Дифференциал тэгшитгэлийн хоцролттой шийдэл. Динамик системийг сааталтай энгийн дифференциал тэгшитгэлээр загварчлах. Динамик объектын хоцролттой дижитал загварын төлөв байдлын бүрэн орон зай, түүний тогтвортой байдлын тухай

Шугаман бус олон хэмжээст динамик объектуудын төлөв байдлын тэгшитгэлийг бичих ерөнхий дүгнэлтийг орон зайд өргөтгөсөн хяналтын систем, тээвэрлэлтийн саатлын элементүүдийг хийж гүйцэтгэв. Ерөнхий дүгнэлтийг интеграторын хамт саатлын холбоосыг хамгийн энгийн динамикийн найрлагад оруулах замаар гүйцэтгэдэг. гаралтын утгыг бие даасан төлөвийн хувьсагч гэж үздэг хүмүүс.

1. Инерцийн динамик объектууд

Төлөв хувьсагчид дахь динамик объектын уламжлалт математикийн тайлбарт төлөвийн хувьсагчийн өөрчлөлтийн хурдыг тухайн объектод үзүүлэх нөлөө, төлөвийн хувьсагчийн утгуудтай холбосон төлөвийн вектор тэгшитгэл, түүнчлэн холбогдох вектор тэгшитгэл орно. объектын гаралтын утгын утгууд (эсвэл тэдгээрийн хэмжилтийн үр дүн) түүний төлөв байдлын хувьсагч ба түүнд үзүүлэх нөлөө:

• x - төлөвийн хувьсагчийн вектор;
• u - объектод үзүүлэх нөлөөллийн вектор;
• y - объектын гаралтын утгын вектор;
• z - дуу чимээний вектор;
• f(.) ба g(.) нь нэлээд ерөнхий функцууд юм.

Систем (К.1.1) нь орон зайд (цэгт) шугаман бус инерциал-динамик хяналтын объектын төвлөрсөн олон хэмжээст суурин бус төлөвийн хувьсагчийн вектор дифференциал-алгебрийн тэгшитгэлийн систем юм.

Тэгшитгэлээс (K.1.1) динамик объектын тайлбар нь бүтцийн хувьд шугаман ялгах (үнэндээ динамик, инерциал) ба инерцийн бус шугаман бус хоёр гэсэн гурван төрлийн операторыг агуулж байгааг хялбархан харж болно: холболтын элемент ба найрлагын элемент:

Шугаман ялгах оператор нь төлөвийн хувьсагчийн агшин зуурын өөрчлөлтийн хурдыг тогтоодог тул инерцийг тайлбарладаг бөгөөд иймээс зарим хүмүүсийн хувьд одоо мэдэгдэж байгаа хувьсагчийн утгыг бага ч гэсэн хугацааны өмнө тодорхойлдог. Үүнийг инерци гэж тайлбарлах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл. урьдчилан тодорхойлсон зарим зан үйл.

Цагаан будаа. K.1.1. Инерцийн объектын тодорхойлолт ба түүний бүтцийн загвар. Дифференциал тэгшитгэл нь нөлөөллийн шалтгаан-үр дагаврын хамаарлыг илэрхийлдэг Xболон хариу үйлдэл (хариулт) yхамгийн энгийн инерцийн холбоос: нөлөөлөл Xгаралтын хэмжигдэхүүн y өөрчлөгдөхөд хүргэдэг хурдЭнэ өөрчлөлт нь шууд пропорциональ байна нөлөөлөл. Интегратор нь хамгийн энгийн, үндсэн динамик (инерциал) элементийн загвар юм. Бүтцийн загвар нь шалтгаан, нөлөөллийг үр дагавар, гаралтын утга болгон хувиргаж байгааг тусгасан болно: хамгийн энгийн (үндсэн) инерцийн загвар нь нөлөөллийн хуримтлал, хадгалалтыг баталгаажуулдаг.

Шугаманчлагдсан үйлдвэрийн загварт суперпозиция зарчим хүчинтэй тул хувьсах бүрэлдэхүүний оператор нь тэдгээрийн жигнэсэн нийлбэр бөгөөд холболтын оператор нь шугаман болно.

Төлөвийн хувьсагчид дахь динамик объектын тэгшитгэлийг мөн интеграл хэлбэрээр илэрхийлж болох бөгөөд энэ нь бүтцийн загварчлалд илүү ойлгомжтой байдаг.

Төлөвийн тэгшитгэл нь динамик объектын өөрийн гэсэн дотоод инерцийг тодорхойлдог. Гаралтын тэгшитгэл нь гаралтын хэмжигдэхүүний векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хэмжилтийн хөндлөнгийн оролцоог харгалзан үздэг.

Цэвэр инерциал динамик объектын хамгийн багадаа хязгааргүй жижиг урагшлах интервалын төлөв байдал, хандлага нь тухайн объектын бүх төлөвийн хувьсагчийн утгуудын багцаар тодорхойлогддог бөгөөд тухайн объектын харгалзах байрлалаар харагдана. олон хэмжээст төлөвийн орон зай дахь төлөөлөх цэг. Инерцийн объектын тухай мэдээлэл нь бүрэн гүйцэд байгаа тул төлөөлөх цэгийн траекторийн аль ч цэгийн координатыг төлөвийн тэгшитгэлийг нэгтгэх анхны нөхцөл гэж үзэж болно, өөрөөр хэлбэл. төлөөлөх цэгийн дараачийн замыг бүхэлд нь тодорхойлох, динамик объектын гадны нөлөөн дор эсвэл тэдгээр нь байхгүй тохиолдолд үйл ажиллагааг үнэлэх.

Үүний жишээ болгон бид өөр өөр анхны нөхцөл бүхий чөлөөт хэлбэлзлийн системийн загварт зориулж фазын хөрөг зургийг (хоёр хэмжээст төлөвийн орон зайн цэгүүдийг төлөөлөх объектын хөдөлгөөний замнал) толилуулж байна.

Цагаан будаа. K.1.1. Ижил фазын замналтай харгалзах өөр өөр анхны нөхцөлд чөлөөт инерцийн хэлбэлзлийн системийн фазын зургууд давхцаж байна, өөрөөр хэлбэл. фазын траекторийн аль ч цэгийн координатыг объектын цаашдын чөлөөт байдлыг бүрэн тодорхойлдог анхны нөхцөл гэж үзэж болно.

Тиймээс цэгийн (зөвхөн инерцийн, сааталгүй элементүүд) динамик объектуудын зан төлөвийг төлөв ба гаралтын тэгшитгэл, түүнчлэн тухайн объектын бүх төлөвийн хувьсагчийн утгууд болох анхны нөхцлөөр бүрэн дүрсэлсэн байдаг. цаг хугацааны хувьд, тодорхой траектороор харагдана, объектын одоогийн төлөв нь төлөвийн хувьсагчийн олон хэмжээст орон зай дахь цэгээр тодорхойлогддог.

2. Сааталтай элемент бүхий өргөтгөсөн объектын төлөвийн тэгшитгэл

Объектын загвар дахь саатлын холбоосыг инерцийн элементүүдийн (интеграторуудын) хамт хамгийн энгийн динамик элементүүдийн хоёр дахь бие даасан төрөл болгон тооцох нь төлөвийн хувьсагчийн бараг бүх нарийн төвөгтэй динамик объектуудыг жигд дүрслэх, үүний үндсэн дээр дүн шинжилгээ хийх боломжийг олгодог. мөн тэдгээрийг оновчтой болгох.

2.1. Өргөтгөсөн динамик объектуудын загваруудын тэгшитгэл ба бүтэц

Өргөтгөсөн объектын төлөвийн тэгшитгэлийн дифференциал хэлбэр

Динамик объектын загварын зарим салбаруудад саатлын элементүүд байгаа нь сааталгүй объекттой харьцуулахад объектын динамик шинж чанарыг ихээхэн, ихэвчлэн үндсээр нь өөрчилдөг. Тиймээс зөвхөн инерцийн элементүүдийн (интегратор) гаралтын утгуудад тохирох төлөвийн орон зай нь саатлын холбоос бүхий объектын төлөв байдал, үйл ажиллагааг бүрэн тодорхойлж чадахгүй.

Динамик объектын саатлын элемент, түүнчлэн инерцийн элементийг динамик, гаралтын утгыг тусдаа төлөвийн хувьсагч гэж үзэх хэрэгтэй.

Хязгаарлагдмал хугацааны интервалын дохиог хойшлуулах элементийг энгийн динамик гэж ангилах үндэс нь бодит объектын загваруудын хамгийн энгийн динамик элементийн хоёр төрлийн ижил төстэй байдал ба ялгаан дээр үндэслэсэн бөгөөд дараах байдалтай байна.

Гадны ялгаа нь инерцийн элементийг энгийн дифференциал тэгшитгэлээр, харин хоцрогдсон элементийг алгебрийн нэгээр тайлбарладагт оршино.

