Expressions de pouvoir (expressions avec pouvoirs) et leur transformation. Représenter une expression sous forme de puissance Utiliser les propriétés des puissances

Expressions, conversion d'expressions

Expressions de pouvoir (expressions avec pouvoirs) et leur transformation

Dans cet article, nous parlerons de la conversion d'expressions avec des puissances. Tout d’abord, nous nous concentrerons sur les transformations effectuées avec des expressions de toute sorte, y compris des expressions de pouvoir, telles que l’ouverture de parenthèses et l’apport de termes similaires. Et puis nous analyserons les transformations inhérentes spécifiquement aux expressions avec degrés : travail avec la base et l'exposant, utilisation des propriétés des degrés, etc.

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Que sont les expressions de pouvoir ?

Le terme « expressions de pouvoir » n'apparaît pratiquement pas dans les manuels scolaires de mathématiques, mais il apparaît assez souvent dans les recueils de problèmes, notamment ceux destinés à la préparation à l'examen d'État unifié et à l'examen d'État unifié, par exemple. Après avoir analysé les tâches dans lesquelles il est nécessaire d'effectuer des actions avec des expressions de pouvoir, il devient clair que les expressions de pouvoir sont comprises comme des expressions contenant des pouvoirs dans leurs entrées. Par conséquent, vous pouvez accepter la définition suivante pour vous-même :

Définition.

Expressions de pouvoir sont des expressions contenant des degrés.

Donne moi exemples d'expressions de pouvoir. De plus, nous les présenterons selon la manière dont se produit l'évolution des vues d'un degré à exposant naturel à un degré à exposant réel.

Comme on le sait, on se familiarise d'abord avec la puissance d'un nombre avec un exposant naturel ; à ce stade, les premières expressions de puissance les plus simples du type 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 apparaissent −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.

Un peu plus tard, la puissance d'un nombre à exposant entier est étudiée, ce qui conduit à l'apparition d'expressions de puissance à puissances entières négatives, comme les suivantes : 3 −2, , une −2 +2 b −3 +c 2 .

Au lycée, ils retournent aux diplômes. Là, un degré avec un exposant rationnel est introduit, ce qui entraîne l'apparition des expressions de puissance correspondantes : , , et ainsi de suite. Enfin, les degrés avec des exposants irrationnels et les expressions les contenant sont considérés : , .

Le sujet ne se limite pas aux expressions de puissance répertoriées : en outre, la variable pénètre dans l'exposant et, par exemple, les expressions suivantes apparaissent : 2 x 2 +1 ou . Et après avoir pris connaissance de , des expressions avec des puissances et des logarithmes commencent à apparaître, par exemple x 2·lgx −5·x lgx.

Nous avons donc abordé la question de savoir ce que représentent les expressions de pouvoir. Nous apprendrons ensuite à les convertir.

Principaux types de transformations des expressions de pouvoir

Avec les expressions de pouvoir, vous pouvez effectuer n’importe quelle transformation d’identité de base des expressions. Par exemple, vous pouvez ouvrir des parenthèses, remplacer des expressions numériques par leurs valeurs, ajouter des termes similaires, etc. Naturellement, dans ce cas, il est nécessaire de suivre la procédure acceptée pour effectuer les actions. Donnons des exemples.

Exemple.

Calculez la valeur de l'expression de puissance 2 3 ·(4 2 −12) .

Solution.

Selon l'ordre d'exécution des actions, effectuez d'abord les actions entre parenthèses. Là, d'une part, on remplace la puissance 4 2 par sa valeur 16 (si nécessaire, voir), et d'autre part, on calcule la différence 16−12=4. Nous avons 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Dans l'expression résultante, nous remplaçons la puissance 2 3 par sa valeur 8, après quoi nous calculons le produit 8·4=32. C'est la valeur souhaitée.

Donc, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Répondre:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Exemple.

Simplifier les expressions avec des puissances 3 une 4 b −7 −1+2 une 4 b −7.

Solution.

Évidemment, cette expression contient des termes similaires 3·a 4 ·b −7 et 2·a 4 ·b −7 , et nous pouvons les présenter : .

Répondre:

3 une 4 b −7 −1+2 une 4 b −7 =5 une 4 b −7 −1.

