Оршил. Математик нь бодит байдлын тоон харилцаа, орон зайн хэлбэрийн шинжлэх ухаан болохын хувьд бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийг судалдаг. Математик бол бодит ертөнцийн орон зайн хэлбэр, тоон харьцааны шинжлэх ухаан болох

Математик бол бодит ертөнцийн тоон харилцаа, орон зайн хэлбэрүүдийн шинжлэх ухаан юм. Шинжлэх ухаан, технологийн эрэлт хэрэгцээтэй нягт уялдаатай математикийн судалдаг тоон харилцаа, орон зайн хэлбэрийн нөөц байнга өргөжиж байгаа тул дээрх тодорхойлолтыг хамгийн ерөнхий утгаар нь ойлгох хэрэгтэй.

Математикийн хичээлийн зорилго нь ерөнхий үзэл бодол, сэтгэлгээний соёлыг нэмэгдүүлэх, шинжлэх ухааны ертөнцийг үзэх үзлийг төлөвшүүлэх явдал юм.

Математикийн бие даасан байр суурийг тусгай шинжлэх ухаан гэж ойлгох нь нэлээд их хэмжээний баримт материалыг хуримтлуулсны дараа боломжтой болсон бөгөөд анх удаа МЭӨ 6-5-р зууны үед Эртний Грекд үүссэн. Энэ бол анхан шатны математикийн үе эхэлсэн юм.

Энэ хугацаанд математикийн судалгаа нь эдийн засгийн амьдралын хамгийн энгийн шаардлагаас үүдэлтэй үндсэн ойлголтуудын нэлээд хязгаарлагдмал нөөцийг авч үзсэн. Үүний зэрэгцээ математикийг шинжлэх ухааны хувьд чанарын хувьд сайжруулах ажил аль хэдийн явагдаж байна.

Орчин үеийн математикийг ихэвчлэн том хоттой харьцуулдаг. Энэ бол маш сайн харьцуулалт юм, учир нь математикийн хувьд том хотын нэгэн адил өсөлт, сайжруулалтын үйл явц тасралтгүй явагддаг. Математикийн шинэ салбарууд бий болж, шинэ хороолол, барилга байгууламж барих гэх мэт гоёмсог, гүнзгий шинэ онолууд баригдаж байна. Гэхдээ математикийн дэвшил зөвхөн шинээр баригдсанаар хотын өнгө төрхийг өөрчилснөөр хязгаарлагдахгүй. Бид хуучнаа өөрчлөх ёстой. Хуучин онолуудыг шинэ, илүү ерөнхий онолуудад оруулсан болно; хуучин барилгуудын суурийг бэхжүүлэх шаардлагатай байна. Математикийн хотын алслагдсан хорооллуудын хооронд холбоо тогтоохын тулд шинэ гудамжуудыг тавих ёстой. Гэхдээ энэ нь хангалтгүй - архитектурын дизайн нь ихээхэн хүчин чармайлт шаарддаг, учир нь математикийн янз бүрийн чиглэлүүдийн олон талт байдал нь шинжлэх ухааны ерөнхий сэтгэгдэлийг сүйтгээд зогсохгүй шинжлэх ухааныг бүхэлд нь ойлгоход саад болж, түүний янз бүрийн хэсгүүдийн хоорондын холбоог бий болгодог.

Өөр нэг харьцуулалтыг ихэвчлэн ашигладаг: математикийг том салаалсан модтой зүйрлэдэг бөгөөд энэ нь системтэйгээр шинэ найлзуурыг өгдөг. Модны мөчир бүр нь математикийн нэг буюу өөр салбар юм. Салбаруудын тоо өөрчлөгдөөгүй, шинэ мөчрүүд ургаж, хамтдаа ургаж, эхлээд тусдаа ургаж, зарим мөчрүүд нь хатаж, тэжээлийн шүүсгүй болдог. Хоёр харьцуулалт хоёулаа амжилттай бөгөөд бодит байдлыг маш сайн илэрхийлж байна.

Математикийн онолыг бий болгоход гоо сайхны эрэлт хэрэгцээ чухал үүрэг гүйцэтгэдэг нь эргэлзээгүй. Гоо сайхны тухай ойлголт нь маш субъектив бөгөөд энэ талаар нэлээд муухай санаанууд ихэвчлэн байдаг нь ойлгомжтой. Гэсэн хэдий ч математикчид "гоо үзэсгэлэн" гэсэн ойлголтыг санал нэгтэй илэрхийлж байгааг гайхах хэрэгтэй: хэрэв цөөн тооны нөхцөл байдлаас олон төрлийн объекттой холбоотой ерөнхий дүгнэлтийг олж авах боломжтой бол үр дүн нь үзэсгэлэнтэй гэж тооцогддог. Хэрэв математикийн чухал баримтыг энгийн бөгөөд богино үндэслэлээр нотлох боломжтой бол математикийн гарал үүслийг үзэсгэлэнтэй гэж үздэг. Математикчийн төлөвшил, авьяас чадвар нь түүний гоо үзэсгэлэнгийн мэдрэмж хэр хөгжсөнөөс л тодорхойлогддог. Гоо зүйн хувьд бүрэн дүүрэн, математикийн хувьд төгс үр дүнг ойлгох, санах, ашиглахад хялбар байдаг; бусад мэдлэгийн салбартай тэдний харилцааг тодорхойлоход илүү хялбар байдаг.

Манай цаг үед математик нь судалгааны олон чиглэл, асар олон тооны үр дүн, арга барилтай шинжлэх ухааны салбар болжээ. Математик одоо маш агуу болсон тул нэг хүн бүх талаар нь багтаах боломжгүй, түүнд бүх нийтийн мэргэжилтэн байх боломжгүй юм. Түүний салангид чиглэлүүдийн хоорондын холбоо тасарсан нь энэ шинжлэх ухааны хурдацтай хөгжлийн сөрөг үр дагавар юм. Гэсэн хэдий ч математикийн бүх салбаруудын хөгжлийн үндэс нь хөгжлийн гарал үүсэл, математикийн модны үндэс гэсэн нийтлэг зүйл юм.

Евклидийн геометр бол анхны байгалийн шинжлэх ухааны онол юм

• МЭӨ 3-р зуунд "Эхлэл" хэмээх орос орчуулгад Александрид ижил нэртэй Евклидийн ном гарч ирэв. "Эхлэл" гэсэн латин нэрнээс "элементар геометр" гэсэн нэр томъёо гарч ирэв. Хэдийгээр Евклидийн өмнөх хүмүүсийн зохиолууд бидэнд хүрч ирээгүй ч бид Евклидийн элементүүдээс эдгээр зохиолуудын талаар зарим нэг дүгнэлтийг гаргаж чадна. "Эхлэл" хэсэгт бусад хэсгүүдтэй логикийн хувьд маш бага холбоотой хэсгүүд байдаг. Тэдний гадаад төрхийг зөвхөн уламжлалын дагуу нэвтрүүлж, Евклидийн өмнөх хүмүүсийн "Эхлэл" -ийг хуулбарласантай холбон тайлбарладаг.

  Евклидийн элементүүд нь 13 номноос бүрдэнэ. 1-6-р номууд нь планиметрийн сэдэвтэй, 7-10-р номууд нь луужин болон шулуун шугамын тусламжтайгаар барьж болох арифметик, харьцуулшгүй хэмжигдэхүүнүүдийн тухай юм. 11-ээс 13-р номууд нь стереометрийн асуудалд зориулагдсан.

  "Эхлэл" нь 23 тодорхойлолт, 10 аксиомын танилцуулгаар эхэлдэг. Эхний таван аксиом нь "ерөнхий ойлголт", үлдсэнийг нь "постулат" гэж нэрлэдэг. Эхний хоёр постулат нь хамгийн тохиромжтой захирагчийн тусламжтайгаар үйлдлүүдийг тодорхойлдог, гурав дахь нь - хамгийн тохиромжтой луужингийн тусламжтайгаар. Дөрөвдүгээрт, "бүх тэгш өнцөгтүүд хоорондоо тэнцүү" нь бусад аксиомуудаас дүгнэлт хийх боломжтой тул илүүц юм. Сүүлчийн тав дахь постулат нь: "Хэрэв шулуун шугам нь хоёр шулуун дээр унаж, хоёроос бага шулуун шугамын нийлбэрээр нэг талт дотоод өнцгийг үүсгэдэг бол эдгээр хоёр шулууны хязгааргүй үргэлжлэлээр тэд огтлолцоно. өнцөг нь хоёр шулуунаас бага байх тал."

  Евклидийн таван "ерөнхий ойлголт" нь урт, өнцөг, талбай, эзэлхүүнийг хэмжих зарчим юм: "тэнцүү нь бие биетэйгээ тэнцүү", "тэнцүү нь тэнцүү бол нийлбэрүүд хоорондоо тэнцүү", "хэрэв тэнцүүг тэнцүүнээс хасвал үлдэгдэл нь хоорондоо тэнцүү байна", "бие биетэйгээ нийлэх нь хоорондоо тэнцүү", "бүхэл нь хэсгээс их байна".

  Дараа нь Евклидийн геометрийг шүүмжилсэн. Евклидийг гурван шалтгаанаар шүүмжилсэн: тэрээр зөвхөн луужин, шулуун шугам ашиглан барьж болох геометрийн хэмжигдэхүүнүүдийг л авч үзсэн; геометр, арифметикийг задалж, геометр хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд аль хэдийн нотолсон зүйлээ бүхэл тоонуудын хувьд нотолсон, эцэст нь Евклидийн аксиомуудын төлөө. Евклидийн хамгийн хэцүү постулат болох тав дахь постулатыг хамгийн хүчтэй шүүмжилсэн. Олон хүмүүс үүнийг илүүц гэж үзсэн бөгөөд үүнийг бусад аксиомуудаас гаргаж болно, бас хийх ёстой гэж үздэг. Бусад нь үүнийг үүнтэй дүйцэхүйц энгийн бөгөөд илүү ойлгомжтой байдлаар солих ёстой гэж үздэг: "Шулуун шугамын гаднах цэгээр дамжуулан тэдний хавтгайд энэ шулуун шугамыг огтолдоггүй нэгээс илүү шулуун шугам зурж болохгүй."

  Геометр ба арифметикийн ялгааг шүүмжилсэн нь тооны тухай ойлголтыг бодит тоо болгон өргөжүүлэхэд хүргэсэн. Тав дахь постулатын талаархи маргаан нь 19-р зууны эхээр Н.И.Лобачевский, Ж.Боляй, К.Ф.Гаусс нар тавдугаар постулатаас бусад Евклидийн геометрийн бүх аксиомууд биелсэн шинэ геометрийг барьж байгуулахад хүргэсэн. Үүнийг эсрэг заалтаар сольсон: "Шусны гаднах цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайд өгөгдсөнтэй огтлолцохгүй нэгээс олон шулуун зурж болно." Энэ геометр нь Евклидийн геометртэй адил тууштай байв.

  Евклидийн хавтгай дээрх Лобачевскийн планиметрийн загварыг 1882 онд Францын математикч Анри Пуанкаре бүтээжээ.

  Евклидийн хавтгай дээр хэвтээ шугам зур. Энэ шугамыг абсолют (x) гэж нэрлэдэг. Абсолютаас дээш байрлах Евклидийн хавтгайн цэгүүд нь Лобачевскийн хавтгайн цэгүүд юм. Лобачевскийн онгоц бол үнэмлэхүй хэмжээнээс дээгүүр байрлах нээлттэй хагас хавтгай юм. Пуанкаре загварын Евклидийн бус сегментүүд нь абсолют буюу абсолют (AB, CD)-д перпендикуляр шугаман хэсгүүдэд төвлөрсөн тойргийн нумууд юм. Лобачевскийн хавтгай дээрх зураг нь үнэмлэхүй (F) дээр байрлах нээлттэй хагас хавтгайн дүрс юм. Евклидийн бус хөдөлгөөн гэдэг нь тэнхлэгүүд нь абсолюттай перпендикуляр байдаг абсолют ба тэнхлэгийн тэгш хэм дээр төвлөрсөн хязгаарлагдмал тооны урвуу эргэлтийн бүрдэл юм. Нэг нь Евклидийн бус хөдөлгөөнөөр нөгөө рүү шилжиж чадвал Евклидийн бус хоёр сегмент тэнцүү байна. Эдгээр нь Лобачевскийн планиметрийн аксиоматикийн үндсэн ойлголтууд юм.

  Лобачевскийн планиметрийн бүх аксиомууд нийцтэй байна. "Евклидийн бус шугам гэдэг нь туйлын дээр төгсгөлтэй хагас тойрог, эсвэл абсолют дээр гарал үүсэлтэй, абсолют дээр перпендикуляр байдаг цацраг юм." Ийнхүү Лобачевскийн параллелизмын аксиомын нотолгоо нь зөвхөн зарим а шулуун ба энэ шулуун дээр хэвтээгүй А цэгт төдийгүй ямар ч а шулуун ба түүн дээр хэвтээгүй ямар ч А цэгт хамаарна.

  Лобачевскийн геометрийн цаана бусад тууштай геометрүүд бий болсон: Евклидээс тусгаарлагдсан проекцийн геометр, олон хэмжээст евклидийн геометр хөгжиж, Риманы геометр (уртыг хэмжих дурын хуультай орон зайн ерөнхий онол) гэх мэт. Гурван хэмжээст дүрсийн шинжлэх ухаанаас. Евклидийн орон зай, геометр нь 40-50 жилийн турш янз бүрийн онолын багц болж хувирсан нь зөвхөн түүний өвөг дээдэс болох Евклидийн геометртэй төстэй юм.

  Орчин үеийн математик үүсэх үндсэн үе шатууд. Орчин үеийн математикийн бүтэц

• Академич А.Н.Колмогоров математикийн хөгжлийн дөрвөн үеийг тодорхойлсон Колмогоров А.Н. - Математик, Математик нэвтэрхий толь бичиг, Москва, Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг, 1988: математикийн төрөлт, анхан шатны математик, хувьсагчийн математик, орчин үеийн математик.

  Анхан шатны математикийн хөгжлийн явцад тооны онол аажмаар арифметикээс гарч ирдэг. Алгебрыг шууд утгаар тооцоолдог. Эртний Грекчүүдийн бүтээсэн анхан шатны геометрийн танилцуулгын систем - Евклидийн геометр нь хоёр мянган жилийн өмнө математикийн онолын дедуктив барилгын загвар болжээ.

  17-р зуунд байгалийн шинжлэх ухаан, технологийн эрэлт хэрэгцээ нь хөдөлгөөн, хэмжигдэхүүнийг өөрчлөх үйл явц, геометрийн дүрсийг хувиргах математикийн судалгаа хийх аргыг бий болгоход хүргэсэн. Аналитик геометрт хувьсагчийг ашиглах, дифференциал ба интеграл тооцоолол бий болсноор хувьсагчдын математикийн үе эхэлдэг. 17-р зууны агуу нээлтүүд бол Ньютон, Лейбниц нарын танилцуулсан хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүний тухай ойлголт, хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийн (математик анализ) шинжилгээний үндэс суурийг бий болгосон явдал юм.

  Функцийн тухай ойлголт хамгийн түрүүнд гарч ирдэг. Функц нь судалгааны гол сэдэв болдог. Функцийг судлах нь математик шинжилгээний үндсэн ойлголтуудад хүргэдэг: хязгаар, дериватив, дифференциал, интеграл.

  Координатын аргын тухай Р.Декартийн гайхалтай санаа гарч ирсэн нь ч энэ цаг үеийнх юм. Аналитик геометрийг бий болгосон бөгөөд энэ нь геометрийн объектуудыг алгебр, шинжилгээний аргаар судлах боломжийг олгодог. Нөгөөтэйгүүр, координатын арга нь алгебрийн болон аналитик баримтуудыг геометрээр тайлбарлах боломжийг нээж өгсөн.

  Математикийн цаашдын хөгжил нь 19-р зууны эхэн үед тоон харьцаа, орон зайн хэлбэрүүдийн боломжит хэлбэрийг нэлээд ерөнхий үүднээс судлах асуудлыг боловсруулахад хүргэсэн.

  Математик болон байгалийн шинжлэх ухааны хоорондын холбоо улам бүр төвөгтэй болж байна. Байгалийн шинжлэх ухаан, технологийн хэрэгцээ шаардлагаас гадна математикийн дотоод хэрэгцээний үр дүнд шинэ онолууд бий болж, үүсдэг. Ийм онолын гайхалтай жишээ бол Н.И.Лобачевскийн төсөөллийн геометр юм. 19-20-р зууны математикийн хөгжил нь түүнийг орчин үеийн математикийн үетэй холбох боломжийг бидэнд олгодог. Математикийн хөгжил, шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарыг математикчлах, практик үйл ажиллагааны олон салбарт математик аргууд нэвтэрч, компьютерийн технологийн дэвшил нь математикийн шинэ салбарууд, тухайлбал үйл ажиллагааны судалгаа, тоглоомын онол, математик эдийн засаг болон бусад.

  Математикийн судалгааны гол аргууд бол математикийн нотолгоо - нарийн логик үндэслэл юм. Математик сэтгэлгээ нь зөвхөн логик үндэслэлээр хязгаарлагдахгүй. Математикийн зөн совин нь асуудлыг зөв боловсруулах, түүнийг шийдвэрлэх аргын сонголтыг үнэлэхэд зайлшгүй шаардлагатай.

  Математикийн хувьд объектын математик загварыг судалдаг. Ижил математик загвар нь бие биенээсээ хол байгаа бодит үзэгдлийн шинж чанарыг тодорхойлж чадна. Тиймээс ижил дифференциал тэгшитгэл нь хүн амын өсөлт, цацраг идэвхт бодисын задралын үйл явцыг тодорхойлж чадна. Математикчийн хувьд авч үзэж буй объектуудын шинж чанар биш, харин тэдгээрийн хоорондын харилцаа чухал байдаг.

