Calcul de l'écart par rapport à la moyenne. Qu'est-ce que l'écart type - utiliser la fonction d'écart type pour calculer l'écart type dans Excel

X je - variables aléatoires (actuelles);

X– la valeur moyenne des variables aléatoires de l'échantillon est calculée à l'aide de la formule :

Donc, la variance est le carré moyen des écarts . Autrement dit, la valeur moyenne est d'abord calculée, puis prise la différence entre chaque valeur originale et moyenne est au carré , est ajouté puis divisé par le nombre de valeurs dans la population.

La différence entre une valeur individuelle et la moyenne reflète la mesure de l'écart. Au carré pour que tous les écarts deviennent exclusivement nombres positifs et éviter la destruction mutuelle des écarts positifs et négatifs lors de leur synthèse. Ensuite, étant donné les carrés des écarts, on calcule simplement la moyenne arithmétique.

La réponse au mot magique « dispersion » réside dans ces trois mots : moyenne – carré – écarts.

Moyenne écart-type(RMS)

Extraire de la variance Racine carrée, nous obtenons ce qu'on appelle « écart-type". Il y a des noms "écart type" ou "sigma" (du nom de la lettre grecque σ .). La formule de l'écart type est la suivante :

Donc, la dispersion est le sigma au carré ou l’écart type au carré.

L'écart type caractérise évidemment également la mesure de la dispersion des données, mais désormais (contrairement à la dispersion), il peut être comparé aux données d'origine, car elles ont les mêmes unités de mesure (cela ressort clairement de la formule de calcul). La plage de variation est la différence entre les valeurs extrêmes. L'écart type, en tant que mesure de l'incertitude, est également impliqué dans de nombreux calculs statistiques. Avec son aide, le degré d'exactitude de diverses estimations et prévisions est déterminé. Si la variation est très importante, alors l'écart type sera également important et la prévision sera donc inexacte, ce qui sera exprimé, par exemple, dans des intervalles de confiance très larges.

Par conséquent, dans les méthodes de traitement des données statistiques dans les évaluations immobilières, en fonction de la précision requise de la tâche, la règle des deux ou trois sigma est utilisée.

Pour comparer la règle des deux sigma et la règle des trois sigma, nous utilisons la formule de Laplace :

F-F,

où Ф(x) est la fonction de Laplace ;

Valeur minimum

β = valeur maximum

s = valeur sigma (écart type)

a = moyenne

Dans ce cas, on utilise vue privée Formule de Laplace lorsque les limites des valeurs α et β Variable aléatoire X sont également espacés du centre de la distribution a = M(X) d'une certaine quantité d : a = a-d, b = a+d.

(1) La formule (1) détermine la probabilité d'un écart donné d d'une variable aléatoire X avec une loi de distribution normale à partir de son espérance mathématique M(X) = a. Si dans la formule (1) on prend séquentiellement d = 2s et d = 3s, on obtient : (2), (3).

Règle de deux sigma

Il peut être presque fiable (avec une probabilité de confiance de 0,954) que toutes les valeurs d'une variable aléatoire X avec une loi de distribution normale s'écartent de son espérance mathématique M(X) = a d'un montant ne dépassant pas 2s (deux écarts types ). La probabilité de confiance (Pd) est la probabilité d'événements conventionnellement acceptés comme fiables (leur probabilité est proche de 1).

Illustrons géométriquement la règle des deux sigmas. En figue. La figure 6 montre une courbe gaussienne avec le centre de distribution a. L'aire délimitée par toute la courbe et l'axe Ox est 1 (100 %), et l'aire trapèze courbé entre les abscisses a–2s et a+2s, selon la règle des deux sigma, est égal à 0,954 (95,4 % de la surface totale). La superficie des zones ombrées est de 1-0,954 = 0,046 (»5% de la superficie totale). Ces zones sont appelées la région critique de la variable aléatoire. Les valeurs d'une variable aléatoire tombant dans la région critique sont peu probables et, en pratique, sont conventionnellement acceptées comme impossibles.

La probabilité de valeurs conditionnellement impossibles est appelée le niveau de signification d'une variable aléatoire. Le niveau de signification est lié à la probabilité de confiance par la formule :

où q est le niveau de signification exprimé en pourcentage.

