Qui a créé les nombres négatifs ? Message « Histoire des nombres : l'émergence et le développement des nombres positifs et négatifs. Mais même ici, il existe des chiffres négatifs.

Introduction________________________________ page 3

Partie principale

Qu'est-ce qu'un « numéro » ?___________________________ page 3

Chiffres négatifs en Egypte________________ page 5

Nombres négatifs dans l'Asie ancienne___________ page 5

Chiffres négatifs en Europe_________________ page 6

Interprétation moderne des nombres négatifs__ p.7

Conclusion_________________________________ p.8

Références___________________________ page 9

Le monde des nombres est très mystérieux et intéressant. Les chiffres sont très importants dans notre monde. Je veux en apprendre le plus possible sur l'origine des nombres et leur signification dans nos vies. Comment les utiliser et quel rôle jouent-ils dans nos vies ?

Cette année, dans les cours de mathématiques, nous avons commencé à étudier le sujet « Nombres positifs et négatifs ». J'avais une question : quand sont apparus les chiffres négatifs, dans quel pays, quels scientifiques ont étudié cette question. J'ai lu sur Wikipédia qu'un nombre négatif est un élément de l'ensemble des nombres négatifs qui (avec zéro) sont apparus en mathématiques lors de l'expansion de l'ensemble. nombres naturels. Le but de l'extension est de permettre d'effectuer l'opération de soustraction sur n'importe quel nombre. À la suite du développement, un ensemble (anneau) d'entiers est obtenu, composé de nombres positifs (naturels), de nombres négatifs et de zéro.

En conséquence, j’ai décidé d’explorer l’histoire des nombres négatifs.

But Ce travail est une étude de l'histoire de l'émergence des nombres négatifs.

Objet d'étude - nombres négatifs

Définition de la notion de nombre

DANS monde moderne les gens utilisent constamment des chiffres sans même penser à leur origine. Sans connaissance du passé, il est impossible de comprendre le présent. Le nombre est l'un des concepts de base des mathématiques. La notion de nombre s'est développée en lien étroit avec l'étude des quantités ; cette connexion continue à ce jour. Dans toutes les branches des mathématiques modernes, nous devons considérer des tailles différentes et utiliser des chiffres. Le nombre est une abstraction utilisée pour caractéristiques quantitatives objets. Né dans la société primitive des besoins du comptage, le concept de nombre a changé et s'est enrichi et est devenu le concept mathématique le plus important.

Existe un grand nombre de définitions du concept « nombre ».

La première définition scientifique du nombre a été donnée par Euclide dans ses Éléments, qu'il a apparemment hérité de son compatriote Eudoxe de Cnide (environ 408 - environ 355 avant JC) : « Une unité est ce selon lequel chacune des choses existantes est appelée une. . Un nombre est un ensemble composé d’unités. C’est ainsi que le mathématicien russe Magnitski a défini la notion de nombre dans son « Arithmétique » (1703). Même avant Euclide, Aristote donnait la définition suivante : « Un nombre est un ensemble qui se mesure à l’aide d’unités. » Dans son « Arithmétique générale » (1707), le grand physicien, mécanicien, astronome et mathématicien anglais Isaac Newton écrit : « Par nombre, nous entendons moins un ensemble d'unités que la relation abstraite d'une quantité avec une autre quantité de même nature. , pris comme une unité. » . Il existe trois types de nombres : entiers, fractionnaires et irrationnels. Un nombre entier est quelque chose qui se mesure par un ; fractionnaire est un multiple de un, irrationnel est un nombre qui n'est pas proportionné à un.

Le mathématicien de Marioupol S.F. Klyuykov a également contribué à la définition du concept de nombre : « Les nombres sont modèles mathématiques monde réel inventé par l’homme pour son savoir. Il a également introduit les « nombres fonctionnels » dans la classification traditionnelle des nombres, c'est-à-dire ce qu'on appelle habituellement fonctions partout dans le monde.

Les nombres naturels sont apparus lors du comptage d'objets. J'ai appris cela en 5ème. Puis j’ai appris que le besoin humain de mesurer des quantités ne s’exprime pas toujours en nombres entiers. Après avoir étendu l'ensemble des nombres naturels en fractions, il est devenu possible de diviser n'importe quel entier par un autre entier (à l'exception de la division par zéro). Apparu nombres fractionnaires. Pendant longtemps, soustraire un entier à un autre entier, lorsque celui à soustraire est supérieur à celui à réduire, a semblé impossible. Ce qui m’intéressait, c’était que pendant longtemps de nombreux mathématiciens ne reconnaissaient pas les nombres négatifs, estimant qu’ils ne correspondaient à aucun phénomène réel.

Chiffres négatifs en Egypte

Cependant, malgré ces doutes, des règles pour opérer avec des nombres positifs et négatifs ont été proposées dès le IIIe siècle en Égypte. L'introduction des quantités négatives s'est produite pour la première fois avec Diophante. Il a même utilisé pour eux un symbole spécial (aujourd'hui, nous utilisons le signe moins à cet effet). Certes, les scientifiques se demandent si le symbole de Diophante dénotait un nombre négatif ou simplement une opération de soustraction, car chez Diophante les nombres négatifs n’apparaissent pas isolément, mais uniquement sous la forme de différences positives ; et il considère uniquement les nombres rationnels positifs comme réponses aux problèmes. Mais en même temps, Diophante utilise des figures de style telles que « Ajoutons un négatif aux deux côtés », et formule même la règle des signes : « Un négatif multiplié par un négatif donne un positif, tandis qu'un négatif multiplié par un positif donne un négatif » (c'est-à-dire ce qui est maintenant habituellement formulé : « Moins par moins donne un plus, moins par plus donne un moins »).

