Comment trouver l'extremum conditionnel d'une fonction. Extrêmes locaux

Extrema de fonctions de plusieurs variables. Une condition nécessaire pour un extremum. Condition suffisante pour un extremum. Extrême conditionnel. Méthode des multiplicateurs de Lagrange. Trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites.

Conférence 5

Définition 5.1. Point M 0 (x 0, y 0) appelé point maximum les fonctions z = f(x, y), si f (x o , y o) > f(x, y) pour tous les points (x, y) M 0.

Définition 5.2. Point M 0 (x 0, y 0) appelé note minimale les fonctions z = f(x, y), si f (x o , y o) < f(x, y) pour tous les points (x, y) d'un certain voisinage du point M 0.

Remarque 1. Les points maximum et minimum sont appelés points extrêmes fonctions de plusieurs variables.

Remarque 2. Le point extrême d'une fonction d'un nombre quelconque de variables est défini de manière similaire.

Théorème 5.1(conditions extrêmes nécessaires). Si un M 0 (x 0, y 0) est le point extrême de la fonction z = f(x, y), alors à ce point les dérivées partielles du premier ordre de cette fonction sont égales à zéro ou n'existent pas.

Preuve.

Fixons la valeur de la variable à compte y = y 0. Ensuite la fonction f(x, y0) sera une fonction d'une variable X, Pour qui x = x 0 est le point extrême. Par conséquent, par le théorème de Fermat ou n'existe pas. La même assertion est démontrée pour .

Définition 5.3. Les points appartenant au domaine d'une fonction de plusieurs variables, auxquels les dérivées partielles de la fonction sont égales à zéro ou n'existent pas, sont appelés points fixes cette fonction.

Commentaire. Ainsi, l'extremum ne peut être atteint qu'aux points fixes, mais il n'est pas nécessairement observé en chacun d'eux.

Théorème 5.2 (conditions suffisantes extrême). Laissez dans un voisinage du point M 0 (x 0, y 0), qui est un point stationnaire de la fonction z = f(x, y), cette fonction a des dérivées partielles continues jusqu'au 3ème ordre inclus. Notons alors :

1) f(x, y) a au point M 0 maximale si AC-B² > 0, UN < 0;

2) f(x, y) a au point M 0 minimum si AC-B² > 0, UN > 0;

3) il n'y a pas d'extremum au point critique si AC-B² < 0;

4) si AC-B² = 0, des recherches supplémentaires sont nécessaires.

Preuve.

Écrivons la formule de Taylor du second ordre pour la fonction f(x, y), sachant qu'en un point stationnaire, les dérivées partielles du premier ordre sont égales à zéro :

où Si l'angle entre le segment M 0 M, où M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ à), et l'axe O X notons φ, alors Δ x =Δ ρ parce que φ, Δ y=Δρsinφ. Dans ce cas, la formule de Taylor prendra la forme : . Soit Alors on peut diviser et multiplier l'expression entre parenthèses par MAIS. On a:

Considérez maintenant quatre cas possibles:

1) AC-B² > 0, UN < 0. Тогда , и pour Δρ suffisamment petit. Par conséquent, dans certains quartiers M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f(x0, y0), C'est M 0 est le point maximum.

2) Laissez AC-B² > 0, A > 0. Alors , et M 0 est le point minimum.

3) Laissez AC-B² < 0, UN> 0. Considérons l'incrément des arguments le long du rayon φ = 0. Il résulte alors de (5.1) que , c'est-à-dire qu'en se déplaçant le long de ce rayon, la fonction augmente. Si on se déplace le long d'un rayon tel que tg φ 0 \u003d -A / B, alors , par conséquent, en se déplaçant le long de ce rayon, la fonction diminue. Donc le point M 0 n'est pas un point extrême.

3`) Quand AC-B² < 0, UN < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

similaire à la précédente.

3``) Si AC-B² < 0, UN= 0, alors . Où . Alors, pour φ suffisamment petit, l'expression 2 B parce que + C sinφ proche de 2 À, c'est-à-dire qu'il conserve un signe constant, et sinφ change de signe au voisinage du point M 0 . Cela signifie que l'incrément de la fonction change de signe au voisinage du point stationnaire, qui n'est donc pas un point extrême.

4) Si AC-B² = 0, et , , c'est-à-dire que le signe de l'incrément est déterminé par le signe 2α 0 . Parallèlement, des recherches supplémentaires sont nécessaires pour élucider la question de l'existence d'un extremum.

Exemple. Trouvons les points extrêmes de la fonction z=x² - 2 xy + 2y² + 2 X. Pour rechercher des points stationnaires, on résout le système . Donc, le point stationnaire est (-2,-1). Où Un = 2, À = -2, DE= 4. Alors AC-B² = 4 > 0, donc un extremum est atteint au point stationnaire, à savoir le minimum (puisque UN > 0).

Définition 5.4. Si les arguments de la fonction f (x 1 , x 2 ,…, x n) lié par des conditions supplémentaires sous la forme méquations ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

où les fonctions φ i ont des dérivées partielles continues, alors les équations (5.2) sont appelées équations de connexion.

Définition 5.5. Fonction extrême f (x 1 , x 2 ,…, x n) sous les conditions (5.2) est appelé conditionnel extrême.

Commentaire. On peut proposer l'interprétation géométrique suivante de l'extremum conditionnel d'une fonction à deux variables : soit les arguments de la fonction f(x,y) sont liés par l'équation φ (x, y)= 0, définissant une courbe dans le plan O heu. Après avoir restitué de chaque point de cette courbe les perpendiculaires au plan O heu avant de traverser la surface z = f (x, y), on obtient une courbe spatiale située sur la surface au-dessus de la courbe φ (x, y)= 0. Le problème est de trouver les points extrêmes de la courbe résultante, qui, bien sûr, dans cas général ne coïncident pas avec les points extrêmes inconditionnels de la fonction f(x,y).

Définissons les extremums conditionnels nécessaires pour une fonction de deux variables en introduisant au préalable la définition suivante :

Définition 5.6. Fonction L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

où λ je - certaines constantes, appelées Fonction de Lagrange, et les nombres λ je– multiplicateurs de Lagrange indéfinis.

Théorème 5.3(conditions extrêmes conditionnelles nécessaires). Extremum conditionnel de la fonction z = f(x, y) en présence de l'équation de contrainte φ ( x, y)= 0 ne peut être atteint qu'aux points fixes de la fonction de Lagrange L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Preuve. L'équation de contrainte définit une dépendance implicite à de X, on supposera donc que à il y a une fonction de X: y = y(x). Alors z il existe une fonction complexe X, et ses points critiques sont déterminés par la condition : . (5.4) Il découle de l'équation de contrainte que . (5.5)

Nous multiplions l'égalité (5.5) par un certain nombre λ et l'ajoutons à (5.4). On a:

, ou .

La dernière égalité doit être vraie aux points stationnaires, d'où il résulte :

(5.6)

On obtient un système de trois équations à trois inconnues : x, y et λ, les deux premières équations étant les conditions du point stationnaire de la fonction de Lagrange. En éliminant l'inconnue auxiliaire λ du système (5.6), on trouve les coordonnées des points auxquels la fonction originale peut avoir conditionnel extrême.

Remarque 1. La présence d'un extremum conditionnel au point trouvé peut être vérifiée en étudiant les dérivées partielles du second ordre de la fonction de Lagrange par analogie avec le théorème 5.2.

Remarque 2. Points auxquels l'extremum conditionnel de la fonction peut être atteint f (x 1 , x 2 ,…, x n) sous conditions (5.2), peuvent être définis comme des solutions du système (5.7)

Exemple. Trouver l'extremum conditionnel de la fonction z = xyà condition x + y= 1. Composer la fonction de Lagrange L(x, y) = xy + λ (x + y – une). Le système (5.6) ressemble alors à ceci :

D'où -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0,5. Où L (x, y) peut être représenté comme L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0,5 ≤ 0,5, donc, au point stationnaire trouvé L (x, y) a un maximum et z = xy - maximum conditionnel.

Extrême conditionnel.

Extrema d'une fonction de plusieurs variables

Méthode des moindres carrés.

Extremum local de FNP

Laissez la fonction et= F(P), RÎDÌR n et soit le point Р 0 ( un 1 , un 2 , ..., un p) –interne point de l'ensemble D.

Définition 9.4.

1) Le point P 0 est appelé point maximum les fonctions et= F(P) s'il existe un voisinage de ce point U(P 0) Ì D tel que pour tout point P( X 1 , X 2 , ..., x n)н U(P 0) , Р¹Р 0 , la condition F(P) £ F(P0) . Sens F(P 0) fonctions au point maximum est appelée fonction maximale et noté F(P 0) = max F(P) .

2) Le point P 0 est appelé note minimale les fonctions et= F(P) s'il existe un voisinage de ce point U(P 0)Ì D tel que pour tout point P( X 1 , X 2 , ..., x n)нU(P 0), Р¹Р 0 , la condition F(P)³ F(P0) . Sens F(P 0) fonctions au point minimum est appelée fonction minimale et noté F(P 0) = min F(P).

Les points minimum et maximum d'une fonction sont appelés points extrêmes, les valeurs de la fonction aux points extrêmes sont appelées fonction extrême.

Comme il ressort de la définition, les inégalités F(P) £ F(P0) , F(P)³ F(P 0) ne doit s'effectuer que dans un certain voisinage du point Р 0, et non dans tout le domaine de la fonction, ce qui signifie que la fonction peut avoir plusieurs extrema du même type (plusieurs minima, plusieurs maxima). Par conséquent, les extrema définis ci-dessus sont appelés local extrêmes (locaux).

Théorème 9.1.(condition nécessaire pour l'extremum du FNP)

Si la fonction et= F(X 1 , X 2 , ..., x n) a un extremum au point P 0 , alors ses dérivées partielles du premier ordre en ce point sont égales à zéro ou n'existent pas.

Preuve. Soit au point Р 0 ( un 1 , un 2 , ..., un p) fonction et= F(P) a un extrême, tel qu'un maximum. Fixons les arguments X 2 , ..., x n, en mettant X 2 =un 2 ,..., x n = un p. Alors et= F(P) = F 1 ((X 1 , un 2 , ..., un p) est une fonction d'une variable X une . Étant donné que cette fonction a X 1 = un 1 extremum (maximum), puis F 1 ¢=0 ou n'existe pas lorsque X 1 =un 1 (une condition nécessaire à l'existence d'un extremum d'une fonction d'une variable). Mais , alors ou n'existe pas au point P 0 - le point d'extremum. De même, nous pouvons considérer les dérivées partielles par rapport à d'autres variables. CHTD.

Les points du domaine d'une fonction où les dérivées partielles du premier ordre sont égales à zéro ou n'existent pas sont appelés points critiques cette fonction.

Comme il ressort du théorème 9.1, les points extrêmes du FNP doivent être recherchés parmi les points critiques de la fonction. Mais, comme pour une fonction d'une variable, tous les point critique est le point extrême.

Théorème 9.2

Soit Р 0 un point critique de la fonction et= F(P) et est la différentielle du second ordre de cette fonction. Alors

Et qu'est-ce qui se passerait si ré 2 tu(P 0) > 0 pour , alors Р 0 est un point le minimum les fonctions et= F(P);

b) si ré 2 tu(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maximum les fonctions et= F(P);

c) si ré 2 tu(P 0) n'est pas défini par un signe, alors P 0 n'est pas un point extrême ;

On considère ce théorème sans démonstration.

Notez que le théorème ne considère pas le cas où ré 2 tu(P 0) = 0 ou n'existe pas. Cela signifie que la question de la présence d'un extremum au point P 0 dans de telles conditions reste ouverte - des études complémentaires sont nécessaires, par exemple l'étude de l'incrément de la fonction en ce point.

Dans des cours de mathématiques plus détaillés, il est prouvé que, en particulier, pour la fonction z = f(X,y) de deux variables dont la différentielle du second ordre est une somme de la forme

l'étude de la présence d'un extremum au point critique Р 0 peut être simplifiée.

Dénoter , , . Composez le déterminant

.

Il s'avère que:

ré 2 z> 0 au point P 0 , soit P 0 - point minimum, si UN(P 0) > 0 et D(P 0) > 0 ;

ré 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если UN(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

si D(P 0)< 0, то ré 2 z au voisinage du point Р 0 change de signe et il n'y a pas d'extremum au point Р 0;

si D(Р 0) = 0, alors des études supplémentaires de la fonction au voisinage du point critique Р 0 sont également nécessaires.

Ainsi, pour la fonction z = f(X,y) deux variables, nous avons l'algorithme suivant (appelons-le "algorithme D") pour trouver l'extremum :

1) Trouver le domaine de définition D( F) les fonctions.

2) Trouver les points critiques, c'est-à-dire points de D( F) pour lesquels et sont égaux à zéro ou n'existent pas.

3) A chaque point critique Р 0 vérifier les conditions suffisantes pour l'extremum. Pour ce faire, trouvez , où , , et calculer D(Р 0) et MAIS(P 0) Alors :

si D(Р 0) >0, alors il y a un extremum au point Р 0, de plus, si MAIS(P 0) > 0 - alors c'est un minimum, et si MAIS(P 0)< 0 – максимум;

si D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Si D(Р 0) = 0, alors des études supplémentaires sont nécessaires.

4) Calculer la valeur de la fonction aux points extrêmes trouvés.

Exemple 1.

Trouver l'extremum d'une fonction z = X 3 + 8y 3 – 3xy .

La solution. Le domaine de cette fonction est l'ensemble du plan de coordonnées. Trouvons les points critiques.

, , Þ Ð 0 (0,0) , .

Vérifions la réalisation de conditions extremum suffisantes. Allons trouver

6X, = -3, = 48à et = 288heu – 9.

Alors D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 - il y a un extremum au point Р 1, et puisque MAIS(P 1) = 3 >0, alors cet extremum est un minimum. Donc min z=z(P1) = .

Exemple 2

Trouver l'extremum d'une fonction .

Solution : D( F) = R2. Points critiques: ; n'existe pas à à= 0, donc P 0 (0,0) est le point critique de cette fonction.

2, = 0, = , = , mais D(Р 0) n'est pas défini, il est donc impossible d'étudier son signe.

Pour la même raison, il est impossible d'appliquer directement le théorème 9.2 − ré 2 z n'existe pas à ce stade.

Considérez l'incrément de la fonction F(X, y) au point Ð 0 . Si D F =F(P)- F(P 0)>0 "P, alors P 0 est le point minimum, si D F < 0, то Р 0 – точка максимума.

Nous avons dans notre cas

ré F = F(X, y) – F(0, 0) = F(0+D X,0+D y) – F(0, 0) = .

À D X= 0,1 et D y= -0.008 on obtient D F = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 et D y= 0,001 D F= 0,01 + 0,1 > 0, c'est-à-dire au voisinage du point Р 0 ni la condition D F <0 (т.е. F(X, y) < F(0, 0) et donc P 0 n'est pas un point maximum), ni la condition D F>0 (c'est-à-dire F(X, y) > F(0, 0) et alors Р 0 n'est pas un point minimum). Donc, par définition d'un extremum, cette fonction n'a pas d'extremum.

Extrême conditionnel.

L'extremum considéré de la fonction est appelé inconditionnel, puisqu'aucune restriction (condition) n'est imposée aux arguments de la fonction.

Définition 9.2. Fonction extrême et = F(X 1 , X 2 , ... , x n), trouvé sous la condition que ses arguments X 1 , X 2 , ... , x n satisfaire les équations j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j t(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, où P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( F), est appelé conditionnel extrême .

Équations j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, sont appelés équations de connexion.

Considérez les fonctions z = f(X,y) de deux variables. S'il n'y a qu'une seule équation de contrainte, c'est-à-dire , alors trouver un extremum conditionnel signifie que l'extremum est recherché non pas dans tout le domaine de la fonction, mais sur une courbe située dans D( F) (c'est-à-dire que les points les plus hauts ou les plus bas de la surface ne sont pas recherchés z = f(X,y), et les points les plus hauts ou les plus bas parmi les points d'intersection de cette surface avec le cylindre , Fig. 5).

Extremum conditionnel de la fonction z = f(X,y) de deux variables peut être trouvé de la manière suivante( méthode d'élimination). A partir de l'équation, exprimer une des variables en fonction de l'autre (par exemple, écrire ) et, en substituant cette valeur de la variable dans la fonction , écrire cette dernière en fonction d'une variable (dans le cas considéré ). Trouvez l'extremum de la fonction résultante d'une variable.

Une condition suffisante pour un extremum d'une fonction de deux variables

1. Supposons que la fonction soit continuellement différentiable dans un certain voisinage du point et ait des dérivées partielles continues du second ordre (pures et mixtes).

2. Notons par le déterminant du second ordre

fonction de lecture variable extrême

Théorème

Si le point de coordonnées est un point stationnaire pour la fonction, alors :

A) En , c'est un point extrême local, et, en maximale locale, - minimum local ;

C) lorsque le point n'est pas un point extrême local ;

C) si, peut-être les deux.

Preuve

Nous écrivons la formule de Taylor pour la fonction, en nous limitant à deux membres :

Puisque, selon la condition du théorème, le point est stationnaire, les dérivées partielles du second ordre sont égales à zéro, c'est-à-dire et. Alors

Dénoter

Alors l'incrément de la fonction prendra la forme :

Du fait de la continuité des dérivées partielles du second ordre (pures et mixtes), selon la condition du théorème en un point, on peut écrire :

Où ou ; ,

1. Soit et, c'est-à-dire, ou.

2. On multiplie l'incrément de la fonction et on divise par, on obtient :

3. Complétez l'expression entre accolades au carré entier de la somme :

4. L'expression entre accolades n'est pas négative, puisque

5. Donc, si et donc, et, alors et, donc, selon la définition, le point est un point de minimum local.

6. Si et signifie, et, alors, selon la définition, un point avec des coordonnées est un point maximum local.

2. Considérons un trinôme carré, son discriminant, .

3. Si, alors il existe des points tels que le polynôme

4. L'incrément total de la fonction en un point conformément à l'expression obtenue en I, on l'écrit sous la forme :

5. Du fait de la continuité des dérivées partielles du second ordre, par la condition du théorème en un point, on peut écrire que

donc, il existe un voisinage d'un point tel que, pour tout point, le trinôme carré est supérieur à zéro :

6. Considérez - le voisinage du point.

Choisissons n'importe quelle valeur, c'est donc le but. En supposant que dans la formule de l'incrément de la fonction

Ce que nous obtenons :

7. Depuis, alors.

8. En arguant de la même manière pour la racine, nous obtenons que dans tout -voisinage du point il y a un point pour lequel, donc, dans le voisinage du point il ne conserve pas de signe, donc il n'y a pas d'extremum au point.

Extremum conditionnel d'une fonction de deux variables

Lors de la recherche d'extrema d'une fonction de deux variables, des problèmes se posent souvent liés à ce que l'on appelle l'extrema conditionnel. Ce concept peut être expliqué par l'exemple d'une fonction de deux variables.

Soit une fonction et une droite L sur le plan 0xy. La tâche consiste à trouver un point P (x, y) sur la ligne L, auquel la valeur de la fonction est la plus grande ou la plus petite par rapport aux valeurs de cette fonction aux points de la ligne L, situés près du point P. Ces points P sont appelés fonctions de points extrêmes conditionnels sur la ligne L. Contrairement au point extrême habituel, la valeur de la fonction au point extrême conditionnel est comparée aux valeurs de la fonction pas à tous les points de certains de son voisinage, mais seulement à ceux qui se trouvent sur la ligne L.

Il est bien clair que le point de l'extremum usuel (on dit aussi extremum inconditionnel) est aussi le point de l'extremum conditionnel pour toute droite passant par ce point. L'inverse, bien sûr, n'est pas vrai : un point extrême conditionnel peut ne pas être un point extrême conventionnel. Illustrons ce qui a été dit par un exemple.

Exemple 1. Le graphique de la fonction est l'hémisphère supérieur (Fig. 2).

Riz. 2.

Cette fonction a un maximum à l'origine ; il correspond au sommet M de l'hémisphère. Si la droite L est une droite passant par les points A et B (son équation), alors il est géométriquement clair que pour les points de cette droite la valeur maximale de la fonction est atteinte au point situé au milieu entre les points A et B. Il s'agit des fonctions ponctuelles extremum (maximales) conditionnelles sur cette droite ; il correspond au point M 1 de l'hémisphère, et l'on voit sur la figure qu'il ne peut être question ici d'aucun extremum ordinaire.

Notez que dans la dernière partie du problème de recherche des valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction dans zone fermée il faut trouver les valeurs extrêmes de la fonction sur la frontière de cette région, c'est-à-dire sur une ligne, et ainsi résoudre le problème pour un extremum conditionnel.

Définition 1. Ils disent que où a un maximum (minimum) conditionnel ou relatif en un point qui satisfait l'équation: si pour tout ce qui satisfait l'équation, l'inégalité

Définition 2. Une équation de la forme est appelée une équation de contrainte.

Théorème

Si les fonctions et sont continuellement différentiables au voisinage d'un point, et la dérivée partielle, et le point est le point de l'extremum conditionnel de la fonction par rapport à l'équation de contrainte, alors le déterminant du second ordre est égal à zéro :

Preuve

1. Puisque, selon la condition du théorème, la dérivée partielle et la valeur de la fonction, alors dans un rectangle

fonction implicite définie

Une fonction complexe de deux variables en un point aura donc un extremum local, ou.

2. En effet, d'après la propriété d'invariance de la formule différentielle du premier ordre

3. L'équation de connexion peut être représentée sous cette forme, ce qui signifie

4. Multipliez l'équation (2) par et (3) par et additionnez-les

Par conséquent, lorsque

arbitraire. h.t.d.

Conséquence

La recherche des points extrêmes conditionnels d'une fonction de deux variables s'effectue en pratique en résolvant un système d'équations

Ainsi, dans l'exemple ci-dessus n ° 1 de l'équation de la communication, nous avons. De là, il est facile de vérifier ce qui atteint un maximum à . Mais alors de l'équation de la communication. On obtient le point P, trouvé géométriquement.

Exemple #2. Trouvez les points extrêmes conditionnels de la fonction par rapport à l'équation de contrainte.

Trouvons les dérivées partielles de la fonction donnée et l'équation de connexion :

Faisons un déterminant de second ordre :

Écrivons le système d'équations pour trouver les points extrêmes conditionnels :

il y a donc quatre points extrêmes conditionnels de la fonction de coordonnées : .

Exemple #3. Trouver les points extrêmes de la fonction.

En assimilant les dérivées partielles à zéro: , nous trouvons un point stationnaire - l'origine. Ici,. Par conséquent, le point (0, 0) n'est pas non plus un point extrême. L'équation est l'équation d'un paraboloïde hyperbolique (Fig. 3), la figure montre que le point (0, 0) n'est pas un point extremum.

Riz. 3.

La plus grande et la plus petite valeur d'une fonction dans une zone fermée

1. Soit la fonction définie et continue dans un domaine fermé borné D.

2. Supposons que la fonction ait des dérivées partielles finies dans cette région, à l'exception des points individuels de la région.

3. Conformément au théorème de Weierstrass, il existe dans cette zone un point auquel la fonction prend les valeurs les plus grandes et les plus petites.

4. Si ces points sont des points intérieurs de la région D, alors il est évident qu'ils auront un maximum ou un minimum.

5. Dans ce cas, les points qui nous intéressent font partie des points suspects sur l'extremum.

6. Cependant, la fonction peut aussi prendre la valeur maximale ou minimale sur la frontière de la région D.

7. Afin de trouver la plus grande (la plus petite) valeur de la fonction dans la zone D, vous devez trouver tous les points internes suspects d'un extremum, calculer la valeur de la fonction en eux, puis comparer avec la valeur de la fonction à les points limites de la zone, et la plus grande de toutes les valeurs trouvées sera la plus grande dans la région fermée D.

8. La méthode de recherche d'un maximum ou d'un minimum local a été examinée précédemment dans la section 1.2. et 1.3.

9. Il reste à considérer la méthode de recherche des valeurs maximales et minimales de la fonction à la frontière de la région.

10. Dans le cas d'une fonction à deux variables, l'aire s'avère généralement délimitée par une courbe ou plusieurs courbes.

11. Le long d'une telle courbe (ou de plusieurs courbes), les variables et dépendent soit les unes des autres, soit toutes deux dépendent d'un paramètre.

12. Ainsi, sur la frontière, la fonction s'avère dépendante d'une variable.

13. La méthode pour trouver la plus grande valeur d'une fonction d'une variable a été discutée plus tôt.

14. Soit la frontière de la région D donnée par les équations paramétriques :

Alors sur cette courbe la fonction de deux variables sera une fonction complexe du paramètre : . Pour une telle fonction, la valeur la plus grande et la plus petite est déterminée par la méthode de détermination des valeurs les plus grandes et les plus petites pour une fonction d'une variable.

Considérons d'abord le cas d'une fonction de deux variables. L'extremum conditionnel de la fonction $z=f(x,y)$ au point $M_0(x_0;y_0)$ est l'extremum de cette fonction, atteint sous la condition que les variables $x$ et $y$ dans le voisinage de ce point satisfont l'équation de contrainte $\ varphi(x,y)=0$.

Le nom extremum "conditionnel" est dû au fait que les variables sont imposées condition supplémentaire$\varphi(x,y)=0$. S'il est possible d'exprimer une variable en termes d'une autre à partir de l'équation de connexion, alors le problème de la détermination de l'extremum conditionnel est réduit au problème de l'extremum habituel d'une fonction d'une variable. Par exemple, si $y=\psi(x)$ découle de l'équation de contrainte, puis en remplaçant $y=\psi(x)$ par $z=f(x,y)$, nous obtenons une fonction d'une variable $ z=f\gauche (x,\psi(x)\droite)$. Dans le cas général, cependant, cette méthode est peu utile, donc un nouvel algorithme est nécessaire.

Méthode des multiplicateurs de Lagrange pour les fonctions de deux variables.

La méthode des multiplicateurs de Lagrange est que pour trouver l'extremum conditionnel, la fonction de Lagrange est composée : $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (le paramètre $\lambda $ est appelé multiplicateur de Lagrange). Les conditions extrêmes nécessaires sont données par un système d'équations à partir duquel les points stationnaires sont déterminés :

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(aligned)\right.$$

Le signe $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Si en un point stationnaire $d^2F > 0$, alors la fonction $z=f(x,y)$ a un minimum conditionnel en ce point, mais si $d^2F< 0$, то условный максимум.

Il existe une autre façon de déterminer la nature de l'extremum. De l'équation de contrainte, nous obtenons : $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, donc en tout point stationnaire on a :

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\droite)$$

Le second facteur (situé entre parenthèses) peut être représenté sous cette forme :

Les éléments du $\left| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (tableau) \right|$ qui est la hessienne de la fonction de Lagrange. Si $H > 0$ alors $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 $, c'est-à-dire on a un minimum conditionnel de la fonction $z=f(x,y)$.

Remarque sur la forme du déterminant $H$. afficher/masquer

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ fin(tableau) \right| $$

Dans cette situation, la règle formulée ci-dessus change comme suit : si $H > 0$, alors la fonction a un minimum conditionnel, et pour $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algorithme d'étude d'une fonction de deux variables pour un extremum conditionnel

1. Composez la fonction de Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Résoudre le système $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
3. Déterminer la nature de l'extremum en chacun des points stationnaires trouvés au paragraphe précédent. Pour ce faire, utilisez l'une des méthodes suivantes :
   • Composez le déterminant $H$ et trouvez son signe
   • En tenant compte de l'équation de la contrainte, calculez le signe de $d^2F$

Méthode du multiplicateur de Lagrange pour les fonctions de n variables

Supposons que nous ayons une fonction de $n$ variables $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ et $m$ équations de contrainte ($n > m$) :

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0 ; \ ; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

En désignant les multiplicateurs de Lagrange par $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, nous composons la fonction de Lagrange :

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Les conditions nécessaires à la présence d'un extremum conditionnel sont données par un système d'équations à partir duquel on trouve les coordonnées des points stationnaires et les valeurs des multiplicateurs de Lagrange :

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Il est possible de savoir si une fonction a un minimum conditionnel ou un maximum conditionnel au point trouvé, comme précédemment, en utilisant le signe $d^2F$. Si au point trouvé $d^2F > 0$, alors la fonction a un minimum conditionnel, mais si $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Déterminant de matrice $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$ surligné en rouge dans la matrice $L$ est le hessien de la fonction de Lagrange. Nous utilisons la règle suivante :

• Si les signes des coins mineurs sont $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrices $L$ coïncident avec le signe $(-1)^m$, alors le point stationnaire étudié est le point minimum conditionnel de la fonction $z =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Si les signes des coins mineurs sont $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ alternent, et le signe du mineur $H_(2m+1)$ coïncide avec le signe du nombre $(-1)^(m+1 )$, alors le point stationnaire étudié est le point maximum conditionnel de la fonction $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Exemple 1

Trouvez l'extremum conditionnel de la fonction $z(x,y)=x+3y$ sous la condition $x^2+y^2=10$.

L'interprétation géométrique de ce problème est la suivante : il s'agit de trouver la plus grande et la plus petite valeur de l'applique du plan $z=x+3y$ pour les points de son intersection avec le cylindre $x^2+y^2 =10$.

Il est quelque peu difficile d'exprimer une variable en termes d'une autre à partir de l'équation de contrainte et de la substituer dans la fonction $z(x,y)=x+3y$, nous allons donc utiliser la méthode de Lagrange.

En notant $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, on compose la fonction de Lagrange :

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x ; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Ecrivons le système d'équations pour déterminer les points stationnaires de la fonction de Lagrange :

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (aligné)\à droite.$$

Si nous supposons $\lambda=0$, alors la première équation devient : $1=0$. La contradiction résultante dit que $\lambda\neq 0$. Sous la condition $\lambda\neq 0$, à partir des première et deuxième équations nous avons : $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. En substituant les valeurs obtenues dans la troisième équation, on obtient :

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10 ; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligné) \right.\\ \begin(aligné) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \ ; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1 ; \ ; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \ ; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1 ; \ ; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$

Ainsi, le système a deux solutions : $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ et $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Cherchons la nature de l'extremum en chaque point stationnaire : $M_1(1;3)$ et $M_2(-1;-3)$. Pour ce faire, on calcule le déterminant $H$ en chacun des points.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(aa)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \gauche| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

Au point $M_1(1;3)$ on obtient : $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, donc au point $M_1(1;3)$ la fonction $z(x,y)=x+3y$ a un maximum conditionnel, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

De même, au point $M_2(-1;-3)$ on trouve : $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Depuis $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Je note qu'au lieu de calculer la valeur du déterminant $H$ en chaque point, il est beaucoup plus commode de l'étendre en vue générale. Afin de ne pas encombrer le texte de détails, je vais cacher cette méthode sous une note.

Déterminant $H$ notation sous forme générale. afficher/masquer

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

En principe, il est déjà évident de savoir quel signe a $H$. Puisqu'aucun des points $M_1$ ou $M_2$ ne coïncide avec l'origine, alors $y^2+x^2>0$. Par conséquent, le signe de $H$ est opposé au signe de $\lambda$. Vous pouvez également compléter les calculs :

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(aligné) $$

La question sur la nature de l'extremum aux points stationnaires $M_1(1;3)$ et $M_2(-1;-3)$ peut être résolue sans utiliser le déterminant $H$. Trouvez le signe de $d^2F$ à chaque point stationnaire :

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\droite) $$

Je note que la notation $dx^2$ signifie exactement $dx$ élevé à la seconde puissance, c'est-à-dire $\gauche(dx\droite)^2$. On a donc : $dx^2+dy^2>0$, donc pour $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ on obtient $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Réponse: au point $(-1;-3)$ la fonction a un minimum conditionnel, $z_(\min)=-10$. Au point $(1;3)$ la fonction a un maximum conditionnel, $z_(\max)=10$

Exemple #2

Trouvez l'extremum conditionnel de la fonction $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ sous la condition $x+y=0$.

La première méthode (la méthode des multiplicateurs de Lagrange)

En notant $\varphi(x,y)=x+y$ on compose la fonction de Lagrange : $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \ ; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(aligned)\right.$$

En résolvant le système, on obtient : $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ et $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Nous avons deux points fixes : $M_1(0;0)$ et $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Découvrons la nature de l'extremum en chaque point stationnaire à l'aide du déterminant $H$.

$$ H=\gauche| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \gauche| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

Au point $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, donc à ce stade la fonction a un maximum conditionnel, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Nous étudions la nature de l'extremum en chacun des points par une méthode différente, basée sur le signe de $d^2F$ :

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

De l'équation de contrainte $x+y=0$ nous avons : $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Puisque $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, alors $M_1(0;0)$ est le point minimum conditionnel de la fonction $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. De même, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Deuxième voie

De l'équation de contrainte $x+y=0$ nous obtenons : $y=-x$. En remplaçant $y=-x$ dans la fonction $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, on obtient une fonction de la variable $x$. Notons cette fonction par $u(x)$ :

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Ainsi, nous avons réduit le problème de trouver l'extremum conditionnel d'une fonction de deux variables au problème de déterminer l'extremum d'une fonction d'une variable.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

A obtenu les points $M_1(0;0)$ et $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. D'autres recherches sont connues du cours calculs différentiels fonctions d'une variable. En examinant le signe de $u_(xx)^("")$ à chaque point stationnaire ou en vérifiant le changement de signe de $u_(x)^(")$ aux points trouvés, on obtient les mêmes conclusions que dans la première solution . Par exemple, cochez le signe $u_(xx)^("")$ :

$$u_(xx)^("")=-18x+10 ;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10 ;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Puisque $u_(xx)^("")(M_1)>0$, alors $M_1$ est le point minimum de la fonction $u(x)$, tandis que $u_(\min)=u(0)=0 $. Depuis $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Les valeurs de la fonction $u(x)$ sous la condition de connexion donnée coïncident avec les valeurs de la fonction $z(x,y)$, c'est-à-dire les extrema trouvés de la fonction $u(x)$ sont les extrema conditionnels désirés de la fonction $z(x,y)$.

Réponse: au point $(0;0)$ la fonction a un minimum conditionnel, $z_(\min)=0$. Au point $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ la fonction a un maximum conditionnel, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Prenons un autre exemple, dans lequel nous découvrons la nature de l'extremum en déterminant le signe de $d^2F$.

Exemple #3

Trouver les valeurs maximale et minimale de la fonction $z=5xy-4$ si les variables $x$ et $y$ sont positives et satisfont l'équation de contrainte $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Composez la fonction de Lagrange : $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Trouvez les points stationnaires de la fonction de Lagrange :

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0;\; y > 0. \end(aligned) \right.$$

Toutes les transformations ultérieures sont effectuées en tenant compte de $x > 0 ; \ ; y > 0$ (cela est stipulé dans l'état du problème). À partir de la deuxième équation, nous exprimons $\lambda=-\frac(5x)(y)$ et substituons la valeur trouvée dans la première équation : $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. En remplaçant $x=2y$ dans la troisième équation, on obtient : $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Puisque $y=1$, alors $x=2$, $\lambda=-10$. La nature de l'extremum au point $(2;1)$ est déterminée à partir du signe de $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \ ; F_(xy)^("")=5 ; \ ; F_(aa)^("")=\lambda. $$

Puisque $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, alors :

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0 ; \ ; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0 ; \ ; \frac(x)(4)dx+ydy=0 ; \ ; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

En principe, ici vous pouvez substituer immédiatement les coordonnées du point stationnaire $x=2$, $y=1$ et le paramètre $\lambda=-10$, obtenant ainsi :

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \ ; F_(xy)^("")=-10 ; \ ; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Cependant, dans d'autres problèmes pour un extremum conditionnel, il peut y avoir plusieurs points stationnaires. Dans de tels cas, il est préférable de représenter $d^2F$ sous une forme générale, puis de substituer les coordonnées de chacun des points stationnaires trouvés dans l'expression résultante :

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

En substituant $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, on obtient :

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Puisque $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Réponse: au point $(2;1)$ la fonction a un maximum conditionnel, $z_(\max)=6$.

Dans la partie suivante, nous considérerons l'application de la méthode de Lagrange pour des fonctions d'un plus grand nombre de variables.

Soit la fonction z - f(x, y) définie dans un domaine D et soit Mo(xo, y0) un point intérieur de ce domaine. Définition. S'il existe un nombre tel que l'inégalité soit vraie pour tout ce qui satisfait les conditions, alors le point Mo(xo, yo) est appelé le point de maximum local de la fonction f(x, y) ; si toutefois pour tout Dx, Du vérifiant les conditions | alors le point Mo(x0, y0) est appelé un minimum local fin. Autrement dit, le point M0(x0, y0) est le point de maximum ou de minimum de la fonction f(x, y) s'il existe un 6-voisinage du point A/o(x0, y0) tel qu'à tout points M(x, y) de ce voisinage, l'incrément de la fonction conserve le signe. Exemples. 1. Pour une fonction, un point est un point minimum (Fig. 17). 2. Pour la fonction, le point 0(0,0) est le point maximum (Fig. 18). 3. Pour la fonction, le point 0(0,0) est le point maximum local. 4 En effet, il existe un voisinage du point 0(0, 0), par exemple un cercle de rayon j (voir Fig. 19), en tout point duquel, différent du point 0(0, 0), le valeur de la fonction f(x, y) inférieure à 1 = Nous ne considérerons que les points de maximum et minimum stricts des fonctions lorsque l'inégalité stricte ou l'inégalité stricte est vraie pour tous les points M(x) y) d'un 6-voisinage poinçonné de le point Mq. La valeur de la fonction au point maximum est appelée le maximum, et la valeur de la fonction au point minimum est appelée le minimum de cette fonction. Les points maximum et minimum d'une fonction sont appelés les points extrêmes de la fonction, et les maxima et minima de la fonction eux-mêmes sont appelés ses extrema. Théorème 11 (condition nécessaire pour un extremum). Si la fonction est l'extremum de la fonction de plusieurs Notion de variables extremum d'une fonction de plusieurs variables. Conditions nécessaires et suffisantes pour un extremum Extremum conditionnel Les valeurs les plus grandes et les plus petites des fonctions continues ont un extremum au point puis en ce point chaque dérivée partielle et u soit s'annule soit n'existe pas. Soit la fonction z = f(x) y) ayant un extremum au point M0(x0, y0). Donnons à la variable y la valeur yo. Alors la fonction z = /(x, y) sera une fonction d'une variable x\ Puisqu'en x = xo elle a un extremum (maximum ou minimum, Fig. 20), alors sa dérivée par rapport à x = "o, | (*o,l>)" est égal à zéro, ou n'existe pas. De même, on vérifie que) ou est égal à zéro, ou n'existe pas. Les points où = 0 et u = 0 ou n'existent pas sont appelés points critiques de la fonction z = Dx, y). Les points où $£ = u = 0 sont aussi appelés points stationnaires de la fonction. Le théorème 11 n'exprime que les conditions nécessaires pour un extremum, qui ne sont pas suffisantes. Exemple. Fonction Fig . 18 Fig. 20 Mais cette fonction a est mince sur le imvat "strumum. En effet, la fonction est égale à zéro au point 0(0, 0) et aux points M(x, y), aussi près que vous le souhaitez au point 0(0, 0), kk sont positifs, donc valeurs négatives. Pour cela, donc aux points aux points (0, y) pour des points arbitrairement petits, le point 0(0, 0) de ce type est appelé un point mini-max (Fig. 21). Les conditions suffisantes pour un extremum d'une fonction de deux variables sont exprimées par le théorème suivant. Théorème 12 (conditions suffisantes pour un extremum de variables floues). Soit le point Mo(xo, y0) un point stationnaire de la fonction f(x, y), et dans un certain voisinage du point / y compris le point Mo lui-même, la fonction f(r, y) a des dérivées partielles continues up au second ordre inclus. Alors "1) au point Mq(xq, V0) la fonction f(x, y) a un maximum si le déterminant est à ce point 2) au point Mo(x0, V0) la fonction f(x, y) a un minimum si au point Mo(xo, yo) la fonction f(x, y) n'a pas d'extremum si D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>Wo) l'extremum de la fonction f(x, y) peut l'être ou non. Dans ce cas, des recherches supplémentaires sont nécessaires. On se borne à prouver les assertions 1) et 2) du théorème. Écrivons la formule de Taylor du second ordre pour la fonction /(i, y) : où. Par hypothèse, d'où il est clair que le signe de l'incrément D/ est déterminé par le signe du trinôme à droite de (1), c'est-à-dire le signe de la deuxième différentielle d2f. Notons par souci de brièveté. Alors l'égalité (l) peut s'écrire comme suit : Soit au point MQ(so,y0) on a voisinage du point M0(s0,yo). Si la condition (au point A/0) est satisfaite, et du fait de la continuité, la dérivée /,z(s, y) conservera son signe dans un voisinage du point Af0. Dans la région où A ∆ 0, on a 0 au voisinage du point M0(x0) y0), alors le signe du trinôme AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 coïncide avec le signe A au point C ne peut pas avoir de signes différents). Puisque le signe de la somme AAs2 + 2BAxAy + CAy2 au point (s0 + $ Ax, yo + 0 Du) détermine le signe de la différence, on arrive à la conclusion suivante : si la fonction f(s, y) au point stationnaire (s0, yo) satisfait la condition, alors pour suffisamment petit || l'inégalité tiendra. Ainsi, au point (sq, y0) la fonction /(s, y) a un maximum. Mais si la condition est satisfaite au point stationnaire (s0, yo), alors pour tout |Ar| suffisamment petit et |faire| l'inégalité est vraie, ce qui signifie que la fonction /(s, y) a un minimum au point (so, yo). Exemples. 1. Étudier la fonction 4 pour un extremum En utilisant les conditions nécessaires pour un extremum, nous recherchons les points stationnaires de la fonction. Pour ce faire, nous trouvons les dérivées partielles, u et les assimilons à zéro. Nous obtenons un système d'équations d'où - un point stationnaire. Utilisons maintenant le théorème 12. On a donc, il y a un extremum au point Ml. Parce que c'est le minimum. Si nous transformons la fonction r sous la forme, alors il est facile de voir que partie droite ("") sera le minimum quand est le minimum absolu de la fonction donnée. 2. Étudier la fonction pour un extremum Nous trouvons les points stationnaires de la fonction, pour lesquels nous composons un système d'équations à partir d'ici pour que le point soit stationnaire. Puisque, en vertu du théorème 12, il n'y a pas d'extremum au point M. * 3. Étudiez la fonction pour un extremum Trouvez les points stationnaires de la fonction. À partir du système d'équations, nous obtenons cela, de sorte que le point est stationnaire. De plus, nous avons de sorte que le théorème 12 ne donne pas de réponse à la question de la présence ou de l'absence d'un extremum. Faisons-le de cette façon. Pour une fonction sur tous les points autres qu'un point tel que, par définition, au point A/o(0,0) la fonction r a un minimum absolu. Par séchage analogue, on établit que la fonction a un maximum au point, mais la fonction n'a pas d'extremum au point. Soit une fonction de η variables indépendantes dérivable en un point, le point Mo est appelé point stationnaire de la fonction si Théorème 13 (conditions suffisantes pour un extremum). Soit la fonction définie et ait des dérivées partielles continues du second ordre dans un voisinage de la droite fine Mc(xi..., qui est une fonction fine stationnaire, si la forme quadratique (la seconde différentielle de la fonction f dans la fine le point est défini positif (défini négatif), le point du minimum (respectivement le maximum fin) de la fonction f est fin Si la forme quadratique (4) est à alternance de signe, alors il n'y a pas d'extremum dans la fine LG0. extremum Jusqu'à présent, nous nous sommes préoccupés de trouver les extrema locaux d'une fonction dans tout le domaine de sa définition, lorsque les arguments de la fonction ne sont liés par aucune condition supplémentaire. Soit la fonction z \u003d / (x, y) définie dans la région D. Supposons qu'une courbe L soit donnée dans cette région, et il faut trouver les extrema de la fonction f (x> y) uniquement parmi celles de ses valeurs qui correspondent aux points de la courbe L. Les mêmes extrema sont appelés extrema conditionnels de la fonction z = f(x) y) sur la courbe L. Définition On dit qu'en un point se trouvant sur la courbe L, la fonction /(x, y) a un maximum (minimum) conditionnel si l'inégalité est satisfaite, respectivement, en tous les points M (s, y) courbe L appartenant à un voisinage du point M0(x0, Yo ) et différent du point M0 (Si la courbe L est donnée par une équation, alors le problème de trouver l'extremum conditionnel de la fonction r - f(x, y) sur la courbe ! peut être formulé comme suit : trouver les extrema de la fonction x = /(z, y) dans la région D, à condition que Ainsi, lors de la recherche des extrema conditionnels de la fonction z = y), les arguments zn ne puissent plus être considérés comme variables indépendantes : elles sont reliées entre elles par la relation y ) = 0, appelée équation de contrainte. Afin d'expliquer la distinction entre m "*D y comme extremum inconditionnel et conditionnel, regardons un exemple tv, le maximum inconditionnel de la fonction (Fig. 23) est égal à un et est atteint au point (0, 0). Il correspond exactement à M - le sommet du pvvboloïde Ajoutons l'équation de contrainte y = j. Alors le maximum conditionnel sera évidemment égal, il est atteint au point (o, |), et il correspond au sommet Afj du pvvboloïde, qui est la ligne d'intersection du pvvboloïde avec le plan y = j. Dans le cas d'un minimum inconditionnel s, on a le plus petit applicatif parmi tous les explicites de la surface * = 1 - n;2 ~ y1; slumvv conditionnel - uniquement parmi les points vllkvt pvrboloidv, correspondant à un point * de la droite y = j non du plan xOy. L'une des méthodes pour trouver l'extremum conditionnel d'une fonction en présence et en connexion est la suivante. Soit l'équation de connexion y) - O définir y comme une fonction différentiable à valeur unique de l'argument x : en substituant la fonction au lieu de y dans la fonction, on obtient une fonction à un argument dans laquelle la condition de connexion a déjà été prise en compte . L'extremum (inconditionnel) de la fonction est l'extremum conditionnel désiré. Exemple. Trouver l'extremum d'une fonction sous la condition Extremum d'une fonction de plusieurs variables Le concept d'extremum d'une fonction de plusieurs variables. Conditions nécessaires et suffisantes pour un extremum Extremum conditionnel Les valeurs les plus grandes et les plus petites des fonctions continues A À partir de l'équation de connexion (2"), nous trouvons y \u003d 1-x. En substituant cette valeur de y dans (V), nous obtenons un fonction d'un argument x: Nous l'examinons pour un extremum: d'où x \u003d 1 - point critique;, de sorte que délivre un minimum conditionnel de la fonction r (Fig. 24).Indiquons une autre façon de résoudre le problème de conditionnel extremum, appelée méthode du multiplicateur de Lagrange Soit un point d'extremum conditionnel de la fonction en présence d'une connexion Supposons que l'équation de connexion définit une unique fonction continûment différentiable au voisinage du point xi. obtenir que la dérivée par rapport à x de la fonction /(r, ip(x)) au point xq doit être égale à zéro ou, ce qui est équivalent à cela, la différentielle de f (x, y) au point Mo "O) De l'équation de connexion, nous avons (5) Puis, du fait de l'arbitraire de dx, on obtient les égalités (6) et (7) exprimant les conditions nécessaires pour un extremum inconditionnel en un point d'une fonction appelée fonction de Lagrange. Ainsi, le point de l'extremum conditionnel de la fonction / (x, y), si, est nécessairement un point stationnaire de la fonction de Lagrange où A est un coefficient numérique. De là on obtient une règle pour trouver les extrema conditionnels : pour trouver des points qui peuvent être des points de l'extrema extrême d'une fonction en présence d'une connexion, 1) on compose la fonction de Lagrange, 2) on égalise les dérivées et W de cette fonction à zéro et en ajoutant l'équation de connexion aux équations résultantes, on obtient un système de trois équations à partir duquel on trouve les valeurs de A et les coordonnées x, y des points extremum possibles. La question de l'existence et de la nature de l'extremum conditionnel est résolue sur la base de l'étude du signe de la deuxième différentielle de la fonction de Lagrange pour le système de valeurs considéré x0, Yo, A, obtenu à partir de (8) sous la condition que Si, alors au point (x0, Yo) la fonction f(x, y ) a un maximum conditionnel ; si d2F > 0 - alors le minimum conditionnel. En particulier, si en un point stationnaire (xo, J/o) le déterminant D de la fonction F(x, y) est positif, alors au point (®o, V0) il existe un maximum conditionnel de la fonction /( x, y) si, et minimum conditionnel de la fonction /(x, y), si Exemple. Reprenons les conditions de l'exemple précédent : trouver l'extremum de la fonction pourvu que x + y = 1. Nous allons résoudre le problème en utilisant la méthode du multiplicateur de Lagrange. La fonction de Lagrange dans ce cas a la forme Pour trouver des points stationnaires, on compose un système A partir des deux premières équations du système, on obtient que x = y. Ensuite, à partir de la troisième équation du système (équation de couplage), nous trouvons que x - y = j - les coordonnées du point d'un extremum possible. Dans ce cas (il est indiqué que A \u003d -1. Ainsi, la fonction de Lagrange. est un point minimum conditionnel de la fonction * \u003d x2 + y2 à condition qu'il n'y ait pas d'extremum inconditionnel pour la fonction lagrangienne. P ( x, y) ne signifie pas encore l'absence d'extremum conditionnel pour la fonction /(x, y) en présence d'une connexion Exemple : Trouver l'extremum de la fonction sous la condition y 4 Composez la fonction de Lagrange et écrivez la système de détermination de A et des coordonnées des points extrêmes possibles : y = A = 0. Ainsi, la fonction de Lagrange correspondante a la forme Au point (0, 0), la fonction F(x, y ; 0) n'a pas de extremum inconditionnel, mais l'extremum conditionnel de la fonction r = xy. Quand y = x, il y a "En effet, dans ce cas r = x2. De là, il est clair qu'au point (0,0) il y a un minimum conditionnel . "La méthode des multiplicateurs de Lagrange est transposée au cas des fonctions à nombre quelconque d'arguments / Soit l'extremum de la fonction recherché en présence des équations de connexion Sostaalyaem la fonction de Lagrange où A|, Az,..., A ", - ne pas certains facteurs constants. En égalant à zéro toutes les dérivées partielles du premier ordre de la fonction F et en ajoutant aux équations obtenues les équations de connexion (9), on obtient un système de n + m équations, à partir duquel on détermine Ab A3|..., Am et les coordonnées x\) x2) . » xn points possibles de l'extremum conditionnel. La question de savoir si les points trouvés par la méthode de Lagrange sont bien des points extrêmes conditionnels peut souvent être résolue sur la base de considérations d'ordre physique ou géométrique. 15.3. Valeurs maximales et minimales des fonctions continues Supposons qu'il soit nécessaire de trouver la valeur maximale (la plus petite) d'une fonction z = f(x, y), qui est continue dans un domaine borné multiple D. D'après le théorème 3, il existe un point (xo, yo) dans ce domaine auquel la fonction prend la plus grande (la plus petite) valeur. Si le point (xo, y0) se trouve à l'intérieur du domaine D, alors la fonction / a un maximum (minimum) en elle, de sorte que dans ce cas le point qui nous intéresse est contenu parmi les points critiques de la fonction /(x , y). Cependant, la fonction /(x, y) peut également atteindre sa valeur maximale (la plus petite) à la frontière de la région. Par conséquent, pour trouver la plus grande (la plus petite) valeur prise par la fonction z = /(x, y) dans une région fermée bornée 2), il faut trouver tous les maxima (minimums) de la fonction réalisés à l'intérieur de cette région , ainsi que la plus grande (la plus petite) valeur de la fonction à la frontière de cette zone. Le plus grand (le plus petit) de tous ces nombres sera la valeur maximale (la plus petite) souhaitée de la fonction z = /(x, y) dans la région 27. Montrons comment cela se fait dans le cas d'une fonction différentiable. Prmmr. Trouvez les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction de zone 4. Nous trouvons les points critiques de la fonction à l'intérieur de la zone D. Pour ce faire, nous composons un système d'équations. De là, nous obtenons x \u003d y "0, de sorte que le point 0 (0,0) est le point critique de la fonction x. Depuis Trouvons maintenant les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction sur la frontière Г de la région D. Sur la partie de la frontière, nous avons pour que y \u003d 0 soit un point critique, et depuis \u003d alors à ce point la fonction z \u003d 1 + y2 a un minimum égal à un. Aux extrémités du segment G", aux points (, nous avons. En utilisant des considérations de symétrie, nous obtenons les mêmes résultats pour les autres parties de la frontière. Enfin, nous obtenons: la plus petite valeur de la fonction z \u003d x2 + y2 dans la région "B" est égale à zéro et elle est atteinte au point intérieur 0( 0, 0) de l'aire, et la valeur maximale de cette fonction, égale à deux, est atteinte en quatre points de la frontière (Fig. 25) Fig.25 Exercices fonctions : Trouver les dérivées partielles des fonctions et leurs différentiels totaux: Trouver les dérivées de fonctions complexes : 3 Trouver J. Extremum d'une fonction de plusieurs variables Le concept d'un extremum d'une fonction de plusieurs variables. Conditions nécessaires et suffisantes pour un extremum Extremum conditionnel Les valeurs les plus grandes et les plus petites des fonctions continues 34. Utilisation de la formule dérivée fonction complexe deux variables, trouver et fonctions : 35. En utilisant la formule de la dérivée d'une fonction complexe de deux variables, trouver |J et fonctions : Trouver jj fonctions données implicitement : 40. Trouver la pente de la courbe tangente au point d'intersection de avec la ligne droite x \u003d 3. 41. Trouvez les points où la tangente de la courbe x est parallèle à l'axe x. . Dans les tâches suivantes, trouvez et Z : Écrivez les équations du plan tangent et de la normale de la surface : 49. Écrivez les équations des plans tangents de la surface x2 + 2y2 + Zr2 \u003d 21, parallèles au plan x + 4y + 6z \u003d 0. Trouvez les trois à quatre premiers termes du développement à l'aide de la formule de Taylor : 50. y au voisinage du point (0, 0). En utilisant la définition de l'extremum d'une fonction, étudiez les fonctions suivantes pour un extremum :). En utilisant des conditions suffisantes pour l'extremum d'une fonction à deux variables, étudiez l'extremum de la fonction: 84. Trouvez les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction z \u003d x2 - y2 dans un cercle fermé 85. Trouvez les plus grandes et les plus petites valeurs de la fonction * \u003d x2y (4-x-y) dans un triangle délimité par des lignes x \u003d 0, y = 0, x + y = b. 88. Déterminer les dimensions d'une piscine extérieure rectangulaire avec la plus petite surface, à condition que son volume soit égal à V. 87. Trouver les dimensions d'un parallélépipède rectangle avec donné pleine surface 5 volumes maximum. Réponses 1. et | Un carré formé de segments de droite x incluant ses côtés. 3. Famille d'anneaux concentriques 2= 0,1,2,... .4. Tout le plan sauf les points des droites y. La partie du plan située au-dessus de la parabole y \u003d -x?. 8. Entourez les points x. Tout le plan sauf les droites x L'expression radicale est positive dans deux cas j * ^ ou j x ^ ^ ce qui équivaut respectivement à une suite infinie d'inégalités Le domaine de définition est les carrés grisés (Fig. 26) ; l qui équivaut à une série infinie La fonction est définie en points. a) Droites parallèles à la droite x b) Cercles concentriques centrés à l'origine. 10. a) paraboles y) paraboles y a) paraboles b) hyperboles | .Avions xc. 13.Prim - hyperboloïdes de révolution à une cavité autour de l'axe d'Oz ; car et sont des hyperboloïdes à deux nappes de révolution autour de l'axe Oz, les deux familles de surfaces sont séparées par un cône ; Il n'y a pas de limite, b) 0. 18. Soit y = kxt alors z lim z = -2, de sorte que fonction donnée au point (0,0) n'a pas de limite. 19. a) Point (0.0); b) point (0,0). 20. a) Ligne brisée - cercle x2 + y2 = 1 ; b) la ligne de rupture est une ligne droite y \u003d x. 21. a) Lignes de rupture - axes de coordonnées Ox et Oy ; b) 0 (ensemble vide). 22. Tous les points (m, n), où et n sont des entiers