Trouver la dérivée d'une fonction implicite en ligne. Dérivée d'une fonction implicite

Très souvent, lors de la résolution de problèmes pratiques (par exemple, en géodésie supérieure ou en photogrammétrie analytique), des fonctions complexes de plusieurs variables apparaissent, c'est-à-dire des arguments x, y, z une fonction f(x,y,z) ) sont elles-mêmes des fonctions des nouvelles variables U, V, O ).

Ainsi, par exemple, cela se produit lors du déplacement d'un système de coordonnées fixe Oxyz au système mobile O 0 UVW et retour. Dans ce cas, il est important de connaître toutes les dérivées partielles par rapport aux variables "fixes" - "anciennes" et "mobiles" - "nouvelles", car ces dérivées partielles caractérisent généralement la position d'un objet dans ces systèmes de coordonnées, et, en particulier, affecter la correspondance des photographies aériennes à un objet réel. Dans de tels cas, les formules suivantes s'appliquent :

Autrement dit, étant donné une fonction complexe J trois "nouvelles" variables U, V, O à travers trois "anciennes" variables x, y, z alors:

Commentaire. Des variations du nombre de variables sont possibles. Par exemple : si

En particulier, si z = f(xy), y = y(x) , on obtient alors la formule dite de "dérivée totale" :

Même formule pour la « dérivée totale » dans le cas de :

prendra la forme :

D'autres variantes des formules (1.27) - (1.32) sont également possibles.

Remarque : la formule "dérivée totale" est utilisée dans le cours de physique, section "Hydrodynamique" lors de la dérivation du système fondamental d'équations du mouvement des fluides.

Exemple 1.10. Donné:

D'après (1.31) :

§7 Dérivées partielles d'une fonction implicitement donnée de plusieurs variables

Comme vous le savez, une fonction implicitement définie d'une variable est définie comme suit : la fonction de la variable indépendante X est dit implicite s'il est donné par une équation non résolue par rapport à y :

Exemple 1.11.

L'équation

définit implicitement deux fonctions :

Et l'équation

ne définit aucune fonction.

Théorème 1.2 (existence d'une fonction implicite).

Laissez la fonction z \u003d f (x, y) et ses dérivées partielles F" X et F" y défini et continu dans un quartier tu M0 points M 0 (X 0 y 0 ) . Outre, f(x 0 ,y 0 )=0 et f"(x 0 ,y 0 )≠0 , alors l'équation (1.33) détermine au voisinage tu M0 fonction implicite y= y(x) , continue et différentiable dans un certain intervalle ré centré sur un point X 0 , et y(x 0 )=y 0 .

Sans preuve.

Du Théorème 1.2 il résulte que sur cet intervalle ré :

c'est-à-dire qu'il y a une identité dans

où la dérivée "totale" est trouvée selon (1.31)

Autrement dit, (1.35) donne une formule pour trouver implicitement la dérivée fonction donnée une variable X .

Une fonction implicite de deux variables ou plus est définie de manière similaire.

Par exemple, si dans une région V espace Oxyz l'équation est remplie :

puis sous certaines conditions sur la fonction F il définit implicitement une fonction

De plus, par analogie avec (1.35), ses dérivées partielles se trouvent comme suit.

Nous apprendrons à trouver des dérivées de fonctions qui sont données implicitement, c'est-à-dire données par certaines équations qui relient des variables les unes aux autres X et y. Exemples de fonctions définies implicitement :

,

,

Les dérivées de fonctions implicites, ou les dérivées de fonctions implicites, sont assez faciles à trouver. Analysons maintenant la règle et l'exemple correspondants, puis découvrons pourquoi cela est nécessaire.

Pour trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement, il faut différencier les deux membres de l'équation par rapport à x. Les termes dans lesquels seul x est présent deviendront la dérivée habituelle d'une fonction de x. Et les termes avec y doivent être différenciés en utilisant la règle de différenciation d'une fonction complexe, puisque y est une fonction de x. Si c'est assez simple, alors dans la dérivée résultante du terme avec x, cela devrait donner: la dérivée de la fonction de y, multipliée par la dérivée de y. Par exemple, la dérivée du terme s'écrira , la dérivée du terme s'écrira . De plus, à partir de tout cela, il est nécessaire d'exprimer ce "coup de y" et la dérivée souhaitée de la fonction donnée implicitement sera obtenue. Regardons cela avec un exemple.

Exemple 1

La solution. Nous différencions les deux côtés de l'équation par rapport à x, en supposant que y est une fonction de x :

De là, nous obtenons la dérivée requise dans la tâche :

Maintenant, quelque chose sur la propriété ambiguë des fonctions définies implicitement, et pourquoi des règles spéciales pour leur différenciation sont nécessaires. Dans certains cas, on peut vérifier que la substitution dans équation donnée(voir exemples ci-dessus) au lieu du y, son expression par x conduit au fait que cette équation se transforme en une identité. Alors. l'équation ci-dessus définit implicitement les fonctions suivantes :

Après avoir remplacé l'expression y au carré par x dans l'équation d'origine, nous obtenons l'identité :

.

Les expressions que nous avons substituées ont été obtenues en résolvant l'équation pour le y.

Si nous devions dériver la fonction explicite correspondante

alors nous obtiendrions une réponse comme dans l'exemple 1 - d'une fonction spécifiée implicitement :

Mais toutes les fonctions données implicitement ne peuvent pas être représentées sous la forme y = F(X) . Ainsi, par exemple, les fonctions définies implicitement

ne sont pas exprimées en termes de fonctions élémentaires, c'est-à-dire que ces équations ne peuvent pas être résolues par rapport au joueur. Il existe donc une règle de différenciation d'une fonction donnée implicitement, que nous avons déjà étudiée et qui sera systématiquement appliquée dans d'autres exemples.

Exemple 2 Trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement :

.

On exprime le y premier et - en sortie - la dérivée de la fonction donnée implicitement :

Exemple 3 Trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement :

.

La solution. Différenciez les deux côtés de l'équation par rapport à x :

.

Exemple 4 Trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement :

.

La solution. Différenciez les deux côtés de l'équation par rapport à x :

.

On exprime et obtient la dérivée :

.

Exemple 5 Trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement :

La solution. Nous transférons les termes du côté droit de l'équation à côté gauche et laissez zéro à droite. Différencier les deux membres de l'équation par rapport à x.

Ou en bref - la dérivée d'une fonction implicite. Qu'est-ce qu'une fonction implicite ? Comme mes cours sont pratiques, j'essaie d'éviter les définitions, les formulations de théorèmes, mais ici il conviendrait de le faire. Qu'est-ce qu'une fonction de toute façon ?

Une fonction d'une variable est la règle selon laquelle chaque valeur de la variable indépendante correspond à une et une seule valeur de la fonction.

La variable s'appelle variable indépendante ou dispute.
La variable s'appelle variable dépendante ou fonction.

Grosso modo, la lettre "y" dans ce cas- et il y a une fonction.

Jusqu'à présent, nous avons considéré des fonctions définies dans explicite formulaire. Qu'est-ce que ça veut dire? Organisons un débriefing sur des exemples précis.

Considérez la fonction

Nous voyons qu'à gauche, nous avons un seul "y" (fonction), et à droite - seulement des x. c'est-à-dire la fonction explicitement exprimée en fonction de la variable indépendante .

Considérons une autre fonction :

Ici les variables et sont situées "mixtes". Et impossible de toute façon n'exprimez "Y" qu'à travers "X". Quelles sont ces méthodes ? Transférer des termes d'une partie à l'autre avec changement de signe, mise entre parenthèses, lancer des facteurs selon la règle de proportion, etc. Réécrire l'égalité et essayer d'exprimer « y » explicitement :. Vous pouvez tordre et tourner l'équation pendant des heures, mais vous ne réussirez pas.

Permettez-moi de vous présenter : - un exemple fonction implicite.

Au cours de l'analyse mathématique, il a été prouvé que la fonction implicite existe(mais pas toujours), il a un graphique (tout comme une fonction "normale"). Il en est de même pour une fonction implicite. existe dérivée première, dérivée seconde, etc. Comme on dit, tous les droits des minorités sexuelles sont respectés.

Et dans cette leçon nous allons apprendre à trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement. Ce n'est pas si dur! Toutes les règles de différenciation, tableau des dérivées fonctions élémentaires restent en vigueur. La différence réside dans un point particulier, que nous allons examiner maintenant.

Oui, et je vais vous dire la bonne nouvelle - les tâches décrites ci-dessous sont effectuées selon un algorithme plutôt rigide et clair sans pierre devant trois pistes.

Exemple 1

1) A la première étape, on accroche des traits sur les deux parties :

2) On utilise les règles de linéarité de la dérivée (les deux premières règles de la leçon Comment trouver la dérivée ? Exemples de solutions):

3) Différenciation directe.
Comment différencier et complètement compréhensible. Que faire là où il y a des "jeux" sous les coups ?

Juste pour faire honte la dérivée d'une fonction est égale à sa dérivée: .

Comment différencier

Ici nous avons fonction complexe. Pourquoi? Il semble que sous le sinus il n'y ait qu'une seule lettre "Y". Mais, le fait est qu'il n'y a qu'une seule lettre "y" - EST UNE FONCTION EN SOI(voir la définition au début de la leçon). Ainsi, le sinus est une fonction externe, - fonction intérieure. On utilise la règle de différentiation d'une fonction complexe :

Le produit est différentiable selon la règle habituelle :

Veuillez noter que - est également une fonction complexe, tout "jeu avec des cloches et des sifflets" est une fonction complexe:

La conception de la solution elle-même devrait ressembler à ceci :

S'il y a des parenthèses, ouvrez-les :

4) Sur le côté gauche, nous recueillons les termes dans lesquels il y a un "y" avec un trait. À côté droit- nous transférons tout le reste :

5) A gauche, on sort la dérivée entre parenthèses :

6) Et selon la règle de proportion, nous déposons ces parenthèses dans le dénominateur du côté droit :

La dérivée a été trouvée. Prêt.

Il est intéressant de noter que toute fonction peut être réécrite implicitement. Par exemple, la fonction peut être réécrit comme ceci : . Et différencier selon l'algorithme que l'on vient de considérer. En fait, les expressions "fonction implicite" et "fonction implicite" diffèrent par une nuance sémantique. L'expression "fonction implicitement définie" est plus générale et correcte, - cette fonction est donnée implicitement, mais ici vous pouvez exprimer "y" et présenter la fonction explicitement. L'expression "fonction implicite" désigne une fonction implicite "classique", lorsque "y" ne peut pas être exprimé.

La deuxième façon de résoudre

Attention! Vous ne pouvez vous familiariser avec la deuxième méthode que si vous savez trouver en toute confiance des dérivées partielles. Débutants à étudier analyse mathematique et théières, veuillez ne pas lire et sauter ce paragraphe, sinon votre tête sera un gâchis complet.

Trouvez la dérivée de la fonction implicite de la deuxième manière.

Nous déplaçons tous les termes vers la gauche :

Et considérons une fonction de deux variables :

Alors notre dérivée peut être trouvée par la formule

Trouvons les dérivées partielles :

De cette façon:

La deuxième solution permet d'effectuer une vérification. Mais il n'est pas souhaitable de rédiger une version finale de la tâche pour lui, car les dérivées partielles sont maîtrisées plus tard, et un étudiant étudiant le sujet «Dérivée d'une fonction d'une variable» ne devrait pas connaître les dérivées partielles.

Regardons quelques exemples supplémentaires.

Exemple 2

Trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement

Nous accrochons des coups sur les deux parties:

On utilise les règles de linéarité :

Recherche de dérivées :

Développer toutes les parenthèses :

Nous transférons tous les termes avec sur le côté gauche, le reste - sur le côté droit :

Sur le côté gauche, nous le mettons hors parenthèses :

Réponse finale:

Exemple 3

Trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement

Solution complète et échantillon de conception à la fin de la leçon.

Il n'est pas rare que des fractions apparaissent après différenciation. Dans de tels cas, les fractions doivent être éliminées. Regardons deux autres exemples.

Soit la fonction donnée implicitement sous la forme d'une équation
. En différenciant cette équation par rapport à X et résoudre l'équation résultante par rapport à la dérivée , on trouve la dérivée du premier ordre (la dérivée première). Se différencier par rapport à X la dérivée première nous obtenons la dérivée seconde de la fonction implicite. Remplacer une valeur déjà trouvée dans l'expression de la dérivée seconde, on exprime à travers X et y. Nous procédons de la même manière pour trouver la dérivée du troisième ordre (et au-delà).

Exemple.Find , si
.

Solution : Différencier l'équation par rapport à X:
. De là, nous trouvons
. Plus loin .

Dérivées d'ordres supérieurs à partir de fonctions données paramétriquement.

Laissez la fonction
donnée par des équations paramétriques
.

Comme vous le savez, la dérivée première se trouve selon la formule
. Trouvons la dérivée seconde
, c'est à dire.
. De la même manière
.

Exemple. Trouver la dérivée seconde
.

Solution : trouver la dérivée première
. Trouver la dérivée seconde
.

Différentiel de fonction.

Laissez la fonction
différentiable par
. La dérivée de cette fonction à un moment donné
est défini par l'égalité
. Attitude
à
, donc différente de la dérivée
par la valeur de b.m., soit peut être écrit
(
). Multiplions tout par
, on a
. Incrément de fonction
est composé de deux termes. premier mandat
- la partie principale de l'incrément, est le différentiel de la fonction.

Déf. différentiel de fonction
est appelé le produit de la dérivée et de l'incrément de l'argument. Noté
.

Le différentiel d'une variable indépendante est égal à son incrément
.

(). Ainsi, la formule de la différentielle peut s'écrire
. Le différentiel d'une fonction est égal au produit de la dérivée et du différentiel de la variable indépendante. Il résulte de cette relation que la dérivée peut être considérée comme le rapport des différentiels
.

Le différentiel est utilisé dans les calculs approximatifs. Puisque dans l'expression
deuxième mandat
une quantité infinitésimale utiliser l'égalité approchée
ou élargi

Exemple : calculer une valeur approximative
.

Fonction
a une dérivée
.

Selon la formule (*) : .

Exemple : trouver la différentielle d'une fonction

La signification géométrique de la différentielle.

Vers le graphique de la fonction
au point M( X;y) tracer une tangente et considérer l'ordonnée de cette tangente pour le point X+∆ X. Dans la figure AM=∆ X AM 1 =∆ àà partir de ∆MAV
, Par conséquent
, mais selon le sens géométrique de la tangente
. C'est pourquoi
. En comparant cette formule avec la formule différentielle, on obtient que
, c'est à dire. différentiel de fonction
à ce point X est égal à l'incrément de l'ordonnée de la tangente au graphe de la fonction en ce point, lorsque X obtient une augmentation ∆х.

Règles de calcul différentiel.

Puisque la fonction différentielle
diffère de la dérivée d'un facteur
, alors toutes les règles de calcul de la dérivée sont également utilisées pour calculer le différentiel (d'où le terme "différenciation").

Donnons deux fonctions différentiables
et
, alors la différentielle est trouvée selon les règles suivantes :

1)

2)
Avec -constante

3)

4)
(
)

5) pour une fonction complexe
, où

(car
).

La différentielle d'une fonction complexe est égale au produit de la dérivée de cette fonction par rapport à un argument intermédiaire et de la différentielle de cet argument intermédiaire.

Applications dérivées.

Théorèmes sur la valeur moyenne.

Théorème de Rolle. Si la fonction
continue sur le segment
et différentiable dans l'intervalle ouvert
et s'il prend des valeurs égales aux extrémités du segment
, puis dans l'intervalle
il y a au moins un tel point Avec, dans laquelle la dérivée s'annule, c'est-à-dire
, un< c< b.

Géométriquement, le théorème de Rolle signifie que sur le graphique de la fonction
il y a un point où la tangente au graphique est parallèle à l'axe Oh.

Théorème de Lagrange. Si la fonction
continue sur le segment
et différentiable sur l'intervalle
, alors il y a au moins un point
telle que l'égalité tient.

La formule est appelée formule de Lagrange ou formule d'incrément fini : l'incrément d'une fonction différentiable sur l'intervalle
est égal à l'incrément de l'argument multiplié par la valeur de la dérivée en un point intérieur de ce segment.

La signification géométrique du théorème de Lagrange : sur le graphe de la fonction
il y a un point C(s ;F(c)) , où la tangente au graphe de la fonction est parallèle à la sécante UN B.

Théorème de Cauchy. Si les fonctions
et
continue sur le segment
, sont dérivables sur l'intervalle
, et
pour
, alors il y a au moins un point
telle que l'égalité
.

Le théorème de Cauchy sert de base à une nouvelle règle de calcul des limites.

La règle de l'Hôpital.

Théorème:(Règle de L'Hopital divulgation des incertitudes de la forme ). Laissez les fonctions
et
sont continues et dérivables au voisinage d'un point X 0 et disparaître à ce stade
. Laisser aller
à proximité du point X 0 . s'il y a une limite
, alors
.

Preuve : Applicable aux fonctions
et
Théorème de Cauchy pour le segment

Situé au voisinage d'un point X 0 . Alors
, où X 0 < c< X. Car
on a
. Passons à la limite en

. Car
, alors
, c'est pourquoi
.

Donc la limite du rapport de deux b.m. est égal à la limite du rapport de leurs dérivées, si celle-ci existe
.

Théorème.(Règle de L'Hopital pour la révélation des incertitudes de la forme
) Laissez les fonctions
et
sont continues et dérivables au voisinage d'un point X 0 (sauf peut-être le point X 0 ), dans ce quartier
,
. S'il y a une limite

, alors
.

Incertitudes de la forme (
) sont réduits à deux principaux ( ),
par des transformations identiques.

Exemple: