روش مختصات در فضا: فرمول ها و نظرات استاد راهنما. روش مختصات در فضا روش مختصات در فضا سیستم مختصات مستطیل شکل

موقعیت هر نقطه در فضا را می توان به طور منحصر به فرد با استفاده از یک سیستم مختصات مستطیلی تعیین کرد. این سیستم شامل سه محور متقابل عمود بر یکدیگر است که در یک نقطه متقاطع می شوند O مبدأ مختصات است.یکی از محورها نامیده می شود محور x(محور اوه)، دیگری محور y (OU)، سومین محور کاربردی (اوز). هواپیماها XOY, XOZو YOZصفحات مختصات نامیده می شوند. هر بخش به عنوان در نظر گرفته می شود واحد مقیاسبرای هر سه محور . جهت های مثبت روی محورها به گونه ای انتخاب می شوند که چرخش 90 0 که پرتو مثبت را ترکیب می کند. گاو نربا پرتو مثبت OY، وقتی از پرتو مشاهده می شد، به نظر می رسید خلاف جهت عقربه های ساعت می رود اونس. این سیستم مختصات نامیده می شود درست.

موقعیت هر نقطه مدر فضا را می توان با سه مختصات به صورت زیر تعریف کرد . از طریقمصفحات موازی با صفحات رسم کنیدXOY, XOZو YOZ. در تقاطع با محورها، به عنوان مثال، نقاطی را دریافت می کنیم، پ, سو آربه ترتیب. شماره ایکس (اوکیسا), در(ترتیب), z (کاربردی) اندازه گیری قطعاتOP, OQویادر مقیاس انتخابی نامیده می شوندمختصات مستطیلینکته ها م.بسته به اینکه بخش های مربوطه روی نیم محور مثبت یا منفی قرار بگیرند، آنها مثبت یا منفی می شوند. هر سه عدد از اعداد ( ایکس; در; z) مربوط به یک و تنها یک نقطه در فضا است و بالعکس.

فاصله بین دو نقطهو با فرمول (1.6) محاسبه می شود.

مختصات (ایکس; y; z) نکته هاتقسیم M در یک نسبت معینبخش خط AB، (،) با فرمول های زیر تعیین می شوند:

به طور خاص، در (نقطه مبخش را تقسیم می کند ABبه نصف)، فرمول هایی برای تعیین مختصات نقطه میانی قطعه به دست می آید:

مثال 4:روی محور OUیک نقطه با فاصله مساوی از دو نقطه پیدا کنید و .

راه حل:نقطه مروی محور دراز کشیده OU، مختصات دارد . با توجه به وظیفه | AM| = |VM|.بیایید فاصله ها را پیدا کنیم | AM|و |VM|،با استفاده از فرمول (1.6):

معادله را بدست می آوریم: .

از این رو متوجه می شویم که 4 در= 16، یعنی y= 4. نکته مورد نظر است م(0; 4; 0).

مثال 5:بخش خط ABبه 3 قسمت مساوی تقسیم می شود. مختصات نقاط تقسیم را بیابید، اگر نقاط مشخص باشند و .

راه حل:

نقاط تقسیم بخش را مشخص کنید ABبه ترتیب زیر: باو D.با توجه به وظیفه |AC| = |CD| = |DB|.بنابراین، نکته بابخش را تقسیم می کند ABدر یک رابطه . با استفاده از فرمول (1.7)، مختصات نقطه C را پیدا می کنیم:

با فرمول (1.8) مختصات نقطه را پیدا می کنیم D- وسط بخش SW:

یعنی نقطه D مختصاتی دارد: .

مثال 6:در نقاط , ,, توده ها بر این اساس متمرکز می شوند متر 1 , متر 2 , متر 3 , متر 4 . مختصات مرکز ثقل سیستم این توده ها را بیابید.

راه حل:

همانطور که از درس فیزیک مشخص است، مرکز ثقل توده ها متر 1 و متر 2 در نقاط قرار گرفته است آو که در،بخش را تقسیم می کند ABبه قطعاتی که نسبت معکوس با جرمهای متمرکز در انتهای بخش () دارد. بر این اساس ابتدا مرکز ثقل سیستم دو جرمی را پیدا می کنیم متر 1 و متر 2 در نقاط قرار گرفته است آ 1 و آ 2 :

, ,.

مرکز ثقل یک سیستم سه جرمی متر 1 و متر 2 و متر 3 () به طور مشابه می یابیم:

, ,.

ما در نهایت مرکز ثقل سیستم سه جرمی را پیدا می کنیممتر 1 , متر 2 , متر 3 ومتر 4 :

, ,.

سوالات برای کنترل:

یک سیستم مختصات مستطیلی را در هواپیما و تمام اجزای آن توصیف کنید.

مختصات یک نقطه دلخواه در یک صفحه چگونه تعیین می شود؟

برای یافتن p فرمولی بنویسیدفاصله بین دو نقطهبر سطح .