(–) (–) = (+), (–) (+) = (–).

Nombres négatifs dans l'Asie ancienne

En mathématiques chinoises, les quantités positives étaient appelées « chen », les quantités négatives – « fu » ; ils ont été représentés Couleurs différentes: "chen" - rouge, "fu" - noir. Cette méthode de représentation a été utilisée en Chine jusqu'au milieu du XIIe siècle, jusqu'à ce que Li Ye propose une désignation plus pratique pour les nombres négatifs - les nombres qui représentaient des nombres négatifs étaient barrés d'une ligne en diagonale de droite à gauche. Les scientifiques indiens, essayant de trouver des exemples d'une telle soustraction dans la vie, en sont venus à l'interpréter du point de vue des calculs commerciaux.

Si un commerçant a 5 000 roubles. et achète des marchandises pour 3 000 roubles, il lui reste 5 000 - 3 000 = 2 000 roubles. S'il a 3 000 roubles, mais qu'il achète pour 5 000 roubles, il reste alors endetté de 2 000 roubles. Conformément à cela, on croyait qu'ici une soustraction de 3 000 à 5 000 était effectuée, le résultat étant le nombre 2 000 avec un point en haut, signifiant « deux mille dettes ».

Cette interprétation était artificielle : le commerçant n'a jamais trouvé le montant de la dette en soustrayant 3 000 à 5 000, mais en soustrayant toujours 5 000 à 3 000. De plus, sur cette base, il n'était possible d'expliquer qu'avec étirement les règles d'addition et de soustraction des « nombres ». avec des points », mais il était impossible d’expliquer les règles de multiplication ou de division.

Aux Ve-VIe siècles, les nombres négatifs apparaissent et deviennent très répandus dans les mathématiques indiennes. En Inde, les nombres négatifs étaient systématiquement utilisés, comme c’est le cas aujourd’hui. Les mathématiciens indiens utilisent les nombres négatifs depuis le VIIe siècle. n. e. : Brahmagupta a formulé avec eux les règles des opérations arithmétiques. Dans son ouvrage on lit : « la propriété et la propriété sont des propriétés, la somme de deux dettes est une dette ; la somme de la propriété et de zéro est la propriété ; la somme de deux zéros est zéro... La dette, qui est soustraite de zéro, devient une propriété et la propriété devient une dette. S’il est nécessaire de retirer des biens de la dette et des dettes de la propriété, alors ils prennent leur somme. »

Les Indiens appelaient les nombres positifs « dhana » ou « sva » (propriété) et les nombres négatifs « rina » ou « kshaya » (dette). Cependant, en Inde, il y avait des difficultés à comprendre et à accepter les nombres négatifs.

Des chiffres négatifs en Europe

Les mathématiciens européens ne les ont pas approuvés pendant longtemps, car l'interprétation de « propriété-dette » a suscité la perplexité et le doute. En effet, comment peut-on « ajouter » ou « soustraire » des biens et des dettes, quel sens réel peut avoir « multiplier » ou « diviser » des biens par des dettes ? (G.I. Glazer, Histoire des mathématiques dans les classes scolaires IV-VI. Moscou, Prosveshchenie, 1981)

C'est pourquoi les nombres négatifs ont acquis avec beaucoup de difficulté une place en mathématiques. En Europe, l’idée d’une quantité négative était assez proche au début XIIIe siècle Léonard de Fibonacci de Pise, cependant, les nombres négatifs ont été utilisés explicitement pour la première fois à la fin du XVe siècle par le mathématicien français Chuquet. Auteur d'un traité manuscrit sur l'arithmétique et l'algèbre, « La science des nombres en trois parties ». La symbolique de Shuquet se rapproche de celle moderne (Mathématique Dictionnaire encyclopédique. M., Sov. encyclopédie, 1988)

Interprétation moderne des nombres négatifs

En 1544, le mathématicien allemand Michael Stiefel considéra pour la première fois les nombres négatifs comme des nombres inférieurs à zéro (c'est-à-dire « moins que rien »). À partir de ce moment, les chiffres négatifs ne sont plus considérés comme une dette, mais d’une manière totalement nouvelle. Stiefel lui-même a écrit : « Zéro est entre les nombres vrais et absurdes… » (G.I. Glazer, Histoire des mathématiques dans les classes IV-VI. Moscou, Prosveshchenie, 1981)

Après cela, Stiefel consacre entièrement son travail aux mathématiques, dans lesquelles il est un génie autodidacte. L'un des premiers en Europe après que Nicola Chuquet ait commencé à fonctionner avec des chiffres négatifs.

Le célèbre mathématicien français René Descartes dans « Géométrie » (1637) décrit l'interprétation géométrique des nombres positifs et négatifs ; Les nombres positifs sont représentés sur l'axe des nombres par des points situés à droite du début 0, les nombres négatifs - à gauche. L’interprétation géométrique des nombres positifs et négatifs a permis de mieux comprendre la nature des nombres négatifs et a contribué à leur reconnaissance.

Presque simultanément avec Stiefel, l'idée des nombres négatifs a été défendue par R. Bombelli Raffaele (vers 1530-1572), mathématicien et ingénieur italien qui a redécouvert les travaux de Diophante.

