Extremum conditionnel sous la condition 2x y 3. Extremum d'une fonction de plusieurs variables La notion d'extremum d'une fonction de plusieurs variables. Conditions nécessaires et suffisantes pour un extremum Extremum conditionnel Les valeurs les plus grandes et les plus petites des fonctions continues

Considérons d’abord le cas d’une fonction à deux variables. L'extremum conditionnel d'une fonction $z=f(x,y)$ au point $M_0(x_0;y_0)$ est l'extremum de cette fonction, obtenu à condition que les variables $x$ et $y$ dans le le voisinage de ce point satisfait à l'équation de connexion $\ varphi (x,y)=0$.

Le nom d’extremum « conditionnel » est dû au fait que les variables sont soumises à condition supplémentaire$\varphi(x,y)=0$. Si une variable peut être exprimée à partir de l'équation de connexion par une autre, alors le problème de la détermination de l'extremum conditionnel est réduit au problème de la détermination de l'extremum habituel d'une fonction d'une variable. Par exemple, si l'équation de connexion implique $y=\psi(x)$, alors en remplaçant $y=\psi(x)$ dans $z=f(x,y)$, nous obtenons une fonction d'une variable $z =f\gauche (x,\psi(x)\droite)$. DANS cas général Cependant, cette méthode est de peu d’utilité et nécessite donc l’introduction d’un nouvel algorithme.

Méthode du multiplicateur de Lagrange pour les fonctions de deux variables.

La méthode du multiplicateur de Lagrange consiste à construire une fonction de Lagrange pour trouver un extremum conditionnel : $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (le paramètre $\lambda$ est appelé le multiplicateur de Lagrange ). Les conditions nécessaires pour l'extremum sont spécifiées par un système d'équations à partir desquelles les points stationnaires sont déterminés :

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end(aligné) \right. $$

Une condition suffisante à partir de laquelle on peut déterminer la nature de l'extremum est le signe $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Si à un point stationnaire $d^2F > 0$, alors la fonction $z=f(x,y)$ a un minimum conditionnel à ce stade, mais si $d^2F< 0$, то условный максимум.

Il existe une autre façon de déterminer la nature de l'extremum. A partir de l'équation de couplage, nous obtenons : $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, donc en tout point stationnaire on a :

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \right)$$

Le deuxième facteur (situé entre parenthèses) peut être représenté sous cette forme :

Les éléments du déterminant $\left| sont surlignés en rouge. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array)\right|$, qui est le Hessian de la fonction de Lagrange. Si $H > 0$, alors $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, soit nous avons un minimum conditionnel de la fonction $z=f(x,y)$.

Une note concernant la notation du déterminant $H$. afficher\masquer

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ fin (tableau) \right| $$

Dans cette situation, la règle formulée ci-dessus changera comme suit : si $H > 0$, alors la fonction a un minimum conditionnel, et si $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algorithme d'étude d'une fonction de deux variables pour un extremum conditionnel

Composez la fonction de Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
Résoudre le système $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x, y) = 0. \ fin (aligné) \ droite.$
Déterminez la nature de l’extremum en chacun des points stationnaires trouvés dans le paragraphe précédent. Pour ce faire, utilisez l'une des méthodes suivantes :
- Composez le déterminant de $H$ et découvrez son signe
- En tenant compte de l'équation de couplage, calculez le signe de $d^2F$

Méthode du multiplicateur de Lagrange pour les fonctions de n variables

Disons que nous avons une fonction de $n$ variables $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ et $m$ équations de couplage ($n > m$) :

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

En désignant les multiplicateurs de Lagrange par $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, nous composons la fonction de Lagrange :

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Les conditions nécessaires à la présence d'un extremum conditionnel sont données par un système d'équations à partir desquelles sont trouvées les coordonnées des points stationnaires et les valeurs des multiplicateurs de Lagrange :

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligné) \right.$$

Vous pouvez savoir si une fonction a un minimum conditionnel ou un maximum conditionnel au point trouvé, comme précédemment, en utilisant le signe $d^2F$. Si au point trouvé $d^2F > 0$, alors la fonction a un minimum conditionnel, mais si $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Déterminant de la matrice $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, surligné en rouge dans la matrice $L$, est le Hessien de la fonction de Lagrange. Nous utilisons la règle suivante :

Si les signes des mineurs angulaires $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ les matrices $L$ coïncident avec le signe de $(-1)^m$, alors le point stationnaire étudié est le point minimum conditionnel de la fonction $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
Si les signes des mineurs angulaires $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ alterné, et le signe du mineur $H_(2m+1)$ coïncide avec le signe du nombre $(-1)^(m+1 )$, alors le point stationnaire est le point maximum conditionnel de la fonction $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Exemple n°1

Trouvez l'extremum conditionnel de la fonction $z(x,y)=x+3y$ sous la condition $x^2+y^2=10$.

L'interprétation géométrique de ce problème est la suivante : il faut trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites de l'appliqué du plan $z=x+3y$ pour les points de son intersection avec le cylindre $x^2+y ^2=10$.

Il est quelque peu difficile d'exprimer une variable par une autre à partir de l'équation de couplage et de la substituer dans la fonction $z(x,y)=x+3y$, nous utiliserons donc la méthode de Lagrange.

Notant $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, on compose la fonction de Lagrange :

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Écrivons un système d'équations pour déterminer les points stationnaires de la fonction de Lagrange :

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (aligné)\droite.$$

Si nous supposons $\lambda=0$, alors la première équation devient : $1=0$. La contradiction qui en résulte indique que $\lambda\neq 0$. Sous la condition $\lambda\neq 0$, à partir des première et deuxième équations nous avons : $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. En substituant les valeurs obtenues dans la troisième équation, nous obtenons :

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligné) $$

Le système a donc deux solutions : $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ et $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Découvrons la nature de l'extremum en chaque point stationnaire : $M_1(1;3)$ et $M_2(-1;-3)$. Pour ce faire, on calcule le déterminant de $H$ en chaque point.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(aa)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \gauche| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

Au point $M_1(1;3)$ on obtient : $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, donc à la point La fonction $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ a un maximum conditionnel, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

De même, au point $M_2(-1,-3)$ on trouve : $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Depuis $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Je remarque qu'au lieu de calculer la valeur du déterminant $H$ en chaque point, il est beaucoup plus pratique de le développer en vue générale. Afin de ne pas encombrer le texte de détails, je cacherai cette méthode sous une note.

Écrire le déterminant $H$ sous forme générale. afficher\masquer

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

En principe, le signe de $H$ est déjà évident. Puisqu'aucun des points $M_1$ ou $M_2$ ne coïncide avec l'origine, alors $y^2+x^2>0$. Par conséquent, le signe de $H$ est opposé au signe de $\lambda$. Vous pouvez compléter les calculs :

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(aligné) $$

La question sur la nature de l'extremum aux points stationnaires $M_1(1;3)$ et $M_2(-1;-3)$ peut être résolue sans utiliser le déterminant $H$. Trouvons le signe de $d^2F$ en chaque point stationnaire :

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\droite) $$

Permettez-moi de noter que la notation $dx^2$ signifie exactement $dx$ élevé à la deuxième puissance, c'est-à-dire $\gauche(dx \droite)^2$. On a donc : $dx^2+dy^2>0$, donc avec $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ on obtient $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Répondre: au point $(-1;-3)$ la fonction a un minimum conditionnel, $z_(\min)=-10$. Au point $(1;3)$ la fonction a un maximum conditionnel, $z_(\max)=10$

Exemple n°2

Trouvez l'extremum conditionnel de la fonction $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ sous la condition $x+y=0$.

Première méthode (méthode du multiplicateur de Lagrange)

Notant $\varphi(x,y)=x+y$, on compose la fonction de Lagrange : $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0 ; \\ & x+y=0. \end(aligned) \right. $$

Après avoir résolu le système, nous obtenons : $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ et $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Nous avons deux points stationnaires : $M_1(0;0)$ et $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Découvrons la nature de l'extremum en chaque point stationnaire à l'aide du déterminant $H$.

$$H=\gauche| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \gauche| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

Au point $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, donc à ce stade la fonction a un maximum conditionnel, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Nous étudions la nature de l'extremum en chaque point en utilisant une méthode différente, basée sur le signe de $d^2F$ :

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

A partir de l'équation de connexion $x+y=0$ nous avons : $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Puisque $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, alors $M_1(0;0)$ est le point minimum conditionnel de la fonction $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. De même, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Deuxième façon

A partir de l'équation de connexion $x+y=0$ nous obtenons : $y=-x$. En remplaçant $y=-x$ dans la fonction $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, nous obtenons une fonction de la variable $x$. Notons cette fonction par $u(x)$ :

