Вступ. Математика як наука про кількісні відносини і просторові форми дійсності вивчає навколишній світ. Математика як наука про кількісні відносини та просторові форми дійсного світу Сукупність наук вивчають у

Математика - це наука про кількісні відносини та просторові форми дійсного світу. У нерозривному зв'язку з запитами науки і техніки запас кількісних відносин і просторових форм, що вивчаються математикою, безперервно розширюється, тому наведене визначення необхідно розуміти у загальному сенсі.

Метою вивчення математики є підвищення загального світогляду, культури мислення, формування наукового світогляду.

Розуміння самостійного становища математики як особливої ​​науки стало можливим після накопичення досить великого фактичного матеріалу і виникло вперше у Стародавній Греції VI-V століттях до нашої ери. Це було початком періоду елементарної математики.

Протягом цього періоду математичні дослідження мають справу лише з досить обмеженим запасом основних понять, що виникли з найпростішими запитами господарського життя. Водночас уже відбувається якісне вдосконалення математики як науки.

Сучасну математику часто порівнюють із великим містом. Це прекрасне порівняння, оскільки в математиці, як і у великому місті, відбувається безперервний процес зростання та вдосконалення. У математиці виникають нові області, будуються витончені і глибокі нові теорії подібно до будівництва нових кварталів і будівель. Але прогрес математики не зводиться лише зміну обличчя міста через будівництво нового. Доводиться змінювати і старе. Старі теорії включаються до нових, більш загальних; Виникає необхідність зміцнення фундаментів старих будівель. Доводиться прокладати нові вулиці, щоби встановлювати зв'язки між далекими кварталами математичного міста. Але цього мало - архітектурне оформлення вимагає значних зусиль, оскільки різностильність різних галузей математики як псує загальне враження від науки, а й заважає розумінню науки загалом, встановленню зв'язків між різними її частинами.

Нерідко використовується й інше порівняння: математику уподібнюють великому гіллястому дереву, яке систематично дає нові пагони. Кожна гілка дерева – це та чи інша область математики. Число гілок не залишається незмінним, оскільки виростають нові гілки, зростаються воєдино спочатку рослі окремо, деякі з гілок засихають, позбавлені поживних соків. Обидва порівняння вдалі і дуже добре передають справжній стан справи.

Безперечно, що у побудові математичних теорій велику роль відіграє вимога краси. Само собою зрозуміло, що відчуття краси дуже суб'єктивно і нерідко зустрічаються досить потворні уявлення щодо цього. І все ж таки доводиться дивуватися тій одностайності, яка вкладається математиками в поняття «краса»: результат вважається красивим, якщо з малого числа умов вдається отримати загальний висновок, що відноситься до широкого кола об'єктів. Математичний висновок вважається красивим, якщо в ньому простими та короткими міркуваннями вдається довести значний математичний факт. Зрілість математика, його талант вгадуються з того, наскільки розвинене почуття краси. Естетично завершені та математично досконалі результати легше зрозуміти, запам'ятати та використовувати; легше виявляти та його взаємовідносини коїться з іншими областями знання.

Математика нашого часу перетворилася на наукову дисципліну з безліччю напрямів досліджень, величезною кількістю результатів і методів. Математика тепер настільки велика, що немає можливості одній людині охопити її у всіх її частинах, немає можливості бути в ній фахівцем-універсалом. Втрата зв'язків між її окремими напрямками – безумовно негативний наслідок бурхливого розвитку цієї науки. Проте основу розвитку всіх галузей математики є загальне - витоки розвитку, коріння дерева математики.

Геометрія Евкліда як перша природнича теорія

• У III столітті до нашої ери в Олександрії з'явилася книга Евкліда з тією ж назвою, в перекладі "Початку". Від латинської назви "Початок" походить термін "елементарна геометрія". Незважаючи на те, що твори попередників Евкліда до нас не дійшли, ми можемо скласти деяку думку про ці твори по "Початках" Евкліда. У " Початках " є розділи, логічно мало пов'язані коїться з іншими розділами. Поява їх пояснюється лише тим, що вони внесені за традицією та копіюють "Початки" попередників Евкліда.

  "Початки" Евкліда складаються із 13 книг. 1 - 6 книги присвячені планіметрії, 7 - 10 книги - про арифметику та незрівнянні величини, які можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Книги з 11 до 13 були присвячені стереометрії.

  "Початки" починаються з викладу 23 визначень та 10 аксіом. Перші п'ять аксіом - "загальні поняття", інші називаються "постулатами". Перші два постулати визначають дії за допомогою ідеальної лінійки, третій – за допомогою ідеального циркуля. Четвертий, " всі прямі кути рівні між собою " , є зайвим, оскільки можна вивести з інших аксіом. Останній, п'ятий постулат говорив: "Якщо пряма падає на дві прямі і утворює внутрішні односторонні кути в сумі менше двох прямих, то при необмеженому продовженні цих двох прямих вони перетнуться з того боку, де кути менше двох прямих".

  П'ять "загальних понять" Евкліда є принципами вимірювання довжин, кутів, площ, обсягів: "рівні одному й тому ж рівні між собою", "якщо до рівних додати рівні, суми рівні між собою", "якщо від рівних відібрати рівні, залишки рівні між собою", "сумісні один з одним рівні між собою", "ціле більше частини".

  Далі розпочалася критика геометрії Евкліда. Критикували Евкліда з трьох причин: через те, що він розглядав лише такі геометричні величини, які можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки; за те, що він розривав геометрію та арифметику і доводив для цілих чисел те, що вже довів для геометричних величин, і нарешті за аксіоми Евкліда. Найбільше критикували п'ятий постулат, найскладніший постулат Евкліда. Багато хто вважав його зайвим і що його можна і потрібно вивести з інших аксіом. Інші вважали, що його слід замінити більш простим і наочним, рівносильним йому: "Через точку поза прямою можна провести в їх площині не більше однієї прямої, що не перетинає цю пряму".

  Критика розриву між геометрією та арифметикою призвела до розширення поняття числа до дійсного числа. Суперечки про п'ятий постулат призвели до того, що на початку XIX століття М.І.Лобачевський, Я.Бойяї та К.Ф.Гаусс побудували нову геометрію, в якій виконувались усі аксіоми геометрії Евкліда, за винятком п'ятого постулату. Він був замінений протилежним твердженням: "У площині через точку поза прямою можна провести більше однієї прямої, яка не перетинає дану". Ця геометрія була такою ж несуперечливою, як і геометрія Евкліда.

  Модель планиметрії Лобачевського на евклідовій площині була побудована французьким математиком Анрі Пуанкаре у 1882 році.

  На евклідовій площині проведемо горизонтальну пряму. Ця пряма називається абсолютом (x). Точки евклідової площини, що лежать вище за абсолют, є точками площини Лобачевського. Площиною Лобачевського називається відкрита напівплощина, що лежить вище за абсолют. Неевклідові відрізки в моделі Пуанкаре - це дуги кіл з центром на абсолюті або відрізки прямих, перпендикулярних до абсолюту (AB, CD). Фігура на площині Лобачевського - фігура відкритої напівплощини, що лежить вище за абсолют (F). Неевклідов рух є композицією кінцевого числа інверсій з центром на абсолюті і осьових симетрій, осі яких перпендикулярні абсолюту. Два неевклідові відрізки рівні, якщо один з них неевклідовим рухом можна перевести в інший. Такими є основні поняття аксіоматики планіметрії Лобачевського.

  Усі аксіоми планиметрії Лобачевського несуперечливі. "Неевклідова пряма - це півколо з кінцями на абсолюті або промінь з початком на абсолюті та перпендикулярну абсолюту". Таким чином, затвердження аксіоми паралельності Лобачевського виконується не тільки для деякої прямої a і точки A, що не лежить на цій прямій, але і для будь-якої прямої a і будь-якої точки A, що на ній не лежить.

  За геометрією Лобачевського виникли й інші несуперечливі геометрії: від евклідової відокремилася проективна геометрія, склалася багатовимірна евклідова геометрія, виникла риманова геометрія (загальна теорія просторів з довільним законом вимірювання довжин) та ін. З науки про фігури в одному тривимірному ев0 років перетворилася на сукупність різноманітних теорій, лише в чомусь подібних до своєї прародительки - геометрії Евкліда.

  Основні етапи розвитку сучасної математики. Структура сучасної математики

• Академік А.Н.Колмогоров виділяє чотири періоди розвитку математики Колмогоров А.М. - Математика, Математичний енциклопедичний словник, Москва, Радянська енциклопедія, 1988: зародження математики, елементарної математики, математики змінних величин, сучасної математики.

  У період розвитку елементарної математики з арифметики поступово зростає теорія чисел. Створюється алгебра як буквене числення. А створена стародавніми греками система викладу елементарної геометрії – геометрії Евкліда – на два тисячоліття вперед стала зразком дедуктивної побудови математичної теорії.

  У XVII столітті запити природознавства та техніки призвели до створення методів, що дозволяють математично вивчати рух, процеси зміни величин, перетворення геометричних фігур. З використання змінних величин в аналітичній геометрії та створення диференціального та інтегрального обчислення починається період математики змінних величин. Великим відкриттям XVII століття є введене Ньютоном і Лейбніца поняття нескінченно малої величини, створення основ аналізу нескінченно малих величин (математичного аналізу).

  На першому плані висувається поняття функції. Функція стає головним предметом вивчення. Вивчення функції призводить до основних понять математичного аналізу: межі, похідної, диференціалу, інтегралу.

  На той час ставляться і поява геніальної ідеї Р.Декарта про метод координат. Створюється аналітична геометрія, що дозволяє вивчати геометричні об'єкти методами алгебри та аналізу. З іншого боку, метод координат відкрив можливість геометричної інтерпретації алгебраїчних та аналітичних фактів.

  Подальший розвиток математики призвело на початку ХІХ століття до постановки завдання вивчення можливих типів кількісних відносин та просторових форм із досить загальної точки зору.

  Зв'язок математики та природознавства набуває все більш складних форм. Виникають нові теорії та виникають вони не тільки внаслідок запитів природознавства та техніки, а й у результаті внутрішньої потреби математики. Чудовим прикладом такої теорії є уявна геометрія М. І. Лобачевського. Розвиток математики XIX і XX століттях дозволяє віднести її до періоду сучасної математики. Розвиток самої математики, математизація різних галузей науки, проникнення математичних методів у багато сфер практичної діяльності, прогрес обчислювальної техніки призвели до появи нових математичних дисциплін, наприклад дослідження операцій, теорія ігор, математична економіка та інші.

  Основними методами математичних дослідженнях є математичні докази - суворі логічні міркування. Математичне мислення не зводиться лише до логічних міркувань. Для правильної постановки завдання, з метою оцінки вибору способу її вирішення необхідна математична інтуїція.

  У математиці вивчаються математичні моделі об'єктів. Одна й та математична модель може описувати властивості далеких друг від друга реальних явищ. Так, те саме диференціальне рівняння може описувати процеси зростання населення і розпад радіоактивної речовини. Для математика важлива не природа об'єктів, що розглядаються, а існуючі між ними відносини.

  У математиці використовують два види висновків: дедукція та індукція.

  Індукція - метод дослідження, у якому загальний висновок будується з урахуванням приватних посилок.

  Дедукція - спосіб міркування, з якого від загальних посилок слід висновок приватного характеру.