Exemple.

Exprimez une expression avec des pouvoirs en tant que produit.

Solution.

Vous pouvez faire face à la tâche en représentant le nombre 9 comme une puissance de 3 2, puis en utilisant la formule de multiplication abrégée - différence des carrés :

Répondre:

Il existe également un certain nombre de transformations identiques inhérentes spécifiquement aux expressions de pouvoir. Nous les analyserons plus en détail.

Travailler avec la base et l'exposant

Il existe des degrés dont la base et/ou l’exposant ne sont pas seulement des nombres ou des variables, mais des expressions. A titre d'exemple, nous donnons les entrées (2+0.3·7) 5−3.7 et (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Lorsque vous travaillez avec de telles expressions, vous pouvez remplacer à la fois l'expression dans la base du degré et l'expression dans l'exposant par une expression identiquement égale dans l'ODZ de ses variables. Autrement dit, selon les règles que nous connaissons, on peut transformer séparément la base du degré et séparément l'exposant. Il est clair qu'à la suite de cette transformation, on obtiendra une expression identiquement égale à l'originale.

De telles transformations nous permettent de simplifier les expressions avec des pouvoirs ou d'atteindre d'autres objectifs dont nous avons besoin. Par exemple, dans l'expression de puissance mentionnée ci-dessus (2+0,3 7) 5−3,7, vous pouvez effectuer des opérations avec les nombres en base et en exposant, ce qui vous permettra de passer à la puissance 4,1 1,3. Et après avoir ouvert les parenthèses et ramené les termes similaires à la base du degré (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), nous obtenons une expression puissance d'une forme plus simple a 2·(x+ 1) .

Utilisation des propriétés du diplôme

L'un des principaux outils pour transformer les expressions dotées de pouvoirs est l'égalité qui reflète . Rappelons les principaux. Pour tout nombre positif a et b et nombre réel arbitraire r et s, les propriétés de puissances suivantes sont vraies :

a r ·a s =a r+s ;
une r:une s =une r−s ;
(a·b) r =a r ·b r ;
(a:b) r =a r:br ;
(a r) s =a r·s .

Notez que pour les exposants naturels, entiers et positifs, les restrictions sur les nombres a et b peuvent ne pas être aussi strictes. Par exemple, pour les nombres naturels m et n, l'égalité a m ·a n =a m+n est vraie non seulement pour a positif, mais aussi pour a négatif et pour a=0.

À l'école, l'accent principal lors de la transformation des expressions de pouvoir est la capacité de choisir la propriété appropriée et de l'appliquer correctement. Dans ce cas, les bases des diplômes sont généralement positives, ce qui permet d'utiliser les propriétés des diplômes sans restrictions. Il en va de même pour la transformation d'expressions contenant des variables dans les bases de puissances - la plage des valeurs admissibles des variables est généralement telle que les bases ne prennent que des valeurs positives, ce qui vous permet d'utiliser librement les propriétés des puissances. . En général, vous devez constamment vous demander s'il est possible d'utiliser une propriété des diplômes dans ce cas, car une utilisation inexacte des propriétés peut conduire à un rétrécissement de la valeur éducative et à d'autres problèmes. Ces points sont discutés en détail et avec des exemples dans l'article transformation d'expressions en utilisant les propriétés des puissances. Nous nous limiterons ici à considérer quelques exemples simples.

Exemple.

Exprimer l'expression a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 comme puissance de base a.

Solution.

Tout d'abord, nous transformons le deuxième facteur (a 2) −3 en utilisant la propriété d'élever une puissance en puissance : (une 2) −3 =une 2·(−3) =une −6. L'expression de puissance originale prendra la forme a 2,5 ·a −6:a −5,5. Reste évidemment à utiliser les propriétés de multiplication et de division des puissances avec la même base, on a
une 2,5 ·une −6:une −5,5 =
une 2,5−6 :une −5,5 =une −3,5 :une −5,5 =
une −3,5−(−5,5) =une 2 .

Répondre:

une 2,5 ·(une 2) −3:une −5,5 =une 2.

Les propriétés des pouvoirs lors de la transformation des expressions de pouvoir sont utilisées à la fois de gauche à droite et de droite à gauche.

