Comment mesurer l'aire d'un demi-cercle. Aire d'un cercle : formule. Quelle est l'aire d'un cercle circonscrit et inscrit dans un carré, un triangle rectangle et isocèle, un rectangle, un trapèze isocèle
Les cercles nécessitent une approche plus prudente et sont beaucoup moins courants dans les tâches B5. En même temps, régime général les solutions sont encore plus simples que dans le cas des polygones (voir la leçon « Aires de polygones sur une grille de coordonnées »).
Dans de telles tâches, il suffit de trouver le rayon du cercle R. Ensuite, vous pouvez calculer l'aire du cercle en utilisant la formule S = πR 2. Il résulte également de cette formule que pour la résoudre il suffit de trouver R 2.
Pour retrouver les valeurs indiquées, il suffit d'indiquer un point sur le cercle qui se situe à l'intersection des lignes du quadrillage. Et puis utilisez le théorème de Pythagore. Considérons exemples spécifiques calculs de rayon :
Tâche. Trouvez les rayons des trois cercles indiqués sur la figure :
Réalisons des constructions supplémentaires dans chaque cercle :
Dans chaque cas, le point B est choisi sur le cercle pour se trouver à l’intersection des lignes du quadrillage. Le point C dans les cercles 1 et 3 complète la figure en un triangle rectangle. Reste à trouver les rayons :
Considérons le triangle ABC dans le premier cercle. D'après le théorème de Pythagore : R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.
Pour le deuxième cercle tout est évident : R = AB = 2.
Le troisième cas est similaire au premier. À partir du triangle ABC en utilisant le théorème de Pythagore : R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.
Nous savons maintenant comment trouver le rayon d'un cercle (ou au moins son carré). Nous pouvons donc trouver la zone. Il existe des problèmes où vous devez trouver l'aire d'un secteur, et non le cercle entier. Dans de tels cas, il est facile de savoir à quelle partie du cercle se trouve ce secteur, et ainsi de trouver l'aire.
Tâche. Trouvez l’aire S du secteur ombré. Veuillez indiquer S/π dans votre réponse.
Évidemment, le secteur forme un quart de cercle. Par conséquent, S = 0,25 S cercle.
Il reste à trouver S du cercle - l'aire du cercle. Pour ce faire, nous effectuons une construction supplémentaire :
Le triangle ABC est un triangle rectangle. D'après le théorème de Pythagore nous avons : R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.
On trouve maintenant l'aire du cercle et du secteur : S cercle = πR 2 = 8π ; S = 0,25 S cercle = 2π.
Finalement, la valeur souhaitée est S /π = 2.
Zone de secteur avec un rayon inconnu
C'est absolument nouveau genre tâches, il n'y avait rien de tel en 2010-2011. Selon la condition, on nous donne un cercle d'une certaine surface (à savoir la surface, pas le rayon !). Ensuite, à l'intérieur de ce cercle, un secteur est sélectionné dont il faut trouver l'aire.
La bonne nouvelle est que ces problèmes sont les plus faciles de tous les problèmes de domaine qui apparaissent dans l'examen d'État unifié de mathématiques. De plus, le cercle et le secteur sont toujours placés sur une grille de coordonnées. Par conséquent, pour savoir comment résoudre de tels problèmes, il suffit de regarder l'image :
Laissez le cercle d'origine avoir une aire S = 80. Ensuite, il peut être divisé en deux secteurs d'aire S = 40 chacun (voir étape 2). De même, chacun de ces « moitiés » de secteurs peut être à nouveau divisé en deux - nous obtenons quatre secteurs d'aire S = 20 chacun (voir étape 3). Enfin, nous pouvons diviser chacun de ces secteurs en deux autres - nous obtenons 8 secteurs « rebuts ». La superficie de chacun de ces « débris » sera S = 10.
Attention : il n'y a pas de division plus fine dans aucun problème de mathématiques USE ! Ainsi, l'algorithme de résolution du problème B-3 est le suivant :
- Découpez le cercle original en 8 secteurs « chutes ». L'aire de chacun d'eux est exactement 1/8 de l'aire du cercle entier. Par exemple, si selon la condition le cercle a une aire S du cercle = 240, alors les « restes » ont une aire S = 240 : 8 = 30 ;
- Découvrez combien de « débris » tiennent dans le secteur d'origine, dont il faut trouver la superficie. Par exemple, si notre secteur contient 3 « débris » d'une aire de 30, alors l'aire du secteur souhaité est S = 3 · 30 = 90. Ce sera la réponse.