L'expression « inférieur à rien » montre que Stiefel et quelques autres imaginaient mentalement les nombres positifs et négatifs comme des points sur une échelle verticale (comme une échelle de thermomètre). Développée ensuite par le mathématicien A. Girard, l'idée des nombres négatifs comme points sur une certaine ligne, situés de l'autre côté de zéro que les positifs, s'est avérée décisive pour conférer à ces nombres des droits de citoyenneté, notamment en tant que résultat du développement de la méthode des coordonnées par P. Fermat et R. Descartes.

Conclusion

Dans mon travail, j'ai étudié l'histoire de l'émergence des nombres négatifs. Au cours de la recherche, j'ai conclu :

Science moderne rencontre des quantités d'une nature si complexe que pour les étudier il faut inventer de nouveaux types de nombres.

Lors de l'introduction de nouveaux numéros grande importance avoir deux circonstances :

a) les règles d'action sur eux doivent être pleinement définies et ne pas conduire à des contradictions ;

b) les nouveaux systèmes de numérotation devraient aider soit à résoudre de nouveaux problèmes, soit à améliorer des solutions déjà connues.

Actuellement, il existe sept niveaux généralement acceptés de généralisation des nombres : nombres naturels, rationnels, réels, complexes, vectoriels, matriciels et transfinis. Certains scientifiques proposent de considérer les fonctions numéros de fonction et étendre le degré de généralisation des nombres à douze niveaux.

Je vais essayer d'étudier tous ces ensembles de nombres.

Bibliographie

Grande encyclopédie mathématique. Yakusheva G.M. et etc.

M. : Philol. SARL "WORD" : OLMA-PRESS, 2005.

L'émergence et le développement de la science mathématique : Livre. Pour le professeur. – M. : Éducation, 1987.

Encyclopédie pour enfants. T.11. Mathématiques

Tête. éd. M.D. Aksyonova. – M. : Avanta+, 1998.

Histoire des mathématiques à l'école, niveaux IV-VI. G.I. Glazer, Moscou, Éducation, 1981.

Wikipédia. Encyclopédie gratuite.

Dictionnaire encyclopédique mathématique. M., Sov. encyclopédie, 1988.

L'histoire de l'émergence des nombres négatifs est très ancienne et longue. Étant donné que les nombres négatifs sont quelque chose d’éphémère, d’irréel, les gens n’ont pas reconnu leur existence pendant longtemps.

Tout a commencé en Chine, vers le IIe siècle avant JC. Peut-être qu'ils étaient connus en Chine auparavant, mais la première mention remonte à cette époque. Là, ils ont commencé à utiliser des nombres négatifs et à les considérer comme des « dettes », tandis que les positifs étaient appelés « biens ». L'enregistrement qui existe aujourd'hui n'existait pas à l'époque, et les nombres négatifs étaient écrits en noir et les nombres positifs en rouge.

Nous trouvons la première mention des nombres négatifs dans le livre « Mathematics in Nine Chapters » du scientifique chinois Zhang Can.

Ensuite, dans V-VI siècles les nombres négatifs ont commencé à être utilisés assez largement en Chine et en Inde. Certes, en Chine, ils étaient traités avec prudence et essayaient de minimiser leur utilisation, mais en Inde, au contraire, ils étaient très largement utilisés. Là, des calculs ont été effectués avec eux et les nombres négatifs ne semblaient pas incompréhensibles.

Les scientifiques indiens Brahmagupta Bhaskara (VII-VIII siècles) sont célèbres pour avoir laissé dans leurs enseignements des explications détaillées sur le travail avec des nombres négatifs.

Et dans l'Antiquité, par exemple, à Babylone et dans L'Egypte ancienne, les nombres négatifs n’ont pas été utilisés du tout. Et si le calcul aboutissait à un nombre négatif, on considérait qu’il n’y avait pas de solution.

De même, en Europe, les chiffres négatifs n’ont pas été reconnus pendant très longtemps. Ils étaient considérés comme « imaginaires » et « absurdes ». Ils n'effectuaient aucune action avec eux, mais les jetaient simplement si la réponse était négative. Ils croyaient que si vous soustrayiez un nombre de 0, la réponse serait 0, puisque rien ne peut être inférieur à zéro - le vide.

Pour la première fois en Europe, Léonard de Pise (Fibonacci) s'est tourné vers les nombres négatifs. Et il les a décrits dans son ouvrage « Le Livre du Boulier » en 1202.

Léonard de Fibonacci Léonard de Fibonacci
Plus tard, en 1544, Mikhail Stiefel, dans son livre « Complete Arithmetic », a introduit pour la première fois le concept de nombres négatifs et a décrit en détail les opérations avec eux. "Zéro se situe entre les chiffres absurdes et les vrais."

Et au XVIIe siècle, le mathématicien René Descartes a proposé de placer les nombres négatifs sur l'axe numérique à gauche de zéro.

René Descartes René Descartes
À partir de ce moment-là, les nombres négatifs ont commencé à être largement utilisés et acceptés, même si de nombreux scientifiques les ont longtemps niés.

En 1831, Gauss qualifie les nombres négatifs d’absolument équivalents aux nombres positifs. Et je n’ai pas considéré comme quelque chose de terrible le fait que toutes les actions ne peuvent pas être réalisées avec elles ; avec les fractions, par exemple, toutes les actions ne peuvent pas non plus être réalisées.

Et au XIXe siècle, Wilman Hamilton et Hermann Grassmann ont créé une théorie complète des nombres négatifs. Depuis, les nombres négatifs ont gagné leurs droits et désormais personne ne doute de leur réalité.

