Tout ce que vous devez savoir sur le prisme (2019). Le volume d'un prisme triangulaire : une formule de type général et une formule pour un prisme régulier

Les écoliers qui se préparent à l'examen de mathématiques doivent absolument apprendre à résoudre des problèmes pour trouver l'aire d'un prisme droit et régulier. De nombreuses années de pratique confirment le fait que de nombreux étudiants considèrent que de telles tâches en géométrie sont assez difficiles.

Dans le même temps, les élèves du secondaire, quel que soit leur niveau de formation, devraient être capables de trouver l'aire et le volume d'un prisme régulier et direct. Seulement dans ce cas, ils pourront compter sur l'obtention de points compétitifs en fonction des résultats de la réussite à l'examen.

Points clés à retenir

• Si les bords latéraux du prisme sont perpendiculaires à la base, il est dit droit. Toutes les faces latérales de cette figure sont des rectangles. La hauteur d'un prisme droit coïncide avec son bord.
• Un prisme régulier est un prisme dont les arêtes latérales sont perpendiculaires à la base contenant le polygone régulier. Les faces latérales de cette figure sont des rectangles égaux. Le bon prisme est toujours droit.

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Quel est le volume d'un prisme et comment le trouver

Le volume d'un prisme est le produit de l'aire de sa base par sa hauteur.

Cependant, nous savons que la base d'un prisme peut avoir un triangle, un carré ou un autre polyèdre.

Par conséquent, pour trouver le volume d'un prisme, il vous suffit de calculer l'aire de la base du prisme, puis de multiplier cette aire par sa hauteur.

Autrement dit, s'il y a un triangle à la base du prisme, vous devez d'abord trouver l'aire du triangle. Si la base du prisme est un carré ou un autre polygone, vous devez d'abord trouver l'aire du carré ou d'un autre polygone.

Rappelons que la hauteur du prisme est une perpendiculaire tracée aux bases du prisme.

Qu'est-ce qu'un prisme

Rappelons maintenant la définition d'un prisme.

Un prisme est un polygone dont les deux faces (bases) sont dans des plans parallèles, et toutes les arêtes à l'extérieur de ces faces sont parallèles.

Pour faire simple, alors :

Un prisme est une figure géométrique qui a deux bases égales et des faces planes.

Le nom d'un prisme dépend de la forme de sa base. Lorsque la base d'un prisme est un triangle, alors un tel prisme est dit triangulaire. Un prisme polyédrique est une figure géométrique dont la base est un polyèdre. Un prisme est aussi une sorte de cylindre.

Quels sont les types de prismes

Si nous regardons la figure ci-dessus, nous pouvons voir que les prismes sont droits, réguliers et obliques.

Exercer

1. Quel est le bon prisme ?
2. Pourquoi s'appelle-t-il ainsi ?
3. Quel est le nom d'un prisme dont les bases sont des polygones réguliers ?
4. Quelle est la hauteur de ce personnage ?
5. Comment s'appelle un prisme dont les arêtes ne sont pas perpendiculaires ?
6. Définissez un prisme triangulaire.
7. Un prisme peut-il être un parallélépipède ?
8. Quelle figure géométrique s'appelle un polygone semi-régulier ?

De quels éléments est composé un prisme ?

Un prisme se compose d'éléments tels que la base inférieure et supérieure, les faces latérales, les arêtes et les sommets.

Les deux bases du prisme se trouvent dans des plans et sont parallèles l'une à l'autre.
Les faces latérales de la pyramide sont des parallélogrammes.
Surface latérale pyramide est la somme des faces latérales.
Les côtés communs des faces latérales ne sont rien de plus que les bords latéraux de cette figure.
La hauteur de la pyramide est le segment reliant les plans des bases et leur est perpendiculaire.

Propriétés du prisme

Une figure géométrique, comme un prisme, a un certain nombre de propriétés. Examinons de plus près ces propriétés :

Premièrement, les bases d'un prisme sont appelées polygones égaux ;
Dans un deuxième temps, les faces latérales du prisme se présentent sous la forme d'un parallélogramme ;
Troisièmement, cela figure géométrique les bords sont parallèles et égaux ;
Quatrièmement, la surface totale du prisme est :

Et maintenant, considérons le théorème, qui fournit une formule permettant de calculer la surface latérale et la preuve.

Avez-vous pensé à cela fait intéressant qu'un prisme peut être non seulement un corps géométrique, mais aussi d'autres objets autour de nous. Même un flocon de neige ordinaire, selon régime de température peut se transformer en un prisme de glace, prenant la forme d'une figure à six côtés.

Mais les cristaux de calcite ont un phénomène si unique qu'ils se brisent en fragments et prennent la forme d'un parallélépipède. Et ce qui est le plus surprenant, aussi petits que soient les cristaux de calcite broyés, le résultat est toujours le même, ils se transforment en minuscules parallélépipèdes.

Il s'avère que le prisme a gagné en popularité non seulement en mathématiques, démontrant son corps géométrique, mais aussi dans le domaine de l'art, puisqu'il est à la base de peintures créées par de grands artistes tels que P. Picasso, Braque, Griss et d'autres.

Différents prismes sont différents les uns des autres. En même temps, ils ont beaucoup en commun. Pour trouver l'aire de la base d'un prisme, vous devez déterminer à quoi il ressemble.

Théorie générale

Un prisme est un polyèdre dont les côtés ont la forme d'un parallélogramme. De plus, n'importe quel polyèdre peut être à sa base - d'un triangle à un n-gone. De plus, les bases du prisme sont toujours égales entre elles. Ce qui ne s'applique pas aux faces latérales - leur taille peut varier considérablement.

Lors de la résolution de problèmes, ce n'est pas seulement la zone de la base du prisme qui est rencontrée. Il peut être nécessaire de connaître la surface latérale, c'est-à-dire toutes les faces qui ne sont pas des bases. La surface pleine sera déjà l'union de toutes les faces qui composent le prisme.

Parfois, des hauteurs apparaissent dans les tâches. Elle est perpendiculaire aux bases. La diagonale d'un polyèdre est un segment qui relie deux à deux deux sommets n'appartenant pas à la même face.

Il convient de noter que l'aire de la base d'un prisme droit ou incliné ne dépend pas de l'angle entre eux et les faces latérales. S'ils ont les mêmes chiffres dans les faces supérieure et inférieure, leurs aires seront égales.

prisme triangulaire

Il a à la base une figure à trois sommets, c'est-à-dire un triangle. Il est connu pour être différent. Si alors il suffit de rappeler que son aire est déterminée par la moitié du produit des jambes.

La notation mathématique ressemble à ceci : S = ½ moy.

Pour trouver l'aire de la base dans vue générale, les formules sont utiles : Héron et celle dans laquelle la moitié du côté est prise à la hauteur qui lui est dessinée.

La première formule doit être écrite comme ceci: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Cette entrée contient un demi-périmètre (p), c'est-à-dire la somme de trois côtés divisée par deux.

Deuxièmement : S = ½ n a * a.

Si vous voulez connaître l'aire de la base d'un prisme triangulaire, qui est régulière, alors le triangle est équilatéral. Il a sa propre formule : S = ¼ a 2 * √3.

prisme quadrangulaire

Sa base est l'un des quadrilatères connus. Il peut s'agir d'un rectangle ou d'un carré, d'un parallélépipède ou d'un losange. Dans chaque cas, pour calculer l'aire de la base du prisme, vous aurez besoin de votre propre formule.

Si la base est un rectangle, alors son aire est déterminée comme suit : S = av, où a, b sont les côtés du rectangle.

Lorsqu'il s'agit d'un prisme quadrangulaire, la surface de base d'un prisme régulier est calculée à l'aide de la formule d'un carré. Car c'est lui qui ment à la base. S \u003d un 2.

Dans le cas où la base est un parallélépipède, l'égalité suivante sera nécessaire : S \u003d a * n a. Il arrive qu'un côté d'un parallélépipède et un des angles soient donnés. Ensuite, pour calculer la hauteur, vous devrez utiliser une formule supplémentaire: na \u003d b * sin A. De plus, l'angle A est adjacent au côté "b" et la hauteur est na opposée à cet angle.

Si un losange se trouve à la base du prisme, alors la même formule sera nécessaire pour déterminer son aire que pour un parallélogramme (puisqu'il en est un cas particulier). Mais vous pouvez aussi utiliser celui-ci : S = ½ d 1 d 2. Ici d 1 et d 2 sont deux diagonales du losange.

Prisme pentagonal régulier

Ce cas consiste à diviser le polygone en triangles dont les aires sont plus faciles à déterminer. Bien qu'il arrive que les figures puissent être avec un nombre différent de sommets.

Comme la base du prisme est un pentagone régulier, il peut être divisé en cinq triangles équilatéraux. Ensuite, l'aire de la base du prisme est égale à l'aire d'un tel triangle (la formule peut être vue ci-dessus), multipliée par cinq.

Prisme hexagonal régulier

Selon le principe décrit pour un prisme pentagonal, il est possible de diviser l'hexagone de base en 6 triangles équilatéraux. La formule de l'aire de la base d'un tel prisme est similaire à la précédente. Seulement dans cela devrait être multiplié par six.

La formule ressemblera à ceci : S = 3/2 et 2 * √3.

Tâches

N ° 1. Une ligne régulière est donnée.Sa diagonale est de 22 cm, la hauteur du polyèdre est de 14 cm.Calculez l'aire de la base du prisme et de toute la surface.

La solution. La base d'un prisme est un carré, mais son côté n'est pas connu. Vous pouvez trouver sa valeur à partir de la diagonale du carré (x), qui est liée à la diagonale du prisme (d) et à sa hauteur (h). x 2 \u003d ré 2 - n 2. D'autre part, ce segment "x" est l'hypoténuse dans un triangle dont les jambes sont égales au côté du carré. C'est-à-dire x 2 \u003d un 2 + un 2. Ainsi, il s'avère qu'un 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Remplacez le nombre 22 au lieu de d et remplacez "n" par sa valeur - 14, il s'avère que le côté du carré est de 12 cm. Il est maintenant facile de connaître l'aire de base: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Pour connaître l'aire de toute la surface, vous devez ajouter deux fois la valeur de l'aire de base et quadrupler le côté. Ce dernier est facile à trouver par la formule d'un rectangle : multiplier la hauteur du polyèdre par le côté de la base. C'est-à-dire 14 et 12, ce nombre sera égal à 168 cm 2. La surface totale du prisme est de 960 cm 2 .

Réponse. La surface de base du prisme est de 144 cm2. Toute la surface - 960 cm 2 .

N ° 2. Dana À la base se trouve un triangle de 6 cm de côté.Dans ce cas, la diagonale de la face latérale est de 10 cm.Calculez les aires: la base et la surface latérale.

La solution. Le prisme étant régulier, sa base est un triangle équilatéral. Par conséquent, son aire s'avère être égale à 6 au carré fois ¼ et la racine carrée de 3. Un simple calcul conduit au résultat : 9√3 cm 2. C'est l'aire d'une base du prisme.

Toutes les faces latérales sont identiques et sont des rectangles de 6 et 10 cm de côté.Pour calculer leurs aires, il suffit de multiplier ces nombres. Multipliez-les ensuite par trois, car le prisme a exactement autant de faces latérales. Ensuite, la surface de la surface latérale est enroulée sur 180 cm 2 .

Réponse. Zones : base - 9√3 cm 2, surface latérale du prisme - 180 cm 2.

Soit nécessaire de trouver le volume d'un prisme triangulaire droit dont l'aire de base est égale à S et la hauteur est égale à h= AA' = BB' = CC' (Fig. 306).

Dessinons séparément la base du prisme, c'est-à-dire le triangle ABC (Fig. 307, a), et complétons-le en un rectangle, pour lequel nous traçons une droite KM passant par le sommet B || AC et des points A et C on abaisse les perpendiculaires AF et CE à cette droite. On obtient le rectangle ACEF. En traçant la hauteur BD du triangle ABC, on voit que le rectangle ACEF est divisé en 4 triangle rectangle. De plus, \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD et \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Donc l'aire du rectangle ACEF est deux fois plus de zone triangle ABC, c'est-à-dire égal à 2S.

A ce prisme de base ABC on ajoute des prismes de bases ALL et BAF et de hauteur h(Fig. 307, b). On obtient un parallélépipède rectangle de base ACEF.

Si l'on coupe ce parallélépipède par un plan passant par les droites BD et BB', on verra que le parallélépipède rectangle est constitué de 4 prismes de bases BCD, ALL, BAD et BAF.

Les prismes de bases BCD et ALL peuvent être combinés, puisque leurs bases sont égales (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BSE) et leurs bords latéraux, qui sont perpendiculaires à un plan, sont également égaux. Par conséquent, les volumes de ces prismes sont égaux. Les volumes des prismes de bases BAD et BAF sont également égaux.

Ainsi, il s'avère que le volume d'un prisme triangulaire de base ABC donné est la moitié du volume d'un parallélépipède rectangle de base ACEF.

On sait que le volume d'un parallélépipède rectangle est égal au produit de l'aire de sa base par sa hauteur, c'est-à-dire en ce cas est égal à 2S h. Donc le volume de ce prisme triangulaire droit est égal à S h.

Le volume d'un prisme triangulaire droit est égal au produit de l'aire de sa base par sa hauteur.

2. Le volume d'un prisme polygonal droit.

Pour trouver le volume d'une ligne prisme polygonal, par exemple, pentagonale, avec une aire de base S et une hauteur h, décomposons-le en prismes triangulaires (Fig. 308).

En notant les aires de base des prismes triangulaires passant par S 1, S 2 et S 3, et le volume de ce prisme polygonal passant par V, on obtient :

V = S 1 h+S2 h+ S 3 h, ou

V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

Et enfin : V = S h.

De la même manière, la formule du volume d'un prisme droit avec n'importe quel polygone à sa base est dérivée.

Moyens, Le volume de tout prisme droit est égal au produit de l'aire de sa base et de sa hauteur.

Volume du prisme

Théorème. Le volume d'un prisme est égal à l'aire de la base multipliée par la hauteur.

Nous démontrons d'abord ce théorème pour un prisme triangulaire, puis pour un prisme polygonal.

1) Dessinez (Fig. 95) à travers le bord AA 1 du prisme triangulaire ABCA 1 B 1 C 1 un plan parallèle à la face BB 1 C 1 C, et à travers le bord CC 1 - un plan parallèle à la face AA 1 B1B; puis nous continuons les plans des deux bases du prisme jusqu'à ce qu'ils se coupent avec les plans dessinés.

Ensuite, nous obtenons un parallélépipède BD 1, qui est divisé par le plan diagonal AA 1 C 1 C en deux prismes triangulaires (l'un d'eux est donné). Montrons que ces prismes sont égaux. Pour ce faire, on trace une section perpendiculaire a B c d. Dans la section, vous obtenez un parallélogramme, qui est une diagonale as est divisé en deux triangles égaux. Ce prisme est égal à un tel prisme droit, dont la base est \(\Delta\) abc, et la hauteur est l'arête AA 1 . Un autre prisme triangulaire a une aire égale à une ligne dont la base est \(\Delta\) adc, et la hauteur est l'arête AA 1 . Mais deux prismes droits avec des bases égales et des hauteurs égales sont égaux (parce qu'ils sont combinés lorsqu'ils sont imbriqués), ce qui signifie que les prismes ABCA 1 B 1 C 1 et ADCA 1 D 1 C 1 sont égaux. Il en résulte que le volume de ce prisme est la moitié du volume du parallélépipède BD 1 ; donc, en notant la hauteur du prisme par H, on obtient :

$$ V_(\Delta ex) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Tracez par l'arête AA 1 du prisme polygonal (Fig. 96) les plans diagonaux AA 1 C 1 C et AA 1 D 1 D.

Puis ce prisme sera découpé en plusieurs prismes triangulaires. La somme des volumes de ces prismes est le volume souhaité. Si l'on note les aires de leurs bases par b 1 , b 2 , b 3 , et la hauteur totale passant par H, on obtient :

volume d'un prisme polygonal = b 1H+ b 2H+ b 3 H =( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (aire ABCDE) H.

Conséquence. Si V, B et H sont des nombres exprimant dans les unités correspondantes le volume, l'aire de la base et la hauteur du prisme, alors, d'après le prouvé, on peut écrire :

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