Exemple.

Trouvez la valeur de l’expression de puissance.

Solution.

L'égalité (a·b) r =a r ·b r, appliquée de droite à gauche, permet de passer de l'expression originale à un produit de la forme et au-delà. Et en multipliant des puissances avec les mêmes bases, les exposants s'additionnent : .

Il était possible de transformer l'expression originale d'une autre manière :

Répondre:

Exemple.

Étant donné l'expression de puissance a 1,5 −a 0,5 −6, introduisez une nouvelle variable t=a 0,5.

Solution.

Le degré a 1,5 peut être représenté par a 0,5 3 puis, en fonction de la propriété du degré au degré (a r) s = a r s, appliqué de droite à gauche, le transformer sous la forme (a 0,5) 3. Ainsi, une 1,5 −une 0,5 −6=(une 0,5) 3 −une 0,5 −6. Il est maintenant facile d’introduire une nouvelle variable t=a 0,5, nous obtenons t 3 −t−6.

Répondre:

t 3 −t−6 .

Conversion de fractions contenant des puissances

Les expressions de puissance peuvent contenir ou représenter des fractions avec des puissances. Toutes les transformations de base des fractions inhérentes aux fractions de toute nature sont pleinement applicables à ces fractions. C'est-à-dire que les fractions qui contiennent des puissances peuvent être réduites, réduites à un nouveau dénominateur, travaillées séparément avec leur numérateur et séparément avec le dénominateur, etc. Pour illustrer ces mots, considérons des solutions à plusieurs exemples.

Exemple.

Simplifier l'expression du pouvoir .

Solution.

Cette expression de pouvoir est une fraction. Travaillons avec son numérateur et son dénominateur. Au numérateur, nous ouvrons les parenthèses et simplifions l'expression résultante en utilisant les propriétés des puissances, et au dénominateur nous présentons des termes similaires :

Et changeons également le signe du dénominateur en plaçant un moins devant la fraction : .

Répondre:

La réduction des fractions contenant des puissances à un nouveau dénominateur s'effectue de la même manière que la réduction des fractions rationnelles à un nouveau dénominateur. Dans ce cas, un facteur supplémentaire est également trouvé et le numérateur et le dénominateur de la fraction sont multipliés par celui-ci. Lors de l'exécution de cette action, il convient de rappeler que la réduction à un nouveau dénominateur peut conduire à un rétrécissement de la VA. Pour éviter que cela ne se produise, il est nécessaire que le facteur supplémentaire ne vienne pas à zéro pour les valeurs des variables des variables ODZ pour l'expression d'origine.

Exemple.

Réduisez les fractions à un nouveau dénominateur : a) au dénominateur a, b) au dénominateur.

Solution.

a) Dans ce cas, il est assez facile de déterminer quel multiplicateur supplémentaire permet d'obtenir le résultat souhaité. Il s'agit d'un multiplicateur de a 0,3, puisque a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Notez que dans la plage des valeurs admissibles de la variable a (c'est l'ensemble de tous les nombres réels positifs), la puissance de a 0,3 ne disparaît pas, nous avons donc le droit de multiplier le numérateur et le dénominateur d'un donné fraction par ce facteur supplémentaire :

b) En regardant de plus près le dénominateur, vous constaterez que

et multiplier cette expression par donnera la somme des cubes et , c'est-à-dire . Et c’est le nouveau dénominateur auquel nous devons réduire la fraction initiale.

C'est ainsi que nous avons trouvé un facteur supplémentaire. Dans la plage des valeurs admissibles des variables x et y, l'expression ne disparaît pas, nous pouvons donc multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par celle-ci :

Répondre:

UN) , b) .

Il n'y a rien de nouveau non plus dans la réduction des fractions contenant des puissances : le numérateur et le dénominateur sont représentés comme un certain nombre de facteurs, et les mêmes facteurs du numérateur et du dénominateur sont réduits.

Exemple.

Réduire la fraction : a) , b) .

Solution.

a) Premièrement, le numérateur et le dénominateur peuvent être réduits des nombres 30 et 45, ce qui est égal à 15. Il est aussi évidemment possible d'effectuer une réduction de x 0,5 +1 et de . Voici ce que nous avons :

b) Dans ce cas, les facteurs identiques au numérateur et au dénominateur ne sont pas immédiatement visibles. Pour les obtenir, vous devrez effectuer des transformations préalables. Dans ce cas, elles consistent à factoriser le dénominateur à l'aide de la formule de la différence des carrés :

Répondre:

UN)

b) .

La conversion de fractions en un nouveau dénominateur et la réduction de fractions sont principalement utilisées pour faire des choses avec des fractions. Les actions sont effectuées selon des règles connues. Lors de l'addition (soustraction) de fractions, elles sont réduites à un dénominateur commun, après quoi les numérateurs sont ajoutés (soustraits), mais le dénominateur reste le même. Le résultat est une fraction dont le numérateur est le produit des numérateurs et le dénominateur est le produit des dénominateurs. La division par une fraction est une multiplication par son inverse.

Exemple.

Suis les étapes .

Solution.

Tout d’abord, nous soustrayons les fractions entre parenthèses. Pour ce faire, nous les ramenons à un dénominateur commun, qui est , après quoi on soustrait les numérateurs :

Maintenant, nous multiplions les fractions :

Évidemment, il est possible de réduire d’une puissance de x 1/2, après quoi on a .

Vous pouvez également simplifier l'expression de la puissance au dénominateur en utilisant la formule de la différence des carrés : .

Répondre:

Exemple.

Simplifiez l'expression de puissance .

Solution.

Évidemment, cette fraction peut être réduite de (x 2,7 +1) 2, cela donne la fraction . Il est clair qu’il faut faire autre chose avec les pouvoirs de X. Pour ce faire, on transforme la fraction résultante en produit. Cela nous donne la possibilité de profiter de la propriété de diviser les pouvoirs avec les mêmes bases : . Et à la fin du processus on passe du dernier produit à la fraction.

Répondre:

Et ajoutons aussi qu'il est possible, et dans de nombreux cas souhaitable, de transférer des facteurs avec des exposants négatifs du numérateur au dénominateur ou du dénominateur au numérateur, en changeant le signe de l'exposant. De telles transformations simplifient souvent les actions ultérieures. Par exemple, une expression de puissance peut être remplacée par .

Conversion d'expressions avec des racines et des puissances

Souvent, dans les expressions dans lesquelles certaines transformations sont nécessaires, des racines avec des exposants fractionnaires sont également présentes avec les puissances. Pour transformer une telle expression à la forme souhaitée, il suffit dans la plupart des cas d'aller uniquement aux racines ou uniquement aux puissances. Mais comme il est plus pratique de travailler avec des puissances, elles passent généralement des racines aux puissances. Il est cependant conseillé d'effectuer une telle transition lorsque l'ODZ des variables de l'expression originale permet de remplacer les racines par des puissances sans avoir besoin de se référer au module ou de découper l'ODZ en plusieurs intervalles (nous en avons parlé en détail dans l'article transition des racines aux puissances et vice-versa Après avoir pris connaissance du degré avec un exposant rationnel, on introduit le degré avec un exposant irrationnel, ce qui nous permet de parler d'un degré avec un exposant réel arbitraire. À ce stade, l'école commence à étude fonction exponentielle, qui est analytiquement donné par une puissance dont la base est un nombre et l'exposant est une variable. Nous sommes donc confrontés à des expressions de puissance contenant des nombres dans la base de la puissance et dans l'exposant - des expressions avec des variables, et naturellement il est nécessaire d'effectuer des transformations de telles expressions.

Il faut dire que la transformation des expressions du type indiqué doit généralement être effectuée lors de la résolution équations exponentielles Et inégalités exponentielles, et ces conversions sont assez simples. Dans l’écrasante majorité des cas, ils reposent sur les propriétés du diplôme et visent, pour la plupart, à introduire une nouvelle variable dans le futur. L'équation nous permettra de les démontrer 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Premièrement, les puissances, dont les exposants sont la somme d'une certaine variable (ou expression avec variables) et d'un nombre, sont remplacées par des produits. Ceci s'applique au premier et au dernier terme de l'expression du côté gauche :
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Ensuite, les deux côtés de l'égalité sont divisés par l'expression 7 2 x, qui sur l'ODZ de la variable x pour l'équation d'origine ne prend que des valeurs positives (il s'agit d'une technique standard pour résoudre des équations de ce type, nous ne sommes pas en parlant maintenant, alors concentrez-vous sur les transformations ultérieures des expressions avec des pouvoirs ) :

Maintenant nous pouvons annuler des fractions avec des puissances, ce qui donne .