Règle des trois sigma

Lors de la résolution de problèmes nécessitant une plus grande fiabilité, lorsque la probabilité de confiance (Pd) est prise égale à 0,997 (plus précisément 0,9973), au lieu de la règle des deux sigma, selon la formule (3), la règle est utilisée trois sigma

Selon règle des trois sigmaà probabilité de confiance 0,9973 la zone critique sera la zone des valeurs d'attribut en dehors de l'intervalle (a-3s, a+3s). Le seuil de signification est de 0,27 %.

Autrement dit, la probabilité que valeur absolue les écarts dépasseront trois fois la moyenne écart-type, est très petit, à savoir égal à 0,0027 = 1-0,9973. Cela signifie que cela ne se produira que dans 0,27 % des cas. De tels événements, fondés sur le principe de l’impossibilité d’événements improbables, peuvent être considérés comme pratiquement impossibles. Ceux. l'échantillonnage est très précis.

C’est l’essence de la règle des trois sigma :

Si une variable aléatoire est distribuée normalement, alors la valeur absolue de son écart par rapport à l'espérance mathématique ne dépasse pas trois fois l'écart type (MSD).

En pratique, la règle des trois sigma est appliquée comme suit : si la distribution de la variable aléatoire étudiée est inconnue, mais que la condition spécifiée dans la règle ci-dessus est remplie, alors il y a des raisons de supposer que la variable étudiée est normalement distribuée. ; sinon, il n'est pas normalement distribué.

Le niveau d'importance est déterminé en fonction du degré de risque autorisé et de la tâche à accomplir. Pour l’évaluation immobilière, un échantillon moins précis est généralement adopté, suivant la règle des deux sigma.

L'écart type en fait partie termes statistiques dans le monde de l'entreprise, ce qui permet d'élever l'autorité des personnes qui ont réussi à tout gâcher lors d'une conversation ou d'une présentation, et laisse un vague malentendu à ceux qui ne savent pas ce que c'est, mais sont gênés de demander. En fait, la plupart des managers ne comprennent pas le concept écart-type et, si vous en faites partie, il est temps pour vous d’arrêter de vivre dans le mensonge. Dans l'article d'aujourd'hui, je vais vous expliquer comment cette mesure statistique sous-estimée peut vous aider à mieux comprendre les données avec lesquelles vous travaillez.

Que mesure l’écart type ?

Imaginez que vous êtes propriétaire de deux magasins. Et pour éviter les pertes, il est important d’avoir un contrôle clair sur les soldes de stocks. Pour tenter de savoir quel gestionnaire gère le mieux les stocks, vous décidez d'analyser les six dernières semaines de stock. Le coût hebdomadaire moyen du stock dans les deux magasins est à peu près le même et s'élève à environ 32 unités conventionnelles. À première vue, le ruissellement moyen montre que les deux gestionnaires ont des performances similaires.

Mais si vous regardez de plus près les activités du deuxième magasin, vous serez convaincu que même si la valeur moyenne est correcte, la variabilité du stock est très élevée (de 10 à 58 USD). Ainsi, nous pouvons conclure que la moyenne n’évalue pas toujours correctement les données. C'est là qu'intervient l'écart type.

L'écart type montre comment les valeurs sont distribuées par rapport à la moyenne dans notre . En d’autres termes, vous pouvez comprendre l’ampleur de la répartition du ruissellement d’une semaine à l’autre.

Dans notre exemple, nous avons utilisé Fonction ExcelÉcart-type pour calculer l'écart-type ainsi que la moyenne.

Dans le cas du premier manager, l’écart type était de 2. Cela nous indique que chaque valeur de l’échantillon s’écarte en moyenne de 2 par rapport à la moyenne. Est-ce bien? Regardons la question sous un angle différent : un écart type de 0 nous indique que chaque valeur de l'échantillon est égale à sa moyenne (dans notre cas, 32,2). Ainsi, un écart type de 2 n’est pas très différent de 0, ce qui indique que la plupart des valeurs sont proches de la moyenne. Plus l’écart type est proche de 0, plus la moyenne est fiable. De plus, un écart type proche de 0 indique une faible variabilité des données. C'est-à-dire qu'une valeur de ruissellement avec un écart type de 2 indique une incroyable cohérence du premier manager.

Dans le cas du deuxième magasin, l’écart type était de 18,9. Autrement dit, le coût du ruissellement s'écarte en moyenne de 18,9 de la valeur moyenne d'une semaine à l'autre. Une propagation folle ! Plus l’écart type est éloigné de 0, moins la moyenne est précise. Dans notre cas, le chiffre de 18,9 indique que la valeur moyenne (32,8 USD par semaine) n'est tout simplement pas fiable. Cela nous indique également que le ruissellement hebdomadaire est très variable.

C’est en un mot le concept d’écart type. Bien qu'il ne donne pas d'informations sur d'autres mesures statistiques importantes (mode, médiane...), l'écart type joue en fait un rôle crucial dans la plupart des calculs statistiques. Comprendre les principes de l’écart type mettra en lumière bon nombre de vos processus métier.

Comment calculer l’écart type ?

Alors maintenant, nous savons ce que dit le nombre d’écart type. Voyons comment il est calculé.

Regardons l'ensemble de données de 10 à 70 par incréments de 10. Comme vous pouvez le voir, j'ai déjà calculé la valeur de l'écart type pour eux à l'aide de la fonction STANDARDEV dans la cellule H2 (en orange).

Vous trouverez ci-dessous les étapes suivies par Excel pour arriver à 21.6.

Veuillez noter que tous les calculs sont visualisés pour une meilleure compréhension. En fait, dans Excel, le calcul se fait instantanément, laissant toutes les étapes en coulisses.

Tout d’abord, Excel trouve la moyenne de l’échantillon. Dans notre cas, la moyenne s'est avérée être de 40, qui est soustraite à l'étape suivante de chaque valeur d'échantillon. Chaque différence obtenue est mise au carré et résumée. Nous obtenons une somme égale à 2800, qui doit être divisée par le nombre d'éléments de l'échantillon moins 1. Puisque nous avons 7 éléments, il s'avère que nous devons diviser 2800 par 6. A partir du résultat obtenu, nous trouvons la racine carrée, ce Le chiffre sera l’écart type.

Pour ceux qui ne comprennent pas tout à fait le principe de calcul de l'écart type par visualisation, je donne une interprétation mathématique de la recherche de cette valeur.

Fonctions de calcul de l'écart type dans Excel

Excel propose plusieurs types de formules d’écart type. Tout ce que vous avez à faire est de taper =STDEV et vous verrez par vous-même.

Il convient de noter que les fonctions STDEV.V et STDEV.G (les première et deuxième fonctions de la liste) dupliquent respectivement les fonctions STDEV et STDEV (les cinquième et sixième fonctions de la liste), qui ont été conservées pour des raisons de compatibilité avec les versions précédentes. versions d'Excel.

En général, la différence entre les terminaisons des fonctions .B et .G indique le principe de calcul de l'écart type de l'échantillon ou population. J'ai déjà expliqué la différence entre ces deux tableaux dans le précédent.

Une particularité des fonctions STANDARDEV et STANDDREV (les troisième et quatrième fonctions de la liste) est que lors du calcul de l'écart type d'un tableau, les valeurs logiques et textuelles sont prises en compte. Le texte et les vraies valeurs booléennes sont 1 et les fausses valeurs booléennes sont 0. Je ne peux pas imaginer une situation où j'aurais besoin de ces deux fonctions, donc je pense qu'elles peuvent être ignorées.

Dans cet article, je parlerai de comment trouver l'écart type. Ce matériel est extrêmement important pour une compréhension complète des mathématiques, c'est pourquoi un tuteur en mathématiques devrait consacrer une leçon distincte, voire plusieurs, à son étude. Dans cet article, vous trouverez un lien vers un didacticiel vidéo détaillé et compréhensible qui explique ce qu'est l'écart type et comment le trouver.

Écart-type permet d'évaluer l'étalement des valeurs obtenues suite à la mesure d'un certain paramètre. Indiqué par le symbole (lettre grecque "sigma").