C'est tout! Le problème est résolu pratiquement oralement. Si quelque chose n’est toujours pas clair, achetez une pizza et coupez-la en 8 morceaux. Chacune de ces pièces sera le même secteur – des « chutes » qui peuvent être combinées en morceaux plus grands.
Examinons maintenant des exemples tirés de l’essai d’examen d’État unifié :
Tâche. Un cercle est dessiné sur du papier quadrillé d'une aire de 40. Trouvez l'aire de la figure ombrée.
Ainsi, l'aire du cercle est de 40. Divisez-le en 8 secteurs - chacun avec une aire S = 40 : 5 = 8. Nous obtenons :
Évidemment, le secteur ombré est constitué exactement de deux secteurs « rebuts ». Son aire est donc 2 · 5 = 10. C'est toute la solution !
Tâche. Un cercle est dessiné sur du papier quadrillé d'une aire de 64. Trouvez l'aire de la figure ombrée.
Encore une fois, divisez le cercle entier en 8 secteurs égaux. Évidemment, la superficie de l’un d’eux est exactement ce qu’il faut trouver. Son aire est donc S = 64 : 8 = 8.
Tâche. Un cercle est dessiné sur du papier quadrillé d'une aire de 48. Trouvez l'aire de la figure ombrée.
Encore une fois, divisez le cercle en 8 secteurs égaux. L'aire de chacun d'eux est égale à S = 48 : 8 = 6. Le secteur recherché contient exactement trois secteurs « ferraille » (voir figure). Par conséquent, l'aire du secteur requis est de 3 6 = 18.
En géométrie tout autour est un ensemble de tous les points du plan qui sont éloignés d'un point, appelé son centre, d'une distance non supérieure à une distance donnée, appelée son rayon. Dans ce cas, la limite extérieure du cercle est cercle, et dans le cas où la longueur du rayon est nulle, cercle dégénère jusqu'à un certain point.
Déterminer l'aire d'un cercle
Si nécessaire aire d'un cercle peut être calculé à l'aide de la formule :
| S | πr 2 | J2 |
r- rayon du cercle
D- diamètre du cercle
S- aire d'un cercle
π - 3.14
Ce figure géométrique on le retrouve très souvent aussi bien en technologie qu'en architecture. Les concepteurs de machines et de mécanismes développent diverses pièces, dont les sections sont exactement les mêmes. cercle. Par exemple, il s'agit d'arbres, de bielles, de bielles, de cylindres, d'essieux, de pistons, etc. Lors de la fabrication de ces pièces, les ébauches de divers matériaux(métaux, bois, plastiques), leurs sections représentent également exactement cercle. Il va sans dire que les développeurs doivent souvent calculer aire d'un cercleà travers le diamètre ou le rayon, en utilisant simple formules mathématiques, découvert dans l'Antiquité.
Exactement alors éléments ronds a commencé à être activement et largement utilisé en architecture. L’un des exemples les plus frappants est le cirque, qui est un type de bâtiment conçu pour accueillir divers événements de divertissement. Leurs arènes sont façonnées cercle, et leur construction a commencé dans les temps anciens. Le mot lui-même " cirque"traduit de langue latine moyens " cercle" Si dans les temps anciens ils allaient au cirque représentations théâtrales et des combats de gladiateurs ont eu lieu, ils servent maintenant de lieu où se déroulent presque exclusivement des spectacles de cirque avec la participation d'entraîneurs, d'acrobates, de magiciens, de clowns, etc. Diamètre standard l'arène du cirque fait 13 mètres, et ce n'est pas du tout accidentel : le fait est qu'elle fournit le minimum nécessaire paramètres géométriques une arène dans laquelle les chevaux de cirque peuvent galoper en rond. Si on calcule aire d'un cercleà travers le diamètre, il s'avère que pour une arène de cirque, cette valeur est de 113,04 mètres carrés.
