Voyez ce qu'est "CONDITIONAL EXTREME" dans d'autres dictionnaires :

Extremum relatif, extremum de la fonction f (x1,..., xn + m) de n + m variables, en supposant que ces variables sont soumises à m équations (conditions) de couplage supplémentaires : φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (voir Extremum).… …

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Définition1: Une fonction est dite avoir un maximum local en un point s'il existe un voisinage du point tel que pour tout point M avec coordonnées (x, y) l'inégalité est satisfaite : . Dans ce cas, c'est-à-dire l'incrément de la fonction< 0.

Définition2: Une fonction est dite avoir un minimum local en un point s'il existe un voisinage du point tel que pour tout point M avec coordonnées (x, y) l'inégalité est satisfaite : . Dans ce cas, c'est-à-dire l'incrément de la fonction > 0.

Définition 3: Points minima locaux et maximum sont appelés points extrêmes.

Extrêmes conditionnels

Lors de la recherche d'extrema d'une fonction de plusieurs variables, des problèmes surviennent souvent liés à la soi-disant conditionnel extrême. Ce concept peut être expliqué par l'exemple d'une fonction de deux variables.

Donnons une fonction et une droite L en surface 0xy. La tâche consiste à aligner L trouver un tel point P(x, y), dans laquelle la valeur de la fonction est la plus grande ou la plus petite par rapport aux valeurs de cette fonction aux points de la ligne L situé près du point P. De tels points P appelé points extrêmes conditionnels fonctions de ligne L. Contrairement au point extrême habituel, la valeur de la fonction au point extrême conditionnel est comparée aux valeurs de la fonction non pas à tous les points de certains de son voisinage, mais uniquement à ceux qui se trouvent sur la ligne L.

Il est bien clair que le point de l'extremum usuel (on dit aussi extrême inconditionnel) est également un point extrême conditionnel pour toute droite passant par ce point. L'inverse, bien sûr, n'est pas vrai : un point extrême conditionnel peut ne pas être un point extrême conventionnel. Permettez-moi d'expliquer cela avec un exemple simple. Le graphique de la fonction est l'hémisphère supérieur (Annexe 3 (Fig. 3)).

Cette fonction a un maximum à l'origine ; il correspond au top M hémisphères. Si la ligne L il y a une ligne passant par les points MAIS et À(son équation x+y-1=0), alors il est géométriquement clair que pour les points de cette droite valeur la plus élevée fonction est atteinte en un point situé au milieu entre les points MAIS et À. C'est le point de l'extremum conditionnel (maximum) de la fonction sur la ligne donnée ; il correspond au point M 1 de l'hémisphère, et l'on voit sur la figure qu'il ne peut être question ici d'aucun extremum ordinaire.

Notez que dans la dernière partie du problème de recherche des valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction dans une région fermée, nous devons trouver les valeurs extrêmes de la fonction sur la frontière de cette région, c'est-à-dire sur une ligne, et ainsi résoudre le problème pour un extremum conditionnel.

Passons maintenant à la recherche pratique des points de l'extremum conditionnel de la fonction Z= f(x, y) à condition que les variables x et y soient liées par l'équation (x, y) = 0. Cette relation sera appelée équation de contrainte. Si à partir de l'équation de connexion y peut être exprimé explicitement en termes de x: y \u003d (x), nous obtenons une fonction d'une variable Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x).

Après avoir trouvé la valeur de x à laquelle cette fonction atteint un extremum, puis en déterminant les valeurs correspondantes de y à partir de l'équation de connexion, nous obtiendrons les points souhaités de l'extremum conditionnel.

Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, à partir de l'équation de communication x+y-1=0, nous avons y=1-x. D'ici

Il est facile de vérifier que z atteint son maximum à x = 0,5 ; mais alors à partir de l'équation de connexion y = 0,5, et nous obtenons exactement le point P, trouvé à partir de considérations géométriques.

Le problème d'un extremum conditionnel est très simplement résolu même lorsque l'équation de contrainte peut être représentée équations paramétriques x=x(t), y=y(t). Substitution d'expressions pour x et y dans cette fonction, nous revenons au problème de trouver l'extremum d'une fonction d'une variable.

