se transforme en poutre.

Si vous prenez une ligne droite et placez un point en son milieu, la ligne droite sera divisée en deux rayons dirigés de manière opposée. Ces rayons sont supplémentaires.

Si devant vous il y a plusieurs segments reliés les uns aux autres de sorte que la fin du premier segment devient le début du deuxième, et la fin du deuxième segment devient le début du troisième, etc., et que ces segments ne sont pas sur la même ligne droite et lorsqu'ils sont connectés ont un point commun, alors une telle chaîne est une ligne brisée.

Exercice

Quelle ligne brisée est appelée non fermée ?
Comment désigne-t-on une ligne droite ?
Quel est le nom d’une ligne brisée comportant quatre liens fermés ?
Quel est le nom d’une ligne brisée avec trois liens fermés ?

Lorsque la fin du dernier segment d'une ligne brisée coïncide avec le début du 1er segment, alors une telle ligne brisée est dite fermée. Un exemple de polyligne fermée est n'importe quel polygone.

Avion

Comme un point et une droite, un plan est un concept premier ; il n’a pas de définition et on ne peut y voir ni début ni fin. Par conséquent, lorsque nous considérons un plan, nous considérons uniquement la partie de celui-ci qui est limitée par une ligne brisée fermée. Ainsi, toute surface lisse peut être considérée comme un plan. Cette surface peut être une feuille de papier ou une table.

Coin

Une figure qui a deux rayons et un sommet s’appelle un angle. La jonction des rayons est le sommet de cet angle, et ses côtés sont les rayons qui forment cet angle.

Exercice:

1. Comment un angle est-il indiqué dans le texte ?
2. Quelles unités pouvez-vous utiliser pour mesurer un angle ?
3. Quels sont les angles ?

Parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Le rectangle, le carré et le losange sont des cas particuliers de parallélogramme.

Un parallélogramme dont les angles droits sont égaux à 90 degrés est un rectangle.

Un carré est le même parallélogramme ; ses angles et ses côtés sont égaux.

Quant à la définition d'un losange, il s'agit d'une figure géométrique dont tous les côtés sont égaux.

De plus, il faut savoir que chaque carré est un losange, mais que tous les losanges ne peuvent pas être un carré.

Trapèze

Lorsqu'on considère une figure géométrique telle qu'un trapèze, on peut dire que, notamment, comme un quadrilatère, elle possède une paire de côtés opposés parallèles et est curviligne.

Cercle et cercle

Un cercle est le lieu géométrique de points sur un plan équidistant d'un point donné, appelé centre, à une distance donnée non nulle, appelée rayon.

Triangle

Le triangle que vous avez déjà étudié appartient également aux figures géométriques simples. C'est l'un des types de polygones dans lesquels une partie du plan est limitée par trois points et trois segments qui relient ces points par paires. Tout triangle possède trois sommets et trois côtés.

Exercice: Quel triangle est dit dégénéré ?

Polygone

Les polygones comprennent des figures géométriques de différentes formes comportant une ligne brisée fermée.

Dans un polygone, tous les points qui relient les segments sont ses sommets. Et les segments qui composent un polygone sont ses côtés.

Saviez-vous que l'émergence de la géométrie remonte à plusieurs siècles et est associée au développement de divers métiers, de la culture, de l'art et de l'observation du monde environnant. Et le nom des figures géométriques en est la confirmation, puisque leurs termes ne sont pas apparus comme ça, mais en raison de leur similitude et de leur similitude.

Après tout, le terme « trapèze » traduit de la langue grecque ancienne à partir du mot « trapèze » signifie table, repas et autres mots dérivés.

« Cône » vient du mot grec « konos », qui signifie pomme de pin.

« Line » a des racines latines et vient du mot « linum », traduit par fil de lin.

Saviez-vous que si vous prenez des figures géométriques avec le même périmètre, parmi elles, le cercle s'avère avoir la plus grande superficie.