Les éléments architecturaux pouvant prendre la forme d’un cercle sont les fenêtres. Bien sûr, dans la plupart des cas, elles sont rectangulaires ou carrées (en grande partie parce que cela est plus facile pour les architectes et les constructeurs), mais dans certains bâtiments, vous pouvez également trouver des fenêtres rondes. De plus, dans un tel Véhicules comme l'air, la mer et bateaux fluviaux Ils sont le plus souvent ainsi.
Il n’est pas rare d’utiliser des éléments ronds pour la fabrication de meubles, comme des tables et des chaises. Il y a même un concept " table ronde ", ce qui implique une discussion constructive, au cours de laquelle il y a une discussion approfondie sur divers questions importantes et des moyens de les résoudre sont développés. Quant à la fabrication des plans de travail eux-mêmes, qui ont forme ronde, puis des outils et équipements spécialisés sont utilisés pour leur production, sous réserve de la participation de travailleurs assez qualifiés.
Comment trouver l'aire d'un cercle ? Trouvez d’abord le rayon. Apprenez à résoudre des problèmes simples et complexes.
Un cercle est une courbe fermée. Tout point sur la ligne circulaire sera à la même distance du point central. Le cercle est silhouette plate, il est donc facile de résoudre les problèmes de recherche de zone. Dans cet article nous verrons comment trouver l'aire d'un cercle inscrit dans un triangle, un trapèze, un carré et circonscrit autour de ces figures.
Pour trouver l'aire d'une figure donnée, vous devez savoir quels sont le rayon, le diamètre et le nombre π.
Rayon R est la distance limitée par le centre du cercle. Les longueurs de tous les rayons R d'un cercle seront égales.
Diamètre D est une ligne entre deux points quelconques d’un cercle qui passe par le point central. La longueur de ce segment est égale à la longueur du rayon R multipliée par 2.
Nombre π est une valeur constante égale à 3,1415926. En mathématiques, ce nombre est généralement arrondi à 3,14.
Formule pour trouver l'aire d'un cercle à l'aide du rayon :
Exemples de résolution de problèmes pour trouver l'aire S d'un cercle à l'aide du rayon R :
Tâche: Trouvez l'aire d'un cercle si son rayon est de 7 cm.
Solution: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 cm².
Répondre: L'aire du cercle est de 153,86 cm².
La formule pour trouver l'aire S d'un cercle passant par le diamètre D :
Exemples de résolution de problèmes pour trouver S si D est connu :
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Tâche: Trouvez le S d'un cercle si son D est de 10 cm.
Solution: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 cm².
Répondre: L'aire d'une figure circulaire plate est de 78,5 cm².
Trouver S d'un cercle si la circonférence est connue :
Nous trouvons d’abord à quoi est égal le rayon. La circonférence du cercle est calculée par la formule : L=2πR, respectivement, le rayon R sera égal à L/2π. Nous trouvons maintenant l'aire du cercle en utilisant la formule passant par R.
Examinons la solution à l'aide d'un exemple de problème :
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Tâche: Trouvez l'aire d'un cercle si la circonférence L est connue - 12 cm.
Solution: On trouve d’abord le rayon : R=L/2π=12/2*3.14=12/6.28=1.91.
Nous trouvons maintenant l'aire passant par le rayon : S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 cm².
Répondre: L'aire du cercle est de 11,46 cm².
Trouver l'aire d'un cercle inscrit dans un carré est facile. Le côté d'un carré est le diamètre d'un cercle. Pour trouver le rayon, il faut diviser le côté par 2.
Formule pour trouver l'aire d'un cercle inscrit dans un carré :
Exemples de résolution de problèmes de recherche de l'aire d'un cercle inscrit dans un carré :
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Tache 1: Le côté d'une figure carrée est connu, qui mesure 6 centimètres. Trouvez la zone S du cercle inscrit.
Solution: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 cm².
Répondre: L'aire d'une figure circulaire plate est de 28,26 cm².
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Tâche n°2: Trouver S d'un cercle inscrit dans une figure carrée et son rayon si un côté est a=4 cm.
Décidez de cette façon: On trouve d’abord R=a/2=4/2=2 cm.
Trouvons maintenant l'aire du cercle S=3,14*2²=3,14*4=12,56 cm².
Répondre: L'aire d'une figure circulaire plate est de 12,56 cm².
Il est un peu plus difficile de trouver l'aire d'une figure circulaire décrite autour d'un carré. Mais connaissant la formule, vous pouvez rapidement calculer cette valeur.
La formule pour trouver S un cercle circonscrit à une figure carrée :
Exemples de résolution de problèmes pour trouver l'aire d'un cercle circonscrit autour d'une figure carrée :
Tâche
Un cercle inscrit dans une figure triangulaire est un cercle qui touche les trois côtés du triangle. Vous pouvez insérer un cercle dans n’importe quelle figure triangulaire, mais une seule. Le centre du cercle sera le point d'intersection des bissectrices des angles du triangle.
La formule pour trouver l'aire d'un cercle inscrit dans un triangle isocèle :
Une fois le rayon connu, l'aire peut être calculée à l'aide de la formule : S=πR².
Formule pour trouver l'aire d'un cercle inscrit dans triangle rectangle:
Exemples de résolution de problèmes :
Tâche n°1
Si dans ce problème vous devez également trouver l'aire d'un cercle d'un rayon de 4 cm, alors cela peut être fait en utilisant la formule : S=πR²
Tâche n°2
Solution:
Maintenant que le rayon est connu, nous pouvons trouver l'aire du cercle à l'aide du rayon. Voir la formule ci-dessus dans le texte.
Tâche n°3
Aire d'un cercle circonscrit à un triangle rectangle et isocèle : formule, exemples de résolution de problèmes
Toutes les formules pour trouver l'aire d'un cercle se résument au fait qu'il faut d'abord trouver son rayon. Lorsque le rayon est connu, trouver la zone est simple, comme décrit ci-dessus.
L'aire d'un cercle circonscrit à un triangle rectangle et isocèle se trouve par la formule suivante :
Exemples de résolution de problèmes :
Voici un autre exemple de résolution d'un problème à l'aide de la formule de Heron.
Résoudre de tels problèmes est difficile, mais ils peuvent être maîtrisés si vous connaissez toutes les formules. Les élèves résolvent de tels problèmes en 9e année.
Aire d'un cercle inscrit dans un trapèze rectangulaire et isocèle : formule, exemples de résolution de problèmes
Un trapèze isocèle a deux côtés égaux. Un trapèze rectangulaire a un angle égal à 90º. Voyons comment trouver l'aire d'un cercle inscrit dans un rectangle et trapèze isocèle en utilisant l'exemple de la résolution de problèmes.
Par exemple, un cercle est inscrit dans un trapèze isocèle qui, au point de contact, divise un côté en segments m et n.
Pour résoudre ce problème, vous devez utiliser les formules suivantes :
Trouver l'aire d'un cercle inscrit dans un trapèze rectangulaire se fait à l'aide de la formule suivante :
Si le côté latéral est connu, alors le rayon peut être trouvé à l'aide de cette valeur. La hauteur du côté d'un trapèze est égale au diamètre du cercle et le rayon est la moitié du diamètre. En conséquence, le rayon est R=d/2.
Exemples de résolution de problèmes :
Un trapèze peut s'inscrire dans un cercle lorsque la somme de ses angles opposés est de 180º. Par conséquent, vous ne pouvez inscrire qu’un trapèze isocèle. Le rayon de calcul de l'aire d'un cercle circonscrit à un trapèze rectangulaire ou isocèle est calculé à l'aide des formules suivantes :
Exemples de résolution de problèmes :
Solution: Grande base en dans ce cas passe par le centre, puisqu'un trapèze isocèle est inscrit dans un cercle. Le centre divise cette base exactement en deux. Si la base AB est 12, alors le rayon R peut être trouvé comme suit : R=12/2=6.
Répondre: Le rayon est de 6.
En géométrie, il est important de connaître les formules. Mais il est impossible de se souvenir de tous, c'est pourquoi même dans de nombreux examens, il est permis d'utiliser un formulaire spécial. Il est cependant important de pouvoir trouver formule correcte pour résoudre un problème particulier. Entraînez-vous à résoudre divers problèmes pour trouver le rayon et l'aire d'un cercle afin de pouvoir remplacer correctement les formules et obtenir des réponses précises.
