Trouver l'aire d'une figure plate délimitée par des graphes de fonctions. Calculatrice en ligne Calculer une intégrale définie (aire d'un trapèze curviligne)

Tache 1(à propos du calcul de l'aire trapèze curviligne).

En cartésien système rectangulaire coordonnées xOy, une figure est donnée (voir figure), délimitée par l'axe x, des droites x \u003d a, x \u003d b (un trapèze curviligne. Il est nécessaire de calculer l'aire du trapèze curviligne .
Décision. La géométrie nous donne des recettes pour calculer les aires des polygones et certaines parties d'un cercle (secteur, segment). En utilisant des considérations géométriques, nous ne pourrons trouver qu'une valeur approximative de la surface requise, en argumentant comme suit.

Séparons le segment [a ; b] (base d'un trapèze curviligne) en n parties égales ; cette partition est réalisable à l'aide des points x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Traçons des lignes passant par ces points parallèles à l'axe des ordonnées. Ensuite, le trapèze curviligne donné sera divisé en n parties, en n colonnes étroites. L'aire du trapèze entier est égale à la somme des aires des colonnes.

Considérez séparément la colonne k, c'est-à-dire trapèze curviligne dont la base est un segment. Remplaçons-le par un rectangle de même base et de hauteur égale à f(x k) (voir figure). L'aire du rectangle est \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), où \(\Delta x_k \) est la longueur du segment ; il est naturel de considérer le produit compilé comme une valeur approximative de l'aire de la kème colonne.

Si maintenant on fait de même avec toutes les autres colonnes, alors on arrive au résultat suivant : l'aire S d'un trapèze curviligne donné est approximativement égale à l'aire S n d'une figure étagée composée de n rectangles (voir figure) :
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Ici, par souci d'uniformité de notation, nous considérons que a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - longueur de segment , \(\Delta x_1 \) - longueur de segment , etc ; tandis que, comme convenu ci-dessus, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Donc, \(S \approx S_n \), et cette égalité approchée est d'autant plus précise que n est grand.
Par définition, on suppose que l'aire souhaitée du trapèze curviligne est égale à la limite de la suite (S n) :
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Tâche 2(à propos du déplacement d'un point)
Un point matériel se déplace en ligne droite. La dépendance de la vitesse au temps est exprimée par la formule v = v(t). Trouver le déplacement d'un point sur l'intervalle de temps [a ; b].
Décision. Si le mouvement était uniforme, alors le problème serait résolu très simplement : s = vt, c'est-à-dire s = v(b-a). Pour un mouvement inégal, on doit utiliser les mêmes idées sur lesquelles la solution du problème précédent était basée.
1) Diviser l'intervalle de temps [a ; b] en n parties égales.
2) Considérez un intervalle de temps et supposez que pendant cet intervalle de temps la vitesse était constante, comme au temps t k . Donc, nous supposons que v = v(t k).
3) Trouver la valeur approximative du déplacement du point sur l'intervalle de temps , cette valeur approximative sera notée s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Trouver la valeur approximative du déplacement s :
\(s \environ S_n \) où
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Le déplacement requis est égal à la limite de la séquence (S n) :
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Résumons. Les solutions de divers problèmes ont été réduites au même modèle mathématique. De nombreux problèmes de divers domaines de la science et de la technologie conduisent au même modèle dans le processus de solution. Donc ça modèle mathématique doivent être spécialement étudiés.

Le concept d'intégrale définie

Donnons une description mathématique du modèle qui a été construit dans les trois problèmes considérés pour la fonction y = f(x), qui est continue (mais pas nécessairement non négative, comme cela a été supposé dans les problèmes considérés) sur le segment [ un; b] :
1) diviser le segment [a ; b] en n parties égales ;
2) somme $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calculer $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

je sais analyse mathematique on prouve que cette limite existe dans le cas d'une fonction continue (ou continue par morceaux). Il est appelé une intégrale définie de la fonction y = f(x) sur le segment [a ; b] et sont notés comme ceci :
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Les nombres a et b sont appelés les limites d'intégration (inférieur et supérieur, respectivement).

