Surface latérale pi. Aire de la surface latérale et totale du cône
Définition. Bord latéral- il s'agit d'un triangle dont un angle se situe au sommet de la pyramide et le côté opposé coïncide avec le côté de la base (polygone).
Définition. Côtes latérales- ce sont les côtés communs des faces latérales. Une pyramide a autant d’arêtes que d’angles d’un polygone.
Définition. Hauteur de la pyramide- c'est une perpendiculaire abaissée du haut à la base de la pyramide.
Définition. Apothème- il s'agit d'une perpendiculaire à la face latérale de la pyramide, abaissée du sommet de la pyramide jusqu'au côté de la base.
Définition. Section diagonale- il s'agit d'une section d'une pyramide par un plan passant par le sommet de la pyramide et la diagonale de la base.
Définition. Pyramide correcte est une pyramide dont la base est un polygone régulier et dont la hauteur descend jusqu'au centre de la base.
Volume et superficie de la pyramide
Formule. Volume de la pyramideà travers la surface de base et la hauteur :
Propriétés de la pyramide
Si tous les bords latéraux sont égaux, alors un cercle peut être tracé autour de la base de la pyramide et le centre de la base coïncide avec le centre du cercle. De plus, une perpendiculaire tombant du haut passe par le centre de la base (cercle).
Si tous les bords latéraux sont égaux, ils sont alors inclinés par rapport au plan de base selon les mêmes angles.
Les nervures latérales sont égales lorsqu'elles se forment avec le plan de la base angles égaux ou si un cercle peut être décrit autour de la base de la pyramide.
Si les faces latérales sont inclinées du même angle par rapport au plan de la base, alors un cercle peut être inscrit dans la base de la pyramide et le sommet de la pyramide est projeté en son centre.
Si les faces latérales sont inclinées du même angle par rapport au plan de la base, alors les apothèmes des faces latérales sont égaux.
Propriétés d'une pyramide régulière
1. Le sommet de la pyramide est à égale distance de tous les coins de la base.
2. Tous les bords latéraux sont égaux.
3. Toutes les nervures latérales sont inclinées à des angles égaux par rapport à la base.
4. Les apothèmes de toutes les faces latérales sont égaux.
5. Les aires de toutes les faces latérales sont égales.
6. Toutes les faces ont les mêmes angles dièdres (plats).
7. Une sphère peut être décrite autour de la pyramide. Le centre de la sphère circonscrite sera le point d’intersection des perpendiculaires passant par le milieu des arêtes.
8. Vous pouvez insérer une sphère dans une pyramide. Le centre de la sphère inscrite sera le point d'intersection des bissectrices issues de l'angle entre le bord et la base.
9. Si le centre de la sphère inscrite coïncide avec le centre de la sphère circonscrite, alors la somme angles plats au sommet est égal à π ou vice versa, un angle est égal à π/n, où n est le nombre d'angles à la base de la pyramide.
Le lien entre la pyramide et la sphère
Une sphère peut être décrite autour d'une pyramide lorsqu'à la base de la pyramide se trouve un polyèdre autour duquel un cercle peut être décrit (nécessaire et condition suffisante). Le centre de la sphère sera le point d’intersection des plans passant perpendiculairement par les milieux des bords latéraux de la pyramide.
Autour de tout triangle ou pyramide régulière vous pouvez toujours décrire la sphère.
Une sphère peut être inscrite dans une pyramide si les plans bissecteurs des angles dièdres internes de la pyramide se coupent en un point (condition nécessaire et suffisante). Ce point sera le centre de la sphère.
Connexion d'une pyramide avec un cône
Un cône est dit inscrit dans une pyramide si leurs sommets coïncident et que la base du cône est inscrite dans la base de la pyramide.
Un cône peut s'inscrire dans une pyramide si les apothèmes de la pyramide sont égaux les uns aux autres.
Un cône est dit circonscrit à une pyramide si leurs sommets coïncident et que la base du cône est circonscrite à la base de la pyramide.
Un cône peut être décrit autour d’une pyramide si tous les bords latéraux de la pyramide sont égaux les uns aux autres.