"Динамик" гэсэн нэр томъёо нь гадны нөлөөн дор байгаа зан төлөвийг дор хаяж хязгааргүй бага интервалаар урьдчилан таамаглах боломжтой объектуудыг хэлдэг. Уламжлал ёсоор цорын ганц динамик гэж тооцогддог инерцийн элемент болох интегратор нь энэ шаардлагыг хангаж байна. Гэхдээ саатал нь мөн ижил шаардлагыг хангадаг, хэрэв түүнд үзүүлэх нөлөөллийн түүхийг мэддэг бол. Энэ тохиолдолд саатлын холбоос нь түүний гаралтын утгын цаашдын хязгаарлагдмал хугацааны интервалын зан төлөвийг хатуу тодорхойлох боломжийг олгодог. Тэр. саатлын холбоосыг динамик гэж ангилж болно.

Нөгөөтэйгүүр, бодит объектуудын саатлын холбоос нь материалыг шилжүүлэх ("тээврийн саатал") эсвэл объектын зарим элементийн оролтод дохио (үйл ажиллагааны загвар) ирэх сааталтай тохирч байна. орон зайд тархалтаараа. Тиймээс саатлын холбоос нь харилцааны элементүүдтэй холбоотой байж болно.

Тархалт бүхий суурин бус саатал элемент ба түүний онцгой тохиолдол, цэвэр саатал элемент, түүнчлэн хамгийн энгийн инерцийн элемент нь динамик бөгөөд учир нь түүний гаралтын дохио нь өвөрмөц бөгөөд бусад инерцийн бус бүрэлдэхүүнээр олж авах боломжгүй, зөвхөн инерцийн шинж чанартай байдаг. төлөв хувьсагч. Энэ бол ийм найрлагын цаг хугацааны хоцрогдлын үр дүн юм.

Коши хэлбэрээр үзүүлсэн цэгийн объектуудын төлөв байдлын тэгшитгэлийг өргөтгөсөн объектууд болон тээвэрлэлтийн сааталтай объектуудад нэгтгэхийн тулд бид урьдчилан таамаглах операторыг албан ёсоор нэвтрүүлэв. Урд (τ) :

Ерөнхий тохиолдолд энэ оператор нь мэдээжийн хэрэг физикийн хувьд хэрэгжих боломжгүй, учир нь энэ нь τ урагшлах хязгаарлагдмал хугацааны интервалд ажиллаж буй хувьсагчийн утгыг үнэн зөв таамаглах ёстой. Гэхдээ энэ оператор нь төлөвийн тэгшитгэлийн албан ёсны "сайхан" анхны дүрслэлд л хэрэгтэй бөгөөд тэдгээрийн бүтцийн шийдлийг хэрэгжүүлсэн саатлын оператор ашиглан хийх боломжтой. Нөгөө талаас, төлөвийн тэгшитгэл дэх таамаглах оператор нь зөвхөн хоцролт, оролтын үйлдэл бүхий объектын бүх төлөвийн хувьсагчийн үйл ажиллагааны түүхээр тодорхойлогддог төлөв байдлын хувьсагч дээр ажилладаг. тэдгээрийн зарим бүрэлдэхүүн хэсэг, тиймээс энэ тохиолдолд урьдчилан таамаглалыг эрт дээр үеэс хатуу тодорхойлсон тул үүнийг хэрэгжүүлэх боломжтой юм.

Ингээд өргөтгөсөн динамик объектын төлөвийн хувьсагчдын вектор тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичье.

(К.2.1.2)-д бичих, уншихад хялбар болгох үүднээс төлөвийн хувьсагчдыг хоёр бүлэгт хуваадаг. Эхний бүлгийн хувьсагч х (1) нь объектын хамгийн энгийн инерцийн элементүүдийн төлөвийн хувьсагч, тэдгээрийн гаралтын утгууд юм. Хувьсагч х (2) нь объектын саатлын холбоосын гаралттай харгалзах төлөвийн хувьсагч юм. Мэдээжийн хэрэг, зарчмын хувьд "инерцийн" болон "хоцрогдсон" төлөвийн хувьсагчдыг дурын дарааллаар бичиж, дугаарлаж, нэг вектор тэгшитгэлд нэгтгэж болно.

Динамик объектын төлөв байдлын тэгшитгэлийн ерөнхий систем нь зөвхөн нэг бие даасан хувьсагчтай байдаг гэдгийг анхаарна уу - цаг t. (К.2.1.2)-д заасан объектын орон зайн шинж чанарыг хязгаарлагдмал (хязгааргүй) хурдтай буюу тээвэрлэлтийн саатал бүхий орон зайд нөлөөллийн тархалтаас шалтгаалан саатал τ хугацааны векторыг харгалзан шууд бусаар дүрсэлсэн болно.

Динамик объектуудыг төлөв байдлын тэгшитгэлээр тайлбарласны үндсэн дээр сааталтайгаар авч үзэхийг зарим зохиогчид өмнө нь хийж байсан.

2.1-ийн (2.1.2)-д заасан тодорхойлолт нь зөвхөн тэгшитгэлийн баруун талд байгаа сааталуудыг зааж өгөхөөр хязгаарлагдах бөгөөд загварын бүтцэд саатлын холбоосыг өөрийн төлөвийн хувьсагчаар тодорхойлогддог функциональ элемент болгон оруулаагүй болно. Төлөвийн тэгшитгэлийн ижил төстэй эх дүрслэлийг “1.5. Тээврийн саатал бүхий системүүдийн оновчтой хяналт”, 188 ба дараалал, түүнчлэн .

Тэгшитгэлийн хэлбэр (K.2.1.2) нь саатлын холбоосын гаралтын утгуудад харгалзах тусгай төлөвийн хувьсагчдыг оруулахад санал болгож буй хэлбэрээс ялгаатай байна. Тиймээс саатлын холбоосууд нь хамгийн энгийн динамиктай холбоотой бөгөөд динамик объектуудын тайлбар нь бүх нийтийн шинж чанартай болдог.

Энэ зүйлд санал болгож буй динамик объектын дүрслэлд тухайн объектын одоогийн дотоод төлөвийг интегратор ба саатлын холбоосын гаралтын утгуудад харгалзах төлөвийн хувьсагчдын утгуудын вектор, түүхээр бүрэн тодорхойлдог. тэдний зан авираас.

Өргөтгөсөн объектын төлөвийн тэгшитгэлийн салшгүй хэлбэр

Сааталтай динамик объектын төлөвийн хувьсагчдын тэгшитгэлийг интеграл "хоцрогдсон" хэлбэрээр илэрхийлж болох бөгөөд энэ нь объектын бүтцийн загварыг бүрдүүлэхэд илүү ойлгомжтой байж магадгүй юм.

саатуулагч операторууд хаана байна:

урьдчилан таамаглах операторын эсрэг үйлдэл хийх fwd(.).

Тиймээс (К.2.1.3) нь олон хэмжээст өргөтгөсөн шугаман бус хөдөлгөөнт бус динамик объектын вектор төлөвийн хувьсагчдын интеграл-"хоцрогдсон" тэгшитгэлүүд юм. Хамгийн энгийн инерцийн элементүүдийн гаралтын дохионд харгалзах хувьсагчдын хэсэг нь х (1) вектороор тэмдэглэгдсэн нь хувьсагчдын нэгэн адил бүх хувьсагчийн зарим хослолын хуримтлалын (интеграл) үр дүн юм. оролтын үйлдлүүд нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөж болно. Х (2) гэж тэмдэглэгдсэн төлөвийн хувьсагчдын хоёр дахь хэсэг нь бүх төлөвийн хувьсагчийн зарим хослол, түүнчлэн объектын оруулах үйлдлүүдийг хэсэг хугацаанд хойшлуулах явдал юм. τ (вектор), энэ нь ерөнхийдөө цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөж болно. Эдгээр тэгшитгэлийн дагуу бүтцийн тэгшитгэлийг байгуулж болно. виртуал аналог, динамик объектын загварууд.

Өргөтгөсөн объектын төлөвийн тэгшитгэлийн анхны нөхцөлүүд

Тэгшитгэлд (K.2.1.3) саатлын холбоосуудын (операторуудын) анхны нөхцөл нь интеграторуудын нэгэн адил зөвхөн тэг хугацааны төлөвийн хувьсагч ба оролтын үйлдлийн хослолын утга биш юм. Тэгшитгэлийн хоёрдмол утгагүй шийдлийн хувьд (K.2.1.3) эдгээр холбоосуудын оролтын утгуудын үйл ажиллагааны түүхийг тодорхойлсон функц хэлбэрээр саатлын холбоосуудын анхны нөхцлийг тохируулах шаардлагатай. тэдний хойшлуулах завсарлага.

Тэр. "санах ойтой" саатлын холбоосууд нь объектын үйл ажиллагааны асуудлыг хоёрдмол утгагүй шийдвэрлэхийн тулд илүү их мэдээлэл шаарддаг: интеграторуудад хангалттай байдаг шиг зөвхөн тодорхой, нөхцөлт тэг цэг дэх төлөвийн хувьсагчийн утгын вектор биш, харин интеграцийн эхлэлээс өмнөх саатлын холбоосуудтай харгалзах хугацааны интервалд заасан функцүүдийн вектор (төлөвийн хувьсагч ба объект дээрх оруулах үйлдлүүдийн хослол).