Vidéo : Mathématiques | Calcul des aires d'un cercle et de ses parties
Circle Calculator est un service spécialement conçu pour calculer les dimensions géométriques des formes en ligne. Grâce à ce service, vous pouvez facilement déterminer n'importe quel paramètre d'une figure basée sur un cercle. Par exemple : vous connaissez le volume d’une balle, mais vous devez connaître sa surface. Rien de plus simple ! Sélectionnez l'option appropriée, entrez une valeur numérique et cliquez sur le bouton Calculer. Le service affiche non seulement les résultats des calculs, mais fournit également les formules par lesquelles ils ont été effectués. Grâce à notre service, vous pouvez facilement calculer le rayon, le diamètre, la circonférence (périmètre d'un cercle), l'aire d'un cercle et d'une balle et le volume d'une balle.
Calculer le rayon
Le problème du calcul de la valeur du rayon est l'un des plus courants. La raison en est assez simple, car connaissant ce paramètre, vous pouvez travail spécial vous pouvez déterminer la valeur de tout autre paramètre d'un cercle ou d'une balle. Notre site est construit exactement sur ce schéma. Quel que soit le paramètre initial que vous avez choisi, la valeur du rayon est d'abord calculée et tous les calculs ultérieurs sont basés sur celle-ci. Pour une plus grande précision des calculs, le site utilise Pi, arrondi à la 10ème décimale.
Calculer le diamètre
Le calcul du diamètre est le type de calcul le plus simple que notre calculatrice puisse effectuer. Il n'est pas du tout difficile d'obtenir manuellement la valeur du diamètre, pour cela vous n'avez pas du tout besoin de recourir à Internet. Diamètre égale à la valeur rayon multiplié par 2. Diamètre – le paramètre le plus important cercle, qui est extrêmement souvent utilisé dans Vie courante. Absolument tout le monde devrait pouvoir le calculer et l’utiliser correctement. Grâce aux capacités de notre site Web, vous calculerez le diamètre avec une grande précision en une fraction de seconde.
Découvrez la circonférence
Vous ne pouvez même pas imaginer combien d’objets ronds il y a autour de nous et quels rôle important ils jouent dans nos vies. La capacité de calculer la circonférence est nécessaire pour tout le monde, du conducteur ordinaire à l'ingénieur de conception de premier plan. La formule de calcul de la circonférence est très simple : D=2Pr. Le calcul peut être facilement effectué soit sur une feuille de papier, soit à l'aide de cet Internet assistant L'avantage de ce dernier est qu'il illustre tous les calculs avec des images. Et par-dessus tout, la deuxième méthode est beaucoup plus rapide.
Calculer l'aire d'un cercle
L'aire d'un cercle - comme tous les paramètres énumérés dans cet article - est la base de la civilisation moderne. Être capable de calculer et connaître l'aire d'un cercle est utile à toutes les couches de la population sans exception. Il est difficile d'imaginer un domaine scientifique et technologique dans lequel il ne serait pas nécessaire de connaître l'aire d'un cercle. La formule de calcul n’est encore une fois pas difficile : S=PR 2. Cette formule et notre calculateur en ligne vous aideront à connaître l'aire de n'importe quel cercle sans aucun effort supplémentaire. Notre site garantit haute précision calculs et leur exécution ultra-rapide.
Calculer l'aire d'une sphère
La formule pour calculer l'aire d'une balle n'est pas du tout des formules plus complexes décrit dans les paragraphes précédents. S=4Pr2. Ce simple ensemble de lettres et de chiffres permet depuis de nombreuses années aux gens de calculer avec assez de précision l’aire d’une balle. Où cela peut-il être appliqué ? Oui partout ! Par exemple, vous savez que la zone globeégal à 510 100 000 kilomètres carrés. Il est inutile d'énumérer où la connaissance de cette formule peut être appliquée. La portée de la formule de calcul de l'aire d'une sphère est trop large.
Calculer le volume de la balle
Pour calculer le volume de la balle, utilisez la formule V = 4/3 (Pr 3). Il a été utilisé pour créer notre un service en ligne. Le site permet de calculer le volume d'une balle en quelques secondes si vous connaissez l'un des paramètres suivants : rayon, diamètre, circonférence, aire d'un cercle ou aire d'une balle. Vous pouvez également l'utiliser pour calcul inverse, par exemple, pour connaître le volume d'une balle et obtenir la valeur de son rayon ou de son diamètre. Merci d'avoir jeté un coup d'œil rapide aux capacités de notre calculateur de cercle. Nous espérons que vous avez aimé notre site et que vous l'avez déjà ajouté à vos favoris.
