Вигин з крученням бруса круглого поперечного перерізу. Просторовий (складний) згин. Розрахунок безмоментних оболонок обертання

У разі розрахунку круглого бруса при дії вигину та кручення (рис. 34.3) необхідно враховувати нормальні та дотичні напруги, тому що максимальні значення напруг в обох випадках виникають на поверхні. Розрахунок слід вести за теорією міцності, замінюючи складний напружений стан рівнонебезпечним простим.

Максимальна напруга кручення у перерізі

Максимальна напруга вигину у перерізі

За однією з теорій міцності в залежності від матеріалу бруса розраховують еквівалентну напругу для небезпечного перерізу і перевіряють брус на міцність, використовуючи напругу, що допускається вигину для матеріалу бруса.

Для круглого бруса моменти опору перерізу такі:

При розрахунку за третьою теорією міцності, теорією максимальних дотичних напруг, еквівалентна напруга розраховується за формулою

Теорія застосовна для пластичних матеріалів.

При розрахунку за теорією енергії формозміни еквівалентна напруга розраховується за формулою

Теорія застосовна для пластичних та крихких матеріалів.

теорії максимальних дотичних напружень:

Еквівалентна напруга при розрахунку по теорії енергії формозміни:

де – еквівалентний момент.

Умови міцності

Приклади розв'язання задач

приклад 1.Для заданого напруженого стану (рис. 34.4), користуючись гіпотезою максимальної дотичної напруги, обчислити коефіцієнт запасу міцності, якщо Т = 360 Н/мм 2 .

1. Чим характеризується як зображується напружений стан у точці?

2. Які майданчики та які напруги називають головними?

3. Перерахуйте види напружених станів.

4. Чим характеризується деформований стан у точці?

5. У яких випадках виникають граничні напружені стани у пластичних та крихких матеріалів?

6. Що таке еквівалентна напруга?

7. Поясніть призначення теорій міцності.

8. Напишіть формули для розрахунку еквівалентних напруг при розрахунках з теорії максимальних дотичних напруг та теорії енергії формозміни. Поясніть, як ними користуватися.

ЛЕКЦІЯ 35

Тема 2.7. Розрахунок бруса круглого поперечного перерізу при поєднанні основних деформацій

Знати формули для еквівалентних напруг за гіпотезами найбільших дотичних напруг та енергії формозміни.

Вміти розраховувати брус круглого поперечного перерізу на міцність при поєднанні основних деформацій.

Формули для розрахунку еквівалентної напруги

Еквівалентна напруга з гіпотези максимальних дотичних напруг

Еквівалентна напруга з гіпотези енергії формозміни

Умова міцності при спільній дії згинання кручення

де М ЕКВ- Еквівалентний момент.

Еквівалентний момент з гіпотези максимальних дотичних напружень

Еквівалентний момент гіпотези енергії формозміни

Особливість розрахунку валів

Більшість валів відчувають поєднання деформацій вигину та кручення. Зазвичай вали - прямі бруси з круглим або кільцевим перетином. При розрахунку валів дотичні напруги від дії поперечних сил не враховують через їхню незначність.

Розрахунки проводять за небезпечними поперечними перерізами. При просторовому навантаженні валу користуються гіпотезою незалежності дії сил і моменти, що згинають, розглядають у двох взаємно перпендикулярних площинах, а сумарний згинальний момент визначають геометричним підсумовуванням.

Приклади розв'язання задач

приклад 1.У небезпечному поперечному перерізі круглого бруса виникають внутрішні силові фактори (рис. 35.1) М х; М у; Mz.

М хі М у- згинальні моменти в площинах уОхі zOxвідповідно; M z- обертаючий момент. Перевірити міцність гіпотези найбільших дотичних напруг, якщо [ σ ] = 120 МПа. Вихідні дані: М х= 0,9 кН; М у = 0,8 кН м; M z = 2,2 кН*м; d= 60 мм.

Рішення

Будуємо епюри нормальних напруг від дії згинальних моментів щодо осей Охі Оута епюру дотичних напруг від кручення (рис. 35.2).

Максимальна дотична напруга виникає на поверхні. Максимальна нормальна напруга від моменту М хвиникають у точці А,максимальна нормальна напруга від моменту М уу точці Ст.Нормальні напруги складаються, тому що згинальні моменти у взаємно перпендикулярних площинах геометрично підсумовуються.

Сумарний згинальний момент:

Розраховуємо еквівалентний момент з теорії максимальних дотичних напружень:

Умови міцності:

Момент опору перерізу: W oce в oe = 0,1 60 3 = 21 600 мм 3 .

Перевіряємо міцність:

Міцність забезпечена.

приклад 2.Із умови міцності розрахувати необхідний діаметр валу. На валу встановлено два колеса. На колеса діють дві окружні сили F t 1 = 1,2 кН; F t 2= 2кН і дві радіальні сили у вертикальній площині F r 1= 0,43 кН; F r 2 = 0,72 кН (рис. 35.3). Діаметри коліс відповідно дорівнюють d 1= 0,1 м; d 2= 0,06 м-коду.

Прийняти для матеріалу валу [ σ ] = 50МПа.

Розрахунок провести за гіпотезою максимальної дотичної напруги. Вагою валу і коліс знехтувати.

Рішення

Вказівка.Використовуємо принцип незалежності дії сил, складаємо розрахункові схеми валу у вертикальній та горизонтальній площинах. Визначаємо реакції в опорах у горизонтальній та вертикальній площинах окремо. Будуємо епюри згинальних моментів (рис. 35.4). Під впливом окружних сил вал скручується. Визначаємо крутний момент, що діє на валу.

Складемо розрахункову схему валу (рис. 35.4).

1. Крутний момент на валу:

2. Вигин розглядаємо у двох площинах: горизонтальній (пл. Н) та вертикальній (пл. V).

У горизонтальній площині визначаємо реакції в опорі:

Зі У:

У вертикальній площині визначаємо реакції в опорі:

Визначаємо згинальні моменти в точках С і В:

Сумарні згинальні моменти в точках С і В:

У точці Умаксимальний згинальний момент, тут же діє крутний момент.

Розрахунок діаметра валу ведемо за найбільш навантаженим перерізом.

3. Еквівалентний момент у точці Упо третій теорії міцності

4. Визначаємо діаметр валу круглого поперечного перерізу з умови міцності

Округлюємо отриману величину: d= 36 мм.

Примітка.При виборі діаметрів валу користуватися стандартним рядом діаметрів (Додаток 2).

5. Визначаємо необхідні розміри валу кільцевого перерізу при с = 0,8 де d - зовнішній діаметр валу.

Діаметр валу кільцевого перерізу можна визначити за формулою

Приймемо d = 42 мм.

Перевантаження незначне. d BH = 0,8 d = 0,8 42 = 33,6 мм.

Округлюємо до значення d BH= 33 мм.

6. Порівняємо витрати металу за площами перерізу валу в обох випадках.

Площа поперечного перерізу суцільного валу

Площа поперечного перерізу порожнистого валу

Площа поперечного перерізу суцільного валу майже вдвічі більша за вал кільцевого перерізу:

Приклад 3. Визначити розміри поперечного перерізу валу (рис. 2.70, а)приводу керування. Зусилля від тяги педалі P 3, зусилля, що передаються механізмом P 1 , Р 2 , Р 4. Матеріал валу - сталь СтЗ з межею плинності σ т = 240 Н/мм 2 , необхідний коефіцієнт запасу n] = 2,5. Розрахунок виконати з гіпотези енергії формозміни.

Рішення

Розглянемо рівновагу валу, попередньо навівши сили Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4до точок, що лежать на його осі.

Переносячи сили Р 1паралельно самим собі в крапки Доі E, треба додати пари сил з моментами, рівними моментам сил Р 1щодо точок Доі Е,тобто.

Ці пари сил (моменти) умовно показано на рис. 2.70 , бу вигляді дугоподібних ліній зі стрілками. Аналогічно під час перенесення сил Р 2 , Р 3 , Р 4у крапки K, E, L, Нтреба додати пари сил з моментами

Опори валу, зображеного на рис. 2.70 а, треба розглядати як просторові шарнірні опори, що перешкоджають переміщенням у напрямку осей хі у(Вибрана система координат показана на рис. 2.70, б).

Користуючись розрахунковою схемою, зображеною на рис. 2.70, в, Складемо рівняння рівноваги:

отже, опорні реакції Н Аі Н Ввизначено правильно.

Епюри крутних моментів М zта згинальних моментів М упредставлені на рис. 2.70, г. Небезпечним є перетин зліва точки L.

Умова міцності має вигляд:

де еквівалентний момент з гіпотези енергії формозміни

Необхідний зовнішній діаметр валу

Приймаємо d = 45 мм, тоді d 0 = 0,8 * 45 = 36 мм.

приклад 4.Перевірити міцність проміжного валу (рис. 2.71) прямозубого циліндричного редуктора, якщо вал передає потужність N= 12,2 кВт при частоті обертання п= 355 об/хв. Вал виготовлений зі сталі Ст5 з межею плинності σ т = 280 Н/мм2. Необхідний коефіцієнт запасу [ n] = 4. При розрахунку застосувати гіпотезу найбільших дотичних напружень.

Вказівка.Окружні зусилля Р 1і Р 2лежать у горизонтальній площині та спрямовані по дотичних до кіл зубчастих коліс. Радіальні зусилля T 1і Т 2лежать у вертикальній площині і виражаються через відповідне окружне зусилля так: T = 0,364Р.

Рішення

На рис. 2.71, апредставлено схематичне креслення валу; на рис. 2.71 б показана схема валу і зусилля, що виникають в зубчастому зачепленні.

Визначимо момент, що передається валом:

Очевидно, m = m 1 = m 2(Скручують моменти, прикладені до валу, при рівномірному обертанні рівні за величиною і протилежні у напрямку).

Визначимо зусилля, які діють зубчасті колеса.

Окружні зусилля:

Радіальні зусилля:

Розглянемо рівновагу валу АВ, попередньо навівши сили Р 1і Р 2до точок, що лежать на осі валу.

Переносячи силу Р 1паралельно самій собі в крапку L, треба додати пару сил з моментом, рівним моменту сили Р 1щодо точки L, тобто.

Ця пара сил (момент) умовно показано на рис. 2.71, ву вигляді дугоподібної лінії зі стрілкою. Аналогічно при перенесенні сили Р 2в точку Дотреба приєднати (додати) пару сил із моментом

Опори валу, зображеного на рис. 2.71, а, треба розглядати як просторові шарнірні опори, що перешкоджають лінійним переміщенням у напрямках осей. хі у(Вибрана система координат показана на рис, 2.71, б).

Користуючись розрахунковою схемою, зображеною на рис. 2.71, г, складемо рівняння рівноваги валу у вертикальній площині:

Складемо перевірочне рівняння:

отже, опорні реакції у вертикальній площині визначені правильно.

Розглянемо рівновагу валу в горизонтальній площині:

Складемо перевірочне рівняння:

отже, опорні реакції у горизонтальній площині визначені правильно.

Епюри крутних моментів М zта згинальних моментів М хі М упредставлені на рис. 2.71, д.

Небезпечним є перетин До(див. рис. 2.71, г,д). Еквівалентний момент з гіпотези найбільших дотичних напружень

Еквівалентна напруга з гіпотези найбільших дотичних напруг для небезпечної точки валу

Коефіцієнт запасу

що значно більше [ n] = 4, отже, міцність валу забезпечена.

При розрахунку валу на міцність не враховано зміну напруги у часі, тому й вийшов такий значний коефіцієнт запасу.

Приклад 5.Визначити розміри поперечного перерізу бруса (рис. 2.72, а).Матеріал бруса - сталь 30XГС з умовними межами плинності при розтягуванні та стиску σ о, 2р = σ тр = 850 Н/мм 2 , σ 0,2 c = σ Tc = 965 Н/мм 2 . Коефіцієнт запасу [ n] = 1,6.

Рішення

Брус працює на спільну дію розтягування (стиснення) та кручення. При такому навантаженні в поперечних перерізах виникають два внутрішні силові фактори: поздовжня сила і крутний момент.

Епюри поздовжніх сил Nта крутних моментів M zпоказано на рис. 2.72, б, в.В даному випадку визначити положення небезпечного перерізу по епюрах Nі M zнеможливо, оскільки розміри поперечних перерізів ділянок бруса різні. Для з'ясування положення небезпечного перерізу слід побудувати епюри нормальних та максимальних дотичних напруг по довжині бруса.

За формулою

обчислюємо нормальні напруги в поперечних перерізах бруса і будуємо епюру (рис. 2.72, г).

За формулою

обчислюємо максимальні дотичні напруги в поперечних перерізах бруса і будуємо епюру т тах(рис* 2.72, д).

Ймовірно, небезпечними є точки контуру поперечних перерізів ділянок. АВі CD(див. рис. 2.72, а).

На рис. 2.72, eпоказані епюри σ і τ для поперечних перерізів ділянки АВ.

Нагадаємо, в даному випадку (брус круглого поперечного перерізу працює на спільну дію розтягування - стискування та кручення) рівнонебезпечними є всі точки контуру поперечного перерізу.

На рис. 2.72, ж

На рис. 2.72, зпоказані епюри а і т для поперечних перерізів ділянки CD.

На рис. 2.72, іпоказано напруження на вихідних майданчиках у небезпечній точці.

Головні напруження у небезпечній точці ділянки CD:

За гіпотезою міцності Мора еквівалентна напруга для небезпечної точки ділянки, що розглядається

Небезпечними виявилися точки контуру поперечних перерізів ділянки АВ.

Умова міцності має вигляд:

Приклад 2.76.Визначити допустиме значення сили Рз умови міцності стрижня НД(рис.2.73). Матеріал стрижня - чавун з межею міцності при розтягуванні σ вр = 150 Н/мм 2 і межею міцності при стисканні σ вс = 450 Н/мм 2 . Необхідний коефіцієнт запасу [ n] = 5.

Вказівка. Ламаний брус АВСрозташований у горизонтальній площині, причому стрижень AВперпендикулярний до НД.Сили Р, 2Р, 8Рлежать у вертикальній площині; сили 0,5 Р, 1,6 Р- у горизонтальній та перпендикулярній стрижню НД;сили 10Р, 16Рзбігаються з віссю стрижня НД; пара сил з моментом m = 25Pd розташована у вертикальній площині, перпендикулярній осі стрижня НД.

Рішення

Наведемо сили Рта 0,5Р до центру тяжкості поперечного перерізу Ст.

Переносячи силу Р паралельно самій собі в точку, треба додати пару сил з моментом, рівним моменту сили Рщодо точки У, Т. е. пару з моментом m 1 = 10 Pd.

Силу 0,5Рпереносимо вздовж її лінії дії точку У.

Навантаження, що діють на стрижень НД,показано на рис. 2.74, а.

Будуємо епюри внутрішніх силових факторів для стрижня НД.При зазначеному навантаженні стрижня в поперечних перерізах їх виникає шість: поздовжня сила N, поперечні сили Qxі Qy,обертаючий момент Mzзгинальні моменти Мхі Му.

Епюри N, Мz, Мх, Мупредставлені на рис. 2.74, б(ординати епюр виражені через Рі d).

Епюри Qyі Qxне будуємо, оскільки дотичні напруги, що відповідають поперечним силам, мають малу величину.

У прикладі, що розглядається, положення небезпечного перерізу не очевидно, Імовірно, небезпечні перерізи К (кінець ділянки I) та С.

Головні напруги в точці L:

За гіпотезою міцності Мора еквівалентна напруга для точки L

Визначимо величину і площину дії згинального моменту Мі в перерізі, зображеному окремо на рис. 2.74, д. На цьому ж малюнку показані епюри І, N, τ для перерізу С.

Напруження на вихідних майданчиках у точці Н(Рис. 2.74, е)

Головні напруження у точці Н:

За гіпотезою міцності Мора еквівалентна напруга для точки Н

Напруги на вихідних майданчиках у точці Е (рис. 2.74, ж):

Головні напруги в точці Е:

За гіпотезою міцності Мора еквівалентна напруга для точки Е

Небезпечною виявилася точка L,для котрої

Умова міцності має вигляд:

Контрольні питання та завдання

1. Який напружений стан виникає у поперечному перерізі валу при спільній дії вигину та кручення?

2. Напишіть умову міцності для розрахунку валу.

3. Напишіть формули для розрахунку еквівалентного моменту при розрахунку за гіпотезою максимальної дотичної напруги та гіпотезою енергії формозміни.

4. Як вибирається небезпечний перетин під час розрахунку валу?

Просторовим вигиномназивається такий вид складного опору, при якому в поперечному перерізі бруса діють тільки згинальні моменти і
. Повний згинальний момент при цьому діє в жодній з головних площин інерції. Поздовжня сила відсутня. Просторовий або складний вигин часто називають неплоським вигином, Так як вигнута вісь стрижня не є плоскою кривою. Такий вигин викликається силами, що діють у різних площинах перепендикулярно до осі балки (Рис.12.4).

Дотримуючись порядку розв'язання задач при складному опорі, викладеному вище, розкладаємо просторову систему сил, представлену на рис. 12.4 на дві такі, щоб кожна з них діяла в одній з головних площин. В результаті отримуємо два плоскі поперечні вигини – у вертикальній та горизонтальній площині. З чотирьох внутрішніх силових факторів, які при цьому виникають у поперечному перерізі балки
, будемо враховувати вплив лише згинальних моментів
. Будуємо епюри
, викликаних відповідно до сил
(Рис.12.4).

Аналізуючи епюри згинальних моментів, приходимо до висновку, що небезпечним є переріз А, оскільки саме в цьому перерізі виникають найбільші за величиною згинальні моменти
і
. Тепер необхідно встановити небезпечні точки перетину А. Для цього збудуємо нульову лінію. Рівняння нульової лінії з урахуванням правила знаків для членів, що входять до цього рівняння, має вигляд:

. (12.7)

Тут прийнято знак “” біля другого члена рівняння, оскільки напруги у першій чверті, спричинені моментом
будуть негативними.

Визначимо кут нахилу нульової лінії з позитивним напрямом осі (Рис.12.6):

. (12.8)

З рівняння (12.7) випливає, що нульова лінія при просторовому згині є прямою лінією і проходить через центр тяжіння перерізу.

З рис.12.5 видно, що найбільша напруга виникне найбільш віддалених від нульової лінії точках перерізу №2 і №4. За величиною нормальні напруги у цих точках будуть однаковими, але з знаку відрізняються: у точці №4 напруги будуть позитивними, тобто. розтягують, у точці №2 – негативними, тобто. стискають. Знаки цих напруг встановлені з фізичних міркувань.

Тепер, коли небезпечні точки встановлені, обчислимо максимальну напругу в перерізі А і перевіримо міцність балки за допомогою виразу:

. (12.9)

Умова міцності (12.9) дозволяє не тільки виконати перевірку міцності балки, але й підібрати розміри поперечного перерізу, якщо задано співвідношення сторін поперечного перерізу.

12.4. Косий вигин

Косимназивається такий вид складного опору, при якому в поперечних перерізах балки виникають тільки згинальні моменти
і
але на відміну від просторового вигину всі сили, прикладені до балки, діють в одній (силовій) площині, що не збігається з жодною з головних площин інерції. Цей вид вигину найчастіше зустрічається у практиці, тому досліджуємо його докладніше.

Розглянемо консольну балку, навантажену силою , Як показано на рис 12.6, і виконану з ізотропного матеріалу.

Так само, як і при просторовому згинанні, при косому згинанні відсутня поздовжня сила. Вплив поперечних сил при розрахунку балки на міцність будемо нехтувати.

Розрахункова схема балки, зображеної на рис.12.6, наведено на рис.12.7.

Розкладемо силу на вертикальну та горизонтальну складові та від кожної з цих складових побудуємо епюри згинальних моментів
і
.

Обчислимо складові повного згинального моменту в перерізі :

;
.

Повний згинальний момент у перерізі дорівнює

Таким чином, складові повного згинального моменту можна виразити через повний момент наступним чином:

;
. (12.10)

З виразу (12.10) видно, що при косому згині немає необхідності розкладати систему зовнішніх сил на складові, оскільки ці складові повного згинального моменту пов'язані один з одним за допомогою кута нахилу сліду силової площини . В результаті відпадає необхідність у побудові епюр складових
і
повного згинального моменту. Достатньо побудувати епюру повного згинального моменту
в силовій площині, а потім, скориставшись виразом (12.10), визначити складові повного згинального моменту в будь-якому перерізі балки, що цікавить нас. Отриманий висновок істотно полегшує вирішення завдань при косому згині.

Підставимо значення складових повного згинального моменту (12.10) у формулу для нормальних напруг (12.2) при
. Отримаємо:

. (12.11)

Тут знак “” біля повного згинального моменту проставлений спеціально з тією метою, щоб автоматично отримувати правильний знак нормальної напруги в точці поперечного перерізу, що розглядається. Повний згинальний момент
та координати точки і беруться зі своїми знаками за умови, що у першому квадранті знаки координат точки приймаються позитивними.

Формула (12.11) була отримана з розгляду окремого випадку косого вигину балки, затиснутою одним кінцем і навантаженою на іншому зосередженою силою. Тим не менш, ця формула є загальною формулою для обчислення напруги при косому згині.

Небезпечним перетином, як і при просторовому згині в даному випадку (Рис.12.6), буде переріз А, так як у цьому перерізі виникає найбільший за величиною повний згинальний момент. Небезпечні точки перетину А визначимо, збудувавши нульову лінію. Рівняння нульової лінії отримаємо, обчисливши за допомогою формули (12.11) нормальну напругу в точці з координатами і , Що належить нульовій лінії та прирівняємо знайдену напругу нулю. Після нескладних перетворень отримаємо:

(12.12)

. (12.13)

Тут кут нахилу нульової лінії до осі (Рис.12.8).

Досліджуючи рівняння (12.12) та (12.13), можна зробити деякі висновки про поведінку нульової лінії при косому вигині:

З рис.12.8 слід, що найбільші за величиною напруги виникають у точках перерізу, найбільш віддалених від нульової лінії. У цьому випадку такими точками є точки №1 і №3. Таким чином, при косому вигині умова міцності має вигляд:

. (12.14)

Тут:
;
.

Якщо моменти опору перерізу щодо головних осей інерції можуть бути виражені через розміри перерізу, умову міцності зручно використовувати у такому вигляді:

. (12.15)

При підборі перерізів один із осьових моментів опору виносять за дужку та задаються ставленням . Знаючи
,
та кут шляхом послідовних спроб визначають значення
і , що задовольняють умову міцності

. (12.16)

Для несиметричних перерізів, які не мають виступаючих кутів, використовується умова міцності у вигляді (12.14). У цьому випадку при кожній новій спробі підбору перерізу необхідно попередньо знову знайти положення нульової лінії та координати найбільш віддаленої точки (
). Для прямокутного перерізу
. Задаючись ставленням, із умови міцності (12.16) легко можна знайти величину
та розміри поперечного перерізу.

Розглянемо визначення переміщень при косому згині. Знайдемо прогин у перерізі консольної балки (Рис.12.9). Для цього зобразимо балку в одиничному стані і побудуємо епюру одиничних згинальних моментів в одній з головних площин. Визначатимемо повний прогин у перерізі попередньо визначивши проекції вектора переміщень на осі і . Проекцію вектора повного прогину на вісь знайдемо, скориставшись формулою Мора:

Проекцію вектора повного прогину на вісь знайдемо аналогічним способом:

Повний прогин визначимо за формулою:

. (12.19)

Слід звернути увагу, що при косому згинанні у формулах (12.17) і (12.18) при визначенні проекцій прогину на осі координат змінюються лише постійні члени, що стоять перед знаком інтеграла. А сам інтеграл залишається постійним. При вирішенні практичних завдань обчислюватимемо цей інтеграл, користуючись методом Мора-Сімпсона. Для цього помножимо одиничну епюру
на вантажну
(Рис.12.9), побудовану в силовій площині, а потім отриманий результат помножимо послідовно на постійні коефіцієнти, відповідно, і . В результаті отримаємо проекції повного прогину і на осі координат і . Вирази для проекцій прогину для загального випадку навантаження, коли балка має ділянок, матимуть вигляд:

; (12.20)

. (12.21)

Відкладемо знайдені значення для ,і (Рис.12.8). Вектор повного прогину складає з віссю гострий кут , величин якого можна знайти за формулою:

, (12.22)

. (12.23)

Порівнюючи рівняння (12.22) з рівнянням нульової лінії (12.13), приходимо до висновку, що

або
,

звідки випливає, що нульова лінія та вектор повного прогину взаємно перепедикулярні. Кут є доповненням кута до 90 0 . Ця умова може бути використана для перевірки при вирішенні завдань на косий вигин:

. (12.24)

Таким чином, напрямок прогинів при косому згині перпендикулярно нульовій лінії. Звідси випливає важлива умова, що напрямок прогинів не збігається з напрямком чинної сили(Рис.12.8). Якщо навантаження є плоскою системою сил, то вісь вигнутої балки лежить у площині, яка не збігається з площиною дії сил. Балка перекошується по відношенню до силової площини. Ця обставина стала підставою для того, що подібний вигин стали називати косим.

Приклад 12.1.Визначити положення нульової лінії (знайти кут ) для поперечного перерізу балки, зображеної на рис.12.10.

1. Кут до сліду силової площини відкладатимемо від позитивного напрямку осі . Кут завжди братимемо гострим, але з урахуванням знака. Будь-який кут вважається позитивним, якщо у правій системі координат його відкладають від позитивного спрямування осі проти годинникової стрілки, і негативним, якщо кут відкладають за годинниковою стрілкою. В даному випадку кут вважається негативним (
).

2. Визначаємо відношення осьових моментів інерції:

.

3. Записуємо рівняння нульової лінії при косому вигині у вигляді, звідки знаходимо кут :

;
.

4. Кут виявився позитивним, тому відкладаємо його від позитивного спрямування осі проти годинникової стрілки до нульової лінії (рис.12.10).

Приклад 12.2.Визначити величину нормальної напруги в точці А поперечного перерізу балки при косому згині, якщо згинальний момент
кНм, координати точки
см,
див. Розміри поперечного перерізу балки та кут нахилу силової площини наведено на Рис.12.11.

1. Обчислимо попередньо моменти інерції перерізу щодо осей і :

см 4;
см 4 .

2. Запишемо формулу (12.11) для визначення нормальних напруг у довільній точці поперечного перерізу при косому згині. При підстановці значення згинального моменту формулу (12.11) слід врахувати, що згинальний момент за умовою завдання позитивний.

7,78 МПа.

Приклад 12.3.Визначити розміри поперечного перерізу балки, зображеної на рис.12.12а. Матеріал балки - сталь з напругою, що допускається.
МПа. Ставлення сторін задається
. Навантаження та кут нахилу силової площини наведено на рис.12.12в.

1. Для визначення положення небезпечного перерізу будуємо епюру згинальних моментів (Рис.12.12б). Небезпечним є переріз А. Максимальний згинальний момент у небезпечному перерізі
кНм.

2. Небезпечною точкою перетину А буде одна з кутових точок. Умову міцності запишемо у вигляді

,

Звідки знайдемо, враховуючи, що ставлення
:

3. Визначаємо розміри поперечного перерізу. Осьовий момент опору
з урахуванням відносин сторін
дорівнює:

см 3 , звідки

см;
див.

Приклад 12.4.В результаті вигину балки центр ваги перерізу перемістився в напрямку, що визначається кутом з віссю (Рис.12.13, а). Визначити кут нахилу силової поверхні. Форма та розміри поперечного перерізу балки наведені на малюнку.

1. Для визначення кута нахилу сліду силової площини скористаємося виразом (12.22):

, звідки
.

Відношення моментів інерції
(Див. Приклад 12.1). Тоді

.

Відкладемо це значення кута від позитивного спрямування осі (Рис.12.13, б). Слід силової площини на рис 12.13 б показаний шріхової лінією.

2. Виконаємо перевірку одержаного рішення. Для цього при знайденому значенні кута визначимо положення нульової лінії. Скористаємося виразом (12.13):

.

Нульова лінія показана на рис.12.13 шріх-пунктирною лінією. Нульова лінія має бути перпендикулярною лінії прогинів. Перевіримо це:

Приклад 12.5.Визначити повний прогин балки в перерізі при косому згині (Рис.12.14а). Матеріал балки – сталь із модулем пружності
МПа. Розміри поперечного перерізу та кут нахилу силової площини. наведено на рис.12.14б.

1. Визначимо проекції вектора повного прогину у перерізі А і . Для цього побудуємо вантажну епюру згинальних моментів
(Рис.12.14, в), одиничну епюру
(Рис.12.14, г).

2. Застосовуючи метод Мора-Сімпсона, перемножимо вантажну
та одиничну
епюри згинальних моментів, використовуючи вирази (12.20) та (12.21):

м
мм.

м
мм.

Осьові моменти інерції перерізу
см 4 і
см 4 беремо з прикладу 12.1.

3. Визначаємо повний прогин перерізу:

.

Знайдені значення проекцій повного прогину і повний прогин відкладаємо на кресленні (Рис.12.14б). Оскільки проекції повного прогину вийшли під час вирішення завдання позитивними, відкладаємо в напрямку дії одиничної сили, тобто. вниз ( ) і вліво ( ).

5. Для перевірки правильності рішення визначимо кут нахилу нульової лінії до осі :

Складемо модулі кутів напряму повного прогину і :

Це означає, що повний прогин перпендикулярний нульовій лінії. Таким чином, завдання вирішено правильно.

Просторовий (складний) вигин

Просторовим вигином називається такий вид складного опору, при якому в поперечному перерізі бруса діють тільки згинальні моменти. Повний згинальний момент при цьому діє в жодній з головних площин інерції. Поздовжня сила відсутня. Просторовий чи складний вигин часто називають неплоським вигином, оскільки вигнута вісь стрижня не є плоскою кривою. Такий вигин викликається силами, що діють у різних площинах перпендикулярно до осі балки (Рис. 1.2.1).

Рис.1.2.1

Наслідуючи порядок вирішення завдань при складному опорі, викладеному вище, розкладаємо просторову систему сил, представлену на рис. 1.2.1 на дві такі, щоб кожна з них діяла в одній з головних площин. В результаті отримуємо два плоскі поперечні вигини - у вертикальній і горизонтальній площині. З чотирьох внутрішніх силових факторів, які при цьому виникають у поперечному перерізі балки, враховуватимемо вплив тільки згинальних моментів. Будуємо епюри, викликаних відповідно до сил (Рис. 1.2.1).

Аналізуючи епюри згинальних моментів, приходимо до висновку, що небезпечним є переріз А, оскільки саме в цьому перерізі виникають найбільші за величиною згинальні моменти. Тепер необхідно встановити небезпечні точки перетину А. Для цього збудуємо нульову лінію. Рівняння нульової лінії з урахуванням правила знаків для членів, що входять до цього рівняння, має вигляд:

Тут прийнято знак “” біля другого члена рівняння, оскільки напруги першої чверті, викликані моментом, будуть негативними.

Визначимо кут нахилу нульової лінії з позитивним напрямом осі (Рис.12.6):

Мал. 1.2.2

З рівняння (8) випливає, що нульова лінія при просторовому згині є прямою лінією і проходить через центр перетину тяжкості.

З рис. 1.2.2 видно, що найбільші напруги виникнуть у найбільш віддалених від нульової лінії точках перерізу №2 та №4. За величиною нормальні напруги у цих точках будуть однаковими, але з знаку відрізняються: у точці №4 напруги будуть позитивними, тобто. розтягують, у точці №2 - негативними, тобто. стискають. Знаки цих напруг встановлені з фізичних міркувань.

Тепер, коли небезпечні точки встановлені, обчислимо максимальну напругу в перерізі А і перевіримо міцність балки за допомогою виразу:

Умова міцності (10) дозволяє не тільки виконати перевірку міцності балки, але й підібрати розміри поперечного перерізу, якщо задано співвідношення сторін поперечного перерізу.

Під вигином розуміється такий вид навантаження, при якому в поперечних перерізах бруса виникають згинальні моменти. Якщо згинальний момент у перерізі є єдиним силовим фактором, то згин називається чистим. Якщо поряд із згинальним моментом у поперечних перерізах бруса виникають і поперечні сили, то вигин називається поперечним.

Передбачається, що згинальний момент і поперечна сила лежать в одній з головних площин бруса (приймемо, що ця площина ZOY). Такий вигин називається плоским.

У всіх випадках, що розглядаються нижче, має місце плоский поперечний вигин балок.

Для розрахунку балки на міцність чи жорсткість необхідно знати внутрішні силові чинники, що у її перерізах. З цією метою будуються епюри поперечних сил (епюра Q) та згинальних моментів (М).

При згинанні прямолінійна вісь бруса викривляється, нейтральна вісь проходить через центр тяжіння перерізу. Для визначеності при побудові епюр поперечних сил згинальних моментів встановимо їм правила символів. Приймемо, що згинальний момент вважатиметься позитивним, якщо елемент бруса згинається опуклістю вниз, тобто. таким чином, що його стислі волокна знаходяться у верхній частині.

Якщо момент згинає брус опуклістю вгору, цей момент вважатиметься негативним.

Позитивні значення згинальних моментів при побудові епюри відкладаються, як звичайно в напрямку осі, що відповідає побудові епюри на стиснутому волокні.

Тому правило знаків для епюри згинальних моментів можна сформулювати так: ординати моментів відкладаються з боку шарів бруса.

Згинальний момент у перерізі дорівнює сумі моментів щодо цього перерізу всіх сил, розташованих з одного боку (будь-яку) від перерізу.

Для визначення поперечних сил (Q) встановимо правило знаків: поперечна сила вважається позитивною, якщо зовнішня сила прагне повернути відсічену частину балки за годину. стрілці щодо точки осі, яка відповідає проведеному перерізу.

Поперечна сила (Q) у довільному поперечному перерізі бруса чисельно дорівнює сумі проекцій на вісь ОУ зовнішніх сил, прикладених до осіченої частини.

Розглянемо кілька прикладів побудови епюр поперечних сил згинальних моментів. Всі сили перпендикулярні до осі балок, тому горизонтальна складова реакції дорівнює нулю. Деформована вісь балки та сили лежать у головній площині ZOY.

Балка завдовжки защемлена лівим кінцем і навантажена зосередженою силою F і моментом m=2F.

Побудуємо епюри поперечних сил Q і згинальних моментів М.

У нашому випадку на балку праворуч не накладено зв'язків. Тому, щоб не визначати опорні реакції, доцільно розглядати рівновагу правої відсіченої частини балка. Задана балка має дві ділянки навантаження. Кордони ділянок-перетину, у яких прикладені зовнішні сили. 1 ділянка – СВ,2 – ВА.

Проводимо довільний переріз на ділянці 1 та розглянемо рівновагу правої відсіченої частини довжиною Z 1 .

З умови рівноваги випливає:

Q=F; М із = -FZ 1 ()

Поперечна сила позитивна, т.к. зовнішня сила F прагне повернути відсічену частину за годинниковою стрілкою. Момент згинальний вважається негативним, т.к. він згинає розглянуту частину балки опуклістю нагору.

При складанні рівнянь рівноваги подумки закріплюємо місце перерізу; з рівнянь () випливає, що поперечна сила на ділянці I від Z 1 не залежить і є постійною величиною. Позитивну силу Q=F відкладаємо в масштабі вгору від осьової лінії балки перпендикулярно до неї.

Згинальний момент залежить від Z 1 .

При Z 1 =O М із =O при Z 1 = М із =

Отримане значення () відкладаємо донизу, тобто. епюра М будується на стиснутому волокні.

Переходимо до другої ділянки

Розсікаємо ділянку II на довільній відстані Z 2 від вільного правого торця балки і розглядаємо рівновагу відсіченої частини довжиною Z 2 . Зміна поперечної сили та згинального моменту на основі умов рівноваги можна виразити такими рівняннями:

Q=FM із = - FZ 2 +2F

Величина та знак поперечної сили не змінилися.

Величина згинального моменту залежить від Z 2 .

При Z 2 = M із =, при Z 2 =

Згинальний момент вийшов позитивним як на початку ділянки II, так і в кінці його. На ділянці II балка згинається опуклістю донизу.

Відкладаємо в масштабі величини моментів нагору по осьовій лінії балки (тобто епюра будується на стиснутому волокні). Найбільший згинальний момент виникає у перерізі, де прикладений зовнішній момент m і за абсолютною величиною дорівнює

Зауважимо, що на довжині балки, де Q зберігає постійну величину, момент М, що згинає, змінюється лінійно і представляється на епюрі похилими прямими. З епюр Q і М видно, що в перерізі, де прикладена зовнішня поперечна сила, епюра Q має стрибок на величину цієї сили, а епюра М з - злам. У перерізі, де прикладено зовнішній згинальний момент, епюра Міз має стрибок на величину цього моменту. На епюрі Q це не відбивається. З епюри М бачимо, що

maxМ із =

отже, небезпечний переріз гранично наближено з лівого боку до т.ч.

Для балки зображеної на рис.13,а побудувати епюри поперечних сил і згинальних моментів. На довжині балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням з інтенсивністю q(КН/см).

На опорі А (шарнір нерухомий) виникне вертикальна реакція R a (горизонтальна реакція дорівнює нулю), а на опорі (рухливий шарнір) виникає вертикальна реакція R ст.

Визначимо вертикальні реакції опор, складаючи рівняння моментів щодо опор А та В.

Перевіримо правильність визначення реакції:

тобто. опорні реакції визначено правильно.

Задана балка має дві ділянки навантаження: I ділянка – АС.

II ділянка – СВ.

На першій ділянці a у поточному перерізі Z 1 з умови рівноваги відсіченої частини маємо

Рівняння згинальних моментів на 1 ділянці балки:

Момент від реакції R a згинає балку на ділянці 1, опуклістю вниз, тому момент, що згинає від реакції Ra вводиться в рівняння зі знаком плюс. Навантаження qZ 1 вигинає балку опуклістю нагору, тому момент від неї вводиться в рівняння зі знаком мінус. Згинальний момент змінюється за законом квадратної параболи.

Тому необхідно з'ясувати, чи має місце екстремум. Між поперечною силою Q та згинальним моментом існує диференціальна залежність на аналізі якої ми зупинимося далі

Як відомо, функція має екстремум там, де похідна дорівнює нулю. Отже, щоб визначити при якому значенні Z 1 згинальний момент буде екстремальним, треба рівняння поперечної сили прирівняти до нуля.

Так як поперечна сила змінює в цьому перерізі знак з плюсу на мінус, то момент, що згинає, в цьому перерізі буде максимальним. Якщо Q змінює знак з мінуса на плюс, то момент, що згинає, в цьому перерізі буде мінімальним.

Отже, згинальний момент при

є максимальним.

Тому, будуємо параболу за трьома точками

При Z 1 =0 М із =0

Розсікаємо другу ділянку на відстані Z 2 від опори В. З умови рівноваги правої відсіченої частини балки маємо:

При величина Q = const,

згинальний момент буде:

при, при, тобто. M З

змінюється за лінійним законом.

Балка на двох опорах, що має проліт рівний 2 і ліву консоль завдовжки, навантажена так, як показано на рис.14,а., де q(Кн/см) - навантаження на погонах. Опора А-шарнірно нерухома, опора - рухливий каток. Побудувати епюри Q і М.

Розв'язання задачі слід розпочинати з визначення реакцій опор. З умови рівності нулю суми проекцій усіх сил на вісь Z випливає, що горизонтальна складова реакцію опорі А дорівнює 0.

Для перевірки використовуємо рівняння

Рівняння рівноваги задовольняються, отже реакції обчислені правильно. Переходимо до визначення внутрішніх силових чинників. Задана балка має три ділянки навантаження:

• 1 ділянка - СА,
• 2 ділянка - АТ,
• 3 ділянка – ДВ.

Розсічемо 1 ділянку на відстань Z 1 від лівого торця балки.

при Z 1 = 0 Q = 0 М З = 0

при Z 1 = Q = -q М З =

Таким чином, на епюрі поперечних сил виходить похила пряма, а на епюрі згинальних моментів - парабола, вершина якої знаходиться на лівому кінці балки.

На ділянці II (a Z 2 2a) визначення внутрішніх силових чинників розглянемо рівновагу лівої відсіченої частини балки довжиною Z 2 . З умови рівноваги маємо:

Поперечна сила на цій ділянці постійна.

На ділянці III()

З епюри бачимо, що найбільший згинальний момент виникає в перерізі під силою F і дорівнює. Цей перетин буде найнебезпечнішим.

На епюрі М є стрибок на опорі В, рівний зовнішньому моменту, прикладеному в даному перерізі.

Розглядаючи побудовані вище епюри, неважко помітити певний закономірний зв'язок між епюрами згинальних моментів та епюрами поперечних сил. Доведемо це.

Похідна від поперечної сили по довжині бруса дорівнює модулю інтенсивності навантаження.

Відкидаючи величину вищого порядку малості отримаємо:

тобто. поперечна сила є похідною від згинального моменту за довжиною бруса.

Враховуючи отримані диференціальні залежності, можна зробити загальні висновки. Якщо брус навантажений рівномірно розподіленим навантаженням інтенсивності q=const, очевидно, функція Q буде лінійною, а М - квадратичною.

Якщо брус навантажений зосередженими силами чи моментами, то проміжках між точками їх застосування інтенсивність q=0. Отже, Q=const, а М є лінійною функцією Z. У точках докладання зосереджених сил епюру Q зазнає стрибок на величину зовнішньої сили, а в епюрі М з виникає відповідний злам (розрив у похідній).

У місці застосування зовнішнього згинального моменту спостерігається розрив в епюрі моментів, рівний за величиною прикладеного моменту.

Якщо Q>0, то М росте, а якщо Q<0, то М из убывает.

Диференціальні залежності використовуються для перевірки рівнянь складених для побудови епюр Q і М, а також для уточнення виду цих епюр.

Згинальний момент змінюється за законом параболи, опуклість якої завжди спрямована назустріч зовнішньому навантаженню.