Доверительный интервал для доли онлайн. Доверительный интервал для оценки среднего (дисперсия известна) в MS EXCEL
Цель – научить студентов алгоритмам вычисления доверительных интервалов статистических параметров.
При статистической обработке данных вычисленные средняя арифметическая, коэффициент вариации, коэффициент корреляции, критерии различия и другие точечные статистики должны получить количественные границы доверия, которые обозначают возможные колебания показателя в меньшую и большую стороны в пределах доверительного интервала.
Пример
3.1
.
Распределение
кальция в сыворотке крови обезьян, как
было установлено ранее, характеризуется
следующими выборочными показателями:
=
11,94 мг%;
=
0,127 мг%;n
= 100. Требуется определить доверительный
интервал для генеральной средней (
)
при доверительной вероятностиP
= 0,95.
Генеральная средняя находится с определенной вероятностью в интервале:
,
где
–
выборочная средняя арифметическая;t
– критерий Стьюдента;
–
ошибка средней арифметической.
По
таблице «Значения критерия Стьюдента»
находим значение
при доверительной вероятности 0,95 и
числе степеней свободы k
= 100-1 = 99. Оно равно 1,982. Вместе со значениями
среднего арифметического и статистической
ошибки подставляем его в формулу:
или
11,69
12,19
Таким образом, с вероятностью 95%, можно утверждать, что генеральная средняя данного нормального распределения находится между 11,69 и 12,19 мг%.
Пример
3.2
. Определите
границы 95%-ного доверительного интервала
для генеральной дисперсии (
)
распределения кальция в крови обезьян,
если известно, что
=
1,60, приn
= 100.
Для решения задачи можно воспользоваться следующей формулой:
Где
–
статистическая ошибка дисперсии.
Находим
ошибку выборочной дисперсии по формуле:
.
Она равна 0,11. Значениеt
-
критерия при доверительной вероятности
0,95 и числе степеней свободы k
= 100–1 = 99 известно из предыдущего примера.
Воспользуемся формулой и получим:
или
1,38
1,82
Более
точно доверительный интервал генеральной
дисперсии можно построить с применением
(хи-квадрат)
- критерия Пирсона. Критические точки
для этого критерия приводятся в
специальной таблице. При использовании
критерия
для
построения доверительного интервала
применяют двусторонний уровень
значимости. Для нижней границы уровень
значимости рассчитывается по формуле
,
для верхней –
.
Например, для доверительного уровня
=
0,99
= 0,010,
=
0,990. Соответственно по таблице распределения
критических значений
,
при рассчитанных доверительных уровнях
и числе степеней свободыk
= 100 – 1= 99, найдем значения
и
.
Получаем
равно 135,80, а
равно70,06.
Чтобы
найти доверительные границы генеральной
дисперсии с помощью
воспользуемся
формулами: для нижней границы
,
для верхней границы
.
Подставим данные задачи найденные
значения
в
формулы:
=
1,17;
=
2,26. Таким образом, при доверительной
вероятностиP
= 0,99 или 99% генеральная дисперсия будет
лежать в интервале от 1,17 до 2,26 мг%
включительно.
Пример 3.3 . Среди 1000 семян пшеницы из поступившей на элеватор партии обнаружено 120 семян зараженных спорыньей. Необходимо определить вероятные границы генеральной доли зараженных семян в данной партии пшеницы.
Доверительные границы для генеральной доли при всех возможных ее значениях целесообразно определять по формуле:
,
Где n – число наблюдений; m – абсолютная численность одной из групп; t – нормированное отклонение.
Выборочная
доля зараженных семян равна
или 12%. При доверительной вероятностиР
= 95% нормированное отклонение (t
-критерий
Стьюдента при k
=
)t
= 1,960.
Подставляем имеющиеся данные в формулу:
Отсюда
границы доверительного интервала
равны
=
0,122–0,041 = 0,081, или 8,1%;
= 0,122 + 0,041 = 0,163, или 16,3%.
Таким образом, с доверительной вероятностью 95% можно утверждать, что генеральная доля зараженных семян находится между 8,1 и 16,3%.
Пример 3.4 . Коэффициент вариации, характеризующий варьирование кальция (мг%) в сыворотке крови обезьян, оказался равным 10,6%. Объем выборки n = 100. Необходимо определить границы 95%-ного доверительного интервала для генерального параметра Cv .
Границы доверительного интервала для генерального коэффициента вариации Cv определяются по следующим формулам:
и
,
гдеK
промежуточная
величина, вычисляемая по формуле
.
Зная,
что при доверительной вероятности Р
= 95% нормированное отклонение (критерий
Стьюдента при k
=
)t
= 1,960,
предварительно рассчитаем величину К:
.
или
9,3%
или
12,3%
Таким образом, генеральный коэффициент вариации с доверительной вероятностью 95% лежит в интервале от 9,3 до 12,3%. При повторных выборках коэффициент вариации не превысит 12,3% и не окажется ниже 9,3% в 95 случаях из 100.