  Математикт дедукц ба индукц гэсэн хоёр төрлийн үндэслэл байдаг.

  Индукц гэдэг нь тодорхой байр суурин дээр үндэслэн ерөнхий дүгнэлт гаргах судалгааны арга юм.

  Дедукц гэдэг нь ерөнхий үндэслэлээс тодорхой шинж чанартай дүгнэлт гаргах үндэслэлийн арга юм.

  Математик нь байгалийн ухаан, инженерчлэл, хүмүүнлэгийн судалгаанд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Математик нь мэдлэгийн янз бүрийн салбаруудад нэвтэрч буй шалтгаан нь бусад шинжлэх ухааны санал болгож буй ерөнхий бус, бүрхэг загваруудаас ялгаатай нь хүрээлэн буй бодит байдлыг судлах маш тодорхой загваруудыг санал болгодогт оршино. Орчин үеийн математик, логик болон тооцоолох төхөөрөмжгүйгээр хүний ​​үйл ажиллагааны янз бүрийн салбарт ахиц дэвшил гарах боломжгүй юм.

  Математик бол хэрэглээний асуудлыг шийдвэрлэх хүчирхэг хэрэгсэл, шинжлэх ухааны бүх нийтийн хэл төдийгүй нийтлэг соёлын элемент юм.

  Математик сэтгэлгээний үндсэн шинж чанарууд

• Энэ асуудалд А.Я.Хинчиний өгсөн математик сэтгэлгээний шинж чанар, эс тэгвээс түүний түүхэн өвөрмөц хэлбэр болох математик сэтгэлгээний хэв маяг онцгой анхаарал татаж байна. Математик сэтгэлгээний хэв маягийн мөн чанарыг илчлэхдээ тэрээр энэ хэв маягийг бусад шинжлэх ухааны сэтгэлгээний хэв маягаас мэдэгдэхүйц ялгаж буй бүх цаг үеийн нийтлэг дөрвөн шинж чанарыг онцлон тэмдэглэв.

  Нэгдүгээрт, математикч нь хязгаарт хүрсэн логик схемийн давамгайллаар тодорхойлогддог. Математикч энэ бүдүүвчийг үл тоомсорлож, түр зуур ч болов шинжлэх ухааны үүднээс сэтгэх чадвараа бүрэн алддаг. Математик сэтгэлгээний хэв маягийн энэхүү өвөрмөц онцлог нь өөрөө маш их үнэ цэнэтэй юм. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь бодлын урсгалын зөв байдлыг хянах боломжийг дээд зэргээр хангаж, алдаанаас хамгаална; нөгөө талаар сэтгэгчийг дүн шинжилгээ хийх явцад байгаа боломжуудын нийлбэрийг нүдэн дээр нь байлгахыг албадаж, нэгийг нь ч алдахгүйгээр тус бүрийг нь анхаарч үзэхийг үүрэг болгодог (ийм орхигдол нь нэлээд боломжтой бөгөөд үнэн хэрэгтээ ихэвчлэн ажиглагддаг. бусад сэтгэлгээний хэв маяг).

  Хоёрдугаарт, товчлол, өөрөөр хэлбэл. өгөгдсөн зорилгод хүрэх хамгийн богино логик замыг үргэлж олох гэсэн ухамсартай хүсэл, аргументыг төгс төгөлдөр болгоход зайлшгүй шаардлагатай бүх зүйлийг өршөөлгүй үгүйсгэх. Сайн хэв маягтай математикийн эссэ, ямар ч "ус"-ыг тэвчихгүй, гоёл чимэглэлгүй, шуугиан дэгдээх логик хурцадмал байдлыг сулруулж, анхаарал сарниулах; Хэт харамч, сэтгэлгээний хатуу чанга байдал, түүний илэрхийлэл нь математик сэтгэлгээний салшгүй шинж чанар юм. Энэ шинж чанар нь зөвхөн математикийн хувьд төдийгүй бусад ноцтой үндэслэлүүдийн хувьд маш их ач холбогдолтой юм. Лаконизм, хэт их зүйлийг зөвшөөрөхгүй байх хүсэл эрмэлзэл нь сэтгэгч болон түүний уншигч, сонсогчдод хоёуланд нь хоёрдогч санаа бодолд сатааралгүйгээр, үндэслэлийн үндсэн шугамтай шууд холбоо тасрахгүйгээр тухайн бодлын галт тэргэнд бүрэн анхаарлаа төвлөрүүлэхэд тусалдаг.

  Шинжлэх ухааны нэрт зүтгэлтнүүд, дүрмээр бол мэдлэгийн бүх салбарт, тэр ч байтугай тэдний бодол санаа нь цоо шинэ санааг бий болгож, дэвшүүлж байсан ч гэсэн товчхон сэтгэж, илэрхийлдэг. Жишээлбэл, физикийн агуу бүтээгчид болох Ньютон, Эйнштейн, Нильс Бор нарын сэтгэлгээ, ярианы эрхэм харамч чанар ямар гайхалтай сэтгэгдэл төрүүлсэн бэ! Бүтээгчдийн сэтгэлгээний хэв маяг нь шинжлэх ухааны хөгжилд ямар гүнзгий нөлөө үзүүлж болох талаар илүү тод жишээ олоход хэцүү байж магадгүй юм.

  Математикийн хувьд бодлын товчлол нь маргаангүй хууль бөгөөд олон зууны турш канончлогдсон байдаг. Заавал биш (сонсогчдын хувьд тааламжтай, сэтгэл татам байсан ч) зураг, анхаарлыг сарниулах, уран илтгэлээр дарамтлах аливаа оролдлого нь урьдаас хууль ёсны хардлагад өртөж, автоматаар шүүмжлэлтэй байдлыг үүсгэдэг.

  Гуравдугаарт, үндэслэлийн явцыг тодорхой задлах. Жишээлбэл, саналыг нотлохдоо бид дөрвөн боломжит тохиолдлыг авч үзэх ёстой бөгөөд тэдгээр нь тус бүрийг нэг юмуу өөр тооны дэд үгэнд хувааж болох юм бол математикч дүгнэлт хийх мөч бүрт ямар тохиолдолд, ямар дэд үсгийг нь тодорхой санаж байх ёстой. Тэр одоо ч гэсэн ямар хэрэг, дэд хэргийг авч үзэх ёстой гэж бодож байна. Ямар ч төрлийн салаалсан тооллогын хувьд математикч түүнийг бүрдүүлдэг зүйлийн үзэл баримтлалыг аль ерөнхий үзэл баримтлалд зориулж тоолж байгаагаа цаг мөч бүрт мэдэж байх ёстой. Энгийн, шинжлэх ухааны бус сэтгэлгээний хувьд бид ийм тохиолдлуудад төөрөгдөл, үсрэлтүүдийг маш олон удаа ажиглаж, төөрөгдөл, үндэслэлээр алдаа гаргахад хүргэдэг. Ихэнхдээ хүн нэг төрлийн төрлийг тоолж эхэлдэг бөгөөд дараа нь сонсогчдод (мөн ихэнхдээ өөртөө) үл мэдэгдэх логик ялгаатай байдлыг ашиглан өөр төрөлд шилжиж, хоёулаа төрөл зүйл гэсэн үгээр төгсдөг. одоо ангилсан; мөн сонсогчид эсвэл уншигчид эхний болон хоёрдугаар төрлийн зүйлийн хоорондох хил хязгаар хаана байдгийг мэддэггүй.

  Ийм төөрөгдөл, үсрэлт хийх боломжгүй болгохын тулд математикчид эрт дээр үеэс үзэл баримтлал, дүгнэлтийг дугаарлах энгийн гадаад аргуудыг өргөн ашигладаг бөгөөд заримдаа бусад шинжлэх ухаанд ашигладаг (гэхдээ хамаагүй бага байдаг). Энэ үндэслэлд авч үзэх боломжтой тохиолдлууд эсвэл ерөнхий ойлголтуудыг урьдчилан дугаарласан; Ийм тохиолдол бүрийн дотор түүнд агуулагдах дэд үсгүүдийг мөн дахин дугаарлана (заримдаа ялгахын тулд бусад дугаарлалтын системийг ашиглан). Шинэ дэд үсгийг авч үзэж эхлэх догол мөр бүрийн өмнө энэ дэд үсгийн хувьд батлагдсан тэмдэглэгээг тавьдаг (жишээ нь: II 3 - энэ нь хоёр дахь хэргийн гурав дахь дэд хэргийг эндээс авч үзэх эсвэл гурав дахь хэсгийн тайлбарыг эндээс эхлүүлнэ гэсэн үг юм. Хэрэв бид ангиллын тухай ярьж байгаа бол хоёр дахь төрлийн төрөл). Уншигч түүнийг шинэ тоон товхимолтой тулгарах хүртлээ танилцуулсан бүх зүйл зөвхөн энэ тохиолдол болон дэд үсэгт хамаарна гэдгийг мэддэг. Ийм дугаарлалт нь зөвхөн гадаад төхөөрөмж бөгөөд маш ашигтай, гэхдээ заавал байх албагүй бөгөөд асуудлын мөн чанар нь үүнд биш, харин маргаан, ангиллын тодорхой хуваагдалд оршдог бөгөөд үүнийг өдөөж, тэмдэглэдэг. Өөрөөр нь.

  Дөрөвдүгээрт, тэмдэгт, томъёо, тэгшитгэлийн нарийн нарийвчлал. Өөрөөр хэлбэл, "математикийн тэмдэг бүр нь хатуу тодорхойлсон утгатай байдаг: үүнийг өөр тэмдэгээр солих эсвэл өөр газар байрлуулах нь дүрмээр бол энэ мэдэгдлийн утгыг гажуудуулж, заримдаа бүрмөсөн устгахад хүргэдэг."

  А.Я.Хинчин математик сэтгэлгээний хэв маягийн гол онцлогуудыг онцлон тэмдэглээд, математик (ялангуяа хувьсагчийн математик) мөн чанараараа диалектик шинж чанартай байдаг тул диалектик сэтгэлгээг хөгжүүлэхэд хувь нэмэр оруулдаг гэж тэмдэглэжээ. Үнэн хэрэгтээ математик сэтгэлгээний явцад харааны (бетон) ба үзэл баримтлалын (хийсвэр) харилцан үйлчлэл байдаг. "Бид зураасын талаар бодож чадахгүй" гэж Кант бичжээ, "бид үүнийг оюун ухаанаараа зурахгүйгээр, нэг цэгээс бие биедээ перпендикуляр гурван шулуун зурахгүйгээр гурван хэмжээсийг өөрсдөө бодож чадахгүй" гэж бичжээ.

  Бетон ба хийсвэр математик сэтгэлгээний харилцан үйлчлэл нь шинэ, шинэ үзэл баримтлал, философийн категорийг хөгжүүлэхэд хүргэсэн. Эртний математикт (тогтмол тоонуудын математик) эдгээр нь анх арифметик болон евклидийн геометрт, дараа нь алгебр болон янз бүрийн геометрийн системд тусгагдсан "тоо" ба "орон зай" байв. Хувьсагчдын математик нь материйн хөдөлгөөнийг тусгасан "хязгаарлагдмал", "хязгааргүй", "тасралтгүй байдал", "дискрет", "хязгааргүй жижиг", "үүсмэл" гэх мэт ойлголтуудад "үндсэн" байв.

  Хэрэв бид математикийн мэдлэгийн хөгжлийн өнөөгийн түүхэн үе шатыг ярих юм бол энэ нь философийн категорийн цаашдын хөгжилд нийцэж байна: магадлалын онол нь боломжит болон санамсаргүй гэсэн категориудыг "эзэмшдэг"; топологи - хамаарал ба тасралтгүй байдлын ангилал; сүйрлийн онол - үсрэлт ангилал; бүлгийн онол - тэгш хэм ба эв нэгдлийн ангилал гэх мэт.

  Математик сэтгэлгээнд ижил төстэй хэлбэрийн логик холболтыг бий болгох үндсэн хэв маягийг илэрхийлдэг. Үүний тусламжтайгаар дан (тодорхой математик аргуудаас - аксиоматик, алгоритмын, конструктив, олонлогийн онолын болон бусад) тусгай ба ерөнхий, ерөнхий дедуктив байгууламж руу шилжих шилжилтийг хийдэг. Математикийн арга, сэдвийн нэгдмэл байдал нь математик сэтгэлгээний онцлогийг тодорхойлж, бодит байдлыг тусгах төдийгүй шинжлэх ухааны мэдлэгийг нэгтгэх, нэгтгэх, урьдчилан таамаглах тусгай математик хэлээр ярих боломжийг бидэнд олгодог. Математик сэтгэлгээний хүч чадал, гоо үзэсгэлэн нь түүний логикийн хамгийн тод байдал, хийсвэрлэлийн чамин хийц, хийсвэрийг чадварлаг бүтээхэд оршдог.

  Компьютерийн шинэ бүтээл, машины математик бий болсноор сэтгэцийн үйл ажиллагааны үндсэн шинэ боломжууд нээгдэв. Математикийн хэлэнд мэдэгдэхүйц өөрчлөлт гарсан. Хэрэв сонгодог тооцооллын математикийн хэл нь үндсэндээ механик, одон орон, физикийн чиглэлээр судлагдсан байгалийн тасралтгүй үйл явцын тодорхойлолтод төвлөрсөн алгебр, геометр, анализын томъёоноос бүрддэг байсан бол түүний орчин үеийн хэл нь алгоритм, программуудын хэл юм. тодорхой тохиолдол болгон томъёоны хуучин хэл.

  Орчин үеийн тооцооллын математикийн хэл нь нарийн төвөгтэй (олон параметрт) системийг дүрслэх чадвартай, улам бүр түгээмэл болж байна. Цахим тооцооллын технологиор сайжруулсан математикийн хэл хичнээн төгс байсан ч олон янзын "амьд" байгалийн хэлтэй холбоогоо тасалдаггүй гэдгийг би онцлон хэлмээр байна. Тэгээд ч ярианы хэл нь зохиомол хэлний үндэс болдог. Үүнтэй холбогдуулан эрдэмтдийн сүүлийн үеийн нээлт сонирхол татаж байна. Гол нь Боливи, Перугийн 2.5 сая орчим хүн ярьдаг Аймара индианчуудын эртний хэл нь компьютерийн технологид туйлын тохиромжтой болсон. 1610 онд анхны Аймара толь бичгийг эмхэтгэсэн Италийн иезуит номлогч Людовико Бертони түүнийг бүтээгчдийн суут ухааныг тэмдэглэж, логикийн өндөр цэвэршилтийг олж авчээ. Жишээлбэл, Аймарад жигд бус үйл үг байдаггүй бөгөөд дүрмийн цөөн хэдэн тодорхой дүрмээс үл хамаарах зүйл байдаггүй. Аймара хэлний эдгээр шинж чанарууд нь Боливийн математикч Иван Гузман де Рохаст хөтөлбөрт багтсан Европын таван хэлний аль нэгээс компьютерийн нэгэн зэрэг орчуулах системийг бий болгох боломжийг олгосон бөгөөд тэдгээрийн хоорондох "гүүр" нь Аймара хэл юм. Боливийн эрдэмтний бүтээсэн Аймара компьютерийг мэргэжилтнүүд өндрөөр үнэлэв. Математик сэтгэлгээний мөн чанарын тухай асуултын энэ хэсгийг нэгтгэн дүгнэхэд түүний гол агуулга нь байгалийн тухай ойлголт гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

  Аксиоматик арга

• Аксиоматик бол эртний үеэс өнөөг хүртэл онолыг бий болгох гол арга зам бөгөөд түүний түгээмэл байдал, бүх хэрэглээг баталгаажуулдаг.

  Математикийн онолыг бүтээх нь аксиоматик арга дээр суурилдаг. Шинжлэх ухааны онол нь аксиом гэж нэрлэгддэг анхны заалтууд дээр суурилдаг бөгөөд онолын бусад бүх заалтуудыг аксиомын логик үр дагавар болгон олж авдаг.

  Аксиоматик арга нь эртний Грекд гарч ирсэн бөгөөд одоогоор бараг бүх онолын шинжлэх ухаанд, тэр дундаа математикт хэрэглэгддэг.

  Евклид (параболик), Лобачевский (гипербол), Риман (зууван) гэсэн гурван геометрийг тодорхой хэмжээгээр харьцуулж үзвэл бөмбөрцөг геометрийн хооронд зарим ижил төстэй зүйлсээс гадна нэг талдаа том ялгаа байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. гар, мөн Евклид ба Лобачевскийн геометрүүд - нөгөө талд.

  Орчин үеийн геометрийн үндсэн ялгаа нь одоо хязгааргүй олон янзын төсөөллийн орон зайн "геометр"-ийг хамарч байгаа явдал юм. Гэсэн хэдий ч эдгээр бүх геометрүүд нь Евклидийн геометрийн тайлбар бөгөөд Евклидийн анх ашигласан аксиоматик аргад үндэслэсэн гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

  Судалгааны үндсэн дээр аксиоматик аргыг боловсруулж өргөн хэрэглэж байна. Энэ аргыг хэрэглэх онцгой тохиолдол бол стереометрийн ул мөрийн арга бөгөөд энэ нь олон талт хэсгүүдийг барих асуудал болон бусад байрлалын асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог.

  Анх геометрт бий болсон аксиоматик арга нь одоо математик, физик, механикийн бусад салбаруудад судлах чухал хэрэгсэл болжээ. Одоогоор онолыг бий болгох аксиоматик аргыг илүү гүнзгийрүүлэн сайжруулах, судлах ажил хийгдэж байна.

  Шинжлэх ухааны онолыг бий болгох аксиоматик арга нь үндсэн ойлголтуудыг онцлон тэмдэглэх, онолын аксиомыг томъёолох, бусад бүх мэдэгдлийг тэдгээрт тулгуурлан логик аргаар гаргаж авах явдал юм. Нэг ойлголтыг бусдын тусламжтайгаар тайлбарлах ёстой бөгөөд энэ нь эргээд зарим сайн мэддэг ойлголтуудын тусламжтайгаар тодорхойлогддог. Тиймээс бид бусдын нэр томъёогоор тодорхойлох боломжгүй энгийн ойлголтуудад хүрдэг. Эдгээр ойлголтуудыг үндсэн гэж нэрлэдэг.

  Бид мэдэгдэл, теоремыг батлахдаа аль хэдийн батлагдсан гэж үзсэн үндэслэлд тулгуурладаг. Гэхдээ эдгээр байрууд бас нотлогдсон, тэдгээрийг нотлох шаардлагатай байв. Эцэст нь бид нотлох боломжгүй мэдэгдэлд хүрч, нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрдөг. Эдгээр мэдэгдлийг аксиом гэж нэрлэдэг. Аксиомуудын багц нь түүнд тулгуурлан цаашдын мэдэгдлийг батлах боломжтой байх ёстой.

  Үндсэн ойлголтуудыг ялгаж, аксиомуудыг томъёолсны дараа бид теоремууд болон бусад ойлголтуудыг логик аргаар гаргаж авдаг. Энэ бол геометрийн логик бүтэц юм. Аксиом ба үндсэн ойлголтууд нь планиметрийн үндэс суурийг бүрдүүлдэг.

  Бүх геометрийн үндсэн ойлголтуудын нэг тодорхойлолтыг өгөх боломжгүй тул геометрийн үндсэн ойлголтыг энэ геометрийн аксиомыг хангасан аливаа шинж чанартай объект гэж тодорхойлох хэрэгтэй. Тиймээс геометрийн системийг аксиоматик бүтээхдээ бид аксиомын тодорхой систем буюу аксиоматикаас эхэлдэг. Эдгээр аксиомууд нь геометрийн системийн үндсэн ойлголтуудын шинж чанарыг тодорхойлдог бөгөөд бид үндсэн ойлголтуудыг аксиомд заасан шинж чанартай ямар ч шинж чанартай объект хэлбэрээр илэрхийлж болно.

  Эхний геометрийн мэдэгдлүүдийг томъёолж, нотолсоны дараа зарим мэдэгдлийг (теорем) бусдын тусламжтайгаар батлах боломжтой болно. Олон теоремуудын нотолгоог Пифагор, Демокрит нартай холбодог.

  Хиосын Гиппократ тодорхойлолт, аксиом дээр үндэслэн геометрийн анхны системчилсэн хичээлийг эмхэтгэсэн гэж үздэг. Энэ курс болон түүний дараагийн боловсруулалтыг "Элементүүд" гэж нэрлэдэг.

  Шинжлэх ухааны онолыг бий болгох аксиоматик арга

• Шинжлэх ухааныг бий болгох дедуктив буюу аксиоматик аргыг бий болгох нь математикийн сэтгэлгээний хамгийн том ололтуудын нэг юм. Энэ нь олон үеийн эрдэмтдийн хөдөлмөрийг шаарддаг.

  Үзүүлэнгийн дедуктив системийн гайхалтай шинж чанар нь энэхүү барилгын энгийн байдал бөгөөд үүнийг хэдхэн үгээр дүрслэх боломжтой болгодог.

  Илтгэлийн дедуктив системийг дараах байдлаар багасгасан.

  1) үндсэн ойлголтуудын жагсаалтад,

  2) тодорхойлолтыг танилцуулах,

  3) аксиомуудыг танилцуулах,

  4) теоремуудыг танилцуулах,

  5) эдгээр теоремуудын баталгаа.

  Аксиом бол нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн мэдэгдэл юм.

  Теорем гэдэг нь аксиомоос үүдэлтэй мэдэгдэл юм.

  Нотолгоо нь дедуктив системийн салшгүй хэсэг бөгөөд мэдэгдлийн үнэн нь өмнөх теоремууд эсвэл аксиомуудын үнэнээс логикийн дагуу дагалддаг болохыг харуулж буй үндэслэл юм.

  Дедуктив системийн хүрээнд хоёр асуултыг шийдвэрлэх боломжгүй: 1) үндсэн ойлголтуудын утгын тухай, 2) аксиомын үнэний тухай. Гэхдээ энэ нь эдгээр асуултуудыг ерөнхийд нь шийдвэрлэх боломжгүй гэсэн үг биш юм.

  Байгалийн шинжлэх ухааны түүхээс харахад тодорхой шинжлэх ухааныг аксиоматик бүтээх боломж нь зөвхөн энэ шинжлэх ухааны хөгжлийн нэлээд өндөр түвшинд, их хэмжээний баримт материалд тулгуурлан гарч ирдэг бөгөөд энэ нь үндсэн шинж чанарыг тодорхой тодорхойлох боломжийг олгодог. энэ шинжлэх ухааны судалж буй объектуудын хоорондын холбоо, харилцаа холбоо.

  Математикийн шинжлэх ухааны аксиоматик бүтцийн жишээ бол энгийн геометр юм. Геометрийн аксиомын системийг Евклид (МЭӨ 300 орчим) "Эхлэл" бүтээлдээ ач холбогдлоор нь давтагдашгүй тайлбарласан байдаг. Энэ систем өнөөг хүртэл үндсэндээ хадгалагдан үлдсэн.

  Үндсэн ойлголтууд: цэг, шугам, хавтгайн үндсэн зургууд; хооронд хэвтэх, хамаарах, хөдлөх.

  Анхан шатны геометр нь таван бүлэгт хуваагддаг 13 аксиомтой. Тавдугаар бүлэгт параллелуудын тухай нэг аксиом байдаг (Евклидийн V постулат): хавтгай дээрх цэгээр дамжуулан энэ шулуун шугамыг огтлолцохгүй зөвхөн нэг шулуун шугам зурж болно. Энэ бол нотлох хэрэгцээг бий болгосон цорын ганц аксиом юм. Тав дахь постулатыг батлах оролдлого нь математикчдыг 2 мянга гаруй жилийн турш, 19-р зууны эхний хагас хүртэл, өөрөөр хэлбэл. Николай Иванович Лобачевский эдгээр оролдлогууд бүрэн найдваргүй болохыг зохиолдоо нотлох хүртэл. Одоогийн байдлаар тав дахь постулатын батлагдаагүй байдал нь математикийн хатуу нотлогдсон баримт юм.

  Зэрэгцээ тухай аксиом N.I. Лобачевский аксиомыг сольсон: Өгөгдсөн хавтгайд шулуун шугам ба шулуун шугамын гадна байрлах цэгийг өгье. Энэ цэгээр дамжуулан өгөгдсөн шулуун руу дор хаяж хоёр зэрэгцээ шугам зурж болно.

  Аксиомын шинэ системээс N.I. Лобачевский өөгүй логик хатуугаар Евклидийн бус геометрийн агуулгыг бүрдүүлдэг теоремуудын уялдаа холбоотой системийг гаргажээ. Евклид ба Лобачевскийн геометрийн аль аль нь логик системтэй адил юм.

  19-р зууны гурван агуу математикч бараг нэгэн зэрэг, бие биенээсээ үл хамааран тав дахь постулатын батлагдаагүй үр дүнд хүрч, Евклидийн бус геометрийг бий болгосон.

  Николай Иванович Лобачевский (1792-1856)

  Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)

  Янош Боляй (1802-1860)

  Математикийн нотолгоо

• Математикийн судалгааны гол арга бол математикийн нотолгоо - нарийн логик үндэслэл юм. Объектив зайлшгүй шаардлагаар Оросын ШУА-ийн корреспондент гишүүн Л.Д.Кудрявцев Кудрявцев Л.Д. - Орчин үеийн математик ба түүний сургаал, Москва, Наука, 1985, логик үндэслэл (энэ нь мөн чанараараа, хэрэв зөв бол бас хатуу) математикийн арга бөгөөд математикийг тэдгүйгээр төсөөлөхийн аргагүй юм. Математик сэтгэлгээ нь зөвхөн логик үндэслэлээр хязгаарлагдахгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Асуудлыг зөв томъёолох, түүний өгөгдлийг үнэлэх, тэдгээрээс чухал зүйлийг сонгох, түүнийг шийдвэрлэх аргыг сонгохын тулд математикийн зөн совин шаардлагатай бөгөөд энэ нь хүссэн үр дүнг урьдчилан харах боломжийг олгодог. үүнийг олж авсан, үндэслэлтэй үндэслэлийн тусламжтайгаар судалгааны замыг тоймлох. Гэхдээ авч үзэж буй баримтын үнэн зөв нь үүнийг хэд хэдэн жишээн дээр шалгах замаар биш, хэд хэдэн туршилт хийх замаар биш (энэ нь математикийн судалгаанд ихээхэн үүрэг гүйцэтгэдэг), харин цэвэр логик байдлаар нотлогддог. албан ёсны логикийн хуулиуд.

  Математикийн нотолгоо бол эцсийн үнэн гэж үздэг. Цэвэр логик дээр үндэслэсэн шийдвэр буруу байж болохгүй. Гэвч шинжлэх ухаан хөгжихийн хэрээр математикчдын өмнө тулгамдаж буй ажлууд улам бүр төвөгтэй болж байна.

  АНУ-ын Калифорнийн Стэнфордын Их Сургуулийн Кэйт Дэвлин: "Бид математикийн аппарат маш нарийн төвөгтэй, нүсэр болсон эрин үед орж ирсэн бөгөөд энэ нь эхлээд харахад тулгарсан асуудал үнэн эсэхийг хэлэх боломжгүй болсон" гэж үздэг. Тэрээр 1980 онд томъёолсон "энгийн хязгаарлагдмал бүлгүүдийн ангилал"-ыг жишээ болгон дурдсан боловч яг бүрэн нотолгоог хараахан өгөөгүй байна. Теорем нь үнэн байх магадлалтай, гэхдээ энэ талаар тодорхой хэлэх боломжгүй юм.

  Компьютерийн шийдлийг яг таг гэж нэрлэх боломжгүй, учир нь ийм тооцоололд үргэлж алдаа гардаг. 1998 онд Хэйлс 1611 онд томъёолсон Кеплерийн теоремыг компьютерийн тусламжтайгаар шийдэхийг санал болгов. Энэ теорем нь сансар огторгуйд хамгийн нягт савласан бөмбөгийг дүрсэлдэг. Нотлох баримтыг 300 хуудсанд багтаасан бөгөөд 40,000 мөрийн машины кодыг агуулсан байв. 12 хянагч уг шийдлийг нэг жилийн турш шалгасан боловч нотлох баримтын үнэн зөв гэдэгт 100% итгэж чадаагүй тул судалгааг дахин хянан үзэхээр явуулсан. Үүний үр дүнд энэ нь зөвхөн дөрвөн жилийн дараа, шүүмжлэгчдийн бүрэн баталгаажуулалтгүйгээр хэвлэгджээ.

  Хэрэглээний асуудлуудын хамгийн сүүлийн үеийн бүх тооцоог компьютер дээр хийдэг боловч эрдэмтэд илүү найдвартай байхын тулд математик тооцооллыг алдаагүй гаргах ёстой гэж эрдэмтэд үзэж байна.

  Нотлох онолыг логикоор боловсруулсан бөгөөд дипломын ажил (нотлох ёстой зүйл), аргумент (холбогдох шинжлэх ухааны нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн үзэл баримтлал, хууль тогтоомж гэх мэт) болон үзүүлэнгийн гурван бүтцийн бүрэлдэхүүн хэсгээс бүрдэнэ. нотлох баримтыг өөрөө байршуулах; n-р дүгнэлт нь n+1-р дүгнэлтийн байруудын нэг болох үед дараалсан дүгнэлтийн хэлхээ. Баталгаажуулах дүрмийг ялгаж, боломжит логик алдааг зааж өгсөн болно.

  Математикийн нотолгоо нь албан ёсны логикоор тогтоосон зарчмуудтай ижил төстэй зүйл юм. Түүгээр ч барахгүй учир шалтгаан, үйлдлүүдийн математикийн дүрмүүд нь логик дахь нотлох процедурыг хөгжүүлэх үндэс суурь болсон нь ойлгомжтой. Ялангуяа албан ёсны логик үүссэн түүхийг судлаачид нэгэн цагт Аристотель логикийн хууль тогтоомж, дүрмийг бий болгох анхны алхмуудыг хийхдээ математик, хууль зүйн үйл ажиллагааны практикт хандсан гэж үздэг. Эдгээр эх сурвалжаас тэрээр боловсруулсан онолын логик бүтээн байгуулалтад зориулсан материалыг олсон.

  20-р зуунд нотлох тухай ойлголт хатуу утгаа алдсан бөгөөд энэ нь олонлогийн онолд нуугдаж буй логик парадоксуудыг нээсэн, ялангуяа К.Гөделийн албан ёсны бүрэн бус байдлын талаархи теоремуудын авчирсан үр дүнтэй холбоотой юм.

  Юуны өмнө энэ нь математикт өөрөө нөлөөлсөн бөгөөд үүнтэй холбоотойгоор "баталгаа" гэсэн нэр томъёо нь нарийн тодорхойлолтгүй гэж үздэг. Гэхдээ ийм үзэл бодол (одоо ч гэсэн хэвээр байгаа) математикт өөрөө нөлөөлж байвал тэд нотолгоог логик-математикийн хувьд биш, харин сэтгэлзүйн утгаараа хүлээн зөвшөөрөх ёстой гэсэн дүгнэлтэд хүрдэг. Түүгээр ч барахгүй үүнтэй төстэй үзэл бодол Аристотельд байдаг бөгөөд тэрээр нотлох нь биднийг ямар нэг зүйлийн зөв гэдэгт итгүүлэхийн тулд бидэнд итгүүлэхүйц үндэслэл гаргах гэсэн үг юм. Бид А.Е.Есенин-Волпиноос сэтгэлзүйн хандлагын тодорхой сүүдэрийг олж хардаг. Тэрээр үнэнийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөхийг эрс эсэргүүцэж, үүнийг итгэлийн үйлдэлтэй холбож, цааш нь бичихдээ: "Би шүүлтийн нотолгоог энэ шүүлтийг үгүйсгэх аргагүй болгодог шударга арга гэж нэрлэж байна." Есенин-Волпин түүний тодорхойлолтыг тодруулах шаардлагатай хэвээр байна гэж мэдэгдэв. Үүний зэрэгцээ нотлох баримтыг "шударга арга" гэж тодорхойлсон нь ёс суртахуун-сэтгэлзүйн үнэлгээнд хандахаас урваж чадахгүй гэж үү?

  Үүний зэрэгцээ олонлогийн онолын парадоксуудын нээлт, Годелийн теоремууд гарч ирсэн нь зөн билэгчид, ялангуяа конструктивист чиглэл, Д.Хилберт нарын хийсэн математикийн нотлох онолыг хөгжүүлэхэд хувь нэмэр оруулсан юм.

  Заримдаа математикийн баталгаа нь бүх нийтийн шинж чанартай бөгөөд шинжлэх ухааны нотолгооны хамгийн тохиромжтой хувилбар гэж үздэг. Гэсэн хэдий ч энэ нь цорын ганц арга биш бөгөөд нотолгоонд суурилсан журам, үйл ажиллагааны өөр аргууд байдаг. Математикийн баталгаа нь байгалийн шинжлэх ухаанд хэрэгждэг албан ёсны логиктой олон нийтлэг зүйлтэй бөгөөд математикийн баталгаа нь тодорхой онцлог шинж чанартай, түүнчлэн техник-үйл ажиллагааны багцтай байдаг нь зөвхөн үнэн юм. Энд бид үүнийг бусад нотлох баримттай холбоотой болгодог ерөнхий зүйлийг орхиж, өөрөөр хэлбэл алгоритм, дүрэм, алдаа гэх мэтийг бүх үе шатанд (бүр гол нь) ашиглахгүйгээр зогсох болно. нотлох үйл явц.

  Математикийн нотолгоо гэдэг нь мэдэгдлийн үнэнийг (мэдээжийн хэрэг математикийн хувьд, өөрөөр хэлбэл татан буулгах, мэдрэхүйгээр) нотлох үүрэгтэй үндэслэл юм.

  Математикийн онолын аксиоматик бүтэц бий болсноор нотлоход ашигласан дүрмийн багц бий болсон. Энэ нь Евклидийн геометрт хамгийн тодорхой бөгөөд бүрэн дүүрэн хэрэгжсэн. Түүний "Зарчмууд" нь математикийн мэдлэгийн аксиоматик зохион байгуулалтын нэг төрлийн загвар стандарт болж, математикчдын хувьд удаан хугацааны туршид ийм хэвээр байв.

  Тодорхой дарааллын хэлбэрээр танилцуулсан мэдэгдэл нь логик үйлдлийн дүрмийн дагуу нотлогдсон гэж үзсэн дүгнэлтийг баталгаажуулах ёстой. Тодорхой үндэслэл нь зөвхөн зарим аксиоматик системийн хувьд нотлох баримт гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй.

  Математикийн нотолгоог тодорхойлохдоо хоёр үндсэн шинж чанарыг ялгаж үздэг. Юуны өмнө, математикийн нотолгоо нь эмпирик нотолгоонд хамаарах аливаа ишлэлийг үгүйсгэдэг. Дүгнэлтийн үнэнийг нотлох бүх процедурыг хүлээн зөвшөөрөгдсөн аксиоматикийн хүрээнд гүйцэтгэдэг. Энэ талаар академич А.Д.Александров онцолж байна. Та гурвалжны өнцгийг хэдэн мянган удаа хэмжиж, 2d-тэй тэнцүү байгаа эсэхийг шалгаарай. Гэхдээ математик юу ч батлахгүй. Хэрэв та дээрх мэдэгдлийг аксиомуудаас гаргаж авбал түүнд үүнийг батлах болно. Дахин хэлье. Энд математик нь схоластикизмын аргуудтай ойролцоо байдаг бөгөөд энэ нь туршилтаар өгөгдсөн баримтуудын аргументыг үндсээр нь үгүйсгэдэг.

