Propriétés de base des aires des rectangles. Qu'est-ce qu'un rectangle ? Cas particuliers d'un rectangle

Niveau moyen

Parallélogramme, rectangle, losange, carré (2019)

1. Parallélogramme

Mot composé « parallélogramme » ? Et derrière cela se cache une figure très simple.

Eh bien, nous avons pris deux lignes parallèles :

Traversé par deux autres :

Et à l'intérieur il y a un parallélogramme !

Quelles propriétés possède un parallélogramme ?

Propriétés d'un parallélogramme.

Autrement dit, que pouvez-vous utiliser si le problème est un parallélogramme ?

Le théorème suivant répond à cette question :

Dessinons tout en détail.

Qu'est-ce que ça veut dire premier point du théorème? Et le fait est que si vous AVEZ un parallélogramme, alors vous le ferez certainement

Le deuxième point signifie que s’il existe un parallélogramme, alors, encore une fois, certainement :

Eh bien, et enfin, le troisième point signifie que si vous AVEZ un parallélogramme, alors assurez-vous de :

Voyez-vous quelle richesse de choix il y a ? Que faut-il utiliser dans le problème ? Essayez de vous concentrer sur la question de la tâche, ou essayez simplement tout un par un - une « clé » fera l'affaire.

Posons-nous maintenant une autre question : comment reconnaître un parallélogramme « à vue » ? Que doit-il arriver à un quadrilatère pour qu’on ait le droit de lui donner le « titre » de parallélogramme ?

Plusieurs signes d'un parallélogramme répondent à cette question.

Signes d'un parallélogramme.

Attention! Commencer.

Parallélogramme.

Attention : si vous avez trouvé au moins un signe dans votre problème, alors vous avez définitivement un parallélogramme et vous pouvez utiliser toutes les propriétés d'un parallélogramme.

2. Rectangulaire

Je pense que ce ne sera pas du tout nouveau pour toi

Première question : un rectangle est-il un parallélogramme ?

Bien sûr que oui ! Après tout, il a - vous vous souvenez, notre signe 3 ?

Et de là, bien sûr, il s'ensuit que dans un rectangle, comme dans tout parallélogramme, les diagonales sont divisées en deux par le point d'intersection.

Mais le rectangle a aussi une propriété distinctive.

Propriété rectangulaire

Pourquoi cette propriété est-elle distinctive ? Parce qu’aucun autre parallélogramme n’a des diagonales égales. Formulons-le plus clairement.

Attention : pour devenir un rectangle, un quadrilatère doit d'abord devenir un parallélogramme, puis démontrer l'égalité des diagonales.

3. Diamant

Et encore la question : un losange est-il un parallélogramme ou pas ?

De plein droit - un parallélogramme, car il a et (rappelez-vous notre fonctionnalité 2).

Et encore une fois, puisqu'un losange est un parallélogramme, alors il doit avoir toutes les propriétés d'un parallélogramme. Cela signifie que dans un losange, les angles opposés sont égaux, les côtés opposés sont parallèles et les diagonales se coupent en deux au point d'intersection.

Propriétés d'un losange

Regarde l'image:

Comme dans le cas d'un rectangle, ces propriétés sont distinctives, c'est-à-dire que pour chacune de ces propriétés, nous pouvons conclure qu'il ne s'agit pas simplement d'un parallélogramme, mais d'un losange.

Signes d'un diamant

Et encore une fois, faites attention : il ne doit pas y avoir seulement un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires, mais un parallélogramme. S'assurer:

Non, bien sûr, bien que ses diagonales soient perpendiculaires et que la diagonale soit la bissectrice des angles et. Mais... les diagonales ne sont pas divisées en deux par le point d'intersection, donc - PAS un parallélogramme, et donc PAS un losange.

Autrement dit, un carré est à la fois un rectangle et un losange. Voyons ce qui se passe.

Est-ce clair pourquoi ? - le losange est la bissectrice de l'angle A, qui est égale à. Cela signifie qu'il se divise (et aussi) en deux angles.