Вопросы для самоконтроля:
Задачи для самостоятельного решения.
1. Средний процент жира в молоке за лактацию коров холмогорских помесей был следующим: 3,4; 3,6; 3,2; 3,1; 2,9; 3,7; 3,2; 3,6; 4,0; 3,4; 4,1; 3,8; 3,4; 4,0; 3,3; 3,7; 3,5; 3,6; 3,4; 3,8. Установите доверительные интервалы для генеральной средней при доверительной вероятности 95% (20 баллов).
2. На 400 растениях гибридной ржи первые цветки появились в среднем на 70,5 день после посева. Среднее квадратическое отклонение было 6,9 дня. Определите ошибку средней и доверительные интервалы для генеральной средней и дисперсии при уровне значимости W = 0,05 и W = 0,01 (25 баллов).
3.
При изучении длины листьев 502 экземпляров
садовой земляники были получены следующие
данные:
= 7,86 см; σ
= 1,32 см,
=± 0,06 см.
Определите доверительные интервалы
для средней арифметической генеральной
совокупности с уровнями значимости
0,01; 0,02; 0,05. (25 баллов).
4. При обследовании 150 взрослых мужчин средний рост был равен 167 см, а σ = 6 см. В каких пределах находится генеральная средняя и генеральная дисперсия с доверительной вероятностью 0,99 и 0,95? (25 баллов).
5.
Распределение кальция в сыворотке крови
обезьян характеризуется следующими
выборочными показателями:
= 11,94 мг%, σ
= 1,27, n
= 100. Постройте
95%-ный доверительный интервал для
генеральной средней этого распределения.
Рассчитайте коэффициент вариации (25
баллов).
6. Было изучено общее содержание азота в плазме крови крыс-альбиносов в возрасте 37 и 180 дней. Результаты выражены в граммах на 100 см 3 плазмы. В возрасте 37 дней 9 крыс имели: 0,98; 0,83; 0,99; 0,86; 0,90; 0,81; 0,94; 0,92; 0,87. В возрасте 180 дней 8 крыс имели: 1,20; 1,18; 1,33; 1,21; 1,20; 1,07; 1,13; 1,12. Установите доверительные интервалы для разницы с доверительной вероятностью 0,95 (50 баллов).
7. Определите границы 95%-ного доверительного интервала для генеральной дисперсии распределения кальция (мг%) в сыворотке крови обезьян, если для этого распределения объем выборки n = 100, статистическая ошибка выборочной дисперсии s σ 2 = 1,60 (40 баллов).
8. Определите границы 95%-ного доверительного интервала для генеральной дисперсии распределения 40 колосков пшеницы по длине (σ 2 = 40, 87 мм 2). (25 баллов).
9. Курение считают основным фактором, предрасполагающим к обструктивным заболеваниям легких. Пассивное курение таким фактором не считается. Ученые усомнились в безвредности пассивного курения и исследовали проходимость дыхательных путей у некурящих, пассивных и активных курильщиков. Для характеристики состояния дыхательных путей взяли один из показателей функции внешнего дыхания – максимальную объемную скорость середины выдоха. Уменьшение этого показателя – признак нарушения проходимости дыхательных путей. Данные обследования приведены в таблице.
|
Число обследованных |
Максимальная объемная скорость середины выдоха, л/с |
||
|
Стандартное отклонение |
|||
|
Некурящие |
|||
|
работают в помещении, где не курят | |||
|
работают в накуренном помещении | |||
|
Курящие |
|||
|
выкуривающие небольшое число сигарет | |||
|
выкуривающие среднее число сигарет | |||
|
выкуривающие большое число сигарет | |||
По данным таблицы найдите 95% доверительные интервалы для генеральной средней и генеральной дисперсии для каждой из групп. В чем заключаются различия между группами? Результаты представьте графически (25 баллов).
10. Определите границы 95%-ного и 99%-ного доверительного интервала для генеральной дисперсии численности поросят в 64 опоросах, если статистическая ошибка выборочной дисперсии s σ 2 = 8, 25 (30 баллов).
11. Известно, что средняя масса кроликов составляет 2,1 кг. Определите границы 95%-ного и 99%-ного доверительного интервала для генеральной средней и дисперсии при n = 30, σ = 0,56 кг (25 баллов).
12.
У 100 колосьев измеряли озерненность
колоса (Х
),
длину колоса (Y
)
и массу зерна в колосе (Z
).
Найти доверительные интервалы для
генеральной средней и дисперсии при P
1
= 0,95, P
2
= 0,99, P
3
= 0,999, если
= 19,
= 6,766 см,
= 0,554 г; σ
x 2
= 29, 153, σ
y 2
= 2, 111, σ
z 2
= 0, 064. (25 баллов).
13.
В отобранных случайным образом 100
колосьях озимой пшеницы подсчитывалось
число колосков. Выборочная совокупность
характеризовалась следующими показателями:
= 15 колосков и σ
= 2,28 шт. Определите, с какой точностью
получен средний результат (
)
и постройте доверительный интервал для
генеральной средней и дисперсии при
95% и 99% уровнях значимости (30 баллов).