  Математика відіграє важливу роль у природничих, інженерно-технічних та гуманітарних дослідженнях. Причина проникнення математики у різні галузі знань у тому, що вона пропонує дуже чіткі моделі вивчення навколишньої дійсності на відміну менш загальних і більш розпливчастих моделей, запропонованих іншими науками. Без сучасної математики з її розвиненими логічним та обчислювальним апаратами був би неможливий прогрес у різних галузях людської діяльності.

  Математика є не лише потужним засобом розв'язання прикладних завдань та універсальною мовою науки, а й елементом загальної культури.

  Основні риси математичного мислення

• З цього питання особливий інтерес представляє характеристика математичного мислення, дана А.Я.Хинчиным, точніше, його конкретно-історичної форми - стилю математичного мислення. Розкриваючи сутність стилю математичного мислення, він виділяє чотири загальні всім епох риси, помітно відрізняють цей стиль від стилів мислення інших науках.

  По-перше, для математика характерна доведене до межі домінування логічної схеми міркування. Математик, що втратив, хоча б тимчасово, на увазі цю схему, взагалі позбавляється можливості науково мислити. Ця своєрідна риса стилю математичного мислення має багато цінного. Очевидно, що вона максимально дозволяє стежити за правильністю перебігу думки і гарантує від помилок; з іншого боку, вона змушує мислячого при аналізі мати перед очима всю сукупність наявних можливостей і зобов'язує його врахувати кожну з них, не пропускаючи жодної (таких пропусків цілком можливі і фактично часто спостерігаються при інших стилях мислення).

  По-друге, лаконізм, тобто. свідоме прагнення завжди знаходити найкоротший провідний до цієї мети логічний шлях, нещадне відкидання всього, що абсолютно необхідно для бездоганної повноцінності аргументації. Математичне твір хорошого стилю, не терпить жодної “води”, ніяких прикрашають, що послаблюють логічну напругу розмов, відволікань убік; гранична скупість, сувора строгість думки та її виклади становлять невід'ємну межу математичного мислення. Ця риса має велику цінність не тільки для математичного, але і для будь-якого іншого серйозного міркування. Лаконізм, прагнення не допускати нічого зайвого, допомагає і самому мислячому, і його читачеві чи слухачеві повністю зосередитися на даному ході думок, не відволікаючись побічними уявленнями і не втрачаючи безпосереднього контакту з основною лінією міркування.

  Корифеї науки, як правило, мислять і виражаються лаконічно у всіх галузях знань, навіть тоді, коли думка їх створює та викладає принципово нові ідеї. Яке величне враження справляє, наприклад, благородна скнарість думки та мови найбільших творців фізики: Ньютона, Ейнштейна, Нільса Бора! Можливо, важко знайти яскравіший приклад того, який глибокий вплив може мати на розвиток науки саме стиль мислення її творців.

  Для математики лаконізм думки є незаперечним, канонізованим століттями законом. Будь-яка спроба обтяжити виклад не обов'язково потрібними (нехай навіть приємними та захоплюючими для слухачів) картинами, відволіканнями, розмовами заздалегідь ставиться під законну підозру та автоматично викликає критичну настороженість.

  По-третє, чітка розчленованість перебігу міркувань. Якщо, наприклад, при доказі будь-якої пропозиції ми маємо розглянути чотири можливі випадки, у тому числі кожен може розбиватися те чи інше число подслучаев, то кожен момент міркування математик повинен чітко пам'ятати, у якому разі і подслучае його думка зараз знаходить і які випадки та підвипадки йому ще залишається розглянути. При всякого роду розгалужених перерахування математик повинен у кожний момент усвідомлювати, для якого родового поняття він перераховує складові його видові поняття. У повсякденному, не науковому мисленні ми часто спостерігаємо у разі змішання і перескоки, які призводять до плутанини і помилок у міркуванні. Часто буває, що людина почала перераховувати види одного якогось роду, а потім непомітно для слухачів (а часто і для себе), користуючись недостатньою логічною виразністю міркування, перескочила в інший рід і закінчує заявою, що тепер обидва роди розкласифіковані; а слухачі чи читачі не знають, де пролягає межа між видами першого та другого роду.

  Щоб зробити такі змішання і перескоки неможливими, математики здавна широко користуються простими зовнішніми прийомами нумерації понять і суджень, іноді (але набагато рідше) застосовуваними та інших науках. Ті можливі випадки або родові поняття, які слід розглянути в даному міркуванні, заздалегідь перенумеровуються; всередині кожного такого випадку ті, що підлягають розгляду, випадки, які він містить, також перенумеровуються (іноді, для розрізнення, за допомогою будь-якої іншої системи нумерації). Перед кожним абзацом, де починається розгляд нового підвипадку, ставиться прийняте для цього підвипадку позначення (наприклад: II 3 - це означає, що тут починається розгляд третього випадку другого опису, або опис третього виду другого роду, якщо йдеться про класифікацію). І читач знає, що до тих пір, поки він не наштовхнеться на нову числову рубрику, все, що викладається, відноситься тільки до цього випадку і подслучаю. Зрозуміло, що така нумерація служить лише зовнішнім прийомом, дуже корисним, але зовсім не обов'язковим, і що суть справи не в ній, а в тій чіткій розчленованості аргументації або класифікації, яку вона і стимулює, і знаменує собою.

  По-четверте, скрупульозна точність символіки, формул, рівнянь. Тобто "кожен математичний символ має строго певне значення: заміна його іншим символом або перестановка на інше місце, як правило, тягне за собою спотворення, а часом повне знищення сенсу цього висловлювання".

  Виділивши основні риси математичного стилю мислення, А.Я.Хинчин зауважує, що математика (особливо математика змінних величин) за своєю природою має діалектичний характер, отже, сприяє розвитку діалектичного мислення. Справді, у процесі математичного мислення відбувається взаємодія наочного (конкретного) і понятійного (абстрактного). "Ми не можемо мислити лінії, - писав Кант, - не провівши її подумки, не можемо мислити собі три виміри, не провівши, з однієї точки трьох перпендикулярних один до одного ліній".

  Взаємодія конкретного та абстрактного “вело” математичне мислення до освоєння нових та нових понять та філософських категорій. У античній математиці (математиці постійних величин) такими були “число” і “простір”, які спочатку відбито у арифметиці та евклідової геометрії, і потім у алгебрі та різних геометричних системах. Математика змінних величин “базувалася” на поняттях, у яких відбивалося рух матерії, - “кінцеве”, “нескінченне”, “безперервність”, “дискретне”, “нескінченно мала”, “похідна” тощо.

  Якщо говорити про сучасний історичний етап розвитку математичного пізнання, то він йде в руслі подальшого освоєння філософських категорій: теорія ймовірностей "освоює" категорії можливого та випадкового; топологія - категорії відношення та безперервності; теорія катастроф – категорію стрибка; теорія груп - категорії симетрії та гармонії тощо.

  У математичному мисленні виражені основні закономірності побудови подібних формою логічних зв'язків. З його допомогою здійснюється перехід від одиничного (скажімо, від певних математичних методів - аксіоматичного, алгоритмічного, конструктивного, теоретико-множинного та інших) до особливого та загального, до узагальнених дедуктивних побудов. Єдність методів та предмета математики визначає специфіку математичного мислення, дозволяє говорити про особливу математичну мову, в якій не тільки відображається дійсність, а й синтезується, узагальнюється, прогнозується наукове знання. Могутність і краса математичної думки - у граничній чіткості її логіки, витонченості конструкцій, майстерному побудові абстракцій.

  Принципово нові можливості мисленнєвої діяльності відкрилися з винаходом ЕОМ, зі створенням машинної математики. У мові математики відбулися значні зміни. Якщо мова класичної обчислювальної математики складався з формул алгебри, геометрії та аналізу, орієнтувався на опис безперервних процесів природи, що вивчаються, насамперед у механіці, астрономії, фізиці, то сучасний її мова - це мова алгоритмів і програм, що включає стару мову формул як приватну випадку.

  Мова сучасної обчислювальної математики стає все більш універсальною, здатною описувати складні (багатопараметричні) системи. Разом з тим хочеться підкреслити, що якою б досконалою не була математична мова, посилена електронно-обчислювальною технікою, вона не пориває зв'язків із різноманітною “живою”, природною мовою. Мало того, розмовна мова є базою штучної мови. У цьому плані цікавить недавнє відкриття вчених. Йдеться про те, що стародавня мова індіанців аймара, якою говорять приблизно 2,5 мільйона людей у ​​Болівії та Перу, виявилася надзвичайно зручною для комп'ютерної техніки. Ще в 1610 році італійський місіонер-єзуїт Людовіко Бертоні, який склав перший словник аймара, відзначав геніальність його творців, які досягли високої логічної чистоти. У аймара, наприклад, немає неправильних дієслів і жодних винятків з небагатьох чітких граматичних правил. Ці особливості мови аймара дозволили болівійському математику Айвану Гусман де Рохас створити систему синхронного комп'ютерного перекладу з будь-якої з п'яти закладених у програму європейських мов, "містком" між якими служить мова аймара. ЕОМ "Аймара", створена болівійським ученим, отримала високу оцінку фахівців. Резюмуючи цю частину питання сутності математичного стилю мислення, слід зазначити, що його основним змістом є розуміння природи.

  Аксіоматичний метод

• Аксіоматика - основний спосіб побудови теорії, з давніх-давен і до сьогодні підтверджує свою універсальність і всю застосовність.

  У основі побудови математичної теорії лежить аксіоматичний метод. У основу наукової теорії кладуться деякі вихідні становища, звані аксіомами, проте інші положення теорії виходять, як логічні наслідки аксіом.

  Аксіоматичний метод виник у Стародавню Грецію, й у час застосовується майже переважають у всіх теоретичних науках, а, передусім у математиці.

  Порівнюючи три, у відомому відношенні, що доповнюють одна одну геометрії: Евклідову (параболічну), Лобачевського (гіперболічну) і Ріманову (еліптичну), слід зазначити, що поряд з деякими подібностями є велика різниця між сферичною геометрією, з одного боку, і геометріями Евкліда і Лобачевського – з іншого.

  Корінне відмінність сучасної геометрії у тому, що вона охоплює " геометрії " нескінченного безлічі різних уявних просторів. Однак слід зазначити, що всі ці геометрії є інтерпретаціями евклідової геометрії і в їх основі лежить аксіоматичний метод, вперше використаний Евклідом.

  На основі досліджень отримав свій розвиток та широке застосування аксіоматичний метод. Як окремий випадок застосування цього способу служить метод слідів у стереометрії, що дозволяє вирішувати завдання на побудову перерізів у багатогранниках та деяких інших позиційних завдань.

  Аксіоматичний метод, розвинений спочатку у геометрії, тепер став важливим знаряддям вивчення та інших розділах математики, фізики і механіки. В даний час ведуться роботи з удосконалення та глибшого вивчення аксіоматичного способу побудови теорії.

  Аксіоматичний метод побудови наукової теорії полягає у виділенні основних понять, формулюванні аксіом теорій, а всі інші твердження виводяться логічним шляхом, спираючись на них. Відомо, що одне поняття має роз'яснюватися за допомогою інших, які, своєю чергою, теж визначаються за допомогою якихось відомих понять. Таким чином ми приходимо до елементарних понять, які не можна визначити через інші. Ці поняття називаються основними.

  Коли ми доводимо твердження теорему, то спираємося на передумови, які вважаються вже доведеними. Але ці причини теж доводилися, їх треба було довести. Зрештою, ми приходимо до тверджень, що не доводяться, і приймаємо їх без доказу. Ці твердження називаються аксіомами. Набір аксіом повинен бути таким, щоб, спираючись на нього, можна було довести подальші твердження.

  Виділивши основні поняття та сформулювавши аксіоми, далі ми виводимо теореми та інші поняття логічним шляхом. У цьому полягає логічне будова геометрії. Аксіоми та основні поняття складають основи планіметрії.

  Оскільки не можна дати єдине визначення основних понять всім геометрій, то основні поняття геометрії слід визначити як об'єкти будь-якої природи, задовольняють аксіомам цієї геометрії. Таким чином, при аксіоматичній побудові геометричної системи ми виходимо з деякої системи аксіом, або аксіоматики. У цих аксіомах описуються властивості основних понять геометричної системи, і ми можемо уявити основні поняття у вигляді об'єктів будь-якої природи, які мають властивості, зазначені в аксіомах.

  Після формулювання та доказу перших геометричних тверджень стає можливим доводити одні твердження (теореми) за допомогою інших. Докази багатьох теорем приписуються Піфагору та Демокриту.

  Гіппократу Хіоському приписується складання першого систематичного курсу геометрії, заснованого на визначеннях та аксіомах. Цей курс та його подальші обробки називалися "Елементи".

  Аксіоматичний метод побудови наукової теорії

• Створення дедуктивного чи аксіоматичного методу побудови науки одна із найбільших досягнень математичної думки. Воно вимагало роботи багатьох поколінь вчених.

  Чудовою рисою дедуктивної системи викладу є простота цієї побудови, що дозволяє описати їх у небагатьох словах.

  Дедуктивна система викладу зводиться:

  1) до перерахування основних понять,

  2) до викладу ухвал,

  3) до викладу аксіом,

  4) до викладу теорем,

  5) на підтвердження цих теорем.

  Аксіома – твердження, яке приймається без доказів.

  Теорема - твердження, що з аксіом.

  Доказ - складова частина дедуктивної системи, це міркування, яке показує, що істинність твердження випливає логічно з істинності попередніх теорем чи аксіом.

  Усередині дедуктивної системи неможливо вирішити два питання: 1) про сенс основних понять, 2) про істинність аксіом. Але це не означає, що ці питання взагалі не вирішуються.

  Історія природознавства свідчить, що можливість аксіоматичного побудови тієї чи іншої науки з'являється лише на досить високому рівні розвитку цієї науки, на базі великого фактичного матеріалу, дозволяє чітко виявити ті основні зв'язки та співвідношення, які існують між об'єктами, що вивчаються цією наукою.

  Прикладом аксіоматичного побудови математичної науки є елементарна геометрія. Система аксіом геометрії було викладено Евклідом (близько 300 р. е.) у неперевершеному за своєю значимості праці “Початку”. Ця система в основних рисах збереглася і досі.

  Основні поняття: точка, пряма, площина, основні образи; лежати між собою, належати, рух.

  Елементарна геометрія має 13 аксіом, які розбиті п'ять груп. У п'ятій групі одна аксіома про паралельні (V постулат Евкліда): через точку на площині можна провести тільки одну пряму, що не перетинає цю пряму. Це єдина аксіома, що викликала потребу доказу. Спроби довести п'ятий постулат займали математиків понад дві тисячоліття, до першої половини 19 століття, тобто. до того моменту, коли Микола Іванович Лобачевський довів у своїх працях повну безнадійність цих спроб. Нині недоказність п'ятого постулату є суворо доведеним математичним фактом.

  Аксіому про паралельні Н.І. Лобачевський замінив аксіомою: Нехай у цій площині дана пряма і поза прямий точка. Через цю точку можна провести до цієї прямої, принаймні дві паралельні прямі.

  З нової системи аксіом Н.І. Лобачевський з бездоганною логічною строгістю вивів струнку систему теорем, що становлять зміст неевклідової геометрії. Обидві геометрії Евкліда і Лобачевського як логічні системи рівноправні.

  Три великих математика в 19 столітті майже одночасно, незалежно один від одного дійшли одних результатів недоказності п'ятого постулату і створення неевклідової геометрії.

  Микола Іванович Лобачевський (1792-1856)

  Карл Фрідріх Гаус (1777-1855)

  Янош Бойяї (1802-1860)

  Математичний доказ

• Основним методом у математичних дослідженнях є математичні докази – суворі логічні міркування. З огляду на об'єктивну необхідність, вказує член-кореспондент РАН Л.Д.Кудрявцев Кудрявцев Л.Д. - Сучасна математика та її викладання, Москва, Наука, 1985 рік, логічні міркування (які за своєю природою, якщо вони правильні, є і строгими) представляють метод математики, без них математика немислима. Слід зазначити, що математичне мислення не зводиться лише до логічних міркувань. Для правильної постановки завдання, для оцінки її даних, для виділення істотних з них і для вибору способу її вирішення необхідна ще математична інтуїція, що дозволяє передбачити потрібний результат, перш ніж він буде отриманий, намітити шлях дослідження за допомогою правдоподібних міркувань. Але справедливість даного факту доводиться не перевіркою її на ряді прикладів, не проведенням ряду експериментів (що саме по собі відіграє велику роль у математичних дослідженнях), а суто логічним шляхом, за законами формальної логіки.

  Вважається, що математичний доказ є істиною в останній інстанції. Рішення, яке ґрунтується на чистій логіці просто не може бути неправильним. Але з розвитком науки і завдання перед математиками ставляться дедалі складніші.

  "Ми увійшли в епоху, коли математичний апарат став настільки складним і громіздким, що з першого погляду вже не можна сказати - правдиве чи ні зустрінуте завдання", вважає Кейт Девлін зі Стенфордського Університету Каліфорнії, США. Він наводить як приклад “класифікацію простих кінцевих груп”, яку сформулювали ще 1980 року, а повного точного докази не прищепили досі. Швидше за все, теорема вірна, але точно про це говорити не можна.

  Комп'ютерне рішення теж неможливо назвати точним, бо такі обчислення мають похибку. У 1998 році Хейлс запропонував рішення теореми Кеплера за допомогою комп'ютера, сформульованої ще 1611 року. Ця теорема описує найбільш щільну упаковку куль у просторі. Доказ був представлений на 300 сторінках і містив у собі 40000 рядків машинного коду. 12 рецензентів перевіряли рішення протягом року, але стовідсоткової впевненості у правильності доказу вони так і не досягли, та дослідження відправили на доопрацювання. В результаті воно було опубліковане лише через чотири роки та без повної сертифікації рецензентів.

  Усі останні обчислення для прикладних завдань виробляються комп'ютері, але вчені вважають, що з більшої достовірності математичні викладки мають бути представлені без похибок.

  Теорія доказу розроблена в логіці і включає три структурні компоненти: теза (те, що передбачається довести), аргументи (сукупність фактів, загальноприйнятих понять, законів тощо відповідної науки) та демонстрація (сама процедура розгортання доказу; послідовний ланцюг висновків, коли n-не висновок стає однією з посилок n + 1-го висновок). Виділяються правила доказу, вказано можливі логічні помилки.

  Математичне підтвердження має багато з тими принципами, які встановлюються формальної логікою. Більше того, математичні правила міркувань і операцій, очевидно, послужили однією з основ розробки процедури доказу в логіці. Зокрема, дослідники історії становлення формальної логіки вважають, що свого часу, коли Арістотель зробив перші кроки щодо створення законів та правил логіки, він звернувся до математичної та до практики юридичної діяльності. У цих джерелах він знаходив матеріал для логічних побудов задуманої теорії.

  У XX століттях поняття доказу втратило суворий сенс, що сталося у зв'язку з виявленням логічних парадоксів, що приховувалися в теорії множин і особливо у зв'язку з результатами, які принесли теореми К. Геделя про неповноту формалізації.

  Насамперед це торкнулося самої математики, у зв'язку з чим було висловлено переконання, що термін "доказ" не має точного визначення. Але якщо вже подібна думка (має місце й досі) торкається самої математики, то приходять до висновку, згідно з яким доказ слід прийняти не в логіко-математичному, а в психологічному сенсі. При цьому подібний погляд виявляють і в самого Аристотеля, який вважав, що довести означає провести міркування, яке переконало б нас настільки, що, використовуючи його, переконуємо інших у правоті чогось. Певний відтінок психологічного підходу знаходимо у А. Є. Єсеніна-Вольпіна. Він різко виступає проти прийняття істини без доказу, пов'язуючи це з актом віри, і далі пише: "Доказом судження я називаю чесний прийом, який робить це судження незаперечним". Єсенін-Вольпін усвідомлює, що його визначення потребує ще уточнень. Водночас сама характеристика доказу як "чесного прийому" не видає чи апеляцію до морально-психологічної оцінки?

  Водночас виявлення теоретико-множинних парадоксів та поява теорем Геделя якраз сприяли й розробці теорії математичного доказу, зробленої інтуїціоністами, особливо конструктивістського спрямування, та Д.Гільбертом.

  Іноді вважають, що математичний доказ має загальний характер і є ідеальним варіантом наукового доказу. Однак воно – не єдиний метод, є й інші способи доказових процедур та операцій. Правильно лише те, що в математичного доказу чимало схожого з формально-логічним, що реалізується в природознавстві, і що математичний доказ має певну специфіку, як і набір прийомів-операцій. На цьому ми і зупинимося, опускаючи те спільне, що ріднить його з іншими формами доказів, тобто, не розгортаючи у всіх кроках (навіть основних) алгоритм, правила, помилки тощо. процесу доказу.

  Математичний доказ представляє міркування, що має завданням обґрунтувати істинність (звісно, ​​в математичному, тобто як виведеність, сенсі) будь-якого твердження.

  Звід правил, що застосовуються у доказі, сформувався разом із появою аксіоматичних побудов математичної теорії. Найбільш чітко і повно це було реалізовано у геометрії Евкліда. Його " Початки " стали свого роду модельним зразком аксіоматичної організації математичного знання, і тривалий час залишалися такими для математиків.

  Висловлювання, подані у вигляді певної послідовності, повинні гарантувати висновок, який за дотримання правил логічного оперування вважається доведеним. Необхідно наголосити, що певна міркування є доказом лише щодо деякої аксіоматичної системи.

  При характеристиці математичного підтвердження виділяють дві основні особливості. Насамперед те, що математичний доказ виключає будь-які посилання на емпірію. Вся процедура обґрунтування істинності виведення здійснюється в рамках аксіоматики, що приймається. Академік А.Д.Александров у зв'язку з цим підкреслює. Можна тисячі разів вимірювати кути трикутника і переконатися, що вони дорівнюють 2d. Але математику цим нічого не доведеш. Йому доведеш, якщо виведеш наведене твердження з аксіом. Повторимося. Тут математика і близька методам схоластики, яка також принципово відкидає аргументацію досвідчено цими фактами.

  Наприклад, коли було виявлено несумірність відрізків, за підтвердження цієї теореми виключалося звернення до фізичного експерименту, оскільки, по-перше, саме поняття " незрівнянність " позбавлене фізичного сенсу, а, по-друге, математики не могли, маючи справу з абстракцією, залучати на допомогу речовинно-конкретні протяжності, що вимірюються чуттєво-наочним прийомом. Несумірність, зокрема, сторони та діагоналі квадрата, доводиться, спираючись на властивість цілих чисел із залученням теореми Піфагора про рівність квадрата гіпотенузи (відповідно – діагоналі) сумі квадратів катетів (двох сторін прямокутного трикутника). Або коли Лобачевський шукав для своєї геометрії підтвердження, звертаючись до результатів астрономічних спостережень, це підтвердження здійснювалося їм засобами суто умоглядного характеру. У інтерпретаціях неевклідової геометрії, проведених Келі - Клейном і Бельтрамі, також фігурували типово математичні, а чи не фізичні об'єкти.

  Друга особливість математичного доказу - його найвища абстрактність, якою вона відрізняється від процедур доказу інших науках. І знову ж таки, як у випадку з поняттям математичного об'єкта, йдеться не просто про ступінь абстракції, а про її природу. Справа в тому, що високого рівня абстрагування доказ досягає і в інших науках, наприклад, у фізиці, космології і, звичайно, у філософії, оскільки предметом останньої стають граничні проблеми буття і мислення. Математику ж відрізняє те, що тут функціонують змінні, зміст яких - у відволіканні від будь-яких конкретних властивостей. Нагадаємо, що, за визначенням, змінні - знаки, які самі по собі не мають значень і знаходять останні лише при підстановці замість них імен певних предметів (індивідуальні змінні) або при вказівці конкретних властивостей та відносин (предикатні змінні), або, нарешті, випадках заміни змінної змістовним висловом (пропозиційна змінна).

  Зазначеною особливістю і обумовлений характер крайньої абстрактності використовуваних у математичному доказі знаків, так само, як і тверджень, які завдяки включенню до своєї структури змінних перетворюються на функції висловлювання.

  Сама процедура доказу, яка визначається в логіці як демонстрація, протікає на основі правил виведення, спираючись на які здійснюється перехід від одних доведених тверджень до інших, утворюючи послідовний ланцюг висновків. Найбільш поширені два правила (підстановки та висновку висновків) та теорема про дедукцію.

  Правило підстановки. У математиці підстановка визначається як заміна кожного з елементів a даної множини яким-небудь іншим елементом F (a) з тієї ж множини. У математичній логіці правило підстановки формулюється в такий спосіб. Якщо справжня формула M у вирахуванні висловлювань містить букву, скажімо A, то, замінивши її всюди, де вона зустрічається, довільною буквою D, ми отримаємо формулу, також істинну, як і вихідна. Це можливо, і допустимо тому саме, що в обчисленні висловлювань відволікаються від змісту висловлювань (формул)... Враховуються лише значення "істина" чи "брехня". Наприклад, у формулі M: A-> (BUA) на місце A підставляємо вираз (AUB), в результаті отримуємо нову формулу (AUB) -> [(BU (AUB)]].

  Правило виведення висновків відповідає структурі умовно-категоричного силогізму modus ponens (модус стверджує) у формальній логіці. Він має такий вигляд:

  a .

  Дано висловлювання (a-> b) та ще дано a. З цього випливає b.

  Наприклад: Якщо йде дощ, то бруківка мокра, дощ йде (a), отже, бруківка мокра (b). У математичній логіці цей силогізм записується в такий спосіб (a-> b) a-> b.

  Висновок визначається, як правило, відділення для імплікації. Якщо дана імплікація (a-> b) та її антецедент (a), ми маємо право приєднати до міркування (доказу) і консеквент даної імплікації (b). Силлогізм має примусовий характер, складаючи арсенал дедуктивних засобів доказу, тобто, абсолютно відповідаючи вимогам математичних міркувань.

  Велику роль у математичному доказі грає теорема про дедукцію - загальна назва для ряду теорем, процедура яких забезпечує можливість встановити доказованість імплікації: A-> B, коли є логічний висновок формули B з формули A. У найбільш поширеному варіанті обчислення висловлювань (у класичній, інтуїціоністській) та інших видах математики) теорема про дедукцію стверджує наступне. Якщо дана система посилок G і посилка A, з яких, згідно з правилами, виводиться B Г, A B (- знак виведення), то слід, що тільки з посилок G можна отримати пропозицію A-> B.

  Ми розглянули тип, який є доказом. Разом з тим, у логіці використовуються і так звані непрямі, є не прямі докази, які розгортаються за наступною схемою. Не маючи в силу низки причин (недоступність об'єкта дослідження, втрата реальності його існування тощо) можливості провести прямий доказ істинності будь-якого твердження тези будують антитезу. Переконуються, що антитеза веде до протиріч, і, отже, є хибним. Тоді з факту хибності антитези роблять - виходячи з закону виключеного третього (a v) - висновок про істинність тези.

  У математиці широко використовується одна з форм непрямого доказу - доказ протилежного. Воно особливо цінне і, по суті, незамінне у прийнятті фундаментальних понять та положень математики, наприклад, поняття актуальної нескінченності, яке ніяк інакше запровадити неможливо.

  Операція докази від протилежного представлена ​​в математичній логіці в такий спосіб. Дано послідовність формул G і заперечення A (G , A). Якщо з цього випливає B та його заперечення (G , A B, не-B), можна зробити висновок, що з послідовності формул G випливає істинність A. Інакше кажучи, з хибності антитези випливає істинність тези.

  Використана література:

• 1. Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, І.М.Трішин, М.Н.Фрідман, Вища математика для економістів, підручник, Москва, 2002;

  2. Л.Д.Кудрявцев, Сучасна математика та її викладання, Москва, Наука, 1985;

  3. О.І.Ларічев, Об'єктивні моделі та суб'єктивні рішення, Москва, Наука, 1987 рік;

  4. А.Я.Халамайзер, «Математика? - Кумедно!», видання автора, 1989;

  5. П.К.Рашевський, Риманова геометрія та тензорний аналіз, Москва, 3 видання, 1967 рік;

  6. В.Е.Гмурман, Теорія ймовірності та математична статистика, Москва, Вища школа, 1977 рік;

  7. Всесвітня мережа Enternet.

Ідеалізовані властивості досліджуваних об'єктів або формулюються як аксіом, або перераховуються у визначенні відповідних математичних об'єктів. Потім за суворими правилами логічного висновку із цих властивостей виводяться інші справжні властивості (теореми). Ця теорія разом утворює математичну модель досліджуваного об'єкта. Таким чином, спочатку виходячи з просторових та кількісних співвідношень, математика отримує більш абстрактні співвідношення, вивчення яких також є предметом сучасної математики.

Традиційно математика ділиться на теоретичну, що виконує поглиблений аналіз внутрішньоматематичних структур, і прикладну, що надає свої моделі іншим наукам та інженерним дисциплінам, причому деякі з них займають прикордонне з математикою становище. Зокрема, формальна логіка може розглядатися як частина філософських наук, і як частина математичних наук; механіка – і фізика, і математика; інформатика, комп'ютерні технології та алгоритміка відносяться як до інженерії, так і до математичних наук і т. д. У літературі було запропоновано багато різних визначень математики.

Етимологія

Слово «математика» походить від грец. μάθημα , що означає вивчення, знання, наука, та ін-грец. μαθηματικός , що спочатку означає сприйнятливий, встигаючий, пізніше що відноситься до вивчення, згодом що відноситься до математики. Зокрема, μαθηματικὴ τέχνη , латиною ars mathematica, означає мистецтво математики. Термін др.-грец. μᾰθημᾰτικά у сучасному значенні цього слова «математика» зустрічається вже в працях Аристотеля (IV століття до н. е.). На думку Фасмера, у російську мову слово прийшло або через польську. matematyka, або через лат. mathematica.

Визначення

Одне з перших визначень предмета математики дав Декарт:

До галузі математики відносяться тільки ті науки, в яких розглядається або порядок, або міра, і зовсім не істотно, чи це цифри, фігури, зірки, звуки або щось інше, в чому відшукується ця міра. Таким чином, повинна існувати якась загальна наука, яка пояснює все, що відноситься до порядку і міри, не входячи в дослідження ніяких приватних предметів, і ця наука повинна називатися не іноземним, але старим, що вже ужив ім'ям Загальної математики.

Сутність математики ... представляється тепер як вчення про відносини між об'єктами, про які нічого не відомо, крім описують їх деяких властивостей, - саме тих, які як аксіом покладено в основу теорії ... Математика є набір абстрактних форм - математичних структур.

Розділи математики

1. Математика як навчальна дисципліна

Позначення

Оскільки математика працює з надзвичайно різноманітними та досить складними структурами, система позначень у ній також дуже складна. Сучасна система запису формул сформувалася на основі європейської алгебраїчної традиції, а також потреб виниклих пізніше розділів математики - математичного аналізу, математичної логіки, теорії множин та ін. Геометрія споконвіку користувалася наочним (геометричним) уявленням. У сучасній математиці поширені також складні графічні системи запису (наприклад, комутативні діаграми), нерідко застосовуються позначення на основі графів.

коротка історія

Філософія математики

Цілі та методи

Простір R n (\displaystyle \mathbb(R) ^(n)), при n > 3 (\displaystyle n>3)є математичною вигадкою. Втім, дуже геніальною вигадкою, яка допомагає математично розумітися на складних явищах.».

Основи

Інтуїціонізм

Конструктивна математика

прояснити

Основні теми

Кількість

Основний розділ, що розглядає абстракцію кількості – алгебра. Поняття «число» спочатку зародилося з арифметичних уявлень і належало до натуральних чисел. Надалі воно за допомогою алгебри було поступово поширене на цілі, раціональні, дійсні, комплексні та інші числа.

1 , − 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\ldots ) Раціональні числа 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\ldots ) Речові числа − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … (\displaystyle -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\ldots ) 1 , i , j , k , π j − 1 2 k , … (\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2)) , \; \ dots) Комплексні числа Кватерніони

Перетворення

Явлення перетворень та змін у найзагальнішому вигляді розглядає аналіз.

Структури

Просторові відносини

Основи просторових відносин розглядає геометрія. Тригонометрія розглядає властивості тригонометричних функцій. Вивченням геометричних об'єктів у вигляді математичного аналізу займається диференціальна геометрія. Властивості просторів, що залишаються незмінними при безперервних деформаціях і явище безперервності вивчає топологія.

Дискретна математика

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\Rightarrow P(x")))

Математика з'явилася дуже давно. Людина збирала фрукти, викопувала плоди, ловила рибу і запасала все це на зиму. Щоб зрозуміти, скільки запасено їжі людина винайшла рахунок. Так почала зароджуватися математика.

Потім людина стала займатися землеробством. Треба було вимірювати ділянки землі, зводити житла, вимірювати час.

Тобто людині стало необхідно використати кількісне відношення реального світу. Визначити скільки зібрали врожаю, якими є розміри ділянки під забудову або як велика ділянка неба, на якій певна кількість яскравих зірок.

Крім того, людина стала визначати форми: сонце кругле, короб квадратний, овальне озеро, і як ці предмети розташовуються в просторі. Тобто людина почала цікавитися просторовими формами реального світу.

Таким чином, поняття математикаможна визначити як науку про кількісні відносини та просторові форми реального світу.

В даний час немає жодної професії, де можна було б обійтися без математики. Відомий німецький математик Карл Фрідріх Гаус, якого назвали «королем математики» якось сказав:

"Математика - цариця наук, арифметика - цариця математики".

Слово "арифметика" походить від грецького слова "арифмос" - "число".

Таким чином, арифметикаце розділ математики, що вивчає числа та дії над ними.

У початковій школі насамперед вивчають арифметику.

Як же розвивалася ця наука, давайте досліджуємо це питання.

Період зародження математики

p align="justify"> Основним періодом накопичення математичних знань вважається час до V століття до нашої ери.

Першим, хто став доводити математичні становища – давньогрецький мислитель, який у VII столітті до нашої ери приблизно 625 – 545 року. Цей філософ мандрував країнами сходу. Перекази кажуть, що він навчався у єгипетських жерців та вавилонських халдеїв.

Фалес Мілетський приніс із Єгипту до Греції перші поняття елементарної геометрії: що таке діаметр, чим визначається трикутник тощо. Він передбачив сонячне затемнення, проектував інженерні споруди.

У цей час поступово складається арифметика, розвивається астрономія, геометрія. Зароджується алгебра та тригонометрія.

Період елементарної математики

Цей період починається з VI до н. Тепер математика виникає як наука з теоріями та доказами. З'являється теорія чисел, вчення про величини, про їх вимір.

Найбільш відомим математиком цього часу є Евклід. Він жив у ІІІ столітті до нашої ери. Ця людина є автором першого теоретичного трактату з математики, що дійшли до нас.

У працях Евкліда дано основи, так званої евклідової геометрії - це аксіоми, що спираються на основні поняття, такі як.

У період елементарної математики зароджується теорія чисел, і навіть вчення про величини та його вимірі. Вперше з'являються негативні та ірраціональні числа.

Наприкінці цього періоду спостерігається створення алгебри, як літерного обчислення. Сама наука «алгебра» у арабів, як наука про розв'язання рівнянь. Слово «алгебра» у перекладі арабської означає «відновлення», тобто перенесення негативних значень в іншу частину рівняння.

Період математики змінних величин

Основоположником цього періоду вважається Рене Декарт, який жив у XVII столітті нашої ери. У своїх працях Декарт вперше запроваджує поняття змінної величини.

Завдяки цьому вчені переходять від вивчення постійних величин до вивчення залежностей між змінними величинами та до математичного опису руху.

Найбільш яскраво цей період охарактеризував Фрідріх Енгельс, у своїх працях він писав:

«Поворотним пунктом математики була Декартова змінна величина. Завдяки цьому в математику увійшли рух і тим самим діалектика, і завдяки цьому стало негайно необхідним диференціальне та інтегральне обчислення, яке відразу і виникає, і, яке було загалом і в цілому завершено, а не винайдено Ньютоном і Лейбніцем ».

Період сучасної математики

У 20 роках XIX століття Микола Іванович Лобачевський стає основоположником так званої неевклідової геометрії.

З цього моменту починається розвиток найважливіших розділів сучасної математики. Такі як теорія ймовірності, теорія множин, математична статистика тощо.

Всі ці відкриття і дослідження знаходять широке застосування в різних галузях науки.

І в даний час наука математика бурхливо розвивається, розширяться предмет математики, включаючи нові форми та співвідношення, доводять нові теореми, поглиблюються основні поняття.

Ідеалізовані властивості досліджуваних об'єктів або формулюються як аксіом, або перераховуються у визначенні відповідних математичних об'єктів. Потім за суворими правилами логічного висновку із цих властивостей виводяться інші справжні властивості (теореми). Ця теорія разом утворює математичну модель досліджуваного об'єкта. Таким чином, спочатку, виходячи з просторових і кількісних співвідношень, математика отримує більш абстрактні співвідношення, вивчення яких також є предметом сучасної математики.

Традиційно математика ділиться на теоретичну, що виконує поглиблений аналіз внутрішньоматематичних структур, і прикладну, що надає свої моделі іншим наукам та інженерним дисциплінам, причому деякі з них займають прикордонне з математикою становище. Зокрема, формальна логіка може розглядатися як частина філософських наук, і як частина математичних наук; механіка – і фізика, і математика; інформатика, комп'ютерні технології та алгоритміка відносяться як до інженерії, так і до математичних наук і т. д. У літературі було запропоновано багато різних визначень математики (див.).

Етимологія

Слово «математика» походить від грец. μάθημα ( máthēma), що означає вивчення, знання, наука, та ін-грец. μαθηματικός ( mathēmatikós), що спочатку означає сприйнятливий, встигаючий, пізніше що відноситься до вивчення, згодом що відноситься до математики. Зокрема, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), латиною ars mathematica, означає мистецтво математики.

Визначення

До галузі математики відносяться тільки ті науки, в яких розглядається або порядок, або міра і зовсім не істотно, чи це цифри, фігури, зірки, звуки або щось інше, в чому відшукується ця міра. Таким чином, повинна існувати якась загальна наука, яка пояснює все, що відноситься до порядку і міри, не входячи в дослідження ніяких приватних предметів, і ця наука повинна називатися не іноземним, але старим, що вже ужив ім'ям Загальної математики.

У радянські часи класичним вважалося визначення з БСЕ, дане А. Н. Колмогоровим:

Математика… наука про кількісні відносини та просторові форми дійсного світу.

Сутність математики ... представляється тепер як вчення про відносини між об'єктами, про які нічого не відомо, крім описують їх деяких властивостей, - саме тих, які як аксіом покладено в основу теорії ... Математика є набір абстрактних форм - математичних структур.

Наведемо ще кілька сучасних визначень.

Сучасна теоретична («чиста») математика - це наука про математичні структури, математичні інваріанти різних систем і процесів.

Математика – наука, що надає можливість обчислення моделей, що наводяться до стандартного (канонічного) виду. Наука про виявлення рішень аналітичних моделей (аналіз) засобами формальних перетворень.

Розділи математики

1. Математика як навчальна дисциплінапідрозділяється в Російській Федерації на елементарну математику, що вивчається в середній школі та освічену дисциплінами:

• елементарна геометрія: планіметрія та стереометрія
• теорія елементарних функцій та елементи аналізу

4. Американське математичне товариство (AMS) виробило свій стандарт класифікації розділів математики. Він називається Mathematics Subject Classification. Цей стандарт періодично оновлюється. Поточна версія – це MSC 2010. Попередня версія - MSC 2000.

Позначення

Внаслідок того, що математика працює з надзвичайно різноманітними та досить складними структурами, система позначень також дуже складна. Сучасна система запису формул сформувалася з урахуванням європейської алгебраїчної традиції, і навіть математичного аналізу (поняття функції, похідної тощо. буд.). Геометрія споконвіку користувалася наочним (геометричним) уявленням. У сучасній математиці поширені також складні графічні системи запису (наприклад, комутативні діаграми), нерідко застосовуються позначення на основі графів.

коротка історія

Розвиток математики спирається на писемність та вміння записувати числа. Напевно, древні люди спочатку висловлювали кількість шляхом малювання рис на землі або подряпували їх на деревині. Стародавні інки, які мають іншої системи писемності, представляли і зберігали числові дані, використовуючи складну систему мотузкових вузлів, звані стос. Існувала безліч різних систем числення. Перші відомі записи чисел знайшли в папірусі Ахмеса, створеному єгиптянами Середнього царства. Індська цивілізація розробила сучасну десяткову систему числення, що включає концепцію нуля.

Історично основні математичні дисципліни з'явилися під впливом необхідності вести розрахунки в комерційній сфері, при вимірі земель і передбачення астрономічних явищ і, пізніше, для вирішення нових фізичних завдань. Кожна з цих сфер відіграє велику роль у широкому розвитку математики, що полягає у вивченні структур, просторів та змін.

Філософія математики

Цілі та методи

Математика вивчає уявні, ідеальні об'єкти та співвідношення між ними, використовуючи формальну мову. У загальному випадку математичні поняття та теореми не обов'язково мають відповідність будь-чому у фізичному світі. Головне завдання прикладного розділу математики – створити математичну модель, достатньо адекватну досліджуваному реальному об'єкту. Завдання математика-теоретика – забезпечити достатній набір зручних засобів для досягнення цієї мети.

Зміст математики можна визначити як систему математичних моделей та інструментів для їх створення. Модель об'єкта враховує в повному обсязі його риси, лише найнеобхідніших цілей вивчення (ідеалізовані). Наприклад, вивчаючи фізичні властивості апельсина, ми можемо абстрагуватися від його кольору та смаку та уявити його (нехай не ідеально точно) кулею. Якщо нам треба зрозуміти, скільки апельсинів вийде, якщо ми складемо разом два і три, - то можна абстрагуватися і від форми, залишивши у моделі тільки одну характеристику - кількість. Абстракція та встановлення зв'язків між об'єктами у найзагальнішому вигляді – один із головних напрямів математичної творчості.

Інший напрямок, поряд з абстрагуванням – узагальнення. Наприклад, узагальнюючи поняття "простір" до простору n-вимірювань. « Простір, є математичною вигадкою. Втім, дуже геніальною вигадкою, яка допомагає математично розумітися на складних явищах.».

Вивчення внутрішньоматематичних об'єктів, як правило, відбувається за допомогою аксіоматичного методу: спочатку для досліджуваних об'єктів формулюються список основних понять та аксіом, а потім з аксіом за допомогою правил виведення отримують змістовні теореми, що у сукупності утворюють математичну модель.

Основи

Питання сутності та підстав математики обговорювалося з часів Платона. Починаючи з XX століття спостерігається порівняльна згода у питанні, що слід вважати суворим математичним доказом, проте відсутня згода у розумінні того, що в математиці вважати спочатку справжнім. Звідси випливають розбіжності як у питаннях аксіоматики та взаємозв'язку галузей математики, і у виборі логічних систем, якими слід за доказами користуватися.

Крім скептичного, відомі наведені нижче підходи до цього питання.

Теоретико-множинний підхід

Пропонується розглядати всі математичні об'єкти в рамках теорії множин, найчастіше з аксіоматикою Цермело - Френкеля (хоча існує безліч інших, рівносильних їй). Даний підхід вважається з середини XX століття переважним, проте насправді більшість математичних робіт не ставлять завдань перекласти свої твердження строго на мову теорії множин, а оперують поняттями та фактами, встановленими в деяких галузях математики. Таким чином, якщо в теорії множин буде виявлено протиріччя, це не спричинить знецінення більшості результатів.

Логіцизм

Цей підхід передбачає строгу типізацію математичних об'єктів. Багато парадокси, що уникаються в теорії множин лише шляхом спеціальних хитрощів, виявляються неможливими в принципі.

Формалізм

Цей підхід передбачає вивчення формальних систем з урахуванням класичної логіки.

Інтуїціонізм

Інтуїціонізм передбачає в основі математики інтуїціоністську логіку, більш обмежену в засобах доказу (але, як вважається, і більш надійну). Інтуїціонізм відкидає доказ від протилежного, багато неконструктивних доказів стають неможливими, а багато проблем теорії множин - безглуздими (неформалізуються).

Конструктивна математика

Конструктивна математика - близька до інтуїціонізму течія в математиці, що вивчає конструктивні побудови прояснити]. Згідно з критерієм конструктивності - « існувати - значить бути збудованим». Критерій конструктивності - сильніша вимога, ніж критерій несуперечності.

Основні теми

Числа

Поняття «число» спочатку належало до натуральних чисел. Надалі воно було поступово поширене на цілі, раціональні, дійсні, комплексні та інші числа.