La formule de calcul est assez simple. Pour trouver l’écart type, vous devez prendre la racine carrée de la variance. Alors maintenant, vous devez vous demander : « Qu’est-ce que la variance ? »

Qu'est-ce que la variance

La définition de la variance est la suivante. La dispersion est la moyenne arithmétique des carrés des écarts des valeurs par rapport à la moyenne.

Pour trouver la variance, effectuez les calculs suivants de manière séquentielle :

Déterminer la moyenne (simple moyenne arithmétique d'une série de valeurs).
Soustrayez ensuite la moyenne de chaque valeur et mettez au carré la différence résultante (vous obtenez différence au carré).
L'étape suivante consiste à calculer la moyenne arithmétique des carrés des différences résultants (vous pouvez découvrir pourquoi exactement les carrés ci-dessous).

Regardons un exemple. Disons que vous et vos amis décidez de mesurer la taille de vos chiens (en millimètres). Suite aux mesures, vous avez reçu les mesures de hauteur suivantes (au garrot) : 600 mm, 470 mm, 170 mm, 430 mm et 300 mm.

Calculons la moyenne, la variance et l'écart type.

Trouvons d'abord la valeur moyenne. Comme vous le savez déjà, pour ce faire, vous devez additionner toutes les valeurs mesurées et diviser par le nombre de mesures. Avancement du calcul :

Moyenne mm.

Ainsi, la moyenne (moyenne arithmétique) est de 394 mm.

Il nous faut maintenant déterminer écart de la taille de chaque chien par rapport à la moyenne:

Enfin, calculer l'écart, on met au carré chacune des différences résultantes, puis on trouve la moyenne arithmétique des résultats obtenus :

Dispersion mm 2 .

Ainsi, la dispersion est de 21704 mm 2.

Comment trouver l'écart type

Alors, comment pouvons-nous maintenant calculer l’écart type, connaissant la variance ? Comme nous nous en souvenons, prenez-en la racine carrée. Autrement dit, l’écart type est égal à :

Mm (arrondi au nombre entier le plus proche en mm).

Grâce à cette méthode, nous avons constaté que certains chiens (par exemple les Rottweilers) sont très grands chiens. Mais il y a aussi de très petits chiens (par exemple les teckels, mais il ne faut pas leur dire ça).

Le plus intéressant c'est que l'écart type entraîne informations utiles. Nous pouvons maintenant montrer lesquels des résultats de mesure de hauteur obtenus se situent dans l'intervalle que nous obtenons si nous traçons l'écart type par rapport à la moyenne (des deux côtés de celle-ci).

C'est-à-dire qu'en utilisant l'écart type, nous obtenons une méthode « standard » qui nous permet de savoir laquelle des valeurs est normale (moyenne statistique) et laquelle est extraordinairement grande ou, au contraire, petite.

Qu'est-ce que l'écart type

Mais... tout sera un peu différent si on analyse échantillon données. Dans notre exemple, nous avons considéré population générale. Autrement dit, nos 5 chiens étaient les seuls chiens au monde qui nous intéressaient.

Mais si les données sont un échantillon (valeurs sélectionnées parmi une large population), alors les calculs doivent être effectués différemment.

S'il y a des valeurs, alors :

Tous les autres calculs sont effectués de la même manière, y compris la détermination de la moyenne.

Par exemple, si nos cinq chiens ne sont qu’un échantillon de la population canine (tous les chiens de la planète), il faut diviser par 4, pas 5,à savoir:

Variance de l'échantillon = mm2.

Dans ce cas, l’écart type de l’échantillon est égal à mm (arrondi au nombre entier le plus proche).

On peut dire que nous avons apporté quelques « corrections » dans le cas où nos valeurs ne sont qu'un petit échantillon.

Note. Pourquoi exactement les différences au carré ?

Mais pourquoi prenons-nous exactement les carrés des différences lors du calcul de la variance ? Disons qu'en mesurant un paramètre, vous avez reçu l'ensemble de valeurs suivant : 4 ; 4 ; -4 ; -4. Si l'on additionne simplement les écarts absolus par rapport à la moyenne (différences) entre eux... valeurs négatives s'annuleront mutuellement avec les positifs :

Il s’avère que cette option est inutile. Alors peut-être vaut-il la peine d'essayer les valeurs absolues des écarts (c'est-à-dire les modules de ces valeurs) ?

À première vue, cela s'avère bien (la valeur résultante est d'ailleurs appelée l'écart absolu moyen), mais pas dans tous les cas. Essayons un autre exemple. Soit le résultat de la mesure dans l'ensemble de valeurs suivant : 7 ; 1; -6 ; -2. Alors l’écart absolu moyen est :

Ouah! Encore une fois, nous avons obtenu un résultat de 4, même si les différences sont beaucoup plus étendues.

Voyons maintenant ce qui se passe si nous mettons les différences au carré (et prenons ensuite la racine carrée de leur somme).

Pour le premier exemple ce sera :

Pour le deuxième exemple ce sera :

Maintenant, c’est une tout autre affaire ! Plus les différences sont étendues, plus l'écart type est grand... ce que nous recherchions.

En fait, dans cette méthode La même idée est utilisée pour calculer la distance entre les points, mais appliquée de manière différente.

Et d'un point de vue mathématique, l'utilisation des carrés et racines carrées offre plus d'avantages que ce que nous pourrions obtenir des valeurs absolues des écarts, rendant l'écart type applicable à d'autres problèmes mathématiques.

Sergey Valerievich vous a expliqué comment trouver l'écart type

Attente et écart

Mesurons une variable aléatoire N Plusieurs fois, par exemple, nous mesurons la vitesse du vent dix fois et souhaitons trouver la valeur moyenne. Comment la valeur moyenne est-elle liée à la fonction de distribution ?

Lançons les dés un grand nombre de une fois. Le nombre de points qui apparaîtront sur les dés à chaque lancer est une variable aléatoire et peut prendre n'importe quelle valeur naturelle de 1 à 6. La moyenne arithmétique des points perdus calculée pour tous les lancers de dés est également une variable aléatoire, mais pour les grands N il tend vers un nombre très spécifique - espérance mathématique M x. DANS dans ce cas M x = 3,5.

Comment as-tu obtenu cette valeur ? Laisser entrer N tests, une fois que vous obtenez 1 point, une fois que vous obtenez 2 points, et ainsi de suite. Puis quand N→ ∞ nombre de résultats dans lesquels un point a été obtenu, De même, donc

Modèle 4.5. Dé

Supposons maintenant que nous connaissions la loi de distribution de la variable aléatoire X, c'est-à-dire que nous savons que la variable aléatoire X peut prendre des valeurs X 1 , X 2 , ..., xk avec probabilités p 1 , p 2 , ..., pk.

Valeur attendue M x Variable aléatoire Xéquivaut à:

Répondre. 2,8.

L'espérance mathématique n'est pas toujours une estimation raisonnable d'une variable aléatoire. Donc pour estimer la moyenne salaires il est plus raisonnable d'utiliser la notion de médiane, c'est-à-dire une valeur telle que le nombre de personnes percevant un salaire inférieur à la médiane et un salaire supérieur coïncide.

Médian la variable aléatoire s'appelle un nombre X 1/2 est tel que p (X < X 1/2) = 1/2.

Autrement dit, la probabilité p 1 que la variable aléatoire X sera plus petit X 1/2 et probabilité p 2 que la variable aléatoire X sera plus grand X 1/2 sont identiques et égaux à 1/2. La médiane n'est pas déterminée de manière unique pour toutes les distributions.

Revenons à la variable aléatoire X, qui peut prendre des valeurs X 1 , X 2 , ..., xk avec probabilités p 1 , p 2 , ..., pk.

Variance Variable aléatoire X La valeur moyenne de l'écart carré d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique s'appelle :

Exemple 2

Dans les conditions de l'exemple précédent, calculez la variance et l'écart type de la variable aléatoire X.

Répondre. 0,16, 0,4.

Modèle 4.6. Tirer sur une cible

Exemple 3

Trouvez la distribution de probabilité du nombre de points obtenus au premier lancer de dés, la médiane, l'espérance mathématique, la variance et l'écart type.

N'importe quel avantage est également susceptible de tomber, donc la distribution ressemblera à ceci :

Écart type On peut constater que l'écart de la valeur par rapport à la valeur moyenne est très important.

Propriétés de l'espérance mathématique :

L'espérance mathématique de la somme des variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs espérances mathématiques :

Exemple 4

Trouvez l’espérance mathématique de la somme et du produit des points lancés sur deux dés.

Dans l'exemple 3, nous avons constaté que pour un cube M (X) = 3,5. Donc pour deux cubes

Propriétés de dispersion :

La variance de la somme des variables aléatoires indépendantes est égale à la somme des variances :

D x + oui = D x + Dy.

Laissez pour N lance les dés lancés oui points. Alors

Ce résultat n’est pas seulement vrai pour les lancers de dés. Dans de nombreux cas, cela détermine l’exactitude de la mesure empirique de l’espérance mathématique. On constate qu’avec l’augmentation du nombre de mesures N l'écart des valeurs autour de la moyenne, c'est-à-dire l'écart type, diminue proportionnellement

La variance d'une variable aléatoire est liée à l'espérance mathématique du carré de cette variable aléatoire par la relation suivante :

Trouvons les attentes mathématiques des deux côtés de cette égalité. Un prieuré,

L'espérance mathématique du côté droit de l'égalité, selon la propriété des espérances mathématiques, est égale à

Écart-type

Écart-typeégal à la racine carrée de la variance :
Lors de la détermination de l'écart type pour un volume suffisamment important de la population étudiée (n > 30), les formules suivantes sont utilisées :

Informations connexes.

Le programme Excel est très apprécié aussi bien par les professionnels que par les amateurs, car les utilisateurs de tout niveau de compétence peuvent travailler avec lui. Par exemple, toute personne ayant des compétences minimales en « communication » dans Excel peut dessiner un graphique simple, réaliser une assiette décente, etc.

En même temps, ce programme vous permet même d'effectuer diverses sortes calculs, par exemple, calcul, mais cela nécessite un niveau de préparation légèrement différent. Cependant, si vous venez tout juste de commencer à vous familiariser avec ce programme et que vous êtes intéressé par tout ce qui vous aidera à devenir un utilisateur plus avancé, cet article est pour vous. Aujourd'hui, je vais vous expliquer ce qu'est la formule d'écart type dans Excel, pourquoi elle est nécessaire et, à proprement parler, quand elle est utilisée. Aller!

Ce que c'est

Commençons par la théorie. L'écart type est généralement appelé racine carrée obtenue à partir de la moyenne arithmétique de toutes les différences au carré entre les valeurs disponibles, ainsi que de leur moyenne arithmétique. À propos, cette valeur est généralement appelée la lettre grecque « sigma ». L'écart type est calculé à l'aide de la formule STANDARDEVAL ; le programme le fait donc lui-même pour l'utilisateur.

Le point est ce concept est d'identifier le degré de variabilité de l'instrument, c'est-à-dire qu'il s'agit, à sa manière, d'un indicateur issu de la statistique descriptive. Il identifie les changements dans la volatilité d'un instrument sur une certaine période. Les formules STDEV peuvent être utilisées pour estimer l'écart type d'un échantillon, en ignorant les valeurs booléennes et textuelles.

Formule

La formule fournie automatiquement dans Excel permet de calculer l'écart type dans Excel Programme Excel. Pour le trouver, il faut trouver la section formule dans Excel, puis sélectionner celle appelée STANDARDEVAL, donc c'est très simple.

Après cela, une fenêtre apparaîtra devant vous dans laquelle vous devrez saisir les données pour le calcul. En particulier, deux nombres doivent être saisis dans des champs spéciaux, après quoi le programme lui-même calculera l'écart type de l'échantillon.

Indubitablement formules mathématiques et les calculs sont une question assez complexe, et tous les utilisateurs ne peuvent pas y faire face immédiatement. Cependant, si vous creusez un peu plus et examinez la question un peu plus en détail, il s'avère que tout n'est pas si triste. J'espère, en utilisant l'exemple du calcul écart-type vous en êtes convaincu.