چطوری پیدا کنممختصات نقطه ای که یک قطعه را به یک نسبت معین تقسیم می کند؟

فرمول مختصات نقطه وسط پاره را بنویسید.

فرمولی بنویسید که مساحت یک مثلث را در صورتی که مختصات رئوس آن مشخص باشد محاسبه کند .

سیستم مختصات قطبی را شرح دهید.

شعاع قطبی چیست؟ تا چه حد اندازه گیری می شود؟

زاویه قطبی چیست؟ محدودیت های اندازه گیری آن؟

چگونهمختصات مستطیلی نقطه ای که مختصات قطبی آن مشخص است را پیدا کنید؟

چگونهمختصات قطبی نقطه ای را که مختصات مستطیلی آن مشخص است پیدا کنید؟

چطوری پیدا کنمفاصله بین نقاط در سیستم مختصات قطبی؟

یک سیستم مختصات مستطیلی در فضا و تمام اجزای آن را شرح دهید.

چگونه مختصات یک نقطه در فضا را تعیین کنیم؟

فرمول پیدا کردن فاصله بین دو نقطه در فضا را بنویسید.

فرمول هایی را برای یافتن مختصات یک نقطه تقسیم کننده یک قطعه به نسبت معین برای یک سیستم مختصات سه بعدی بنویسید.

برای استفاده از روش مختصات باید فرمول ها را به خوبی بشناسید. سه تا از آنها موجود است:

در نگاه اول، تهدید آمیز به نظر می رسد، اما فقط کمی تمرین - و همه چیز عالی کار خواهد کرد.

وظیفه. کسینوس زاویه بین بردارهای a = (4; 3; 0) و b = (0; 12; 5) را بیابید.

راه حل. از آنجایی که مختصات بردارها به ما داده شده است، آنها را در فرمول اول جایگزین می کنیم:

وظیفه. برای صفحه ای که از نقاط M = (2; 0; 1)، N = (0; 1; 1) و K = (2; 1; 0) عبور می کند، معادله بنویسید، اگر مشخص باشد که از نقاط عبور نمی کند. خاستگاه.

راه حل. معادله کلی هواپیما: Ax + By + Cz + D = 0، اما از آنجایی که صفحه مورد نظر از مبدأ عبور نمی کند - نقطه (0; 0; 0) - D = 1 را تنظیم می کنیم. از آنجایی که این صفحه عبور می کند. از طریق نقاط M، N و K، سپس مختصات این نقاط باید معادله را به یک برابری عددی واقعی تبدیل کند.

اجازه دهید مختصات نقطه M = (2; 0; 1) را به جای x، y و z جایگزین کنیم. ما داریم:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

به طور مشابه، برای نقاط N = (0; 1; 1) و K = (2; 1; 0) معادلات را به دست می آوریم:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

پس ما سه معادله و سه مجهول داریم. ما سیستم معادلات را می سازیم و حل می کنیم:

دریافتیم که معادله هواپیما به شکل زیر است: − 0.25x − 0.5y − 0.5z + 1 = 0.

وظیفه. صفحه با معادله 7x − 2y + 4z + 1 = 0 به دست می آید. مختصات بردار عمود بر صفحه داده شده را بیابید.

راه حل. با استفاده از فرمول سوم، n = (7؛ − 2؛ 4) را دریافت می کنیم - همین!

محاسبه مختصات بردارها

اما اگر بردار در مشکل وجود نداشته باشد - فقط نقاطی روی خطوط مستقیم وجود دارد و باید زاویه بین این خطوط مستقیم را محاسبه کرد؟ ساده است: با دانستن مختصات نقاط - ابتدا و انتهای بردار - می توانید مختصات خود بردار را محاسبه کنید.

برای یافتن مختصات یک بردار باید مختصات ابتدا را از مختصات انتهای آن کم کرد.

این قضیه به طور مساوی در صفحه و در فضا کار می کند. عبارت "تفریق مختصات" به این معنی است که مختصات x نقطه دیگر از مختصات x یک نقطه کم می شود، سپس باید همین کار را با مختصات y و z انجام داد. در اینجا چند نمونه آورده شده است:

وظیفه. سه نقطه در فضا وجود دارد که با مختصات آنها داده می شود: A = (1؛ 6؛ 3)، B = (3؛ − 1؛ 7) و C = (− 4؛ 3؛ − 2). مختصات بردارهای AB، AC و BC را پیدا کنید.

بردار AB را در نظر بگیرید: ابتدای آن در نقطه A و انتهای آن در نقطه B است بنابراین برای یافتن مختصات آن باید مختصات نقطه A را از مختصات نقطه B کم کنید:
AB = (3 - 1؛ - 1 - 6؛ 7 - 3) = (2؛ - 7؛ 4).

به طور مشابه، ابتدای بردار AC همچنان همان نقطه A است، اما انتهای آن نقطه C است. بنابراین، داریم:
AC = (- 4 − 1؛ 3 − 6؛ − 2 − 3) = (− 5؛ − 3؛ − 5).