Eh bien, c'est très clair : les diagonales d'un rectangle sont égales ; Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires, et en général, un parallélogramme de diagonales est divisé en deux par le point d'intersection.

NIVEAU MOYEN

Propriétés des quadrilatères. Parallélogramme

Propriétés d'un parallélogramme

Attention! Mots " propriétés d'un parallélogramme"ça veut dire que si dans ta tâche Il y a parallélogramme, alors tous les éléments suivants peuvent être utilisés.

Théorème sur les propriétés d'un parallélogramme.

Dans n'importe quel parallélogramme :

Comprenons pourquoi tout cela est vrai, en d'autres termes NOUS PROUVONS théorème.

Alors pourquoi 1) est-il vrai ?

Si c'est un parallélogramme, alors :

couché en croix
couchés comme des croix.

Cela signifie (selon le critère II : et - général.)

Eh bien, c'est ça, c'est ça ! - prouvé.

Mais au fait ! Nous avons également prouvé 2) !

Pourquoi? Mais (regardez la photo), c'est précisément parce que.

Il en reste 3).

Pour ce faire, il faut encore tracer une deuxième diagonale.

Et maintenant nous voyons cela - selon la caractéristique II (les angles et le côté « entre » eux).

Propriétés prouvées ! Passons aux signes.

Signes d'un parallélogramme

Rappelons que le signe du parallélogramme répond à la question « comment savez-vous ? » qu’une figure est un parallélogramme.

En icônes, c'est comme ça :

Pourquoi? Ce serait bien de comprendre pourquoi - ça suffit. Mais regarde:

Eh bien, nous avons compris pourquoi le signe 1 est vrai.

Eh bien, c'est encore plus simple ! Traçons à nouveau une diagonale.

Ce qui signifie:

ET C'est aussi facile. Mais différent!

Moyens, . Ouah! Mais aussi - interne unilatéral avec une sécante !

Donc le fait que cela signifie cela.

Et si vous regardez de l'autre côté, alors - interne unilatéral avec une sécante ! Et donc.

Voyez-vous à quel point c'est génial ?!

Et encore une fois simple :

Exactement pareil, et.

Faites attention: si tu as trouvé au moins un signe de parallélogramme dans votre problème, alors vous avez exactement parallélogramme et vous pouvez utiliser tout le monde propriétés d'un parallélogramme.

Pour plus de clarté, regardez le schéma :

Propriétés des quadrilatères. Rectangle.

Propriétés du rectangle :

Le point 1) est assez évident - après tout, le signe 3 () est simplement rempli

Et point 2) - très important. Alors prouvons que

Cela signifie des deux côtés (et - en général).

Eh bien, puisque les triangles sont égaux, alors leurs hypoténuses sont également égales.

Prouvé cela!

Et imaginez, l'égalité des diagonales est une propriété distinctive d'un rectangle parmi tous les parallélogrammes. Autrement dit, cette affirmation est vraie^

Comprenons pourquoi ?

Cela signifie (c'est-à-dire les angles d'un parallélogramme). Mais rappelons encore une fois qu'il s'agit d'un parallélogramme, et donc.

Moyens, . Eh bien, bien sûr, il s'ensuit que chacun d'eux ! Après tout, ils doivent tout donner !

Ils ont donc prouvé que si parallélogramme du coup (!) les diagonales s'avèrent égales, alors ça exactement un rectangle.

Mais! Faites attention! C'est à propos de parallélogrammes! Pas n'importe qui un quadrilatère avec des diagonales égales est un rectangle, et seulement parallélogramme!

Propriétés des quadrilatères. Rhombe

Et encore la question : un losange est-il un parallélogramme ou pas ?

De plein droit - un parallélogramme, car il en a (rappelez-vous notre fonctionnalité 2).

Et encore une fois, puisqu’un losange est un parallélogramme, il doit avoir toutes les propriétés d’un parallélogramme. Cela signifie que dans un losange, les angles opposés sont égaux, les côtés opposés sont parallèles et les diagonales se coupent en deux au point d'intersection.