Цілі числа Раціональні числа Речові числа Комплексні числа Кватерніони

Числові системи
Рахункові безлічі	Натуральні числа () Цілі () Раціональні () Алгебраїчні () Періоди Обчислювані Арифметичні
Речові числа та їх розширення	Речові () Комплексні () Кватерніони () Числа Келі (октави, октоніони) () Седеніони () Альтерніони Процедура Келі - Діксона Дуальні Гіперкомплексні Суперреальні Гіперреальні Surreal number ( англ.)
Інші числові системи	Кардинальні числа Порядкові числа (трансфінітні, ординал) p-адичні Супернатуральні числа
Див. також	Подвійні числа Ірраціональні числа Трансцендентні Числовий промінь Бікватерніон

Перетворення

Дискретна математика

Коди у системах класифікації знань

Онлайнові сервіси

Існує безліч сайтів, що надають сервіс для математичних розрахунків. Більшість із них англомовні. З російськомовних можна назвати сервіс математичних запитів пошукової системи Nigma.

Див. також

Популяризатори науки

Примітки

1. Британська енциклопедія
2. Webster's Online Dictionary
3. Розділ 2. Математика як мова науки. Сибірський університет. Архівовано з першоджерела 2 лютого 2012 року. Перевірено 5 жовтня 2010 року.
4. Великий давньогрецький словник (αω)
5. Словник російської XI-XVII ст. Випуск 9/Гол. ред. Ф. П. Пугач. - М: Наука, 1982. - С. 41.
6. Декарт Р.Правила керівництва розуму. М.-Л.: Соцекгіз, 1936.
7. Див: Математика БСЕ
8. Маркс До., Енгельс Ф.Твори. 2-ге вид. Т. 20. С. 37.
9. Бурбаки Н.Архітектура математики. Нариси з історії математики / Переклад І. Г. Башмакова під ред. К. А. Рибнікова. М.: ІЛ, 1963. С. 32, 258.
10. Казієв В. М.Введення у математику
11. Мухін О. І.Моделювання систем Навчальний посібник. Перм: РЦІ ПДТУ.
12. Герман Вейль // Клайн М.. - М: Світ, 1984. - С. 16.
13. Державний освітній стандарт вищої професійної освіти Спеціальність 01.01.00. "Математика". Кваліфікація – Математик. Москва, 2000 (Складено під керівництвом О. Б. Лупанова)
14. Номенклатура спеціальностей науковців, затверджена наказом Міністерства освіти та науки України від 25.02.2009 № 59
15. УДК 51 Математика
16. Я. С. Бугров, С. М. Микільський. Елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії. М.: Наука, 1988. З. 44.
17. Н. І. Кондаков. Логічний словник-довідник М.: Наука, 1975. З. 259.
18. Р. І. Рузавін. Про природу математичного знання. М: 1968.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. Наприклад: http://mathworld.wolfram.com

Література

Енциклопедії

• // Енциклопедичний словник Брокгауза та Ефрона: У 86 томах (82 т. та 4 дод.). - СПб. , 1890-1907.
• Математична енциклопедія (у 5-ти томах), 1980-ті роки. // Загальні та спеціальні довідники з математики на EqWorld
• Кондаков Н. І.Логічний словник-довідник М: Наука, 1975.
• Енциклопедія математичних наук та їх додатків (нім.) 1899-1934 рр. (Найбільший огляд літератури XIX століття)

Довідники

• Р. Корн, Т. Корн.Довідник з математики для науковців та інженерів М., 1973 р.

Книги

• Клайн М.Математика. Втрата певності. - М: Мир, 1984.
• Клайн М.Математика. Пошук істини. М.: Світ, 1988.
• Клейн Ф.Елементарна математика з погляду вищої.

• Том I. Арифметика. Алгебра. Аналіз М.: Наука, 1987. 432 з.
• Том ІІ. Геометрія М.: Наука, 1987. 416 с.

• Курант Р., Р. Роббінс.Що таке математика? 3-тє вид., Випр. та дод. – К.: 2001. 568 с.
• Писаревський Би. М., Харін В. Т.Про математику, математиків і не тільки. - М: Біном. Лабораторія знань, 2012. – 302 с.
• Пуанкаре А.Наука та метод (рос.) (фр.)

Математика – одна з найдавніших наук. Дати коротке визначення математики зовсім непросто, його зміст дуже змінюватиметься залежно від рівня математичного освіти людини. Школяр початкових класів, який лише почав вивчення арифметики, скаже, що математика вивчає правила рахунки предметів. І він матиме рацію, оскільки саме з цим він знайомиться спочатку. Старші школярі додадуть до сказаного, що в поняття математики входять алгебра та вивчення геометричних об'єктів: ліній, їх перетинів, плоских фігур, геометричних тіл, різного роду перетворень. Випускники ж середньої школи включать у визначення математики ще вивчення функцій та дію переходу до межі, а також пов'язані з ним поняття похідної та інтеграла. Випускників вищих технічних навчальних закладів або природничих факультетів університетів та педагогічних інститутів вже не задовольнять шкільні визначення, оскільки вони знають, що до складу математики входять й інші дисципліни: теорія ймовірностей, математична статистика, диференціальне обчислення, програмування, обчислювальні методи, а також застосування названих дисциплін для моделювання виробничих процесів, обробки дослідних даних, передачі та обробки інформації. Однак тим, що перераховано, не вичерпується зміст математики. Теорія множин, математична логіка, оптимальне управління, теорія випадкових процесів та багато іншого також входять до її складу.

Спроби визначити математику шляхом перерахування складових її гілок ведуть нас убік, оскільки не дають уявлення про те, що саме вивчає математика і яке її ставлення до навколишнього світу. Якби подібне питання було задано фізику, біологу чи астроному, то кожен з них дав би дуже коротку відповідь, яка не містить перерахування частин, з яких складається наука, що вивчається. Така відповідь містила б вказівку на явища природи, які вона досліджує. Наприклад, біолог заявив би, що біологія вивчає різні прояви життя. Нехай ця відповідь не цілком закінчена, оскільки в ній не говориться, що таке життя і життєві явища, проте таке визначення дало б досить повне уявлення про зміст самої науки біології та про різні рівні цієї науки. І це визначення не змінилося б із розширенням наших знань з біології.

Не існує таких явищ природи, технічних чи соціальних процесів, які були б предметом вивчення математики, але при цьому не належали б до явищ фізичних, біологічних, хімічних, інженерних чи соціальних. Кожна природничо дисципліна: біологія і фізика, хімія і психологія - визначається матеріальною особливістю свого предмета, специфічними рисами тієї галузі реального світу, яку вона вивчає. Сам предмет чи явище може вивчатися різними методами, зокрема і математичними, але, змінюючи методи, ми все ж таки залишаємося в межах даної дисципліни, оскільки змістом цієї науки є реальний предмет, а не метод дослідження. Для математики ж матеріальний предмет дослідження немає вирішального значення, важливий застосовуваний метод. Наприклад, тригонометричні функції можна використовувати і для дослідження коливального руху і для визначення висоти недоступного предмета. А які явища реального світу можна вивчити за допомогою математичного методу? Ці явища визначаються не їхньою матеріальною природою, а виключно формальними структурними властивостями, і насамперед тими кількісними співвідношеннями та просторовими формами, в яких вони існують.

Отже, математика вивчає не матеріальні предмети, а методи дослідження та структурні властивості об'єкта дослідження, які дозволяють застосовувати до нього деякі операції (підсумовування, диференціювання та ін.). Однак значна частина математичних проблем, понять та теорій має своїм первинним джерелом реальні явища та процеси. Наприклад, арифметика та теорія чисел виділилися з первинного практичного завдання - підрахунку предметів. Елементарна геометрія мала своїм джерелом проблеми, пов'язані з порівнянням відстаней, обчисленням площ плоских фігур або обсягів просторових тіл. Все це потрібно знаходити, оскільки необхідно було перерозподіляти земельні ділянки між користувачами, обчислювати розміри зерносховищ або обсяги земляних робіт при будівництві оборонних споруд.

Математичний результат має тим властивістю, що його можна не тільки застосовувати при вивченні якогось одного певного явища або процесу, але і використовувати для дослідження інших явищ, фізична природа яких принципово відрізняється від раніше розглянутих. Так, правила арифметики застосовні й у завданнях економіки, й у технічних питаннях, і під час вирішення завдань сільського господарства, й у наукових дослідженнях. Арифметичні правила розробили тисячоліття тому, але прикладну цінність вони зберегли на вічні часи. Арифметика є складовою математики, її традиційна частина вже не піддається творчому розвитку в рамках математики, але вона знаходить і буде надалі знаходити численні нові застосування. Ці застосування можуть мати величезне значення для людства, але вкладу в математику вони вже не внесуть.

Математика, як творча сила, має на меті розробку загальних правил, якими слід користуватися у численних окремих випадках. Той, хто творить ці правила, створює нове, творить. Той, хто застосовує вже готові правила, у самій математиці не творить, але, цілком можливо, створює за допомогою математичних правил нові цінності в інших галузях знання. Наприклад, у наші дні дані дешифрування космічних знімків, а також відомості про склад та вік гірських порід, геохімічні та геофізичні аномалії обробляються за допомогою комп'ютерів. Безперечно, що застосування комп'ютера в геологічних дослідженнях залишає ці дослідження геологічними. Принципи роботи комп'ютерів та його математичне забезпечення розроблялися без урахування можливості їх використання на користь геологічної науки. Сама ця можливість визначається тим, що структурні властивості геологічних даних перебувають у відповідності до логіки певних програм роботи комп'ютера.

Набули широкого поширення два визначення математики. Перше було дано Ф. Енгельсом у роботі «Анти-Дюрінг», інше - групою французьких математиків, відомої під ім'ям Нікола Бурбаки, у статті «Архітектура математики» (1948).

"Чиста математика має своїм об'єктом просторові форми та кількісні відносини дійсного світу". Це визначення як описує об'єкт вивчення математики, а й показує його походження - дійсний світ. Однак це визначення Ф. Енгельса значною мірою відображає стан математики в другій половині XIX ст. і не враховує ті нові галузі, які безпосередньо не пов'язані ні з кількісними відносинами, ні з геометричними формами. Це, перш за все, математична логіка та дисципліни, пов'язані з програмуванням. Тому дане визначення потребує певного уточнення. Можливо, треба сказати, що математика має своїм об'єктом вивчення просторові форми, кількісні стосунки та логічні конструкції.

Бурбаки стверджують, що «єдиними математичними об'єктами стають, власне, математичні структури». Інакше висловлюючись, математику слід визначити як науку про математичні структури. Це визначення по суті є тавтологія, оскільки воно стверджує тільки одне: математика займається тими об'єктами, які вона вивчає. Інший дефект цього визначення полягає в тому, що воно не з'ясовує ставлення математики до навколишнього світу. Більше того, Бурбаки наголошують, що математичні структури створюються незалежно від реального світу та його явищ. Ось чому Бурбаки були змушені заявити, що «основна проблема полягає у взаємовідносинах світу експериментального та світу математичного. Те, що між експериментальними явищами та математичними структурами існує тісний зв'язок, - це, як здається, було несподіваним чином підтверджено відкриттями сучасної фізики, але нам абсолютно невідомі глибокі причини цього... і, можливо, ми їх ніколи не дізнаємося».

З визначення Ф. Енгельса не може виникнути подібного висновку, що розчаровує, оскільки в ньому вже міститься твердження про те, що математичні поняття є абстракціями від деяких відносин і форм реального світу. Ці поняття беруться із реального світу і з ним пов'язані. По суті, саме цим і пояснюється разюча застосовність результатів математики до явищ навколишнього світу, а водночас і успіх процесу математизації знань.

Математика перестав бути винятком з усіх галузей знання - у ній також утворюються поняття, що виникають із практичних ситуацій та наступних абстрагування; вона дозволяє вивчати дійсність також приблизно. Але при цьому слід на увазі, що математика вивчає не речі реального світу, а абстрактні поняття і що логічні її висновки абсолютно суворі і точні. Її наближеність має не внутрішній характер, а пов'язана зі складанням математичної моделі явища. Зауважимо ще, що правила математики не мають абсолютної застосування, для них також існує обмежена сфера застосування, де вони панують нероздільно. Пояснимо висловлену думку прикладом: виявляється, що два і два не завжди одно чотирьом. Відомо, що при змішуванні 2 л спирту та 2 л води виходить менше 4 л суміші. У цій суміші молекули розташовуються компактніше, і обсяг суміші виявляється меншою від суми обсягів складових компонентів. Правило додавання арифметики порушується. Можна ще навести приклади, в яких порушуються інші істини арифметики, наприклад, при додаванні деяких об'єктів виявляється, що сума залежить від порядку підсумовування.

Багато математиків розглядають математичні поняття не як створення чистого розуму, а як абстракції від реально існуючих речей, явищ, процесів або абстракції від абстракцій, що вже склалися (абстракції вищих порядків). У «Діалектиці природи» Ф. Енгельс писав, що «…вся так звана чиста математика займається абстракціями… всі її величини суть, строго кажучи, уявні величини…» Ці слова досить чітко відбивають думку однієї з основоположників марксистської філософії про роль абстракцій у математиці. Нам тільки слід додати, що всі ці уявні величини беруться з реальної дійсності, а не конструюються довільно, вільним польотом думки. Саме так увійшло загальне вживання поняття числа. Спочатку це були числа в межах одиниць, і до того ж лише цілі позитивні числа. Потім досвід змусив розширити арсенал чисел до десятків та сотень. Уявлення про необмеженість низки цілих чисел народилося вже у історично близьку нам епоху: Архімед у книзі «Псаміт» («Обчислення піщин») показав, як можна конструювати числа ще більші, ніж задані. Одночасно із практичних потреб народилося поняття дробових чисел. Обчислення, пов'язані з найпростішими геометричними фігурами, привели людство до нових чисел – ірраціональних. Так поступово формувалося уявлення про безліч усіх дійсних чисел.

Той самий шлях можна простежити для будь-яких інших понять математики. Усі вони з практичних потреб і поступово сформувалися в абстрактні поняття. Можна знову згадати слова Ф. Енгельса: «…чиста математика має значення, незалежне від особливого досвіду кожної окремої особистості… Але зовсім не так, ніби у чистій математиці розум має справу лише з продуктами своєї творчості та уяви. Поняття числа та фігури взяті не звідкись, а лише з дійсного світу. Десять пальців, у яких люди навчилися вважати, т. е. виробляти першу арифметичну операцію, є усе, що завгодно, тільки продукт вільного творчості розуму. Щоб рахувати, треба мати не тільки предмети, що підлягають рахунку, але володіти вже і здатністю відволікатися при розгляді цих предметів від інших властивостей, крім числа, а ця здатність є результат довгого історичного розвитку, що спирається на досвід. Як поняття числа, і поняття постаті запозичено виключно із зовнішнього світу, а чи не виникло у голові з чистого мислення. Повинні були існувати речі, що мають певну форму, і ці форми мали піддаватися порівнянню, перш ніж можна було прийти до поняття фігури».

Розглянемо, чи є в науці поняття, створені без зв'язку з минулим прогресом науки та поточним прогресом практики. Ми чудово знаємо, що науковій математичній творчості передує вивчення багатьох предметів у школі, вузі, читання книг, статей, бесіди з фахівцями як у власній галузі, так і в інших галузях знання. Математик живе в суспільстві, і з книг, по радіо, з інших джерел він дізнається про проблеми, що виникають у науці, інженерній справі, громадському житті. До того ж мислення дослідника перебуває під впливом усієї попередньої еволюції наукової думки. Тому воно виявляється підготовленим до вирішення певних проблем, необхідних для прогресу науки. Ось чому вчений не може висувати проблеми з свавілля, за забаганки, а повинен створювати математичні поняття та теорії, які були б цінними для науки, для інших дослідників, для людства. Адже математичні теорії зберігають своє значення в умовах різних суспільних формацій та історичних епох. До того ж, нерідко однакові ідеї виникають у вчених, які ніяк не пов'язані між собою. Це додатковий аргумент проти тих, хто дотримується концепції вільної творчості математичних понять.

Отже, ми розповіли, що входить у поняття «математика». Але є ще й таке поняття, як прикладна математика. Під ним розуміють сукупність всіх математичних методів та дисциплін, що знаходять застосування за межами математики. У давнину геометрія та арифметика представляли всю математику і, оскільки та й інша знаходили численні застосування при торгових обмінах, вимірі площ та обсягів, у питаннях навігації, вся математика була не тільки теоретичною, а й прикладною. Пізніше, у Стародавній Греції, виник поділ на математику і математику прикладну. Проте всі видатні математики займалися і застосуваннями, а чи не лише суто теоретичними дослідженнями.

Подальший розвиток математики було безперервно пов'язане з прогресом природознавства, техніки, з появою нових суспільних потреб. Наприкінці XVIII в. виникла потреба (насамперед у зв'язку з проблемами навігації та артилерії) створення математичної теорії руху. Це зробили у своїх роботах Г. В. Лейбніц та І. Ньютон. Прикладна математика поповнилася новим дуже потужним методом дослідження – математичним аналізом. Майже одночасно потреби демографії, страхування призвели до формування початків теорії ймовірностей (див. ймовірність теорія). XVIII та XIX ст. розширили зміст прикладної математики, додавши до неї теорію диференціальних рівнянь звичайних і з приватними похідними, рівняння математичної фізики, елементи математичної статистики, диференціальну геометрію. XX ст. приніс нові методи математичного дослідження практичних завдань: теорію випадкових процесів, теорію графів, функціональний аналіз, оптимальне керування, лінійне та нелінійне програмування. Більше того, з'ясувалося, що теорія чисел та абстрактна алгебра знайшли несподівані застосування до завдань фізики. У результаті стало складатися переконання, що прикладної математики як окремої дисципліни немає і вся математика може вважатися прикладної. Мабуть, треба говорити не про те, що математика буває прикладна та теоретична, а про те, що математики поділяються на прикладників та теоретиків. Для одних математика є методом пізнання навколишнього світу і явищ, що відбуваються в ньому, саме для цієї мети вчений розвиває і розширює математичне знання. Для інших математика сама по собі представляє цілий світ, гідний вивчення та розвитку. Для прогресу науки потрібні вчені і того, й іншого плану.

Математика, перш ніж вивчати своїми методами якесь явище, створює його математичну модель, тобто перераховує всі ті особливості явища, які будуть братися до уваги. Модель змушує дослідника вибирати ті математичні засоби, які дозволять цілком адекватно передати особливості явища, що вивчається, і його еволюції. Як приклад візьмемо модель планетної системи: Сонце та планети розглядаються як матеріальні точки з відповідними масами. Взаємодія кожних двох точок визначається силою тяжіння між ними

де m 1 і m 2 - маси точок, що взаємодіють, r - відстань між ними, а f - постійна тяжіння. Незважаючи на всю простоту цієї моделі, вона протягом ось уже трьохсот років із величезною точністю передає особливості руху планет Сонячної системи.

Звичайно, кожна модель огрубує дійсність, і завдання дослідника полягає в першу чергу в тому, щоб запропонувати модель, що передає, з одного боку, найбільш повно фактичну сторону справи (як заведено говорити, її фізичні особливості), а з іншого - значне наближення до насправді. Зрозуміло, одного й того явища можна запропонувати кілька математичних моделей. Всі вони мають право на існування доти, доки не почне позначатися суттєва розбіжність моделі та дійсності.

Математика 1. Звідки прийшло слово математика 2. Хто вигадав математику? 3. Основні теми. 4. Визначення 5. Етимологія На останній слайд.

Звідки прийшло слово (перейти на попередній слайд) Матемаатика від грецької - вивчення, наука) - наука про структури, порядок і відносини, що історично склалася на основі операцій підрахунку, вимірювання та опису форми об'єктів. Математичні об'єкти створюються шляхом ідеалізації властивостей реальних чи інших математичних об'єктів та запису цих властивостей формальною мовою.

Хто вигадав математику (перейти в меню) Першим математиком прийнято називати Фалеса Мілетського, який жив у VI ст. до зв. е. , одного з так званих Семи мудреців Греції Як би там не було, але саме він першим структурував всю базу знань із цього приводу, яка здавна формувалася в межах відомого йому світу. Однак автором першого трактату з математики, що дійшов до нас, був Евклід (III ст. До н. Е..). Його теж цілком заслужено можна вважати батьком цієї науки

Основні теми (перейти в меню) До галузі математики відносяться тільки ті науки, в яких розглядається або порядок, або міра, і зовсім не істотно, чи це цифри, фігури, зірки, звуки або щось інше, в чому відшукується ця міра . Таким чином, повинна існувати якась загальна наука, яка пояснює все, що відноситься до порядку і міри, не входячи в дослідження ніяких приватних предметів, і ця наука повинна називатися не іноземним, але старим, що вже ужив ім'ям Загальної математики.

Визначення (перейти в меню) На класичному математичному аналізі ґрунтується сучасний аналіз, який розглядається як один із трьох основних напрямів математики (поряд з алгеброю та геометрією). При цьому термін «математичний аналіз» у класичному розумінні використовується, переважно, у навчальних програмах та матеріалах. В англо-американській традиції класичного математичного аналізу відповідають програми курсів з найменуванням «обчислення»

Етимологія (перейти до меню) Слово «математика» походить від др. -греч. , Що означає вивчення, знання, наука, та ін -греч, спочатку означає сприйнятливий, встигаючий, пізніше відноситься до вивчення, згодом відноситься до математики. Зокрема, латиною, означає мистецтво математики. Термін ін.-грец. у сучасному значенні цього слова «математика» зустрічається вже в працях Аристотеля (IV століття до н. е.). у «Книзі обраної коротко про дев'ять мусів і про сьомі вільні мистецтва» (1672 рік)

МАТЕМАТИКА – наука про кількісні відносини та просторові форми дійсного світу; грецьке слово (математике) походить від грецького слова (матема), що означає «знання», «наука».

Математика виникла в давнину з практичних потреб людей. Її зміст та характер змінювалися протягом усієї історії та продовжують змінюватися тепер. Від первинних предметних уявлень про ціле позитивне число, а також від уявлення про відрізок прямий як найкоротшу відстань між двома точками математика пройшла тривалий шлях розвитку, перш ніж стала абстрактною наукою зі специфічними методами дослідження.

Сучасне розуміння просторових форм дуже широке. Воно включає в себе поряд з геометричними об'єктами тривимірного простору (пряма, коло, трикутник, конус, циліндр, куля та ін) також численні узагальнення - поняття багатовимірного і нескінченномірного простору, а також геометричних об'єктівв них і багато іншого. Так само кількісні відносини виражаються тепер як цілими позитивними чи раціональними числами, а й з допомогою комплексних чисел, векторів, функційта ін Розвиток науки і техніки змушує математику безперервно розширювати уявлення про просторові форми та кількісні відносини.

Поняття математики абстрактні від конкретних явищ та предметів; вони отримані внаслідок абстрагування від якісних особливостей, специфічних для даного кола явищ та предметів. Ця обставина є надзвичайно істотною для додатків математики. Число 2 не пов'язане нерозривно з певним предметним змістом. Воно може відноситися і до двох яблук, і до двох книг, і до двох думок. Воно однаково добре ставиться до всіх цих і незліченній безлічі інших об'єктів. Так само геометричні властивості кулі не змінюються від того, що вона зроблена зі скла, сталі або стеарину. Звичайно, абстрагування від властивостей предмета збіднює наші знання про цей предмет, про його характерні матеріальні особливості. У той же час саме це відволікання від особливих властивостей індивідуальних об'єктів надає спільності поняттям, уможливлює застосування математики до найрізноманітніших за матеріальною природою явищ. Таким чином, одні й ті самі закономірності математики, той самий математичний апарат можуть досить задовільно застосовуватися до опису явищ природи, технічного, а також економічного та соціальних процесів.

Абстрактність понять перестав бути виняткової особливістю математики; будь-які наукові та загальні поняття носять у собі елемент відволікання від властивостей конкретних речей. Але в математиці процес абстрагування йде далі, ніж у науках; у математиці широко використовується процес побудови абстракції різних ступенів. Так, поняття групивиникло шляхом відволікання деяких властивостей сукупності чисел та інших абстрактних понять. Для математики є характерним також спосіб отримання її результатів. Якщо натураліст для доказу своїх положень постійно вдається до досвіду, то математик доводить свої результати лише за допомогою логічних міркувань. У математиці не один результат не може вважатися доведеним, поки йому не потрібний логічний доказ, і це навіть у тому випадку, якщо спеціальні експерименти давали підтвердження цього результату. У той самий час істинність математичних теорій як і проходить перевірку практикою, але це перевірка носить особливий характер: основні поняття математики утворюються внаслідок тривалої кристалізації їх із приватних запитів практики; самі правила логіки виробилися лише після тисячоліть спостережень за перебігом процесів у природі; формулювання теорем і постановці задач математики також виникають із запитів практики. Математика виникла з практичних потреб, і її зв'язки з практикою згодом ставали дедалі більше різноманітними і глибокими.

В принципі математика може бути застосована до вивчення будь-якого типу руху, найрізноманітніших явищ. Насправді ж її роль різних галузях наукової та практичної діяльності не однакова. Особливо велика роль математики у розвитку сучасної фізики, хімії, багатьох галузей техніки, взагалі щодо тих явищ, де навіть значна відволікання від специфічно якісних їх особливостей дозволяє досить точно вловити кількісні і просторові закономірності, властиві їм. Для прикладу-математичне вивчення рух небесних тіл, заснована на значних відволіканнях від їх реальних особливостей (тіла, наприклад, вважається матеріальними точками), призводила і призводить до прекрасного збігу з реальним рухом. На цій основі вдається не тільки заздалегідь передраховувати небесні явища (затемнення, положення планет та ін.), а й за відхиленнями істинних рухів від обчислених передбачати існування планет, що не спостерігалися раніше (таким шляхом були відкриті Плутон в 1930, Нептун в 1846). Найменше, але все ж таки значне місце займає математика в таких науках, як економіка, біологія, медицина. Якісна своєрідність явищ, що вивчаються в цих науках, настільки велике і так сильно впливає на характер їхньої течії, що математичний аналіз поки що може грати лише підлеглу роль. Особливого значення для соціальних і біологічних наук набуває математична статистика.Сама математика також розвивається під впливом вимог природознавства, техніки, економіки. Так само за останні роки утворилася низка математичних дисциплін, що виникли на базі запитів практики: інформації теорія, ігор теоріята ін.

Зрозуміло, що перехід від одного ступеня пізнання явищ до наступного, більш точного, пред'являє до математики нові вимоги і призводить до створення нових понять, нових методів дослідження. Так, вимоги астрономії, що переходив від суто описового знання до точного, призвели до вироблення основних понять тригонометрії: у 2 столітті до н.е. давньогрецький вчений Гіппарх склав таблиці хорд, що відповідають сучасним таблицям синусів; давньогрецькі вчені у 1 столітті Менелай та у 2 столітті Клавдій Птолемей створили основи сферичні тригонометрії.Підвищений інтерес до вивчення руху, викликаний до життя розвитку мануфактурного виробництва, мореплавання, артилерії та ін., привів у 17 столітті до створення понять математичного аналізу, розвитку нової математики Широке впровадження математичних методів у вивченні явищ природи (насамперед астрономічних та фізичних) та розвитку техніки (особливо машинобудування) призвели у 18 та 19 століттях до бурхливого розвитку теоретичної механіки та теорії диференціальних рівнянь.Розвиток ідей молекулярної будови матерії викликав стрімкий розвиток ймовірностей теорії. В даний час ми можемо простежувати на багатьох прикладах поява нових напрямів математичних досліджень. Особливо значними слід визнати успіхи обчислювальної математики та обчислювальної техніки та виробленої ними перетворення багатьох розділів математики.

Історичний нарис. В історії математики можна намітити чотири періоди із суттєво якісними відмінностями. Ці періоди важко точно розділити, оскільки кожен наступний розвивався всередині попереднього і тому були досить значні перехідні етапи, коли нові ідеї тільки зароджувалися і ще не керували ні в самій математиці, ні в її додатках.

1) період зародження математики як самостійної наукової дисципліни; початок цього періоду втрачається у глибині історії; продовжувався він приблизно до 6-5 століть до н. е.

2) період елементарної математики, математики постійних величин; він тривав приблизно остаточно 17 століття, коли досить далеко зайшов розвиток нової, «вищої», математики.

3) період математики змінних величин; характеризується створенням та розвитком математичного аналізу, вивченням процесів у їх русі, розвитку.

4) період сучасної математики; характерний свідомим та систематичним вивченням можливих типів кількісних відносин та просторових форм. У геометрії вивчаються як реальне тривимірне простір, а й подібні з ним просторові форми. У математичному аналізі розглядаються змінні величини, що залежать не тільки від числового аргументу, а й від певної лінії (функції), що призводить до понять функціоналуі оператора. Алгебраперетворилася на теорію операцій алгебри над елементами довільної природи. Аби над ними можна було робити ці операції. Початок цього періоду природно зарахувати до 1-ї половини 19 століття.

У Стародавньому світі математичні відомості входили спочатку у вигляді невід'ємної складової частини пізнання жерців і державних чиновників. Запас цих відомостей, як про це можна судити з уже розшифрованих глиняних вавилонських табличок та єгипетських математичним папірусам,був порівняно великий. Є дані, що за тисячу років до давньогрецького вченого Піфагора в Дворіччі не тільки була відома теорія Піфагора, але й було вирішено задачу розшуку всіх прямокутних трикутників з цілими сторонами. Проте переважна частина документів на той час є збірники правил виробництва найпростіших арифметичних дій, і навіть для обчислення площ фігур і обсягів тіл. Збереглися також таблиці різного роду полегшення цих розрахунків. У всіх посібниках правила не формулюються, а пояснюються на частих прикладах. Перетворення математики на формалізовану науку з дедуктивним методом побудови, що оформився, відбулося в Стародавній Греції. Там же математична творчість перестала бути безіменною. Практична арифметика та геометріяу Стародавній Греції мали високий рівень розвитку. Початок грецької геометрії пов'язується з ім'ям Фалеса Мілетського (кінець 7 століття до н.е.-початок 6 століття до н.е.), що вивіз первинні знання з Єгипту. У школі Піфагора Самоського (6 століття до н.е.) вивчалася ділимість чисел, були підсумовані найпростіші прогресії, вивчалися досконалі числа, введені в розгляд різні типи середніх (середнє арифметичне, геометричне, гармонійне), знову знайдено піфагорові числа (трійки цілих чисел, можуть бути сторонами прямокутного трикутника). У 5-6 століттях до н. виникли знамениті завдання давнини-квадратура кола, трисекція кута, подвоєння куба, були збудовані перші ірраціональні числа. Перший систематичний підручник геометрії приписується Гіппократ Хіоському (2-я половина 5 століття до н.е.). До цього часу належить значний успіх платонівської школи, пов'язані з спробами раціонального пояснення будови матерії Всесвіту, - розшук всіх правильних багатогранників. На межі 5 та 4 століть до н.е. Демокріт, виходячи з атомістичних уявлень, запропонував метод визначення обсягів тіл. Цей метод вважатимуться прообразам методу нескінченно малих. У 4 столітті до н. Євдоксом Кнідським було розроблено теорію пропорцій. Найбільшою напругою математичної творчості відрізняється 3 століття до н.е. (1 століття так званої Олександрійської доби). У 3 столітті до н. працювали такі математики, як Евклід, Архімед, Аполлоній Пергський, Ератосфен; пізніше – Герон (1 століття н.е.) Діофант (3 століття). У своїх «Початках» Евклід зібрав і зазнав остаточної логічної переробки досягнення в галузі геометрії; водночас він заклав основи теорії чисел. Основною заслугою Архімеда в геометрії стало визначення різноманітних площ та обсягів. Діофант досліджував переважно розв'язання рівнянь у раціональних позитивних числах. З кінця 3 століття почався занепад грецької математики.

Значного розвитку досягла математика в давніх Китаї та Індії. Китайським математикам властиві висока техніка виробництва обчислень та інтерес до розвитку загальних методів алгебри. У 2-1 століттях до н. була написана «Математики у дев'яти книгах». У ній є ті самі прийоми отримання квадратного кореня, які викладаються і в сучасній школі: методи вирішення систем лінійних рівнянь алгебри, арифметична формулювання теореми Піфагора.

Індійській математиці, розквіт якої належить до 5-12 століть, належить досягнення сучасної десяткової нумерації, і навіть нуля для позначення відсутності одиниць даного розряду, і досягнення значно ширшого, ніж у Діофанта, розвитку алгебри, оперує як з позитивними раціональними числами але також із негативними та ірраціональними числами.

Арабські завоювання призвели до того, що від Середньої Азії до Піренейського півострова вчені протягом 9-15 століть користувалися арабською мовою. У 9 столітті середньоазіатський вчений аль-Хорезмі вперше виклав алгебру як самостійну науку. У цей період багато геометричних завдань отримали формулювання алгебри. Сирієць аль-Баттані ввів у розгляд тригонометричні функції синус, тангенс і котангенс. Самаркандський учений аль-Каші (15 століття) ввів у розгляд десяткові дроби і дав систематичний виклад, сформулював формулу бінома Ньютона.

Істотно новий період у розвитку математики почався в 17 столітті, коли математику ясно увійшла ідея руху, зміни. Розгляд змінних величин і зв'язків з-поміж них призвело до понять функцій, похідної та інтеграла Диференціальне обчислення, Інтегральне обчислення, до виникнення нової математичної дисципліни – математичного аналізу.

З кінця 18 століття – початку 19 століття розвитку математики спостерігається ряд істотно нових характеристик. Найбільш характерною з них був інтерес до критичного перегляду низки питань обґрунтування математики. На зміну туманним уявленням про нескінченно малі прийшли точні формулювання, пов'язані з поняттям межі.

В алгебрі в 19 столітті було з'ясовано питання про можливість вирішення рівнянь алгебри в радикалах (норвезький вчений Н.Абель, французький вчений Е.Галуа).

У 19-20 століттях чисельні методи математики зростають у самостійну галузь - обчислювальну математику. Важливі додатки до нової обчислювальної техніки знайшла гілка математики-математична логіка, що розвивалася в 19-20 століттях.

Матеріал підготовлений Лещенком О.В., учителем математики.