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Ainsi, nous avons réduit le problème de la recherche de l'extremum conditionnel d'une fonction de deux variables au problème de la détermination de l'extremum d'une fonction d'une variable.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\; y_2=-x_2=-\frac(10)(9). $$

Nous avons obtenu les points $M_1(0;0)$ et $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. D'autres recherches sont connues dans le cours calculs différentiels fonctions avec une variable. En examinant le signe de $u_(xx)^("")$ à chaque point stationnaire ou en vérifiant le changement de signe de $u_(x)^(")$ aux points trouvés, on obtient les mêmes conclusions que lorsque résoudre la première méthode. Par exemple, nous vérifierons le signe $u_(xx)^("")$ :

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Puisque $u_(xx)^("")(M_1)>0$, alors $M_1$ est le point minimum de la fonction $u(x)$, et $u_(\min)=u(0)=0 $. Depuis $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Les valeurs de la fonction $u(x)$ pour une condition de connexion donnée coïncident avec les valeurs de la fonction $z(x,y)$, c'est-à-dire les extrema trouvés de la fonction $u(x)$ sont les extrema conditionnels recherchés de la fonction $z(x,y)$.

Répondre: au point $(0;0)$ la fonction a un minimum conditionnel, $z_(\min)=0$. Au point $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ la fonction a un maximum conditionnel, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Considérons un autre exemple dans lequel nous clarifierons la nature de l'extremum en déterminant le signe de $d^2F$.

Exemple n°3

Trouvez le meilleur et plus petite valeur fonctions $z=5xy-4$, si les variables $x$ et $y$ sont positives et satisfont l'équation de couplage $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 =0$ .

Composons la fonction de Lagrange : $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Trouvons les points stationnaires de la fonction de Lagrange :

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;y > 0. \end(aligned) \right. $$

Toutes les transformations ultérieures sont effectuées en tenant compte de $x > 0 ; \; y > 0$ (ceci est spécifié dans l'énoncé du problème). À partir de la deuxième équation, nous exprimons $\lambda=-\frac(5x)(y)$ et substituons la valeur trouvée dans la première équation : $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. En remplaçant $x=2y$ dans la troisième équation, nous obtenons : $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Puisque $y=1$, alors $x=2$, $\lambda=-10$. Nous déterminons la nature de l'extremum au point $(2;1)$ en fonction du signe de $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(aa)^("")=\lambda. $$

Puisque $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, alors :

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

En principe, ici vous pouvez immédiatement substituer les coordonnées du point stationnaire $x=2$, $y=1$ et le paramètre $\lambda=-10$, obtenant :

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10 ; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Cependant, dans d'autres problèmes, il peut y avoir plusieurs points stationnaires à un extremum conditionnel. Dans de tels cas, il est préférable de représenter $d^2F$ sous forme générale, puis de substituer les coordonnées de chacun des points stationnaires trouvés dans l'expression résultante :

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

En remplaçant $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, nous obtenons :

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Puisque $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Répondre: au point $(2;1)$ la fonction a un maximum conditionnel, $z_(\max)=6$.

Dans la partie suivante, nous considérerons l'application de la méthode de Lagrange pour des fonctions d'un plus grand nombre de variables.

Définition1: On dit qu'une fonction a un maximum local en un point s'il existe un voisinage du point tel que pour tout point M avec coordonnées (x, y) l'inégalité est vraie : . Dans ce cas, c'est-à-dire l'incrément de la fonction< 0.

Définition2: On dit qu'une fonction a un minimum local en un point s'il existe un voisinage du point tel que pour tout point M avec coordonnées (x, y) l'inégalité est vraie : . Dans ce cas, c'est-à-dire l'incrément de la fonction > 0.

Définition 3: Les points de minimum et maximum locaux sont appelés points extrêmes.

Extrêmes conditionnels

Lors de la recherche des extrema d'une fonction de nombreuses variables, des problèmes surviennent souvent liés à ce qu'on appelle extrême conditionnel. Ce concept peut être expliqué à l'aide de l'exemple d'une fonction à deux variables.

Soit une fonction et une ligne L en surface 0xy. La tâche est d'entrer en ligne L trouver un tel point P(x,y), dans lequel la valeur d'une fonction est la plus grande ou la plus petite par rapport aux valeurs de cette fonction en des points de la ligne L, situé à proximité du point P.. De tels points P. sont appelés points extrêmes conditionnels fonctions en ligne L. Contrairement au point extrême habituel, la valeur de la fonction au point extrême conditionnel est comparée aux valeurs de la fonction non pas en tous les points de son voisinage, mais uniquement en ceux qui se trouvent sur la ligne L.

