Intégrales indéfinies des fonctions élémentaires de base. Formules de base et méthodes d'intégration

Intégrales principales que tout étudiant devrait connaître

Les intégrales répertoriées sont la base, la base des fondamentaux. Ces formules doivent absolument être rappelées. Lors du calcul de plus intégrales complexes vous devrez les utiliser constamment.

Payez s'il vous plait Attention particulière aux formules (5), (7), (9), (12), (13), (17) et (19). N'oubliez pas d'ajouter une constante arbitraire C à votre réponse lors de l'intégration !

Intégrale d'une constante

∫ UNE ré x = UNE X + C (1)

Intégration d'une fonction de puissance

En fait, il était possible de se limiter aux seules formules (5) et (7), mais le reste des intégrales de ce groupe apparaît si souvent qu'il vaut la peine d'y prêter un peu d'attention.

∫ x ré x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 ré x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x ré x = ln | X | +C (5)
∫ 1 x 2 ré x = − 1 x + C (6)
∫ x n ré x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Intégrales de fonctions exponentielles et de fonctions hyperboliques

Bien entendu, la formule (8) (peut-être la plus pratique pour la mémorisation) peut être considérée comme cas particulier formules (9). Les formules (10) et (11) pour les intégrales du sinus hyperbolique et du cosinus hyperbolique sont facilement dérivées de la formule (8), mais il est préférable de simplement se souvenir de ces relations.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x ré x = c h x + C (10)
∫ c h x ré x = s h x + C (11)

Intégrales de base des fonctions trigonométriques

Une erreur que font souvent les élèves est de confondre les signes dans les formules (12) et (13). En se rappelant que la dérivée du sinus est égale au cosinus, pour une raison quelconque, beaucoup de gens croient que l'intégrale de fonctions sinxégal à cosx. Ce n'est pas vrai! L'intégrale du sinus est égale à « moins cosinus », mais l'intégrale de cosx est égale à « juste le sinus » :

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = péché x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 péché 2 x d x = − c t g x + C (15)

Intégrales qui se réduisent à des fonctions trigonométriques inverses

La formule (16), conduisant à l'arctangente, est naturellement un cas particulier de la formule (17) pour a=1. De même, (18) est un cas particulier de (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Intégrales plus complexes

Il convient également de retenir ces formules. Ils sont également utilisés assez souvent et leur production est assez fastidieuse.

Règles générales d'intégration

1) Intégrale de la somme de deux fonctions égal à la somme intégrales correspondantes : ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) L'intégrale de la différence de deux fonctions est égale à la différence des intégrales correspondantes : ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) La constante peut être retirée du signe intégral : ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Il est facile de voir que la propriété (26) est simplement une combinaison des propriétés (25) et (27).

4) Intégrale de fonction complexe, Si fonction interne est linéaire : ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Ici F(x) est une primitive de la fonction f(x). Attention : cette formule ne fonctionne que lorsque la fonction interne est Ax + B.

Important : il n'existe pas de formule universelle pour l'intégrale du produit de deux fonctions, ainsi que pour l'intégrale d'une fraction :

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (trente)

Cela ne signifie bien entendu pas qu’une fraction ou un produit ne puisse pas être intégré. C’est juste que chaque fois que vous verrez une intégrale comme (30), vous devrez inventer un moyen de la « combattre ». Dans certains cas, l'intégration par parties vous aidera, dans d'autres vous devrez faire un changement de variable, et parfois même des formules d'algèbre ou de trigonométrie « scolaire » peuvent vous aider.

Un exemple simple de calcul de l'intégrale indéfinie

Exemple 1. Trouver l'intégrale : ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Utilisons les formules (25) et (26) (l'intégrale de la somme ou de la différence des fonctions est égale à la somme ou de la différence des intégrales correspondantes. On obtient : ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 j x

Rappelons que la constante peut être soustraite du signe intégral (formule (27)). L'expression est convertie sous la forme

3 ∫ x 2 ré x + 2 ∫ péché x ré x − 7 ∫ e x ré x + 12 ∫ 1 ré x

Utilisons maintenant simplement le tableau des intégrales de base. Nous devrons appliquer les formules (3), (12), (8) et (1). Intégrons fonction de puissance, sinus, exponentiel et constante 1. N'oublions pas d'ajouter une constante arbitraire C à la fin :

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Après transformations élémentaires on obtient la réponse finale :

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Testez-vous par différenciation : prenez la dérivée de la fonction résultante et assurez-vous qu'elle est égale à l'intégrande d'origine.

Tableau récapitulatif des intégrales

∫ UNE ré x = UNE X + C

∫ x ré x = x 2 2 + C

∫ x 2 ré x = x 3 3 + C

∫ 1 x ré x = 2 x + C

∫ 1 x ré x = ln | X | +C

∫ 1 x 2 ré x = − 1 x + C

∫ x n ré x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x ré x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x ré x = c h x + C

∫ c h x ré x = s h x + C

∫ péché x ré x = − cos x + C

∫ cos x d x = péché x + C

∫ 1 cos 2 x ré x = t g x + C

∫ 1 péché 2 x ré x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + une 2 = 1 une a r c t g x une + C (une ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 une 2 − x 2 ré x = arcsin x une + C = − arccos x une + C (une > 0)

∫ 1 x 2 + une 2 ré x = ln | x + x 2 + une 2 | +C

∫ 1 x 2 − une 2 ré x = ln | X + X 2 − une 2 | +C

∫ une 2 − x 2 ré x = x 2 une 2 − x 2 + une 2 2 arcsin x une + C (une > 0)

∫ x 2 + une 2 ré x = x 2 x 2 + une 2 + une 2 2 ln | x + x 2 + une 2 | + C (a > 0)

∫ X 2 − une 2 ré X = X 2 X 2 − une 2 − une 2 2 ln | X + X 2 − une 2 | + C (a > 0)

Téléchargez le tableau des intégrales (partie II) à partir de ce lien

Si vous étudiez dans une université, si vous rencontrez des difficultés avec les mathématiques supérieures (analyse mathématique, algèbre linéaire, théorie des probabilités, statistiques), si vous avez besoin des services d'un professeur qualifié, rendez-vous sur la page d'un tuteur supérieur en mathématiques. Nous résoudrons vos problèmes ensemble !

Vous pourriez aussi être intéressé par

À l’école, de nombreuses personnes ne parviennent pas à résoudre les intégrales ou ont des difficultés avec celles-ci. Cet article vous aidera à le comprendre, car vous y trouverez tout. tableaux intégraux.

Intégral est l'un des principaux calculs et concepts de analyse mathematique. Son apparition répondait à deux objectifs :
Premier but- restaurer une fonction en utilisant sa dérivée.
Deuxième but- calcul de l'aire située à la distance du graphique à la fonction f(x) sur la droite où, a est supérieur ou égal à x supérieur ou égal à b et à l'axe des x.

Ces objectifs nous conduisent à des intégrales définies et indéfinies. Le lien entre ces intégrales réside dans la recherche de propriétés et le calcul. Mais tout coule et tout change avec le temps, de nouvelles solutions ont été trouvées, des ajouts ont été identifiés, conduisant ainsi des intégrales définies et indéfinies vers d'autres formes d'intégration.

Ce qui s'est passé intégrale indéfinie tu demandes. Il s'agit d'une fonction primitive F(x) d'une variable x dans l'intervalle a supérieur à x supérieur à b. est appelée toute fonction F(x), dans un intervalle donné pour toute désignation x, la dérivée est égale à F(x). Il est clair que F(x) est primitive pour f(x) dans l'intervalle a est supérieur à x est supérieur à b. Cela signifie que F1(x) = F(x) + C. C - est n'importe quelle constante et primitive de f(x) dans un intervalle donné. Cette affirmation est inversible ; pour la fonction f(x) - 2, les primitives ne diffèrent que par la constante. Sur la base du théorème du calcul intégral, il s'avère que chaque continu dans l'intervalle a

Intégrale définie est compris comme une limite en sommes entières, ou dans le cas d'une fonction donnée f(x) définie sur une ligne (a,b) ayant une primitive F dessus, c'est-à-dire la différence de ses expressions aux extrémités d'une ligne donnée F(b) - F(une).

Pour illustrer l'étude de ce sujet, je vous propose de regarder la vidéo. Il raconte en détail et montre comment trouver des intégrales.

Chaque tableau d'intégrales en lui-même est très utile, car il aide à résoudre un type spécifique d'intégrale.

Tous types possibles papeterie et plus encore. Vous pouvez acheter via la boutique en ligne v-kant.ru. Ou suivez simplement le lien Papeterie Samara (http://v-kant.ru), la qualité et les prix vous surprendront agréablement.

Les quatre principales méthodes d’intégration sont énumérées ci-dessous.

1) La règle pour intégrer une somme ou une différence.
.
Ici et ci-dessous u, v, w sont des fonctions de la variable d'intégration x.

2) Déplacer la constante en dehors du signe intégral.
Soit c une constante indépendante de x. Il peut alors être retiré du signe intégral.

3) Méthode de remplacement variable.
Considérons l'intégrale indéfinie.
Si nous pouvons trouver une telle fonction φ (X) de x, donc
,
alors, en remplaçant la variable t = φ(x) , on a
.

4) Formule d'intégration par parties.
,
où u et v sont des fonctions de la variable d'intégration.

Objectif final Le calcul d'intégrales indéfinies consiste, par des transformations, à réduire une intégrale donnée aux intégrales les plus simples, appelées intégrales tabulaires. Les intégrales de tableau sont exprimées en termes de fonctions élémentaires formules connues.
Voir le tableau des intégrales >>>

Exemple

Calculer l'intégrale indéfinie

Solution

On note que l'intégrande est la somme et la différence de trois termes :
, Et .
Appliquer la méthode 1 .

Ensuite, on remarque que les intégrandes des nouvelles intégrales sont multipliées par des constantes 5, 4, Et 2 , respectivement. Appliquer la méthode 2 .

Dans le tableau des intégrales on trouve la formule
.
En supposant que n = 2 , on trouve la première intégrale.

Réécrivons la deuxième intégrale sous la forme
.
Nous remarquons que . Alors

Utilisons la troisième méthode. On change la variable t = φ (x) = journal x.
.
Dans le tableau des intégrales on trouve la formule

Puisque la variable d'intégration peut être désignée par n'importe quelle lettre, alors

Réécrivons la troisième intégrale sous la forme
.
Nous appliquons la formule d'intégration par parties.
Disons-le.
Alors
;
;

;
;
.

Finalement nous avons
.
Rassemblons les termes avec x 3 .
.

Répondre

Les références:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Collection de problèmes en mathématiques supérieures, «Lan», 2003.

Listons les intégrales de fonctions élémentaires, qui sont parfois appelés tabulaires :

N'importe laquelle des formules ci-dessus peut être prouvée en prenant la dérivée du membre de droite (le résultat sera l'intégrande).

Méthodes d'intégration

Examinons quelques méthodes d'intégration de base. Ceux-ci inclus:

1. Méthode de décomposition(intégration directe).

Cette méthode est basée sur l'utilisation directe d'intégrales tabulaires, ainsi que sur l'utilisation des propriétés 4 et 5 de l'intégrale indéfinie (c'est-à-dire sortir le facteur constant des parenthèses et/ou représenter l'intégrande comme une somme de fonctions - décomposition de l'intégrande en termes).

Exemple 1. Par exemple, pour trouver(dx/x 4) vous pouvez utiliser directement l'intégrale de table pourx n dx. En fait,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Regardons quelques exemples supplémentaires.

Exemple 2. Pour le trouver, on utilise la même intégrale :

Exemple 3. Pour le trouver, vous devez prendre

Exemple 4. Pour trouver, nous représentons la fonction intégrande sous la forme et utilisez l’intégrale de table pour fonction exponentielle:

Considérons l'utilisation du bracketing comme un facteur constant.

Exemple 5.Trouvons, par exemple . En considérant cela, on obtient

Exemple 6. Nous le trouverons. Parce que le , utilisons l'intégrale de table On a

Dans les deux exemples suivants, vous pouvez également utiliser des parenthèses et des intégrales de tableau :

Exemple 7.

(nous utilisons et );

Exemple 8.

(nous utilisons Et ).

Examinons des exemples plus complexes qui utilisent l'intégrale somme.

Exemple 9. Par exemple, trouvons
. Pour appliquer la méthode d'expansion au numérateur, nous utilisons la formule du cube somme , puis divisons le polynôme résultant par le dénominateur, terme par terme.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

A noter qu'à la fin de la solution une constante commune C est écrite (et non distinctes lors de l'intégration de chaque terme). À l'avenir, il est également proposé d'omettre les constantes de l'intégration des termes individuels dans le processus de solution tant que l'expression contient au moins une intégrale indéfinie (nous écrirons une constante à la fin de la solution).

Exemple 10. Nous trouverons . Pour résoudre ce problème, factorisons le numérateur (après cela nous pouvons réduire le dénominateur).

Exemple 11. Nous le trouverons. Les identités trigonométriques peuvent être utilisées ici.

Parfois, pour décomposer une expression en termes, il faut utiliser des techniques plus complexes.

Exemple 12. Nous trouverons . Dans l'intégrande on sélectionne toute la partie de la fraction . Alors

Exemple 13. Nous trouverons

2. Méthode de remplacement des variables (méthode de substitution)

La méthode est basée sur la formule suivante : f(x)dx=f((t))`(t)dt, où x =(t) est une fonction différentiable sur l'intervalle considéré.

Preuve. Trouvons les dérivées par rapport à la variable tde gauche à droite et bonnes pièces formules.

Notez que sur le côté gauche se trouve une fonction complexe dont l’argument intermédiaire est x = (t). Par conséquent, pour la différencier par rapport à t, nous différencions d’abord l’intégrale par rapport à x, puis prenons la dérivée de l’argument intermédiaire par rapport à t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Dérivé du côté droit :

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Puisque ces dérivées sont égales, par corollaire du théorème de Lagrange, les côtés gauche et droit de la formule à prouver diffèrent d’une certaine constante. Puisque les intégrales indéfinies elles-mêmes sont définies jusqu'à un terme constant indéfini, cette constante peut être omise de la notation finale. Éprouvé.

Un changement de variable réussi permet de simplifier l'intégrale d'origine et, dans les cas les plus simples, de la réduire à une intégrale tabulaire. Dans l'application de cette méthode, une distinction est faite entre les méthodes de substitution linéaire et non linéaire.

a) Méthode de substitution linéaire Regardons un exemple.

Exemple 1.
. Soit t= 1 – 2x, alors

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Il convient de noter que la nouvelle variable n'a pas besoin d'être écrite explicitement. Dans de tels cas, on parle de transformer une fonction sous le signe différentiel ou d'introduire des constantes et des variables sous le signe différentiel, c'est-à-dire Ô remplacement de variable implicite.

Exemple 2. Par exemple, trouvonscos(3x + 2)dx. Par les propriétés du différentiel dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), alorscos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Dans les deux exemples considérés, la substitution linéaire t=kx+b(k0) a été utilisée pour trouver les intégrales.

Dans le cas général, le théorème suivant est valable.

Théorème de substitution linéaire. Soit F(x) une primitive de la fonction f(x). Alorsf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, où k et b sont des constantes,k0.

Preuve.

Par définition de l'intégrale f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Retirons le facteur constant k du signe intégral : kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Nous pouvons maintenant diviser les côtés gauche et droit de l’égalité en deux et obtenir l’énoncé à prouver jusqu’à la désignation du terme constant.

Ce théorème stipule que si dans la définition de l'intégrale f(x)dx= F(x) + C à la place de l'argument x on substitue l'expression (kx+b), cela conduira à l'apparition d'un facteur 1/k devant la primitive.

En utilisant le théorème prouvé, nous résolvons les exemples suivants.

Exemple 3.

Nous trouverons . Ici kx+b= 3 –x, c'est-à-dire k= -1,b= 3. Alors

Exemple 4.

Nous le trouverons. Icikx+b= 4x+ 3, soit k= 4,b= 3. Alors

Exemple 5.

Nous trouverons . Ici kx+b= -2x+ 7, soit k= -2,b= 7. Alors

Exemple 6. Nous trouverons
. Ici kx+b= 2x+ 0, c'est-à-dire k= 2,b= 0.

Comparons le résultat obtenu avec l'exemple 8, qui a été résolu par la méthode de décomposition. En résolvant le même problème en utilisant une méthode différente, nous avons obtenu la réponse
. Comparons les résultats : Ainsi, ces expressions diffèrent les unes des autres par un terme constant , c'est à dire. Les réponses reçues ne se contredisent pas.

Exemple 7. Nous trouverons
. Sélectionnons un carré parfait au dénominateur.

Dans certains cas, la modification d'une variable ne réduit pas directement l'intégrale à une intégrale tabulaire, mais peut simplifier la solution, permettant d'utiliser la méthode d'expansion à une étape ultérieure.

Exemple 8. Par exemple, trouvons . Remplacez t=x+ 2, puis dt=d(x+ 2) =dx. Alors

où C = C 1 – 6 (en remplaçant l'expression (x+ 2) au lieu des deux premiers termes, nous obtenons ½x 2 -2x– 6).

Exemple 9. Nous trouverons
. Soit t= 2x+ 1, alors dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Remplaçons t par l'expression (2x+ 1), ouvrons les parenthèses et donnons des similaires.

Notez qu'au cours du processus de transformations, nous sommes passés à un autre terme constant, car le groupe de termes constants pourrait être omis lors du processus de transformation.

b) Méthode de substitution non linéaire Regardons un exemple.

Exemple 1.
. Soit= -x 2. Ensuite, on pourrait exprimer x en fonction de t, puis trouver une expression pour dx et implémenter un changement de variable dans l'intégrale souhaitée. Mais dans ce cas, il est plus facile de faire les choses différemment. Trouvons dt=d(-x 2) = -2xdx. Notez que l'expression xdx est un facteur de l'intégrande de l'intégrale souhaitée. Exprimons-le à partir de l'égalité résultantexdx= - ½dt. Alors

Fonction primitive et intégrale indéfinie

Fait 1. L'intégration est l'action inverse de la différenciation, à savoir la restauration d'une fonction à partir de la dérivée connue de cette fonction. La fonction ainsi restaurée F(X) est appelé primitive pour la fonction F(X).

Définition 1. Fonction F(X F(X) sur un certain intervalle X, si pour toutes les valeurs Xà partir de cet intervalle l'égalité est vraie F "(X)=F(X), c'est cette fonction F(X) est la dérivée de la fonction primitive F(X). .

Par exemple, la fonction F(X) = péché X est une primitive de la fonction F(X) = cos X sur toute la droite numérique, puisque pour toute valeur de x (péché X)" = (car X) .

Définition 2. Intégrale indéfinie d'une fonction F(X) est l'ensemble de toutes ses primitives. Dans ce cas, la notation est utilisée

∫

F(X)dx

où est le signe ∫ appelée signe intégral, la fonction F(X) – fonction intégrande, et F(X)dx – expression intégrande.

Ainsi, si F(X) – une primitive pour F(X) , Que

∫

F(X)dx = F(X) +C

Où C - constante arbitraire (constante).

Comprendre la signification de l’ensemble des primitives de la fonction comme intégrale indéfinie L’analogie suivante est appropriée. Qu'il y ait une porte (traditionnelle porte en bois). Sa fonction est « d’être une porte ». De quoi est faite la porte ? En bois. Cela signifie que l'ensemble des primitives de l'intégrande de la fonction « être une porte », c'est-à-dire son intégrale indéfinie, est la fonction « être un arbre + C », où C est une constante, qui dans ce contexte peut désignent, par exemple, le type d'arbre. Tout comme une porte est fabriquée à partir de bois à l'aide de certains outils, une dérivée d'une fonction est « fabriquée » à partir d'une fonction primitive à l'aide de formules que nous avons apprises en étudiant la dérivée .

Ensuite, le tableau des fonctions des objets communs et leurs primitives correspondantes (« être une porte » - « être un arbre », « être une cuillère » - « être du métal », etc.) est similaire au tableau des fonctions de base intégrales indéfinies, qui seront données ci-dessous. Le tableau des intégrales indéfinies répertorie les fonctions communes avec une indication des primitives à partir desquelles ces fonctions sont « faites ». Dans une partie des problèmes de recherche de l'intégrale indéfinie, on donne des intégrandes qui peuvent être intégrées directement sans trop d'effort, c'est-à-dire en utilisant le tableau des intégrales indéfinies. Dans des problèmes plus complexes, l'intégrande doit d'abord être transformée afin que les intégrales de table puissent être utilisées.

Fait 2. Lors de la restauration d'une fonction en primitive, il faut prendre en compte une constante arbitraire (constante) C, et afin de ne pas écrire une liste de primitives avec diverses constantes de 1 à l'infini, vous devez écrire un ensemble de primitives avec une constante arbitraire C, par exemple, comme ceci : 5 X³+C. Ainsi, une constante arbitraire (constante) est incluse dans l'expression de la primitive, puisque la primitive peut être une fonction, par exemple 5 X³+4 ou 5 X³+3 et une fois différencié, 4 ou 3, ou toute autre constante tend vers zéro.

Posons le problème d'intégration : pour cette fonction F(X) trouver une telle fonction F(X), dont le dérivéégal à F(X).

Exemple 1. Trouver l'ensemble des primitives d'une fonction

Solution. Pour cette fonction, la primitive est la fonction

Fonction F(X) est appelée primitive de la fonction F(X), si la dérivée F(X) est égal à F(X), ou, ce qui revient au même, différentiel F(X) est égal F(X) dx, c'est à dire.

(2)

La fonction est donc une primitive de la fonction. Cependant, ce n’est pas la seule primitive de . Ils remplissent également des fonctions

Où AVEC– constante arbitraire. Cela peut être vérifié par différenciation.

Ainsi, s'il existe une primitive pour une fonction, alors il existe pour elle un nombre infini de primitives qui diffèrent par un terme constant. Toutes les primitives d’une fonction sont écrites sous la forme ci-dessus. Cela découle du théorème suivant.

Théorème (énoncé formel du fait 2). Si F(X) – primitive de la fonction F(X) sur un certain intervalle X, puis toute autre primitive pour F(X) sur le même intervalle peut être représenté sous la forme F(X) + C, Où AVEC– constante arbitraire.

Dans l'exemple suivant, nous nous tournons vers le tableau des intégrales, qui sera donné au paragraphe 3, après les propriétés de l'intégrale indéfinie. Nous faisons cela avant de lire l'intégralité du tableau afin que l'essence de ce qui précède soit claire. Et après la table et les propriétés, nous les utiliserons dans leur intégralité lors de l'intégration.

Exemple 2. Trouver des ensembles de fonctions primitives :

Solution. On retrouve des ensembles de fonctions primitives à partir desquelles ces fonctions sont « faites ». Lorsque vous mentionnez des formules du tableau des intégrales, acceptez pour l'instant qu'il existe de telles formules là-bas, et nous étudierons un peu plus loin le tableau des intégrales indéfinies lui-même.

1) Application de la formule (7) du tableau des intégrales pour n= 3, on obtient

2) En utilisant la formule (10) du tableau des intégrales pour n= 1/3, on a

3) Depuis

puis selon la formule (7) avec n= -1/4 on trouve

Ce n'est pas la fonction elle-même qui s'écrit sous le signe intégral. F, et son produit par le différentiel dx. Ceci est fait principalement afin d'indiquer par quelle variable la primitive est recherchée. Par exemple,

, ;

ici dans les deux cas l'intégrande est égale à , mais ses intégrales indéfinies dans les cas considérés s'avèrent différentes. Dans le premier cas, cette fonction est considérée comme fonction de la variable X, et dans le second - en fonction de z .

Le processus de recherche de l’intégrale indéfinie d’une fonction est appelé intégration de cette fonction.

Signification géométrique de l'intégrale indéfinie

Supposons que nous devions trouver une courbe y=F(x) et on sait déjà que la tangente de l'angle d'inclinaison de la tangente en chaque point est fonction donnée f(x) abscisse de ce point.

D'après le sens géométrique de la dérivée, la tangente de l'angle d'inclinaison de la tangente en un point donné de la courbe y=F(x) égale à la valeur dérivé F"(x). Il faut donc trouver une telle fonction F(x), Pour qui F"(x)=f(x). Fonction requise dans la tâche F(x) est une primitive de f(x). Les conditions du problème ne sont pas satisfaites par une seule courbe, mais par une famille de courbes. y=F(x)- une de ces courbes, et toute autre courbe peut en être obtenue par translation parallèle le long de l'axe Oy.

Appelons le graphe de la fonction primitive de f(x) courbe intégrale. Si F"(x)=f(x), puis le graphique de la fonction y=F(x) il existe une courbe intégrale.

Fait 3. L'intégrale indéfinie est représentée géométriquement par la famille de toutes les courbes intégrales , comme sur l'image ci-dessous. La distance de chaque courbe à l'origine des coordonnées est déterminée par une constante d'intégration arbitraire C.

Propriétés de l'intégrale indéfinie

Fait 4. Théorème 1. La dérivée d'une intégrale indéfinie est égale à l'intégrande, et sa différentielle est égale à l'intégrande.

Fait 5. Théorème 2. Intégrale indéfinie de la différentielle d'une fonction F(X) est égal à la fonction F(X) jusqu'à un terme constant , c'est à dire.

(3)

Les théorèmes 1 et 2 montrent que la différenciation et l'intégration sont des opérations mutuellement inverses.

Fait 6. Théorème 3. Le facteur constant dans l'intégrande peut être retiré du signe de l'intégrale indéfinie , c'est à dire.