Ministère de l'Éducation et des Sciences de la Fédération de Russie Établissement d'enseignement municipal École secondaire de base Leboterskaya district Chainsky région de Tomsk RÉSUMÉ sur le thème : « L'histoire de la création de nombres négatifs » Réalisé par : élèves de 6e année Ksenia Grigorievskaya, Tatyana Zakharova Superviseure : Stasenko V.K. , professeur de mathématiques 2010 Sommaire 1. Introduction……………………………..…………………………3 2. Historique de la création des nombres négatifs……………………… ……..4 3. Chiffres négatifs en Chine ………………………………………………………..5 4. Chiffres négatifs en Inde ……………………… ………………………………..6 5. Bibliographie ……………………………………………………. 7 2 Introduction Tout le monde peut visualiser une fraction ; Pour cela, il suffit de regarder une pastèque coupée, une tarte ou encore un potager divisé en massifs. Mais imaginer le chiffre 5 est plus difficile. Après tout, on ne peut pas mesurer -5 m de tissu ou couper -500 g de pain. Pourquoi sont-ils nécessaires ? nombres étranges avec des règles encore plus étranges pour les gérer ? Le fait est qu’il y a beaucoup de choses qui peuvent à la fois augmenter et diminuer. Les nombres positifs et négatifs servent précisément à décrire les changements de quantités. Si une quantité augmente, alors sa variation est dite positive, et si elle diminue, alors sa variation est dite négative. "Si je me tiens au sommet d'une montagne, alors je commence à descendre de son sommet d'une hauteur de 2000 m. Je descends et la hauteur à laquelle je me trouve devient de moins en moins. Alors je suis descendu d’une hauteur de 1000 m, maintenant je suis à une altitude de 500 m, maintenant je suis déjà à une altitude de 200 m et maintenant, enfin, je suis descendu jusqu’à la mer elle-même. Je suis au bord de l'eau et les vagues lèchent la semelle de mes bottes. Cela signifie que je suis à une altitude de 0 m au dessus du niveau de la mer. Ici, j'enfile une combinaison de plongée et, en marchant au fond de la mer, je continue à descendre. Je descends, ce qui veut dire que la hauteur à laquelle je me trouve devient encore plus petite, inférieure à zéro. Et je sais qu’il existe des nombres inférieurs à zéro – ce sont des nombres négatifs ! Ici, au fond de la mer, l’altitude est donc négative. Maintenant, je suis descendu de 100 m du bord de l'eau, et je peux dire que je suis à -100 m d'altitude. Et si je n’utilisais pas de nombres négatifs, je dirais que je suis à 100 m de profondeur. Les nombres négatifs correspondent aux points situés sous la surface de la mer. Ainsi, le sommet d'une montagne peut correspondre au nombre 2000 m, et un navire coulé peut correspondre au nombre -2000 m, mais l'inverse n'est pas vrai. Nous rencontrons des nombres négatifs chaque fois que nous parlons de température de l’air. S'il fait chaud dehors, la température de l'air est exprimée par un nombre positif, et s'il fait glacial, alors par un nombre négatif. Ou quand ils disent que la température de l'air a changé de -8°, cela signifie qu'elle a diminué de 8°, et si elle a changé de 8°, cela signifie qu'elle a augmenté de 8°. 3 Ainsi, lors de la mesure du temps par rapport à un certain moment pris comme origine, il est d'usage de considérer temps positifévénements survenus après le début du compte à rebours et négatif - l'heure des événements survenus avant le début du compte à rebours. Lors de la mesure des forces agissant sur un ressort, il est d'usage de considérer les forces positives qui étirent le ressort, et les forces négatives qui compriment le ressort, etc. Ainsi, les nombres négatifs, ainsi que les nombres positifs et le nombre zéro, servent à mesurer des quantités qui peuvent changement dans deux directions opposées à partir d’une certaine valeur prise comme origine. De l'histoire de l'émergence des nombres négatifs Les nombres négatifs sont apparus bien plus tard que les nombres naturels et les fractions ordinaires, qui étaient familiers aux Égyptiens et aux Babyloniens il y a plusieurs milliers d'années. Mais ni les Égyptiens, ni les Babyloniens, ni les Grecs de l'Antiquité n'utilisaient des nombres négatifs, et si des racines négatives d'équations étaient obtenues (lors de la soustraction), elles étaient rejetées comme impossibles. Les premières informations sur les nombres négatifs remontent environ au IIe siècle avant JC. La solution de nombreuses équations se résume à des racines négatives. Par exemple, dans le problème : le père a 18 ans de plus que son fils. Maintenant, mon fils a 25 ans. Dans combien d’années le père aura-t-il deux fois l’âge de son fils ? Après avoir composé l’équation et l’avoir résolue, nous constatons que la racine est égale à -7. Cela signifie qu'il y a 7 ans, le père était deux fois plus âgé que son fils. Dans les temps anciens, de telles équations n’étaient tout simplement pas prises en compte, les nombres négatifs n’étaient pas reconnus et les racines négatives des équations étaient considérées comme fausses. Donc au IIe siècle avant JC. Le scientifique chinois Zhang Can, dans son livre « L'arithmétique en neuf chapitres », donne des règles pour gérer les nombres négatifs, qu'il