Векторуудын шугаман хамаарлын шалгуур. n функцийн шугаман хамаарлын зайлшгүй нөхцөл. Вен. шугаман хамаарлын нөхцөл

Энэ нийтлэлд бид дараахь зүйлийг авч үзэх болно.

• коллинеар вектор гэж юу вэ;
• коллинеар векторуудын нөхцөл юу вэ;
• коллинеар векторуудын шинж чанарууд юу вэ;
• коллинеар векторуудын шугаман хамаарал гэж юу вэ.

Тодорхойлолт 1

Коллинеар векторууд нь нэг шулуунтай параллель эсвэл нэг шулуун дээр байрладаг векторууд юм.

Жишээ 1

Коллинеар векторуудын нөхцөл

Дараах нөхцлүүдийн аль нэг нь үнэн бол хоёр вектор коллинеар байна.

• нөхцөл 1 . a = λ b байх λ тоо байвал a ба b векторууд коллинеар байна;
• нөхцөл 2 . a ба b векторууд нь координатын тэнцүү харьцаатай коллинеар байна:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• нөхцөл 3 . Векторын үржвэр ба тэг вектор нь тэнцүү байх тохиолдолд a ба b векторууд хоорондоо уялдаатай байна.

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Тайлбар 1

Нөхцөл 2 векторын координатуудын аль нэг нь тэг байвал хамаарахгүй.

Тайлбар 2

Нөхцөл 3 зөвхөн орон зайд өгөгдсөн векторуудад л хамаарна.

Векторуудын уялдаа холбоог судлах асуудлын жишээ

Жишээ 1

Бид a \u003d (1; 3) ба b \u003d (2; 1) векторуудыг уялдаа холбоотой эсэхийг шалгадаг.

Хэрхэн шийдэх вэ?

Энэ тохиолдолд коллинеарийн 2-р нөхцлийг ашиглах шаардлагатай. Өгөгдсөн векторуудын хувьд дараах байдалтай байна.

Тэгш байдал буруу байна. Эндээс a ба b векторууд нь коллинеар биш гэж дүгнэж болно.

Хариулах : a | | б

Жишээ 2

Векторууд коллинеар байхын тулд a = (1 ; 2) ба b = (- 1 ; m) векторын m ямар утга шаардлагатай вэ?

Хэрхэн шийдэх вэ?

Хоёр дахь коллинеар нөхцөлийг ашиглан координатууд нь пропорциональ байвал векторууд коллинеар болно.

Энэ нь m = - 2 гэдгийг харуулж байна.

Хариулт: m = - 2.

Векторын системийн шугаман хамаарал ба шугаман бие даасан байдлын шалгуур

Теорем

Векторын орон зай дахь векторуудын систем нь системийн аль нэг векторыг системийн бусад векторуудаар илэрхийлж чадвал л шугаман хамааралтай байна.

Баталгаа

Системийг e 1 , e 2 , гэж үзье. . . , e n нь шугаман хамааралтай. Энэ системийн шугаман хослолыг тэг вектортой тэнцүүлэн бичье.

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

нийлбэрийн коэффициентүүдийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш байна.

a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Бид тэгш байдлын хоёр талыг тэгээс өөр коэффициентээр хуваана.

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Тэмдэглэх:

A k - 1 a m , энд m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Энэ тохиолдолд:

β 1 e 1 + . . . + β к - 1 э к - 1 + β к + 1 э к + 1 +. . . + βn e n = 0

эсвэл e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Үүнээс үзэхэд системийн векторуудын аль нэг нь системийн бусад бүх векторуудаар илэрхийлэгдэнэ. Энэ нь нотлох шаардлагатай байсан юм (p.t.d.).

Хангалттай байдал

Векторуудын аль нэгийг системийн бусад бүх вектороор шугаман байдлаар илэрхийлье.

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Бид e k векторыг энэ тэгш байдлын баруун талд шилжүүлнэ.

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

e k векторын коэффициент нь - 1 ≠ 0 -тэй тэнцүү тул e 1 , e 2 , векторуудын системээр тэгийн өчүүхэн бус дүрслэлийг олж авна. . . , e n ба энэ нь эргээд өгөгдсөн векторын систем нь шугаман хамааралтай гэсэн үг юм. Энэ нь нотлох шаардлагатай байсан юм (p.t.d.).

Үр дагавар:

• Векторуудын аль нь ч системийн бусад бүх вектороор илэрхийлэгдэх боломжгүй үед векторын систем нь шугаман бие даасан байна.
• Тэг вектор эсвэл хоёр тэнцүү вектор агуулсан вектор систем нь шугаман хамааралтай байна.

Шугаман хамааралтай векторуудын шинж чанарууд

1. 2 ба 3 хэмжээст векторуудын хувьд нөхцөл биелэгдэнэ: шугаман хамааралтай хоёр вектор коллинеар байна. Хоёр коллинеар вектор нь шугаман хамааралтай.
2. 3 хэмжээст векторуудын хувьд нөхцөл биелэгдэнэ: гурван шугаман хамааралтай векторууд хоорондоо уялдаатай байна. (3 coplanar вектор - шугаман хамааралтай).
3. n хэмжээст векторуудын хувьд нөхцөл биелнэ: n + 1 векторууд үргэлж шугаман хамааралтай байдаг.

Векторуудын шугаман хамаарал эсвэл шугаман бие даасан байдлын асуудлыг шийдэх жишээ

Жишээ 3

a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 векторуудын шугаман хамааралгүй эсэхийг шалгая.

Шийдэл. Векторуудын хэмжээ нь векторуудын тооноос бага байдаг тул векторууд нь шугаман хамааралтай байдаг.

Жишээ 4

a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 векторуудын шугаман бие даасан байдлыг шалгая.

Шийдэл. Шугаман хослол нь тэг вектортой тэнцэх коэффициентүүдийн утгыг олно.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Бид вектор тэгшитгэлийг шугаман хэлбэрээр бичнэ.

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Бид энэ системийг Гауссын аргыг ашиглан шийддэг.

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

2-р мөрөнд бид 1-ийг, 3-аас 1-ийг хасна.

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

1-р мөрөөс 2-ыг хасаад 2-ыг 3-т нэмнэ.

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Уг шийдлээс харахад систем нь олон шийдэлтэй байдаг. Энэ нь x 1 , x 2 , x 3 тоонуудын утгуудын тэгээс ялгаатай хослол байгаа бөгөөд a, b, c шугаман хослол нь тэг вектортой тэнцүү байна гэсэн үг юм. Эндээс a , b , c векторууд байна шугаман хамааралтай. ​​​​​​​

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Дараахь нь векторын системийн шугаман хамаарал ба үүний дагуу шугаман бие даасан байдлын хэд хэдэн шалгуурыг өгдөг.

Теорем. (Векторуудын шугаман хамаарлын зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл.)

Системийн векторуудын аль нэг нь энэ системийн бусад векторуудаар шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгдсэн тохиолдолд л векторын систем хамааралтай болно.

Баталгаа. Хэрэгцээтэй. Систем нь шугаман хамааралтай байг. Дараа нь, тодорхойлолтоор энэ нь хоосон векторыг өчүүхэн бус байдлаар илэрхийлдэг, өөрөөр хэлбэл. тэг вектортой тэнцэх энэ векторын системийн өчүүхэн бус хослол байдаг:

Энэ шугаман хослолын коэффициентүүдийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш байвал. Let, .

Өмнөх тэгш байдлын хоёр хэсгийг энэ тэг биш коэффициентээр хуваана (өөрөөр хэлбэл:

Тэмдэглэх: , хаана .

тэдгээр. системийн векторуудын нэг нь энэ системийн бусад векторуудын хувьд шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгддэг гэх мэт.

Хангалттай байдал. Системийн аль нэг векторыг энэ системийн бусад векторуудаар шугаман байдлаар илэрхийлнэ.

Энэ тэгш байдлын баруун талд векторыг шилжүүлье:

Векторын коэффициент нь , тэгвэл бид тэгийг векторын системээр өчүүхэн бус илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь векторын систем нь шугаман хамааралтай гэх мэт гэсэн үг юм.

Теорем нь батлагдсан.

Үр дагавар.

1. Вектор орон зай дахь векторуудын систем нь тухайн системийн векторуудын аль нь ч энэ системийн бусад векторуудаар шугаман байдлаар илэрхийлэгдээгүй тохиолдолд л шугаман бие даасан байна.

2. Тэг вектор буюу хоёр тэнцүү вектор агуулсан векторуудын систем нь шугаман хамааралтай.

Баталгаа.

1) Шаардлагатай байдал. Систем нь шугаман бие даасан байг. Эсрэгээр нь тооцвол энэ системийн бусад векторуудаар шугаман илэрхийлэгдэх системийн вектор байна. Дараа нь теоремоор систем нь шугаман хамааралтай бөгөөд бид зөрчилдөөнд хүрнэ.

Хангалттай байдал. Системийн векторуудын аль нь ч бусдаар илэрхийлэгдэж болохгүй. Үүний эсрэгээр гэж бодъё. Систем нь шугаман хамааралтай байг, гэхдээ дараа нь теоремоос харахад энэ системийн бусад векторуудаар шугаман байдлаар илэрхийлэгддэг системийн вектор байгаа бөгөөд бид дахин зөрчилддөг.

2a) Системд тэг вектор агуулна. Тодорхойлолтыг вектор : гэж үзье. Дараа нь тэгш байдал

тэдгээр. системийн векторуудын нэг нь энэ системийн бусад векторуудаар шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ. Теоремоос үзэхэд ийм векторын систем нь шугаман хамааралтай гэх мэт.

Энэ баримтыг векторуудын шугаман хамааралтай системээс шууд баталж болно гэдгийг анхаарна уу.

-ээс хойш дараах тэгш байдал тодорхой байна

Энэ нь тэг векторын өчүүхэн бус дүрслэл бөгөөд энэ нь систем нь шугаман хамааралтай гэсэн үг юм.

2b) Системийг хоёр тэнцүү вектортой болго. . Дараа нь тэгш байдал

Тэдгээр. эхний вектор нь ижил системийн бусад векторуудаар шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ. Өгөгдсөн систем нь шугаман хамааралтай гэх мэтээр теоремоос гарч байна.

Өмнөхтэй адилаар энэ баталгааг шугаман хамааралтай системийн тодорхойлолтоос шууд баталж болно.

Тодорхойлолт 18.2 Функциональ системе, ..., f pдуудсанлби-нап о h a in болон c ба m. o d зайд(а, (3) хэрвээ ямар нэгэн ач холбогдолгүй бол 5 Эдгээр функцүүдийн шугаман хослол нь энэ интервал дээр тэгтэй тэнцүү байна:

Тодорхойлолт 18.3 Вектор систем f 1 , ..., Хэрэв эдгээр векторуудын зарим нэг өчүүхэн бус шугаман хослол нь сум вектортой тэнцүү байвал x n-ийг a, c ба m o d-д шугаман гэж нэрлэдэг.

ЛТөөрөгдөл гаргахгүйн тулд бид векторын бүрэлдэхүүн хэсгийн тоог (вектор-функц) доод индексээр, векторынхоо тоог (хэд хэдэн ийм вектор байгаа бол) дээд индексээр тэмдэглэнэ.

"Хэрэв бүх коэффициентүүд нь тэг биш бол шугаман хослолыг үл тоомсорлодог гэдгийг бид танд сануулж байна.

Тодорхойлолт 18.4 x 1 ^),..., x n (t) вектор функцийн системийг шугаман гэж нэрлэдэг h and with in and with and my about th on the interval,(а, /3) хэрэв эдгээр вектор функцуудын зарим нэг утгагүй шугаман хослол нь энэ интервал дээрх тэг вектортой ижил тэнцүү байвал:

Эдгээр гурван ухагдахуун (функц, вектор, вектор функцуудын шугаман хамаарал) хоорондоо уялдаатай болохыг ойлгох нь чухал юм.

Юуны өмнө, хэрэв бид (18.6) томъёог өргөтгөсөн хэлбэрээр үзүүлбэл (бүрийг санаж байна x g (1)вектор)

тэгвэл энэ нь тэгш байдлын системтэй тэнцэх болно

Эхний тодорхойлолтын утгаараа r-р бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн шугаман хамаарлыг илэрхийлдэг (функц гэж). Вектор функцүүдийн шугаман хамаарал нь тэдгээрийн бүрэлдэхүүн хэсэгшугаман хамаарал.

Эсрэг заалт нь ерөнхийдөө үнэн биш: хос вектор функцийн жишээг авч үзэхэд хангалттай

Эдгээр вектор функцүүдийн эхний бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь зүгээр л давхцдаг бөгөөд энэ нь шугаман хамааралтай гэсэн үг юм. Хоёр дахь бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь пропорциональ, тиймээс. мөн шугаман хамааралтай байдаг. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид тэгтэй тэнцүү шугаман хослолыг байгуулах гэж оролдвол хамаарлаас

нэн даруй системийг аваарай

цорын ганц шийдэлтэй C - C-2 - 0. Тиймээс бидний вектор функцууд шугаман бие даасан байна.

Ийм хачирхалтай өмчийн шалтгаан юу вэ? Мэдэгдэж байгаа хамааралтай функцүүдээс шугаман бие даасан вектор функцийг бүтээх боломжийг олгодог заль мэх юу вэ?

Эндээс харахад бүх зүйл нь бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн шугаман хамаарал биш, харин тэгийг олж авахад шаардлагатай коэффициентүүдийн хувь хэмжээ юм. Вектор функцүүдийн шугаман хамаарлын хувьд ижил тооны коэффициентүүд нь тооноос үл хамааран бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд үйлчилдэг. Гэхдээ бидний жишээн дээр нэг бүрэлдэхүүн хэсгийн хувьд коэффициентийн нэг хувь, нөгөө нь өөр хэсэг шаардлагатай байв. Тиймээс заль мэх нь үнэхээр энгийн: "бүрэлдэхүүн бүрдүүлэгч" шугаман хамаарлаас вектор функцүүдийн шугаман хамаарлыг олж авахын тулд бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь "ижил харьцаатай" шугаман хамааралтай байх шаардлагатай.

Одоо вектор функц ба векторуудын шугаман хамаарлын хамаарлын судалгаа руу орцгооё. Эндээс харахад вектор функцүүдийн шугаман хамаарал нь тогтсон функц бүрийн хувьд гэсэн үг юм т*вектор

шугаман хамааралтай байх болно.

Эсрэгээр нь ерөнхийд нь авч үзэхгүй: вектор бүрийн шугаман хамаарлаас твектор функцүүдийн шугаман хамаарлыг дагадаггүй. Үүнийг хоёр вектор функцийн жишээнээс харахад хялбар байдаг

At t=1, t=2 ба t=3Бид хос векторуудыг авдаг

тус тус. Хос вектор бүр нь пропорциональ байна (тус тус 1,2 ба 3 коэффициенттэй). Үүнийг ямар ч засварын хувьд харахад хялбар байдаг т*Манай хос векторууд коэффициенттэй пропорциональ байх болно t*.

Хэрэв бид тэгтэй ижил тэнцүү вектор функцүүдийн шугаман хослолыг байгуулах гэж оролдвол эхний бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь бидэнд хамаарлыг аль хэдийн өгсөн болно.

Энэ нь зөвхөн боломжтой юм FROM = FROM2 = 0. Ингээд бидний вектор функцууд шугаман хамааралгүй болсон. Дахин хэлэхэд, энэ нөлөөний тайлбар нь вектор функцүүдийн шугаман хамаарлын үед Cj тогтмолуудын ижил багц нь бүх утгыг үйлчилдэг. т,мөн бидний жишээнд утга тус бүрийн хувьд ткоэффициентүүдийн хооронд өөрийн пропорцийг шаарддаг.

n функцийн шугаман хамаарлын зайлшгүй нөхцөл.

, функцууд (n-1) хязгаарын деривативтай байг.

Тодорхойлогчийг авч үзье: (1)

W(x)-ийг ихэвчлэн функцүүдийн Вронский тодорхойлогч гэж нэрлэдэг.

Теорем 1.Хэрэв функцүүд (a,b) интервалд шугаман хамааралтай бол тэдгээрийн Вронскийн W(x) нь энэ интервалд тэгтэй ижил тэнцүү байна.

Баталгаа.Теоремын нөхцлөөр хамаарал

, (2) энд бүгд тэгтэй тэнцүү биш байна. Let . Дараа нь

(3). Энэ таних тэмдгийг n-1 дахин ялгаж,

олж авсан утгынхаа оронд Вронскийн тодорхойлогчоор орлуулах;

бид авах:

Вронскийн тодорхойлогчийн хувьд сүүлчийн багана нь өмнөх n-1 баганын шугаман хослол тул (a,b) интервалын бүх цэгүүдэд тэгтэй тэнцүү байна.

Теорем 2.Хэрэв y 1 ,..., y n функцууд нь L[y] = 0 тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдүүд бөгөөд бүх коэффициентүүд нь (a,b) интервалд үргэлжилдэг бол эдгээр шийдүүдийн Вронскиан нь тэгээс өөр байна. цэг бүрийн интервалд (a,b).

Баталгаа.Үүний эсрэгээр гэж бодъё. W(X 0)=0 байх X 0 байна. Бид n тэгшитгэлийн системийг зохиодог

Мэдээжийн хэрэг (5) систем нь тэгээс өөр шийдэлтэй байна. (6) үзье.

y 1 ,..., y n шийдлүүдийн шугаман хослолыг зохиоё.

Y(x) нь L[y] = 0 тэгшитгэлийн шийдэл юм. Үүнээс гадна . Өвөрмөц байдлын теоремын дагуу L[y] = 0 тэгшитгэлийн тэг анхны нөхцөлтэй шийдэл нь зөвхөн тэг байх ёстой, ᴛ.ᴇ. .

Бид ижил төстэй байдлыг олж авдаг, энд бүгд тэгтэй тэнцүү биш, энэ нь y 1 ,..., y n нь шугаман хамааралтай гэсэн үг бөгөөд энэ нь теоремын нөхцөлтэй зөрчилдөж байна. Тиймээс W(X 0)=0 байх тийм цэг байхгүй.

Теорем 1 ба теорем 2 дээр үндэслэн бид дараах баталгааг томъёолж болно. L[y] = 0 тэгшитгэлийн n шийдэл (a,b) интервалд шугаман хамааралгүй байхын тулд тэдгээрийн Вронскиан энэ интервалын аль ч цэгт алга болохгүй байх нь маш чухал бөгөөд хангалттай юм.

Батлагдсан теоремуудаас Вронскийн дараах тодорхой шинж чанарууд бас гарч ирдэг.

1. L[y] = 0 тэгшитгэлийн n шийдлийн Вронскиан нь бүх p i (x) коэффициентүүд үргэлжилсэн (a,b) интервалаас x = x 0 нэг цэгт тэгтэй тэнцүү бол энэ нь тэг болно. энэ интервалын бүх хуучин цэгүүдэд тэгтэй тэнцүү байна.
2. L[y] = 0 тэгшитгэлийн n шийдлийн Вронскиан (a,b) интервалаас нэг x = x 0 цэгт тэгээс өөр байвал энэ интервалын бүх цэгүүдэд тэгээс өөр байна.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ тэгшитгэлийн n бие даасан шийдлийн шугаман байдлын хувьд p i (x) тэгшитгэлийн коэффициентүүд тасралтгүй байх (a,b) интервал дахь L[y] = 0 тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь үргэлжилсэн байх нь туйлын чухал бөгөөд хангалттай юм. Энэ интервалын нэг цэгт ч Wronskian тэгээс ялгаатай байна.

n функцийн шугаман хамаарлын зайлшгүй нөхцөл. - үзэл баримтлал ба төрөл. "n функцийн шугаман хамаарлын зайлшгүй нөхцөл" ангиллын ангилал ба онцлог. 2017, 2018 он.

-

Усан онгоцыг зөөвөрлөх төхөөрөмж (Ачаа зөөвөрлөх хэрэгсэл) Лекц No6 Сэдэв: Ачааны хэрэгсэл (Cargo gear) 6.1. Усан онгоцыг зөөвөрлөх төхөөрөмж (Ачаа зөөвөрлөх хэрэгсэл). 6.2. Ачааны кран. 6.3. Налуу зам. Хэт ачаалал гэдэг нь барааг тээврийн хэрэгсэл рүү зөөх буюу тээвэрлэх явдал юм. Олон....

- Ачааны кран

Сертификат Ажил үүргийн хуваалт Хяналт шалгалт, баталгаажуулалт, хариуцлагыг дараах байдлаар хуваана: &... .

- Чи түүнийг таньдаг уу? Ло коносо?

Тэнд - allá Энд - aqui Кафед - en el cafe Ажил дээрээ - en el trabajo Далайд - en el mar 1. Та кафе хаана байдгийг мэдэх үү? 2. Та Саша хаана байгааг мэдэх үү? 3. Номын сан хаана байдгийг та мэдэх үү? 4. Оля одоо хаана байгааг та мэдэх үү? 5. Наташа одоо хаана байгааг та мэдэх үү? Өдрийн мэнд! Би....

- Змин ба Xmin-ийг огтлохгүй байх нөхцлөөс тодорхойлох

Зураг 5.9. Дугуйны шүдийг огтлох тухай. Дугуй дээрх тавиураар таслагдах шүдний тоотой тавиурын зүсэлтийн коэффициент x хэрхэн хамааралтай болохыг авч үзье. Төмөр замыг 1-р байрлалд суулгасан байг (Зураг 5.9.). Энэ тохиолдолд тавиурын шулуун толгой нь N-N холболтын шугамыг гатлана, үүнд ...

, функцууд (n-1) хязгаарын деривативтай байг.

Тодорхойлогчийг авч үзье: (1)

W(x) функцийг Вронскийн тодорхойлогч гэж нэрлэдэг.

Теорем 1.Хэрэв функцүүд (a, b) интервалд шугаман хамааралтай бол тэдгээрийн Вронскийн W(x) нь энэ интервалд тэгтэй ижил тэнцүү байна.

Баталгаа.Теоремын нөхцлөөр хамаарал

, (2) энд бүгд тэгтэй тэнцүү биш байна. Let . Дараа нь

(3). Энэ таних тэмдгийг n-1 дахин ялгаж,

Тэдний олж авсан утгуудын оронд Вронскийн тодорхойлогчоор орлуулж,

бид авах:

(4).

Вронскийн тодорхойлогчийн хувьд сүүлчийн багана нь өмнөх n-1 баганын шугаман хослол тул (a, b) интервалын бүх цэгүүдэд тэг байна.

Теорем 2.Хэрэв y1,..., yn функцууд нь L[y] = 0 тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдүүд бөгөөд бүх коэффициентүүд нь (a, b) интервалд үргэлжилдэг бол эдгээр шийдүүдийн Вронскиан нь цэг бүрт тэгээс өөр байна. интервал (a, b).

Баталгаа.Үүний эсрэгээр гэж бодъё. W(X0)=0 гэсэн X0 байна. Бид n тэгшитгэлийн системийг зохиодог

(5).

Мэдээжийн хэрэг (5) систем нь тэгээс өөр шийдэлтэй байна. (6) үзье.

y1,…, yn шийдлүүдийн шугаман хослолыг зохиоё.

Y(x) нь L[y] = 0 тэгшитгэлийн шийдэл юм. Үүнээс гадна . Өвөрмөц байдлын теоремын ачаар L[y] = 0 тэгшитгэлийн шийдэл тэг анхны нөхцөлтэй зөвхөн тэг байж болно, өөрөөр хэлбэл.

Бид ижил төстэй байдлыг олж авдаг бөгөөд энд бүгд тэгтэй тэнцүү биш, энэ нь y1,..., yn нь шугаман хамааралтай гэсэн үг бөгөөд энэ нь теоремын нөхцөлтэй зөрчилдөж байна. Иймд W(X0)=0 байх тийм цэг байхгүй.

Теорем 1 ба теорем 2 дээр үндэслэн бид дараах баталгааг томъёолж болно. L[y] = 0 тэгшитгэлийн n шийдэл (a, b) интервалд шугаман хамааралгүй байхын тулд тэдгээрийн Вронскиан нь энэ интервалын аль ч цэгт алга болохгүй байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Батлагдсан теоремуудаас Вронскийн дараах тодорхой шинж чанарууд бас гарч ирдэг.

1. L[y] = 0 тэгшитгэлийн n шийдлийн Вронскиан нь бүх pi(x) коэффициентүүд тасралтгүй байх (a, b) интервалаас x = x0 нэг цэг дээр тэгтэй тэнцүү бол тэгтэй тэнцүү байна. энэ интервалын бүх цэгүүдэд.
2. L[y] = 0 тэгшитгэлийн n шийдлийн Вронскиан (a, b) интервалаас нэг x = x0 цэгт тэгээс өөр байвал энэ интервалын бүх цэгүүдэд тэгээс өөр байна.

Ийнхүү pi(x) тэгшитгэлийн коэффициентүүд тасралтгүй байх (a, b) интервал дахь L[y] = 0 тэгшитгэлийн n бие даасан шийдийн шугаман байдлын хувьд тэдгээрийн Вронскиан байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм. энэ интервалын ядаж нэг цэгт тэгээс өөр .