Relation entre une pyramide et un cylindre
Une pyramide est dite inscrite dans un cylindre si le sommet de la pyramide repose sur une base du cylindre et que la base de la pyramide est inscrite dans une autre base du cylindre.
Un cylindre peut être décrit autour d’une pyramide si un cercle peut être décrit autour de la base de la pyramide.
Un tétraèdre a quatre faces, quatre sommets et six arêtes, deux arêtes n'ayant pas de sommets communs mais ne se touchant pas.
Chaque sommet est constitué de trois faces et arêtes qui forment angle triangulaire.
Le segment reliant le sommet d'un tétraèdre au centre de la face opposée est appelé médiane du tétraèdre(GM).
Bimédian appelé segment reliant les milieux des bords opposés qui ne se touchent pas (KL).
Toutes les bimédianes et médianes d'un tétraèdre se coupent en un point (S). Dans ce cas, les bimédianes sont divisées en deux et les médianes sont divisées dans un rapport de 3 : 1 en partant du haut.
Définition. Pyramide à angle aigu- une pyramide dans laquelle l'apothème fait plus de la moitié de la longueur du côté de la base.
Définition. Pyramide obtuse- une pyramide dont l'apothème fait moins de la moitié de la longueur du côté de la base.
Définition. Tétraèdre régulier- un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. C'est l'un des cinq polygones réguliers. Dans un tétraèdre régulier, tous les angles dièdres (entre les faces) et les angles trièdres (au sommet) sont égaux.
Définition. Tétraèdre rectangulaire s'appelle un tétraèdre dans lequel il y a un angle droit entre trois arêtes au sommet (les arêtes sont perpendiculaires). Trois visages se forment angle triangulaire rectangulaire et les bords sont triangles rectangles, et la base est un triangle arbitraire. L'apothème d'une face est égal à la moitié du côté de la base sur laquelle tombe l'apothème.
Définition. Tétraèdre isoédrique s'appelle un tétraèdre dont les faces latérales sont égales les unes aux autres et dont la base est un triangle régulier. Un tel tétraèdre a des faces qui sont des triangles isocèles.
Définition. Tétraèdre orthocentrique s'appelle un tétraèdre dans lequel toutes les hauteurs (perpendiculaires) qui s'abaissent du haut vers la face opposée se coupent en un point.
Définition. Pyramide étoilée appelé polyèdre dont la base est une étoile.
Quelle figure appelle-t-on une pyramide ? Premièrement, c'est un polyèdre. Deuxièmement, à la base de ce polyèdre se trouve un polygone arbitraire, et les côtés de la pyramide (faces latérales) ont nécessairement la forme de triangles convergeant vers un sommet commun. Maintenant, ayant compris le terme, découvrons comment trouver l’aire de la pyramide.
Il est clair que la surface d'un tel corps géométrique est constituée de la somme des aires de la base et de toute sa surface latérale.
Calculer l'aire de la base d'une pyramide
Le choix de la formule de calcul dépend de la forme du polygone sous-jacent à notre pyramide. Il peut être régulier, c'est-à-dire avec des côtés de même longueur, ou irrégulier. Considérons les deux options.
La base est un polygone régulier
Du cursus scolaire nous savons:
- l'aire du carré sera égale à la longueur de son côté au carré ;
- L'aire d'un triangle équilatéral est égale au carré de son côté divisé par 4 et multiplié par la racine carrée de trois.
Mais il y a aussi formule générale, pour calculer l'aire de tout polygone régulier (Sn) : il faut multiplier le périmètre de ce polygone (P) par le rayon du cercle qui y est inscrit (r), puis diviser le résultat par deux : Sn= 1/2P*r.
A la base se trouve un polygone irrégulier
Le schéma pour trouver son aire consiste d'abord à diviser l'ensemble du polygone en triangles, à calculer l'aire de chacun d'eux à l'aide de la formule : 1/2a*h (où a est la base du triangle, h est la hauteur abaissée à cette base), additionner tous les résultats.