considère comme une dette, et les nombres positifs comme une propriété. Il a écrit les nombres négatifs en utilisant une encre d’une couleur différente de celle des nombres positifs. DANS Inde ancienne et en Chine, ils ont deviné qu'au lieu des mots « dette de 10 yuans », ils devraient écrire simplement « 10 yuans », mais dessiner ces hiéroglyphes à l'encre noire. Et dans les temps anciens, il n'y avait aucun signe «+» et «-», ni pour les chiffres ni pour les actions. Les Grecs n'utilisaient pas non plus de signes au début, jusqu'à ce qu'au IIIe siècle Diophante d'Alexandrie commence à désigner la soustraction par un signe. En Italie, lorsqu’ils prêtaient de l’argent, les prêteurs mettaient le montant de la dette et une ligne devant le nom du débiteur, comme notre moins, et lorsque le débiteur rendait l’argent, ils le barraient pour que cela ressemble à notre plus. Vous pouvez considérer un plus comme un moins barré. L’utilité et la validité des nombres négatifs se sont progressivement établies. Le mathématicien indien Brahmagupta (VIIe siècle) les considérait déjà sur un pied d'égalité avec les positifs. 4 En Europe, la reconnaissance est venue mille ans plus tard, et même alors, pendant longtemps, les nombres négatifs ont été qualifiés de « faux », « imaginaires » ou « absurdes ». Même le célèbre mathématicien Blaise Pascal a soutenu que 0 − 4 = 0, puisque rien ne peut être inférieur à rien. La reconnaissance des nombres négatifs a été facilitée par les travaux du mathématicien, physicien et philosophe français René Descartes (1596-1650). Il a proposé une interprétation géométrique des nombres positifs et négatifs - il a introduit la ligne de coordonnées (1637). Les nombres négatifs n’ont reçu une reconnaissance définitive et générale comme existant réellement que dans la première moitié du XVIIIe siècle. Dans le même temps, la notation moderne des nombres négatifs a été établie. Ce n’est qu’au début du XIXe siècle que les nombres négatifs ont été généralisés et ont acquis une forme de notation moderne. Les nombres négatifs ont gagné leur place en mathématiques avec beaucoup de difficulté. Les nombres négatifs dans la Chine ancienne Nous considérons les nombres négatifs comme quelque chose de naturel, mais cela n'a pas toujours été le cas. Les nombres négatifs ont été légalisés pour la première fois en Chine, mais n’ont été utilisés que dans des cas exceptionnels, car ils étaient généralement considérés comme dénués de sens. Les scientifiques chinois ont rencontré des chiffres négatifs vers le IIe siècle avant JC. lors de la résolution d’équations. Il est difficile de dire plus précisément, puisque l'empereur Shi Huang Di, en colère contre les scientifiques, a ordonné que tous les livres scientifiques soient brûlés et que leurs auteurs et lecteurs soient exécutés. Le contenu de ces livres ne nous est parvenu que par fragments, d'où l'on sait que les Chinois ne savaient qu'ajouter des nombres négatifs et positifs et ne connaissaient pas les règles des signes lors de la multiplication des nombres positifs et négatifs. Les nombres positifs ont été interprétés comme « profit », « propriété » et les nombres négatifs ont été interprétés comme « dette », « perte ». 5 Nombres négatifs dans l'Inde ancienne Les mathématiciens indiens rencontraient des nombres négatifs lorsqu'ils résolvaient des équations. Le mathématicien indien Brahmagupta (VIIe siècle) les considérait déjà sur un pied d'égalité avec les nombres positifs ; il formulait les règles de fonctionnement des nombres positifs et négatifs sous la forme suivante : « La somme de deux propriétés est une propriété ». (+x) + (+y) = +(x + y) « La somme de deux dettes est une dette. » (-x) + (-y) = - (x + y) « La somme des biens et des dettes est égale à leur différence » (-x) + (+y) = - (x - y) ou (-x) + (+y ) = +(y - x) « La dette soustraite de zéro devient une propriété. » 0 – (-x) = +x « Les actifs soustraits de zéro deviennent une dette. » 0 – (+x) = -x Les mathématiciens indiens ont appliqué toutes les règles des quatre actions aux nombres négatifs, mais sans justification théorique appropriée. Cependant, malgré large utilisation nombres négatifs lors de la résolution de problèmes à l'aide d'équations, en Inde, ils traitaient les nombres négatifs avec une certaine méfiance, les considérant comme particuliers, pas tout à fait réels. Le mathématicien indien Bhaskara (XIIe siècle) écrivait directement : « Les gens n'approuvent pas les nombres négatifs abstraits… » 6 Références : 1. I. Ya. Depman, N. Ya. Vilenkin, Derrière les pages d'un manuel de mathématiques. Un manuel pour les élèves de la 5e à la 6e année lycée. – M. : Éducation, 1989. 2. L.M. Friedman, Étudier les mathématiques : un livre destiné aux élèves de la 5e à la 6e année des établissements d'enseignement général. – M. : Éducation, 1995 3. E.G. Gelfman et al., Nombres positifs et négatifs au théâtre Buratino. Didacticiel en mathématiques pour la 6ème année. 3ème édition, révisée, - Tomsk : Maison d'édition Université de Tomsk, 1998 4. http://otvet.mail.ru/guestion/7639501/ 5. http://ru.wikipedia.org/wiki 7

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Introduction

L'année dernière, dans les cours de mathématiques, nous avons commencé à étudier le sujet « Nombres positifs et négatifs ». J'avais une question : quand sont apparus les chiffres négatifs, dans quel pays, quels scientifiques ont étudié cette question. J'ai lu sur Wikipédia qu'un nombre négatif est un élément de l'ensemble des nombres négatifs qui (avec zéro) sont apparus en mathématiques lors de l'expansion de l'ensemble des nombres naturels. Le but de l'extension est de permettre d'effectuer l'opération de soustraction sur n'importe quel nombre. À la suite du développement, un ensemble (anneau) d'entiers est obtenu, composé de nombres positifs (naturels), de nombres négatifs et de zéro.

En conséquence, j’ai décidé d’explorer l’histoire des nombres négatifs.

Le but de ce travail est d'étudier l'histoire de l'émergence des nombres négatifs et positifs.

Objet d'étude - nombres négatifs et nombres positifs

Histoire des nombres positifs et négatifs

Il a fallu beaucoup de temps aux gens pour s’habituer aux chiffres négatifs. Les nombres négatifs leur paraissaient incompréhensibles, ils ne les utilisaient pas, ils ne les voyaient tout simplement pas sens spécial. Ces nombres sont apparus bien plus tard que les nombres naturels et les fractions ordinaires.

Les premières informations sur les nombres négatifs ont été trouvées par des mathématiciens chinois au IIe siècle. avant JC e. et même alors, seules les règles d'addition et de soustraction des nombres positifs et négatifs étaient connues ; les règles de multiplication et de division ne s'appliquaient pas.

En mathématiques chinoises, les quantités positives étaient appelées « chen », les quantités négatives étaient appelées « fu » ; ils étaient représentés en différentes couleurs : « chen » - rouge, « fu » - noir. Cela peut être vu dans le livre « Arithmetic in Nine Chapters » (auteur Zhang Can). Cette méthode de représentation a été utilisée en Chine jusqu'au milieu du XIIe siècle, jusqu'à ce que Li Ye propose une désignation plus pratique pour les nombres négatifs - les nombres qui représentaient des nombres négatifs étaient barrés d'une ligne en diagonale de droite à gauche.

Seulement au 7ème siècle. Les mathématiciens indiens ont commencé à utiliser largement les nombres négatifs, mais les traitaient avec une certaine méfiance. Bhaskhara a écrit directement : « Les gens n’approuvent pas les nombres négatifs abstraits… ». C'est ainsi que le mathématicien indien Brahmagupta a énoncé les règles d'addition et de soustraction : « la propriété et la propriété sont la propriété, la somme de deux dettes est la dette ; la somme de la propriété et de zéro est la propriété ; la somme de deux zéros est zéro... La dette, qui est soustraite de zéro, devient une propriété et la propriété devient une dette. S’il est nécessaire de retirer des biens de la dette et des dettes de la propriété, alors ils prennent leur somme. » « La somme de deux propriétés est la propriété. »

(+x) + (+y) = +(x + y)‏ (-x) + (-y) = - (x + y)‏

(-x) + (+y) = - (x - y)‏ (-x) + (+y) = +(y - x)‏

0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x

Les Indiens appelaient les nombres positifs « dhana » ou « sva » (propriété) et les nombres négatifs « rina » ou « kshaya » (dette). Les scientifiques indiens, essayant de trouver des exemples d'une telle soustraction dans la vie, en sont venus à l'interpréter du point de vue des calculs commerciaux. Si un commerçant a 5 000 roubles. et achète des marchandises pour 3 000 roubles, il lui reste 5 000 - 3 000 = 2 000 roubles. S'il a 3 000 roubles, mais qu'il achète pour 5 000 roubles, il reste alors endetté de 2 000 roubles. Conformément à cela, on croyait qu'ici une soustraction de 3 000 à 5 000 était effectuée, le résultat étant le nombre 2 000 avec un point en haut, signifiant « deux mille dettes ». Cette interprétation était artificielle : le commerçant ne trouvait jamais le montant de la dette en soustrayant 3 000 à 5 000, mais toujours en soustrayant 5 000 à 3 000.

Un peu plus tard, dans l'Inde et la Chine anciennes, ils ont compris qu'au lieu des mots « dette de 10 yuans », ils écriraient simplement « 10 yuans », mais dessineraient ces hiéroglyphes à l'encre noire. Et dans les temps anciens, il n'y avait aucun signe «+» et «-», ni pour les chiffres ni pour les actions.

Au début, les Grecs n’utilisaient pas non plus de signes. L'ancien scientifique grec Diophante ne reconnaissait pas du tout les nombres négatifs, et si, lors de la résolution d'une équation, une racine négative était obtenue, il la rejetait comme « inaccessible ». Et Diophante a essayé de formuler des problèmes et de composer des équations de manière à éviter les racines négatives, mais bientôt Diophante d'Alexandrie a commencé à désigner la soustraction par un signe.

Des règles pour traiter les nombres positifs et négatifs ont déjà été proposées au IIIe siècle en Égypte. L'introduction des quantités négatives s'est produite pour la première fois avec Diophante. Il a même utilisé un symbole spécial pour eux. Parallèlement, Diophante utilise des figures de style telles que « Ajoutons un négatif aux deux côtés », et formule même la règle des signes : « Un négatif multiplié par un négatif donne un positif, tandis qu'un négatif multiplié par un positif donne un positif. Un négatif."

En Europe, les nombres négatifs ont commencé à être utilisés à partir des XIIe et XIIIe siècles, mais pas avant le XVIe siècle. la plupart des scientifiques les considéraient comme « faux », « imaginaires » ou « absurdes », contrairement aux nombres positifs - « vrais ». Les nombres positifs étaient également interprétés comme « propriété » et les nombres négatifs comme « dette », « pénurie ». Même le célèbre mathématicien Blaise Pascal a soutenu que 0 − 4 = 0, puisque rien ne peut être inférieur à rien. En Europe, Léonard de Fibonacci de Pise s'est rapproché de l'idée de quantité négative au début du XIIIe siècle. Lors d'un concours de résolution de problèmes avec les mathématiciens de la cour de Frédéric II, Léonard de Pise fut invité à résoudre un problème : il fallait trouver le capital de plusieurs individus. Fibonacci reçu Sens négatif. « Ce cas, dit Fibonacci, est impossible, à moins d’accepter qu’on n’ait pas de capital, mais des dettes. » Cependant, les nombres négatifs ont été utilisés explicitement pour la première fois à la fin du XVe siècle par le mathématicien français Chuquet. Auteur d'un traité manuscrit sur l'arithmétique et l'algèbre, « La science des nombres en trois parties ». La symbolique de Shuque est proche du moderne.

La reconnaissance des nombres négatifs a été facilitée par les travaux du mathématicien, physicien et philosophe français René Descartes. Il a proposé une interprétation géométrique des nombres positifs et négatifs - il a introduit la ligne de coordonnées. (1637).

Les nombres positifs sont représentés sur l'axe des nombres par des points situés à droite du début 0, les nombres négatifs - à gauche. L'interprétation géométrique des nombres positifs et négatifs a contribué à leur reconnaissance.

En 1544, le mathématicien allemand Michael Stiefel considéra pour la première fois les nombres négatifs comme des nombres inférieurs à zéro (c'est-à-dire « moins que rien »). À partir de ce moment, les chiffres négatifs ne sont plus considérés comme une dette, mais d’une manière totalement nouvelle. Stiefel lui-même a écrit : « Zéro se situe entre les nombres vrais et les nombres absurdes… »

Presque simultanément avec Stiefel, l'idée des nombres négatifs a été défendue par Bombelli Raffaele (vers 1530-1572), mathématicien et ingénieur italien qui a redécouvert les travaux de Diophante.

De même, Girard considérait les nombres négatifs comme tout à fait acceptables et utiles, notamment pour indiquer le manque de quelque chose.

Tout physicien s'occupe constamment de nombres : il mesure, calcule, calcule toujours quelque chose. Partout dans ses papiers, il y a des chiffres, des chiffres et des chiffres. Si vous regardez attentivement les notes du physicien, vous constaterez que lorsqu’il écrit des nombres, il utilise souvent les signes « + » et « - ». (Par exemple : thermomètre, échelle de profondeur et de hauteur)

Seulement dans début XIX V. la théorie des nombres négatifs acheva son développement et les « nombres absurdes » furent universellement reconnus.

Définition de la notion de nombre

Dans le monde moderne, les gens utilisent constamment des chiffres sans même penser à leur origine. Sans connaissance du passé, il est impossible de comprendre le présent. Le nombre est l'un des concepts de base des mathématiques. La notion de nombre s'est développée en lien étroit avec l'étude des quantités ; cette connexion continue à ce jour. Dans toutes les branches des mathématiques modernes, nous devons considérer différentes quantités et utiliser des nombres. Le nombre est une abstraction utilisée pour quantifier des objets. Né dans la société primitive des besoins du comptage, le concept de nombre a changé et s'est enrichi et est devenu le concept mathématique le plus important.

Il existe un grand nombre de définitions du concept « nombre ».

Le mathématicien de Marioupol S.F. Klyuykov a également contribué à la définition du concept de nombre : « Les nombres sont des modèles mathématiques du monde réel, inventés par l'homme pour sa connaissance. » Il a également introduit les « nombres fonctionnels » dans la classification traditionnelle des nombres, c'est-à-dire ce qu'on appelle habituellement fonctions partout dans le monde.

Les nombres naturels sont apparus lors du comptage d'objets. J'ai appris cela en 5ème. Puis j’ai appris que le besoin humain de mesurer des quantités ne s’exprime pas toujours en nombres entiers. Après avoir étendu l'ensemble des nombres naturels en fractions, il est devenu possible de diviser n'importe quel entier par un autre entier (à l'exception de la division par zéro). Des nombres fractionnaires sont apparus. Pendant longtemps, soustraire un entier à un autre entier, lorsque celui à soustraire est supérieur à celui à réduire, a semblé impossible. Ce qui m’intéressait, c’était que pendant longtemps de nombreux mathématiciens ne reconnaissaient pas les nombres négatifs, estimant qu’ils ne correspondaient à aucun phénomène réel.

Origine des mots « plus » et « moins »

Les termes viennent des mots plus - "plus", moins - "moins". Au début, les actions étaient désignées par les premières lettres p ; m. De nombreux mathématiciens ont préféré ou L'origine des signes modernes « + » et « - » n'est pas tout à fait claire. Le signe « + » vient probablement de l’abréviation et, c’est-à-dire "Et". Mais cela pourrait provenir d'une pratique commerciale : les mesures de vin vendues étaient marquées d'un « - » sur le fût, et lors de la reconstitution du stock, elles étaient barrées, ce qui donnait un signe « + ».

En Italie, les prêteurs, lorsqu'ils prêtaient de l'argent, mettaient le montant de la dette et un tiret devant le nom du débiteur, comme notre moins, et lorsque le débiteur a rendu l'argent, ils l'ont barré, cela s'est avéré quelque chose comme notre plus.

Les signes « + » modernes sont apparus en Allemagne dans la dernière décennie du XVe siècle. dans le livre de Widmann, qui était un guide de comptage pour les marchands (1489). Le Tchèque Jan Widman a déjà écrit « + » et « - » pour l'addition et la soustraction.

Un peu plus tard, le scientifique allemand Michel Stiefel écrivit « Arithmétique complète », publiée en 1544. Il contient les entrées suivantes pour les nombres : 0-2 ; 0+2 ; 0-5 ; 0+7. Il appelait les nombres du premier type « moins que rien » ou « inférieurs à rien ». Il qualifiait les nombres du deuxième type de « plus que rien » ou de « plus élevés que rien ». Bien sûr, vous comprenez ces noms, car « rien » vaut 0.

Chiffres négatifs en Egypte

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

Nombres négatifs dans l'Asie ancienne

En mathématiques chinoises, les quantités positives étaient appelées « chen », les quantités négatives étaient appelées « fu » ; ils étaient représentés en différentes couleurs : « chen » - rouge, « fu » - noir. Cette méthode de représentation a été utilisée en Chine jusqu'au milieu du XIIe siècle, jusqu'à ce que Li Ye propose une désignation plus pratique pour les nombres négatifs - les nombres qui représentaient des nombres négatifs étaient barrés d'une ligne en diagonale de droite à gauche. Les scientifiques indiens, essayant de trouver des exemples d'une telle soustraction dans la vie, en sont venus à l'interpréter du point de vue des calculs commerciaux.

Des chiffres négatifs en Europe

C'est pourquoi les nombres négatifs ont acquis avec beaucoup de difficulté une place en mathématiques. En Europe, Léonard de Fibonacci de Pise s'est rapproché de l'idée d'une quantité négative au début du XIIIe siècle, mais les nombres négatifs ont été utilisés explicitement pour la première fois à la fin du XVe siècle par le mathématicien français Chuquet. Auteur d'un traité manuscrit sur l'arithmétique et l'algèbre, « La science des nombres en trois parties ». Le symbolisme de Shuquet se rapproche du symbolisme moderne (Mathematical Encyclopedic Dictionary. M., Sov. Encyclopedia, 1988)

Interprétation moderne des nombres négatifs

Le célèbre mathématicien français René Descartes dans « Géométrie » (1637) décrit l'interprétation géométrique des nombres positifs et négatifs ; les nombres positifs sont représentés sur l'axe des nombres par des points situés à droite du début 0, les nombres négatifs - à gauche. L’interprétation géométrique des nombres positifs et négatifs a permis de mieux comprendre la nature des nombres négatifs et a contribué à leur reconnaissance.

Bombelli et Girard, au contraire, considéraient les nombres négatifs comme tout à fait acceptables et utiles, notamment pour indiquer le manque de quelque chose. La désignation moderne des nombres positifs et négatifs avec les signes « + » et « - » a été utilisée par le mathématicien allemand Widmann. L'expression « inférieur à rien » montre que Stiefel et quelques autres imaginaient mentalement les nombres positifs et négatifs comme des points sur une échelle verticale (comme une échelle de thermomètre). Développée ensuite par le mathématicien A. Girard, l'idée des nombres négatifs comme points sur une certaine ligne, situés de l'autre côté de zéro que les positifs, s'est avérée décisive pour conférer à ces nombres des droits de citoyenneté, notamment en tant que résultat du développement de la méthode des coordonnées par P. Fermat et R. Descartes.

Conclusion

Dans mon travail, j'ai étudié l'histoire de l'émergence des nombres négatifs. Au cours de la recherche, j'ai conclu :

La science moderne rencontre des quantités d’une nature si complexe que pour les étudier il est nécessaire d’inventer de nouveaux types de nombres.

Lors de l'introduction de nouveaux numéros, deux circonstances sont d'une grande importance :

a) les règles d'action sur eux doivent être pleinement définies et ne pas conduire à des contradictions ;

b) les nouveaux systèmes de numérotation devraient aider soit à résoudre de nouveaux problèmes, soit à améliorer des solutions déjà connues.

Actuellement, le temps comporte sept niveaux généralement acceptés de généralisation des nombres : nombres naturels, rationnels, réels, complexes, vectoriels, matriciels et transfinis. Certains scientifiques proposent de considérer les fonctions comme des nombres fonctionnels et d'étendre le degré de généralisation des nombres à douze niveaux.

Je vais essayer d'étudier tous ces ensembles de nombres.

Application

POÈME

"Ajouter des nombres négatifs et des nombres avec différents signes»

Si tu veux vraiment te coucher

Les chiffres sont négatifs, il ne faut pas s'inquiéter :

Il faut connaître rapidement la somme des modules,

Ensuite, prenez-le et ajoutez-y un signe moins.

Si des nombres avec des signes différents sont donnés,

Pour trouver leur somme, nous sommes tous bien là.

Nous pouvons rapidement sélectionner un module plus grand.

De là, nous soustrayons le plus petit.

Le plus important est de ne pas oublier le panneau !

Lequel allez-vous mettre ? - nous voulons demander

On va vous confier un secret, rien de plus simple,

Notez le signe où le module est le plus grand dans votre réponse.

Règles pour ajouter des nombres positifs et négatifs

Ajoutez du moins au moins,

Vous pouvez obtenir un moins.

Si vous additionnez moins et plus,

Est-ce que cela s'avérera embarrassant ?!

Vous choisissez le signe du numéro

Ce qui est plus fort, ne bâille pas !

Retirez-les des modules

Faites la paix avec tous les chiffres !

Les règles de multiplication peuvent être interprétées de cette façon :

« L'ami de mon ami est mon ami » : + ∙ + = + .

« L'ennemi de mon ennemi est mon ami » : ─ ∙ ─ = +.

« L'ami de mon ennemi est mon ennemi » : + ∙ ─ = ─.

« L'ennemi de mon ami est mon ennemi » : ─ ∙ + = ─.

Le signe de multiplication est un point, il comporte trois signes :

Couvrez-en deux, le troisième donnera la réponse.

Par exemple.

Comment déterminer le signe du produit 2∙(-3) ?

Couvrons les signes plus et moins avec nos mains. Il reste un signe moins

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