Өөрөөр хэлбэл, сааталтай системүүдийн төлөвийн орон зай дахь цэг ба траекторийн адил динамик объектын төлөв байдал, үйлдэл нь зөвхөн энэ орон зай дахь цэгийн байрлалаар тодорхойлогддоггүй, мөн түүний өмнөх замналаар тодорхойлогддог. "саатал" дэд орон зай x (2) ба дэд орон зайд х (1) "инерцийн" хувьсагчид, түүнчлэн саатлын харгалзах холбоосуудад саатал гарсан эдгээр хугацааны интервал дахь гадны нөлөөллийн зан байдлын түүх. .

Хойшлуулсан объектын төлөв байдлын тэгшитгэлийг илэрхийлэх уламжлалт хэлбэрийн ижил төстэй мэдэгдлийг 2.1-д мөн өгсөн болно.

"Цаг хугацааны дурын агшинд сааталтай үргэлжилсэн объектын төлөв нь зөвхөн хязгаарлагдмал тооны параметрүүдээр тодорхойлогддоггүй (төрийн хувьсагч гэсэн үг - F.B.T.) (хугацаагүй объектуудын хувьд), мөн тус тусад нь тодорхойлогдсон зарим функцээр тодорхойлогддог. интервал дээр , . Энэ нь ийм объектыг удирдах асуудлыг шийдвэрлэхэд ихээхэн хүндрэл учруулж байна."

Ерөнхийдөө саатлын холбоосын анхны нөхцөлийг тодорхойлох асуудал нь динамик объектыг төлөвийн хувьсагчид дүрслэхээс гадна бусад тайлбарын аргуудын онцлог шинж юм. Ихэнхдээ динамик объектын дижитал загварчлалын сааталтай үед "хоцрогдсон" хувьсагчдын анхны траекторийг авдаг, i.e. саатлын холбоосуудын гаралтын утга тогтмол байна. Үүнийг хийхийн тулд холбоосын буферийг анхны төлөвт нь тэг эсвэл тогтмолоор дүүргэдэг.

Динамик объектын нэг хэсэг болох саатлын холбоосын оролтын дохио нь бусад холбоосуудтай холбоотой төлөвийн хувьсагчдын бүрэлдэхүүн бөгөөд объектод нөлөөлдөг тул саатлын холбоосын гаралтын дохиог өөрчлөх хатуу прогнозыг тохируулах нь тэнцүү юм. ижил хугацааны интервалд нэрлэгдсэн төлөвийн хувьсагч болон нөлөөллийн зан байдлын өмнөх түүхийг тогтоох.

Цагаан будаа. 2.1.1. Тодорхой цаг хугацааны хоцрогдолтой динамик объектын төлөв нь тухайн үеийн төлөвийн хувьсагчдын утгууд болох координатууд нь төлөвийн орон зай дахь түүний төлөөлөх цэгийн байрлалаар тодорхойлогддог. цаг хугацааны өмнөх цэгүүд дэх энэ цэгийн замнал. Олон хэмжээст төлөвийн орон зайг инерцийн төлөвийн хувьсагчдын дэд орон зай ба "хойшлогдсон" төлөвийн хувьсагчийн дэд орон зайгаар төлөөлж болно.

Тиймээс цэгийн объектуудын хувьд төлөвийн орон зай дахь төлөөлөх цэгийн байрлал нь динамик объектын төлөв байдал, ойрын ирээдүйд түүний зан үйлийн чиг хандлагыг бүрэн тодорхойлдог. Сансар огторгуйд сунаж тогтсон, бүтцэд нь тээвэрлэлтийн саатлын холбоос бүхий объектуудын хувьд тэдгээрийн төлөв байдал, цаашдын зан төлөв нь зөвхөн дүрслэх цэгийн одоогийн байрлалаар тодорхойлогддоггүй, мөн өмнөх үеийн төлөвийн орон зайд түүний хөдөлгөөний замналаар тодорхойлогддог. , энэ нь нэлээд том хугацааны интервал байж болно.

Саатал бүхий динамик объектын загварын бүтэц

Системд (К.2.1.3) тохирох саатал бүхий динамик объектын загварын бүтцийг томруулсан хэлбэрээр зурагт үзүүлэв.

Цагаан будаа. K.2.1.2. Сансар огторгуйд өргөтгөсөн шугаман бус динамик хяналтын объектын ажиглагдсан олон хэмжээст суурин бус загварын үндсэн бүтцийн элементүүдийн томруулсан бүдүүвч дүрслэл. Объектийн өөрийн динамик шинж чанарууд нь зүүн блокийн бүтэц, шинж чанар, параметрүүдээр тодорхойлогддог бөгөөд хувиргагч блок нь төлөвийн хувьсагчийг хэмжиж болох утга болгон хувиргадаг (эсвэл шууд хэмжилтийн үр дүнд)

Цагаан будаа. K.2.1.3. Бодит динамик объектын загварын бүтэц, түүний дотоод "метаболизм" -ийг тусгасан, i.e. нөлөөлөл ба хувьсагчийн утгыг шилжүүлэх чиглэл, түүнчлэн тэдгээрт хийгдсэн үйлдлүүд. Сааталтай объектын зан төлөвийг зөвхөн "инерциал" төлөвийн хувьсагчдын анхны нөхцлийн вектор төдийгүй бүх төлөвийн хувьсагчийн түүх, түүнчлэн объектод үзүүлэх нөлөөллийн түүхээр тодорхойлдог.

Сааталын функциональ элементүүдтэй нийлмэл динамик объектыг бүтцийн хувьд инерцийн болон "хоцрогдсон" хоёр зэрэгцээ хэлхээгээр дүрсэлдэг. Бүхэл бүтэн объектын төлөвийн хувьсагчид нь инерцийн болон "хоцрогдсон" төлөвийн хувьсагчдын нэгдэл (объектийн бүтэц дэх хамгийн энгийн инерцийн элементүүдийн гаралтын утгууд ба "хоцрогдсон", өөрөөр хэлбэл саатлын холбоосын гаралтын утгууд) юм. нэг вектор.

Дээр дурьдсанчлан, ерөнхий тохиолдолд зарим саатлын холбоосын оролтын дохиог тухайн объектын бүх төлөвийн хувьсагч болон түүнд үзүүлэх бүх нөлөөллийн аль алинаар нь тодорхойлно. Тиймээс объектын төлөв байдал, дараа нь зан төлөвийг хоёрдмол утгагүй тодорхойлохын тулд "хоцрогдсон" төлөвийн хувьсагчдын зан төлөвийн үнэ цэнэ, таамаглал, эсвэл түүнтэй адилтгах зан үйлийн түүхийг мэдэх шаардлагатай. бүх төлөвийн хувьсагч ба объектын оруулах үйлдэл.

2.2. Өргөтгөсөн объектуудын хамгийн энгийн бүтцийн элементүүд

Динамик объектуудын сааталтай төлөв ба гаралтын тэгшитгэл (К.2.1.2) ба (К.2.1.3)-аас харахад тэдгээрийг тодорхойлоход ердөө дөрвөн оператор хангалттай. Орон зайн өргөтгөл болон (эсвэл тээвэрлэлтийн саатал) бүхий динамик систем, объектуудын хамгийн энгийн дөрвөн элементийн (эдгээр операторуудын виртуал аналог) математикийн тодорхойлолтыг шууд бусаар тэдгээрийг тодорхойлсон физик хуулиудад үндэслэн энгийн тэгшитгэл болгон бууруулсан болно. шугаман дифференциал, нөгөө гурав нь алгебрийн:

• x - элементэд үзүүлэх нөлөө,
• y - түүний хариу үйлдэл,
• t - цаг хугацаа,
• τ нь тодорхой хугацааны хоцрогдол юм.

Цагаан будаа. K.2.2.1. Интегратор ба суурин саатлын холбоос - энгийн динамик объектын төрлүүдийн бүрэн багц. Эдгээр хоцрогдсон объектуудын загваруудын хамгийн энгийн динамик элементүүд нь объектын төлөв байдал, зан төлөвийг бүрэн, хоёрдмол утгагүй дүрслэх анхны нөхцлийг шаарддаг. Интеграторын хувьд энэ нь нөхцөлт тэг цагийн цэг дэх гаралтын утгын утга бөгөөд саатлын холбоосын хувьд "анхны" нөхцөл нь [-τ, 0 интервал дээрх өмнөх цаг хугацааны цэгүүд дэх оролтын утгын төлөв байдал юм. ], эсвэл ижил байна, холбоос дахь саатлын хугацаатай тэнцүү интервал дахь саатлын холбоосын гаралтын утгын үйл ажиллагааны таамаглал ("хоцрогдсон" төлөвийн хувьсагч)

Цагаан будаа. K.2.2.2. Динамик объектын блок диаграммын ерөнхий хэлбэрийн хамгийн энгийн (үндсэн) элементүүд нь түүний математик загварт зөвхөн дөрвөн өөр төрлийн элемент орно. Эдгээр төрлийн элементүүд нь дур зоргоороо нарийн төвөгтэй динамик объектыг (технологийн үйлдвэр, түүний удирдлагын систем гэх мэт) загварчлахад хангалттай.