  Жишээлбэл, сегментүүдийн харьцуулшгүй байдлыг олж илрүүлэхэд энэ теоремыг батлахдаа физик туршилтын давж заалдах хүсэлтийг хассан, учир нь нэгдүгээрт, "хэмцэхгүй" гэсэн ойлголт нь физикийн утга учиргүй, хоёрдугаарт, математикчид үүнийг хийж чадаагүй. хийсвэрлэх асуудлыг шийдвэрлэхэд мэдрэхүйн-харааны төхөөрөмжөөр хэмжигдэхүйц материал-бетон өргөтгөлүүдийг авчрах. Квадратын тал ба диагональ хоёрын харьцуулшгүй байдал нь гипотенузын квадратын (тус тусад нь диагональ) квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байх тухай Пифагорын теоремыг ашиглан бүхэл тоонуудын шинж чанарт үндэслэн нотлогддог. хөл (тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр тал). Эсвэл Лобачевский одон орны ажиглалтын үр дүнд үндэслэн өөрийн геометрийн баталгааг хайж байх үед энэ баталгаажуулалтыг зөвхөн таамаглалын аргаар хийсэн. Кэйли-Клейн, Белтрами нарын Евклидийн бус геометрийн тайлбарууд нь физик объектоос илүү математикийн шинж чанартай байдаг.

  Математикийн нотолгооны хоёрдахь шинж чанар нь бусад шинжлэх ухааны нотолгооны процедураас ялгаатай нь түүний хамгийн хийсвэр чанар юм. Дахин хэлэхэд, математикийн объектын тухай ойлголтын хувьд энэ нь зөвхөн хийсвэрлэлийн зэрэг биш, харин түүний мөн чанарын тухай юм. Бодит байдал нь бусад шинжлэх ухаанд, жишээлбэл, физик, сансар судлал, мэдээжийн хэрэг философи зэрэгт нотолгоо нь хийсвэрлэлийн өндөр түвшинд хүрдэг, учир нь оршихуй ба сэтгэлгээний эцсийн асуудал сүүлийн үеийн сэдэв болдог. Харин математик нь хувьсагч энд үйлчилдгээрээ онцлог бөгөөд утга нь ямар нэгэн тодорхой шинж чанараас хийсвэрлэлд оршдог. Тодорхойлолтоор хувьсагч нь өөрөө ямар ч утгагүй шинж тэмдэг бөгөөд зөвхөн тодорхой объектын нэрийг орлуулах (бие даасан хувьсагч) эсвэл тодорхой шинж чанар, харилцааг зааж өгөх үед (предикат хувьсагч) эсвэл эцэст нь үүнийг олж авдаг гэдгийг санаарай. , хувьсагчийг утга учиртай мэдэгдлээр (саналын хувьсагч) орлуулах тохиолдолд.

  Тэмдэглэгдсэн онцлог нь математикийн нотолгоонд ашигласан тэмдгүүдийн хэт хийсвэр байдлын мөн чанарыг тодорхойлдог бөгөөд тэдгээрийн бүтцэд хувьсагчийг оруулсны улмаас мэдэгдэл болж хувирдаг.

  Логик дээр жагсаал гэж тодорхойлсон нотлох процедур нь дүгнэлтийн дүрмийн үндсэн дээр явагддаг бөгөөд үүний үндсэн дээр нэг нотлогдсон мэдэгдлээс нөгөөд шилжих шилжилтийг хийж, дүгнэлтийн тууштай хэлхээг бүрдүүлдэг. Хамгийн түгээмэл нь хоёр дүрэм (дүгнэлтийг орлуулах, гаргах) ба дедукцийн теорем юм.

  орлуулах дүрэм. Математикийн хувьд орлуулалт гэдэг нь өгөгдсөн олонлогийн a элемент бүрийг ижил олонлогоос өөр F(a) элементээр солихыг хэлнэ. Математик логикт орлуулах дүрмийг дараах байдлаар томъёолдог. Хэрэв таамаглалын тооцоолол дахь жинхэнэ M томьёо нь А үсэг агуулж байвал түүнийг дурын D үсгээр сольсноор бид анхных шигээ үнэн томъёог олж авна. Энэ нь боломжтой бөгөөд зөвшөөрөгдөх боломжтой, учир нь саналын тооцоололд саналын (томьёоны) утгыг хийсвэрлэдэг ... Зөвхөн "үнэн" эсвэл "худал" гэсэн утгыг харгалзан үздэг. Жишээлбэл, M: A--> (BUA) томъёонд бид A-ийн оронд (AUB) илэрхийллийг орлуулж, үр дүнд нь шинэ томьёо (AUB) -->[(BU(AUB) ] авна.

  Дүгнэлт гаргах дүрэм нь албан ёсны логик дахь нөхцөлт категорик силлогизмын модуль ponens (батлах горим) бүтэцтэй тохирч байна. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

  а .

  Санал өгөгдсөн (a-> b) мөн түүнчлэн a өгөгдсөн. Үүнийг дагадаг b.

  Жишээлбэл: Хэрэв бороо орж байвал хучилт нойтон байна, бороо орж байна (a), тиймээс хучилт нойтон байна (б). Математик логикт энэ силлогизмыг дараах байдлаар бичдэг (a-> b) a-> b.

  Дүгнэлтийг дүрмээр бол далд утгаар нь салгах замаар тодорхойлно. Хэрэв далд утга (a-> b) болон түүний өмнөх (а) өгөгдсөн бол бид үндэслэл (нотолгоо) дээр энэ далд утга (b)-ийн үр дагаврыг нэмэх эрхтэй. Силлогизм нь албадлагын шинж чанартай бөгөөд дедуктив нотлох хэрэгслийн арсеналыг бүрдүүлдэг, өөрөөр хэлбэл математикийн үндэслэлийн шаардлагыг бүрэн хангадаг.

  Математикийн нотолгоонд чухал үүрэг бол дедукцийн теорем юм - олон тооны теоремуудын ерөнхий нэр бөгөөд тэдгээрийн процедур нь үр дагаварын нотлох чадварыг тогтоох боломжийг олгодог: A-> B, логик гарал үүсэлтэй үед. томьёо B. томъёололын тооцооллын хамгийн түгээмэл хувилбарт (сонгодог, зөн совингийн болон бусад төрлийн математикт) дедукцийн теорем нь дараахь зүйлийг илэрхийлдэг. Хэрэв дүрмийн дагуу B G, A B (- деривативын шинж тэмдэг) -ийг гаргаж болох G байр ба А байрын систем өгөгдсөн бол зөвхөн G байрнаас л А өгүүлбэрийг олж авах боломжтой болно. -> Б.

  Бид төрлийг авч үзсэн бөгөөд энэ нь шууд нотолгоо юм. Үүний зэрэгцээ шууд бус нотлох баримтыг логикт ашигладаг бөгөөд дараахь схемийн дагуу байрлуулсан шууд бус нотлох баримтууд байдаг. Хэд хэдэн шалтгааны улмаас (судалгааны объектод хүртээмжгүй байх, түүний оршин тогтнох бодит байдлыг алдах гэх мэт) аливаа мэдэгдэл, диссертацийн үнэнийг шууд нотлох боломж байхгүй тул тэд эсрэг заалтыг бий болгодог. Эсрэг үзэл нь зөрчилдөөнд хүргэдэг, тиймээс худал гэдэгт тэд итгэлтэй байна. Дараа нь антитезийн хуурамч байдлын баримтаас хасагдсан дунд (a v) хуулийн үндсэн дээр диссертацийн үнэний талаархи дүгнэлтийг гаргаж авдаг.

  Математикт шууд бус нотолгооны нэг хэлбэрийг өргөн ашигладаг - зөрчилдөөнөөр нотлох. Энэ нь математикийн үндсэн ойлголт, заалтуудыг, жишээлбэл, өөр аргаар нэвтрүүлэх боломжгүй бодит хязгааргүй байдлын тухай ойлголтыг хүлээн зөвшөөрөхөд онцгой үнэ цэнэтэй бөгөөд зайлшгүй шаардлагатай юм.

  Зөрчилөөр нотлох үйлдлийг математик логикт дараах байдлаар илэрхийлнэ. G томъёоны дараалал ба A (G , A) -ийн үгүйсгэл өгөгдсөн. Хэрэв энэ нь B ба түүний үгүйсгэлийг (G , A B, non-B) илэрхийлж байгаа бол бид A-ийн үнэн нь G томьёоны дарааллаас дагалддаг гэж дүгнэж болно. Өөрөөр хэлбэл, диссертацийн үнэн нь эсрэг заалтын худал байдлаас дагалддаг гэж дүгнэж болно. .

  Лавлагаа:

• 1. Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман, Эдийн засагчдад зориулсан дээд математик, сурах бичиг, Москва, 2002;

  2. Л.Д.Кудрявцев, Орчин үеийн математик ба түүний сургаал, Москва, Наука, 1985;

  3. O. I. Larichev, Объектив загварууд ба субъектив шийдвэрүүд, Москва, Наука, 1987;

  4. А.Я.Халамизатор “Математик? - Инээдтэй юм! ”, Зохиогчийн хэвлэл, 1989;

  5. П.К.Рашевский, Риманы геометр ба тензорын шинжилгээ, Москва, 3-р хэвлэл, 1967;

  6. В.Е.Гмурман, Магадлалын онол ба математикийн статистик, Москва, Дээд сургууль, 1977;

  7. Дэлхийн өргөн сүлжээ Enternet.

Судалгаанд хамрагдаж буй объектуудын идеалчилсан шинж чанаруудыг аксиом хэлбэрээр томъёолсон эсвэл харгалзах математикийн объектын тодорхойлолтод жагсаасан болно. Дараа нь логик дүгнэлтийн хатуу дүрмийн дагуу эдгээр шинж чанаруудаас бусад үнэн шинж чанарууд (теоремууд) гарч ирдэг. Энэхүү онол нь хамтдаа судалж буй объектын математик загварыг бүрдүүлдэг. Ийнхүү математик нь орон зайн болон тоон харилцаанаас эхэндээ илүү хийсвэр харилцааг олж авдаг бөгөөд үүнийг судлах нь орчин үеийн математикийн сэдэв юм.

Уламжлал ёсоор математик нь математикийн дотоод бүтцэд гүнзгий дүн шинжилгээ хийдэг онолын болон бусад шинжлэх ухаан, инженерийн салбаруудад загвараа өгдөг хэрэглээний гэж хуваагддаг бөгөөд тэдгээрийн зарим нь математиктэй хиллэдэг байр суурийг эзэлдэг. Ялангуяа албан ёсны логикийг философийн шинжлэх ухааны нэг хэсэг, математикийн шинжлэх ухааны нэг хэсэг гэж үзэж болно; механик - физик, математик хоёулаа; компьютерийн шинжлэх ухаан, компьютерийн технологи, алгоритм нь инженерийн болон математикийн шинжлэх ухаан гэх мэтийг хэлнэ. Уран зохиолд математикийн олон янзын тодорхойлолтыг санал болгосон.

Этимологи

"Математик" гэдэг үг нь бусад Грек хэлнээс гаралтай. μάθημα, энэ нь гэсэн үг судалгаа, мэдлэг, шинжлэх ухаангэх мэт - Грек. μαθηματικός, анхдагч гэсэн утгатай хүлээн авах чадвартай, үржил шимтэй, дараа нь судлах боломжтой, дараа нь математиктай холбоотой. Тухайлбал, μαθηματικὴ τέχνη , Латинаар арс математик, гэсэн үг математикийн урлаг. Бусад Грек гэсэн нэр томъёо. "Математик" гэдэг үгийн орчин үеийн утгаар μᾰθημᾰτικά нь Аристотелийн (МЭӨ 4-р зуун) зохиолуудад аль хэдийн олдсон байдаг. Фасмерын хэлснээр энэ үг орос хэлэнд Польш хэлээр дамжин орж ирсэн. matematyka, эсвэл латаар дамжуулан. математик.

Тодорхойлолт

Математикийн сэдвийн анхны тодорхойлолтуудын нэгийг Декарт өгсөн:

Математикийн салбар нь зөвхөн дараалал эсвэл хэмжүүрийг харгалзан үздэг шинжлэх ухааныг багтаадаг бөгөөд эдгээр нь тоо, тоо, од, дуу авиа эсвэл энэ хэмжүүрийг хайж байгаа бусад зүйл эсэх нь огт хамаагүй. Иймд ямар нэгэн тодорхой сэдвийг судлахгүйгээр дараалал, хэмжүүртэй холбоотой бүх зүйлийг тайлбарладаг ерөнхий шинжлэх ухаан байх ёстой бөгөөд энэ шинжлэх ухааныг харийнхан биш, харин ерөнхий математикийн хуучин, аль хэдийн нийтлэг нэрээр нэрлэх ёстой.

Математикийн мөн чанар ... одоо объектуудын хоорондын харилцааны тухай сургаал болгон танилцуулж байгаа бөгөөд тэдгээрийн талаар тодорхойлон тодорхойлсон зарим шинж чанаруудаас бусад нь - яг онолын үндэс дээр аксиом болгон тавьсан шинж чанаруудаас бусад нь юу ч мэдэгддэггүй ... Математик бол хийсвэр хэлбэрийн багц - математикийн бүтэц.

Математикийн салбарууд

1. Математик зэрэг эрдэм шинжилгээний сахилга бат

Тэмдэглэгээ

Математик нь маш олон янзын, нэлээд төвөгтэй бүтцийг авч үздэг тул тэмдэглэгээ нь бас маш нарийн төвөгтэй байдаг. Томъёо бичих орчин үеийн систем нь Европын алгебрийн уламжлал, түүнчлэн математикийн хожмын салбаруудын хэрэгцээнд тулгуурлан бий болсон - математик анализ, математик логик, олонлогын онол гэх мэт. Геометр нь эрт дээр үеэс харааны (геометрийн) ашигладаг. ) төлөөлөл. Орчин үеийн математикт график тэмдэглэгээний нарийн төвөгтэй системүүд (жишээлбэл, солих диаграм) түгээмэл байдаг бөгөөд график дээр суурилсан тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг.

Богино өгүүллэг

Математикийн философи

Зорилго ба арга

Орон зай R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), цагт n > 3 (\displaystyle n>3)математикийн шинэ бүтээл юм. Гэсэн хэдий ч нарийн төвөгтэй үзэгдлийг математикийн хувьд ойлгоход тусалдаг маш ухаалаг шинэ бүтээл».

Суурь

зөн совингийн үзэл

Бүтээлч математик

тодруулах

Үндсэн сэдвүүд

Тоо хэмжээ

Хэмжигдэхүүнийг хийсвэрлэх үндсэн хэсэг бол алгебр юм. "Тоо" гэсэн ойлголт нь анх арифметик дүрслэлээс үүссэн бөгөөд натурал тоонуудыг хэлдэг. Дараа нь алгебрийн тусламжтайгаар бүхэл тоо, рациональ, бодит, комплекс болон бусад тоонуудад аажмаар өргөжсөн.

1 , − 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\лдоц ) Рационал тоо 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\ldots) Бодит тоо − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … (\displaystyle -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\ldots ) 1 , i , j , k , π j − 1 2 k , … (\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2))k ,\;\цэгүүд) Нарийн төвөгтэй тоо Квартернионууд

Өөрчлөлтүүд

Өөрчлөлт, өөрчлөлтийн үзэгдлийг дүн шинжилгээ хийх замаар хамгийн ерөнхий хэлбэрээр авч үздэг.

бүтэц

Орон зайн харилцаа

Геометр нь орон зайн харилцааны үндсийг авч үздэг. Тригонометр нь тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарыг авч үздэг. Математик шинжилгээгээр геометрийн объектуудыг судлах нь дифференциал геометрийг авч үздэг. Тасралтгүй хэв гажилтын үед өөрчлөгдөөгүй орон зайн шинж чанарууд ба тасралтгүй байдлын үзэгдлийг топологи судалдаг.

Дискрет математик

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\Баруун сум P(x")))

Математик маш удаан хугацаанд бий болсон. Хүн жимс түүж, жимс ухаж, загасчилж, бүгдийг нь өвлийн улиралд хадгалдаг байв. Хэр их хоол хүнс хадгалагддагийг ойлгохын тулд нэг хүн данс зохион бүтээжээ. Математик ингэж эхэлсэн.

Дараа нь тэр хүн газар тариалан эрхэлж эхлэв. Газар хэмжих, орон сууц барих, цаг хугацааг хэмжих шаардлагатай байв.

Өөрөөр хэлбэл, хүн бодит ертөнцийн тоон харьцааг ашиглах шаардлагатай болсон. Хэр их ургац хурааж авсан, барилгын талбайн хэмжээ, эсвэл тодорхой тооны тод одтой тэнгэрийн талбай хэр том болохыг тодорхойл.

Нэмж дурдахад хүн хэлбэр дүрсийг тодорхойлж эхлэв: нар дугуй хэлбэртэй, хайрцаг нь дөрвөлжин, нуур нь зууван хэлбэртэй, эдгээр объектууд орон зайд хэрхэн байрладаг. Өөрөөр хэлбэл, хүн бодит ертөнцийн орон зайн хэлбэрийг сонирхож эхэлсэн.

Тиймээс үзэл баримтлал математикбодит ертөнцийн тоон харилцаа, орон зайн хэлбэрийн шинжлэх ухаан гэж тодорхойлж болно.

Одоогийн байдлаар математикгүйгээр хийж чадах нэг ч мэргэжил байхгүй. “Математикийн хаан” гэгддэг Германы алдарт математикч Карл Фридрих Гаусс нэгэнтээ:

“Математик бол шинжлэх ухааны хатан хаан, арифметик бол математикийн хатан хаан”.

"Арифметик" гэдэг үг нь Грекийн "арифмос" - "тоо" гэсэн үгнээс гаралтай.

Энэ замаар, арифметиктоо, тэдгээрийн үйлдлийг судалдаг математикийн салбар юм.

Бага ангид хамгийн түрүүнд арифметик хичээлд ордог.

Энэ шинжлэх ухаан хэрхэн хөгжсөн бэ, энэ асуудлыг судалж үзье.

Математикийн төрсөн үе

Математикийн мэдлэг хуримтлуулах гол үе бол МЭӨ 5-р зууны өмнөх үе гэж тооцогддог.

Математикийн байр суурийг баталж эхэлсэн анхны хүн бол МЭӨ 7-р зуунд, магадгүй 625-545 онд амьдарч байсан эртний Грекийн сэтгэгч юм. Энэ философич дорно дахины орнуудаар аялсан. Уламжлал ёсоор тэрээр Египетийн тахилч нар болон Вавилоны халдейчуудтай хамт суралцсан гэж ярьдаг.

Милетийн Фалес Египетээс Грект анхан шатны геометрийн анхны ойлголтуудыг авчирсан: диаметр гэж юу вэ, гурвалжинг юу тодорхойлдог гэх мэт. Тэрээр нар хиртэлтийг урьдчилан таамаглаж, инженерийн байгууламжуудыг зохион бүтээжээ.

Энэ хугацаанд арифметик аажмаар хөгжиж, одон орон, геометр хөгждөг. Алгебр, тригонометр гэж бий болсон.

Анхан шатны математикийн үе

Энэ үе нь МЭӨ VI үеэс эхэлдэг. Одоо математик нь онол, нотолгоотой шинжлэх ухаан болон гарч ирж байна. Тооны онол, хэмжигдэхүүн, хэмжигдэхүүний тухай сургаал гарч ирэв.

Энэ үеийн хамгийн алдартай математикч бол Евклид юм. Тэрээр МЭӨ III зуунд амьдарч байжээ. Энэ хүн манайд хүрч ирсэн математикийн анхны онолын зохиолын зохиогч юм.

Евклидийн бүтээлүүдэд Евклидийн геометр гэж нэрлэгддэг үндэс суурийг өгсөн байдаг - эдгээр нь үндсэн ойлголтууд дээр тулгуурласан аксиомууд юм.

Анхан шатны математикийн үед тоон онол, хэмжигдэхүүн ба тэдгээрийн хэмжилтийн тухай сургаал бий болсон. Анх удаа сөрөг болон иррационал тоонууд гарч ирэв.

Энэ хугацааны төгсгөлд алгебрыг шууд утгаар тооцоолсон тоолол болгон бий болгох нь ажиглагдаж байна. Арабчуудын дунд "алгебр" хэмээх шинжлэх ухаан нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шинжлэх ухаан мэт гарч ирдэг. Араб хэлээр "алгебр" гэдэг нь "сэргээх" гэсэн утгатай, өөрөөр хэлбэл сөрөг утгыг тэгшитгэлийн өөр хэсэгт шилжүүлэх гэсэн утгатай.

Хувьсагчийн математикийн үе

Энэ үеийг үндэслэгч нь МЭ 17-р зуунд амьдарч байсан Рене Декарт юм. Декарт зохиолууддаа хувьсагчийн тухай ойлголтыг анх удаа нэвтрүүлсэн.

Үүний ачаар эрдэмтэд тогтмол хэмжигдэхүүнийг судлахаас хувьсагчдын хоорондын хамаарлыг судлах, хөдөлгөөний математик дүрслэл рүү шилжсэн.

Фридрих Энгельс энэ үеийг хамгийн тодорхой тодорхойлсон бөгөөд тэрээр өөрийн зохиолууддаа бичжээ.

“Математикийн эргэлтийн цэг нь декарт хувьсагч байсан. Үүний ачаар хөдөлгөөн, улмаар диалектик нь математикт орж ирсэн бөгөөд үүний ачаар дифференциал ба интеграл тооцоо нэн даруй зайлшгүй шаардлагатай болсон бөгөөд энэ нь нэн даруй бий болж, ерөнхийдөө дууссан бөгөөд Ньютон, Лейбниц нарын зохион бүтээгээгүй юм.

Орчин үеийн математикийн үе

19-р зууны 20-иод онд Николай Иванович Лобачевский Евклидийн бус геометрийг үндэслэгч болжээ.

Энэ мөчөөс эхлэн орчин үеийн математикийн хамгийн чухал хэсгүүдийн хөгжил эхэлдэг. Магадлалын онол, олонлогын онол, математик статистик гэх мэт.

Эдгээр бүх нээлт, судалгаанууд нь шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт өргөн хэрэглэгддэг.

Мөн одоогийн байдлаар математикийн шинжлэх ухаан эрчимтэй хөгжиж, математикийн сэдэв өргөжиж, түүний дотор шинэ хэлбэр, харилцаа холбоо, шинэ теоремууд нотлогдож, үндсэн ойлголтууд гүнзгийрч байна.

Судалгаанд хамрагдаж буй объектуудын идеалчилсан шинж чанаруудыг аксиом хэлбэрээр томъёолсон эсвэл харгалзах математикийн объектын тодорхойлолтод жагсаасан болно. Дараа нь логик дүгнэлтийн хатуу дүрмийн дагуу эдгээр шинж чанаруудаас бусад үнэн шинж чанарууд (теоремууд) гарч ирдэг. Энэхүү онол нь хамтдаа судалж буй объектын математик загварыг бүрдүүлдэг. Тиймээс, эхэндээ орон зайн болон тоон харьцаанаас хамааран математик нь илүү хийсвэр харилцааг олж авдаг бөгөөд үүнийг судлах нь орчин үеийн математикийн сэдэв юм.

Уламжлал ёсоор математик нь математикийн дотоод бүтцэд гүнзгий дүн шинжилгээ хийдэг онолын болон бусад шинжлэх ухаан, инженерийн салбаруудад загвараа өгдөг хэрэглээний гэж хуваагддаг бөгөөд тэдгээрийн зарим нь математиктэй хиллэдэг байр суурийг эзэлдэг. Ялангуяа албан ёсны логикийг философийн шинжлэх ухааны нэг хэсэг, математикийн шинжлэх ухааны нэг хэсэг гэж үзэж болно; механик - физик, математик хоёулаа; компьютерийн шинжлэх ухаан, компьютерийн технологи, алгоритм зэрэг нь инженерийн болон математикийн шинжлэх ухаан гэх мэтийг хэлнэ. Уран зохиолд математикийн олон янзын тодорхойлолтыг санал болгосон (харна уу).

Этимологи

"Математик" гэдэг үг нь бусад Грек хэлнээс гаралтай. μάθημα ( математик), юу гэсэн үг вэ гэхээр судалгаа, мэдлэг, шинжлэх ухаангэх мэт - Грек. μαθηματικός ( математик), анхдагч утгатай хүлээн авах чадвартай, үржил шимтэй, дараа нь судлах боломжтой, дараа нь математиктай холбоотой. Тухайлбал, μαθηματικὴ τέχνη (математикийн техник), Латинаар арс математик, гэсэн үг математикийн урлаг.

Тодорхойлолт

Математикийн салбар нь зөвхөн дараалал эсвэл хэмжүүрийг харгалзан үздэг шинжлэх ухааныг багтаадаг бөгөөд эдгээр нь тоо, тоо, од, дуу авиа эсвэл энэ хэмжүүрийг хайж байгаа бусад зүйл эсэх нь огт хамаагүй. Иймд ямар нэгэн тодорхой сэдвийг судлахгүйгээр дараалал, хэмжүүртэй холбоотой бүх зүйлийг тайлбарладаг ерөнхий шинжлэх ухаан байх ёстой бөгөөд энэ шинжлэх ухааныг харийнхан биш, харин ерөнхий математикийн хуучин, аль хэдийн нийтлэг нэрээр нэрлэх ёстой.

Зөвлөлтийн үед А.Н. Колмогоровын өгсөн TSB-ийн тодорхойлолтыг сонгодог гэж үздэг байв.

Математик ... бодит ертөнцийн тоон харилцаа, орон зайн хэлбэрүүдийн шинжлэх ухаан.

Математикийн мөн чанар ... одоо объектуудын хоорондын харилцааны тухай сургаал болгон танилцуулж байгаа бөгөөд тэдгээрийн талаар тодорхойлон тодорхойлсон зарим шинж чанаруудаас бусад нь - яг онолын үндэс дээр аксиом болгон тавьсан шинж чанаруудаас бусад нь юу ч мэдэгддэггүй ... Математик бол хийсвэр хэлбэрийн багц - математикийн бүтэц.

Илүү орчин үеийн тодорхойлолтуудыг энд оруулав.

Орчин үеийн онолын ("цэвэр") математик нь математик бүтэц, янз бүрийн систем, үйл явцын математик инвариантуудын шинжлэх ухаан юм.

Математик бол стандарт (каноник) хэлбэр болгон бууруулж болох загваруудыг тооцоолох чадварыг олгодог шинжлэх ухаан юм. Албан ёсны хувиргалтын аргаар аналитик загвар (шинжилгээ)-ийн шийдлийг олох шинжлэх ухаан.

Математикийн салбарууд

1. Математик зэрэг эрдэм шинжилгээний сахилга батОХУ-д ерөнхий боловсролын сургуульд суралцаж, дараахь хичээлээр бүрдүүлсэн бага ангийн математик гэж хуваагддаг.

• энгийн геометр: планиметр ба стереометр
• элементар функцийн онол ба шинжилгээний элементүүд

4. Америкийн Математикийн Нийгэмлэг (AMS) математикийн салбаруудыг ангилах өөрийн гэсэн стандартыг боловсруулсан. Үүнийг Математикийн хичээлийн ангилал гэж нэрлэдэг. Энэ стандартыг үе үе шинэчилдэг. Одоогийн хувилбар нь MSC 2010. Өмнөх хувилбар нь MSC 2000 юм.

Тэмдэглэгээ

Математик нь маш олон янзын, нэлээд төвөгтэй бүтэцтэй холбоотой байдаг тул тэмдэглэгээ нь бас маш нарийн төвөгтэй байдаг. Томьёо бичих орчин үеийн систем нь Европын алгебрийн уламжлал, түүнчлэн математик анализ (функц, дериватив гэх мэт) дээр үндэслэсэн. Эрт дээр үеэс геометр нь харааны (геометрийн) дүрслэлийг ашиглаж ирсэн. Орчин үеийн математикт график тэмдэглэгээний нарийн төвөгтэй системүүд (жишээлбэл, солих диаграм) түгээмэл байдаг бөгөөд график дээр суурилсан тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг.

Богино өгүүллэг

Математикийн хөгжил нь бичих, тоо бичих чадвараас хамаардаг. Эртний хүмүүс газар дээр зураас татах, модон дээр маажих зэргээр тоо хэмжээг анх илэрхийлдэг байсан байх. Эртний Инкүүд өөр ямар ч бичгийн системгүй байсан тул тоон өгөгдлийг олсны зангилааны нарийн төвөгтэй системийг кипу гэж нэрлэж, хадгалдаг байв. Олон янзын тооны системүүд байсан. Дундад хаант улсын египетчүүдийн бүтээсэн Ахмес папирусаас тоонуудын анхны мэдэгдэж байсан бичлэгүүд олджээ. Энэтхэгийн соёл иргэншил 0 гэсэн ойлголтыг агуулсан орчин үеийн аравтын тооллын системийг боловсруулсан.

Түүхийн хувьд математикийн томоохон салбарууд арилжааны салбарт тооцоолол хийх, газар нутгийг хэмжих, одон орны үзэгдлийг урьдчилан таамаглах, улмаар физикийн шинэ асуудлуудыг шийдвэрлэх хэрэгцээ шаардлагын нөлөөн дор үүссэн. Эдгээр салбар бүр нь бүтэц, орон зай, өөрчлөлтийг судлахаас бүрддэг математикийн өргөн хүрээний хөгжилд томоохон үүрэг гүйцэтгэдэг.

Математикийн философи

Зорилго ба арга

Математик нь төсөөлөлтэй, хамгийн тохиромжтой объектууд болон тэдгээрийн хоорондын харилцааг албан ёсны хэлээр судалдаг. Ерөнхийдөө математикийн үзэл баримтлал, теоремууд нь физик ертөнцөд ямар нэгэн зүйлд нийцэх албагүй. Математикийн хэрэглээний салбарын гол ажил бол судалж буй бодит объектод хангалттай математик загварыг бий болгох явдал юм. Онолын математикчийн даалгавар бол энэ зорилгод хүрэхийн тулд хангалттай хэмжээний тохиромжтой хэрэгслийг өгөх явдал юм.

Математикийн агуулгыг математик загвар, тэдгээрийг бий болгох хэрэгслүүдийн систем гэж тодорхойлж болно. Объектын загвар нь түүний бүх шинж чанарыг харгалзан үздэггүй, гэхдээ зөвхөн судалгааны зорилгод хамгийн шаардлагатай (хамгийн тохиромжтой) юм. Жишээлбэл, жүржийн физик шинж чанарыг судлахдаа бид түүний өнгө, амтыг хийсвэрлэн авч, (төгс нарийвчлалтай биш ч гэсэн) бөмбөг хэлбэрээр дүрсэлж болно. Хэрэв бид хоёр ба гурвыг нэмбэл хичнээн жүрж авахаа ойлгох шаардлагатай бол загвараас зөвхөн нэг шинж чанар буюу тоо хэмжээ үлдээж, загвараас хийсвэрлэж болно. Хийсвэрлэл, объектуудын хоорондын харилцааг хамгийн ерөнхий хэлбэрээр тогтоох нь математикийн бүтээлч байдлын үндсэн чиглэлүүдийн нэг юм.

Хийсвэрлэлийн хажуугаар өөр нэг чиглэл бол ерөнхий ойлголт юм. Жишээлбэл, "орон зай" гэсэн ойлголтыг n-хэмжээний орон зайд нэгтгэх. " зай нь математикийн шинэ бүтээл юм. Гэсэн хэдий ч нарийн төвөгтэй үзэгдлийг математикийн хувьд ойлгоход тусалдаг маш ухаалаг шинэ бүтээл».

Математик доторх объектуудыг судлах нь дүрмээр бол аксиоматик аргыг ашиглан явагддаг: эхлээд судалж буй объектуудад үндсэн ойлголт, аксиомын жагсаалтыг гаргаж, дараа нь дүгнэлтийн дүрмийг ашиглан аксиомуудаас утга учиртай теоремуудыг гаргаж авдаг. математик загвар бий болгох.

Суурь

Математикийн мөн чанар, үндэс суурь нь Платоны үеэс л яригдаж ирсэн. 20-р зуунаас хойш математикийн хатуу нотолгоо гэж үзэх ёстой зүйлийн талаар харьцуулсан тохиролцоо хийгдэж байсан ч математикт үнэн гэж үздэг зүйлийн талаар тохиролцоонд хүрээгүй байна. Энэ нь аксиоматик болон математикийн салбаруудын харилцан уялдаа холбоо, нотлох баримтад ашиглах логик системийг сонгоход санал зөрөлдөөн үүсгэдэг.

Эргэлзээтэй хүмүүсээс гадна энэ асуудалд дараахь хандлагууд мэдэгдэж байна.

Олонлогийн онолын хандлага

Математикийн бүх объектыг олонлогийн онолын хүрээнд авч үзэхийг санал болгож байна, ихэнхдээ Зермело-Франкелийн аксиоматиктай (хэдийгээр үүнтэй тэнцэх бусад олон зүйл байдаг). Энэ хандлагыг 20-р зууны дунд үеэс давамгайлж ирсэн гэж үздэг боловч бодит байдал дээр ихэнх математикийн бүтээлүүд өөрсдийн мэдэгдлийг олонлогийн онолын хэл рүү хатуу хөрвүүлэх үүрэг даалгавар өгдөггүй, харин зарим хэсэгт тогтсон үзэл баримтлал, баримтаар ажилладаг. математикийн. Тиймээс хэрэв олонлогийн онолд зөрчил илэрсэн бол энэ нь ихэнх үр дүнг хүчингүй болгоход хүргэхгүй.

логик

Энэ арга нь математикийн объектуудыг хатуу бичихийг шаарддаг. Олонлогийн онолд зөвхөн тусгай заль мэхийг ашиглан зайлсхийсэн олон парадоксууд зарчмын хувьд боломжгүй болж хувирдаг.

Формализм

Энэ арга нь сонгодог логик дээр суурилсан албан ёсны системийг судлах явдал юм.

зөн совингийн үзэл

Зөн совингийн үзэл баримтлал нь математикийн үндэс дээр нотлох арга хэрэгсэлд илүү хязгаарлагдмал зөн совингийн логикийг шаарддаг (гэхдээ илүү найдвартай гэж үздэг). Зөн совин нь зөрчилдөөнтэй нотолгоог үгүйсгэдэг, олон конструктив бус нотолгоо нь боломжгүй болж, олонлогийн онолын олон асуудал утгагүй (албан ёсны бус) болдог.

Бүтээлч математик

Конструктив математик нь конструктив бүтцийг судалдаг зөн совинтой ойролцоо математикийн чиг хандлага юм. тодруулах] . Барилга угсралтын шалгуурын дагуу - " оршин байна гэдэг нь баригдах гэсэн үг". Бүтээлч байдлын шалгуур нь тууштай байдлын шалгуураас илүү хүчтэй шаардлага юм.

Үндсэн сэдвүүд

Тоонууд

"Тоо" гэсэн ойлголт нь анх натурал тоог хэлдэг. Дараа нь энэ нь бүхэл тоо, рациональ, бодит, комплекс болон бусад тоонуудад аажмаар өргөжсөн.

Бүхэл тоо Рационал тоо Бодит тоо Нарийн төвөгтэй тоо Квартернионууд

Тоон систем
Тоолж байна багц	Натурал тоо () Бүхэл тоо () Рационал тоо () Алгебрийн () Үе Тооцоолох арифметик
Бодит тоо болон тэдгээрийн өргөтгөлүүд	Бодит () Цогцолбор () Квартернион () Кэйлийн тоо (октав, октонион) () Седенион () Альтернион Кэйли-Диксон процедур Хос Гиперкомплекс Суперреал Гиперреал Сурреал тоо () Англи)
Бусад тооллын системүүд	Үндсэн тоонууд Ординал тоо (трансфинит, дарааллын) p-adic Ер бусын тоо
бас үзнэ үү	Давхар тоо Иррационал тоо Трансцендент тоо туяа Бикватернион

Өөрчлөлтүүд

Дискрет математик

Мэдлэгийн ангиллын систем дэх кодууд

Онлайн үйлчилгээ

Математик тооцоолол хийх үйлчилгээ үзүүлдэг олон тооны сайтууд байдаг. Тэдний ихэнх нь англи хэл дээр байдаг. Орос хэлээр ярьдаг хүмүүсийн дунд Nigma хайлтын системийн математик асуулгын үйлчилгээг тэмдэглэж болно.

бас үзнэ үү

Шинжлэх ухааныг сурталчлагчид

Тэмдэглэл

1. Britannica нэвтэрхий толь бичиг
2. Вебстерийн онлайн толь бичиг
3. Бүлэг 2. Математик нь шинжлэх ухааны хэл. Сибирийн нээлттэй их сургууль. 2012 оны 2-р сарын 2-ны өдөр эх сурвалжаас архивлагдсан. 2010 оны 10-р сарын 5-нд авсан.
4. Эртний Грекийн том толь бичиг (αω)
5. XI-XVII зууны орос хэлний толь бичиг. Дугаар 9 / Ч. ed. Ф.П.Филин. - М.: Наука, 1982. - S. 41.
6. Декарт Р.Оюун санааг удирдан чиглүүлэх дүрэм. М.-Л.: Соцэггиз, 1936 он.
7. Үзнэ үү: TSB Математик
8. Маркс К., Энгельс Ф.Ажилладаг. 2-р хэвлэл. T. 20. S. 37.
9. Бурбаки Н.Математикийн архитектур. Математикийн түүхийн эссэ / Орчуулсан I. G. Башмакова, ред. К.А.Рыбникова. М.: IL, 1963. S. 32, 258.
10. Казиев В.М.Математикийн танилцуулга
11. Мухин О.И.Системийн загварчлалын заавар. Перм: RCI PSTU.
12. Херман Вайл // Клайн М.. - М.: Мир, 1984. - S. 16.
13. Дээд мэргэжлийн боловсролын улсын боловсролын стандарт. Мэргэжил 01.01.00. "Математик". Мэргэшсэн байдал - математикч. Москва, 2000 (О. Б. Лупановын удирдлаган дор эмхэтгэсэн)
14. ОХУ-ын Боловсрол, шинжлэх ухааны яамны 2009 оны 2-р сарын 25-ны өдрийн 59 тоот тушаалаар батлагдсан шинжлэх ухааны ажилчдын мэргэшлийн нэр томъёо.
15. UDC 51 Математик
16. Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Шугаман алгебр ба аналитик геометрийн элементүүд. М.: Наука, 1988. S. 44.
17. Н.И. Кондаков. Логик толь бичиг-лавлах ном. М.: Наука, 1975. S. 259.
18. Г.И. Рузавин. Математикийн мэдлэгийн мөн чанарын тухай. М.: 1968 он.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. Жишээ нь: http://mathworld.wolfram.com

Уран зохиол

нэвтэрхий толь бичиг

• // Брокхаус ба Эфроны нэвтэрхий толь бичиг: 86 боть (82 боть, 4 нэмэлт). - Санкт-Петербург. , 1890-1907.
• Математик нэвтэрхий толь (5 боть), 1980-аад он. // EqWorld дээрх ерөнхий болон тусгай математикийн лавлагаа
• Кондаков Н.И.Логик толь бичиг-лавлах ном. Москва: Наука, 1975.
• Математикийн шинжлэх ухаан ба тэдгээрийн хэрэглээний нэвтэрхий толь (Герман) 1899-1934 (19-р зууны уран зохиолын хамгийн том тойм)

Лавлах номууд

• G. Korn, T. Korn.Эрдэмтэн, инженерүүдэд зориулсан математикийн гарын авлага М., 1973 он

Номууд

• Клайн М.Математик. Итгэл алдагдах. - М.: Мир, 1984.
• Клайн М.Математик. Үнэнийг хайх. М.: Мир, 1988.
• Клейн Ф.Анхан шатны математикийг дээд талаас нь харвал.

• Боть I. Арифметик. Алгебр. Анализ М.: Наука, 1987. 432 х.
• II боть. Геометр М.: Наука, 1987. 416 х.

• Р.Курант, Г.Роббинс.Математик гэж юу вэ? 3-р хэвлэл, илч. болон нэмэлт - М.: 2001. 568 х.
• Писаревский Б.М., Харин В.Т.Математикийн тухай, математикч төдийгүй зөвхөн. - М .: Бином. Мэдлэгийн лаборатори, 2012. - 302 х.
• Пуанкаре А.Шинжлэх ухаан ба арга (орос.) (фр.)

Математик бол хамгийн эртний шинжлэх ухааны нэг юм. Математикийн талаар товч тодорхойлолт өгөх нь тийм ч хялбар биш бөгөөд түүний агуулга нь тухайн хүний ​​математикийн боловсролын түвшингээс хамааран ихээхэн ялгаатай байх болно. Арифметикийн хичээлд дөнгөж орж байгаа бага ангийн сурагч математик бол объектыг тоолох дүрмийг судалж байна гэж хэлэх болно. Тэгээд тэр зөв байх болно, учир нь тэр анх танилцдаг. Математикийн үзэл баримтлалд алгебр, геометрийн объектуудыг судлах: шугам, тэдгээрийн огтлолцол, хавтгай дүрс, геометрийн биет, янз бүрийн хувиргалт зэргийг багтаадаг гэж ахмад сурагчид нэмж хэлэх болно. Ахлах сургуулийг төгсөгчид математикийн тодорхойлолтод функц, хязгаарт шилжих үйлдлийг судлах, түүнчлэн дериватив ба интеграл гэсэн ойлголтуудыг багтаана. Техникийн дээд боловсролын байгууллага эсвэл их дээд сургууль, сурган хүмүүжүүлэх дээд сургуулийн байгалийн ухааны тэнхимийн төгсөгчид бусад салбарууд нь математикийн нэг хэсэг гэдгийг мэддэг тул сургуулийн тодорхойлолтод сэтгэл хангалуун байхаа болино: магадлалын онол, математик статистик, дифференциал тооцоо, програмчлал, тооцооллын арга, түүнчлэн үйлдвэрлэлийн үйл явцыг загварчлах, туршилтын өгөгдлийг боловсруулах, мэдээлэл дамжуулах, боловсруулахад эдгээр салбаруудын хэрэглээ. Гэсэн хэдий ч жагсаасан зүйл нь математикийн агуулгыг шавхдаггүй. Олонлогийн онол, математик логик, оновчтой хяналт, санамсаргүй үйл явцын онол болон бусад олон зүйлийг түүний бүрэлдэхүүнд багтаасан болно.

Математикийг түүний бүрдүүлэгч салбаруудыг жагсааж тодорхойлох оролдлого нь математик яг юу судалдаг, бидний эргэн тойрон дахь ертөнцтэй ямар холбоотой болох талаар ойлголт өгдөггүй тул биднийг төөрөлдүүлж байна. Хэрэв үүнтэй төстэй асуултыг физикч, биологич, одон орон судлаачид тавьсан бол тэд тус бүр нь судалж буй шинжлэх ухааныг бүрдүүлдэг хэсгүүдийн жагсаалтыг агуулаагүй маш богино хариулт өгөх болно. Ийм хариулт нь түүний судалж буй байгалийн үзэгдлийн шинж тэмдгийг агуулсан байх болно. Жишээлбэл, биологич биологи бол амьдралын янз бүрийн илрэлийг судалдаг шинжлэх ухаан гэж хэлэх болно. Хэдийгээр энэ хариулт бүрэн гүйцэд биш боловч амьдрал, амьдралын үзэгдэл гэж юу болохыг заагаагүй тул ийм тодорхойлолт нь биологийн шинжлэх ухааны өөрийн агуулга, энэ шинжлэх ухааны янз бүрийн түвшний талаар нэлээд бүрэн ойлголт өгөх болно. . Бидний биологийн мэдлэгийг өргөжүүлэх тусам энэ тодорхойлолт өөрчлөгдөхгүй.

Физик, биологи, хими, инженерчлэл, нийгмийн үзэгдэлтэй холбоогүй, математикийн судлах зүйл болох байгалийн үзэгдэл, техникийн болон нийгмийн үйл явц байдаггүй. Байгалийн шинжлэх ухааны салбар бүр: биологи ба физик, хими, сэтгэл судлал нь түүний хичээлийн материаллаг шинж чанар, түүний судалж буй бодит ертөнцийн онцлог шинж чанараар тодорхойлогддог. Объект эсвэл үзэгдлийг өөр өөр аргаар, тэр дундаа математикийн аргаар судалж болох боловч аргуудыг өөрчилснөөр бид энэ шинжлэх ухааны агуулга нь судалгааны арга биш харин бодит сэдэв учраас бид энэ хичээлийн хүрээнд хэвээр байна. Математикийн хувьд судалгааны материаллаг сэдэв нь шийдвэрлэх ач холбогдолтой биш харин хэрэглэх арга нь чухал юм. Жишээлбэл, тригонометрийн функцийг хэлбэлзлийн хөдөлгөөнийг судлах, хүрэх боломжгүй объектын өндрийг тодорхойлоход ашиглаж болно. Бодит ертөнцийн ямар үзэгдлийг математикийн аргаар судалж болох вэ? Эдгээр үзэгдлүүд нь материаллаг шинж чанараараа бус, зөвхөн албан ёсны бүтцийн шинж чанараар тодорхойлогддог бөгөөд юуны түрүүнд тэдгээрийн оршин буй тоон харилцаа, орон зайн хэлбэрүүдээр тодорхойлогддог.

Тиймээс математик нь материаллаг объектуудыг судалдаггүй, харин судалгааны арга барил, судалгааны объектын бүтцийн шинж чанарыг судалдаг бөгөөд энэ нь түүнд тодорхой үйлдлүүдийг (нийлбэр, ялгах гэх мэт) ашиглах боломжийг олгодог. Гэсэн хэдий ч математикийн асуудал, үзэл баримтлал, онолын нэлээд хэсэг нь бодит үзэгдэл, үйл явцын үндсэн эх сурвалж болдог. Жишээлбэл, арифметик болон тооны онол нь объектыг тоолох үндсэн практик даалгавараас үүссэн. Анхан шатны геометр нь зайг харьцуулах, хавтгай дүрсүүдийн талбай эсвэл орон зайн биетүүдийн эзэлхүүнийг тооцоолохтой холбоотой асуудлуудтай холбоотой байв. Батлан ​​​​хамгаалах байгууламжийг барих явцад газар нутгийг хэрэглэгчдийн хооронд дахин хуваарилах, үр тарианы агуулахын хэмжээ эсвэл газар шорооны ажлын хэмжээг тооцоолох шаардлагатай байсан тул энэ бүгдийг олох шаардлагатай байв.

Математикийн үр дүн нь зөвхөн тодорхой үзэгдэл, үйл явцыг судлахад ашиглахаас гадна физик шинж чанар нь урьд өмнө авч үзсэнээс эрс ялгаатай бусад үзэгдлийг судлахад ашиглагдах шинж чанартай байдаг. Тиймээс арифметикийн дүрмийг эдийн засгийн асуудал, техникийн асуудал, хөдөө аж ахуйн асуудлыг шийдвэрлэх, шинжлэх ухааны судалгаанд ашиглах боломжтой. Арифметикийн дүрмийг олон мянган жилийн өмнө боловсруулсан боловч практик үнэ цэнээ үүрд хадгалсаар ирсэн. Арифметик бол математикийн салшгүй хэсэг бөгөөд түүний уламжлалт хэсэг нь математикийн хүрээнд бүтээлч хөгжилд хамаарахаа больсон боловч олон тооны шинэ хэрэглээг олж илрүүлсээр байх болно. Эдгээр програмууд нь хүн төрөлхтөнд маш чухал ач холбогдолтой байж болох ч математикт зохих хувь нэмэр оруулахаа болино.

Математик нь бүтээлч хүчний хувьд олон тооны онцгой тохиолдлуудад хэрэглэгдэх ерөнхий дүрмийг боловсруулах зорилготой юм. Эдгээр дүрмийг бий болгодог хүн шинэ зүйлийг бий болгож, бүтээдэг. Бэлэн дүрмийг ашигладаг хүн математикт өөрөө бий болгохоо больсон, харин математикийн дүрмийн тусламжтайгаар бусад мэдлэгийн салбарт шинэ үнэ цэнийг бий болгодог. Жишээлбэл, өнөөдөр хиймэл дагуулын зургийн тайлбарын өгөгдөл, чулуулгийн бүтэц, нас, геохими, геофизикийн аномалийн талаархи мэдээллийг компьютер ашиглан боловсруулж байна. Геологийн судалгаанд компьютер ашиглах нь энэ судалгааг геологи болгож орхих нь дамжиггүй. Компьютер, тэдгээрийн програм хангамжийн ажиллах зарчмуудыг геологийн шинжлэх ухааны ашиг сонирхолд ашиглах боломжийг харгалзахгүйгээр боловсруулсан. Энэ боломж нь өөрөө геологийн өгөгдлийн бүтцийн шинж чанар нь тодорхой компьютерийн программуудын логиктой нийцэж байгаагаар тодорхойлогддог.

Математикийн хоёр тодорхойлолт өргөн тархсан. Эдгээрийн эхнийхийг Ф.Энгельс Анти-Дюринг номонд, нөгөөг нь Николас Бурбаки гэгддэг Францын хэсэг математикчид "Математикийн архитектур" (1948) өгүүлэлдээ өгсөн.

"Цэвэр математик нь бодит ертөнцийн орон зайн хэлбэр, тоон харилцааг өөрийн объект болгож байна." Энэхүү тодорхойлолт нь зөвхөн математикийн судалгааны объектыг тайлбарлахаас гадна түүний гарал үүслийг - бодит ертөнцийг илтгэнэ. Гэсэн хэдий ч Ф.Энгельсийн энэхүү тодорхойлолт нь 19-р зууны хоёрдугаар хагаст математикийн төлөв байдлыг ихээхэн тусгадаг. мөн тоон харьцаа эсвэл геометрийн хэлбэрүүдтэй шууд хамааралгүй шинэ хэсгүүдийг харгалздаггүй. Энэ нь юуны түрүүнд математик логик, програмчлалтай холбоотой салбарууд юм. Тиймээс энэ тодорхойлолтыг тодорхой болгох шаардлагатай байна. Математик нь орон зайн хэлбэр, тоон харилцаа, логик бүтцийг судлах объект гэж хэлэх ёстой.

Бурбаки "Математикийн цорын ганц объект бол математикийн бүтэц юм" гэж маргадаг. Өөрөөр хэлбэл, математикийг математик бүтцийн шинжлэх ухаан гэж тодорхойлох ёстой. Энэ тодорхойлолт нь үндсэндээ тавтологи юм, учир нь энэ нь зөвхөн нэг зүйлийг хэлдэг: математик нь судалж буй объектуудтай холбоотой байдаг. Энэхүү тодорхойлолтын өөр нэг дутагдал нь математикийн бидний эргэн тойрон дахь ертөнцтэй ямар холбоотой болохыг тодорхой зааж өгөөгүй явдал юм. Түүнээс гадна Бурбаки математикийн бүтэц нь бодит ертөнц, түүний үзэгдлээс үл хамааран бүтээгддэг гэдгийг онцлон тэмдэглэв. Тийм ч учраас Бурбаки “Гол асуудал бол туршилтын ертөнц ба математикийн ертөнцийн хоорондын харилцаа юм” гэж тунхаглахаас өөр аргагүй болсон. Туршилтын үзэгдэл ба математикийн бүтцийн хооронд нягт уялдаа холбоотой байдаг нь орчин үеийн физикийн нээлтүүдээр огт санаанд оромгүй байдлаар батлагдсан мэт боловч бид үүний гүн гүнзгий шалтгааныг огт мэдэхгүй ... магадгүй бид үүнийг хэзээ ч мэдэхгүй. .

Математикийн ухагдахуунууд нь бодит ертөнцийн тодорхой харилцаа, хэлбэрээс хийсвэрлэл юм гэсэн нотолгоог аль хэдийн агуулж байгаа тул Ф.Энгельсийн тодорхойлолтоос ийм урам хугарсан дүгнэлт гарч болохгүй. Эдгээр ойлголтуудыг бодит ертөнцөөс авсан бөгөөд түүнтэй холбоотой байдаг. Үнэн чанартаа энэ нь математикийн үр дүнг бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийн үзэгдэлд ашиглах гайхалтай боломж, тэр үед мэдлэгийг математикжуулах үйл явцын амжилтыг тайлбарлаж байна.

Математик нь мэдлэгийн бүх салбараас үл хамаарах зүйл биш бөгөөд энэ нь практик нөхцөл байдал, дараагийн хийсвэрлэлээс үүссэн ойлголтуудыг бүрдүүлдэг; Энэ нь бодит байдлыг мөн ойролцоогоор судлах боломжийг олгодог. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн математик нь бодит ертөнцийн юмсыг судалдаггүй, хийсвэр ойлголтуудыг судалдаг бөгөөд түүний логик дүгнэлт нь туйлын хатуу бөгөөд нарийн байдаг гэдгийг санах хэрэгтэй. Түүний ойр дотно байдал нь дотоод шинж чанартай биш, харин үзэгдлийн математик загварыг эмхэтгэхтэй холбоотой юм. Математикийн дүрмүүд нь үнэмлэхүй хэрэглэгдэх боломжгүй бөгөөд тэдгээр нь дээд хязгаарлагдмал хэрэглээний талбартай байдаг гэдгийг бид бас тэмдэглэж байна. Илэрхийлсэн санаагаа жишээгээр тайлбарлая: хоёр ба хоёр нь үргэлж дөрөвтэй тэнцүү байдаггүй нь харагдаж байна. 2 литр архи, 2 литр ус холиход 4 литрээс бага хольц гардаг нь мэдэгдэж байна. Энэ хольцод молекулууд илүү нягт байрладаг бөгөөд хольцын эзэлхүүн нь бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн эзэлхүүний нийлбэрээс бага байна. Арифметикийн нэмэх дүрмийг зөрчсөн. Та мөн арифметикийн бусад үнэнийг зөрчсөн жишээг өгч болно, жишээлбэл, зарим объектыг нэмэхэд нийлбэр нь нийлбэрийн дарааллаас хамаарна.

Олон математикчид математикийн ухагдахууныг цэвэр учир шалтгааны бүтээл биш, харин үнэхээр байгаа зүйл, үзэгдэл, үйл явцын хийсвэрлэл эсвэл аль хэдийн тогтсон хийсвэрлэлээс (дээд эрэмбийн хийсвэр) хийсвэрлэл гэж үздэг. Ф.Энгельс "Байгалийн диалектик" номдоо "... цэвэр математик гэж нэрлэгддэг бүх зүйл хийсвэрлэлд оролцдог ... түүний бүх хэмжигдэхүүнүүд нь хатуухан хэлэхэд, төсөөллийн хэмжигдэхүүнүүд ..." гэж бичсэн байдаг. Математик дахь хийсвэрлэлийн үүргийн тухай марксист философийг үндэслэгчдийн нэг. Эдгээр бүх "төсөөллийн хэмжигдэхүүн" нь бодит байдлаас авсан бөгөөд дур зоргоороо, бодлын чөлөөт нислэгээр бүтээгдээгүй гэдгийг бид нэмж хэлэх ёстой. Ингэж л тоо гэдэг ойлголт түгээмэл хэрэглэгдэх болсон. Эхлээд эдгээр нь нэгж доторх тоонууд байсан бөгөөд үүнээс гадна зөвхөн эерэг бүхэл тоонууд байв. Дараа нь туршлага намайг тооны арсеналыг арав, зуугаар өргөжүүлэхэд хүргэв. Цуврал бүхэл тоонуудын хязгааргүй байдлын тухай ойлголт бидэнд түүхэн ойр байсан эрин үед аль хэдийн үүссэн: Архимед "Псаммит" ("Элсний ширхэгийн тооцоо") номондоо өгөгдсөн тооноос ч илүү том тоог хэрхэн бүтээх боломжтойг харуулсан. . Үүний зэрэгцээ практик хэрэгцээнээс бутархай тооны тухай ойлголт төрсөн. Хамгийн энгийн геометрийн тоонуудтай холбоотой тооцоолол нь хүн төрөлхтнийг шинэ тоонууд болох үндэслэлгүй тоонуудад хүргэсэн. Ийнхүү бүх бодит тоонуудын багцын санаа аажмаар бий болсон.

Математикийн бусад үзэл баримтлалд ч мөн адил замыг баримталж болно. Эдгээр нь бүгд практик хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй бөгөөд аажмаар хийсвэр ойлголтууд болж хувирсан. Ф.Энгельсийн хэлсэн үгийг дахин санаж болно: “... цэвэр математик нь хувь хүн бүрийн онцгой туршлагаас хамааралгүй утга учиртай байдаг... Гэвч цэвэр математикт оюун ухаан зөвхөн өөрийнх нь бүтээгдэхүүнтэй харьцдаг нь огт буруу юм. бүтээлч байдал, төсөөлөл. Тоо, дүрсийн тухай ойлголтыг хаанаас ч авдаггүй, зөвхөн бодит ертөнцөөс авдаг. Хүмүүсийн тоолж, өөрөөр хэлбэл анхны арифметик үйлдлийг хийж сурсан арван хуруу бол оюун санааны чөлөөт бүтээлч байдлын үр шимээс өөр зүйл биш юм. Тоолохын тулд зөвхөн тоолж болохуйц биетүүдтэй байх ёстой бөгөөд эдгээр объектуудыг тооноос бусад бүх шинж чанараас нь авч үзэхэд анхаарал сарниулах чадвартай байх ёстой бөгөөд энэ чадвар нь туршлага дээр суурилсан урт удаан хугацааны түүхэн хөгжлийн үр дүн юм. Тооны тухай ойлголт, дүрсийн тухай ойлголт хоёулаа зөвхөн гадаад ертөнцөөс зээлсэн бөгөөд толгойд цэвэр сэтгэлгээнээс үүссэнгүй. Тодорхой хэлбэр дүрстэй зүйлс байх ёстой бөгөөд дүрсийн тухай ойлголттой болохын өмнө эдгээр хэлбэрийг харьцуулах шаардлагатай байв.

Шинжлэх ухааны өнгөрсөн үеийн дэвшил, практикийн өнөөгийн дэвшилтэй холбоогүй шинжлэх ухаанд бий болсон ойлголтууд байгаа эсэхийг авч үзье. Шинжлэх ухааны математикийн бүтээлч байдал нь сургууль, их дээд сургуульд олон сэдвийг судлах, ном, нийтлэл унших, өөрийн болон бусад мэдлэгийн салбарын мэргэжилтнүүдтэй ярилцах зэргээс бүрддэг гэдгийг бид сайн мэднэ. Математикч хүн нийгэмд амьдарч, номноос, радиогоор, бусад эх сурвалжаас шинжлэх ухаан, инженерчлэл, нийгмийн амьдралд гарч буй асуудлуудыг олж авдаг. Түүнчлэн судлаачийн сэтгэлгээнд шинжлэх ухааны сэтгэлгээний өмнөх хувьсал бүхэлдээ нөлөөлдөг. Тиймээс шинжлэх ухааны хөгжилд шаардлагатай зарим асуудлыг шийдвэрлэхэд бэлэн байна. Тийм ч учраас эрдэмтэн хүн дур зоргоороо асуудал дэвшүүлж чадахгүй, харин шинжлэх ухаан, бусад судлаачид, хүн төрөлхтөнд үнэ цэнэтэй математикийн үзэл баримтлал, онолыг бий болгох ёстой. Гэхдээ математикийн онолууд нь янз бүрийн нийгмийн тогтоц, түүхэн эрин үеийн нөхцөлд ач холбогдлоо хадгалсаар байна. Нэмж дурдахад, ямар ч холбоогүй эрдэмтдээс ижил санаанууд ихэвчлэн гардаг. Энэ нь математикийн үзэл баримтлалыг чөлөөтэй бүтээх үзэл баримтлалыг баримталдаг хүмүүсийн эсрэг нэмэлт аргумент юм.

Тиймээс бид "математик" гэсэн ойлголтод юу багтдагийг хэлсэн. Гэхдээ хэрэглээний математик гэж бас байдаг. Энэ нь математикийн гадна хэрэглээг олж буй бүх математикийн арга, салбаруудын цогц гэж ойлгогддог. Эрт дээр үед геометр, арифметик нь бүх математикийг төлөөлдөг байсан бөгөөд хоёулаа худалдааны солилцоо, талбай, эзэлхүүнийг хэмжих, навигацийн асуудалд олон тооны хэрэглээг олсон тул бүх математик нь зөвхөн онолын төдийгүй хэрэглээний шинж чанартай байв. Хожим нь эртний Грекд математик, хэрэглээний математик гэж хуваагдсан. Гэсэн хэдий ч бүх нэр хүндтэй математикчид зөвхөн онолын судалгаанд төдийгүй хэрэглээний чиглэлээр ажилладаг байв.

Математикийн цаашдын хөгжил нь байгалийн шинжлэх ухаан, технологийн дэвшил, нийгмийн шинэ хэрэгцээ үүссэнтэй тасралтгүй холбоотой байв. XVIII зууны эцэс гэхэд. Хөдөлгөөний математик онолыг бий болгох хэрэгцээ (ялангуяа навигаци, их бууны асуудалтай холбоотой) байв. Үүнийг Г.В.Лейбниц, И.Ньютон нар өөрсдийн бүтээлдээ хийжээ. Хэрэглээний математик нь маш хүчирхэг судалгааны шинэ арга болох математик анализаар дүүргэгдсэн. Бараг нэгэн зэрэг хүн ам зүй, даатгалын хэрэгцээ нь магадлалын онолын эхлэлийг бий болгоход хүргэсэн (Магадлалын онолыг үзнэ үү). 18, 19-р зуун хэрэглээний математикийн агуулгыг өргөжүүлж, ердийн ба хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн онол, математикийн физикийн тэгшитгэл, математик статистикийн элементүүд, дифференциал геометрийн онолуудыг нэмж оруулсан. 20-р зуун Санамсаргүй үйл явцын онол, графикийн онол, функциональ шинжилгээ, оновчтой хяналт, шугаман ба шугаман бус програмчлал зэрэг практик асуудлуудын математик судалгааны шинэ аргуудыг авчирсан. Түүгээр ч зогсохгүй тооны онол, хийсвэр алгебр нь физикийн асуудлуудад гэнэтийн хэрэглээг олсон нь тогтоогджээ. Үүний үр дүнд хэрэглээний математикийг тусдаа салбар гэж үздэггүй, бүх математикийг хэрэглэж болно гэсэн итгэл үнэмшил бий болж эхлэв. Математикийг хэрэглээний болон онолын гэж хэлэхгүй, харин математикчдыг хэрэглээний болон онолч гэж хуваадаг гэж хэлэх хэрэгтэй болов уу. Зарим хүмүүсийн хувьд математик бол хүрээлэн буй ертөнц, түүнд тохиолдож буй үзэгдлийн талаархи танин мэдэхүйн арга бөгөөд энэ зорилгоор эрдэмтэн математикийн мэдлэгийг хөгжүүлж, өргөжүүлдэг. Бусдын хувьд математик өөрөө судлах, хөгжүүлэх зохистой ертөнцийг төлөөлдөг. Шинжлэх ухааны хөгжилд хоёр төрлийн эрдэмтэд хэрэгтэй.

Математик нь аливаа үзэгдлийг өөрийн арга барилаар судлахын өмнө математик загвараа бий болгодог, өөрөөр хэлбэл тухайн үзэгдлийн бүх шинж чанарыг харгалзан үздэг. Энэхүү загвар нь судлаачийг судалж буй үзэгдлийн онцлог, түүний хувьслыг зохих ёсоор дамжуулах боломжийг олгодог математик хэрэгслийг сонгоход хүргэдэг. Жишээлбэл, гаригийн системийн загварыг авч үзье: Нар ба гаригуудыг харгалзах масстай материаллаг цэг гэж үздэг. Хоёр цэг бүрийн харилцан үйлчлэл нь тэдгээрийн хоорондох таталцлын хүчээр тодорхойлогддог

Энд m 1 ба m 2 нь харилцан үйлчлэх цэгүүдийн масс, r нь тэдгээрийн хоорондох зай, f нь таталцлын тогтмол юм. Энэхүү загвар нь энгийн хэдий ч сүүлийн гурван зуун жилийн хугацаанд нарны аймгийн гаригуудын хөдөлгөөний онцлогийг маш нарийвчлалтайгаар дамжуулж ирсэн.

Мэдээжийн хэрэг, загвар бүр нь бодит байдлыг бүдүүлэг болгодог бөгөөд судлаачийн үүрэг бол юуны түрүүнд, нэг талаас, асуудлын бодит талыг (тэдний хэлснээр түүний физик шинж чанарыг) бүрэн дүүрэн харуулсан загварыг санал болгох явдал юм. нөгөө талаас бодит байдалд ихээхэн ойртож өгдөг. Мэдээжийн хэрэг, ижил үзэгдлийн хэд хэдэн математик загварыг санал болгож болно. Загвар ба бодит байдлын хооронд мэдэгдэхүйц зөрүү гарч эхлэх хүртэл тэд бүгд оршин тогтнох эрхтэй.

Математик 1. Математик гэдэг үг хаанаас үүссэн бэ 2. Математикийг хэн зохион бүтээсэн бэ? 3. Үндсэн сэдвүүд. 4. Тодорхойлолт 5. Этимологи Сүүлийн слайд дээр.

Энэ үг хаанаас ирсэн бэ (өмнөх слайд руу оч) Грек хэлнээс Математик - судалгаа, шинжлэх ухаан) нь объектын хэлбэрийг тоолох, хэмжих, дүрслэх үйлдлүүд дээр үндэслэсэн бүтэц, дараалал, харилцааны шинжлэх ухаан юм. Математикийн объектууд нь бодит болон бусад математикийн объектуудын шинж чанарыг идеал болгож, эдгээр шинж чанаруудыг албан ёсны хэлээр бичих замаар бий болдог.

Математикийг хэн зохион бүтээсэн бэ (цэс рүү орно уу) Анхны математикчийг ихэвчлэн VI зуунд амьдарч байсан Милетийн Фалес гэдэг. МЭӨ д. , Грекийн долоон мэргэдийн нэг. Гэсэн хэдий ч тэрээр түүний мэддэг дэлхийн хэмжээнд эрт дээр үеэс бий болсон энэ сэдвээр бүхэл бүтэн мэдлэгийн баазыг анх зохион байгуулсан хүн юм. Гэсэн хэдий ч бидэнд ирсэн математикийн талаархи анхны зохиолын зохиогч нь Евклид (МЭӨ III зуун) юм. Тэр ч бас энэ шинжлэх ухааны эцэг гэж зүй ёсоор тооцогдох ёстой.

Үндсэн сэдвүүд (цэс рүү очих) Математикийн салбар нь зөвхөн дараалал эсвэл хэмжигдэхүүнийг харгалзан үздэг шинжлэх ухааныг багтаадаг бөгөөд эдгээр нь тоо, тоо, од, дуу авиа эсвэл энэ хэмжигдэхүүнтэй бусад зүйл эсэх нь огт хамаагүй. олддог. Иймд ямар нэгэн тодорхой сэдвийг судлахгүйгээр дараалал, хэмжүүртэй холбоотой бүх зүйлийг тайлбарладаг ерөнхий шинжлэх ухаан байх ёстой бөгөөд энэ шинжлэх ухааныг харийнхан биш, харин ерөнхий математикийн хуучин, аль хэдийн нийтлэг нэрээр нэрлэх ёстой.

Тодорхойлолт (цэс рүү орох) Орчин үеийн шинжилгээ нь математикийн гурван үндсэн чиглэлийн нэг (алгебр, геометрийн хамт) гэж тооцогддог сонгодог математикийн анализ дээр суурилдаг. Үүний зэрэгцээ "математик анализ" гэсэн нэр томъёог сонгодог утгаар нь голчлон сургалтын хөтөлбөр, материалд ашигладаг. Англо-Америкийн уламжлалд сонгодог математикийн шинжилгээ нь "тооцоолол" нэртэй сургалтын хөтөлбөртэй тохирдог.

Этимологи (цэс рүү очих) "Математик" гэдэг үг нь бусад Грек хэлнээс гаралтай. , энэ нь судлах, мэдлэг, шинжлэх ухаан гэх мэт -Грек, анх хүлээн авах, амжилттай, хожим суралцахтай холбоотой, хожим математиктай холбоотой гэсэн утгатай. Тодруулбал, латинаар математикийн урлаг гэсэн утгатай. Энэ нэр томъёо нь өөр - Грек. Энэ үгийн орчин үеийн утгаараа "математик" нь Аристотелийн (МЭӨ 4-р зуун) "Есөн Муза ба Долоон Чөлөөт Урлагийн Сонгосон Ном"-д (1672) аль хэдийн олдсон байдаг.

МАТЕМАТИК бол бодит ертөнцийн тоон харилцаа, орон зайн хэлбэрийн шинжлэх ухаан юм; Грек үг (математик) нь "мэдлэг", "шинжлэх ухаан" гэсэн утгатай Грек үг (матема) -аас гаралтай.

Математик нь эрт дээр үед хүмүүсийн практик хэрэгцээнээс үүссэн. Түүний агуулга, шинж чанар нь түүхийн туршид өөрчлөгдсөн бөгөөд одоо ч өөрчлөгдсөөр байна. Эерэг бүхэл тооны тухай анхдагч сэдвийн санаанууд, мөн шулуун шугамын сегментийг хоёр цэгийн хоорондох хамгийн богино зай гэсэн санаанаас үзэхэд математик нь тодорхой судалгааны арга барилтай хийсвэр шинжлэх ухаан болохоос өмнө хөгжлийн урт замыг туулсан.

Орон зайн хэлбэрийн талаарх орчин үеийн ойлголт маш өргөн хүрээтэй. Үүнд гурван хэмжээст орон зайн геометрийн объектууд (шугам, тойрог, гурвалжин, конус, цилиндр, бөмбөг гэх мэт) зэрэг олон тооны ерөнхий ойлголтууд - олон хэмжээст ба хязгааргүй хэмжээст орон зайн тухай ойлголтууд, тэдгээрийн доторх геометрийн объектууд орно. , болон бусад олон. Үүний нэгэн адил тоон харьцааг зөвхөн эерэг бүхэл тоо эсвэл рационал тоогоор илэрхийлээд зогсохгүй комплекс тоо, вектор, функцгэх мэт. Шинжлэх ухаан, технологийн хөгжил нь математикийг орон зайн хэлбэр, тоон харилцааны талаархи санаа бодлыг тасралтгүй өргөжүүлэхэд хүргэдэг.

Математикийн ойлголтууд нь тодорхой үзэгдэл, объектуудаас хийсвэрлэгдсэн; Эдгээр нь өгөгдсөн хүрээний үзэгдэл, объектод хамаарах чанарын шинж чанаруудаас хийсвэрлэсний үр дүнд олж авдаг. Энэ нөхцөл байдал нь математикийн хэрэглээний хувьд маш чухал юм. 2-ын тоо нь ямар нэгэн тодорхой сэдвийн агуулгатай салшгүй холбоотой биш юм. Энэ нь хоёр алим, хоёр ном, хоёр бодол санааг илэрхийлж болно. Энэ нь эдгээр болон бусад тоо томшгүй олон объектод адилхан хамаатай. Үүнтэй адилаар бөмбөгний геометрийн шинж чанар нь шил, ган, стеаринаар хийгдсэн тул өөрчлөгддөггүй. Мэдээжийн хэрэг, объектын шинж чанараас хийсвэрлэх нь тухайн объектын талаархи бидний мэдлэг, түүний материаллаг шинж чанаруудын талаархи мэдлэгийг сулруулдаг. Үүний зэрэгцээ, бие даасан объектуудын онцгой шинж чанараас хийсвэрлэх нь ойлголтод нийтлэг байдлыг өгч, математикийг материаллаг шинж чанараараа хамгийн олон янзын үзэгдлүүдэд ашиглах боломжийг олгодог. Иймд математикийн ижил хуулиуд, ижил математикийн аппаратыг байгалийн үзэгдэл, техникийн болон эдийн засаг, нийгмийн үйл явцыг тайлбарлахад хангалттай ашиглаж болно.

Үзэл баримтлалын хийсвэр байдал нь математикийн онцгой шинж чанар биш юм; Аливаа шинжлэх ухааны болон ерөнхий ойлголтууд нь тодорхой зүйлийн шинж чанараас хийсвэрлэх элементийг агуулдаг. Гэхдээ математикт хийсвэрлэх үйл явц нь байгалийн шинжлэх ухаанаас илүү урагшилдаг; Математикийн хувьд янз бүрийн түвшний хийсвэрийг бүтээх үйл явцыг өргөн ашигладаг. Тиймээ, үзэл баримтлал бүлгүүдтоонуудын нийлбэрийн зарим шинж чанар болон бусад хийсвэр ухагдахууныг хийсвэрлэх замаар үүссэн. Математик нь мөн түүний үр дүнг олж авах арга замаар тодорхойлогддог. Хэрэв байгалийн судлаач өөрийн байр сууриа батлахын тулд туршлагаасаа байнга ханддаг бол математикч зөвхөн логик үндэслэлээр үр дүнгээ нотолж өгдөг. Математикийн хувьд ямар ч үр дүн нь логик нотолгоо шаардахаас нааш батлагдсан гэж тооцогдохгүй бөгөөд энэ нь тусгай туршилтаар энэ үр дүнг баталгаажуулсан ч гэсэн. Үүний зэрэгцээ математикийн онолын үнэн мөнийг практикт шалгадаг боловч энэхүү баталгаажуулалт нь онцгой шинж чанартай: математикийн үндсэн ойлголтууд нь практикийн тодорхой шаардлагаас урт хугацааны талстжилтын үр дүнд бий болдог; логикийн дүрмийг өөрөө байгаль дахь үйл явцын явцыг олон мянган жилийн турш ажигласны дараа л боловсруулсан; Математикийн теоремыг томъёолох, бодлого боловсруулах нь практикийн шаардлагаас үүсдэг. Математик нь практик хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй бөгөөд түүний практиктай уялдаа холбоо нь цаг хугацааны явцад улам бүр олон янз, гүнзгий болж байв.

Зарчмын хувьд математикийг ямар ч төрлийн хөдөлгөөн, олон янзын үзэгдлийг судлахад ашиглаж болно. Бодит байдал дээр шинжлэх ухаан, практик үйл ажиллагааны янз бүрийн салбарт түүний үүрэг ижил биш юм. Орчин үеийн физик, хими, технологийн олон салбарыг хөгжүүлэхэд, ерөнхийдөө эдгээр үзэгдлүүдийг судлахад математикийн үүрэг онцгой чухал байдаг бөгөөд тэдгээрийн чанарын онцлог шинж чанараас ихээхэн хэмжээгээр хийсвэрлэх нь тоон болон орон зайн шинж чанарыг нарийн тодорхойлох боломжийг олгодог. тэдгээрт хамаарах хэв маяг. Жишээлбэл, селестиел биетүүдийн хөдөлгөөнийг математикийн судалгаа, тэдгээрийн бодит шинж чанараас (биеийг, жишээлбэл, материаллаг цэг гэж үздэг) чухал ач холбогдолтой хийсвэрлэлд үндэслэсэн нь тэдний бодит хөдөлгөөнтэй төгс тохироход хүргэсэн. Үүний үндсэн дээр зөвхөн огторгуйн үзэгдлүүдийг (хиртэлт, гаригуудын байрлал гэх мэт) урьдчилан таамаглахаас гадна урьд өмнө ажиглагдаж байгаагүй гаригуудын оршин тогтнолыг урьдчилан таамаглах боломжтой (ийм байдлаар Плутоныг 1930 онд нээжээ. , 1846 онд Далай ван). Эдийн засаг, биологи, анагаах ухаан зэрэг шинжлэх ухаанд математик нь жижиг боловч чухал байр суурийг эзэлдэг. Эдгээр шинжлэх ухаанд судлагдсан үзэгдлүүдийн чанарын өвөрмөц байдал нь маш их бөгөөд тэдгээрийн явцын мөн чанарт маш хүчтэй нөлөөлдөг тул математик шинжилгээ нь зөвхөн туслах үүрэг гүйцэтгэдэг. Нийгэм, биологийн шинжлэх ухааны хувьд онцгой ач холбогдолтой юм математикийн статистик.Математик өөрөө мөн байгалийн шинжлэх ухаан, технологи, эдийн засгийн шаардлагын нөлөөн дор хөгждөг. Сүүлийн жилүүдэд ч гэсэн практик хүсэлтийн үндсэн дээр бий болсон хэд хэдэн математикийн салбарууд гарч ирэв. мэдээллийн онол, тоглоомын онолгэх мэт.

Юм үзэгдлийн танин мэдэхүйн нэг үе шатнаас нөгөөд шилжих нь илүү үнэн зөв, математикт шинэ шаардлага тавьж, шинэ ойлголт, шинэ судалгааны аргуудыг бий болгоход хүргэдэг нь тодорхой юм. Ийнхүү одон орон судлалын шаардлагууд нь цэвэр дүрслэх мэдлэгээс нарийн мэдлэг рүү шилжсэн нь үндсэн ойлголтуудыг бий болгоход хүргэсэн. тригонометр: МЭӨ 2-р зуунд эртний Грекийн эрдэмтэн Гиппарх орчин үеийн синусын хүснэгтэд тохирох хөвчний хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн; 1-р зуунд эртний Грекийн эрдэмтэд Менелаус, 2-р зуунд Клавдий Птолемей нар үндэс суурийг тавьжээ. бөмбөрцөг тригонометр. 17-р зуунд үйлдвэрлэл, навигаци, их бууны хөгжлөөс үүдэлтэй хөдөлгөөнийг судлах сонирхол нэмэгдсэн нь 17-р зуунд үзэл баримтлалыг бий болгоход хүргэсэн. математик шинжилгээ, шинэ математикийн хөгжил. 18-19-р зуунд байгалийн үзэгдлүүдийг судлахад математикийн аргыг өргөнөөр нэвтрүүлсэн (гол төлөв одон орон, физик), технологийн хөгжил (ялангуяа механик инженерчлэл) нь онолын механик, онолын хурдацтай хөгжилд хүргэсэн. дифференциал тэгшитгэл.Материйн молекулын бүтцийн талаархи санааг хөгжүүлэх нь хурдацтай хөгжлийг бий болгосон магадлалын онол. Одоогийн байдлаар бид математикийн судалгааны шинэ чиглэлүүд гарч ирснийг олон жишээгээр харж болно. Ялангуяа ололт амжилтыг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй тооцооллын математик болон математикийн олон салбар дахь компьютерийн технологи, тэдгээрийн хийсэн өөрчлөлтүүд.

Түүхэн эссэ. Математикийн түүхэнд үндсэндээ чанарын ялгаа бүхий дөрвөн үеийг тодорхойлж болно. Дараагийн үе бүр нь өмнөх үеүүдийн дотор хөгжиж байсан тул шинэ санаанууд дөнгөж гарч ирж байсан бөгөөд математикийн өөрөө ч, түүний хэрэглээнд ч чиглүүлж амжаагүй байсан нэлээд чухал шилжилтийн үе шатууд байсан тул эдгээр үеийг нарийн салгахад хэцүү байдаг.

1) Математик нь бие даасан шинжлэх ухааны салбар болж үүссэн үе; энэ үеийн эхлэл түүхийн гүнд алдагдсан; Энэ нь ойролцоогоор МЭӨ 6-5 зуун хүртэл үргэлжилсэн. д.

2) Анхан шатны математикийн үе, тогтмолуудын математик; Энэ нь ойролцоогоор 17-р зууны төгсгөл хүртэл үргэлжилсэн бөгөөд шинэ, "дээд" математикийн хөгжил нэлээд хол явсан.

3) Хувьсагчийн математикийн үе; Математик анализыг бий болгох, хөгжүүлэх, тэдгээрийн хөдөлгөөн, хөгжлийн үйл явцыг судлах замаар тодорхойлогддог.

4) Орчин үеийн математикийн үе; тоон харилцааны боломжит хэлбэр, орон зайн хэлбэрийг ухамсартай, системтэй судлах замаар тодорхойлогддог. Геометрийн хувьд зөвхөн бодит гурван хэмжээст орон зайг төдийгүй үүнтэй төстэй орон зайн хэлбэрийг судалдаг. Математикийн шинжилгээнд хувьсагчдыг зөвхөн тоон аргументаас гадна үзэл баримтлалд хүргэдэг зарим шугамаас (функц) хамаардаг гэж үздэг. функциональ байдалболон оператор. Алгебрдурын шинж чанартай элементүүд дээр алгебрийн үйлдлийн онол болж хувирав. Хэрэв эдгээр үйлдлүүдийг тэдэн дээр хийх боломжтой байсан бол. Энэ үеийн эхлэлийг 19-р зууны эхний хагаст зүй ёсоор тооцож болно.

Эртний ертөнцөд математикийн мэдээлэл нь анх санваартнууд болон төрийн албан хаагчдын мэдлэгийн салшгүй хэсэг байсан. Энэ мэдээллийн нөөцийг аль хэдийн тайлагдсан Вавилоны шавар хавтангууд болон Египетийн хэлснээр шүүж болно. математикийн папирус,харьцангуй том байсан. Эртний Грекийн эрдэмтэн Пифагороос Месопотамид мянган жилийн өмнө Пифагорын онол мэдэгдээд зогсохгүй бүхэл талтай бүх тэгш өнцөгт гурвалжныг олох асуудлыг шийдэж байсан тухай баримт бий. Гэсэн хэдий ч тухайн үеийн баримт бичгийн дийлэнх нь хамгийн энгийн арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дүрмийн цуглуулга, мөн биетүүдийн тоо, эзлэхүүнийг тооцоолох журам юм. Эдгээр тооцоог хөнгөвчлөхийн тулд янз бүрийн хүснэгтүүдийг хадгалсан болно. Бүх гарын авлагад дүрмийг томьёолдоггүй, харин байнга жишээ болгон тайлбарладаг. Математикийг сайн боловсруулсан дедуктив арга барилтай албан ёсны шинжлэх ухаан болгон хувиргах нь Эртний Грекд болсон. Яг тэр газарт математикийн бүтээлч байдал нэргүй байхаа больсон. Практик арифметик ба геометрЭртний Грекд өндөр хөгжилтэй байсан. Грекийн геометрийн эхлэл нь Египетээс анхан шатны мэдлэгийг авчирсан Милетийн Талес (МЭӨ 7-р зууны төгсгөл - МЭӨ 6-р зууны эхэн) нэртэй холбоотой юм. Самосын Пифагорын сургуульд (МЭӨ 6-р зуун) тоонуудын хуваагдлыг судалж, хамгийн энгийн прогрессийг нэгтгэн дүгнэж, төгс тоог судалж, янз бүрийн төрлийн дундажийг (арифметик, геометр, гармоник) авч үзэх, Пифагорын тоог нэвтрүүлсэн. дахин олдсон (тэгш өнцөгт гурвалжны тал байж болох бүхэл тооны гурвалсан тоо). МЭӨ 5-6-р зуунд. Эртний алдартай асуудлууд гарч ирэв - тойргийн квадрат, өнцгийн гурвалсан хэсэг, шоо хоёр дахин нэмэгдэх, анхны иррационал тоонууд бий болсон. Геометрийн анхны системчилсэн сурах бичгийг Хиосын Гиппократ (МЭӨ 5-р зууны 2-р хагас) гэж нэрлэдэг. Үүний зэрэгцээ, орчлон ертөнцийн материйн бүтцийг оновчтой тайлбарлах оролдлоготой холбоотой Платон сургуулийн томоохон амжилт нь бүх ердийн олон талтуудыг хайх явдал юм. МЭӨ 5-4-р зууны хил дээр. Демокрит атомист үзэл санаан дээр үндэслэн биеийн эзэлхүүнийг тодорхойлох аргыг санал болгосон. Энэ аргыг хязгааргүй жижиг аргын прототип гэж үзэж болно. МЭӨ 4-р зуунд. Книдын Евдокс пропорцын онолыг боловсруулсан. МЭӨ 3-р зуун бол математикийн бүтээлч байдлын хамгийн эрчимтэй үе юм. (Александрийн эрин гэж нэрлэгддэг 1-р зуун). МЭӨ 3-р зуунд. Евклид, Архимед, Пергийн Аполлониус, Эратосфен зэрэг математикчид ажиллаж байсан; хожим - Херон (МЭ 1-р зуун) Диофант (3-р зуун). Евклид "Элементүүд"-дээ геометрийн салбарын ололт амжилтыг цуглуулж, эцсийн логик боловсруулалтанд оруулсан; Үүний зэрэгцээ тэрээр тооны онолын үндэс суурийг тавьсан. Архимедийн геометрийн гол гавьяа нь янз бүрийн талбай, эзэлхүүнийг тодорхойлох явдал байв. Диофант рационал эерэг тоонуудын тэгшитгэлийн шийдлийг голчлон судалсан. 3-р зууны сүүлчээс Грекийн математикийн уналт эхэлсэн.

Математик нь эртний Хятад, Энэтхэгт томоохон хөгжилд хүрсэн. Хятадын математикчид тооцоолол хийх өндөр техниктэй, ерөнхий алгебрийн аргыг хөгжүүлэх сонирхолтой байдгаараа онцлог юм. МЭӨ 2-1-р зуунд. Есөн номонд математик бичигдсэн. Энэ нь орчин үеийн сургуульд танилцуулсан квадрат язгуурыг гаргаж авах ижил аргуудыг агуулдаг: шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргууд, Пифагорын теоремын арифметик томъёолол.

5-12-р зуунд цэцэглэн хөгжсөн Энэтхэгийн математик нь орчин үеийн аравтын бутархай тоолол, түүнчлэн тухайн ангиллын нэгж байхгүй, алгебрийн шинжлэх ухааныг илүү өргөн хүрээтэй хөгжүүлсний ач тусыг тэглэхийн хамт ашигласан гэж үздэг. Диофант нь зөвхөн эерэг оновчтой тоонуудтай төдийгүй сөрөг ба иррационал тоонуудтай ажилладаг.

Арабын байлдан дагуулал нь Төв Азиас Иберийн хойг хүртэл 9-15-р зууны үед эрдэмтэд араб хэлийг ашиглахад хүргэсэн. 9-р зуунд Төв Азийн эрдэмтэн аль-Хорезми алгебрийг бие даасан шинжлэх ухаан болгон анх гаргаж иржээ. Энэ хугацаанд геометрийн олон асуудлууд алгебрийн томъёоллыг хүлээн авсан. Сирийн аль-Баттани синус, тангенс, котангенс гэсэн тригонометрийн функцуудыг танилцуулсан бол Самаркандын эрдэмтэн аль-Каши (15-р зуун) аравтын бутархайг нэвтрүүлж, системтэй танилцуулга хийж, Ньютоны хоёр гишүүний томьёог томьёолжээ.

Математикийн хөгжлийн цоо шинэ үе 17-р зуунаас эхэлсэн бөгөөд хөдөлгөөн, өөрчлөлтийн тухай санаа математикт тодорхой нэвтэрч эхэлсэн. Хувьсагч, тэдгээрийн хоорондын хамаарлыг авч үзэх нь функц, дериватив, интеграл гэсэн ойлголтыг Дифференциал тооцоолол, Интеграл тооцоолол, математикийн шинэ салбар болох математик анализыг бий болгоход хүргэсэн.

18-р зууны төгсгөлөөс 19-р зууны эхэн үе хүртэл математикийн хөгжилд хэд хэдэн үндсэн шинэ шинж чанарууд ажиглагдсан. Эдгээрээс хамгийн онцлог нь математикийн үндэс суурьтай холбоотой хэд хэдэн асуудлыг шүүмжилж хянан үзэх сонирхол байв. Хязгааргүй жижиг тоонуудын тодорхой бус ойлголтууд хязгаарын тухай ойлголттой холбоотой нарийн томъёололоор солигдсон.

19-р зууны алгебрийн шинжлэх ухаанд алгебрийн тэгшитгэлийг радикалаар шийдвэрлэх боломжийн тухай асуудлыг тодорхой болгосон (Норвегийн эрдэмтэн Н.Абель, Францын эрдэмтэн Э.Галуа).

19-20-р зуунд математикийн тоон аргууд нь бие даасан салбар болох тооцооллын математик болж хөгжсөн. Компьютерийн шинэ технологийн чухал хэрэглээг 19-20-р зуунд хөгжсөн математикийн салбар болох математик логик олсон.

Материалыг математикийн багш Лещенко О.В.