در نهایت برای یافتن مختصات بردار BC لازم است مختصات نقطه B را از مختصات نقطه C کم کنیم:
قبل از میلاد = (- 4 − 3؛ 3 − (− 1؛ − 2 − 7) = (− 7؛ 4؛ − 9).

پاسخ: AB = (2; − 7; 4); AC = (-5;-3;-5); قبل از میلاد = (-7؛ 4؛ − 9)

به محاسبه مختصات آخرین بردار BC توجه کنید: بسیاری از افراد هنگام کار با اعداد منفی اشتباه می کنند. این در مورد متغیر y صدق می کند: نقطه B دارای مختصات y = - 1 است و نقطه C دارای y = 3 است. ما دقیقاً 3 - (- 1) = 4 و نه 3 - 1، همانطور که بسیاری از مردم فکر می کنند، دریافت می کنیم. چنین اشتباهات احمقانه ای را مرتکب نشوید!

محاسبه بردارهای جهت برای خطوط مستقیم

اگر مسئله C2 را با دقت بخوانید، با تعجب متوجه خواهید شد که هیچ بردار در آنجا وجود ندارد. فقط خطوط مستقیم و هواپیما وجود دارد.

بیایید با خطوط مستقیم شروع کنیم. همه چیز در اینجا ساده است: در هر خط حداقل دو نقطه متفاوت وجود دارد و برعکس، هر دو نقطه متفاوت یک خط واحد را تعریف می کنند ...

آیا کسی می فهمد که در پاراگراف قبلی چه نوشته شده است؟ من خودم آن را متوجه نشدم، بنابراین آن را ساده تر توضیح می دهم: در مسئله C2، خطوط همیشه با یک جفت نقطه داده می شوند. اگر یک سیستم مختصات معرفی کنیم و یک بردار با ابتدا و انتهای این نقاط در نظر بگیریم، به اصطلاح بردار هدایت کننده برای یک خط مستقیم به دست می آید:

چرا این وکتور مورد نیاز است؟ نکته این است که زاویه بین دو خط مستقیم، زاویه بین بردارهای جهت آنها است. بنابراین، ما از خطوط مستقیم غیرقابل درک به بردارهای خاصی می رویم که مختصات آنها به راحتی محاسبه می شود. چقدر راحت به نمونه ها دقت کنید:

وظیفه. خطوط AC و BD 1 در مکعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 رسم شده اند. مختصات بردارهای جهت این خطوط را بیابید.

از آنجایی که طول لبه های مکعب در شرط مشخص نشده است، ما AB = 1 را تنظیم می کنیم. اجازه دهید یک سیستم مختصات با مبدأ در نقطه A و محورهای x، y، z در امتداد خطوط AB، AD و AA معرفی کنیم. 1 به ترتیب. قطعه واحد برابر با AB = 1 است.

حال بیایید مختصات بردار جهت خط مستقیم AC را پیدا کنیم. ما به دو نقطه نیاز داریم: A = (0; 0; 0) و C = (1; 1; 0). از اینجا مختصات بردار AC = (1 - 0؛ 1 - 0؛ 0 - 0) = (1؛ 1؛ 0) را دریافت می کنیم - این بردار جهت است.

حالا بیایید به خط مستقیم BD 1 بپردازیم. همچنین دارای دو نقطه است: B = (1; 0; 0) و D 1 = (0; 1; 1). ما بردار جهت BD 1 = (0 - 1؛ 1 - 0؛ 1 - 0) = (- 1؛ 1؛ 1) را دریافت می کنیم.

پاسخ: AC = (1; 1; 0)؛ BD 1 = (- 1; 1; 1)

وظیفه. در یک منشور مثلثی منظم ABCA 1 B 1 C 1 که تمام لبه های آن برابر با 1 است، خطوط مستقیم AB 1 و AC 1 رسم می شوند. مختصات بردارهای جهت این خطوط را بیابید.

اجازه دهید یک سیستم مختصات را معرفی کنیم: مبدأ در نقطه A است، محور x منطبق بر AB، محور z منطبق بر AA 1 است، محور y صفحه OXY را با محور x تشکیل می دهد که منطبق با ABC است. سطح.

ابتدا به خط مستقیم AB 1 می پردازیم. همه چیز در اینجا ساده است: ما نقاط A = (0؛ 0؛ 0) و B 1 = (1؛ 0؛ 1) داریم. بردار جهت AB 1 = (1 - 0؛ 0 - 0؛ 1 - 0) = (1؛ 0؛ 1) را دریافت می کنیم.

حالا بیایید بردار جهت AC 1 را پیدا کنیم. همه چیز یکسان است - تنها تفاوت این است که نقطه C 1 دارای مختصات غیر منطقی است. بنابراین، A = (0؛ 0؛ 0)، بنابراین داریم:

پاسخ: AB 1 = (1; 0; 1);

یک نکته کوچک اما بسیار مهم در مورد آخرین مثال. اگر ابتدای بردار با مبدا منطبق باشد، محاسبات بسیار ساده می شود: مختصات بردار به سادگی با مختصات پایان برابر است. متأسفانه، این فقط برای بردارها صادق است. به عنوان مثال، هنگام کار با هواپیما، وجود مبدا مختصات روی آنها فقط محاسبات را پیچیده می کند.