14. Число ребер на раковинах ископаемого моллюска Orthambonites calligramma :
Известно, что n = 19, σ = 4,25. Определите границы доверительного интервала для генеральной средней и генеральной дисперсии при уровне значимости W = 0,01 (25 баллов).
15. Для определения удоев молока на молочно-товарной ферме ежедневно определялась продуктивность 15 коров. По данным за год каждая корова давала в среднем в сутки следующее количество молока (л): 22; 19; 25; 20; 27; 17; 30; 21; 18; 24; 26; 23; 25; 20; 24. Постройте доверительные интервалы для генеральной дисперсии и средней арифметической. Можно ли ожидать, что среднегодовой удой на каждую корову составит 10000 литров? (50 баллов).
16. С целью определения урожая пшеницы в среднем по агрохозяйству были проведены укосы на пробных участках площадью 1, 3, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 11 и 2 га. Урожайность (ц/га) с участков составила 39,4; 38; 35,8; 40; 35; 42,7; 39,3; 41,6; 33; 42; 29 соответственно. Постройте доверительные интервалы для генеральных дисперсии и средней арифметической. Можно ли ожидать, что в среднем по агрохозяйству урожай составит 42 ц/га? (50 баллов).
И др. Все они являются оценками своих теоретических аналогов, которые можно было бы получить, если бы в распоряжении была не выборка, а генеральная совокупность. Но увы, генеральная совокупность – это очень дорого и часто недоступно.
Понятие об интервальном оценивании
Любая выборочная оценка обладает некоторым разбросом, т.к. является случайной величиной, зависящей от значений в конкретной выборке. Стало быть, для более надежных статистических выводов следует знать не только точечную оценку, но и интервал, который с высокой вероятностью γ (гамма) накрывает оцениваемый показатель θ (тета).
Формально, это два таких значения (статистики) T 1 (X) и T 2 (X) , что T 1 < T 2 , для которых при заданном уровне вероятности γ выполняется условие:
Короче, с вероятностью γ или больше истинный показатель находится между точками T 1 (X) и T 2 (X) , которые называются нижней и верхней границей доверительного интервала .
Одним из условий построения доверительных интервалов является его максимальная узость, т.е. он должен быть насколько это возможно коротким. Желание вполне естественно, т.к. исследователь старается точнее локализовать нахождение искомого параметра.
Отсюда следует, что доверительный интервал должен накрывать максимальные вероятности распределения. а сама оценка быть в центре.
То бишь вероятность отклонения (истинного показателя от оценки) в большую сторону равна вероятности отклонения в меньшую сторону. Следует также отметить, что для несимметричных распределений интервал справа не равен интервалу слева.
По рисунку выше отчетливо видно, что чем больше доверительная вероятность, тем шире интервал – прямая зависимость.
Это была небольшая вводная часть в теорию интервального оценивания неизвестных параметров. Перейдем к нахождению доверительных границ для математического ожидания.
Доверительный интервал для математического ожидания
Если исходные данные распределены по , то и среднее будет нормальной величиной. Это следует из того правила, что линейная комбинация нормальных величин также имеет нормальное распределение. Следовательно, для расчета вероятностей мы могли бы использовать математический аппарат нормального закона распределения.
Однако для этого потребуется знать два параметра – матожидание и дисперсию, которые обычно не известны. Можно, конечно, вместо параметров использовать оценки (среднюю арифметическую и ), но тогда распределение средней будет не совсем нормальным, оно будет немного приплюснуто книзу. Этот факт ловко подметил гражданин Уильям Госсет из Ирландии, опубликовав свое открытие в мартовском выпуске журнала «Biometrica» за 1908 год. В целях конспирации Госсет подписался Стьюдентом. Так появилось t-распределение Стьюдента.
Однако нормальное распределение данных, использовавшееся К. Гауссом при анализе ошибок астрономических наблюдений, в земной жизни встречается крайне редко и установить это довольно сложно (для высокой точности необходимо порядка 2 тысяч наблюдений). Поэтому предположение о нормальности лучше всего отбросить и использовать методы, не зависящие от распределения исходных данных.
Возникает вопрос: каково же распределение средней арифметической, если оно рассчитано по данным неизвестного распределения? Ответ дает известная в теории вероятностей Центральная предельная теорема (ЦПТ). В математике существует несколько ее вариантов (на протяжении долгих лет формулировки уточнялись), но все они, грубо говоря, сводятся к утверждению, что сумма большого количества независимых случайных величин подчиняется нормальному закону распределения.
При расчете средней арифметической как раз используется сумма случайных величин. Отсюда получается, что среднее арифметическое имеет нормальное распределение, у которого матожидание – это матожидание исходных данных, а дисперсия – .