Il est tout à fait clair que le but de l'extremum habituel (on dit aussi extrême inconditionnel) est également un point extrême conditionnel pour toute ligne passant par ce point. L’inverse, bien sûr, n’est pas vrai : le point extrême conditionnel peut ne pas être le point extrême ordinaire. Permettez-moi d'expliquer ce que j'ai dit avec un exemple simple. Le graphique de la fonction est l'hémisphère supérieur (Annexe 3 (Fig. 3)).

Cette fonction a un maximum à l'origine ; le sommet lui correspond M hémisphères. Si la ligne L il y a une ligne passant par les points UN Et DANS(son équation x+y-1=0), alors il est géométriquement clair que pour les points de cette droite la plus grande valeur de la fonction est atteinte au point situé au milieu entre les points UN Et DANS. C'est le point d'extremum conditionnel (maximum) de la fonction sur cette ligne ; il correspond au point M 1 sur l'hémisphère, et d'après la figure il ressort clairement qu'il ne peut être question ici d'un extremum ordinaire.

Notez que dans la dernière partie du problème de recherche des valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction dans une région fermée, nous devons trouver les valeurs extrêmes de la fonction à la frontière de cette région, c'est-à-dire sur une ligne, et résolvez ainsi le problème extremum conditionnel.

Passons maintenant à la recherche pratique des points extremum conditionnels de la fonction Z= f(x, y) à condition que les variables x et y soient liées par l'équation (x, y) = 0. Nous appellerons cette relation la équation de connexion. Si à partir de l'équation de couplage y peut être exprimé explicitement en termes de x : y=(x), nous obtenons une fonction d'une variable Z= f(x, (x)) = Ф(x).

Après avoir trouvé la valeur x à laquelle cette fonction atteint un extremum, puis déterminé à partir de l'équation de connexion les valeurs y correspondantes, nous obtenons les points souhaités de l'extremum conditionnel.

Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, à partir de l'équation de relation x+y-1=0, nous avons y=1-x. D'ici

Il est facile de vérifier que z atteint son maximum à x = 0,5 ; mais alors à partir de l'équation de connexion y = 0,5, et nous obtenons exactement le point P, trouvé à partir de considérations géométriques.

Le problème d'un extremum conditionnel est très facilement résolu même lorsque l'équation de connexion peut être représentée équations paramétriques x=x(t), y=y(t). En substituant des expressions pour x et y dans cette fonction, nous arrivons à nouveau au problème de trouver l'extremum d'une fonction d'une variable.

Si l’équation de couplage a plus de aspect complexe et nous sommes incapables soit d'exprimer explicitement une variable en termes d'une autre, soit de la remplacer par des équations paramétriques, alors la tâche de trouver un extremum conditionnel devient plus difficile. Nous continuerons de supposer que dans l'expression de la fonction z= f(x, y) la variable (x, y) = 0. La dérivée totale de la fonction z= f(x, y) est égale à :

Où la dérivée y` est trouvée en utilisant la règle de différenciation fonction implicite. Aux points de l'extremum conditionnel, la dérivée totale trouvée doit être égale à zéro ; cela donne une équation reliant x et y. Puisqu’ils doivent également satisfaire l’équation de couplage, on obtient un système de deux équations à deux inconnues

Transformons ce système en un système beaucoup plus pratique en écrivant la première équation sous la forme d'une proportion et en introduisant une nouvelle inconnue auxiliaire :

(le signe moins devant est pour plus de commodité). De ces égalités il est facile de passer au système suivant :

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

qui, avec l'équation de connexion (x, y) = 0, forme un système de trois équations à inconnues x, y et.

Ces équations (*) sont les plus faciles à retenir en utilisant règle suivante: afin de trouver des points qui peuvent être des points extremum conditionnels de la fonction

Z= f(x, y) avec l'équation de connexion (x, y) = 0, vous devez former une fonction auxiliaire

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Où est une constante et créez des équations pour trouver les points extrêmes de cette fonction.

Le système d'équations indiqué ne fournit, en règle générale, que les conditions nécessaires, c'est-à-dire toutes les paires de valeurs x et y qui satisfont à ce système ne sont pas nécessairement un point extrême conditionnel. Je ne donnerai pas de conditions suffisantes pour les points d'extremum conditionnel ; très souvent, le contenu spécifique du problème lui-même suggère quel est le point trouvé. La technique décrite pour résoudre des problèmes sur un extremum conditionnel est appelée la méthode du multiplicateur de Lagrange.