Enfin, le rapport des puissances avec les mêmes exposants est remplacé par des puissances de relations, ce qui donne l'équation , ce qui est équivalent . Les transformations effectuées permettent d'introduire une nouvelle variable, qui réduit la solution de l'équation exponentielle originale à la solution d'une équation quadratique

I. V. Boykov, L. D. Romanova Ensemble de tâches pour la préparation à l'examen d'État unifié. Partie 1. Penza 2003.

Considérons le sujet de la transformation des expressions avec des pouvoirs, mais attardons-nous d'abord sur un certain nombre de transformations qui peuvent être effectuées avec n'importe quelle expression, y compris celles de puissance. Nous apprendrons à ouvrir des parenthèses, à ajouter des termes similaires, à travailler avec des bases et des exposants et à utiliser les propriétés des puissances.

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Que sont les expressions de pouvoir ?

Dans les cours scolaires, peu de gens utilisent l'expression « expressions puissantes », mais ce terme se retrouve constamment dans les recueils de préparation à l'examen d'État unifié. Dans la plupart des cas, une expression désigne des expressions qui contiennent des degrés dans leurs entrées. C’est ce que nous refléterons dans notre définition.

Définition 1

Expression du pouvoir est une expression qui contient des degrés.

Donnons quelques exemples d'expressions de puissance, en commençant par une puissance à exposant naturel et en terminant par une puissance à exposant réel.

Les expressions de puissance les plus simples peuvent être considérées comme des puissances d'un nombre avec un exposant naturel : 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + une 2, X 3 − 1 , (une 2) 3 . Et aussi les puissances avec exposant nul : 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Et les puissances avec des puissances entières négatives : (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Il est un peu plus difficile de travailler avec un diplôme qui a des exposants rationnels et irrationnels : 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 une - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

L'indicateur peut être la variable 3 x - 54 - 7 3 x - 58 ou le logarithme x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Nous avons abordé la question de savoir ce que sont les expressions de pouvoir. Commençons maintenant à les convertir.

Principaux types de transformations des expressions de pouvoir

Tout d’abord, nous examinerons les transformations identitaires de base des expressions qui peuvent être effectuées avec des expressions de pouvoir.

Exemple 1

Calculer la valeur d'une expression de puissance 2 3 (4 2 − 12).

Solution

Nous réaliserons toutes les transformations dans le respect de l'ordre des actions. Dans ce cas, nous commencerons par effectuer les actions entre parenthèses : nous remplacerons le degré par une valeur numérique et calculerons la différence de deux nombres. Nous avons 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Il ne nous reste plus qu'à remplacer le diplôme 2 3 sa signification 8 et calculer le produit 8 4 = 32. Voici notre réponse.

Répondre: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Exemple 2

Simplifier l'expression avec des puissances 3 une 4 b − 7 − 1 + 2 une 4 b − 7.

Solution

L'expression qui nous est donnée dans l'énoncé du problème contient des termes similaires que nous pouvons donner : 3 une 4 b − 7 − 1 + 2 une 4 b − 7 = 5 une 4 b − 7 − 1.

Répondre: 3 · une 4 · b − 7 − 1 + 2 · une 4 · b − 7 = 5 · une 4 · b − 7 − 1 .

Exemple 3

Exprimez l'expression avec les puissances 9 - b 3 · π - 1 2 sous forme de produit.

Solution

Imaginons le chiffre 9 comme une puissance 3 2 et appliquez la formule de multiplication abrégée :

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Répondre: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Passons maintenant à l’analyse des transformations identitaires applicables spécifiquement aux expressions de pouvoir.

