Aire de la base du prisme : de triangulaire à polygonale. Le volume d'un prisme triangulaire : une formule de type général et une formule pour un prisme régulier

Le volume du prisme. Résolution de problème

La géométrie est l'outil le plus puissant pour affiner nos facultés mentales et nous permet de penser et de raisonner correctement.

G. Galilée

Le but de la leçon :

enseigner la résolution de problèmes de calcul du volume de prismes, résumer et systématiser les informations dont disposent les élèves sur le prisme et ses éléments, pour former la capacité de résoudre des problèmes de complexité accrue;
développer pensée logique, la capacité de travailler de manière autonome, les compétences de contrôle mutuel et de maîtrise de soi, la capacité de parler et d'écouter;
développer l'habitude d'un emploi constant, d'un acte utile, d'une éducation à la réactivité, à la diligence, à l'exactitude.

Type de leçon : une leçon sur l'application des connaissances, des compétences et des capacités.

Matériel : cartes de contrôle, projecteur média, présentation « Cours. Volume du prisme », ordinateurs.

Pendant les cours

Nervures latérales du prisme (Fig. 2).
La surface latérale du prisme (Figure 2, Figure 5).
La hauteur du prisme (Figure 3, Figure 4).
Prisme direct (Fig. 2,3,4).
Prisme incliné (Figure 5).
Corriger le prisme (Fig. 2, Fig. 3).
Coupe diagonale d'un prisme (Fig. 2).
Diagonale du prisme (Figure 2).
Coupe perpendiculaire du prisme (pi3, fig4).
La zone de la surface latérale du prisme.
Carré pleine surface prismes.
Le volume du prisme.

VÉRIFIER LES DEVOIRS (8 min)

Échangez les cahiers, vérifiez la solution sur les diapositives et cochez la case (cochez 10 si la tâche est composée)

Dessinez un problème et résolvez-le. L'élève défend le problème qu'il a compilé au tableau. Figure 6 et Figure 7.

Chapitre 2, §3
Tâche.2. Les longueurs de toutes les arêtes d'un prisme triangulaire régulier sont égales les unes aux autres. Calculer le volume du prisme si sa surface est de cm 2 (Fig. 8)

Chapitre 2, §3
Problème 5. La base du prisme direct ABCA 1B 1C1 est triangle rectangle ABC (angle ABC=90°), AB=4cm. Calculez le volume du prisme si le rayon du triangle circonscrit ABC est de 2,5 cm et la hauteur du prisme est de 10 cm. (Figure 9).

Chapitre 2, § 3
Problème 29. La longueur du côté de la base d'un prisme quadrangulaire régulier est de 3 cm. La diagonale du prisme forme un angle de 30° avec le plan de la face latérale. Calculer le volume du prisme (Figure 10).

Collaboration enseignants avec une classe (2-3 min.).

Objectif : résumer les résultats de l'échauffement théorique (les élèves notent l'un l'autre), l'étude des moyens de résoudre des problèmes sur le sujet.

MINUTE PHYSIQUE (3 min)
RÉSOLUTION DE PROBLÈME (10 min)

A ce stade, l'enseignant organise un travail frontal sur la répétition de méthodes de résolution de problèmes planimétriques, formules de planimétrie. La classe est divisée en deux groupes, certains résolvent des problèmes, d'autres travaillent à l'ordinateur. Puis ils changent. Les élèves sont invités à résoudre tous les n° 8 (oralement), n° 9 (oralement). Après ils sont divisés en groupes et transgressent pour résoudre les problèmes n°14, n°30, n°32.

Chapitre 2, §3, pages 66-67

Problème 8. Toutes les arêtes d'un prisme triangulaire régulier sont égales les unes aux autres. Trouvez le volume du prisme si l'aire de la section transversale du plan passant par le bord de la base inférieure et le milieu du côté de la base supérieure est cm (Fig. 11).

Chapitre 2, §3, pages 66-67
Problème 9. La base d'un prisme droit est un carré et ses bords latéraux sont deux fois le côté de la base. Calculer le volume du prisme si le rayon du cercle circonscrit près de la section du prisme par un plan passant par le côté de la base et le milieu de l'arête latérale opposée est égal à (Fig. 12)

Chapitre 2, §3, pages 66-67
Tâche 14.La base d'un prisme droit est un losange dont l'une des diagonales est égale à son côté. Calculer le périmètre de la section par un plan passant par la grande diagonale de la base inférieure, si le volume du prisme est égal et que toutes les faces latérales sont carrées (Fig. 13).

Chapitre 2, §3, pages 66-67
Problème 30.ABCA 1 B 1 C 1 est un prisme triangulaire régulier, dont toutes les arêtes sont égales entre elles, le point environ au milieu de l'arête BB 1. Calculer le rayon du cercle inscrit dans la section du prisme par le plan AOS, si le volume du prisme est égal (Fig. 14).

Chapitre 2, §3, pages 66-67
Problème 32.Dans un prisme quadrangulaire régulier, la somme des aires des bases est égale à l'aire de la surface latérale. Calculer le volume du prisme si le diamètre du cercle circonscrit près de la section du prisme par un plan passant par deux sommets de la base inférieure et le sommet opposé de la base supérieure est de 6 cm (Fig. 15).

Tout en résolvant des problèmes, les élèves comparent leurs réponses avec celles présentées par l'enseignant. Ceci est un exemple de solution au problème avec des commentaires détaillés ... Travail individuel enseignants avec des élèves « forts » (10 min.).

Travail indépendantétudiants sur un test devant un ordinateur

1. Le côté de la base d'un prisme triangulaire régulier est , et la hauteur est 5. Trouver le volume du prisme.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Choisissez la bonne déclaration.

1) Le volume d'un prisme droit dont la base est un triangle rectangle est égal au produit de l'aire de la base par la hauteur.

2) Le volume d'un prisme triangulaire régulier est calculé par la formule V \u003d 0,25a 2 h - où a est le côté de la base, h est la hauteur du prisme.

3) Le volume d'un prisme droit est égal à la moitié du produit de l'aire de la base et de la hauteur.

4) Le volume d'un prisme quadrangulaire régulier est calculé par la formule V \u003d a 2 h-où a est le côté de la base, h est la hauteur du prisme.

5) Le volume d'un prisme hexagonal régulier est calculé par la formule V \u003d 1,5a 2 h, où a est le côté de la base, h est la hauteur du prisme.

3. Le côté de la base d'un prisme triangulaire régulier est égal à. Un plan est tracé à travers le côté de la base inférieure et le sommet opposé de la base supérieure, qui passe à un angle de 45° par rapport à la base. Trouver le volume du prisme.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. La base d'un prisme droit est un losange dont le côté est 13 et l'une des diagonales est 24. Trouvez le volume du prisme si la diagonale de la face latérale est de 14.

En physique, un prisme triangulaire en verre est souvent utilisé pour étudier le spectre lumière blanche, car il est capable de le décomposer en composants séparés. Dans cet article, nous considérerons la formule de volume

Qu'est-ce qu'un prisme triangulaire ?

Avant de donner la formule du volume, considérons les propriétés de cette figure.

Pour obtenir cela, vous devez prendre un triangle de forme arbitraire et le déplacer parallèlement à lui-même sur une certaine distance. Les sommets du triangle dans les positions initiale et finale doivent être reliés par des segments droits. La figure tridimensionnelle qui en résulte s'appelle un prisme triangulaire. Il a cinq côtés. Deux d'entre elles sont appelées bases : elles sont parallèles et égales entre elles. Les bases du prisme considéré sont des triangles. Les trois côtés restants sont des parallélogrammes.

En plus des côtés, le prisme considéré est caractérisé par six sommets (trois pour chaque base) et neuf arêtes (6 arêtes se trouvent dans les plans des bases et 3 arêtes sont formées par l'intersection des côtés). Si les bords latéraux sont perpendiculaires aux bases, alors un tel prisme est appelé rectangulaire.

La différence entre un prisme triangulaire et toutes les autres figures de cette classe est qu'il est toujours convexe (les prismes à quatre, cinq, ..., n-gonaux peuvent également être concaves).

Il s'agit d'une figure rectangulaire, à la base de laquelle se trouve un triangle équilatéral.

Volume d'un prisme triangulaire de type général

Comment trouver le volume d'un prisme triangulaire ? formule dans vue générale semblable à celle d'un prisme de toute nature. Il a la notation mathématique suivante :

Ici h est la hauteur de la figure, c'est-à-dire la distance entre ses bases, S o est l'aire du triangle.

La valeur de S o peut être trouvée si certains paramètres d'un triangle sont connus, par exemple, un côté et deux angles, ou deux côtés et un angle. L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de sa hauteur par la longueur du côté sur lequel cette hauteur est abaissée.

Quant à la hauteur h de la figure, il est plus facile de la trouver pour un prisme rectangulaire. Dans ce dernier cas, h coïncide avec la longueur du bord latéral.

Volume d'un prisme triangulaire régulier

Formule générale volume d'un prisme triangulaire, qui est donné dans la section précédente de l'article, peut être utilisé pour calculer la valeur correspondante pour un prisme triangulaire régulier. Comme sa base est un triangle équilatéral, son aire vaut :

Tout le monde peut obtenir cette formule s'il se souvient que dans un triangle équilatéral tous les angles sont égaux entre eux et forment 60°. Ici, le symbole a est la longueur du côté du triangle.

