Інтегральне уявлення лінійне рівняння із запізнюваннями. Диференціальні рівняння із запізнілим аргументом. Рівняння та структура моделей протяжних динамічних об'єктів

Лінійними системами із запізненням називаються такі автоматичні системи, які, маючи загалом ту саму структуру, що й звичайні лінійні системи (розділ II), відрізняються від останніх тим, що в одній або кількох своїх ланок мають запізнення в часі початку зміни вихідної величини (Після початку зміни вхідний) на величину звану часом запізнення, причому цей час запізнення залишається постійним і в усьому подальшому ході процесу.

Наприклад, якщо звичайна лінійна ланка описується рівнянням

(аперіодична ланка першого порядку), то рівняння відповідної лінійної ланки із запізненням матиме вигляд

(Аперіодична ланка першого порядку із запізненням). Такого виду рівняння називаються рівняннями із запізнілим аргументом або диференціально-різностними рівняннями.

Позначимо Тоді рівняння (14.2) запишеться у звичайному вигляді:

Так, якщо вхідна величина змінюється стрибком від нуля до одиниці (рис. 14.1 а), то зміна величини стоїть у правій частині рівняння ланки, зобразиться графіком рис. 14.1 б (стрибок на секунд пізніше). Використовуючи тепер перехідну характеристику звичайної аперіодичної ланки у застосуванні до рівняння (14.3), отримуємо зміну вихідної величини як графіка рис. 14.1 ст. Це і буде перехідна характеристика аперіодичного ланки першого порядку із запізненням (його аперіодична «інерційна» властивість визначається постійною часом Т, а запізнення - величиною

Лінійна ланка із запізненням. У загальному випадку, як і для (14.2), рівняння динаміки будь-якої лінійної ланки із запізненням можна

розбити на два:

що відповідає умовній розбивці лінійної ланки із запізненням (рис. 14.2, а) на два: звичайна лінійна ланка того ж порядку і з тими самими коефіцієнтами і попередній елемент запізнення (рис. 14,2, б).

Тимчасова характеристика будь-якої ланки із запізненням буде, отже, така сама, як у відповідної звичайної ланки, але тільки зрушена по осі часу праворуч на величину .

Прикладом ланки «чистого» запізнення є акустична лінія зв'язку (час проходження звуку). Іншими прикладами можуть служити система автоматичного дозування будь-якої речовини, що переміщується за допомогою стрічкового транспортера - час руху стрічки на певній ділянці), а також система регулювання товщини металу, що прокочується, де означає час руху металу від валків до виміру товщини

У двох останніх прикладах величина називається транспортним запізненням.

У першому наближенні певною величиною запізнення можуть бути оларактеризовані трубопроводи або довгі електричні лінії, що входять у ланки системи (докладніше про них див. § 14.2).

Величину запізнення у ланці можна визначити експериментально шляхом зняття тимчасової характеристики. Наприклад, якщо при подачі на вхід ланки стрибком деякої величини, що приймається за одиницю, на виході виходить експериментальна крива показана на рис. 14.3, б, то можна приблизно описати цю ланку як аперіодичну ланку першого порядку із запізненням (14.2), взявши величини з експериментальної кривою (рис. 14.3, б).

Зауважимо також, що така ж експериментальна крива згідно з графіком рис. 14.3, може трактуватися і як тимчасова характеристика звичайної аперіодичної ланки другого порядку з рівнянням

причому і до можна обчислити із співвідношень, записаних у § 4.5 для даної ланки, за деякими вимірами на експериментальній кривій або іншими способами.

Отже, з погляду тимчасової характеристики реальне ланка, наближено описуване рівнянням першого порядку із запізнілим аргументом (14.2), часто то, можливо з такою самою ступенем наближення описано звичайним диференціальним рівнянням другого порядку (14.5). Для вирішення питання про те, яке з цих рівнянь найкраще підходить до цього

реальній ланці можна порівняти ще їх амплітудно-фазові характеристики з експериментально знятою амплітудно-фазовою характеристикою ланки, що виражає його динамічні властивості при вимушених коливаннях. Побудова амплітудно-фазових характеристик ланок із запізненням буде розглянуто нижче.

З метою єдності запису рівнянь представимо друге із співвідношень (14.4) для елемента запізнення в операторному вигляді. Розклавши праву частину його в ряд Тейлора, отримаємо

або, у прийнятому раніше символічному операторному записі,

Цей вираз збігається з формулою теореми запізнення для зображень функцій (табл. 7.2). Таким чином, для ланки чистого запізнення отримуємо передатну функцію у вигляді

Зауважимо, що у деяких випадках наявність великої кількості малих постійних часу у системі регулювання можна врахувати як постійного запізнення, рівного сумі цих постійних часу. Дійсно, нехай система містить послідовно включених аперіодичних ланок першого порядку з коефіцієнтом передачі, рівним одиниці, і величиною кожної постійної часу. Тоді результуюча передатна функція буде

Якщо то в межі отримуємо. Вже при передавальній функції (14.8) мало відрізняється від передавальної функції ланки із запізненням (14.6).