Surface latérale de la pyramide
Calculons maintenant l'aire de la surface latérale de la pyramide, c'est-à-dire la somme des aires de tous ses côtés latéraux. Il y a aussi 2 options ici.
- Ayons une pyramide arbitraire, c'est-à-dire un avec un polygone irrégulier à sa base. Ensuite, vous devez calculer la surface de chaque visage séparément et additionner les résultats. Puisque les côtés d'une pyramide, par définition, ne peuvent être que des triangles, le calcul est effectué à l'aide de la formule mentionnée ci-dessus : S=1/2a*h.
- Que notre pyramide soit correcte, c'est-à-dire à sa base se trouve un polygone régulier, et la projection du sommet de la pyramide est en son centre. Ensuite, pour calculer l'aire de la surface latérale (Sb), il suffit de trouver la moitié du produit du périmètre du polygone de base (P) et de la hauteur (h) du côté latéral (la même pour toutes les faces ) : Sb = 1/2 P*h. Le périmètre d'un polygone est déterminé en additionnant les longueurs de tous ses côtés.
La surface totale d'une pyramide régulière est obtenue en additionnant l'aire de sa base avec l'aire de toute la surface latérale.
Exemples
Par exemple, calculons algébriquement les surfaces de plusieurs pyramides.
Superficie d'une pyramide triangulaire
A la base d’une telle pyramide se trouve un triangle. En utilisant la formule So=1/2a*h on trouve l'aire de la base. Nous utilisons la même formule pour trouver l'aire de chaque face de la pyramide, qui a également forme triangulaire, et nous obtenons 3 zones : S1, S2 et S3. L'aire de la surface latérale de la pyramide est la somme de toutes les aires : Sb = S1+ S2+ S3. En additionnant les aires des côtés et de la base, on obtient la surface totale de la pyramide souhaitée : Sp= So+ Sb.
Superficie d'une pyramide quadrangulaire
La surface latérale est la somme de 4 termes : Sb = S1 + S2 + S3 + S4, chacun étant calculé à l'aide de la formule de l'aire triangulaire. Et l'aire de la base devra être recherchée en fonction de la forme du quadrilatère - correcte ou irrégulière. La surface totale de la pyramide est à nouveau obtenue en additionnant l'aire de la base et la surface totale de la pyramide donnée.
Dans cette leçon :
- Problème 1. Trouver la surface totale de la pyramide
- Problème 2. Trouver l'aire de la surface latérale du bon pyramide triangulaire
.
Note . Si vous avez besoin de résoudre un problème de géométrie qui n'est pas ici, écrivez-le sur le forum. Dans les tâches, au lieu du symbole "racine carrée", la fonction sqrt() est utilisée, dans laquelle sqrt est le symbole racine carrée, et l'expression radicale est indiquée entre parenthèses. Pour les expressions radicales simples, le signe "√" peut être utilisé.
Problème 1. Trouver la surface totale d'une pyramide régulière
La hauteur de la base d'une pyramide triangulaire régulière est de 3 cm et l'angle entre la face latérale et la base de la pyramide est de 45 degrés.Trouver la surface totale de la pyramide
Solution.
À la base d’une pyramide triangulaire régulière se trouve un triangle équilatéral.
Par conséquent, pour résoudre le problème, nous utilisons les propriétés d’un triangle régulier : 
Nous connaissons la hauteur du triangle, d’où nous pouvons déterminer son aire.
h = √3/2a
une = h / (√3/2)
une = 3 / (√3/2)
une = 6 / √3
D'où l'aire de la base sera égale à :
S = √3/4 une 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3
Afin de trouver l'aire de la face latérale, on calcule la hauteur KM. Selon le problème, l'angle OKM est de 45 degrés.
Ainsi:
OK/MK = cos 45
Utilisons le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques et remplaçons valeurs connues.
OK / MK = √2/2
Prenons en compte que OK est égal au rayon du cercle inscrit. Alors
OK = √3/6a
D'accord = √3/6 * 6/√3 = 1
Alors
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2
L'aire de la face latérale est alors égale à la moitié du produit de la hauteur et de la base du triangle.
Côté = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6
Ainsi, la surface totale de la pyramide sera égale à
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6
Répondre: 3√3 + 18/√6
Problème 2. Trouver la surface latérale d'une pyramide régulière
Dans une pyramide triangulaire régulière, la hauteur est de 10 cm et le côté de la base est de 16 cm . Trouver la surface latérale .Solution.
Puisque la base d’une pyramide triangulaire régulière est un triangle équilatéral, AO est le rayon du cercle circonscrit autour de la base.
(Cela découle de)
On trouve le rayon d'un cercle circonscrit à un triangle équilatéral à partir de ses propriétés
D’où la longueur des arêtes d’une pyramide triangulaire régulière sera égale à :
AM 2 = MO 2 + AO 2
la hauteur de la pyramide est connue par condition (10 cm), AO = 16√3/3
SUIS 2 = 100 + 256/3
UN M = √(556/3)
Chaque côté de la pyramide est un triangle isocèle. Carré triangle isocèle on retrouve de la première formule présentée ci-dessous 
S = 1/2 * 16 carrés ((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 carrés ((556/3) - 64)
S = 8 carrés (364/3)
S = 16 carrés (91/3)
Puisque les trois faces d’une pyramide régulière sont égales, la surface latérale sera égale à
3S = 48√(91/3)
Répondre: 48 √(91/3)
Problème 3. Trouver la surface totale d'une pyramide régulière
Le côté d’une pyramide triangulaire régulière mesure 3 cm et l’angle entre la face latérale et la base de la pyramide est de 45 degrés. Trouver la surface totale de la pyramide.
Solution.
La pyramide étant régulière, il y a à sa base un triangle équilatéral. L’aire de la base est donc 
Donc = 9 * √3/4
Afin de trouver l'aire de la face latérale, on calcule la hauteur KM. Selon le problème, l'angle OKM est de 45 degrés.
Ainsi:
OK/MK = cos 45
Utilisons
est une figure dont la base est un polygone arbitraire et dont les faces latérales sont représentées par des triangles. Leurs sommets se situent au même point et correspondent au sommet de la pyramide.
La pyramide peut être variée – triangulaire, quadrangulaire, hexagonale, etc. Son nom peut être déterminé en fonction du nombre d'angles adjacents à la base.
La bonne pyramide appelée pyramide dans laquelle les côtés de la base, les angles et les arêtes sont égaux. De plus, dans une telle pyramide, l'aire des faces latérales sera égale.
La formule de l'aire de la surface latérale d'une pyramide est la somme des aires de toutes ses faces : 
Autrement dit, pour calculer l'aire de la surface latérale d'une pyramide arbitraire, vous devez trouver l'aire de chaque triangle individuel et les additionner. Si la pyramide est tronquée, alors ses faces sont représentées par des trapèzes. Il existe une autre formule pour une pyramide régulière. Dans celui-ci, la surface latérale est calculée à travers le demi-périmètre de la base et la longueur de l'apothème :
Considérons un exemple de calcul de l'aire de la surface latérale d'une pyramide.
Soit une pyramide quadrangulaire régulière. Côté socle b= 6 cm, apothème un= 8 cm Trouvez l'aire de la surface latérale.
À la base du bon pyramide quadrangulaire se trouve un carré. Tout d'abord, trouvons son périmètre :
Nous pouvons maintenant calculer la surface latérale de notre pyramide : 
Afin de trouver l'aire totale d'un polyèdre, vous devrez trouver l'aire de sa base. La formule pour l'aire de la base d'une pyramide peut différer selon le polygone se trouvant à la base. Pour ce faire, utilisez la formule de l'aire d'un triangle, aire d'un parallélogramme etc.
Prenons un exemple de calcul de l'aire de la base d'une pyramide donnée par nos conditions. La pyramide étant régulière, il y a un carré à sa base.
Surface carrée calculé par la formule : ,
où a est le côté du carré. Nous l'avons égal à 6 cm. Donc l'aire de la base de la pyramide : 
Il ne reste plus qu'à trouver l'aire totale du polyèdre. La formule de l'aire d'une pyramide consiste en la somme de l'aire de sa base et de la surface latérale.
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