La hauteur h est la longueur de l'arête. Cela n'a rien à voir avec la fondation. prisme droit et peut prendre des valeurs arbitraires. En conséquence, la formule du volume d'un prisme triangulaire bon genre Ressemble à ça:

Après avoir calculé la racine, nous pouvons réécrire cette formule comme suit :

Ainsi, pour trouver le volume d'un prisme régulier à base triangulaire, il faut équarrir le côté de la base, multiplier cette valeur par la hauteur, et multiplier la valeur résultante par 0,433.

Quel est le volume d'un prisme et comment le trouver

Le volume d'un prisme est le produit de l'aire de sa base par sa hauteur.

Cependant, nous savons que la base d'un prisme peut avoir un triangle, un carré ou un autre polyèdre.

Par conséquent, pour trouver le volume d'un prisme, il vous suffit de calculer l'aire de la base du prisme, puis de multiplier cette aire par sa hauteur.

Autrement dit, s'il y a un triangle à la base du prisme, vous devez d'abord trouver l'aire du triangle. Si la base du prisme est un carré ou un autre polygone, vous devez d'abord trouver l'aire du carré ou d'un autre polygone.

Rappelons que la hauteur du prisme est une perpendiculaire tracée aux bases du prisme.

Qu'est-ce qu'un prisme

Rappelons maintenant la définition d'un prisme.

Un prisme est un polygone dont les deux faces (bases) sont dans des plans parallèles, et toutes les arêtes à l'extérieur de ces faces sont parallèles.

Pour faire simple, alors :

Un prisme est une figure géométrique qui a deux bases égales et des faces planes.

Le nom d'un prisme dépend de la forme de sa base. Lorsque la base d'un prisme est un triangle, alors un tel prisme est dit triangulaire. Un prisme polyédrique est une figure géométrique dont la base est un polyèdre. Un prisme est aussi une sorte de cylindre.

Quels sont les types de prismes

Si nous regardons la figure ci-dessus, nous pouvons voir que les prismes sont droits, réguliers et obliques.

Exercer

1. Quel est le bon prisme ?
2. Pourquoi s'appelle-t-il ainsi ?
3. Quel est le nom d'un prisme dont les bases sont des polygones réguliers ?
4. Quelle est la hauteur de ce personnage ?
5. Comment s'appelle un prisme dont les arêtes ne sont pas perpendiculaires ?
6. Définissez un prisme triangulaire.
7. Un prisme peut-il être un parallélépipède ?
8. Quelle figure géométrique s'appelle un polygone semi-régulier ?

De quels éléments est composé un prisme ?

Un prisme se compose d'éléments tels que la base inférieure et supérieure, les faces latérales, les arêtes et les sommets.

Les deux bases du prisme se trouvent dans des plans et sont parallèles l'une à l'autre.
Les faces latérales de la pyramide sont des parallélogrammes.
La surface latérale de la pyramide est la somme des faces latérales.
Les côtés communs des faces latérales ne sont rien de plus que les bords latéraux de cette figure.
La hauteur de la pyramide est le segment reliant les plans des bases et leur est perpendiculaire.

Propriétés du prisme

Une figure géométrique, comme un prisme, a un certain nombre de propriétés. Examinons de plus près ces propriétés :

Premièrement, les bases d'un prisme sont appelées polygones égaux ;
Dans un deuxième temps, les faces latérales du prisme se présentent sous la forme d'un parallélogramme ;
Troisièmement, cela figure géométrique les bords sont parallèles et égaux ;
Quatrièmement, la surface totale du prisme est :

Considérons maintenant un théorème qui fournit une formule permettant de calculer la surface latérale et la preuve.

Avez-vous pensé à cela fait intéressant qu'un prisme peut être non seulement un corps géométrique, mais aussi d'autres objets autour de nous. Même un flocon de neige ordinaire, selon régime de température peut se transformer en un prisme de glace, prenant la forme d'une figure à six côtés.

Mais les cristaux de calcite ont un phénomène si unique qu'ils se brisent en fragments et prennent la forme d'un parallélépipède. Et ce qui est le plus surprenant, aussi petits que soient les cristaux de calcite broyés, le résultat est toujours le même, ils se transforment en minuscules parallélépipèdes.

Il s'avère que le prisme a gagné en popularité non seulement en mathématiques, démontrant son corps géométrique, mais aussi dans le domaine de l'art, puisqu'il est à la base de peintures créées par de grands artistes tels que P. Picasso, Braque, Griss et d'autres.

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