محاسبه بردارهای عادی برای هواپیماها

بردارهای عادی بردارهایی نیستند که عملکرد خوبی داشته باشند یا احساس خوبی داشته باشند. طبق تعریف، یک بردار نرمال (نرمال) به یک صفحه، بردار عمود بر صفحه داده شده است.

به عبارت دیگر، یک نرمال بردار عمود بر هر بردار در یک صفحه معین است. مطمئناً شما با چنین تعریفی برخورد کرده اید - با این حال، به جای بردارها، در مورد خطوط مستقیم بود. با این حال، درست بالاتر از آن نشان داده شد که در مسئله C2 می توان با هر شی مناسب - حتی یک خط مستقیم، حتی یک بردار - کار کرد.

اجازه دهید یک بار دیگر به شما یادآوری کنم که هر صفحه در فضا با معادله Ax + By + Cz + D = 0 تعریف می شود، که در آن A، B، C و D برخی از ضرایب هستند. بدون کاهش کلیت راه حل، می توانیم D = 1 را اگر صفحه از مبدا عبور نمی کند، یا D = 0 را اگر عبور می کند، فرض کنیم. در هر صورت، مختصات بردار نرمال به این صفحه n = (A; B; C) است.

بنابراین، هواپیما همچنین می تواند با موفقیت با یک بردار جایگزین شود - همان عادی. هر صفحه ای در فضا با سه نقطه تعریف می شود. چگونگی پیدا کردن معادله هواپیما (و از این رو نرمال) را قبلاً در ابتدای مقاله مورد بحث قرار داده ایم. با این حال، این فرآیند برای بسیاری مشکلات ایجاد می کند، بنابراین من چند مثال دیگر می زنم:

وظیفه. بخش A 1 BC 1 در مکعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ترسیم شده است. اگر مبدأ در نقطه A باشد و محورهای x، y و z به ترتیب با یال های AB، AD و AA 1 منطبق باشند، بردار نرمال صفحه این بخش را بیابید.

از آنجایی که هواپیما از مبدا عبور نمی کند، معادله آن به این صورت است: Ax + By + Cz + 1 = 0، یعنی. ضریب D \u003d 1. از آنجایی که این هواپیما از نقاط A 1، B و C 1 می گذرد، مختصات این نقاط، معادله هواپیما را به تساوی عددی صحیح تبدیل می کند.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

به طور مشابه، برای نقاط B = (1؛ 0؛ 0) و C 1 = (1؛ 1؛ 1) معادلات را به دست می آوریم:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

اما ضرایب A = - 1 و C = - 1 از قبل برای ما شناخته شده است، بنابراین باید ضریب B را پیدا کنیم:
B = - 1 - A - C = - 1 + 1 + 1 = 1.

معادله صفحه را بدست می آوریم: - A + B - C + 1 = 0، بنابراین، مختصات بردار نرمال n = (- 1؛ 1؛ - 1) است.

وظیفه. یک بخش AA 1 C 1 C در مکعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 رسم شده است. اگر مبدأ در نقطه A باشد و محورهای x، y و z منطبق بر صفحه این بخش باشند، بردار نرمال صفحه را بیابید. لبه های AB، AD و AA 1 به ترتیب.

در این مورد، هواپیما از مبدأ عبور می کند، بنابراین ضریب D \u003d 0، و معادله هواپیما به این صورت است: Ax + By + Cz \u003d 0. از آنجایی که هواپیما از نقاط A 1 و C عبور می کند، مختصات این نقاط معادله صفحه را به برابری عددی صحیح تبدیل می کند.

اجازه دهید مختصات نقطه A 1 = (0; 0; 1) را به جای x، y و z جایگزین کنیم. ما داریم:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

به طور مشابه، برای نقطه C = (1; 1; 0) معادله را بدست می آوریم:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B;

فرض کنید B = 1. سپس A = - B = - 1، و معادله کل صفحه است: - A + B = 0. بنابراین، مختصات بردار نرمال n = (- 1؛ 1؛ 0) است.

به طور کلی، در مسائل فوق باید یک سیستم معادلات ایجاد کرد و آن را حل کرد. سه معادله و سه متغیر وجود خواهد داشت، اما در حالت دوم یکی از آنها آزاد خواهد بود، یعنی. مقادیر دلخواه را بگیرید به همین دلیل است که ما حق داریم B = 1 - بدون لطمه به کلیت راه حل و درستی پاسخ قرار دهیم.

اغلب در مسئله C2 باید با نقاطی کار کرد که بخش را به نصف تقسیم می کنند. مختصات چنین نقاطی به راحتی محاسبه می شود اگر مختصات انتهای قطعه مشخص باشد.