Рівняння будь-якої лінійної ланки із запізненням (14.4) тепер записуватимемо у вигляді

Передатна функція лінійної ланки із запізненням буде

де через позначена передатна функція відповідної звичайної лінійної ланки без запізнення.

Частотна передатна функція виходить із (14.10) підстановкою

де - модуль і фаза частотної передавальної функції ланки без запізнення. Звідси отримуємо таке правило.

Для побудови амплітудно-фазової характеристики будь-якої лінійної ланки із запізненням потрібно взяти характеристику відповідної звичайної лінійної ланки і кожну її точку зрушити вздовж кола за годинниковою стрілкою на кут , де значення частоти коливань в цій точці характеристики (рис. 14.4).

Так як на початку амплітудно-фазової характеристики а в кінці то початкова точка залишається без зміни, а кінець характеристики асимптотично навивається на початок координат (якщо ступінь операторного багаточлена менше, ніж багаточлена

Вище говорилося у тому, що реальні перехідні процеси (тимчасові показники) виду рис. 14.3 б часто можуть бути з однаковим ступенем наближення описані як рівнянням (14.2), так і (14.5). Амплітудно-фазові характеристики для рівнянь (14.2) та (14.5) показані на рис. 14.4, а відповідно. Принципова відмінність першої полягає в тому, що вона має точку D перетину з віссю

При порівнянні обох характеристик між собою та з експериментальною амплітудно-фазовою характеристикою реальної ланки треба брати до уваги не тільки форму кривої, а й характер розподілу відміток частот про вздовж неї.

Лінійна система із запізненням.

Нехай одноконтурна або багатоконтурна автоматична система в числі своїх ланок має одну ланку із запізненням. Тоді рівняння цієї ланки має вигляд (14.9). Якщо таких ланок декілька, то вони можуть мати різні величини запізнення Всі виведені в розділі 5 загальні формули для рівнянь і передавальних функцій систем автоматичного регулювання залишаються в силі і для будь-яких лінійних систем із запізненням, якщо тільки ці формули підставляти значення передавальних функцій у вигляді ( 14.10).

Наприклад, для розімкнутого ланцюга з послідовно з'єднаних ланок, серед яких є дві ланки із запізненням відповідно, передатна функція розімкнутої системи матиме вигляд

де - передавальна функція розімкнутого ланцюга без урахування запізнення, що дорівнює добутку передавальних функцій включених послідовно ланок.

Таким чином, при дослідженні динаміки розімкнутого ланцюга з послідовно з'єднаних ланок безралічно, чи все запізнення буде зосереджено в одному якому-небудь ланці або рознесено по різних ланках. Для багатоконтурних ланцюгів вийдуть складніші співвідношення.

Якщо є ланка з негативним зворотним зв'язком, що володіє запізненням, воно буде описуватися рівняннями;

Системи із запізненням відрізняються від розглянутих раніше систем тим, що в одній або кількох зі своїх ланок мають запізнення в часі початку зміни вихідної величини (після початку зміни вхідний) на величину т, звану часом запізнення, причому цей час запізнення залишається постійним і в усьому наступному ході процесу.

Наприклад, якщо ланка описується рівнянням

(аперіодична ланка першого порядку), то рівняння відповідної ланки із запізненням матиме вигляд

(Аперіодична ланка першого порядку із запізненням). Такого виду рівняння називаються рівняннями із запізнілим аргументом,

Тоді рівняння (6.31) запишеться у звичайному

змінюється стрибком від нуля до одиниці (рис. 6.20,

стоїть у правій частині рівнянні ланки,

). У загальному випадку, як і для (6.31), рівняння динаміки будь-якої ланки із запізненням можна розбити на два:

що відповідає умовній розбивці ланки із запізненням (рис. 6.21, а) па два: звичайна ланка того ж порядку і з тими самими коефіцієнтами і попередній елемент запізнення (рис. 6.21,6).

означає час руху металу від валків до вимірювача товщини. У двох останніх прикладах величина т називається транспортним запізненням.

У першому наближенні певною величиною запізнення т можуть бути охарактеризовані трубопроводи або довгі електричні лінії, що входять до ланки системи.

показана на рис. 6.22, б, то можна приблизно описати цю ланку як аперіодичну ланку першого порядку із запізненням (6.31), взявши величини т, Г і к з експериментальної кривою (рис, 6,22, б).

Зауважимо також, що така ж експериментальна крива згідно з графіком рис. 6.22, може трактуватися і як тимчасова характеристика звичайної аперіодичної ланки другого порядку з рівнянням

і к можна обчислити із співвідношень, записаних у § 4.5 для даної ланки, за деякими вимірами на експериментальній кривій або іншими способами.

функція (6.36) мало відрізняється від передавальної функції ланки із запізненням (6.35).

Рівняння будь-якої лінійної ланки із запізненням (6.33) тепер записуватимемо у вигляді

Передатна функція лінійної ланки із запізненням буде

позначено передатну функцію відповідної звичайної ланки без запізнення.