Extrême conditionnel.

Extrema d'une fonction de plusieurs variables

Méthode des moindres carrés.

Extremum local du FNP

Soit la fonction donnée Et= F(P), ÎDÌR n et soit le point P 0 ( UN 1 , UN 2 , ..., un p) –interne point de l’ensemble D.

Définition 9.4.

1) Le point P 0 est appelé point maximum les fonctions Et= F(P), s'il existe un voisinage de ce point U(P 0) М D tel que pour tout point P( X 1 , X 2 , ..., xn)О U(P 0) , Р¹Р 0 , la condition est satisfaite F(P)£ F(P0) . Signification F(P 0) la fonction au point maximum est appelée maximum de la fonction et est désigné F(P0) = maximum F(P) .

2) Le point P 0 est appelé point minimum les fonctions Et= F(P), s'il existe un voisinage de ce point U(P 0)Ì D tel que pour tout point P( X 1 , X 2 , ..., xn)ОU(P 0), Р¹Р 0 , la condition est satisfaite F(P)³ F(P0) . Signification F(P 0) la fonction au point minimum est appelée fonction minimale et est désigné F(P 0) = min F(P).

Les points minimum et maximum d'une fonction sont appelés points extrêmes, les valeurs de la fonction aux points extrema sont appelées extrema de la fonction.

Comme il ressort de la définition, les inégalités F(P)£ F(P0) , F(P)³ F(P 0) ne doit être satisfait que dans un certain voisinage du point P 0, et non dans tout le domaine de définition de la fonction, ce qui signifie que la fonction peut avoir plusieurs extrema du même type (plusieurs minima, plusieurs maxima) . Par conséquent, les extrema définis ci-dessus sont appelés locale extrêmes (locales).

Théorème 9.1.( condition nécessaire extremum du FNP)

Si la fonction Et= F(X 1 , X 2 , ..., xn) a un extremum au point P 0 , alors ses dérivées partielles du premier ordre en ce point sont soit égales à zéro, soit n'existent pas.

Preuve. Soit au point P 0 ( UN 1 , UN 2 , ..., un p) fonction Et= F(P) a un extremum, par exemple un maximum. Réparons les arguments X 2 , ..., xn, en mettant X 2 =UN 2 ,..., xn = un p. Alors Et= F(P) = F 1 ((X 1 , UN 2 , ..., un p) est fonction d'une variable X 1 . Puisque cette fonction a X 1 = UN 1 extremum (maximum), puis F 1 ¢=0ou n'existe pas lorsque X 1 =UN 1 (une condition nécessaire à l'existence d'un extremum d'une fonction d'une variable). Mais cela signifie ou n'existe pas au point P 0 - le point extremum. De même, on peut considérer des dérivées partielles par rapport à d'autres variables. CTD.

Les points dans le domaine d'une fonction auxquels les dérivées partielles du premier ordre sont égales à zéro ou n'existent pas sont appelés points critiques cette fonction.

Comme il ressort du théorème 9.1, les points extremum du FNP doivent être recherchés parmi les points critiques de la fonction. Mais, comme pour une fonction d’une variable, toutes les point critique est le point extrême.

Théorème 9.2. (condition suffisante pour l'extremum du FNP)

Soit P 0 le point critique de la fonction Et= F(P) et est la différentielle du second ordre de cette fonction. Alors

et si d 2 toi(P 0) > 0 à , alors P 0 est un point le minimum les fonctions Et= F(P);

b) si d 2 toi(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maximum les fonctions Et= F(P);

c) si d 2 toi(P 0) n'est pas défini par un signe, alors P 0 n'est pas un point extremum ;

Nous considérerons ce théorème sans preuve.

Notez que le théorème ne considère pas le cas où d 2 toi(P 0) = 0 ou n'existe pas. Cela signifie que la question de la présence d'un extremum au point P 0 dans de telles conditions reste ouverte - des recherches supplémentaires sont nécessaires, par exemple une étude de l'incrément de la fonction en ce point.

Dans des cours de mathématiques plus approfondis, il est prouvé que, notamment pour la fonction z = f(X,oui) de deux variables dont la différentielle du second ordre est une somme de la forme

l'étude de la présence d'un extremum au point critique P 0 peut être simplifiée.