بنابراین، اجازه دهید بخش با انتهای آن داده شود - نقاط A \u003d (x a; y a; z a) و B \u003d (x b; y b; z b). سپس مختصات وسط قطعه - ما آن را با نقطه H نشان می دهیم - می توان با فرمول پیدا کرد:

به عبارت دیگر، مختصات وسط یک پاره، میانگین حسابی مختصات انتهای آن است.

وظیفه. مکعب واحد ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 در سیستم مختصات قرار می گیرد به طوری که محورهای x، y و z به ترتیب در امتداد لبه های AB، AD و AA 1 هدایت می شوند و مبدأ با نقطه A منطبق است. نقطه K نقطه وسط یال A 1 B 1 است. مختصات این نقطه را بیابید.

از آنجایی که نقطه K وسط پاره A 1 B 1 است، مختصات آن برابر است با میانگین حسابی مختصات انتهایی. بیایید مختصات انتهایی را بنویسیم: A 1 = (0; 0; 1) و B 1 = (1; 0; 1). حالا مختصات نقطه K را پیدا می کنیم:

وظیفه. مکعب واحد ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 در سیستم مختصات قرار می گیرد به طوری که محورهای x، y و z به ترتیب در امتداد لبه های AB، AD و AA 1 هدایت می شوند و مبدأ با نقطه A منطبق است. مختصات را پیدا کنید. از نقطه L که در آن قطرهای مربع A 1 B 1 C 1 D 1 را قطع می کنند.

از درس پلان سنجی مشخص می شود که نقطه تلاقی قطرهای یک مربع از تمام رئوس آن فاصله دارد. به طور خاص، A 1 L = C 1 L، i.e. نقطه L نقطه وسط قطعه A 1 C 1 است. اما A 1 = (0; 0; 1)، C 1 = (1; 1; 1)، بنابراین داریم:

پاسخ: L = (0.5; 0.5; 1)

تست درس هندسه پایه یازدهم

موضوع: "روش مختصات در فضا».

هدف: بررسی دانش نظری دانش‌آموزان، مهارت‌ها و توانایی‌های آنها برای به کارگیری این دانش در حل مسائل به روش‌های برداری، بردار-مختصات.

وظایف:

1 ایجاد شرایط برای کنترل (خودکنترلی، کنترل متقابل) جذب دانش و مهارت.

2. تفکر ریاضی، گفتار، توجه را توسعه دهید.

3. برای ارتقاء فعالیت، تحرک، توانایی برقراری ارتباط، فرهنگ عمومی دانش آموزان.

فرم انجام: کار گروهی.

تجهیزات و منابع اطلاعاتی: صفحه نمایش، پروژکتور چند رسانه ای، صفحه گسترده، کارت های اعتباری، تست ها.

در طول کلاس ها

1. لحظه بسیج.

درس استفاده از CSR. دانش آموزان به 3 گروه پویا تقسیم می شوند که در آن دانش آموزان با سطح قابل قبول، بهینه و پیشرفته تقسیم می شوند. هر گروه یک هماهنگ کننده دارد که کار کل گروه را مدیریت می کند.

2 . خود تعیینی دانش آموزان بر اساس پیش بینی.

وظیفه:هدف گذاری بر اساس طرح: به خاطر سپردن-یادگیری-توانست.

آزمون ورودی - جاهای خالی را پر کنید (در چاپ شده)

آزمون ورودی

پر کردن شکاف…

1. سه خط عمود بر جفت از یک نقطه در فضا رسم می شود

ما، روی هر یک از آنها، جهت و واحد اندازه گیری قطعات انتخاب می شود،

بعد می گویند تنظیم شده است …………. در فضای.

2. خطوط مستقیم با جهت انتخاب شده بر روی آنها …………………..،

و نقطه مشترک آنها ……………. .

3. در یک سیستم مختصات مستطیلی، هر نقطه M از فضا با سه عدد از اعداد مرتبط است که آن را ……………………..

4. مختصات یک نقطه در فضا را ……………………..

5. برداری که طول آن برابر با یک باشد ……………..

6. بردارها منyکنامیده می شوند………….

7. شانس ایکسyzدر تجزیه آ= ایکسمن + yj + zکتماس گرفت

………………بردار آ .

8. هر مختصات از مجموع دو یا چند بردار برابر است با ………………..

9. هر مختصات اختلاف دو بردار برابر است با ……………….

10. هر مختصات حاصل ضرب یک بردار و یک عدد برابر است با …………………..

11. هر مختصات بردار برابر است با …………….

12. هر مختصات وسط پاره برابر است با ……………….

13. طول برداری آ { ایکسyz) با فرمول ………………………

14. فاصله بین نقاط M 1(ایکس 1 ; y 1; z 1) و م 2 (ایکس 2; y 2 ; z2) با فرمول ………………………….

15. حاصل ضرب اسکالر دو بردار را………………..

16. حاصل ضرب اسکالر بردارهای غیر صفر برابر با صفر است…………………..