Si l'équation de contrainte a plus de vue complexe et nous sommes incapables d'exprimer explicitement une variable en fonction d'une autre, ni de la remplacer par des équations paramétriques, alors le problème de trouver un extremum conditionnel devient plus difficile. Nous continuerons à supposer que dans l'expression de la fonction z= f(x, y) la variable (x, y) = 0. La dérivée totale de la fonction z= f(x, y) est égale à :

Où est la dérivée y`, trouvée par la règle de différenciation fonction implicite. Aux points de l'extremum conditionnel, la dérivée totale trouvée doit être égale à zéro ; cela donne une équation reliant x et y. Puisqu'elles doivent aussi satisfaire l'équation de contrainte, on obtient un système de deux équations à deux inconnues

Transformons ce système en un système beaucoup plus pratique en écrivant la première équation sous forme de proportion et en introduisant une nouvelle inconnue auxiliaire :

(un signe moins est placé devant pour plus de commodité). Il est facile de passer de ces égalités au système suivant :

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

qui, avec l'équation de contrainte (x, y) = 0, forme un système de trois équations à inconnues x, y et.

Ces équations (*) sont plus faciles à retenir en utilisant règle suivante: afin de trouver des points pouvant être des points de l'extremum conditionnel de la fonction

Z= f(x, y) avec l'équation de contrainte (x, y) = 0, vous devez former une fonction auxiliaire

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Où est une constante, et écrivez des équations pour trouver les points extrêmes de cette fonction.

Le système d'équations spécifié ne fournit, en règle générale, que les conditions nécessaires, c'est-à-dire toutes les paires de valeurs x et y qui satisfont ce système ne sont pas nécessairement un point extrême conditionnel. Je ne donnerai pas de conditions suffisantes pour les points extrêmes conditionnels ; très souvent, le contenu spécifique du problème lui-même suggère quel est le point trouvé. La technique décrite pour résoudre des problèmes pour un extremum conditionnel est appelée la méthode des multiplicateurs de Lagrange.

Considérons d'abord le cas d'une fonction de deux variables. L'extremum conditionnel de la fonction $z=f(x,y)$ au point $M_0(x_0;y_0)$ est l'extremum de cette fonction, atteint sous la condition que les variables $x$ et $y$ dans le voisinage de ce point satisfont l'équation de contrainte $\ varphi(x,y)=0$.

Le nom extremum "conditionnel" est dû au fait que les variables sont imposées condition supplémentaire$\varphi(x,y)=0$. S'il est possible d'exprimer une variable en termes d'une autre à partir de l'équation de connexion, alors le problème de la détermination de l'extremum conditionnel est réduit au problème de l'extremum habituel d'une fonction d'une variable. Par exemple, si $y=\psi(x)$ découle de l'équation de contrainte, puis en remplaçant $y=\psi(x)$ par $z=f(x,y)$, nous obtenons une fonction d'une variable $ z=f\gauche (x,\psi(x)\droite)$. À cas général, cependant, cette méthode est peu utile, un nouvel algorithme est donc nécessaire.

Méthode des multiplicateurs de Lagrange pour les fonctions de deux variables.

La méthode des multiplicateurs de Lagrange est que pour trouver l'extremum conditionnel, la fonction de Lagrange est composée : $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (le paramètre $\lambda $ est appelé multiplicateur de Lagrange). Les conditions extrêmes nécessaires sont données par un système d'équations à partir duquel les points stationnaires sont déterminés :

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(aligned)\right.$$

Le signe $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Si en un point stationnaire $d^2F > 0$, alors la fonction $z=f(x,y)$ a un minimum conditionnel en ce point, mais si $d^2F< 0$, то условный максимум.

Il existe une autre façon de déterminer la nature de l'extremum. De l'équation de contrainte, nous obtenons : $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, donc en tout point stationnaire on a :

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\droite)$$

Le second facteur (situé entre parenthèses) peut être représenté sous cette forme :

Les éléments du $\left| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (tableau) \right|$ qui est la hessienne de la fonction de Lagrange. Si $H > 0$ alors $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 $, c'est-à-dire on a un minimum conditionnel de la fonction $z=f(x,y)$.