Notons , , . Composons un déterminant

Il s'avère que:

d 2 z> 0 au point P 0, soit P 0 – point minimum, si UN(P 0) > 0 et D(P 0) > 0 ;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если UN(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

si D(P 0)< 0, то d 2 z au voisinage du point P 0 il change de signe et il n'y a pas d'extremum au point P 0 ;

si D(Р 0) = 0, alors des études complémentaires de la fonction au voisinage du point critique Р 0 sont également nécessaires.

Ainsi, pour la fonction z = f(X,oui) de deux variables, nous avons l’algorithme suivant (appelons-le « algorithme D ») pour trouver un extremum :

1) Trouver le domaine de définition D( F) les fonctions.

2) Trouver les points critiques, c'est-à-dire points de D( F), pour lesquels et sont égaux à zéro ou n'existent pas.

3) A chaque point critique P 0, vérifier les conditions suffisantes pour l'extremum. Pour ce faire, recherchez , où , , et calculez D(P 0) et UN(P 0). Alors :

si D(P 0) >0, alors au point P 0 il y a un extremum, et si UN(P 0) > 0 – alors c'est le minimum, et si UN(P0)< 0 – максимум;

si D(P 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;

Si D(P 0) = 0, des recherches supplémentaires sont nécessaires.

4) Aux points extremum trouvés, calculez la valeur de la fonction.

Exemple 1.

Trouver l'extremum de la fonction z = X 3 + 8oui 3 – 3xy .

Solution. Le domaine de définition de cette fonction est l'ensemble du plan de coordonnées. Trouvons les points critiques.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Vérifions si les conditions suffisantes pour l'extremum sont remplies. Nous trouverons

6X, = -3, = 48à Et = 288xy – 9.

Alors D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – au point Р 1 il y a un extremum, et puisque UN(P 1) = 3 >0, alors cet extremum est un minimum. Alors min z=z(P1) = .

Exemple 2.

Trouver l'extremum de la fonction .

Solution : D( F) = R 2 . Points critiques: ; n'existe pas quand à= 0, ce qui signifie que P 0 (0,0) est le point critique de cette fonction.

2, = 0, = , = , mais D(P 0) n'est pas défini, donc étudier son signe est impossible.

Pour la même raison, il est impossible d'appliquer directement le théorème 9.2 - d 2 z n'existe pas à ce stade.

Considérons l'incrément de la fonction F(X, oui) au point P 0. Si D F =F(P) – F(P 0)>0 "P, alors P 0 est le point minimum, mais si D F < 0, то Р 0 – точка максимума.

Dans notre cas nous avons

D F = F(X, oui) – F(0, 0) = F(0+D X,0+D oui) – F(0, 0) = .

En D X= 0,1 et D oui= -0,008 on obtient D F = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 et D oui= 0,001D F= 0,01 + 0,1 > 0, soit au voisinage du point P 0 aucune des deux conditions D n'est remplie F <0 (т.е. F(X, oui) < F(0, 0) et donc P 0 n'est pas un point maximum), ni la condition D F>0 (c'est-à-dire F(X, oui) > F(0, 0) et alors P 0 n'est pas un point minimum). Donc, par définition d'un extremum, cette fonction n'a pas d'extrêmes.

Extrémum conditionnel.

L’extremum considéré de la fonction est appelé inconditionnel, puisqu'aucune restriction (condition) n'est imposée sur les arguments de la fonction.

Définition 9.2. Extremum de la fonction Et = F(X 1 , X 2 , ... , xn), constaté à la condition que ses arguments X 1 , X 2 , ... , xn satisfaire les équations j 1 ( X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, …,j T(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, où P ( X 1 , X 2 , ... , xn) О D( F), appelé conditionnel extrême .

Équations j k(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0 , k = 1, 2,..., m, sont appelés équations de connexion.

Regardons les fonctions z = f(X,oui) deux variables. Si l'équation de connexion est une, c'est-à-dire , alors trouver un extremum conditionnel signifie que l'extremum n'est pas recherché dans tout le domaine de définition de la fonction, mais sur une courbe située dans D( F) (c'est-à-dire que ce ne sont pas les points les plus hauts ou les plus bas de la surface qui sont recherchés z = f(X,oui), et les points les plus hauts ou les plus bas parmi les points d'intersection de cette surface avec le cylindre, Fig. 5).

Extremum conditionnel d'une fonction z = f(X,oui) de deux variables peut être trouvé de la manière suivante( méthode d'élimination). A partir de l'équation, exprimez l'une des variables en fonction d'une autre (par exemple, écrivez ) et, en substituant cette valeur de la variable dans la fonction, écrivez cette dernière en fonction d'une variable (dans le cas considéré ). Trouvez l'extremum de la fonction résultante d'une variable.

Condition suffisante pour l'extremum d'une fonction de deux variables

1. Soit la fonction être continûment différentiable dans un certain voisinage du point et avoir des dérivées partielles continues du second ordre (pures et mixtes).

2. Désignons par le déterminant du second ordre

fonction de lecture variable extrême

Théorème

Si le point avec coordonnées est un point stationnaire pour la fonction, alors :

A) C'est un point d'extremum local et, à maximum local, - minimum local ;

C) ce point n'est pas un point extrême local ;

C) si, peut-être les deux.

Preuve

Écrivons la formule de Taylor pour la fonction, en nous limitant à deux termes :

Puisque, selon les conditions du théorème, le point est stationnaire, les dérivées partielles du second ordre sont égales à zéro, c'est-à-dire Et. Alors

Notons

Alors l’incrément de la fonction prendra la forme :

Du fait de la continuité des dérivées partielles du second ordre (pures et mixtes), selon les conditions du théorème en un point, on peut écrire :

Où ou ; ,

1. Soit et, c'est-à-dire ou.

2. Multipliez l'incrément de la fonction et divisez par, nous obtenons :

3. Ajoutons l'expression entre accolades au carré complet de la somme :

4. L’expression entre accolades n’est pas négative, puisque

5. Donc, si un moyen et, alors et donc, selon la définition, le point est un point de minimum local.

6. Si un moyen et, alors, selon la définition, le point avec coordonnées est un point de maximum local.

2. Considérons le trinôme quadratique, son discriminant, .

3. Si, alors il y a des points tels que le polynôme

4. On écrit l'incrément total de la fonction en un point conformément à l'expression obtenue en I comme :

5. En raison de la continuité des dérivées partielles du second ordre, selon les conditions du théorème en un point, on peut écrire que

Il existe donc un voisinage d'un point tel que, pour tout point, le trinôme quadratique est supérieur à zéro :

6. Considérons le voisinage d'un point.

Choisissons n'importe quelle valeur, donc point final. En supposant que dans la formule d'incrémentation de la fonction

Qu'obtenons-nous :

7. Depuis, alors.

8. En discutant de la même manière pour la racine, nous trouvons que dans tout voisinage d'un point il y a un point pour lequel, par conséquent, au voisinage du point ne conserve pas de signe, donc il n'y a pas d'extremum au point.

Extremum conditionnel d'une fonction de deux variables

Lors de la recherche des extrema d'une fonction de deux variables, des problèmes surviennent souvent liés à ce que l'on appelle l'extremum conditionnel. Ce concept peut être expliqué à l'aide de l'exemple d'une fonction à deux variables.

Soit une fonction et une droite L sur le plan 0xy. La tâche consiste à trouver un point P (x, y) sur la ligne L auquel la valeur de la fonction est la plus grande ou la plus petite par rapport aux valeurs de cette fonction aux points de la ligne L situés à proximité du point P. De tels points P sont appelées fonctions de points extremum conditionnels sur la ligne L. Contrairement au point extremum habituel, la valeur de la fonction au point extremum conditionnel est comparée aux valeurs de la fonction non pas en tous les points de son voisinage, mais uniquement en ceux qui se trouvent sur la ligne L.

Il est tout à fait clair que le point d'extremum ordinaire (on dit aussi extremum inconditionnel) est aussi le point d'extremum conditionnel pour toute ligne passant par ce point. L’inverse, bien sûr, n’est pas vrai : le point extrême conditionnel peut ne pas être le point extrême ordinaire. Illustrons cela par un exemple.

Exemple n°1. Le graphique de la fonction est l'hémisphère supérieur (Fig. 2).

Riz. 2.

Cette fonction a un maximum à l'origine ; il correspond au sommet M de l'hémisphère. Si la ligne L est une droite passant par les points A et B (son équation), alors il est géométriquement clair que pour les points de cette droite la plus grande valeur de la fonction est atteinte au point situé au milieu entre les points A et B C'est tout l'intérêt des fonctions extremum (maximum) conditionnelles sur cette ligne ; il correspond au point M 1 sur l'hémisphère, et d'après la figure il ressort clairement qu'il ne peut être question ici d'un extremum ordinaire.

Définition 1. Ils disent que où a en un point satisfaisant l'équation un maximum (minimum) conditionnel ou relatif : si pour tout point satisfaisant l'équation l'inégalité

Définition 2. Une équation de la forme est appelée équation de contrainte.

Théorème

Si les fonctions et sont continûment différentiables au voisinage d'un point, et la dérivée partielle, et que le point est un point extremum conditionnel de la fonction par rapport à l'équation de contrainte, alors le déterminant du second ordre est égal à zéro :

Preuve

1. Puisque, selon les conditions du théorème, la dérivée partielle et la valeur de la fonction, alors dans un certain rectangle

fonction implicite définie

Une fonction complexe de deux variables en un point aura extrême local, donc, ou.

2. En effet, d'après la propriété d'invariance de la formule différentielle du premier ordre

3. L'équation de connexion peut être représentée sous cette forme, ce qui signifie

4. Multipliez l'équation (2) par et (3) par et additionnez-les

Par conséquent, quand

arbitraire. etc.

Conséquence

La recherche des points extremum conditionnels d'une fonction à deux variables s'effectue en pratique en résolvant un système d'équations

Ainsi, dans l'exemple n°1 ci-dessus de l'équation de connexion que nous avons. À partir de là, il est facile de vérifier ce qui atteint un maximum. Mais ensuite de l’équation de la communication. On obtient le point P, trouvé géométriquement.

Exemple n°2. Trouvez les points extrêmes conditionnels de la fonction par rapport à l'équation de couplage.

Trouvons les dérivées partielles fonction donnée et équations de couplage :

Créons un déterminant du second ordre :

Écrivons un système d'équations pour trouver des points extremum conditionnels :

Cela signifie qu'il y a quatre points de l'extremum conditionnel de la fonction avec pour coordonnées : .

Exemple n°3. Trouvez les points extrêmes de la fonction.

En assimilant les dérivées partielles à zéro : , nous trouvons un point stationnaire - l'origine. Ici,. Par conséquent, le point (0, 0) n’est pas un point extremum. L'équation est l'équation d'un paraboloïde hyperbolique (Fig. 3). Sur la figure, on peut voir que le point (0, 0) n'est pas un point extremum.

Riz. 3.

La plus grande et la plus petite valeur d'une fonction dans une région fermée

1. Soit la fonction définie et continue dans un domaine fermé borné D.

2. Soit la fonction avoir des dérivées partielles finies dans cette région, à l'exception des points individuels de la région.

3. Conformément au théorème de Weierstrass, dans cette région, il existe un point auquel la fonction prend les valeurs les plus grandes et les plus petites.

4. Si ces points sont des points internes à la région D, alors évidemment ils auront un maximum ou un minimum.

5. Dans ce cas, les points qui nous intéressent font partie des points suspects à l'extremum.

6. Cependant, la fonction peut également prendre la valeur la plus grande ou la plus petite à la limite de la région D.

7. Afin de trouver la valeur la plus grande (la plus petite) d'une fonction dans la région D, vous devez trouver tous les points internes suspects d'un extremum, calculer la valeur de la fonction qu'ils contiennent, puis comparer avec la valeur de la fonction au points limites de la région, et la plus grande de toutes les valeurs trouvées sera la plus grande dans la région fermée D.

8. La méthode permettant de trouver un maximum ou un minimum local a été abordée plus haut dans la section 1.2. et 1.3.

9. Il reste à considérer la méthode permettant de trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction à la limite de la région.

10. Dans le cas d'une fonction à deux variables, la zone est généralement limitée par une ou plusieurs courbes.

11. Le long d'une telle courbe (ou de plusieurs courbes), les variables dépendent les unes des autres, ou bien les deux dépendent d'un paramètre.

12. Ainsi, à la frontière, la fonction s'avère dépendre d'une variable.

13. Méthode de recherche valeur la plus élevée les fonctions d’une variable ont été discutées plus tôt.

14. Soit la limite de la région D soit donnée par des équations paramétriques :

Alors sur cette courbe la fonction de deux variables sera fonction complexe du paramètre : . Pour une telle fonction, les valeurs les plus grandes et les plus petites sont déterminées à l'aide de la méthode de détermination des valeurs les plus grandes et les plus petites pour une fonction d'une variable.