Умные люди умеют доказывать ЦПТ, но мы в этом убедимся с помощью эксперимента, проведенного в Excel. Смоделируем выборку из 50-ти равномерно распределенных случайных величин (с помощью функции Excel СЛУЧМЕЖДУ). Затем сделаем 1000 таких выборок и для каждой рассчитаем среднюю арифметическую. Посмотрим на их распределение.
Видно, что распределение средней близко к нормальному закону. Если объем выборок и их количество сделать еще больше, то сходство будет еще лучше.
Теперь, когда мы воочию убедились в справедливости ЦПТ, можно, используя , рассчитать доверительные интервалы для средней арифметической, которые с заданной вероятностью накрывают истинное среднее или математическое ожидание.
Для установления верхней и нижней границы требуется знать параметры нормального распределения. Как правило, их нет, поэтому используют оценки: среднюю арифметическую и выборочную дисперсию . Повторюсь, такой способ дает хорошее приближение только при больших выборках. Когда выборки малые, часто рекомендуют использовать распределение Стьюдента. Не верьте! Распределение Стьюдента для средней бывает только тогда, когда исходные данные имеют нормальное распределение, то есть почти никогда. Поэтому лучше сразу поставить минимальную планку по количеству необходимых данных и использовать асимптотически корректные методы. Говорят, достаточно 30 наблюдений. Берите 50 – не ошибетесь.
T 1,2 – нижняя и верхняя граница доверительного интервала
– выборочное среднее арифметическое
s 0 – среднее квадратичное отклонение по выборке (несмещенное)
n – размер выборки
γ – доверительная вероятность (обычно равна 0,9, 0,95 или 0,99)
c γ =Φ -1 ((1+γ)/2) – обратное значение функции стандартного нормального распределения. По-простому говоря, это количество стандартных ошибок от средней арифметической до нижней или верхней границы (указанным трем вероятностями соответствуют значения 1,64, 1,96 и 2,58).
Суть формулы в том, что берется среднее арифметическое и далее от нее откладывается некоторое количество (с γ ) стандартных ошибок (s 0 /√n ). Все известно, бери и считай.
До массового использования ПЭВМ для получения значений функции нормального распределения и обратной ей использовали . Их и сейчас используют, но эффективнее обратиться к готовым формулам Excel. Все элементы из формулы выше ( , и ) можно легко рассчитать в Excel. Но есть и готовая формула для расчета доверительного интервала – ДОВЕРИТ.НОРМ . Ее синтаксис следующий.
ДОВЕРИТ.НОРМ(альфа;стандартное_откл;размер)
альфа – уровень значимости или доверительный уровень, который в принятых выше обозначениях равен 1- γ, т.е. вероятность того, что математическое ожидание окажется за пределами доверительного интервала. При доверительной вероятности 0,95, альфа равно 0,05 и т.д.
стандартное_откл – среднее квадратичное отклонение выборочных данных. Стандартную ошибку рассчитывать не нужно, Excel сам разделит на корень из n.
размер – размер выборки (n).
Результат функции ДОВЕРИТ.НОРМ – это второе слагаемое из формулы расчета доверительного интервала, т.е. полуинтервал. Соответственно, нижняя и верхняя точка – это среднее ± полученное значение.
Таким образом, можно построить универсальный алгоритм расчета доверительных интервалов для средней арифметической, который не зависит от распределения исходных данных. Платой за универсальность является его асимптотичность, т.е. необходимость использования относительно больших выборок. Однако в век современных технологий собрать нужное количество данных обычно не представляет трудностей.
Проверка статистических гипотез с помощью доверительного интервала
{module 111}
Одной из главных задач, решаемых в статистике, является . Ее суть вкратце такова. Выдвигается предположение, например, что матожидание генеральной совокупности равно какому-то значению. Затем строится распределение выборочных средних, которые могут наблюдаться при данном матожидании. Далее смотрят, в каком месте этого условного распределения находится реальная средняя. Если она выходит за допустимые пределы, то появление такого среднего очень маловероятно, а при однократном повторении эксперимента почти невозможно, что противоречит выдвинутой гипотезе, которая успешно отклоняется. Если же среднее не выходит за критический уровень, то гипотеза не отклоняется (но и не доказывается!).
Так вот с помощью доверительных интервалов, в нашем случае для матожидания, также можно проверять некоторые гипотезы. Это очень просто сделать. Допустим, средняя арифметическая по некоторой выборке равна 100. Проверяется гипотеза о том, что матожидание равно, допустим, 90. То есть, если поставить вопрос примитивно, то он звучит так: может ли такое быть, чтобы при истинном значении средней равной 90, наблюдаемая средняя оказалась равна 100?
Для ответа на этот вопрос дополнительно потребуется информация о среднем квадратичном отклонении и размере выборки. Допустим среднеквадратичное отклонение равно 30, а количество наблюдений 64 (чтобы легко извлечь корень). Тогда стандартная ошибка средней равна 30/8 или 3,75. Для расчета 95% доверительного интервала потребуется отложить в обе стороны от средней по две стандартные ошибки (точнее, по 1,96). Доверительный интервал получится примерно 100±7,5 или от 92,5 до 107,5.