Mais il existe aussi des propriétés particulières. Formulons-le.

Propriétés d'un losange

Pourquoi? Eh bien, puisqu'un losange est un parallélogramme, alors ses diagonales sont divisées en deux.

Pourquoi? Oui, c'est pourquoi !

En d’autres termes, les diagonales se sont révélées être les bissectrices des coins du losange.

Comme dans le cas d'un rectangle, ces propriétés sont distinctif, chacun d'eux est aussi le signe d'un losange.

Signes d'un diamant.

Pourquoi est-ce? Et regarde,

Cela signifie les deux Ces triangles sont isocèles.

Pour être un losange, un quadrilatère doit d’abord « devenir » un parallélogramme, puis présenter la caractéristique 1 ou la caractéristique 2.

Propriétés des quadrilatères. Carré

Autrement dit, un carré est à la fois un rectangle et un losange. Voyons ce qui se passe.

Est-ce clair pourquoi ? Un carré - un losange - est la bissectrice d'un angle égal à. Cela signifie qu'il se divise (et aussi) en deux angles.

Pourquoi? Eh bien, appliquons simplement le théorème de Pythagore à...

RÉSUMÉ ET FORMULES DE BASE

Propriétés d'un parallélogramme :

Les côtés opposés sont égaux : , .
Les angles opposés sont égaux : , .
Les angles d'un côté totalisent : , .
Les diagonales sont divisées en deux par le point d'intersection : .

Propriétés du rectangle :

Les diagonales du rectangle sont égales : .
Un rectangle est un parallélogramme (pour un rectangle toutes les propriétés d'un parallélogramme sont remplies).

Propriétés d'un losange :

Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires : .
Les diagonales d'un losange sont les bissectrices de ses angles : ; ; ; .
Un losange est un parallélogramme (pour un losange toutes les propriétés d'un parallélogramme sont remplies).

Propriétés d'un carré :

Un carré est à la fois un losange et un rectangle, donc pour un carré toutes les propriétés d'un rectangle et d'un losange sont remplies. Et.

Un rectangle est Premièrement géométrique silhouette plate. Il se compose de quatre points reliés entre eux par deux paires de segments égaux qui se coupent perpendiculairement uniquement en ces points.

Un rectangle est défini par un parallélogramme. Autrement dit, un rectangle est un parallélogramme dont les angles sont tous droits, c'est-à-dire égaux à 90 degrés. En géométrie euclidienne, si une figure géométrique a 3 angles sur 4 égaux à 90 degrés, alors le quatrième angle est automatiquement égal à 90 degrés et une telle figure peut être appelée un rectangle. De la définition d'un parallélogramme, il ressort clairement qu'un rectangle est constitué de plusieurs variétés de cette figure sur un plan. Il s’ensuit que les propriétés d’un parallélogramme s’appliquent également à un rectangle. Par exemple : dans un rectangle, les côtés opposés sont de même longueur. Lors de la construction d’une diagonale dans un rectangle, la figure sera divisée en deux triangles identiques. C'est la base du théorème de Pythagore, qui stipule que le carré de l'hypoténuse dans triangle rectangle égal à la somme carrés de ses pattes. Si tous les côtés d’un rectangle régulier sont égaux, alors un tel rectangle est appelé un carré. Un carré est également défini comme un losange dont tous ses côtés sont égaux et tous ses angles sont droits.

Carré rectangle se trouve par la formule : S=a*b, où a est la longueur de ce rectangle, b est la largeur. Par exemple : l'aire d'un rectangle de côtés 4 et 6 cm sera égale à 4 * 6 = 24 centimètres carrés.

Périmètre etc.pitagone calculé par la formule : P= (a+b)*2, où a est la longueur des rectangles, b est la largeur du donné rectangle. Par exemple : le périmètre d'un rectangle de côtés 4 et 8 cm est de 24 cm. Les diagonales d'un rectangle inscrit dans un cercle coïncident avec le diamètre de ce cercle. Le point d'intersection de ces diagonales sera le centre du cercle.