Revenons aux tâches décrites ci-dessus. La définition de l'aire donnée dans le problème 1 peut maintenant être réécrite comme suit :
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
ici S est l'aire du trapèze curviligne représenté sur la figure ci-dessus. C'est quoi sens géométrique de l'intégrale définie.

La définition du déplacement s d'un point se déplaçant en ligne droite avec une vitesse v = v(t) sur l'intervalle de temps de t = a à t = b, donnée dans le problème 2, peut être réécrite comme suit :

Newton - formule de Leibniz

Pour commencer, répondons à la question : quelle est la relation entre une intégrale définie et une primitive ?

La réponse se trouve dans le problème 2. D'une part, le déplacement s d'un point se déplaçant le long d'une droite avec une vitesse v = v(t) sur un intervalle de temps de t = a à t = b et est calculé par la formule
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

D'autre part, la coordonnée du point mobile est la primitive de la vitesse - notons-la s(t); donc le déplacement s est exprimé par la formule s = s(b) - s(a). En conséquence, nous obtenons :
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
où s(t) est la primitive de v(t).

Le théorème suivant a été prouvé au cours de l'analyse mathématique.
Théorème. Si la fonction y = f(x) est continue sur le segment [a ; b], alors la formule
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
où F(x) est la primitive de f(x).

Cette formule est généralement appelée Formule de Newton-Leibniz en l'honneur du physicien anglais Isaac Newton (1643-1727) et du philosophe allemand Gottfried Leibniz (1646-1716), qui l'ont reçu indépendamment l'un de l'autre et presque simultanément.

En pratique, au lieu d'écrire F(b) - F(a), ils utilisent la notation \(\left. F(x)\right|_a^b \) (on l'appelle parfois double substitution) et, en conséquence, réécrivez la formule de Newton-Leibniz sous cette forme :
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

L'informatique Intégrale définie, trouvez d'abord la primitive, puis effectuez une double substitution.

Sur la base de la formule de Newton-Leibniz, on peut obtenir deux propriétés d'une intégrale définie.

Propriété 1. Intégrale de la somme des fonctions est égal à la somme intégrales :
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Propriété 2. Le facteur constant peut être extrait du signe intégral :
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Calcul des aires de figures planes à l'aide d'une intégrale définie

En utilisant l'intégrale, vous pouvez calculer l'aire non seulement des trapèzes curvilignes, mais aussi des figures plates de plus de type complexe, tel que celui représenté sur la figure. La figure P est bornée par des droites x = a, x = b et des graphes de fonctions continues y = f(x), y = g(x), et sur le segment [a ; b] l'inégalité \(g(x) \leq f(x) \) est vérifiée. Pour calculer l'aire S d'une telle figure, on procédera comme suit :
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Ainsi, l'aire S de la figure délimitée par les droites x = a, x = b et les graphes des fonctions y = f(x), y = g(x), continues sur le segment et telles que pour tout x de le segment [a ; b] l'inégalité \(g(x) \leq f(x) \) est satisfaite, est calculée par la formule
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tableau des intégrales indéfinies (primitives) de certaines fonctions

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) )x+C $$

Tâche numéro 3. Faites un dessin et calculez l'aire de la figure, délimité par des lignes

Application de l'intégrale à la résolution de problèmes appliqués

Calcul de surface

L'intégrale définie d'une fonction continue non négative f(x) est numériquement égale à l'aire d'un trapèze curviligne délimité par la courbe y \u003d f (x), l'axe O x et les droites x \u003d a et x \u003d b. En conséquence, la formule de l'aire s'écrit comme suit :

Considérons quelques exemples de calcul des aires de figures planes.

Tâche numéro 1. Calculez la zone délimitée par les lignes y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Décision. Construisons une figure, dont nous aurons à calculer l'aire.

y \u003d x 2 + 1 est une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut, et la parabole est décalée vers le haut d'une unité par rapport à l'axe O y (Figure 1).

Figure 1. Graphique de la fonction y = x 2 + 1

Tâche numéro 2. Calculez la zone délimitée par les lignes y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 dans la plage de 0 à 1.

Décision. Le graphique de cette fonction est la parabole de la branche, qui est dirigée vers le haut, et la parabole est décalée d'une unité vers le bas par rapport à l'axe O y (Figure 2).