Далее рассуждения следующие. Если проверяемое значение попадает в доверительный интервал, то оно не противоречит гипотезе, т.к. укладывается в пределы случайных колебаний (с вероятностью 95%). Если проверяемая точка выходит за пределы доверительного интервала, то вероятность такого события очень маленькая, во всяком случае ниже допустимого уровня. Значит, гипотезу отклоняют, как противоречащую наблюдаемым данным. В нашем случае гипотеза о матожидании находится за пределами доверительного интервала (проверяемое значение 90 не входит в интервал 100±7,5), поэтому ее следует отклонить. Отвечая на примитивный вопрос выше, следует сказать: нет не может, во всяком случае такое случается крайне редко. Часто при этом указывают конкретную вероятность ошибочного отклонения гипотезы (p-level), а не заданный уровень, по которому строился доверительный интервал, но об этом в другой раз.
Как видим, построить доверительный интервал для среднего (или математического ожидания) несложно. Главное, уловить суть, а дальше дело пойдет. На практике в большинстве случаев используются 95% доверительный интервал, который имеет в ширину примерно две стандартные ошибки по обе стороны от средней.
На этом пока все. Всех благ!
Доверительный интервал пришел к нам из области статистики. Это определенный диапазон, который служит для оценки неизвестного параметра с высокой степенью надежности. Проще всего это будет пояснить на примере.
Предположим, нужно исследовать какую-либо случайную величину, например, скорость отклика сервера на запрос клиента. Каждый раз, когда пользователь набирает адрес конкретного сайта, сервер реагирует на это с разной скоростью. Таким образом, исследуемое время отклика имеет случайный характер. Так вот, доверительный интервал позволяет определить границы этого параметра, и затем можно будет утверждать, что с вероятностью в 95% сервера будет находиться в рассчитанном нами диапазоне.
Или же нужно узнать, какому количеству людей известно о торговой марке фирмы. Когда будет подсчитан доверительный интервал, то можно будет, к примеру, сказать что с 95% долей вероятности доля потребителей, знающих о данной находится в диапазоне от 27% до 34%.
С этим термином тесно связана такая величина, как доверительная вероятность. Она представляет собой вероятность того, что искомый параметр входит в доверительный интервал. От этой величины зависит то, насколько большим окажется наш искомый диапазон. Чем большее значение она принимает, тем уже становится доверительный интервал, и наоборот. Обычно ее устанавливают равной 90%, 95% или 99%. Величина 95% наиболее популярна.
На данный показатель также оказывает влияние дисперсия наблюдений и Его определение основано на том предположении, что исследуемый признак подчиняется Это утверждение известно также как Закон Гаусса. Согласно ему, нормальным называется такое распределение всех вероятностей непрерывной случайной величины, которое можно описать плотностью вероятностей. Если предположение о нормальном распределении оказалось ошибочным, то оценка может оказаться неверной.
Сначала разберемся с тем, как вычислить доверительный интервал для Здесь возможны два случая. Дисперсия (степень разброса случайной величины) может быть известна либо нет. Если она известна, то наш доверительный интервал вычисляется с помощью следующей формулы:
хср - t*σ / (sqrt(n)) <= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где
α - признак,
t - параметр из таблицы распределения Лапласа,
σ - квадратный корень дисперсии.
Если дисперсия неизвестна, то ее можно рассчитать, если нам известны все значения искомого признака. Для этого используется следующая формула:
σ2 = х2ср - (хср)2, где
х2ср - среднее значение квадратов исследуемого признака,
(хср)2 - квадрат данного признака.
Формула, по которой в этом случае рассчитывается доверительный интервал немного меняется:
хср - t*s / (sqrt(n)) <= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где
хср - выборочное среднее,
α - признак,
t - параметр, который находят с помощью таблицы распределения Стьюдента t = t(ɣ;n-1),
sqrt(n) - квадратный корень общего объема выборки,
s - квадратный корень дисперсии.
Рассмотри такой пример. Предположим, что по результатам 7 замеров была определена исследуемого признака, равная 30 и дисперсия выборки, равная 36. Нужно найти с вероятностью в 99% доверительный интервал, который содержит истинное значение измеряемого параметра.
Вначале определим чему равно t: t = t (0,99; 7-1) = 3.71. Используем приведенную выше формулу, получаем:
хср - t*s / (sqrt(n)) <= α <= хср + t*s / (sqrt(n))
30 - 3.71*36 / (sqrt(7)) <= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))
21.587 <= α <= 38.413
Доверительный интервал для дисперсии рассчитывается как в случае с известным средним, так и тогда, когда нет никаких данных о математическом ожидании, а известно лишь значение точечной несмещенной оценки дисперсии. Мы не будем приводить здесь формулы его расчета, так как они довольно сложные и при желании их всегда можно найти в сети.
Отметим лишь, что доверительный интервал удобно определять с помощью программы Excel или сетевого сервиса, который так и называется.