17. حاصل ضرب نقطه ای بردارهاآ{ ایکس 1; y 1; z 1} ب { ایکس 2 ; y 2 ; z 2) در بیان شده با فرمول…………………

تایید متقابل آزمون ورودی. پاسخ به وظایف آزمون بر روی صفحه نمایش.

معیارهای ارزیابی:

1-2 اشتباه - "5"

3-4 خطا - "4"

5-6 خطا - "3"

در موارد دیگر - "2"

3. انجام کار (برای کارت).

هر کارت شامل دو وظیفه است: شماره 1 - نظری با اثبات، شماره 2 شامل وظایف است.

میزان دشواری وظایف موجود در کار را توضیح دهید. گروه یک کار را انجام می دهد، اما دارای 2 قسمت است. هماهنگ کننده گروه کار کل گروه را مدیریت می کند. بحث در مورد اطلاعات یکسان با چندین شریک، مسئولیت را نه تنها در قبال موفقیت های خود، بلکه در مورد نتایج کار جمعی نیز افزایش می دهد، که تأثیر مثبتی بر اقلیم خرد در تیم دارد.

کارت شماره 1

1. فرمول هایی استخراج کنید که مختصات وسط پاره را بر حسب مختصات انتهای آن بیان می کند.

2. وظیفه: 1) امتیاز A (-3؛ 1؛ 2) و B (1؛ -1؛ 2) داده شده است.

پیدا کردن:

الف) مختصات نقطه میانی قطعه AB

ب) مختصات و طول بردار AB

2) مکعب ABCDA1 B1 C1 D1 داده شده است. با استفاده از روش مختصات، زاویه را پیدا کنید

بین خطوط AB1 و A1 D.

کارت شماره 2

فرمولی برای محاسبه طول یک بردار از مختصات آن بدست آورید.

وظیفه: 1) امتیاز داده شده M(-4; 7; 0)،ن(0؛ -1؛ 2). فاصله مبدا مختصات تا وسط پاره M را پیدا کنیدن.

→ → → → →

2) داده های برداری آو ب. پیدا کردن b(a+b)اگر a(-2;3;6)،b=6i-8k

کارت شماره 3

فرمولی برای محاسبه فاصله بین نقاط با مختصات داده شده استخراج کنید.

وظیفه: 1) امتیاز A(2;1;-8)، B(1;-5;0)، C(8;1;-4) داده شده است.

ثابت کنید که ∆ABC متساوی الساقین است و طول خط وسط مثلثی که وسط اضلاع را به هم وصل می کند را پیدا کنید.

2) زاویه بین خطوط مستقیم AB و SD را در صورت A(1;1;0) محاسبه کنید.

B(3;-1;2)، D(0;1;0).

کارت شماره 4

فرمول کسینوس زاویه بین بردارهای غیر صفر را با مختصات داده شده استخراج کنید.

وظیفه: 1) مختصات سه راس متوازی الاضلاع ABCD داده شده است:

A(-6;-;4;0)، B(6;-6;2)، C(10;0;4). مختصات نقطه D را پیدا کنید.

2) زاویه بین خطوط AB و CD را پیدا کنید، اگر A (1؛ 1؛ 2)، B (0؛ 1؛ 1)، C (2؛ -2؛ 2)، D (2؛ -3؛ 1) .

کارت شماره 5

به ما بگویید چگونه با استفاده از بردارهای جهت این خطوط، زاویه بین دو خط در فضا را محاسبه کنیم. →→

وظیفه: 1) حاصل ضرب اسکالر بردارها را بیابیدآو ب، اگر:

→ → → ^ →

الف) | آ| =4; | ب| =√3 (آب)=30◦

ب) آ {2 ;-3; 1}, ب = 3 من +2 ک

2) امتیاز A(0;4;0)، B(2;0;0)، C(4;0;4) و D(2;4;4) داده شده است. ثابت کنید که ABCD لوزی است.

4. بررسی کار گروه های پویا روی کارت ها.

ما به صحبت های نمایندگان گروه ها گوش می دهیم. کار گروه ها توسط معلم با مشارکت دانش آموزان ارزیابی می شود.

5. انعکاس. نمرات برای اعتبار.

آزمون نهایی با انتخاب پاسخ (در چاپ).

1) بردارها داده شده است آ {2 ;-4 ;3} ب(-3؛ ─ ؛ 1). مختصات برداری را پیدا کنید

→ 2

ج = آ+ ب

الف) (-5؛ 3 -؛ 4)؛ ب) (-1؛ -3.5؛ 4) ج) (5؛ -4 -؛ 2) د) (-1؛ 3.5؛ -4)

2) بردارها داده شده است آ(4؛ -3؛ 5) و ب(-3؛ 1؛ 2). مختصات برداری را پیدا کنید

سی=2 آ – 3 ب

الف) (7;-2;3)؛ ب) (11؛ -7؛ 8); ج) (17؛ -9؛ 4); د) (-1؛ -3؛ 4).