Figure 2. Graphique de la fonction y \u003d x 2 - 1

Tâche numéro 3. Faites un dessin et calculez l'aire de la figure délimitée par des lignes

y = 8 + 2x - x 2 et y = 2x - 4.

Décision. La première de ces deux droites est une parabole à branches pointant vers le bas, puisque le coefficient en x 2 est négatif, et la deuxième droite est une droite passant par les deux axes de coordonnées.

Pour construire une parabole, cherchons les coordonnées de son sommet : y'=2 – 2x ; 2 – 2x = 0, x = 1 – sommet abscisse ; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 est son ordonnée, N(1;9) est son sommet.

On trouve maintenant les points d'intersection de la parabole et de la droite en résolvant le système d'équations :

Mettre en équation les côtés droits d'une équation dont les côtés gauches sont égaux.

Nous obtenons 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 ou x 2 - 12 \u003d 0, d'où .

Ainsi, les points sont les points d'intersection de la parabole et de la droite (Figure 1).

Figure 3 Graphiques des fonctions y = 8 + 2x – x 2 et y = 2x – 4

Construisons une droite y = 2x - 4. Elle passe par les points (0;-4), (2; 0) sur les axes de coordonnées.

Pour construire une parabole, vous pouvez également avoir ses points d'intersection avec l'axe 0x, c'est-à-dire les racines de l'équation 8 + 2x - x 2 = 0 ou x 2 - 2x - 8 = 0. Par le théorème de Vieta, c'est facile de trouver ses racines : x 1 = 2, x 2 = quatre.

La figure 3 montre une figure (segment parabolique M 1 N M 2) délimitée par ces lignes.

La deuxième partie du problème consiste à trouver l'aire de cette figure. Son aire peut être trouvée en utilisant une intégrale définie en utilisant la formule .

Appliqué à cette condition, on obtient l'intégrale :

2 Calcul du volume d'un corps de révolution

Le volume du corps obtenu à partir de la rotation de la courbe y \u003d f (x) autour de l'axe O x est calculé par la formule :

Lors de la rotation autour de l'axe O y, la formule ressemble à :

Tâche numéro 4. Déterminer le volume du corps obtenu à partir de la rotation d'un trapèze curviligne délimité par des droites x \u003d 0 x \u003d 3 et une courbe y \u003d autour de l'axe O x.

Décision. Construisons un dessin (Figure 4).

Figure 4. Graphique de la fonction y =

Le volume souhaité est égal à

Tâche numéro 5. Calculer le volume du corps obtenu à partir de la rotation d'un trapèze curviligne délimité par une courbe y = x 2 et des droites y = 0 et y = 4 autour de l'axe O y .

Décision. Nous avons:

Questions de révision

En fait, pour trouver l'aire d'une figure, vous n'avez pas besoin d'autant de connaissances sur l'intégrale indéfinie et définie. La tâche "calculer l'aire à l'aide d'une intégrale définie" implique toujours la construction d'un dessin, vos connaissances et vos compétences en dessin seront donc un problème beaucoup plus pertinent. A cet égard, il est utile de rafraîchir la mémoire des graphes des principales fonctions élémentaires, et, au minimum, de pouvoir construire une droite, et une hyperbole.

Un trapèze curviligne est une figure plane délimitée par un axe, des droites et un graphe d'une fonction continue sur un segment qui ne change pas de signe sur cet intervalle. Laisser chiffre donné situé pas moins abscisse:

Puis l'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à une certaine intégrale. Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique.

En termes de géométrie, l'intégrale définie est la ZONE.

C'est-à-dire, l'intégrale définie (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une figure. Par exemple, considérons l'intégrale définie . L'intégrande définit une courbe sur le plan situé au-dessus de l'axe (ceux qui le souhaitent peuvent compléter le dessin), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égal à l'aire trapèze curviligne correspondant.

Exemple 1

Il s'agit d'un énoncé de tâche typique. D'abord et moment crucial solutions - construction d'un dessin. De plus, le dessin doit être construit DROITE.

Lors de la construction d'un plan, je recommande l'ordre suivant : première il est préférable de construire toutes les lignes (le cas échéant) et seulement après- paraboles, hyperboles, graphiques d'autres fonctions. Les graphes de fonctions sont plus rentables à construire ponctuellement.

Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.
Faisons un dessin (notez que l'équation définit l'axe):

Sur le segment, le graphe de la fonction est situé sur l'axe, donc:

Réponse:

Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. À ce cas«À l'œil nu», nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - eh bien, environ 9 seront tapées, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous avions, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors, évidemment, une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent clairement pas dans le chiffre en question, au plus une douzaine. Si la réponse s'est avérée négative, la tâche a également été résolue de manière incorrecte.

Exemple 3

Calculez l'aire de la figure délimitée par des lignes et des axes de coordonnées.

Décision: Faisons un dessin :

Si le trapèze curviligne est situé sous essieu(ou au moins pas plus haut axe donné), alors son aire peut être trouvée par la formule :

Dans ce cas:

Attention! Ne confondez pas les deux types de tâches:

1) Si on vous demande de résoudre juste une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

2) Si on vous demande de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie, alors l'aire est toujours positive ! C'est pourquoi le moins apparaît dans la formule que nous venons de considérer.

En pratique, le plus souvent, la figure se situe à la fois dans les demi-plans supérieur et inférieur et, par conséquent, à partir des problèmes scolaires les plus simples, nous passons à des exemples plus significatifs.

Exemple 4

Trouver l'aire d'une figure plate délimitée par des lignes , .

Décision: Vous devez d'abord terminer le dessin. De manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes d'aire, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole et de la droite. Ceci peut être fait de deux façons. La première voie est analytique. On résout l'équation :

Par conséquent, la limite inférieure d'intégration , la limite supérieure d'intégration .

Il est préférable de ne pas utiliser cette méthode si possible..

Il est beaucoup plus rentable et plus rapide de construire les lignes point par point, tandis que les limites de l'intégration se découvrent comme « d'elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphe est suffisamment grand, ou si la construction filetée n'a pas révélé les limites d'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Et nous considérerons également un tel exemple.

Revenons à notre tâche : il est plus rationnel de construire d'abord une droite et ensuite seulement une parabole. Faisons un dessin :

Et maintenant formule de travail : S'il y a une fonction continue sur l'intervalle Meilleur que ou égal certains fonction continue, alors l'aire de la figure délimitée par les graphiques de ces fonctions et lignes droites , , peut être trouvée par la formule:

Ici, il n'est plus nécessaire de penser où se trouve la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe, et, grosso modo, il importe quel graphique est AU-DESSUS(par rapport à un autre graphique), et lequel est EN DESSOUS.

Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au-dessus de la droite, il faut donc soustraire de

L'achèvement de la solution pourrait ressembler à ceci :

Le chiffre souhaité est limité par une parabole d'en haut et une droite d'en bas.
Sur le segment , selon la formule correspondante :

Réponse:

Exemple 4

Calculez l'aire de la figure délimitée par les lignes , , , .

Décision: Faisons d'abord un dessin :

La figure dont nous devons trouver la surface est ombrée en bleu.(regardez attentivement l'état - comme le chiffre est limité !). Mais en pratique, à cause de l'inattention, un "pépin" se produit souvent, qu'il faut trouver la zone de la figure qui est ombrée en vert!

Cet exemple est également utile en ce sens que l'aire de la figure est calculée à l'aide de deux intégrales définies.

Vraiment:

1) Sur le segment au-dessus de l'axe, il y a un graphique en ligne droite ;

2) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique hyperbole.

Il est bien évident que les domaines peuvent (et doivent) être ajoutés, donc :

Dans cet article, vous apprendrez à trouver l'aire d'une figure délimitée par des lignes à l'aide de calculs intégraux. Pour la première fois, nous rencontrons la formulation d'un tel problème au lycée, alors que l'étude de certaines intégrales vient d'être achevée et qu'il est temps de commencer l'interprétation géométrique des connaissances acquises dans la pratique.

Alors, que faut-il pour résoudre avec succès le problème de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'intégrales:

• Capacité à dessiner correctement des dessins;
• Capacité à résoudre une intégrale définie en utilisant formule connue Newton-Leibniz ;
• La capacité de "voir" une solution plus rentable - c'est-à-dire comprendre comment dans tel ou tel cas il sera plus commode de réaliser l'intégration? Le long de l'axe des x (OX) ou de l'axe des y (OY) ?
• Eh bien, où sans calculs corrects ?) Cela inclut de comprendre comment résoudre cet autre type d'intégrales et de corriger les calculs numériques.

Algorithme pour résoudre le problème du calcul de l'aire d'une figure délimitée par des lignes :

1. Nous construisons un dessin. Il est conseillé de le faire sur un morceau de papier dans une cage, à grande échelle. On signe au crayon au-dessus de chaque graphe le nom de cette fonction. La signature des graphiques est effectuée uniquement pour la commodité des calculs ultérieurs. Après avoir reçu le graphique du chiffre souhaité, dans la plupart des cas, il sera immédiatement clair quelles limites d'intégration seront utilisées. Ainsi on résout le problème méthode graphique. Cependant, il arrive que les valeurs des bornes soient fractionnaires ou irrationnelles. Par conséquent, vous pouvez effectuer des calculs supplémentaires, passez à la deuxième étape.

2. Si les limites d'intégration ne sont pas définies explicitement, nous trouvons les points d'intersection des graphiques les uns avec les autres et voyons si notre solution graphique correspond à la solution analytique.

3. Ensuite, vous devez analyser le dessin. Selon la localisation des graphiques de fonctions, il existe différentes approches pour trouver l'aire de la figure. Considérer différents exemples pour trouver l'aire d'une figure à l'aide d'intégrales.

3.1. La version la plus classique et la plus simple du problème consiste à trouver l'aire d'un trapèze curviligne. Qu'est-ce qu'un trapèze curviligne ? C'est une figure plate délimitée par l'axe des abscisses (y=0), droit x = une, x = b et toute courbe continue sur l'intervalle de un avant b. Dans le même temps, ce chiffre est non négatif et n'est pas situé plus bas que l'axe des x. Dans ce cas, l'aire du trapèze curviligne est numériquement égale à l'intégrale définie calculée à l'aide de la formule de Newton-Leibniz :

Exemple 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Quelles lignes définissent la figure? Nous avons une parabole y = x2 - 3x + 3, qui est situé au-dessus de l'axe OH, il est non négatif, car tous les points de cette parabole ont valeurs positives. Ensuite, étant donné les droites x = 1 et x = 3 qui sont parallèles à l'axe UO, sont les lignes de délimitation de la figure à gauche et à droite. bien y = 0, elle est l'axe des abscisses, ce qui limite la figure par le bas. La figure résultante est ombrée, comme le montre la figure de gauche. Dans ce cas, vous pouvez immédiatement commencer à résoudre le problème. Nous avons devant nous un exemple simple de trapèze curviligne, que nous résolvons ensuite à l'aide de la formule de Newton-Leibniz.

3.2. Dans le paragraphe 3.1 précédent, le cas a été analysé lorsque le trapèze curviligne est situé au-dessus de l'axe des abscisses. Considérons maintenant le cas où les conditions du problème sont les mêmes, sauf que la fonction se trouve sous l'axe des x. Un moins est ajouté à la formule standard de Newton-Leibniz. Comment résoudre un tel problème, nous examinerons plus loin.

Exemple 2 . Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

À cet exemple nous avons une parabole y=x2+6x+2, qui prend sa source sous l'axe OH, droit x=-4, x=-1, y=0. Ici y = 0 limite le chiffre souhaité par le haut. Direct x = -4 et x = -1 ce sont les limites à l'intérieur desquelles l'intégrale définie sera calculée. Le principe de la résolution du problème consistant à trouver l'aire d'une figure coïncide presque complètement avec l'exemple numéro 1. La seule différence est que fonction donnée n'est pas positif, et tout est aussi continu sur l'intervalle [-4; -1] . Que signifie pas positif ? Comme on peut le voir sur la figure, la figure qui se trouve dans le x donné a des coordonnées exclusivement "négatives", ce que nous devons voir et retenir lors de la résolution du problème. Nous recherchons l'aire de la figure en utilisant la formule de Newton-Leibniz, uniquement avec un signe moins au début.

L'article n'est pas terminé.