Remarque sur la forme du déterminant $H$. afficher/masquer

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ fin(tableau) \right| $$

Dans cette situation, la règle formulée ci-dessus change comme suit : si $H > 0$, alors la fonction a un minimum conditionnel, et pour $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algorithme d'étude d'une fonction de deux variables pour un extremum conditionnel

1. Composez la fonction de Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Résoudre le système $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
3. Déterminer la nature de l'extremum en chacun des points stationnaires trouvés au paragraphe précédent. Pour ce faire, utilisez l'une des méthodes suivantes :
   • Composez le déterminant $H$ et trouvez son signe
   • En tenant compte de l'équation de la contrainte, calculez le signe de $d^2F$

Méthode du multiplicateur de Lagrange pour les fonctions de n variables

Supposons que nous ayons une fonction de $n$ variables $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ et $m$ équations de contrainte ($n > m$) :

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0 ; \ ; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

En désignant les multiplicateurs de Lagrange par $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, nous composons la fonction de Lagrange :

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Les conditions nécessaires à la présence d'un extremum conditionnel sont données par un système d'équations à partir duquel on trouve les coordonnées des points stationnaires et les valeurs des multiplicateurs de Lagrange :

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Il est possible de savoir si une fonction a un minimum conditionnel ou un maximum conditionnel au point trouvé, comme précédemment, en utilisant le signe $d^2F$. Si au point trouvé $d^2F > 0$, alors la fonction a un minimum conditionnel, mais si $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Déterminant de matrice $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$ surligné en rouge dans la matrice $L$ est le hessien de la fonction de Lagrange. Nous utilisons la règle suivante :

• Si les signes des coins mineurs sont $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrices $L$ coïncident avec le signe $(-1)^m$, alors le point stationnaire étudié est le point minimum conditionnel de la fonction $z =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Si les signes des coins mineurs sont $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ alternent, et le signe du mineur $H_(2m+1)$ coïncide avec le signe du nombre $(-1)^(m+1 )$, alors le point stationnaire étudié est le point maximum conditionnel de la fonction $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Exemple 1

Trouvez l'extremum conditionnel de la fonction $z(x,y)=x+3y$ sous la condition $x^2+y^2=10$.

L'interprétation géométrique de ce problème est la suivante : il faut trouver le plus grand et le plus plus petite valeur s'applique du plan $z=x+3y$ pour les points de son intersection avec le cylindre $x^2+y^2=10$.

Il est quelque peu difficile d'exprimer une variable en termes d'une autre à partir de l'équation de contrainte et de la substituer dans la fonction $z(x,y)=x+3y$, nous allons donc utiliser la méthode de Lagrange.

En notant $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, on compose la fonction de Lagrange :

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x ; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Ecrivons le système d'équations pour déterminer les points stationnaires de la fonction de Lagrange :

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (aligné)\à droite.$$

Si nous supposons $\lambda=0$, alors la première équation devient : $1=0$. La contradiction résultante dit que $\lambda\neq 0$. Sous la condition $\lambda\neq 0$, à partir des première et deuxième équations nous avons : $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. En substituant les valeurs obtenues dans la troisième équation, on obtient :

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10 ; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligné) \right.\\ \begin(aligné) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \ ; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1 ; \ ; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \ ; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1 ; \ ; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$

Ainsi, le système a deux solutions : $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ et $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Cherchons la nature de l'extremum en chaque point stationnaire : $M_1(1;3)$ et $M_2(-1;-3)$. Pour ce faire, on calcule le déterminant $H$ en chacun des points.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(aa)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \gauche| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

Au point $M_1(1;3)$ on obtient : $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, donc au point $M_1(1;3)$ la fonction $z(x,y)=x+3y$ a un maximum conditionnel, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

De même, au point $M_2(-1;-3)$ on trouve : $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Depuis $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Je note qu'au lieu de calculer la valeur du déterminant $H$ en chaque point, il est beaucoup plus commode de l'étendre en vue générale. Afin de ne pas encombrer le texte de détails, je vais cacher cette méthode sous une note.

Déterminant $H$ notation sous forme générale. afficher/masquer

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

En principe, il est déjà évident de savoir quel signe a $H$. Puisqu'aucun des points $M_1$ ou $M_2$ ne coïncide avec l'origine, alors $y^2+x^2>0$. Par conséquent, le signe de $H$ est opposé au signe de $\lambda$. Vous pouvez également compléter les calculs :

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(aligné) $$

La question sur la nature de l'extremum aux points stationnaires $M_1(1;3)$ et $M_2(-1;-3)$ peut être résolue sans utiliser le déterminant $H$. Trouvez le signe de $d^2F$ à chaque point stationnaire :

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\droite) $$

Je note que la notation $dx^2$ signifie exactement $dx$ élevé à la seconde puissance, c'est-à-dire $\gauche(dx\droite)^2$. On a donc : $dx^2+dy^2>0$, donc pour $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ on obtient $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Réponse: au point $(-1;-3)$ la fonction a un minimum conditionnel, $z_(\min)=-10$. Au point $(1;3)$ la fonction a un maximum conditionnel, $z_(\max)=10$

Exemple #2

Trouvez l'extremum conditionnel de la fonction $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ sous la condition $x+y=0$.