Travailler avec la base et l'exposant

Le degré dans la base ou l'exposant peut contenir des nombres, des variables et certaines expressions. Par exemple, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 Et . Travailler avec de tels enregistrements est difficile. Il est beaucoup plus simple de remplacer l’expression en base du degré ou l’expression en exposant par une expression identiquement égale.

Les transformations de degré et d'exposant s'effectuent selon les règles que nous connaissons séparément les unes des autres. Le plus important est que la transformation aboutisse à une expression identique à l’originale.

Le but des transformations est de simplifier l'expression originale ou d'obtenir une solution au problème. Par exemple, dans l’exemple que nous avons donné ci-dessus, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 vous pouvez suivre les étapes pour accéder au diplôme 4 , 1 1 , 3 . En ouvrant les parenthèses, on peut présenter des termes similaires à la base de la puissance (une · (une + 1) − une 2) 2 · (x + 1) et obtenir une expression de puissance d'une forme plus simple une 2 (x + 1).

Utilisation des propriétés du diplôme

Les propriétés des puissances, écrites sous forme d'égalités, sont l'un des principaux outils de transformation des expressions avec puissances. Nous en présentons ici les principaux, en tenant compte du fait que un Et b sont des nombres positifs, et r Et s- nombres réels arbitraires :

Définition 2

une r · une s = une r + s ;
une r : une s = une r − s ;
(une · b) r = une r · b r ;
(une : b) r = une r : br ;
(une r) s = une r · s .

Dans les cas où nous avons affaire à des exposants naturels, entiers et positifs, les restrictions sur les nombres a et b peuvent être beaucoup moins strictes. Ainsi, par exemple, si l’on considère l’égalité une m · une n = une m + n, Où m Et n sont des nombres naturels, alors ce sera vrai pour toutes les valeurs de a, à la fois positives et négatives, ainsi que pour une = 0.

Les propriétés des puissances peuvent être utilisées sans restrictions dans les cas où les bases des puissances sont positives ou contiennent des variables dont la plage de valeurs admissibles est telle que les bases ne prennent que des valeurs positives. En effet, dans le programme scolaire de mathématiques, la tâche de l'élève est de sélectionner une propriété appropriée et de l'appliquer correctement.

Lorsque vous vous préparez à entrer dans les universités, vous pouvez rencontrer des problèmes dans lesquels une application inexacte des propriétés entraînera un rétrécissement du DL et d'autres difficultés à résoudre. Dans cette section, nous examinerons seulement deux de ces cas. Plus d'informations sur le sujet peuvent être trouvées dans la rubrique « Conversion d'expressions à l'aide de propriétés de puissances ».

Exemple 4

Imaginez l'expression une 2 , 5 (une 2) − 3 : une − 5 , 5 sous la forme d'un pouvoir avec une base un.

Solution

Tout d'abord, nous utilisons la propriété d'exponentiation et transformons le deuxième facteur en l'utilisant (une 2) − 3. Ensuite on utilise les propriétés de multiplication et de division des puissances avec la même base :

une 2 , 5 · une − 6 : une − 5 , 5 = une 2 , 5 − 6 : une − 5 , 5 = une − 3 , 5 : une − 5 , 5 = une − 3 , 5 − (− 5 , 5) = un 2 .

Répondre: une 2, 5 · (une 2) − 3 : une − 5, 5 = une 2.

La transformation des expressions de pouvoir selon la propriété des pouvoirs peut se faire aussi bien de gauche à droite que dans le sens inverse.

Exemple 5

Trouvez la valeur de l'expression de puissance 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Solution

Si on applique l'égalité (a · b) r = a r · b r, de droite à gauche, on obtient un produit de la forme 3 · 7 1 3 · 21 2 3 puis 21 1 3 · 21 2 3 . Additionnons les exposants en multipliant des puissances avec les mêmes bases : 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Il existe une autre façon de réaliser la transformation :

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Répondre: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Exemple 6

Étant donné une expression de pouvoir une 1, 5 − une 0, 5 − 6, entrez une nouvelle variable t = une 0,5.

Solution

Imaginons le diplôme un 1, 5 Comment une 0,5 3. Utiliser la propriété des degrés en degrés (une r) s = une r · s de droite à gauche et on obtient (a 0, 5) 3 : a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Vous pouvez facilement introduire une nouvelle variable dans l'expression résultante t = une 0,5: on a t 3 − t − 6.

Répondre: t 3 - t - 6 .

Conversion de fractions contenant des puissances

Nous avons généralement affaire à deux versions d'expressions de puissance avec des fractions : l'expression représente une fraction avec une puissance ou contient une telle fraction. Toutes les transformations de base des fractions sont applicables à de telles expressions sans restrictions. Ils peuvent être réduits, ramenés à un nouveau dénominateur ou travaillés séparément avec le numérateur et le dénominateur. Illustrons cela avec des exemples.

Exemple 7

Simplifiez l'expression de puissance 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Solution

Nous avons affaire à une fraction, nous allons donc effectuer des transformations à la fois au numérateur et au dénominateur :

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Placez un signe moins devant la fraction pour changer le signe du dénominateur : 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Répondre: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Les fractions contenant des puissances sont réduites à un nouveau dénominateur de la même manière que les fractions rationnelles. Pour ce faire, vous devez trouver un facteur supplémentaire et multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par celui-ci. Il est nécessaire de sélectionner un facteur supplémentaire de manière à ce qu'il ne vienne pas à zéro pour les valeurs des variables des variables ODZ pour l'expression d'origine.

Exemple 8

Réduisez les fractions à un nouveau dénominateur : a) a + 1 a 0, 7 au dénominateur un, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 au dénominateur x + 8 · y 1 2 .

Solution

a) Sélectionnons un facteur qui nous permettra de réduire à un nouveau dénominateur. une 0, 7 une 0, 3 = une 0, 7 + 0, 3 = une, par conséquent, comme facteur supplémentaire, nous prendrons un 0 , 3. La plage des valeurs admissibles de la variable a comprend l'ensemble de tous les nombres réels positifs. Diplôme dans ce domaine un 0 , 3 ne va pas à zéro.

Multiplions le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un 0 , 3:

une + 1 une 0, 7 = une + 1 une 0, 3 une 0, 7 une 0, 3 = une + 1 une 0, 3 une

b) Faisons attention au dénominateur :

x 2 3 - 2 x 1 3 oui 1 6 + 4 oui 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 oui 1 6 + 2 oui 1 6 2

Multiplions cette expression par x 1 3 + 2 · y 1 6, nous obtenons la somme des cubes x 1 3 et 2 · y 1 6, c'est-à-dire x + 8 · oui 1 2 . C'est notre nouveau dénominateur auquel nous devons réduire la fraction originale.

C'est ainsi que nous avons trouvé le facteur supplémentaire x 1 3 + 2 · y 1 6 . Sur la plage de valeurs admissibles des variables X Et oui l'expression x 1 3 + 2 y 1 6 ne disparaît pas, on peut donc multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par celui-ci :
1 x 2 3 - 2 x 1 3 oui 1 6 + 4 oui 1 3 = = x 1 3 + 2 oui 1 6 x 1 3 + 2 oui 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 oui 1 6 + 4 oui 1 3 = = x 1 3 + 2 oui 1 6 x 1 3 3 + 2 oui 1 6 3 = x 1 3 + 2 oui 1 6 x + 8 oui 1 2

Répondre: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · oui 1 2 .

Exemple 9

Réduisez la fraction : a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Solution

a) Nous utilisons le plus grand dénominateur commun (PGCD), grâce auquel nous pouvons réduire le numérateur et le dénominateur. Pour les nombres 30 et 45, c'est 15. Nous pouvons également procéder à une réduction de x0,5+1 et sur x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

On a:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Ici la présence de facteurs identiques n'est pas évidente. Vous devrez effectuer quelques transformations afin d'obtenir les mêmes facteurs au numérateur et au dénominateur. Pour ce faire, nous développons le dénominateur en utilisant la formule de la différence des carrés :

une 1 4 - b 1 4 une 1 2 - b 1 2 = une 1 4 - b 1 4 une 1 4 2 - b 1 2 2 = = une 1 4 - b 1 4 une 1 4 + b 1 4 une 1 4 - b 1 4 = 1 une 1 4 + b 1 4

Répondre: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) une 1 4 - b 1 4 une 1 2 - b 1 2 = 1 une 1 4 + b 1 4 .

Les opérations de base avec des fractions incluent la conversion de fractions en un nouveau dénominateur et la réduction de fractions. Les deux actions sont réalisées dans le respect d'un certain nombre de règles. Lors de l'addition et de la soustraction de fractions, les fractions sont d'abord réduites à un dénominateur commun, après quoi des opérations (addition ou soustraction) sont effectuées avec les numérateurs. Le dénominateur reste le même. Le résultat de nos actions est une nouvelle fraction dont le numérateur est le produit des numérateurs et le dénominateur est le produit des dénominateurs.

Exemple 10

Faites les étapes x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Solution

Commençons par soustraire les fractions entre parenthèses. Ramenons-les à un dénominateur commun :

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Soustrayons les numérateurs :

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Maintenant, nous multiplions les fractions :

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Réduisons d'une puissance x1 2, nous obtenons 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

De plus, vous pouvez simplifier l'expression de la puissance au dénominateur en utilisant la formule de la différence des carrés : carrés : 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Répondre: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Exemple 11

Simplifiez l'expression de la loi de puissance x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Solution

On peut réduire la fraction de (x 2 , 7 + 1) 2. On obtient la fraction x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Continuons à transformer les puissances de x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Vous pouvez maintenant utiliser la propriété de diviser des puissances avec les mêmes bases : x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

On passe du dernier produit à la fraction x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Répondre: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Dans la plupart des cas, il est plus pratique de transférer les facteurs avec des exposants négatifs du numérateur au dénominateur et inversement, en changeant le signe de l'exposant. Cette action vous permet de simplifier la décision ultérieure. Donnons un exemple : l'expression de puissance (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 peut être remplacée par x 3 · (x + 1) 0, 2.

Conversion d'expressions avec des racines et des puissances

Dans les problèmes, il existe des expressions de puissance qui contiennent non seulement des puissances avec des exposants fractionnaires, mais aussi des racines. Il est conseillé de réduire ces expressions uniquement aux racines ou uniquement aux puissances. Il est préférable d’obtenir des diplômes car il est plus facile de travailler avec eux. Cette transition est particulièrement préférable lorsque l'ODZ des variables de l'expression originale permet de remplacer les racines par des puissances sans avoir besoin d'accéder au module ou de diviser l'ODZ en plusieurs intervalles.

Exemple 12

Exprimez l'expression x 1 9 · x · x 3 6 sous forme de puissance.

Solution

Plage de valeurs de variables autorisées X est défini par deux inégalités x ≥ 0 et x x 3 ≥ 0, qui définissent l'ensemble [ 0 , + ∞) .

Sur ce set on a le droit de passer des racines aux puissances :

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

En utilisant les propriétés des puissances, nous simplifions l’expression de puissance résultante.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Répondre: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Conversion de puissances avec des variables dans l'exposant

Ces transformations sont assez faciles à réaliser si l’on utilise correctement les propriétés du diplôme. Par exemple, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

On peut remplacer par le produit de puissances dont les exposants sont la somme d'une variable et d'un nombre. Sur le côté gauche, cela peut être fait avec le premier et le dernier termes du côté gauche de l'expression :

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Maintenant divisons les deux côtés de l'égalité par 7 2 fois. Cette expression pour la variable x ne prend que des valeurs positives :

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Réduisons les fractions avec des puissances, nous obtenons : 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Enfin, le rapport des puissances avec les mêmes exposants est remplacé par des puissances de rapports, ce qui donne l'équation 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, ce qui équivaut à 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Introduisons une nouvelle variable t = 5 7 x, qui réduit la solution de l'équation exponentielle originale à la solution de l'équation quadratique 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0.

Conversion d'expressions avec des puissances et des logarithmes

Les expressions contenant des puissances et des logarithmes se retrouvent également dans les problèmes. Un exemple de telles expressions est : 1 4 1 - 5 · log 2 3 ou log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. La transformation de telles expressions est effectuée en utilisant les approches et les propriétés des logarithmes évoquées ci-dessus, que nous avons discutées en détail dans le thème « Transformation des expressions logarithmiques ».

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