Solution de limites avec différents types d'incertitude. Méthodes de résolution des limites. Incertitudes L'ordre de croissance de la fonction. Méthode de remplacement
Les incertitudes de type et de forme sont les incertitudes les plus courantes qui doivent être prises en compte lors de la résolution des limites.
La plupart des tâches sur les limites rencontrées par les étudiants comportent de telles incertitudes. Pour les révéler, ou plus exactement éviter les ambiguïtés, il existe plusieurs méthodes artificielles pour transformer la forme d'une expression sous le signe limite. Ces techniques sont les suivantes : division terme à terme du numérateur et du dénominateur par la plus grande puissance de la variable, multiplication par l'expression conjuguée et factorisation pour réduction ultérieure à l'aide de solutions équations du second degré et formules de multiplication abrégées.
Indétermination des espèces
Exemple 1
n est égal à 2. Par conséquent, nous divisons le numérateur et le dénominateur par terme par :
.
Commentez à droite de l'expression. Les flèches et les nombres indiquent à quoi tendent les fractions après substitution au lieu de n valeurs infinies. Ici, comme dans l'exemple 2, le degré n il y a plus dans le dénominateur que dans le numérateur, à la suite de quoi la fraction entière tend vers une valeur infinitésimale ou "super petit nombre".
On obtient la réponse : la limite de cette fonction avec une variable tendant vers l'infini est .
Exemple 2 .
La solution. Ici la puissance la plus élevée de la variable X est égal à 1. Par conséquent, nous divisons le numérateur et le dénominateur terme par terme par X:
.
Commentaire sur le déroulement de la solution. Au numérateur, nous conduisons "x" sous la racine du troisième degré, et pour que son degré initial (1) reste inchangé, nous lui attribuons le même degré que la racine, c'est-à-dire 3. Il n'y a pas de flèches et d'autres nombres dans cette entrée, alors essayez mentalement, mais par analogie avec l'exemple précédent, déterminez à quoi tendent les expressions du numérateur et du dénominateur après avoir remplacé l'infini par "x".
Nous avons eu la réponse : la limite de cette fonction avec une variable tendant vers l'infini est égale à zéro.
Indétermination des espèces
Exemple 3 Découvrez l'incertitude et trouvez la limite.
La solution. Le numérateur est la différence de cubes. Décomposons-le en facteurs en utilisant la formule de multiplication abrégée du cours mathématiques scolaires:
Le dénominateur est un trinôme carré, que nous factorisons en résolvant une équation quadratique (encore une référence à la résolution d'équations quadratiques) :
Écrivons l'expression obtenue à la suite de transformations et trouvons la limite de la fonction :
Exemple 4 Découvrir l'incertitude et trouver la limite
La solution. Le théorème du quotient limite ne s'applique pas ici, puisque
Par conséquent, nous transformons la fraction à l'identique : en multipliant le numérateur et le dénominateur par le binôme conjugué au dénominateur, et réduisons de X+1. D'après le corollaire du Théorème 1, on obtient une expression, en résolvant on trouve la limite recherchée :
Exemple 5 Découvrir l'incertitude et trouver la limite
La solution. Substitution directe de valeur X= 0 dans fonction donnée conduit à une indétermination de la forme 0/0. Pour le révéler, nous effectuons des transformations identiques et, par conséquent, nous obtenons la limite souhaitée : 
Exemple 6 Calculer 
La solution: utiliser les théorèmes limites
Réponse: 11
Exemple 7 Calculer 
La solution: dans cet exemple, les limites du numérateur et du dénominateur à sont 0 :
; 
. Nous avons obtenu, par conséquent, le théorème limite du quotient ne peut pas être appliqué.
On factorise le numérateur et le dénominateur afin de réduire la fraction par un facteur commun tendant vers zéro et, donc, permet d'appliquer le théorème 3.
Nous développons le trinôme carré au numérateur par la formule, où x 1 et x 2 sont les racines du trinôme. Factorisation et dénominateur, réduire la fraction par (x-2), puis appliquer le théorème 3.
Réponse:
Exemple 8 Calculer
La solution: Pour , le numérateur et le dénominateur tendent vers l'infini, donc en appliquant directement le théorème 3, on obtient l'expression , qui représente l'incertitude. Pour se débarrasser de ce genre d'incertitude, divisez le numérateur et le dénominateur par la puissance la plus élevée de l'argument. À cet exemple doit être divisé en X:
Réponse:
Exemple 9 Calculer 
La solution: x3:
Réponse: 2
Exemple 10 Calculer 
La solution: Le numérateur et le dénominateur tendent vers l'infini. Nous divisons le numérateur et le dénominateur par la puissance la plus élevée de l'argument, c'est-à-dire x5:
= 
Le numérateur d'une fraction tend vers 1, le dénominateur vers 0, donc la fraction tend vers l'infini.
Réponse:
Exemple 11. Calculer
La solution: Le numérateur et le dénominateur tendent vers l'infini. Nous divisons le numérateur et le dénominateur par la puissance la plus élevée de l'argument, c'est-à-dire x7:
Réponse: 0
Dérivé.
La dérivée de la fonction y = f(x) par rapport à l'argument x la limite du rapport de son incrément y sur l'incrément x de l'argument x est appelée lorsque l'incrément de l'argument tend vers zéro : . Si cette limite est finie, alors la fonction y = f(x) est dit dérivable au point x. Si cette limite existe, on dit que la fonction y = f(x) a une dérivée infinie en x.
Dérivés du principal fonctions élémentaires:
1. (const)=0 9. 
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Règles de différenciation :
un) 
dans) 
Exemple 1 Trouver la dérivée d'une fonction 
La solution: Si l'on trouve la dérivée du second terme par la règle de différenciation d'une fraction, alors le premier terme est une fonction complexe dont la dérivée se trouve par la formule :
, où 
, alors
Lors de la résolution, les formules suivantes ont été utilisées : 1,2,10, a, c, d.
Réponse:
Exemple 21. Trouver la dérivée d'une fonction 
La solution: les deux termes - fonctions complexes, où pour le premier , , et pour le second , , alors
Réponse: 
Applications dérivées.
1. Vitesse et accélération
Laissez la fonction s(t) décrire position objet dans un système de coordonnées au temps t. Alors la dérivée première de la fonction s(t) est instantanée la rapidité objet:
v=s′=f′(t)
La dérivée seconde de la fonction s(t) est l'instantané accélération objet:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Équation tangente
y−y0=f′(x0)(x−x0),
où (x0,y0) sont les coordonnées du point de contact, f′(x0) est la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point de contact.
3. Équation normale
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
où (x0,y0) sont les coordonnées du point où est tracée la normale, f′(x0) est la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point donné.
4. Fonction croissante et décroissante
Si f′(x0)>0, alors la fonction croît au point x0. Dans la figure ci-dessous, la fonction est croissante en x
Si f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Extremums locaux de la fonction
La fonction f(x) a maximale locale en un point x1 s'il existe un voisinage du point x1 tel que pour tout x de ce voisinage l'inégalité f(x1)≥f(x) soit vérifiée.
De même, la fonction f(x) a minimale locale en un point x2 s'il existe un voisinage du point x2 tel que pour tout x de ce voisinage l'inégalité f(x2)≤f(x) soit vérifiée.
6. Points critiques
Le point x0 est point critique fonction f(x) si la dérivée f′(x0) en elle est égale à zéro ou n'existe pas.
7. Le premier signe suffisant de l'existence d'un extremum
Si la fonction f(x) est croissante (f′(x)>0) pour tout x dans un certain intervalle (a,x1] et décroissante (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) pour tout x de l'intervalle )