La première méthode (la méthode des multiplicateurs de Lagrange)

En notant $\varphi(x,y)=x+y$ on compose la fonction de Lagrange : $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \ ; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(aligned)\right.$$

En résolvant le système, on obtient : $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ et $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Nous avons deux points fixes : $M_1(0;0)$ et $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Découvrons la nature de l'extremum en chaque point stationnaire à l'aide du déterminant $H$.

$$ H=\gauche| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \gauche| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

Au point $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, donc à ce stade la fonction a un maximum conditionnel, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Nous étudions la nature de l'extremum en chacun des points par une méthode différente, basée sur le signe de $d^2F$ :

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

De l'équation de contrainte $x+y=0$ nous avons : $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Puisque $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, alors $M_1(0;0)$ est le point minimum conditionnel de la fonction $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. De même, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Deuxième voie

De l'équation de contrainte $x+y=0$ nous obtenons : $y=-x$. En remplaçant $y=-x$ dans la fonction $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, on obtient une fonction de la variable $x$. Notons cette fonction par $u(x)$ :

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Ainsi, nous avons réduit le problème de trouver l'extremum conditionnel d'une fonction de deux variables au problème de déterminer l'extremum d'une fonction d'une variable.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

A obtenu les points $M_1(0;0)$ et $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. D'autres recherches sont connues du cours calculs différentiels fonctions d'une variable. En examinant le signe de $u_(xx)^("")$ à chaque point stationnaire ou en vérifiant le changement de signe de $u_(x)^(")$ aux points trouvés, on obtient les mêmes conclusions que dans la première solution . Par exemple, cochez le signe $u_(xx)^("")$ :

$$u_(xx)^("")=-18x+10 ;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10 ;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Puisque $u_(xx)^("")(M_1)>0$, alors $M_1$ est le point minimum de la fonction $u(x)$, tandis que $u_(\min)=u(0)=0 $. Depuis $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Les valeurs de la fonction $u(x)$ sous la condition de connexion donnée coïncident avec les valeurs de la fonction $z(x,y)$, c'est-à-dire les extrema trouvés de la fonction $u(x)$ sont les extrema conditionnels désirés de la fonction $z(x,y)$.

Réponse: au point $(0;0)$ la fonction a un minimum conditionnel, $z_(\min)=0$. Au point $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ la fonction a un maximum conditionnel, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Prenons un autre exemple, dans lequel nous découvrons la nature de l'extremum en déterminant le signe de $d^2F$.

Exemple #3

Trouver les valeurs maximale et minimale de la fonction $z=5xy-4$ si les variables $x$ et $y$ sont positives et satisfont l'équation de contrainte $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Composez la fonction de Lagrange : $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Trouvez les points stationnaires de la fonction de Lagrange :

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0;\; y > 0. \end(aligned) \right.$$

Toutes les transformations ultérieures sont effectuées en tenant compte de $x > 0 ; \ ; y > 0$ (cela est stipulé dans l'état du problème). À partir de la deuxième équation, nous exprimons $\lambda=-\frac(5x)(y)$ et remplaçons la valeur trouvée dans la première équation : $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. En remplaçant $x=2y$ dans la troisième équation, on obtient : $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Puisque $y=1$, alors $x=2$, $\lambda=-10$. La nature de l'extremum au point $(2;1)$ est déterminée à partir du signe de $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \ ; F_(xy)^("")=5 ; \ ; F_(aa)^("")=\lambda. $$

Puisque $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, alors :

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0 ; \ ; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0 ; \ ; \frac(x)(4)dx+ydy=0 ; \ ; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

En principe, ici vous pouvez substituer immédiatement les coordonnées du point stationnaire $x=2$, $y=1$ et le paramètre $\lambda=-10$, obtenant ainsi :

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \ ; F_(xy)^("")=-10 ; \ ; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Cependant, dans d'autres problèmes pour un extremum conditionnel, il peut y avoir plusieurs points stationnaires. Dans de tels cas, il est préférable de représenter $d^2F$ sous une forme générale, puis de substituer les coordonnées de chacun des points stationnaires trouvés dans l'expression résultante :

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

En substituant $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, on obtient :

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Puisque $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Réponse: au point $(2;1)$ la fonction a un maximum conditionnel, $z_(\max)=6$.

Dans la partie suivante, nous considérerons l'application de la méthode de Lagrange pour des fonctions d'un plus grand nombre de variables.

Exemple

Trouver l'extremum de la fonction à condition que X et à sont liés par le rapport : . Géométriquement, le problème signifie ceci : sur une ellipse
avion
.

Ce problème peut être résolu comme suit : à partir de l'équation
trouver
X:

à condition que
, réduit au problème de trouver l'extremum d'une fonction d'une variable, sur le segment
.

Géométriquement, le problème signifie ceci : sur une ellipse obtenu en traversant le cylindre
avion
, il est nécessaire de trouver la valeur maximale ou minimale de l'applique (Fig. 9). Ce problème peut être résolu comme suit : à partir de l'équation
trouver
. En substituant la valeur trouvée de y dans l'équation du plan, nous obtenons une fonction d'une variable X:

Ainsi, le problème de trouver l'extremum de la fonction
à condition que
, réduit au problème de trouver l'extremum d'une fonction d'une variable, sur un segment.

Alors, le problème de trouver un extremum conditionnel est le problème de trouver l'extremum de la fonction objectif
, à condition que les variables X et à soumis à la restriction
appelé équation de connexion.

Nous dirons que point
, satisfaisant l'équation de contrainte, est un point de maximum conditionnel local (minimum) s'il y a un voisinage
tel que pour tout point
, dont les coordonnées satisfont l'équation de contrainte, l'inégalité est vraie.

Si à partir de l'équation de la communication il est possible de trouver une expression pour à, puis, en substituant cette expression à la fonction d'origine, nous transformons cette dernière en une fonction complexe d'une variable X.

La méthode générale pour résoudre le problème de l'extremum conditionnel est Méthode du multiplicateur de Lagrange. Créons une fonction auxiliaire, où ─ un certain nombre. Cette fonction s'appelle Fonction de Lagrange, un ─ Multiplicateur de Lagrange. Ainsi, le problème de trouver un extremum conditionnel a été réduit à trouver des points extremum locaux pour la fonction de Lagrange. Pour trouver les points d'un extremum possible, il faut résoudre un système de 3 équations à trois inconnues x, y et.

Il faut alors utiliser la condition extrême suffisante suivante.

THÉORÈME. Soit le point un point d'extremum possible pour la fonction de Lagrange. On suppose qu'au voisinage du point
il existe des dérivées partielles continues du second ordre des fonctions et . Dénoter

Puis si
, alors
─ point extrême conditionnel de la fonction
à l'équation de contrainte
en attendant, si
, alors
─ point minimum conditionnel, si
, alors
─ point du maximum conditionnel.

§huit. Dérivée gradient et directionnelle

Laissez la fonction
défini dans un domaine (ouvert). Considérez n'importe quel point
cette zone et toute ligne droite dirigée (axe) passant par ce point (Fig. 1). Laisser
- un autre point de cet axe,
- la longueur du segment entre
et
, pris avec un signe plus, si la direction
coïncide avec la direction de l'axe , et avec un signe moins si leurs directions sont opposées.

Laisser
approche indéfiniment
. Limite

appelé fonction dérivée
envers (ou selon l'axe ) et est noté comme suit :

.

Cette dérivée caractérise le "taux de variation" de la fonction au point
envers . En particulier, et les dérivées partielles ordinaires ,peuvent également être considérés comme des dérivés "par rapport à la direction".

Supposons maintenant que la fonction
a des dérivées partielles continues dans la région considérée. Laissez l'axe forme des angles avec les axes de coordonnées
et . Sous les hypothèses retenues, la dérivée directionnelle existe et s'exprime par la formule

.

Si le vecteur
fixé par ses coordonnées
, alors la dérivée de la fonction
dans le sens du vecteur
peut être calculé à l'aide de la formule :

.

Vecteur avec coordonnées
appelé vecteur de dégradé les fonctions
à ce point
. Le vecteur gradient indique la direction de l'augmentation la plus rapide de la fonction en un point donné.

Exemple

Soit une fonction , un point A(1, 1) et un vecteur
. Trouver : 1) grad z au point A ; 2) la dérivée au point A dans la direction du vecteur .

Dérivées partielles d'une fonction donnée en un point
:

;
.

Alors le vecteur gradient de la fonction en ce point est :
. Le vecteur gradient peut également être écrit à l'aide d'un développement vectoriel et :

. Fonction dérivée dans le sens du vecteur :

Alors,
,
.◄