Lors de la preuve de l'implication d'une figure géométrique dans un rectangle, la figure est vérifiée pour l'une des conditions : 1 – carré de la diagonale Les figureségal à la somme des carrés de deux côtés avec un point commun; 2 – diagonales Les figures avoir longueur égale; 3 – tous les angles sont égaux à 90 degrés. Si au moins une condition est remplie, la figure peut être appelée un rectangle.

Objectifs de la leçon

Consolider les connaissances des étudiants sur le sujet rectangle ;
Continuer à présenter aux élèves les définitions et les propriétés d'un rectangle ;
Apprendre aux écoliers à utiliser les connaissances acquises sur ce sujet lors de la résolution de problèmes ;
Développer l'intérêt pour le sujet des mathématiques, de l'attention, pensée logique;
Développer la capacité d’auto-analyse et de discipline.

Objectifs de la leçon

Répéter et consolider les connaissances des élèves sur un concept tel que le rectangle, en s'appuyant sur les connaissances acquises dans les classes précédentes ;
Continuer à améliorer les connaissances des écoliers sur les propriétés et les caractéristiques des rectangles ;
Continuer à développer des compétences dans le processus de résolution de tâches ;
Susciter l'intérêt pour les cours de mathématiques ;
Cultiver l’intérêt pour les sciences exactes et attitude positive pour les cours de mathématiques.

Plan de cours

1. Partie théorique, informations générales, définitions.
2. Répétition du thème « Rectangles ».
3. Propriétés d'un rectangle.
4. Signes d'un rectangle.
5. Faits intéressants de la vie des triangles.
6. Rectangle d'or, concepts généraux.
7. Questions et tâches.

Qu'est-ce qu'un rectangle

Dans les cours précédents, vous avez déjà étudié des sujets sur les rectangles. Maintenant, rafraîchissons notre mémoire et rappelons-nous de quel type de figure on s'appelle un rectangle.

Un rectangle est un parallélogramme dont les quatre angles sont droits et égaux à 90 degrés.

Un rectangle est une figure géométrique composée de 4 côtés et de quatre angles droits.

Les côtés opposés d'un rectangle sont toujours égaux.

Si l'on considère la définition d'un rectangle selon la géométrie euclidienne, alors pour qu'un quadrilatère soit considéré comme un rectangle, il faut que dans cette figure géométrique au moins trois angles soient droits. Il s'ensuit que le quatrième angle sera également de quatre-vingt-dix degrés.

Bien qu'il soit clair que lorsque la somme des angles d'un quadrilatère n'a pas 360 degrés, alors ce chiffre n'est pas un rectangle.

Si un rectangle régulier a tous ses côtés égaux, alors un tel rectangle est appelé un carré.

Dans certains cas, un carré peut agir comme un losange si un tel losange, en plus des côtés égaux, a tous les angles droits.

Pour prouver l'implication de toute figure géométrique dans un rectangle, il suffit que cette figure géométrique réponde à au moins une de ces conditions :

1. le carré de la diagonale de cette figure doit être égal à la somme des carrés de 2 côtés ayant un point commun ;
2. les diagonales de la figure géométrique doivent avoir la même longueur ;
3. Tous les angles d'une figure géométrique doivent être égaux à quatre-vingt-dix degrés.

Si ces conditions répondent à au moins une exigence, alors vous avez un rectangle.

Un rectangle en géométrie est la figure de base principale, qui comporte de nombreux sous-types, avec leurs propres propriétés spéciales et caractéristiques.

Exercice: Nom figures géométriques, qui font référence à des rectangles.

Rectangle et ses propriétés

Rappelons maintenant les propriétés d'un rectangle :

Un rectangle a toutes ses diagonales égales ;
Un rectangle est un parallélogramme dont les côtés opposés sont parallèles ;
Les côtés du rectangle seront également ses hauteurs ;
Un rectangle a des côtés et des angles opposés égaux ;
Un cercle peut être circonscrit à n’importe quel rectangle, et la diagonale du rectangle sera égale au diamètre du cercle circonscrit.
Les diagonales d'un rectangle le divisent en 2 triangles égaux ;
D'après le théorème de Pythagore, le carré de la diagonale d'un rectangle est égal à la somme des carrés de ses 2 côtés non opposés ;

Exercice:

1. Un rectangle a deux possibilités dans lesquelles il peut être divisé en 2 rectangles égaux. Dessinez deux rectangles dans votre cahier et divisez-les pour obtenir 2 rectangles égaux.

2. Tracez un cercle autour du rectangle dont le diamètre sera égal à la diagonale du rectangle.

3. Est-il possible d'inscrire un cercle dans un rectangle de manière à ce qu'il touche tous ses côtés, mais à condition que ce rectangle ne soit pas un carré ?

Panneaux rectangulaires

Le parallélogramme sera un rectangle à condition :

1. si au moins un de ses angles est droit ;
2. si ses quatre angles sont droits ;
3. si les côtés opposés sont égaux ;
4. si au moins trois angles sont droits ;
5. si ses diagonales sont égales ;
6. si le carré de la diagonale est égal à la somme des carrés des côtés non opposés.

C'est intéressant de savoir

Saviez-vous que si vous dessinez les bissectrices des coins d'un rectangle dont les côtés adjacents sont inégaux, lorsqu'elles se croisent, vous obtiendrez un rectangle.

Mais si la bissectrice tracée d'un rectangle coupe l'un de ses côtés, alors elle coupe un triangle isocèle de ce rectangle.

Saviez-vous qu'avant même que Malevitch ne peint son remarquable « Carré Noir », en 1882, lors d'une exposition à Paris, un tableau de Paul Bilo avait été présenté, dont la toile représentait un rectangle noir portant le nom particulier « Bataille des Nègres en le tunnel".

Cette idée avec un rectangle noir a inspiré d'autres personnalités culturelles. L'écrivain et humoriste français Alphonse Allais a publié toute une série de ses œuvres et au fil du temps est apparu un paysage rectangulaire de couleur rouge radical appelé « Récolte de tomates sur les rives de la mer Rouge par des cardinaux apoplectiques », qui n'avait également aucune image.

Exercice

1. Nommer une propriété inhérente uniquement à un rectangle ?
2. Quelle est la différence entre un parallélogramme arbitraire et un rectangle ?
3. Est-il vrai que n’importe quel rectangle peut être un parallélogramme ? Si tel est le cas, prouvez pourquoi ?
4. Énumérez les quadrilatères qui sont des rectangles.
5. Énoncez les propriétés d’un rectangle.

Fait historique

Le rectangle d'Euclide

Saviez-vous que le rectangle d'Euclide, appelé nombre d'or, a longtemps été, pour tout édifice d'importance religieuse, une base parfaite et proportionnelle pour la construction à cette époque. Avec son aide, la plupart des bâtiments de la Renaissance et des temples classiques de la Grèce antique ont été construits.

Un rectangle « doré » est généralement appelé rectangle géométrique, le rapport du plus grand côté au plus petit côté est égal au nombre d’or.

Ce rapport des côtés de ce rectangle était de 382 à 618, soit environ 19 à 31. Le rectangle d'Euclide, à cette époque, était le rectangle le plus pratique, le plus pratique, le plus sûr et le plus régulier de tous. formes géométriques. En raison de cette caractéristique, le rectangle euclidien, ou ses approximations, a été utilisé partout. Il était utilisé dans les maisons, les tableaux, les meubles, les fenêtres, les portes et même les livres.

Chez les Indiens Navajo, le rectangle était comparé à forme féminine, puisqu'elle était considérée comme ordinaire, forme standard maison, symbolisant la femme à qui appartient cette maison.

Matières > Mathématiques > Mathématiques 8e année

Rectangle est un quadrilatère dont chaque angle est droit.