Доверительный интервал (ДИ; в англ, confidence interval - CI) полученный в исследовании при выборке даёт меру точности (или неопределённости) результатов исследования, для того чтобы делать выводы о популяции всех таких пациентов (генеральная совокупность). Правильное определение 95% ДИ можно сформулировать так: 95% таких интервалов будет содержать истинную величину в популяции. Несколько менее точна такая интерпретация: ДИ - диапазон величин, в пределах которого можно на 95% быть уверенным в том, что он содержит истинную величину. При использовании ДИ акцент делается на определении количественного эффекта, в противоположность величине Р, которая получается в результате проверки статистической значимости. Величина Р не оценивает никакого количества, а служит скорее мерой силы свидетельства против нулевой гипотезы «никакого эффекта». Величина Р сама по себе не говорит нам ничего ни о величине различия, ни даже о его направлении. Поэтому самостоятельные величины Р абсолютно неинформативны в статьях или рефератах. В отличие от них ДИ указывает и на количество эффекта, представляющего непосредственный интерес, например на полезность лечения, и на силу доказательств. Поэтому ДИ непосредственно имеет отношение к практике ДМ.
Подход оценки к статистическому анализу, иллюстрируемый ДИ, направлен на измерение количества интересующего нас эффекта (чувствительность диагностического теста, частота прогнозируемых случаев, сокращение относительного риска при лечении и т.д.), а также на измерение неопределённости в этом эффекте. Чаще всего ДИ - диапазон величин по обе стороны оценки, в котором, вероятно, лежит истинная величина, и можно быть уверенным в этом на 95%. Соглашение использовать 95% вероятность произвольно, также как и величину Р <0,05 для оценки статистической значимости, и авторы иногда используют 90% или 99% ДИ. Заметим, что слово «интервал» означает диапазон величин и поэтому стоит в единственном числе. Две величины, которые ограничивают интервал, называются «доверительными пределами».
ДИ основан на идее, что то же самое исследование, выполненное на других выборках пациентов, не привело бы к идентичным результатам, но что их результаты будут распределены вокруг истинной, однако неизвестной величины. Иными словами, ДИ описывает это как «вариабельность, зависящую от выборки». ДИ не отражает дополнительную неопределённости, обусловленную другими причинами; в частности, он не включает влияние селективной потери пациентов при отслеживании, плохого комплайнса или неточного измерения исхода, отсутствия «ослепления» и т.д. ДИ, таким образом, всегда недооценивает общее количество неопределённости.
Вычисление доверительного интервала
Таблица А1.1. Стандартные ошибки и доверительные интервалы для некоторых клинических измерений
Обычно ДИ вычисляют из наблюдаемой оценки количественного показателя, такого, как различие (d) между двумя пропорциями, и стандартной ошибки (SE) в оценке этого различия. Приблизительный 95% ДИ, получаемый таким образом, - d ± 1,96 SE. Формула изменяется согласно природе меры исхода и охвату ДИ. Например, в рандомизированном плацебо-контролируемом испытании бесклеточной коклюшной вакцины коклюш развивался у 72 из 1670 (4,3%) младенцев, получивших вакцину, и у 240 из 1665 (14,4%) в группе контроля. Различие в процентах, известное как абсолютное снижение риска, составляет 10,1%. SE этого различия равна 0,99%. Соответственно 95% ДИ составляет 10,1% + 1,96 х 0,99%, т.е. от 8,2 до 12,0.
Несмотря на разные философские подходы, ДИ и тесты на статистическую значимость тесно связаны математически.
Таким образом, величина Р «значимая», т.е. Р <0,05 соответствует 95% ДИ, который исключает величину эффекта, указывающую на отсутствие различия. Например, для различия между двумя средними пропорциями это ноль, а для относительного риска или отношения шансов - единица. При некоторых обстоятельствах эти два подхода могут быть не совсем эквивалентны. Преобладающая точка зрения: оценка с помощью ДИ - предпочтительный подход к суммированию результатов исследования, но ДИ и величина Р взаимодополняющи, и во многих статьях используются оба способа представления результатов.
Неопределенность (неточность) оценки, выражаемая в ДИ, в большой степени связана с квадратным корнем из размера выборки. Маленькие выборки предоставляют меньше информации, чем большие, и ДИ соответственно шире в меньшей выборке. Например, статья, сравнивающая характеристики трёх тестов, которые применяются для диагностики инфекции Helicobacter pylori , сообщила о чувствительности дыхательной пробы с мочевиной 95,8% (95% ДИ 75-100). В то время как число 95,8% выглядит внушительно, маленькая выборка из 24 взрослых пациентов с Я. pylori означает, что имеется значительная неопределенность в этой оценке, как показывает широкий ДИ. Действительно, нижний предел 75% намного ниже, чем оценка 95,8%. Если бы такая же чувствительность наблюдалась в выборке 240 человек, то 95% ДИ составлял бы 92,5-98,0, давая больше гарантий, что тест высокочувствителен.