Хамгийн энгийн элементүүдийг нэгтгэснээр дурын нарийн төвөгтэй динамик объектын тууштай загварыг бий болгож чадна. Динамик объектын дифференциал-алгебрийн тэгшитгэлийн системийг төлөв байдлын тэгшитгэл хэлбэрээр эмхэтгэх нь динамик объектын загварыг нэг чиглэлтэй энгийн багц хэлбэрээр илэрхийлэх далд, шууд бус арга, нэг төрлийн "нууц" юм. бие биетэйгээ харилцан үйлчилдэг динамик элементүүд.

2.3. Объектуудын ажиглалт, хяналтыг хойшлуулах боломжтой

Дээрх дүгнэлтээс үзэхэд сааталтай динамик объектын хоёрдмол утгагүй төлөв нь зөвхөн төлөвийн хувьсагчдын одоогийн утгуудаар тодорхойлогддоггүй, мөн тэдгээрийн өмнөх цаг хугацаа, хязгаарлагдмал болон хугацааны туршид өөрчлөгдсөн түүхээр тодорхойлогддог. хангалттай урт интервал. Тиймээс ийм объектуудын хувьд ажиглагдах, хянах боломжтой гэсэн ойлголтуудыг тодруулах хэрэгтэй.

Хянах чадварДинамик объектын саатал элемент нь тухайн объектыг ямар нэгэн тодорхой зан үйлийн өмнө байсан одоогийн төлөвөөс тухайн төлөв дэх төлөөлөх цэгийн өгөгдсөн траекторийн өмнөх шинэ, шаардлагатай төлөвт шилжүүлэх боломжтой юм. нөлөөллийн векторын хязгаарлагдмал өөрчлөлтөөр орон зай.

ажиглах чадвархоцрогдсон объектыг бид ямар ч үед төлөвийн хувьсагчийн одоогийн векторыг олох боломж гэж тодорхойлдог. траекторийн эцсийн хэсэгТөлөөлөгчийн цэг нь тухайн объектын гаралтын утгуудын хэмжилт, өмнөх зарим хугацааны интервал дахь тэдгээрийн зан байдлын дагуу одоогийн байрлалд хүрэх төлөвийн орон зайд.

Төлөвийн тэгшитгэлийн зөв хэсгүүдийн сааталыг дүрслэн харуулах динамик объектын ажиглалт ба хянах чадварын тухай ойлголтын илүү нарийн тодорхойлолтыг дараахь хэсгээс олж болно. Сааталтай системийг хянах, ажиглах боломжтой".

2.4. Хугацаатай динамик объектын төлөв ба анхны нөхцөл

Сааталтай динамик объектын одоогийн төлөв байдал нь түүний дараагийн цагуудад, дор хаяж маш богино хугацааны туршид түүний зан төлөвийг хоёрдмол утгагүйгээр тодорхойлох ёстой. Объект дээр гадны нөлөө байхгүй (чөлөөт хөдөлгөөн), эсвэл мэдэгдэж буй гадны нөлөөллөөр энэ хугацаа хязгааргүй хүртэл үргэлжилдэг.

Сааталтай динамик объектын төлөвийг "инерцийн" болон "хоцрогдсон" төлөвийн бүх хувьсагчийн агшин зуурын утга, түүнчлэн тэдгээрийн өмнөх болон объектод үзүүлэх нөлөөллийн өмнөх үеээр тодорхойлогддог.

Цагаан будаа. K.2.4.1. Динамик объектын төлөвийн хувьсагчийн үе шатны хөрөг зураг, зан төлөв нь гадны нөлөөлөл байхгүй үед сааталтай байдаг. Хэрэв бид сааталтай холбоосыг энгийн динамик гэж үзвэл, i.e. түүний гаралтын утгыг бие даасан төлөвийн хувьсагч гэж үзэхийн тулд сааталтай динамик объектын төлөв байдал, зан төлөвийг бүрэн тайлбарлахын тулд зөвхөн төлөвийн хувьсагчийн утгыг тодорхой хугацаанд тохируулах шаардлагатай. гэхдээ бас тэдний өөрчлөлтийн түүх, энэ тохиолдолд саатал холбоосын буферт байрлуулсан. Өөр өөр түүхийн өмнөх үе нь фазын хөрөг зургийн өөр өөр замнал руу хөтөлдөг, i.e. объектын өөр өөр зан төлөвт. Сааталтын холбоосын гаралтын хувьсагч (х3 төлвийн хувьсагч)-ийн зан төлөвийг урьдчилан таамаглах нь түүний оролтын утгын зан байдлын түүхтэй тэнцүү байна, учир нь энэ нь саатлын хугацаагаар хойшлогдсон түүхийг илэрхийлдэг бөгөөд энэ тохиолдолд τ = 1 сек байна. . Түүхийг мэдэх ёстой интервал нь саатлын холбоосын саатлын хэмжээгээр тодорхойлогддог

Эндээс харахад төлөвийн тэгшитгэлийн анхны нөхцлийг тогтоож, динамик объектын одоогийн төлөвийг хоцролттой хоёрдмол утгагүй дүрслэхийн тулд зөвхөн төлөвийн хувьсагчдын утгыг мэдэх шаардлагатай. гэхдээ бас тэдний түүх.

Цагаан будаа. K.2.4.2. Анхны нөхцөл буюу түүнтэй адилтгах байдлаар инерциал-динамик биетүүд болон сааталтай инерци-динамик объектуудын төлөв байдал. Цэвэр инерцийн объектын хувьд түүний шинж чанарыг иж бүрэн тайлбарлахын тулд бүх төлөвийн хувьсагчийн утгууд, хэрэв байгаа бол тухайн объект дээрх оруулах үйлдлийн утгыг мэдэхэд хангалттай. Сааталтай объект нь инерцийн (загвар интеграторуудын гаралтын дохио) ба "хоцрогдсон" (загварын саатлын холбоосын гаралтын дохио) хоёулангийнх нь төлөв байдлын бүх хувьсагчийн утгуудын талаархи мэдлэгтэй байхаас гадна үйл ажиллагааны төлөв байдлын талаархи таамаглалтай байхыг шаарддаг. "хоцрогдсон"

Тиймээс объектуудыг сааталтай дүрслэхийн тулд энгийн инерцийн объектуудаас хамаагүй илүү мэдээлэл шаардагдах бөгөөд энэ нь тэдгээрийн дүн шинжилгээ, оновчлолыг төвөгтэй болгодог.

2.5. Сааталтай динамик объектын дижитал загварын төлөв байдлын бүрэн орон зай ба түүний тууштай дэд орон зайн дээр

Бодит тасралтгүй инерциал динамик объектуудын загваруудыг зөвхөн интегратор (W(p) - загвар) болон зөвхөн энгийн саатал холбоосыг (W(z) - загвар) ашиглан бүтээж болно.

Цагаан будаа. 2.5.1. (хөдөлгөөнт дүрс, 14 фрейм) Интеграторын үндсэн дээр болон нэг циклээр хоцрогдсон элементар саатлын холбоос дээр суурилагдсан инерцийн хэлбэлзлийн системийн загварууд нь эквивалент бөгөөд үүнийг x1 ба z1 гаралтын утгуудын шилжилтийн функцээс харж болно. , тус тус. Мэдээжийн хэрэг, интеграторуудын гаралтын утгууд ба симуляцийн мөчлөгийн дохионы саатлын холбоостой харгалзах эдгээр загваруудын төлөвийн хувьсагчид өөр өөр байдаг. Тиймээс янз бүрийн хос хувьсагчдыг төлөөлөх цэгүүдийн замнал өөр өөр байдаг. Мэдээжийн хэрэг, саатлын энгийн холбоос дээрх загварын хувьд төлөөлөх цэгийн замнал нь нэлээд "уйтгартай" бөгөөд диагональ байдлаар явагддаг, учир нь хувьсагч хоёулаа ач холбогдолгүй хэмжээгээр ялгаатай байдаг бөгөөд энэ нь загварын тууштай байдлыг хангахад чухал ач холбогдолтой юм.

Интеграторууд (апериодын холбоосууд) хангалттай их сааталтай холбоосыг ойролцоогоор дуурайж чадахгүй, харин аливаа саатлыг мөчлөгийн саатлын холбоосоор ямар ч нарийвчлалтайгаар загварчлах боломжтой тул тэдгээрийн хангалттай тоог сонгоход хангалттай гэдгийг анхаарна уу.

Цагаан будаа. 2.5.2. Тасралтгүй саатлын холбоос ба түүний дижитал загварууд. Утга учиртай, иж бүрэн мэдээлэл агуулсан төлөвийн хувьсагч нь түүний оролтын үйлдлийн үйлдлийн түүхийг харгалзан саатлын холбоосын гаралтын утга юм. Сааталтай холбоосын салангид загварын завсрын элементүүдийн гаралтын дохиог албан ёсоор төлөвийн хувьсагчдад хамааруулж болох боловч тэдгээрийн мэдээлэл нь ээлжлэн давтагддаг тул бүхэл холбоосын гаралтын утгыг хязгаарлахад хангалттай. мөн үүнийг энгийн нэгдмэл динамик гэж үзэх бөгөөд түүний төлөв байдал нь зөвхөн гаралтын утгын утгаар төдийгүй түүний урьдчилсан мэдээгээр тодорхойлогддог (оролтын үнэ цэнийн өмнөх түүх). Нэгт дискрет загварын буфер нь оролтын утгын түүхээр дүүрдэг тул төлөвийн хувьсагчийн таамаглал нь энэ түүхээр хатуу тодорхойлогддог.

Сааталын холбоостой холбоотой төлөвийн хувьсагчийн тодорхойлолт нь үнэндээ саатал буферийн микро холбоосын сүүлчийн утгатай тэнцүү байх нь зөвхөн үндсэн холбоосуудын гаралтын утгыг багтаасан төлөвүүдийн тууштай дэд орон зай болгон ашиглах боломжийг олгодог. саатал холбоосын дижитал загварыг бүрдүүлнэ. Харьцангуй цөөн тооны үр дүнтэй төлөвийн хувьсагч нь динамик объектын аналитик судалгаа, түүний үр дүнг графикаар харуулахад онцгой чухал юм.

Дүгнэлт

Интегратороос гадна хязгаарлагдмал утгын саатлын холбоосыг хамгийн энгийн динамик элемент гэж үзэж болох бөгөөд гаралтын утга нь бие даасан төлөвийн хувьсагч бөгөөд объектын төлөв байдлыг бүрэн, хоёрдмол утгагүй дүрслэхийн тулд шаардлагатай болно. төрийн орон зай дахь төлөөлөх цэгийн байрлал болон түүний өмнөх замналын хэсгийг аль алиныг нь мэдэх, t .e объектын зан үйлийн өмнөх түүхийг.

Хяналтын оновчтой систем нь аль хэдийн хэрэгжсэн бол бодитой оршин тогтнох бөгөөд түүний шинж чанар нь ямар математикийн аппаратаар дүрсэлсэн, ямар математикийн арга, хэрэгслээр оновчтой болгосон зэргээс хамаардаггүй. Тиймээс хяналтын систем, ялангуяа автомат удирдлагын тогтолцооны математик тайлбарын энгийн байдлыг системийн нарийн төвөгтэй байдлаас хамаарч тодорхойлж, түүнд тохирсон байх ёстой.

Уран зохиол ба интернет

• 1. Ким Д.П. Автомат удирдлагын онол. T.2. Олон хэмжээст, шугаман бус, оновчтой, дасан зохицох систем: Proc. Ашиг тус. - М.: FIZMATLIT, 2004. - 464 х. - ISBN 5-9221-0534-5.
• 2. Ким Д.П. Автомат удирдлагын онолын даалгаврын цуглуулга. Олон хэмжээст, шугаман бус, оновчтой, дасан зохицох системүүд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 328 х. - ISBN 978-5-9221-0937-6.
• 3. Юань Янь. Автомат удирдлагын онол. бүлэг 1-9. Танилцуулга, pdf формат. Мэдээллийн шинжлэх ухаан, инженерчлэлийн сургууль, CSU. 2005.08.28
  http://wuhua.csu.edu.cn/ac/ac/ch1.pdf
  http://wuhua.csu.edu.cn/ac/ac/ch2.pdf
  ...
  http://wuhua.csu.edu.cn/ac/ac/ch9.pdf
• 4. Лукас В.А. Техникийн системийн хяналтын онол. Их дээд сургуулиудад зориулсан компакт сургалт. - 3 дахь хэвлэл, шинэчилсэн. болон нэмэлт - Екатеринбург. UGGA-ийн хэвлэлийн газар, 2002, - 675 х.
• 5. Д.Сю, А.Мейер. Автомат удирдлагын орчин үеийн онол ба түүний хэрэглээ. В.С.БОЧКОВ, Е.В.ГУРЕЦКАЯ, Л.М.КИСЕЛЕВА, В.Г.ПОТЕМКИН нар англи хэлнээс орчуулсан. d.t.s засварласан. профессор Ю.И. ТОПЧЕЕВ. -М., : ИНЖЕНЕР, 1972.
• 6. Дорф Р., Бишоп Р. Орчин үеийн хяналтын систем. Пер. англи хэлнээс. Копылова B.I. - М.: Үндсэн мэдлэгийн лаборатори, S_Pb, 2002. -832 х. ISBN 5-93208-119-8
• 7. Федосов Б.Т. Олон хэмжээст объектууд. Тодорхойлолт, дүн шинжилгээ, менежмент. Рудный, 2010 он.
  http://model.exponenta.ru/bt/bt_171_MultyDim_Obj_Contr.htm
• 8. Ю.Ю. Громов нар сааталтай автомат удирдлагын систем. - Тамбов. : TSTU-ийн хэвлэлийн газар, 2007 он.
  http://window.edu.ru/window_catalog/files/r56879/k_Gromov1.pdf (698 KB)
• 9. Калман Рудольф Е., Фалб Питер Л., Арбиб Майкл А. Системийн математикийн онолын тухай эссэ: Пер. англи хэлнээс. / Ред. I. Z. Цыпкина. Өмнөх үг Э.Л.Наппелбаум. Эд. 2-рт, хэвшмэл. - М .: Редакцийн URSS, 2004. - 400 х. ISBN 5-354-00762-3
  Р.Э.Калман, Р.Л.Фалб, М.А.Арбиб
  Математикийн системийн онолын сэдэв
• 10. Ф.Чаки. Орчин үеийн хяналтын онол. Шугаман бус, оновчтой, дасан зохицох систем. В.В.Капитоненко, С.А.Анисимов нарын англи хэлнээс орчуулсан. Н.С.Райбман М., : МИР 1975 он
• 11. V.M. Синеглазов, Р.Ю. Ткачев. Ерөнхий саатал бүхий олон хэмжээст объектын бие даасан удирдлага. Кибернетик ба тооцоолол. техник. Эрдэм шинжилгээний бүтээлийн салбар хоорондын цуглуулга. Асуудал. 157. Киев, 2009, х. 17-25.

Баярлалаа

Хоцролттой тэгшитгэлийн бодлого. Удирдлага нь сааталтай тэгшитгэлийн Коши бодлогоор системийн фазын траекторийг тодорхойлдог вариацын бодлогыг авч үзье.

Уран зохиолд ийм системийг ихэвчлэн нэгэн зэрэг тэгшитгэлийн систем гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь нэг тэгшитгэлийн хамааралтай хувьсагч нь нэг буюу хэд хэдэн өөр тэгшитгэлд нэгэн зэрэг хувьсагч хэлбэрээр (гэхдээ аль хэдийн бие даасан байдлаар) гарч ирдэг гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд хамааралтай ба бие даасан хувьсагчийн уламжлалт ялгаа нь утгаа алддаг. Үүний оронд хоёр төрлийн хувьсагчийн хооронд ялгаа бий. Эдгээр нь нэгдүгээрт, харилцан хамааралтай хувьсагч (эндоген) бөгөөд тэдгээрийн бие биендээ үзүүлэх нөлөөг судлах шаардлагатай (дээрх тэгшитгэлийн системийн A матриц A t). Хоёрдугаарт, эхнийхүүдэд нөлөөлөх ёстой, гэхдээ тэдгээрт нөлөөлдөггүй урьдчилан тодорхойлсон хувьсагчид нь хоцрогдолтой хувьсагчид, жишээлбэл. өгөгдсөн тэгшитгэлийн системээс гадуур тодорхойлогдсон хоцролт (хоёр дахь гишүүн) болон экзоген хувьсагч.

Гэсэн хэдий ч хоцрогдлын ерөнхий төрлүүд болон үлдэгдлийн талаар илүү их эсвэл бага хэмжээгээр тодорхойлсон тэгшитгэлийн хувьд тооцооллын шинж чанарын талаар хангалттай найдвартай үр дүн гараагүй байна. Тиймээс хоцрогдлын ерөнхий олон гишүүнт хэлбэртэй регрессийн тэгшитгэлээр хийсэн тооцоолол нь зөвхөн тууштай шинж чанартай бөгөөд гурван шатлалт хамгийн бага квадратын аргаар олж авсан экзоген ба эндоген хувьсагчийн хоцрогдолтой тэгшитгэлийн тооцоог (Марковын нэгдүгээр эрэмбийн үед) үлдэгдэл автокорреляци) ч гэсэн энэ өмч байхгүй (зураг дахь дүнгийн шинжилгээг үзнэ үү).

Тиймээс, тогтвортой байдлын дээд зэрэгтэй өндөр хурдны системийг нэгтгэхдээ эхлээд (4), ng ба ω, (1 = 1, n) нөхцлийн биелэлтийг хангах bj-ийн оновчтой утгыг тодорхойлох шаардлагатай. дараа нь с/-г олоод (10), эцэст нь (12) нөхцлөөс C-ийн өгөгдсөн утгыг сонго. Сэтгэгдэл. Харж үзсэн тохиолдлуудаас үзэхэд оновчтой шийдлүүдийн бүтэц, тухайлбал туйлын баруун язгууруудын бодит ба нарийн төвөгтэй хосолсон хосуудын тоо, тэдгээрийн хослол, олон талт байдал, үүний үр дүнд X дахь оновчтой шийдлийн годографын төрлүүд гарч ирэв. хавтгай нь удирдлагын хэмжээсээс хамаарна m (1.2), хангалттай өндөр дарааллын хувьд n (1.1) нь n-ийн утгаас хамаардаггүй.Өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн m бүр өөрийн гэсэн тодорхой тооны бүтэцтэй тохирч байна. оновчтой шийдлийн шинэ оновчтой шийдлүүд. Тиймээс n - > QO-ийн хувьд тогтвортой байдлын хамгийн дээд түвшний системийг нэгтгэх боломж хэвээр байгаа бөгөөд оновчтой шийдлүүдийн бүтцийг зөвхөн m-ээр тодорхойлдог бөгөөд энэ нь аль ч m-ийн хувьд оновчтой шийдлийн бүтцийг мөн объектын хувьд мэддэг гэсэн үг юм. саатал.

Үзүүлэлт бүрийн хугацааны хоцрогдлын утгыг хэрхэн тодорхойлох вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ.Тохирох хугацааны хоцрогдол зэргийг тодорхойлохын тулд өгөгдлийн хугацааны цувааны корреляцийн шинжилгээг ашигладаг. Хугацааны хоцролтыг тодорхойлох гол шалгуур нь инфляцийн түвшинд үзүүлэх нөлөөллийн янз бүрийн хоцрогдолтой үзүүлэлтүүдийн хугацааны цувралуудын хоорондын харилцан хамаарлын коэффициентийн хамгийн том утга юм. Үүний үр дүнд тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийг авна

Нэмж дурдахад, S. d. арга нь нэг загварын хүрээнд олон тооны урсгал (биет. хяналт ба мэдээлэл) болон эдгээр урсгалыг хуримтлуулж буй хөрөнгийн хөрөнгө оруулалт, захиран зарцуулах түвшинг үндсэн түвшинд холбох боломжийг олгодог. хүн амын насны бүтэц нь янз бүрийн насны бүлэгт нийслэл, төрөлт, нас баралтын түвшин, гэх мэт -rykh загвар нь өөрөө параметрүүд болон бүтцээс хамааран тогтвортой байдлын нэлээн энгийн туршилт судалгааг зээл.

Дүрмүүдийг бусад шалгуурын дагуу бүлэглэж болно. Тухайлбал, мөнгөний бодлогын хэрэглүүрийн дагуу (валютын ханш, хүүгийн түвшин эсвэл мөнгөний агрегат) гадаад эдийн засгийн харилцаа (нээлттэй эсвэл хаалттай эдийн засаг) байгаа эсэхээс хамааран эдийн засгийн хувьсагчдын таамаглалыг дүрмийн тэгшитгэлд тусгасны дагуу ( хэтийн төлөв болон дасан зохицох дүрмүүд) саатлын хэмжээгээр (хоцрогдолтой эсвэл хоцрогдолгүй) гэх мэт.

Уг загвар нь пуужингийн нислэгийн хугацаа, гал дамжуулах саатлыг харгалзан дайсны пуужингийн довтолгооноос урьдчилан сэргийлэх систем, түүний цөмийн пуужингийн сансрын хяналтын системийн саатлыг харгалзан үзэх боломжийг олгодог. хүч. Энэ загварыг тэгшитгэлээр тодорхойлно

Тогтмол саатлын блок BPZ-2M нь аналог тооцоолох төхөөрөмжүүдийн саатлын аргумент бүхий функцуудыг хуулбарлах зориулалттай бөгөөд олон багтаамжтай цогц объектуудын тэгшитгэлийг ойролцоолсон үед бодисыг тээвэрлэх эсвэл энерги дамжуулахтай холбоотой үйл явцын цахилгаан загварчлалд ашиглаж болно. хоцролттой эхний ба хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэлтэй.

Шийдвэрлэх функцууд нь түвшний талаархи мэдээлэл нь одоогийн урсгалын үнэ цэнэтэй холбоотой шийдвэрийг хэрхэн сонгоход хүргэдэгийг тодорхойлдог үйл ажиллагааны шугамын томъёолол юм. Шийдлийн функц нь нэг буюу хоёр түвшний төлөв байдалд материалын урсгалын хамгийн энгийн урвалыг тодорхойлдог энгийн тэгшитгэлийн хэлбэрийг авч болно (жишээлбэл, тээврийн системийн гүйцэтгэлийг ихэвчлэн дамжин өнгөрөх барааны тоогоор хангалттай илэрхийлж болно. , энэ нь түвшин бөгөөд тогтмол - тээвэрлэлтийн хугацааны дундаж саатал). Нөгөө талаас, шийдвэрийн функц нь хэд хэдэн нэмэлт нөхцлийн өөрчлөлтийг харгалзан гүйцэтгэсэн урт бөгөөд нарийн тооцооллын гинжин хэлхээ байж болно.

Хүйтний улиралд Байгаль нуурт диатом байхгүй байх гол шалтгаан нь ямар хүчин зүйл болох нь одоогоор бүрэн тодорхойгүй байна. [Грачев нар, 1997]-д уулын мөсөн голуудын үйл ажиллагааны улмаас усны булингаржилт ихсэх нь шийдвэрлэх хүчин зүйл гэж үздэг бол [Гавшин нар, 1998]-д гол нь цахиурын агууламж буурах явдал юм. Байгаль нуурын ус зайлуулах сав дахь элэгдэл бүдгэрч . Загварын өөрчлөлт (2.6.7), эхний тэгшитгэл нь цахиурын концентрацийн динамикийг, хоёр дахь нь - түдгэлзүүлсэн бодисын тунадасжилтын динамикийг тодорхойлсон нь эдгээр хоёр хүчин зүйлийн аль нь гол хүчин зүйл болохыг тодорхойлох хандлагыг санал болгох боломжийг бидэнд олгодог. . Усны асар их массын улмаас Байгаль нуурын биота нуурын ус зайлуулах сав газрын ургамлын бүлгүүдийн хариу үйлдэлтэй харьцуулахад цаг уурын өөрчлөлтөд тодорхой хэмжээгээр саатах нь тодорхой байна. Тиймээс диатомын дохио нь палинологийн дохионоос хоцрох ёстой. Хэрэв хүйтэн үед диатомууд алга болох гол шалтгаан нь цахиурын концентраци буурсан бол дулааралтын хариу урвалын саатал нь хөргөлтийн саатлаас их байх ёстой. Хэрэв диатомыг дарах гол хүчин зүйл нь мөсөн голын улмаас булингартдаг бол хөргөлтийн хариу саатал нь дулаарлаас ойролцоогоор ижил эсвэл бүр их байх ёстой.

Уншигчийн анзаарч магадгүй сүүлчийн тэгшитгэл нь пропорциональ саатал бүхий хамгийн энгийн өөрийгөө тохируулах механизмын үйл ажиллагааг дүрсэлсэн болно. Хавсралт А-г харуулсан блок диаграммыг үзүүлэв

Энэ тохиолдолд PERRON97 процедур нь завсарлагааны огноог 1999 07 гэж тодорхойлдог, хэрэв завсарлагааны огноог сонгохдоо бүх боломжит таслах цэгүүдийг авч үзсэн нэгж язгуур шалгуурын ta=i-ийн хамгийн бага - статистикийн дагуу хийгдсэн бол. Үүний зэрэгцээ, ta= = - 3.341 нь эгзэгтэй түвшин - 5.59-ийн 5%-иас дээш байгаа бөгөөд нэгж язгуур таамаглалыг үгүйсгээгүй. Тэгшитгэлийн баруун талд орсон ялгааны хамгийн том саатал нь 10%-ийн ач холбогдлын түвшинтэй загварыг багасгах GS процедурыг хэрэгжүүлэх хүрээнд 12 байхаар сонгосон.

Тусгай курс

Хазайсан аргумент бүхий тэгшитгэлийн ангилал. Хоцролттой дифференциал тэгшитгэлийн үндсэн анхны асуудал.

Дараалсан интеграцийн арга. Тэгшитгэлийн шийдлийг хоцролттой жигд болгох зарчим.

Шахсан зураглалын зарчим. Хэд хэдэн бөөгнөрсөн сааталтай тэгшитгэлийн анхдагч үндсэн асуудлыг шийдвэрлэх оршихуй ба өвөрмөц байдлын теорем. Тархсан хоцролттой тэгшитгэлийн системийн анхны үндсэн асуудлыг шийдвэрлэх оршихуй ба өвөрмөц байдлын теорем.

Анхдагч үндсэн асуудлын шийдлүүдийн параметрүүд болон анхны функцуудаас тасралтгүй хамааралтай байх.

Сааталтай тэгшитгэлийн шийдлүүдийн онцлог шинж чанарууд. Шийдвэрийг үргэлжлүүлэх боломж. Эхлэх цэгийг хөдөлгө. Интервалыг наалдуулах хангалттай нөхцлийн тухай теоремууд. Шийдлийн орон нутгийн бус өргөтгөх боломжийн хангалттай нөхцлийн тухай теорем.

Шугаман саатал бүхий шугаман системийн ерөнхий шийдлийн томьёоны гарган авах.

Тогтвортой байдлын сааталтай тэгшитгэлийн судалгаа. D хуваалтын арга.

Тогтвортой байдлыг судлах функциональ аргыг ашиглах. Тогтвортой байдлын шаардлагатай ба хангалттай нөхцлийн тухай Н.Н.Красовскийн теоремууд. Функционалуудыг бүтээх жишээ.

Тогтвортой байдлын судалгаанд Ляпуновын функцын аргыг ашиглах. Хоцролттой тэгшитгэлийн шийдүүдийн тогтвортой байдал ба асимптотик тогтвортой байдлын тухай Разумихины теоремууд. Ляпуновын функцийг бүтээх жишээ.

Бүрэн ба бүрэн бус мэдээлэл бүхий системд саатал бүхий програмын хяналтыг бий болгох. V. I. Зубовын теоремууд. Хөрөнгийн хөрөнгө оруулалтыг салбараар хуваарилах асуудал.

Шугаман болон шугаман бус тохиолдлуудад оновчтой програмын хяналтыг бий болгох. Понтрягины хамгийн дээд зарчим.

Тогтмол сааталтай хяналтаар тэгшитгэлийн системийг тогтворжуулах. Хатуу биетийг нэг тэнхлэгт тогтворжуулахад хувьсах саатлын нөлөөлөл.

Уран зохиол

1. Жабко А.П., Зубов Н.В., Прасолов А.В.Үр нөлөө бүхий системийг судлах аргууд. Л., 1984. Деп. VINITI, № 2103-84.
2. Зубов В.И.Хожуу аргументтай шугаман суурин системийн онолын тухай // Изв. их дээд сургуулиуд. Сэр. математик. 1958. № 6.
3. Зубов В.И.Хяналтын онолын лекц. Москва: Наука, 1975.
4. Красовский Н.Н.Хөдөлгөөний тогтвортой байдлын онолын зарим асуудал. М., 1959 он
5. Малкин I. G.Хөдөлгөөний тогтвортой байдлын онол.
6. Мышкис A.D.Хожуу аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий онол // Успеки Мат. Шинжлэх ухаан. 1949. V.4, No5.
7. Прасолов А.В.Динамик үйл явцын аналитик болон тоон судалгаа. Санкт-Петербург: Санкт-Петербург улсын их сургуулийн хэвлэлийн газар, 1995 он.
8. Прасолов А.В.Эдийн засаг дахь динамикийн математик загварууд. Санкт-Петербург: Санкт-Петербургийн хэвлэлийн газар. Эдийн засаг, санхүүгийн их сургууль, 2000 он.
9. Чижова О.Н.Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн системийн тогтвортой байдал, шийдлийг бий болгох. Л., 1988. Деп. VINITI-д, No 8896-B88.
10. Чижова О.Н.Шугаман саатлыг харгалзан хатуу биеийг тогтворжуулах // Санкт-Петербургийн Улсын Их Сургуулийн Мэдээлэл. Сер.1. 1995. Дугаар 4, No22.
11. Чижова О.Н.Хувьсах саатал бүхий тэгшитгэлийн орон нутгийн бус өргөтгөлийн тухай // Механик ба хяналтын үйл явцын асуултууд. Асуудал. 18. - Санкт-Петербург: Санкт-Петербург улсын их сургуулийн хэвлэлийн газар, 2000 он.
12. Элсголц Л.Е., Норкин С.Б.Хазайлттай аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн онолын танилцуулга. М., 1971.

Махчин, олзны харилцан үйлчлэлийн судалгаанд цаг хугацааны хоцрогдолтой логистик тэгшитгэлийг ашиглаж болно.- Логистик тэгшитгэлийн дагуу тогтвортой хязгаарын мөчлөг.
Цаг хугацааны хоцрогдол байгаа нь махчин, олзны харилцааны энгийн системийг загварчлах өөр аргыг ашиглах боломжийг олгодог.

Энэ арга нь логистик тэгшитгэл дээр суурилдаг (6.9-р хэсэг):

Хүснэгт 10.1. Популяцийн динамикийн үндсэн ижил төстэй байдал нь нэг талаас Лотка-Вольтерра загварт (мөн ерөнхийдөө махчин-олзны төрлийн загварт), нөгөө талаас цаг хугацааны хоцрогдолтой логистик загварт олж авсан. Аль ч тохиолдолд олзны элбэг дэлбэг байдлын максимум (болон минимум) дараа махчин амьтдын элбэг дэлбэг байдлын максимум (болон минимум) бүхий дөрвөн үе шаттай мөчлөг байдаг.

Энэ тэгшитгэл дэх махчин амьтдын популяцийн өсөлтийн хурд нь анхны элбэг дэлбэг байдал (C) ба тодорхой өсөлтийн хурдаас хамаарна, r-(K-C) I Kf энд K нь махчин амьтдын популяцийн ханалтын хязгаар юм. Харьцангуй хурд нь эргээд хүрээлэн буй орчныг дутуу ашиглах зэргээс (C-C) хамаардаг бөгөөд энэ нь махчин амьтдын популяцийн хувьд махчин амьтны хэрэгцээ нь олзны олдоцоос хэтэрсэн зэрэг гэж үзэж болно. Гэсэн хэдий ч олз олдоц, улмаар махчин амьтдын популяцийн харьцангуй өсөлтийн хурд нь өмнөх тодорхой хугацааны махчин амьтдын популяцийн нягтралыг илэрхийлдэг (6.8.4-р хэсэг). Өөрөөр хэлбэл, махчин амьтдын өөрийн нягтралд хариу үйлдэл үзүүлэхэд цаг хугацааны хоцрогдол үүсч болно.
dC`l (Мэдэх-Iag\
- - G. Gnow j.
Хэрэв энэ саатал бага эсвэл махчин амьтан хэт удаан үрждэг бол (өөрөөр хэлбэл r-ийн утга бага бол) ийм популяцийн динамик нь энгийн логистикийн тэгшитгэлээр тодорхойлсоноос эрс ялгаатай байх болно (5-р сар, 1981a-г үзнэ үү). Хой хоцрох хугацаа, нөхөн үржихүйн хурдны дунд эсвэл өндөр утгын үед популяци тогтвортой хязгаарын мөчлөгтэй хэлбэлздэг. Нэмж дурдахад, хэрэв эдгээр тогтвортой хязгаарын мөчлөгүүд нь цаг хугацааны хоцрогдолтой логистикийн тэгшитгэлийн дагуу явагддаг бол тэдгээрийн үргэлжлэх хугацаа (эсвэл "хугацаа") нь үргэлжлэх хугацаанаас ойролцоогоор дөрөв дахин их байна.

тэдний тооны хэлбэлзлийн механизмыг ойлгохын тулд хохирогчид.
Байгалийн популяциас олж авсан хэд хэдэн жишээнүүдэд махчин, олзны тоо тогтмол хэлбэлздэг. Тэднийг сектээр хэлэлцдэг. 15.4; Зөвхөн нэг жишээ энд хэрэг болно (Keith, 1983). Туулайн популяцийн хэлбэлзлийн талаар экологичид манай зууны 20-аад оноос хойш хэлэлцэж эхэлсэн бөгөөд анчид үүнийг 100 жилийн өмнө илрүүлжээ. Жишээлбэл, Хойд Америкийн ойд байдаг америк туулай (Lepus americanus) нь "10 жилийн популяцийн мөчлөгтэй" (хэдийгээр түүний үргэлжлэх хугацаа 8-11 жил байдаг; Зураг Б). Энэ бүс нутгийн өвсөн тэжээлт амьтдын дунд цагаан туулай зонхилдог; олон тооны бут сөөг, жижиг модны найлзууруудын үзүүрээр хооллодог. Түүний элбэг дэлбэг байдлын хэлбэлзэл нь шилүүс (Lynx canadensis) зэрэг олон тооны махчин амьтдын элбэг дэлбэг байдлын хэлбэлзэлтэй тохирч байна. 10 жилийн элбэг дэлбэг мөчлөг нь бусад өвсөн тэжээлт амьтдын онцлог шинж юм, тухайлбал хүзүүвчтэй гахай, Америкийн зэрлэг зэрлэг зэрлэг өвслөг . Туулайн популяцид элбэг дэлбэг байдал 10-30 дахин, таатай нөхцөлд 100 дахин өөрчлөгддөг. Эдгээр хэлбэлзэл нь Аляскаас Ньюфаундленд хүртэлх өргөн уудам газар нутагт нэгэн зэрэг тохиолдох үед онцгой гайхалтай юм.
Цагаан туулайн бууралт нь үржил шим бага, өсвөр насныхны оршин тогтнох чадвар бага, жингийн алдагдал, өсөлтийн хурд багатай; Эдгээр бүх үзэгдлийг туршилтаар дахин гаргаж, хоол тэжээлийн нөхцлийг улам дордуулж болно. Нэмж дурдахад, туулай элбэг дэлбэг байх үед хүнсний хүртээмж буурч байгааг шууд ажиглалт баталж байна. Хэдийгээр илүү чухал зүйл бол ургамал нь хорт бодис ихтэй найлзуурууд үүсэх замаар хүчтэй идэхэд хариу үйлдэл үзүүлдэг бөгөөд энэ нь тэднийг туулайнд иддэггүй болгодог. Хүчтэй хазуулсны дараа ургамал 2-3 жилийн турш ийм байдлаар хамгаалагдсан байх нь онцгой чухал юм. Энэ нь туулайн тоо толгой буурч эхлэх ба хүнсний нөөцийг нөхөн сэргээх хооронд ойролцоогоор 2.5 жил хоцроход хүргэдэг. Хоёр жил хагас - нэг мөчлөгийн үргэлжлэх хугацааны дөрөвний нэг нь цаг хугацааны хоцрогдолтой байдаг бөгөөд энэ нь энгийн загваруудын таамаглалтай яг таарч байна. Тиймээс туулайн популяци ба ургамлын популяци хоорондын харилцан үйлчлэл нь туулайн тоог цөөрүүлж, цаг хугацааны хоцрогдолтой тохиолддог бөгөөд энэ нь мөчлөгийн хэлбэлзлийг үүсгэдэг.
Нөгөө талаас махчин амьтад туулайн тооны хэлбэлзлийг дагаж мөрддөг бөгөөд үүнийг үүсгэдэггүй. Гэсэн хэдий ч энэ хэлбэлзэл нь туулайн тоо буурах үеийн махчин амьтдын тоо, олзны тоонд харьцуулсан харьцаа өндөр, түүнчлэн хамгийн бага тооноос хойшхи хугацаанд тэдний харьцаа бага байгаагаас шалтгаалан илүү тод ажиглагдаж магадгүй юм. туулай, махчин амьтдаас түрүүлж тоогоо сэргээх үед (Зураг 10.5). Нэмж дурдахад, шилүүс, туулайны тоо өндөр харьцаатай бол махчин амьтан өндөр уулын ан агнуурыг их хэмжээгээр, бага харьцаатай бол бага хэмжээгээр иддэг. Энэ нь эдгээр жижиг өвсөн тэжээлт амьтдын тоо толгойн хэлбэлзлийн шалтгаан болж байгаа бололтой (Зураг 10.5). Ийнхүү туулай, ургамлын харилцан үйлчлэл нь туулайн элбэг дэлбэг байдлын хэлбэлзлийг үүсгэдэг, махчин амьтад элбэг дэлбэг байдлын хэлбэлзлийг давтаж, өвсөн тэжээлт шувуудын популяцийн мөчлөг нь махчин амьтдын даралтын өөрчлөлтөөс үүдэлтэй байдаг. Мэдээжийн хэрэг, энгийн загварууд нь байгалийн нөхцөлд хүн амын хэлбэлзлийн механизмыг ойлгоход тустай боловч эдгээр загварууд нь эдгээр хэлбэлзэл үүсэхийг бүрэн тайлбарладаггүй.