Preuve

La propriété s'explique par l'action de la caractéristique 3 du parallélogramme (c'est-à-dire \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Les côtés opposés sont égaux.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Les côtés opposés sont parallèles.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Les côtés adjacents sont perpendiculaires les uns aux autres.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB

5. Les diagonales du rectangle sont égales.

CA = BD

Preuve

Selon propriété 1 le rectangle est un parallélogramme, ce qui signifie AB = CD.

Donc \triangle ABD = \triangle DCA sur deux pattes (AB = CD et AD - articulation).

Si les deux figures ABC et DCA sont identiques, alors leurs hypoténuses BD et AC sont également identiques.

Donc AC = BD.

De toutes les figures (uniquement des parallélogrammes !), seul le rectangle a des diagonales égales.

Prouvons-le aussi.

ABCD est un parallélogramme \Rightarrow AB = CD, AC = BD par condition. \Flèche droite \triangle ABD = \triangle DCA déjà sur trois côtés.

Il s’avère que \angle A = \angle D (comme les angles d’un parallélogramme). Et \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Nous concluons que \angle A = \angle B = \angle C = \angle D. Ils sont tous 90^(\circ) . Au total - 360^(\circ) .

Éprouvé!

6. Le carré d'une diagonale est égal à la somme des carrés de ses deux côtés adjacents.

Cette propriété est vraie grâce au théorème de Pythagore.

AC ^ 2 = AD ^ 2 + CD ^ 2

7. La diagonale divise le rectangle en deux triangles rectangles identiques.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Le point d'intersection des diagonales les divise en deux.

AO = BO = CO = DO

9. Le point d'intersection des diagonales est le centre du rectangle et du cercle circonscrit.

10. La somme de tous les angles est de 360 degrés.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)

11. Tous les angles d’un rectangle sont droits.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)

12. Le diamètre d'un cercle circonscrit à un rectangle est égal à la diagonale du rectangle.

13. Vous pouvez toujours décrire un cercle autour d'un rectangle.

Cette propriété est vraie du fait que la somme des angles opposés d'un rectangle est de 180^(\circ)

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. Un rectangle peut contenir un cercle inscrit et un seul s'il a des côtés de longueur égale (c'est un carré).

Le cours vidéo « Obtenir un A » comprend tous les sujets dont vous avez besoin pour réussite Examen d'État unifié en mathématiques pour 60-65 points. Compléter toutes les tâches 1 à 13 de l'examen d'État unifié de profil en mathématiques. Convient également pour réussir l'examen d'État unifié de base en mathématiques. Si vous souhaitez réussir l'examen d'État unifié avec 90 à 100 points, vous devez résoudre la partie 1 en 30 minutes et sans erreurs !

Cours de préparation à l'examen d'État unifié pour les classes 10-11, ainsi que pour les enseignants. Tout ce dont vous avez besoin pour résoudre la partie 1 de l'examen d'État unifié en mathématiques (les 12 premiers problèmes) et le problème 13 (trigonométrie). Et cela représente plus de 70 points à l'examen d'État unifié, et ni un étudiant de 100 points ni un étudiant en sciences humaines ne peuvent s'en passer.

Toute la théorie nécessaire. Moyens rapides solutions, pièges et secrets de l'examen d'État unifié. Toutes les tâches actuelles de la partie 1 de la banque de tâches FIPI ont été analysées. Le cours est entièrement conforme aux exigences de l'examen d'État unifié 2018.

Le cours contient 5 grands sujets de 2,5 heures chacun. Chaque sujet est donné de toutes pièces, simplement et clairement.

Des centaines de tâches d'examen d'État unifié. Problèmes de mots et théorie des probabilités. Algorithmes simples et faciles à retenir pour résoudre des problèmes. Géométrie. Théorie, matériel de référence, analyse de tous types de tâches d'examen d'État unifié. Stéréométrie. Solutions délicates, aide-mémoire utiles, développement de l'imagination spatiale. Trigonométrie de zéro au problème 13. Comprendre au lieu de bachoter. Explications claires de concepts complexes. Algèbre. Racines, puissances et logarithmes, fonction et dérivée. Base de solution tâches complexes 2 parties de l'examen d'État unifié.