→ → → → → →

3) حاصل ضرب اسکالر بردارها را محاسبه کنیدمترو n، اگر متر = آ + 2 ب- ج

→ → → → →^ → → → → →

n= 2 آ - باگر | آ|=2 , ‌| ب |=3, (آب‌)=60 درجه، ج ┴ آ , ج ┴ ب.

الف)-1؛ ب) -27; در 1؛ د) 35.

4) طول برداری آ { ایکسyz) برابر با 5 است. مختصات بردار a را بیابیدایکس=2, z=-√5

الف) 16؛ ب) 4 یا -4؛ ساعت 9؛ د) 3 یا -3.

5) ناحیه ∆ABC را در صورت A(1;-1;3) بیابید. B(3;-1;1) و C(-1;1;-3).

الف) 4√3; ب) √3; ج) 2√3; د) √8.

آزمون اعتبار سنجی متقابل کدهای پاسخ به تست وظایف روی صفحه: 1(b); 2 (ج)؛

3 (الف)؛ 4 (ب)؛ 5 (ج).

معیارهای ارزیابی:

همه چیز درست است - "5"

1 اشتباه - "4"

2 خطا - "3"

در موارد دیگر - "2"

جدول دانش دانش آموزان

کار کنید

کارت ها

نهایی

تست

امتیاز اعتباری

وظایف

تئوری

تمرین

1 گروه

2 گروه

3 گروه

ارزیابی آمادگی دانش آموزان برای آزمون.

برای استفاده از پیش نمایش ارائه ها، یک حساب Google (حساب) ایجاد کنید و وارد شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلایدها:

سیستم مختصات مستطیلی در فضا مختصات برداری

سیستم مختصات مستطیلی

اگر سه خط عمود بر جفت از یک نقطه در فضا رسم شود، برای هر یک از آنها جهت انتخاب شود و یک واحد اندازه گیری پاره ها انتخاب شود، آنگاه می گویند که یک سیستم مختصات مستطیلی در فضا تنظیم شده است.

خطوط مستقیم با جهت انتخاب شده بر روی آنها محور مختصات و نقطه مشترک آنها مبدا مختصات نامیده می شود. معمولاً با حرف O نشان داده می شود. محورهای مختصات به صورت زیر نشان داده می شوند: Ox، Oy، O z - و دارای نام هایی هستند: محور abscissa، محور y، محور کاربردی.

کل سیستم مختصات را Oxy z نشان می دهند. صفحاتی که به ترتیب از محورهای مختصات Ox و Oy، Oy و O z، O z و Ox عبور می کنند، صفحات مختصات نامیده می شوند و Oxy، Oy z، O z x نشان داده می شوند.

نقطه O هر یک از محورهای مختصات را به دو پرتو تقسیم می کند. پرتویی که جهت آن با جهت محور منطبق است، نیم محور مثبت و پرتوی دیگر، نیم محور منفی نامیده می شود.

در یک سیستم مختصات مستطیلی، هر نقطه M از فضا با یک عدد سه گانه مرتبط است که مختصات آن نامیده می شود.

شکل شش نقطه A (9؛ 5؛ 10)، B (4؛ -3؛ 6)، C (9؛ 0؛ 0)، D (4؛ 0؛ 5)، E (0؛ 3؛ 0) را نشان می دهد. ، F(0; 0; -3).

مختصات برداری

هر بردار را می توان به بردارهای مختصات تجزیه کرد، یعنی به شکلی نشان داده شود که ضرایب بسط x، y، z به طور منحصر به فرد تعیین می شود.

ضرایب x، y و z در بسط یک بردار بر حسب بردار مختصات، مختصات بردار در سیستم مختصات داده شده نامیده می شود.

قوانینی را در نظر بگیرید که به ما امکان می دهد مختصات حاصل جمع و تفاوت آنها و همچنین مختصات حاصلضرب یک بردار معین را با استفاده از مختصات این بردارها پیدا کنیم.

10 . هر مختصات از مجموع دو یا چند بردار برابر است با مجموع مختصات متناظر این بردارها. به عبارت دیگر، اگر a (x 1، y 1، z 1) و b (x 2، y 2، z 2 ) بردار داده شوند، بردار a + b دارای مختصاتی است (x 1 + x 2، y 1 + y 2، z 1 + z 2).

20 . هر مختصات اختلاف دو بردار برابر است با اختلاف مختصات متناظر این بردارها. به عبارت دیگر، اگر a (x 1، y 1، z 1) و b (x 2 y 2؛ z 2) بردار داده شوند، بردار a - b دارای مختصاتی است (x 1 - x 2، y 1 - y 2، z 1 - z 2).

سی . هر مختصات حاصل ضرب یک بردار با یک عدد برابر است با حاصل ضرب مختصات مربوط به آن بردار با آن عدد. به عبارت دیگر، اگر a (x؛ y؛ x) یک بردار معین باشد، α یک عدد معین است، پس بردار α a دارای مختصاتی است (αx؛ αy؛ α z).

با موضوع: تحولات روش شناختی، ارائه ها و یادداشت ها

جزوه آموزشی "مجموعه یادداشت برای دانش آموزان با موضوع "روش مختصات در فضا" برای اجرای دروس به صورت سخنرانی هندسه پایه 10-11 ....

هدف درس: آزمایش دانش، مهارت ها و توانایی های دانش آموزان با موضوع "استفاده از روش مختصات در فضا برای حل تکالیف C2 USE." نتایج آموزشی برنامه ریزی شده: دانش آموزان نشان می دهند: ...

ماهیت روش مختصات برای حل مسائل هندسی

ماهیت حل مسائل با استفاده از روش مختصات این است که یک سیستم مختصاتی را معرفی کنیم که در یک مورد برای ما راحت باشد و همه داده ها را با استفاده از آن بازنویسی کنیم. پس از آن، تمام مقادیر یا اثبات های ناشناخته با استفاده از این سیستم نگهداری می شوند. نحوه وارد کردن مختصات نقاط در هر سیستم مختصات توسط ما در مقاله دیگری مورد بحث قرار گرفت - ما در اینجا در این مورد صحبت نمی کنیم.

اجازه دهید ادعاهای اصلی که در روش مختصات استفاده می شود را معرفی کنیم.

بیانیه 1:مختصات بردار با تفاوت بین مختصات متناظر انتهای این بردار و ابتدای آن مشخص خواهد شد.

بیانیه 2:مختصات نقطه میانی پاره به صورت نصف مجموع مختصات مربوطه مرزهای آن تعریف می شود.

بیانیه 3:طول هر بردار $\overline(δ)$ با مختصات داده شده $(δ_1,δ_2,δ_3)$ با فرمول تعیین می شود

$|\overline(δ)|=\sqrt(δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2)$

بیانیه 4:فاصله بین هر دو نقطه داده شده توسط مختصات $(δ_1,δ_2,δ_3)$ و $(β_1,β_2,β_3)$ با فرمول تعیین می شود.

$d=\sqrt((δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2)$

طرح حل مسائل هندسی با استفاده از روش مختصات

برای حل مسائل هندسی با استفاده از روش مختصات، بهتر است از این طرح استفاده کنید:

آنچه در مسئله آمده است را تجزیه و تحلیل کنید:

• مناسب ترین سیستم مختصات را برای کار تنظیم کنید.
• از نظر ریاضی، شرط مسئله، سؤال مسئله نوشته شده است، یک نقاشی برای این مسئله ساخته شده است.

1. تمام داده های مسئله را در مختصات سیستم مختصات انتخاب شده بنویسید.

2. روابط لازم را از شرط مسئله بنویسید و همچنین این روابط را با آنچه که باید پیدا شود (در مسئله اثبات شده) مرتبط کنید.
3. نتیجه به دست آمده به زبان هندسه ترجمه می شود.

نمونه هایی از مسائل حل شده با روش مختصات

وظایف زیر را می توان به عنوان وظایف اصلی منتهی به روش مختصات مشخص کرد (راه حل آنها در اینجا ارائه نخواهد شد):

1. وظایف برای یافتن مختصات یک بردار در انتهای و ابتدای آن.
2. وظایف مربوط به تقسیم یک بخش از هر نظر.
3. اثبات اینکه سه نقطه روی یک خط قرار دارند یا اینکه چهار نقطه روی یک صفحه قرار دارند.
4. وظایف برای یافتن فاصله بین دو نقطه داده شده.
5. مسائل مربوط به یافتن حجم و مساحت اشکال هندسی.

نتایج حل مسائل اول و چهارم توسط ما به عنوان عبارات اصلی بالا ارائه شده است و اغلب برای حل مسائل دیگر با استفاده از روش مختصات استفاده می شود.

نمونه هایی از وظایف برای اعمال روش مختصات

مثال 1

ضلع هرم منظمی را پیدا کنید که ارتفاع آن 3 دلار سانتی متر است اگر ضلع قاعده 4 دلار سانتی متر باشد.

اجازه دهید یک هرم منظم $ABCDS$ به ما داده شود که ارتفاع آن $SO$ است. بیایید یک سیستم مختصات را مانند شکل 1 معرفی کنیم.

از آنجایی که نقطه $A$ مرکز سیستم مختصاتی است که ما ساخته ایم، پس

از آنجایی که نقاط $B$ و $D$ به ترتیب متعلق به محورهای $Ox$ و $Oy$ هستند، پس

$B=(4,0,0)$, $D=(0,4,0)$

از آنجایی که نقطه $C$ متعلق به صفحه $Oxy$ است، پس

از آنجایی که هرم منظم است، پس $O$ نقطه وسط بخش $$ است. طبق بیانیه 2، دریافت می کنیم:

$O=(\frac(0+4)(2)،\frac(0+4)(2)،\frac(0+0)(2))=(2،2،0)$

از آنجایی که ارتفاع $SO$