В рандомизированных контролируемых испытаниях (РКИ) незначимые результаты (т.е. те, где Р >0,05) особенно подвержены неверному толкованию. ДИ особенно полезен здесь, поскольку он показывает, насколько совместимы результаты с клинически полезным истинным эффектом. Например, в РКИ, сравнивающем наложение анастомоза швом и скрепками на толстой кишке , раневая инфекция развилась у 10,9% и 13,5% пациентов соответственно (Р = 0,30). 95% ДИ для этого различия составляет 2,6% (от -2 до +8). Даже в этом исследовании, включавшем 652 пациента, остаётся вероятность, что существует умеренное различие в частоте инфекций, возникающих вследствие этих двух процедур. Чем меньше исследование, тем больше неуверенность. Сунг и соавт. выполнили РКИ, чтобы сравнить инфузию октреотида со срочной склеротерапией при остром кровотечении из варикозно-расширенных вен на 100 пациентах. В группе октреотида частота остановки кровотечения составила 84%; в группе склеротерапии - 90%, что даёт Р = 0,56. Заметим, что показатели продолжающегося кровотечения аналогичны таковым при раневой инфекции в упомянутом исследовании. В этом случае, однако, 95% ДИ для различия вмешательств равен 6% (от -7 до +19). Этот интервал весьма широк по сравнению с 5% различием, которое представляло бы клинический интерес. Ясно, что исследование не исключает значительной разницы в эффективности. Поэтому заключение авторов «инфузия октреотида и склеротерапия одинаково эффективны при лечении кровотечения из варикозно-расширенных вен» определённо невалидно. В подобных случаях, когда, как здесь, 95% ДИ для абсолютного снижения риска (АСР; absolute risk reduction - ARR, англ.) включает ноль, ДИ для ЧПЛП (NNT - number needed to treat, англ.) является довольно затруднительным для толкования. ЧПЛП и его ДИ получают из величин, обратных АСР (умножая их на 100, если эти величины даны в виде процентов). Здесь мы получаем ЧПЛП = 100: 6 = 16,6 с 95% ДИ от -14,3 до 5,3. Как видно из сноски «d» в табл. А1.1, этот ДИ включает величины ЧПЛП от 5,3 до бесконечности и ЧПЛВ от 14,3 до бесконечности.
ДИ можно построить для большинства обычно употребляемых статистических оценок или сравнений. Для РКИ он включает разность между средними пропорциями, относительными рисками, отношениями шансов и ЧПЛП. Аналогично ДИ можно получить для всех главных оценок, сделанных в исследованиях точности диагностических тестов - чувствительности, специфичности, прогностической значимости положительного результата (все они являются простыми пропорциями), и отношения правдоподобия - оценок, получаемых в метаанализах и исследованиях типа сравнения с контролем. Компьютерная программа для персональных компьютеров, которая покрывает многие из этих способов использования ДИ, доступна со вторым изданием «Statistics with Confidence». Макросы для вычисления ДИ для пропорций бесплатно доступны для Excel и статистических программ SPSS и Minitab на http://www.uwcm.ac.uk/study/medicine/epidemiology_ statistics/research/statistics/proportions, htm.
Множественные оценки эффекта лечения
В то время как построение ДИ желательно для первичных результатов исследования, они не обязательны для всех результатов. ДИ касается клинически важных сравнений. Например, при сравнении двух групп правилен тот ДИ, что построен для различия между группами, как показано выше в примерах, а не ДИ, который можно построить для оценки в каждой группе. Мало того, что бесполезно давать отдельные ДИ для оценок в каждой группе, это представление может вводить в заблуждение. Точно так же правильный подход при сравнении эффективности лечения в различных подгруппах - сравнение двух (или более) подгрупп непосредственно. Неправильно предполагать, что лечение эффективно только в одной подгруппе, если ее ДИ исключает величину, соответствующую отсутствию эффекта, а другие - нет . ДИ полезны также при сравнении результатов в нескольких подгруппах. На рис. А 1.1 показан относительный риск эклампсии у женщин с преэклампсией в подгруппах женщин из плацебо-контролируемого РКИ сульфата магния.
Рис. А1.2. Лесной график показывает результаты 11 рандомизированных клинических испытаний бычьей ротавирусной вакцины для профилактики диареи в сравнении с плацебо. При оценке относительного риска диареи использован 95% доверительный интервал. Размер чёрного квадрата пропорционален объёму информации. Кроме того, показана суммарная оценка эффективности лечения и 95% доверительного интервала (обозначается ромбом). В метаанализе использована модель случайных эффектов превышает некоторые предварительно установленные; например, это может быть размер, использованный при вычислении величины выборки. В соответствии с более строгим критерием весь диапазон ДИ должен показывать пользу, превышающую предустановленный минимум.