- модуль та фаза частотної передавальної функції ланки без запізнення.

Звідси отримуємо таке правило.

Для побудови амплітудно-фазової характеристики будь-якої ланки із запізненням потрібно взяти характеристику відповідної звичайної ланки і кожну її точку зрушити вздовж кола за годинниковою стрілкою на кут, де - значення частоти коливань в цій точці характеристики (рис. 6.23, а).

початкова точка залишається без зміни, а кінець характеристики асимптотично навивається на початок координат (якщо ступінь операторного многочлена менше, ніж многочлена С).

Вище говорилося у тому, що реальні перехідні процеси (тимчасові показники) виду рис. 6.22 б часто можуть бути з однаковим ступенем наближення описані як рівнянням (6.31), так і (6.34). Амплітудно-фазові характеристики для рівнянь (6.31) та (6.34) показані на рис. 6.23, а б відповідно. Принципова відмінність першої полягає в тому, що вона має точку D перетину з віссю (/. При порівнянні обох характеристик між собою та з експериментальною амплітудно-фазовою характеристикою реальної ланки треба брати до уваги не тільки форму кривої, але й характер розподілу відміток частот з уздовж її.

Передатна функція розімкнутої системи без запізнення.

Характеристичне рівняння замкнутої системи, як показано в гол. 5, має вигляд

рівняння може мати нескінченну кількість коренів.

Істотно змінюється обрис амплітудно-фазової характеристики розімкнутої ціни, побудованої але частотної передавальної функції

причому розмикання системи провадиться за певним правилом, яке дається нижче.

Як наслідок, для стійкості лінійних систем першого і другого порядку із запізненням, виявляється, вже недостатньо тільки позитивності.

Нижче буде розглянуто визначення стійкості лише за критерієм Найквіста, тому що його використання для цієї пелі виявляється найпростішим.

1Побудова амплітудно-фазової характеристики та дослідження стійкості та критерію Найквіста найкраще проводити, якщо передатна функція розімкнутої системи представлена ​​у вигляді (6.38). Для отримання цього необхідно зробити відповідним чином розмикання системи.

Для випадку, зображеного на рис. 6.24 а, розмикання можна зробити в будь-якому місці головного ланцюга, наприклад так, як це показано. Тоді передатна функція розімкнутої системи буде збігатися формою з (6.41).

Для випадку, зображеного на рис. 6,24, б, розмикання головного ланцюга дає вираз

функції розімкнутої системи, не зручне для подальших досліджень:

Нарешті, у разі, зображеному на рис. 6.24 в при розмиканні системи в зазначеному місці отримуємо вираз, також збігається з (6.41):

Частотну передатну функцію (6.41) можна подати у вигляді

Тому, представивши вираз (6.41) у вигляді

Логістичне рівняння із запізненням у часі можна застосувати щодо взаємодії хижак - жертва.- Стійкі граничні цикли відповідно до логістичним рівнянням.
Існування запізнення за часом дає можливість-застосувати інший спосіб моделювання простої системи відносин хижак-жертва.

Цей спосіб ґрунтується на логістичному рівнянні (розд. 6.9):

Таблиця 10.1. Принципова подібність динаміки чисельності, отриманої «а моделі Лотки-Вольтерри (і взагалі на моделях типу хижак-жертва), з одного боку, і на логістичній моделі із запізненням за часом - з іншого. В обох випадках існує чотирифазійний цикл з максимумами (і мінімумами) чисельності хижака, наступними за максимумами” (і мінімумами) чисельності жертви

Швидкість зростання популяції хижака у цьому рівнянні залежить від початкової чисельності (С) та питомої швидкості зростання, г-(К-С) I Kf де К – гранична щільність насичення популяції хижака. Відносна швидкість своєю чергою залежить від ступеня недовикористання середовища (К-С), що у разі з населенням хижака можна як ступінь перевищення потреб хижака доступністю жертви. Проте доступність жертви і, отже, відносна швидкість зростання популяції хижака часто відбивають щільність популяції хижака у попередній період (розд. 6.8.4). Іншими словами, у реакції популяції хижака на власну щільність може існувати запізнення за часом:
dC „ л ( До Cnow-Iag \
- Г. Gnow j.
Якщо це запізнення невелике або хижак розмножується занадто повільно (тобто величина г мала), то динаміка такої популяції не буде помітно відрізнятися від простим логістичним рівнянням, що описується (див. May, 1981а). Але при помірних або високих значеннях часу запізнення та швидкості розмноження популяція здійснює коливання зі стійкими граничними циклами. Крім того, якщо ці стійкі граничні цикли виникають згідно з логістичним рівнянням із запізненням у часі, то їх тривалість (або «період») приблизно в чотири рази перевищує продовження.

жертви, щоб зрозуміти механізм коливань їх чисельності.
Існує ряд прикладів, отриманих на природних популяціях, у яких можна знайти регулярні коливання чисельності хижаків і жертв. Вони обговорюються в розд. 15.4; тут нам буде корисний лише один приклад (див. Keith, 1983). Коливання чисельності популяцій зайця обговорюються екологами, починаючи з двадцятих років ХХ століття, а мисливці виявили їх за 100 років до того. Так, наприклад, американський заєць-біляк (Lepus americanus) у бореальних лісах Північної Америки має «10-річний цикл чисельності» (хоча насправді його тривалість варіює від 8 до 11 років; рис. В). Заєць-біляк переважає серед рослиноїдних тварин цього району; він харчується кінчиками пагонів численних чагарників та невеликих дерев. Коливанням його чисельності відповідають коливання чисельності низки хижаків, зокрема рисі (Lynx canadensis). 10-річні цикли чисельності характерні також і для деяких інших рослиноїдних тварин, а саме для комірцевого рябчика та американської дикуші. У популяціях зайця нерідко відбуваються 10-30-кратні зміни чисельності, а за сприятливих умов можуть спостерігатися і 100-кратні зміни. Ці коливання справляють особливо велике враження, коли відбуваються практично одночасно на величезній території від Аляски до Ньюфаундленду.
Зниження чисельності зайця-біляка супроводжується низькою народжуваністю, низькою виживаністю молоді, втратою ваги та низькою швидкістю зростання; всі ці явища можна відтворити в експерименті, що погіршує умови харчування. Крім того, прямі спостереження справді підтверджують зниження доступності корму у періоди максимальної чисельності зайця. Хоча, можливо, важливіше те, що на сильне об'їдання рослини відповідають утворенням пагонів з високим вмістом отруйних речовин, що робить їх неїстівними для зайців. І особливо важливо те, що рослини залишаються захищеними у такий спосіб протягом 2-3 років після сильного обгризання. Це призводить до затримки між початком зниження чисельності зайця та відновленням його кормових запасів, що дорівнює приблизно 2,5 року. Два з половиною роки - і є те саме запізнення в часі, що становить чверть тривалості одного циклу, що відповідає прогнозам на простих моделях. Отже, існує, мабуть, між популяцією зайця і популяціями рослин взаємодія, що знижує чисельність зайців і що відбувається із запізненням у часі, як і зумовлює циклічні коливання.
Хижаки ж, швидше за все, йдуть за коливаннями чисельності зайця, а не викликають їх. Все ж таки коливання, ймовірно, виражені більш чітко завдяки високому відношенню числа хижаків до жертв у період зниження чисельності зайця, а також завдяки їх низькому відношенню в період, що йде за мінімумом чисельності зайців, коли вони, випереджаючи хижака, відновлюють свою чисельність (мал. 10.5). Крім того, при високому відношенні чисельності рисі до чисельності зайця хижак поїдає велику кількість борової дичини, а за низького відношення – невелику. Це, мабуть, спричиняє коливання чисельності у цих другорядних рослиноїдних тварин (рис. 10.5). Таким чином, взаємодія зайці-рослини викликає коливання чисельності зайця, хижаки повторюють коливання їх чисельності, а цикли чисельності у рослиноїдних птахів викликані змінами преса хижаків. Очевидно, що прості моделі корисні для розуміння механізмів коливань чисельності у природних умовах, але ці моделі пояснюють виникнення цих коливань далеко не повністю.

ВСТУП

Міністерство освіти Російської Федерації

Міжнародний освітній консорціум «Відкрита освіта»

Московський державний університет економіки, статистики та інформатики

АНО «Євразійський відкритий інститут»

Е.А.Геворкян

Диференціальні рівняння із запізнілим аргументом

Навчальний посібник Інструкція з вивчення дисципліни

Збірник завдань з дисципліни Навчальна програма з дисципліни

Москва 2004

Геворкян Е.А. ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ ІЗ ЗАПАЗНИМ АРГУМЕНТОМ: Навчальний посібник, посібник з вивчення дисципліни, збірник завдань з дисципліни, навчальна програма з дисципліни / Московський державний університет економіки, статистики та інформатики - М.: 2004. - 79 с.

Геворкян Е.А., 2004

Московський державний університет економіки, статистики та інформатики, 2004

Навчальний посібник
Вступ................................................. .................................................. ..............................
1.1 Класифікація диференціальних рівнянь з
аргументом, що відхиляється. Постановка початкового завдання............................................... .
1.2 Диференціальні рівняння із запізнілим аргументом. Спосіб кроків. ........
1.3 Диференціальні рівняння з поділяються
змінними та із запізнілим аргументом............................................. ..........................
1.4 Лінійні диференціальні рівняння із запізнілим аргументом ................
1.5 Диференціальні рівняння Бернуллі із запізнілим аргументом. ...............
1.6 Диференціальні рівняння у повних диференціалах
із запізнілим аргументом............................................... .................................................. .
РОЗДІЛ ІІ. Періодичні розв'язки лінійних диференціальних рівнянь
із запізнілим аргументом............................................... .................................................. .
2.1. Періодичні розв'язки лінійних однорідних диференціальних рівнянь
з постійними коефіцієнтами та із запізнілим аргументом......................................
2.2. Періодичні рішення лінійних неоднорідних диференціальних
..................
2.3. Комплексна форма ряду Фур'є.............................................. ......................................
2.4. Знаходження приватного періодичного рішення лінійних неоднорідних
диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами та запізнюючим
аргументом розкладанням правої частини рівняння до ряду Фур'є........................................... .
РОЗДІЛ ІІІ. Наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь
із запізнілим аргументом............................................... .................................................. .
3.1. Наближений метод розкладання невідомої функції
із запізнюючим аргументом за ступенями запізнювання............................................ ........
3.2. Наближений метод Пуанкаре. .................................................. ................................
РОЗДІЛ IV. Диференціальні рівняння із запізнілим аргументом,
що з'являється під час вирішення деяких економічних завдань
з урахуванням тимчасового лага.............................................. .................................................. ...............

4.1. Економічний цикл Колецького. Диференціальне рівняння

з запізнюючим аргументом, що описує зміну

запасу готівкового капіталу............................................... .................................................. .......
4.2. Характеристичне рівняння. Випадок речових
коренів характеристичного рівняння............................................... ....................................
4.3. Випадок комплексного коріння характеристичного рівняння.
4.4. Диференціальне рівняння із запізнілим аргументом,
(споживання пропорційно національному доходу)............................................ ..........
4.5. Диференціальне рівняння із запізнілим аргументом,
описує динаміку національного доходу в моделях з лагами
(Вживання експоненційно зростає з темпом приросту).......................................... .........
Література................................................. .................................................. ...........................

Посібник з вивчення дисципліни
2. Перелік основних тем............................................. .................................................. ......
2.1. Тема 1. Основні поняття та визначення. Класифікація
диференціальних рівнянь з аргументом, що відхиляється.
Диференціальні рівняння із запізнілим аргументом. ...........................................
2.2. Тема 2. Постановка початкового завдання. Метод кроків розв'язання
диференціальних рівнянь із запізнілим аргументом. Приклади...........................
2.3. Тема 3. Диференціальні рівняння з такими, що розділяються
змінними і із запізнілим аргументом. приклади. .................................................. ..
2.4. Тема 4. Лінійні диференціальні рівняння
2.5. Тема 5. Диференціальні рівняння Бернуллі
із запізнілим аргументом. приклади. .................................................. .............................
2.6. Тема 6. Диференціальні рівняння у повних диференціалах
із запізнілим аргументом. Необхідні та достатні умови. Приклади..............
2.7. Тема 7. Періодичні рішення лінійних однорідних диференціальних
рівнянь з постійними коефіцієнтами і із запізнілим аргументом.
2.8. Тема 8. Періодичні рішення лінійних неоднорідних диференціальних
рівнянь з постійними коефіцієнтами і із запізнілим аргументом.
приклади. .................................................. .................................................. .................................
2.9. Тема 9. Комплексна форма низки Фур'є. Пошук приватного періодичного
вирішення лінійних неоднорідних рівнянь з постійними коефіцієнтами та з
запізнілим аргументом розкладанням правої частини рівняння до ряду Фур'є.
приклади. .................................................. .................................................. .................................
2.10. Тема 10. Наближене розв'язання диференціальних рівнянь з
запізнюючим аргументом методом розкладання функції від запізнення
за ступенями запізнення. Приклади................................................. ......................................
2.11. Тема 11. Наближений метод Пуанкаре знаходження періодичного
вирішення квазілінійних диференціальних рівнянь з малим параметром та
із запізнілим аргументом. приклади. .................................................. .............................

2.12. Тема 12. Економічний цикл Колецького. Диференціальне рівняння

з запізнюючим аргументом для функції К(t), що показує запас готівки

основного капіталу на момент t............................................. .................................................. ...
2.13. Тема 13. Аналіз характеристичного рівняння, що відповідає
диференційного рівняння для функції K(t). .................................................. .............
2.14. Тема 14. Випадок комплексних рішень характеристичного рівняння
(ρ = α ± ιω )..................................................................................................................................
2.15. Тема 15. Диференціальне рівняння для функції у(t), що показує
функція споживання має вигляд c(t -τ ) = (1 - α ) у (t -τ ), де α - постійна норма
виробничого накопичення................................................ ................................................
2.16. Тема 16. Диференціальне рівняння функції y(t), що показує
національний дохід у моделях з лагами капітальних вкладень за умови, що
функція споживача має вигляд c (t - τ) = c (o) e r (t - τ) ............................. ..................................
Збірник завдань з дисципліни.............................................. .............................................
Навчальна програма з дисципліни.............................................. ...................................

Навчальний посібник

ВСТУП

Вступ

Даний навчальний посібник присвячений викладу методів інтегрування диференціальних рівнянь із запізнілим аргументом, що зустрічаються в деяких технічних та економічних задачах.

Вищевказаними рівняннями зазвичай описуються будь-які процеси з післядією (процеси із запізненням, із тимчасовою затримкою). Наприклад, коли в досліджуваному процесі значення цікавої для нас величини в момент часу t залежить від величини x в момент часу t-τ, де τ - тимчасовий лаг (y(t) = f). Або, коли значення величини y в момент часу t залежить від значення цієї ж величини в момент часу

Мені t-τ (y(t) = f).

Процеси, що описуються диференціальними рівняннями із запізнілим аргументом, зустрічаються і в природничих, і в економічних науках. В останніх це пов'язано як із існуванням тимчасового лага в більшості зв'язках циклу громадського виробництва, так і з наявністю інвестиційних лагів (період від початку проектування об'єктів до введення в дію на повну потужність), демографічних лагів (період від народження до вступу у працездатний вік та початки трудової діяльності після здобуття освіти).

Облік тимчасового лага під час вирішення технічних і економічних завдань має значення, оскільки наявність лага може суттєво вплинути характер одержуваних рішень (наприклад, за певних умов може призвести до нестійкості рішень).

З ЗАПАЗНИМ АРГУМЕНТОМ

РОЗДІЛ I. Метод кроків розв'язання диференціальних рівнянь

з запізнілим аргументом

1.1. Класифікація диференціальних рівнянь з аргументом, що відхиляється. Постановка початкового завдання

Визначення 1 . Диференціальними рівняннями з аргументом, що відхиляється, називаються диференціальні рівняння, в яких невідома функція X(t) входить при різних значеннях аргументу.

X(t) = f(t, x(t), x),

X(t) = f [ t, x (t), x (t - τ 1 ), x (t − τ 2 )] ,
X(t) = ft, x(t), x(t), x[t-τ(t)], x[t−τ
X(t) = ft, x(t), x(t), x(t/2), x(t/2).

(t)]

Визначення 2. Диференціальним рівнянням із запізнілим аргументом називається диференціальне рівняння з аргументом, що відхиляється, в якому похідна найвищого порядку від невідомої функції входить при однакових значеннях аргументу і цей аргумент не менше, ніж всі аргументи невідомої функції та її похідних, що входять до рівняння.

Зауважимо, що згідно з визначенням 2, рівняння (1) і (3) за умов τ (t ) ≥ 0 , t − τ (t ) ≥ 0 будуть рівняннями із запізнюючим аргументом, рівняння (2) буде рівно-

ням із запізнюючим аргументом, якщо ?

Визначення 3. Диференціальним рівнянням з випереджаючим аргументом називається диференціальне рівняння з аргументом, що відхиляється, в якому похідна найвищого порядку від невідомої функції входить при однакових значеннях аргументу і цей аргумент не більше інших аргументів невідомої функції і її похідних, що входять в рівняння.

Приклади диференціальних рівнянь із випереджаючим аргументом:

X(t) =

X(t) =

X(t) =

f (t, x (t), x [t + τ (t)]),

f [t, x (t), x (t + τ 1), x (t + τ 2)],

f t, x (t), x. (t), x [t + τ (t)], x. [t+τ

(t)].

I. МЕТОД КРОКІВ РІШЕННЯ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ

З ЗАПАЗНИМ АРГУМЕНТОМ

Визначення 4. Диференціальні рівняння з аргументом, що відхиляється, що не є рівняннями із запізнілим або випереджаючим аргументом називаються диференціальними рівняннями нейтрального типу.

Приклади диференціальних рівнянь з аргументом нейтрального типу, що відхиляється:

X (t) = f t, x (t), x (t - τ), x (t - τ)

X(t) = ft, x(t), x[t−τ(t)], x[t−τ(t)], x[t−τ(t)].

Зазначимо, що аналогічна класифікація застосовується і для систем диференціальних рівнянь з аргументом, що відхиляється заміною слова "функція" словом "вектор функція".

Розглянемо найпростіше диференціальне рівняння з аргументом, що відхиляється:

X (t) = f [t, x (t), x (t - τ)]],

де τ ≥ 0 і t − τ ≥ 0 (фактично розглядаємо диференціальне рівняння із запізнілим аргументом). Основне початкове завдання при вирішенні рівняння (10) полягає в наступному: визначити безперервне рішення X (t ) рівняння (10) для t > t 0 (t 0 –

фіксований час) за умови, що X(t) = ϕ 0 (t ) , коли t 0 − τ ≤ t ≤ t 0 де ϕ 0 (t ) – задана безперервна початкова функція. Сегмент [t 0 - τ, t 0] називається початковим безліччю, t 0 називається початковою точкою. Передбачається, що X(t0+0) = ϕ0(t0) (рис. 1).

X (t) = ϕ 0 (t)

	t 0 − τ		t 0 + τ		0 + τ
Якщо запізнення τ		у рівнянні (10) залежить від часу t		(τ = τ (t)) , то началь-

ная задача ставиться так: знайти рішення рівняння (10) при t > t 0 , якщо відома початкова функція X (t ) = ϕ 0 t при t 0 − τ (t 0 ) ≤ t ≤ t 0 .

приклад. Знайти рішення рівняння.

X (t) = f [t, x (t), x (t - cos 2 t)]
при t > t 0 = 0, якщо початкова функція X (t) = ϕ 0 (t) при (t 0 - cos2 t 0) |	t ≤ t0
t 0 = 0

− 1 ≤ t ≤ 0).

I. МЕТОД КРОКІВ РІШЕННЯ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ

З ЗАПАЗНИМ АРГУМЕНТОМ

приклад. Знайти рішення рівняння

	X (t) = f [t, x (t), x (t / 2)]			при (t	−t	/ 2) |
	t > t 0 = 1 якщо початкова функція X (t ) = ϕ t						≤ t ≤ t
						t = 1			t = 1

1/ 2 ≤ t ≤ 1).

Зазначимо, що початкова функція зазвичай задається чи перебуває експериментально (переважно у технічних завданнях).

1.2. Диференціальні рівняння із запізнілим аргументом. Метод кроків

Розглянемо диференціальне рівняння із запізнілим аргументом.

Потрібно знайти рішення рівняння (13) при t ≥ t 0 .

Для знаходження рішення рівняння (13) при t ≥ t 0 користуватимемося методом кроків (метод послідовного інтегрування).

Суть методу кроків у тому, що спочатку знайдемо рішення рівняння (13) для t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ , потім t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ тощо. При цьому зауважимо, наприклад, що так як в області t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ аргумент t − τ змінюється в межах t 0 − τ ≤ t − τ t 0 , то в рівнянні

(13) у цій галузі замість x (t - τ) можна взяти початкову функцію ϕ 0 (t - τ). Тоді

отримаємо, що знаходження рішення рівняння (13) у сфері t 0 ≤ t ≤ t 0		+ τ потрібно ре-
шити звичайне диференціальне рівняння без запізнення у вигляді:
	[ t, x(t) , ϕ 0 (t − τ ) ] ,
X(t) = f
при t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ	з початковою умовою X(t0) = ϕ(t0) (див. рис. 1).
	знайшовши вирішення цієї початкової задачі у вигляді X (t) = ϕ 1 (t),	можемо пост-

ти задачу знаходження рішення на відрізку t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2 τ і т.д.

Отже маємо:

			0 (t − τ)],
	X (t) = f [t, x (t), ϕ
при t 0	≤ t ≤ t0 + τ , X (t0 )		= ϕ 0 (t 0),
	X (t) = f [t, x (t), ϕ 1 (t - τ)]],
при t 0 +τ ≤ t ≤ t 0 + 2 τ ,			X (t 0 + τ) = ϕ 1(t 0 + τ),
	X (t) = f [t, x (t), ϕ 2 (t - τ)]],
при t 0 + 2τ ≤ t ≤ t 0 + 3τ ,			X (t 0 + 2 τ ) = ϕ 2 (t 0 + 2 τ ),
	X (t) = f [t, x (t), n (t - τ)]],
при t 0 + n τ ≤ t ≤ t 0 + (n +1 ) τ , X (t 0 + n τ ) = ϕ n (t 0 + n τ ),
	ϕ i (t ) є	рішення аналізованої початкової		завдання на відрізку
t 0 + (i −1 ) τ ≤ t ≤ t 0 +i τ		(I = 1,2,3 ... n, ...).

I. МЕТОД КРОКІВ РІШЕННЯ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ

З ЗАПАЗНИМ АРГУМЕНТОМ

Такий метод кроків розв'язання диференціального рівняння із запізнілим аргументом (13) дозволяє визначити рішення X (t) на деякому кінцевому відрізку зміни t.

Приклад 1. Методом кроків визначити рішення диференціального рівняння 1-го порядку із запізнілим аргументом

	(t) = 6 X (t − 1 )
в області 1 ≤ t ≤ 3 якщо початкова функція при 0 ≤ t ≤ 1 має вигляд X (t ) = ϕ 0 (t ) = t .
Рішення. Спочатку знайдемо рішення рівняння (19) в області 1 ≤ t ≤ 2 . Для цього в
(19) замінимо X (t - 1) на 0 (t - 1), тобто.
X (t − 1 ) = ϕ 0 (t − 1 ) = t| t → t − 1 = t − 1
та врахуємо X(1) = ϕ 0(1) = t |
Отже в області 1 ≤ t ≤ 2 отримаємо звичайне диференціальне рівняння виду
	(t) = 6 (t − 1)
або dx (t)	6 (t −1).
Вирішуючи його з урахуванням (20), отримаємо рішення рівняння (19) при 1 ≤ t ≤ 2 у вигляді
X(t) = 3 t 2 − 6 t + 4 = 3 (t − 1 ) 2 + 1.
Для знаходження рішення в області 2 ≤ t ≤ 3 у рівнянні (19) замінимо X (t − 1) на
ϕ 1 (t −1 ) = 3 (t −1 ) 2+1 | t → t − 1		3(t − 2) 2 + 1. Тоді отримаємо звичайне		диференційне
рівняння:
	(t ) = 6[ 3(t − 2) 2 + 1] , X( 2) = ϕ 1 ( 2) = 4 ,
рішення якого має вигляд (Рис. 2)
X ( t ) = 6 ( t − 2 ) 3 + 6 t − 8 .

Відступаючи на крок, ти знаходиш себе, потім переміщаєшся – і втрачаєш себе.

У. Еко.Маятник Фуко

Приклади математичних моделей. Основні поняття

Попередні термінологічні зауваження. У цьому розділі йтиметься про моделі, засновані на використанні так званих запізнювальних диференціальних рівнянь.Це окремий випадок рівнянь з коефіцієнтами, що відхиляються 1 . Синоніми цього класу - функціонально-диференціальні рівняння чи диференціальнорізнісні рівняння. Однак ми віддамо перевагу терміну «запізнювальне рівняння» або «рівняння із запізненням».

Термін «диференціально-різносні рівняння» нам ще зустрінеться в іншому контексті при аналізі чисельних методів для вирішення рівнянь у приватних похідних і до змісту даного розділу відношення не має.

Приклад екологічної моделі із запізненням. У книзі В. Вольтерри наведено наступний клас спадкових моделей, що враховують не тільки поточну чисельність популяцій хижака та жертви, а й передісторію розвитку популяції:

Загальна теорія рівнянь з аргументом, що відхиляється, викладена в роботах: Беллман Р., Кук До.Диференціально-різносні рівняння. М.: Світ, 1967; Мишкіс А. Д.Лінійні диференціальні рівняння із запізнілим аргументом. М.: Наука, 1972; Хейлі Дж.Теорія функціонально-диференційних рівнянь. М: Мир, 1984; ЕльсгольцЛ. е., Норкін С. Б.Введення в теорію диференціальних рівнянь з аргументом, що відхиляється. М.; Наука, 1971.

Система (7.1) відноситься до класу інтегрально-диференціальних моделей типу Вольтерри, ( , До 2 -деякі інтегральні ядра.

Крім того, у літературі зустрічаються інші модифікації системи «хижак – жертва»:

Формально у системі (7.2) немає інтегральних членів, на відміну системи (7.1), але приріст біомаси хижака залежить від чисельності видів над даний момент, а момент часу t - Т(під Тчасто розуміється час життя покоління хижака, вік статевої зрілості самок хижака тощо. залежно від змістовного змісту моделей). Про моделі типу «хижак – жертва» див. також параграф 7.5.

Здавалося б, що системи (7.1) та (7.2) мають суттєво різні властивості. Проте за спеціальному вигляді ядер у системі (7.1), саме 8-функции /?,(0 - t) = 8(0 - 7^), До 2 (д - t) = 8(0 - Т 2) (про 8-функції доводиться говорити дещо умовно, тому що узагальнені функції визначаються як лінійніфункціонали, а наведена система нелінійна), система (7.1) переходить у систему

Вочевидь, що система (7.3) влаштована так: зміна чисельності популяції залежить тільки від поточної чисельності, а й від чисельності попереднього покоління. З іншого боку, система (7.3) є окремим випадком інтегрально-диференціального рівняння (7.1).

Лінійне рівняння із запізненням (запізнювального типу). Лінійним диференціальним рівнянням запізнювального типу з постійними коефіцієнтами називатимемо рівняння виду

де а, Ь,Т -постійні; Т> 0;/- задана (безперервна) функція на К. Без обмеження спільності в системі (7.4) можна покласти Т= 1.

Очевидно, якщо задана функція x(t) y tе [-Г; 0], то можливо визначити x(t)при tе і є рішенням рівняння (7.4) для t> 0. Якщоф(?) має похідну у точці t = 0, причомуф(0) = ато похідна 4"(ф|,_ 0 є двосторонньою.

Доведення.Визначимо функцію x(t) =ф(?) на |-7"; 0]. Тоді рішення (7.4) можна записати у вигляді

(Застосовано формулу варіації постійних). Оскільки функція x(t) відома на . Цей процес можна продовжувати необмежено. Назад, якщо функція х(?) задовольняє формулі (7.5) на ). З'ясуємо питання про стійкостіцього рішення. Підставляючи рівняння (7.8) малі відхилення від одиничного рішення z(t) = 1 - y(t),отримаємо

Дане рівняння досліджено в літературі, де показано, що воно задовольняє низку теорем про існування періодичних рішень. При а = тт/2 відбувається біфуркація Хопфа – з нерухомої точки народжується граничний цикл. Цей висновок робиться з результатів аналізу лінійної частини рівняння (7.9). Характеристичне рівняння для лінеаризованого рівняння Хатчінсона має вигляд

Зазначимо, що вивчення стійкості лінеаризованого рівняння (7.8) є дослідження стійкості стаціонарного стану y(t)= 0. У цьому виходить А, = а > 0, стаціонарний стан нестійкий та біфуркації Хопфа не відбувається.

Далі Дж. Хейл показує, що рівняння (7.9) має ненульове періодичне рішення кожного а > л/2. Крім того, там без доказу наведено теорему про існування періодичного рішення (7.9) з будь-яким періодом р > 4.