Нэг алхам ухрахад та өөрийгөө олж, дараа нь хөдөлж, өөрийгөө алддаг.

В.Эко.Фуко дүүжин

Математик загваруудын жишээ. Үндсэн ойлголтууд

Урьдчилсан нэр томъёоны тайлбар. Энэ бүлэгт бид гэж нэрлэгддэг хэрэглээнд суурилсан загваруудад анхаарлаа хандуулах болно хоцрогдсон дифференциал тэгшитгэл.Энэ бол хазайх коэффициент 1-тэй тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол юм. Энэ ангийн синонимууд нь функциональ дифференциал тэгшитгэл эсвэл дифференциал ялгаа тэгшитгэл юм. Гэсэн хэдий ч бид "хоцрогдсон тэгшитгэл" эсвэл "хойшлогдсон тэгшитгэл" гэсэн нэр томъёог ашиглахыг илүүд үздэг.

Хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тоон аргын шинжилгээнд "дифференциал-ялгаатай тэгшитгэл" гэсэн нэр томъёог өөр нэг контекст дээр тааралдсан хэвээр байх бөгөөд энэ бүлгийн агуулгатай ямар ч холбоогүй болно.

Сааталтай экологийн загварын жишээ. В.Вольтеррагийн номонд зөвхөн махчин, идэш тэжээлийн популяцийн одоогийн тоо төдийгүй популяцийн хөгжлийн өмнөх түүхийг харгалзан удамшлын загваруудын дараахь ангиллыг өгсөн болно.

Хазайсан аргумент бүхий тэгшитгэлийн ерөнхий онолыг дараахь бүтээлүүдэд үзүүлэв. Беллман Р., Күүк К.Дифференциал-дифференциал тэгшитгэл. М.: Мир, 1967; Мышкис A.D.Хоцрогдсон аргументтай шугаман дифференциал тэгшитгэлүүд. Москва: Наука, 1972; Хэйл Ж.Функциональ-дифференциал тэгшитгэлийн онол. Москва: Мир, 1984; Элсголц Л. Е., Норкин С.Б.Хазайлттай аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн онолын танилцуулга. М.; Шинжлэх ухаан, 1971.

Систем (7.1) нь Вольтерра төрлийн интеграл-дифференциал загваруудын ангилалд хамаарна. K ( , K 2 -зарим салшгүй цөм.

Нэмж дурдахад "махчин махчин" системийн бусад өөрчлөлтүүдийг уран зохиолоос олж болно.

Албан ёсоор (7.2) системд (7.1) системээс ялгаатай нь салшгүй нэр томъёо байдаггүй боловч махчин амьтдын биомассын өсөлт нь тухайн агшинд биш, харин цаг хугацааны агшинд байгаа зүйлийн тооноос хамаардаг. т - Т(доор Тмахчин амьтдын нэг үеийн нас, эм махчин амьтдын насанд хүрсэн нас гэх мэтийг ихэвчлэн ойлгодог. загваруудын утга учираас хамаарч). Махчин-олзны загваруудыг мөн Хэсэг 7.5-аас үзнэ үү.

Систем (7.1) ба (7.2) нь үндсэндээ өөр шинж чанартай юм шиг санагдаж байна. Гэсэн хэдий ч (7.1) систем дэх цөмийн тусгай хэлбэрийн хувьд, тухайлбал, 8 функцтэй /?,(0) - t) = 8(0 - 7^), K 2 (d - t) = 8(0 - Т 2) (ерөнхий функцууд нь дараах байдлаар тодорхойлогддог тул бид 8 функцийн талаар тодорхой нөхцөлтэйгээр ярих ёстой. шугаманфункциональ, мөн багасгасан систем нь шугаман бус), систем (7.1) систем рүү шилждэг

Систем (7.3) нь дараах байдлаар бүтэцлэгдсэн нь тодорхой байна: хүн амын тооны өөрчлөлт нь зөвхөн одоогийн хэмжээнээс гадна өмнөх үеийнхээс хамаарна. Нөгөө талаас (7.3) систем нь интеграл-дифференциал тэгшитгэлийн (7.1) тодорхой тохиолдол юм.

Сааталтай шугаман тэгшитгэл (хоцрогдсон төрөл). Тогтмол коэффициент бүхий хоцрогдсон төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм

хаана a, b, t -байнгын; T> 0;/ нь К дээр өгөгдсөн (тасралтгүй) функц юм. Ерөнхий байдлыг алдалгүйгээр (7.4) системд бид тавьж болно. T= 1.

Хэрэв функц өгөгдсөн бол ойлгомжтой x(t) y t e[-G; 0], дараа нь тодорхойлох боломжтой x(t)цагт тд ба тэгшитгэлийн шийдэл байх (7.4) t>-ийн хувьд 0. Хэрвээ f(?) t = цэг дээр дериватив байна 0, болонφ(0) = ato дериватив 4"(φ|,_ 0 хоёр талын байна.

Баталгаа.Функцийг тодорхойлно уу x(t) =φ(?) дээр |-7"; 0]. Дараа нь (7.4) уусмалыг хэлбэрээр бичиж болно.

(тогтмолуудын өөрчлөлтийн томъёог хэрэглэнэ). Функцээс хойш x(t) дээр мэдэгдэж байна. Энэ үйл явцыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлж болно. Харин эсрэгээр, хэрэв x(?) функц нь (7.5)-ын томъёог хангавал). гэсэн асуултыг олж мэдье тогтвортой байдалэнэ шийдвэр. (7.8) тэгшитгэлд нэгжийн шийдээс бага зэргийн хазайлтыг орлуулах z(t) = 1 - y(t),бид авдаг

Энэ тэгшитгэлийг уран зохиолд судалсан бөгөөд энэ нь үечилсэн шийдлийн талаархи хэд хэдэн теоремуудыг хангаж байгааг харуулсан. a = tt/2 үед Hopf хуваагдал үүсдэг - хязгаарын мөчлөг нь тогтмол цэгээс үүсдэг. Энэ дүгнэлтийг (7.9) тэгшитгэлийн шугаман хэсгийн шинжилгээний үр дүнгээс гаргав. Шугаманчлагдсан Хатчинсоны тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Шугаман тэгшитгэлийн тогтвортой байдлын судалгаа (7.8) нь суурин төлөвийн тогтвортой байдлын судалгаа гэдгийг бид тэмдэглэж байна. y(t)= 0. Үүний үр дүнд A, = a > 0 бол хөдөлгөөнгүй байдал тогтворгүй бөгөөд Hopf хуваагдал үүсэхгүй.

Цаашилбал, Ж.Хейл (7.9) тэгшитгэл нь a > n/2 бүрийн хувьд тэг биш үечилсэн шийдтэй болохыг харуулж байна. Үүнээс гадна ямар ч үетэй үечилсэн шийдэл (7.9) байгаа тухай теорем нотлох баримтгүй байдаг. p > 4.