Мы уже обсуждали ошибку, когда отсутствие статистической значимости принимают как указание на то, что два способа лечения одинаково эффективны. Столь же важно не уравнивать статистическую значимость с клинической важностью. Клиническую важность можно предполагать, когда результат статистически значим и величина оценки эффективности лечения
Исследования могут показать, значимы ли результаты статистически и какие из них клинически важны, а какие - нет. На рис. А1.2 приведены результаты четырёх испытаний, для которых весь ДИ <1, т.е. их результаты статистически значимы при Р <0,05 , . После высказанного предположения о том, что клинически важным различием было бы сокращение риска диареи на 20% (ОР = 0,8), все эти испытания показали клинически значимую оценку сокращения риска, и лишь в исследовании Treanor весь 95% ДИ меньше этой величины. Два других РКИ показали клинически важные результаты, которые не были статистически значимыми. Обратите внимание, что в трёх испытаниях точечные оценки эффективности лечения были почти идентичны, но ширина ДИ различалась (отражает размер выборки). Таким образом, по отдельности доказательная сила этих РКИ различна.
Доверительный интервал
Доверительный интервал - термин, используемый в математической статистике при интервальной (в отличие от точечной) оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объёме выборки. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.
Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ежи Нейман , исходя из идей английского статистика Рональда Фишера .
Определение
Доверительным интервалом параметра θ распределения случайной величины X с уровнем доверия 100p% , порождённым выборкой (x 1 ,…,x n), называется интервал с границами (x 1 ,…,x n) и (x 1 ,…,x n), которые являются реализациями случайных величин L (X 1 ,…,X n) и U (X 1 ,…,X n), таких, что
.Граничные точки доверительного интервала и называются доверительными пределами .
Интерпретация доверительного интервала, основанная на интуиции, будет следующей: если p велико (скажем, 0,95 или 0,99), то доверительный интервал почти наверняка содержит истинное значение θ .
Еще одно истолкование понятию доверительного интервала: его можно рассматривать как интервал значений параметра θ , совместимых с опытными данными и не противоречащих им.
Примеры
- Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки ;
- Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки .
Байесовский доверительный интервал
В байесовской статистике существует схожее, но отличающееся в некоторых ключевых деталях определение доверительного интервала. Здесь оцениваемый параметр сам считается случайной величиной с некоторым заданным априорным распределением (в простейшем случае - равномерным), а выборка фиксирована (в классической статистике всё в точности наоборот). Байесовский -доверительным интервал - это интервал , покрывающий значение параметра с апостериорной вероятностью :
.Как правило, классический и байесовский доверительные интервалы различаются. В англоязычной литературе байесовский доверительный интервал принято называть термином credible interval , а классический - confidence interval .
Примечания
ИсточникиWikimedia Foundation . 2010 .
- Детки (фильм)
- Колонист
Смотреть что такое "Доверительный интервал" в других словарях:
Доверительный интервал - интервал, вычисленный по выборочным данным, который с заданной вероятностью (доверительной) накрывает неизвестное истинное значение оцениваемого параметра распределения. Источник: ГОСТ 20522 96: Грунты. Методы статистической обработки результатов … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
доверительный интервал - для скалярного параметра генеральной совокупности – это отрезок, с большой вероятностью содержащий этот параметр. Эта фраза без дальнейших уточнений бессмысленна. Поскольку границы доверительного интервала оцениваются по выборке, естественна его… … Словарь социологической статистики
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ - метод оценивания параметров, отличающийся от точечного оценивания. Пусть задана выборка x1, . . ., хn из распределения с плотностью вероятности f(x, α), и а*=а*(x1, . . ., хn) оценка α, g(a*, α) плотность вероятности оценки. Ищем… … Геологическая энциклопедия
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ - (confidence interval) Интервал, в котором достоверность значения параметра по населению, полученного на основе выборочного обследования, имеет определенную степень вероятности, например 95%, что обусловлено самой выборкой (sample). Ширина… … Экономический словарь
доверительный интервал - – интервал, в котором находится истинное значение определяемой величины с заданной доверительной вероятностью. Общая химия: учебник / А. В. Жолнин … Химические термины
Доверительный интервал ДИ - Доверительный интервал, ДИ * давяральны інтэрвал, ДІ * confidence interval интервал значения признака, рассчитанный для к. л. параметра распределения (напр., среднего значения признака) по выборке и с определенной вероятностью (напр., 95% для 95% … Генетика. Энциклопедический словарь
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ - понятие, возникающее при оценке параметра статистич. распределения интервалом значений. Д. и. для параметра q, соответствующий данному коэф. доверия Р, равен такому интервалу (q1, q2), что при любом распределении вероятности неравенства… … Физическая энциклопедия
доверительный интервал - — Тематики электросвязь, основные понятия EN confidence interval … Справочник технического переводчика
доверительный интервал - pasikliovimo intervalas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultato vertė. atitikmenys: angl. confidence interval vok. Vertrauensbereich, m rus.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
доверительный интервал - pasikliovimo intervalas statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultatų vertė. atitikmenys: angl. confidence interval rus. доверительная область; доверительный интервал … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas
