Diagramme de densité de probabilité d'une distribution uniforme. Mathématiques et informatique. Guide pédagogique tout au long du cursus
La fonction de distribution dans ce cas, selon (5.7), prendra la forme :
où : m - valeur attendue, s – moyenne écart-type.
La distribution normale est aussi appelée gaussienne du nom du mathématicien allemand Gauss. Le fait que valeur aléatoire Il a distribution normale de paramètres : m,, noté comme suit : N (m, s), où : m = a = M ;
Très souvent, dans les formules, l'espérance mathématique est notée un . Si une variable aléatoire est distribuée selon la loi N(0,1), alors on l'appelle une valeur normale normalisée ou standardisée. Sa fonction de distribution est de la forme :
|
|
.Le graphique de la densité de la distribution normale, appelée courbe normale ou courbe gaussienne, est illustré à la Fig. 5.4.
Riz. 5.4. Densité de distribution normale
La détermination des caractéristiques numériques d'une variable aléatoire par sa densité est considérée sur un exemple.
Exemple 6.
Une variable aléatoire continue est donnée par la densité de distribution : 
.
Déterminez le type de distribution, trouvez l'espérance mathématique M(X) et la variance D(X).
En comparant la densité de distribution donnée avec (5.16), nous pouvons conclure que la loi de distribution normale avec m =4 est donnée. Donc, espérance mathématique M(X)=4, variance D(X)=9.
Écart type s=3.
La fonction de Laplace, qui a la forme :
|
|
,est liée à la fonction de distribution normale (5.17), par la relation :
F 0 (x) \u003d F (x) + 0,5.
La fonction de Laplace est impaire.
Ô(-x)=-Ô(x).
Les valeurs de la fonction de Laplace Ф(х) sont tabulées et extraites du tableau en fonction de la valeur de x (voir annexe 1).
La distribution normale d'une variable aléatoire continue joue rôle important dans la théorie des probabilités et dans la description de la réalité, a une très large utilisation dans des événements aléatoires de la nature. En pratique, il existe très souvent des variables aléatoires qui sont formées précisément à la suite de la sommation de nombreux termes aléatoires. En particulier, l'analyse des erreurs de mesure montre qu'elles sont la somme différentes sortes les erreurs. La pratique montre que la distribution de probabilité des erreurs de mesure est proche de la loi normale.
En utilisant la fonction de Laplace, on peut résoudre des problèmes de calcul de la probabilité de tomber dans un intervalle donné et un écart donné d'une variable aléatoire normale.
Avec l'aide de laquelle de nombreux processus réels sont modélisés. Et l'exemple le plus courant est le programme de mouvement. transport public. Supposons un bus (trolleybus / tramway) marche à intervalles de 10 minutes, et à un moment aléatoire vous vous arrêtez. Qu'est-ce que la probabilité de que le bus arrivera dans 1 minute ? Évidemment 1/10ème. Et la probabilité que vous deviez attendre 4-5 minutes ? Aussi . Quelle est la probabilité que le bus doive attendre plus de 9 minutes ? Un dixième !
Considérez certains fini intervalle, laissez pour précision ce sera un segment . Si un valeur aléatoire a constant densité de probabilité sur un segment donné et de densité nulle à l'extérieur, on dit alors qu'il est distribué uniformément. Dans ce cas, la fonction de densité sera strictement définie : 
En effet, si la longueur du segment (voir dessin) est , alors la valeur est inévitablement égale - afin d'obtenir l'aire unitaire du rectangle, et il a été observé propriété connue:
Vérifions-le formellement :
, h.t.p. D'un point de vue probabiliste, cela signifie que la variable aléatoire de manière fiable va prendre une des valeurs du segment..., hein, je deviens petit à petit un vieux chiant =)
L'essence de l'uniformité est que, quel que soit l'écart interne longueur fixe nous n'avons pas considéré (rappelez-vous les minutes "bus")- la probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur dans cet intervalle sera la même. Sur le dessin, j'ai ombré trois de ces probabilités - j'attire à nouveau l'attention sur le fait que ils sont déterminés par les zones, pas les valeurs de fonction !
Prenons une tâche typique :
Exemple 1
Une variable aléatoire continue est donnée par sa densité de distribution : 
Trouvez la constante , calculez et composez la fonction de distribution. Construire des graphiques. Trouver
En d'autres termes, tout ce dont vous pourriez rêver :)
La solution: depuis sur l'intervalle (intervalle terminal) 
, alors la variable aléatoire a distribution uniforme, et la valeur de "ce" peut être trouvée par la formule directe 
. Mais mieux d'une manière générale- en utilisant la propriété :
… pourquoi est-ce mieux ? Pas plus de questions ;)
La fonction de densité est donc : 
Faisons le tour. Valeurs impossible
, et donc des points gras sont placés en bas : 
Pour une vérification rapide, calculons l'aire du rectangle: 
, h.t.p.
Allons trouver valeur attendue, et, probablement, vous devinez déjà à quoi il est égal. Rappel du bus « 10 minutes » : si au hasard Arrêtez-vous pendant de nombreux jours, sauvez-moi, puis moyen il faut attendre 5 minutes.
Oui, c'est vrai - l'attente doit être exactement au milieu de l'intervalle "événement":
, comme prévu.
On calcule la dispersion par formule 
. Et ici, vous avez besoin d'un œil et d'un œil pour calculer l'intégrale :
De cette façon, dispersion: 
composons fonction de répartition 
. Rien de nouveau ici :
1) si , alors et 
;
2) si , alors et :
3) et, enfin, à 
, c'est pourquoi:
Par conséquent: 
Exécutons le dessin : 
Sur l'intervalle "en direct", la fonction de distribution grandit linéairement, et c'est un autre signe que nous avons une variable aléatoire uniformément distribuée. Bon, quand même, après tout dérivé fonction linéaire- est une constante.
La probabilité requise peut être calculée de deux manières, en utilisant la fonction de distribution trouvée :
soit avec l'aide Intégrale définie de la densité : 
Celui qui aime ça.
Et ici, vous pouvez également écrire réponse: ,
, les graphes sont construits le long de la solution.
... "c'est possible", car ils ne punissent généralement pas son absence. Généralement;)
Il existe des formules spéciales pour le calcul et la variable aléatoire uniforme, que je vous suggère de dériver vous-même :
Exemple 2
Variable aléatoire continue définie par la densité 
.
Calculer l'espérance mathématique et la variance. Simplifiez les résultats (formules de multiplication abrégées aider).
Il est pratique d'utiliser les formules obtenues pour la vérification, en particulier, vérifiez le problème que vous venez de résoudre en y substituant les valeurs spécifiques de "a" et "b". Brève solution en bas de page.
Et à la fin de la leçon, nous analyserons quelques tâches de "texte":
Exemple 3
Valeur de division d'échelle appareil de mesure est égal à 0,2. Les lectures des instruments sont arrondies à la division entière la plus proche. En supposant que les erreurs d'arrondi sont uniformément réparties, trouvez la probabilité que lors de la prochaine mesure, elle ne dépasse pas 0,04.
Pour une meilleure compréhension solutions Faisons comme si c'était dispositif mécanique avec une flèche, par exemple, une balance avec une valeur de division de 0,2 kg, et nous devons peser un chat dans un sac. Mais pas pour connaître sa graisse - maintenant, il sera important OÙ la flèche s'arrêtera entre deux divisions adjacentes.
Considérons une variable aléatoire - distance flèches éteintes la plus proche division gauche. Ou à partir de la droite la plus proche, cela n'a pas d'importance.
Composons la fonction de densité de probabilité :
1) Puisque la distance ne peut pas être négative, alors sur l'intervalle . Logiquement.
2) Il résulte de la condition que la flèche des échelles avec tout aussi probable peut s'arrêter n'importe où entre les divisions *
, y compris les divisions elles-mêmes, et donc sur l'intervalle : 
* ce condition essentielle. Ainsi, par exemple, lors de la pesée de morceaux de coton ou de paquets de kilogrammes de sel, l'uniformité sera observée à des intervalles beaucoup plus étroits.
3) Et puisque la distance de la division gauche LA PLUS PROCHE ne peut pas être supérieure à 0,2, alors pour vaut également zéro.
De cette façon: 
A noter que personne ne nous a posé la question de la fonction de densité, et j'ai donné sa construction complète exclusivement dans les circuits cognitifs. À finition tâche, il suffit d'écrire seulement le 2ème paragraphe.
Répondons maintenant à la question du problème. Quand l'erreur d'arrondi à la division la plus proche ne dépasse-t-elle pas 0,04 ? Cela se produira lorsque la flèche ne s'arrêtera pas à plus de 0,04 de la division de gauche sur la droite ou pas plus loin que 0,04 de la division droite la gauche. Dans le dessin, j'ai ombré les zones correspondantes : 
Reste à trouver ces zones à l'aide d'intégrales. En principe, elles peuvent aussi être calculées "à la manière scolaire" (comme les aires des rectangles), mais la simplicité ne trouve pas toujours la compréhension ;)
Par théorème d'addition pour les probabilités d'événements incompatibles:
- la probabilité que l'erreur d'arrondi ne dépasse pas 0,04 (40 grammes pour notre exemple)
Il est facile de voir que le maximum erreur possible l'arrondi est de 0,1 (100 grammes) et donc la probabilité que l'erreur d'arrondi ne dépasse pas 0,1 est égal à un.
Réponse: 0,4
Dans d'autres sources d'information, il existe des explications/conception alternatives de cette tâche, et j'ai choisi l'option qui me paraissait la plus compréhensible. Attention particulière vous devez faire attention au fait que dans la condition, nous pouvons parler d'erreurs PAS d'arrondi, mais de Aléatoire erreurs de mesure, qui sont généralement (mais pas toujours), répartis sur loi normale. De cette façon, Un seul mot peut vous faire changer d'avis ! Soyez vigilant et comprenez le sens.
Et dès que tout tourne en rond, alors nos pieds nous amènent au même arrêt de bus :
Exemple 4
Les bus d'un certain itinéraire circulent strictement selon l'horaire et avec un intervalle de 7 minutes. Composez une fonction de la densité d'une variable aléatoire - le temps d'attente du prochain bus par un passager qui s'est approché au hasard de l'arrêt de bus. Trouvez la probabilité qu'il n'attende pas le bus plus de trois minutes. Trouvez la fonction de distribution et expliquez sa signification significative.
Comme exemple de variable aléatoire continue, considérons une variable aléatoire X uniformément répartie sur l'intervalle (a; b). On dit que la variable aléatoire X distribué équitablement sur l'intervalle (a ; b), si sa densité de distribution n'est pas constante sur cet intervalle :
A partir de la condition de normalisation, on détermine la valeur de la constante c . L'aire sous la courbe de densité de distribution doit être égale à un, mais dans notre cas, il s'agit de l'aire d'un rectangle de base (b - α) et de hauteur c (Fig. 1). 
Riz. 1 Densité de distribution uniforme
De là, nous trouvons la valeur de la constante c : 
Ainsi, la densité d'une variable aléatoire uniformément distribuée est égale à 
Trouvons maintenant la fonction de distribution par la formule :
1) pour 
2) pour
3) pour 0+1+0=1.
De cette façon, 
La fonction de distribution est continue et ne décroît pas (Fig. 2). 
Riz. 2 Fonction de distribution d'une variable aléatoire uniformément distribuée
Allons trouver espérance mathématique d'une variable aléatoire uniformément distribuée selon la formule :
Écart de distribution uniforme est calculé par la formule et est égal à
Exemple 1. La valeur de l'échelon de l'instrument de mesure est de 0,2. Les lectures des instruments sont arrondies à la division entière la plus proche. Trouvez la probabilité qu'une erreur soit commise lors de la lecture : a) inférieure à 0,04 ; b) grand 0,02
La solution. L'erreur d'arrondi est une variable aléatoire uniformément répartie sur l'intervalle entre les divisions entières adjacentes. Considérez l'intervalle (0; 0,2) comme une telle division (Fig. a). L'arrondi peut être effectué à la fois vers la bordure gauche - 0 et vers la droite - 0,2, ce qui signifie qu'une erreur inférieure ou égale à 0,04 peut être commise deux fois, ce qui doit être pris en compte lors du calcul de la probabilité : 
P = 0,2 + 0,2 = 0,4
Dans le second cas, la valeur d'erreur peut également dépasser 0,02 sur les deux limites de division, c'est-à-dire qu'elle peut être supérieure à 0,02 ou inférieure à 0,18. 
Ensuite, la probabilité d'une erreur comme celle-ci :
Exemple #2. On a supposé que la stabilité de la situation économique du pays (l'absence de guerres, catastrophes naturelles etc.) au cours des 50 dernières années peut être jugée par la nature de la répartition de la population par âge : dans un environnement calme, il convient de uniforme. À la suite de l'étude, les données suivantes ont été obtenues pour l'un des pays.
Y a-t-il une raison de croire qu'il y avait une situation instable dans le pays ?Nous effectuons la décision à l'aide de la calculatrice Test d'hypothèse. Tableau de calcul des indicateurs.
| Groupes | Milieu de l'intervalle, x i | Quantité, fi | x je * f je | Fréquence cumulée, S | |x - x cf |*f | (x - x sr) 2 *f | Fréquence, fi /n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
moyenne pondérée
Indicateurs de variation.
Taux de variation absolus.
La plage de variation est la différence entre les valeurs maximale et minimale de l'attribut de la série primaire.
R = X max - X min
R=70 - 0=70
Dispersion- caractérise la mesure de propagation autour de sa valeur moyenne (mesure de dispersion, c'est-à-dire écart à la moyenne).
Écart-type.
Chaque valeur de la série diffère de la valeur moyenne de 43 de pas plus de 23,92
Tester des hypothèses sur le type de distribution.
4. Tester l'hypothèse sur distribution uniforme la population générale.
Afin de tester l'hypothèse sur la distribution uniforme de X, c'est-à-dire selon la loi : f(x) = 1/(b-a) dans l'intervalle (a,b)
nécessaire:
1. Estimez les paramètres a et b - les extrémités de l'intervalle dans lequel les valeurs possibles de X ont été observées, selon les formules (le signe * indique les estimations des paramètres):
2. Trouver la densité de probabilité de la distribution estimée f(x) = 1/(b * - a *)
3. Trouver des fréquences théoriques :
n 1 \u003d nP 1 \u003d n \u003d n * 1 / (b * - un *) * (x 1 - un *)
n 2 \u003d n 3 \u003d ... \u003d n s-1 \u003d n * 1 / (b * - une *) * (x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - une *)*(b * - x s-1)
4. Comparer les fréquences empiriques et théoriques à l'aide du test de Pearson, en supposant le nombre de degrés de liberté k = s-3, où s est le nombre d'intervalles d'échantillonnage initiaux ; si, cependant, une combinaison de petites fréquences, et donc les intervalles eux-mêmes, a été faite, alors s est le nombre d'intervalles restant après la combinaison.
La solution:
1. Trouvez les estimations des paramètres a * et b * de la distribution uniforme à l'aide des formules :
2. Trouvez la densité de la distribution uniforme supposée :
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84,42 - 1,58) = 0,0121
3. Trouvez les fréquences théoriques :
n 1 \u003d n * f (x) (x 1 - un *) \u003d 1 * 0,0121 (10-1,58) \u003d 0,1
n 8 \u003d n * f (x) (b * - x 7) \u003d 1 * 0,0121 (84,42-70) \u003d 0,17
Les n s restants seront égaux :
n s = n*f(x)(x je - x je-1)
| je | n je | n * je | n je - n * je | (n je - n* je) 2 | (n je - n * je) 2 /n * je |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6E-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5E-5 | 0.000199 |
| Total | 1 | 0.0532 |
Par conséquent, la région critique pour cette statistique est toujours de droite :)
